河南省天一大联考2019届高三上学期阶段性测试(一)文数试卷

数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，则A B =（ ）
A ．{1,2,3}
B ．{1,2}
C ．{1}
D ．{3} 2.已知复数142i
z i i
+=-+
，则复数z 的模为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
3. 6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面
积为（ ）
A ．44
B ．54
C ．88 D108
4.设抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线
l 的垂线，垂足为Q .若QRF ∆的面积为2，则点P 的坐标为（ ）
A ．（1,2）或（1，-2）
B ．（1,4）或（1，-4）
C ．（1,2）
D ．（1,4） 5.函数()sin()(0,0,0)2
f x A x A π
ϖϕϖϕ=+>><<
的图象如图所示，则（ ）
A ．()2sin3f x x =
B ．()2sin(+
3
f x x π
=） C ．()2sin(3+6
f x x π
=） D ．()2sin(2+
6
f x x π
=）
6. 以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ）
A ．22(1)(1)5x y -+-=
B ．22(1)(1)5x y +++=
C ．22(1)5x y -+=
D ．22(1)5x y +-=
7.满足不等式24120m m --≤的实数m 使关于x 的一元二次方程2240x x m -+=有实数根的概率是（ ） A ．
12 B ．13 C ．14 D ．1
5
8.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．263π+
B ．83π+
C ．243π+
D ．43
π
+ 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的2P =，1Q =，则输出M 的等于（ ）
A ．19
B ．24
C ．30
D ．37
10.已知直线l
与函数())ln(1)f x x =--的图象交于P ，Q 两点，若点1(,)2
R m 是线段PQ 的中点，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．
12 D ．14
11.已知函数21()cos(2)sin cos 232f x x x x π
=+
+-，[0,]3
x π
∈.若m
是使不等式()f x a ≤a 的最小值，则2
cos 6
m π=（ ） A
． B ．12- C
D ．12
12.函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数lg()x
x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. .已知||10a =，530
a b =-(-)()15a b a b +=-，则向量a 与b 的夹角为_________.
14.若x ，y 满足约束条件20,220,20,x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则3z x y =+的最大值为__________.
15. 在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若3
C π
=，8BC =，7BD =，则ABC
∆的面积为______.
16. 6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区.
已知下面四种说法都是正确的.
（1）甲轻型教授队所在方向不是C 方向，也不是D 方向； （2）乙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向；
（3）丙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （4）丁轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是D 方向.
此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向.有下列判断： ①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是
C 方向.
其中判断正确的序号是__________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a +=，且123a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设5log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1
{}n
S 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）
某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图： （Ⅰ）写出a 的值；
（Ⅱ）求在抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；
（Ⅲ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人 ，求至少抽到1名女生的概率.
19. （本小题满分12分）
如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点，且1
4
CN BC =
，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB .
（Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ； （Ⅱ）设BF
MN G =，求三棱锥'A BGN -的体积.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，
且长轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD ∆与OAC ∆的面积之差的绝对值的最大值.（O 为坐标原点） 21. （本小题满分12分）
设函数2
2
()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.
（Ⅰ）当1a =，0b =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，PQ 为O 的切线，切点为Q ，割线PEF 过圆心O ，且QM QN =. （Ⅰ）求证：PF QN PQ NF =；
（Ⅱ）若QP QF =，求PF 的长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为5cos ,
sin .
x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为
参数）.若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q .
（Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （Ⅱ）若弦长||4PQ =，求直线l 的斜率. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()|||10|f x x x =++.
（Ⅰ）求()15f x x ≤+的解集M ；
（Ⅱ）当,a b M ∈时，求证5|||25|a b ab +≤+.
天一大联考
2019学年高中毕业班阶段性测试（一）
数学（文科）·答案 A卷
一、选择题
1.B
2.B
3.C
4.A
5.D
6.A
7.A
8.C
9.B 10.C 11.D
12.C
二、填空题
13.5
6
π
14.
10
3
15. 或 16. ③
三、解答题
17.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、等差中项、数列的前n项和，以及逻辑思维能力，运算求解能力、方程的思想及裂项法的应用.
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由题意知0
q>，
∴2
1112
11154,.
a a q a q a a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得15a q ==，故5n n a =.……………………………………………………（5分）
111112[(1)()()]223
1n T n n =-+-+
+-+122(1)11
n
n n =-=++.……………………………………（12分）
【方法点拨】（1）求关于等比数列的基本运算通常转化为关于首项1a 与公比q 的方程（组）来求解；（2）裂项法适用于求通项形如
1
1
n n a a +（{}n a 为等差数列）的数列的前n 项和. 18.【命题意图】本题考查频率分布直方图、古典概型，考查学生的识图能力、数据分析能力、运算能力. 【解析】（Ⅰ）
1(20.020.030.08)5
0.055
a -⨯++⨯=
=.………………………………………………（2分）
（Ⅱ）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.05+0.02）×5=0.35，所以，在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.………………………………………（4分）
在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.04+0.03）×5=0.35，所以，在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.…………………………………………………（6分）
故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人.…………………………………（7分）
（Ⅲ）记“在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件
A ，……………………………………………………………………………………………………
（8分）
在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1，人数为0.1×20=2人， 在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.03×5=0.15，人数为0.15×20=3人，
…………………………………………………………………………………………………………………（10分）
记这2名女生为1A ，2A ，这3名男生为1B ，2B ，3B ，
则在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即12(,)A A ，
11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B ，
而事件A 包含的结果有7种，它们是12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，
22(,)A B ，23(,)A B ，
所以
7
()10
P A =
.……………………………………………………………………………………………（12分）
【归纳总结】（1）涉及频率分布直方图问题通常要利用其性质：①所有小矩形的面积和为1；②每组频率=对应矩形面积；（2）古典概型的计算通常利用一一列举法解决.
19.【命题意图】本题考查空间直线、平面间的垂直与平行关系，棱锥体积的计算，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力. 【解析】（Ⅰ）因为E ，F 为等边ABC ∆的AB ，AC 边的中点， 所以'A EF ∆是等边三角形，且//EF BC . 因为M 是EF 的中点，所以
'A M EF ⊥.…………………………………………………………………（1分）
又由于平面'A EF ⊥平面EFCB ，'A M ⊂平面'A EF ，所以'A M ⊥平面
EFCB .…………………（2分）
又BF ⊂平面EFCB ，所以
'A M BF ⊥.…………………………………………………………………（3分）
因为1
4
CN BC =
，所以//MF CN ，所以//MN CF .……………………………………^……………（4分）
在正ABC ∆中知BF CF ⊥，所以BF MN ⊥. 而'A M
MN M =，所以BF ⊥平面
'A MN .……………………………………………………………（5分）
又因为BF ⊂平面'A BF ，所以平面'A MN ⊥平面
'A BF .……………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，所以'A M 为三棱锥'A BGN -底面上的高.
根据正三角形的边长为4，知'AE F ∆是边长为2的等边三角形，所以'A M =易知3342
GN CF =
=，3
34
BN BC =
=.…………………………………………………………………（8分）
又由（Ⅰ）知BF MN ⊥，所以2
BG ==
， 所以
113222BGN S BG NG ∆=
=⨯=
，………………………………………………………（10分） 所以
'119
'338
A BGN BGN V S A M -∆==⨯=.……………………………………………………
…（12分）
【举一反三】（1）空间垂直的证明通常利用线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化来证明；（2）求三棱锥的体积主要是确定三棱锥的高和底面，确定高时主要是利用线面垂直来确定后，求底面面积主要是利用平面几何知识解决.
20.【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想. 【解析】（Ⅰ）由题意得
1
2
c a =，又24a =，则2a =，所以1c =. 又222
413b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为
22
143
x y +=.……………………………………………（4分） （Ⅱ）解法一：设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .
当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时不妨设3
(1,)2D -，3(1,)2
C --，且OA
D ∆，
OAC ∆面积相等，
12||0S S -=.………………………………………………………………………………………（6
分）
当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，
和椭圆方程联立得22
1,43
(1),x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=.………………………（7分）
显然0∆>，方程有根，且
2
122
834k x x k +=-+.……………………………………………………………（8分）
此时
12212121212
16||
||2|||||||||(1+(1||(+2|234k S S y y y y k x k x k x x k k -=⨯⨯-=+=++=+=+）））.
因为0k ≠，
所以上式63
24||4
||||
|
k k k =
≤=
=
+
k =时等号成立）. 所以12||S S -的最大值为
.……………………………………………………………………………（12分） 解法二：设直线l 的方程为'1x k y =-，与椭圆方程22
143
x y +=联立得：22(3'4)6'90k y k y +--=.
…………………………………………………………………………………………………………………（6分）
∴
122
6'
3'4
k y y k +=
+，………………………………………………………………………………………（8分） ∴121212216|'|||2||||||||23'4
k S S y y y y k -=
⨯⨯-=+=+， 当'0k =时，12||0S S -=. 当'0k ≠
时，126||4
3|'||'|
|
|'
|
S S k k k -==
≤=
+
'3k
=±时等号
成立）.
所以12||S S -的最大值为
.……………………………………………………………………………（12分） 21.【命题意图】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.
【解析】（Ⅰ）当1a =，0b =时，2()(2)ln f x x x x =-，则(1)0f =，
……………………………（1分）
'()(2)ln 2f x x x x x =-+-，∴
(1)1f =-。

………………………………………………………………（2分）
∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)y x =--，即
10x y +-=．………………………（4分）
（Ⅱ）当2b =时，2
2
()(2)ln 2f x x ax x x =-+，a R ∈． 所以不等式2
2()3f x x a >+等价于
22(24)ln 0x ax x x a -+->.………………………………………（5分）
方法一：令2
2
()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞， 则
'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥.……………………………
(6)
当1a ≤时，'()0p x ≥，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1p x p a ==-， 所以根据题意，知有10a ->，∴
1a <.……………………………………………………………………（7分）
当1a >时，由'()0p x <，知函数()p x 在[1,)a 上单调增减； 由'()0p x >，知函数()p x 在(,)a +∞上单调递增. 所以
2min ()()(12ln )p x p a a a a ==--.………………………………………………………………
…（8分）
由条件知，2(12ln )0a a a -->，即
(12ln )10a a -->.………………………………………………（9分）
设()(12ln )1q a a a =--，1a >，则'()12ln 0q a a =--<，1a >， 所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.
又(1)0q =，所以()(1)0q a q <=与条件矛盾. 综上可知，实数a 的取值范围为
(,1)-∞.…………………………………………………………………（12分）
方法二：令2
2
()(24)ln +p x x ax x x a =--，[1,)x ∈+∞，
则2
2
()(24)ln +0p x x ax x x a =-->在[1,)+∞上恒成立，所以(1)10p a =->， 所以1a <.
…………………………………………………………………………………………（8分）
又'()(44)ln +(24)+24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =--=-+≥， 显然当1a <时，'()0p x >，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以
min ()(1)10p x p a ==->，所以1a <.
综上可知a 的取值范围为
(,1)-∞.…………………………………………………………………………（12分）
【规律总结】利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.
22.【命题意图】本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质，以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力. 【解析】（Ⅰ）因为PQ 为圆O 的切线，所以
PFQ PQE ∠=∠.…………………………………………（1分）
又因为QM QN =，所以
QNM QMN ∠=∠.……………………………………………………………（2分）
所以
PNF PMQ ∠=∠，…………………………………………………………………………………
……（3分） 所以
PNF PMQ ∆∆，…………………………………………………………………………………
……（4分） 所以
PF NF NF
PQ MQ NQ
==，即PF QN PQ NF =.…………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）因为QP QF ==，所以
PFQ QPF ∠=∠.……………………………………………………（6分）
又180PFQ QPF PQE EQF ∠+∠+∠+∠=，
90EQF ∠=，………………………………………（7分）
所以30PFQ QPF ∠=∠=，
120PQF ∠=，……………………………………………………………（8分）
由余弦定理，得
cos 3PF QP =∠=.………………………………………（10分）
【方法点拨】（1）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；（2）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.
23.【命题意图】本题考查圆的极坐标方程与直线的参数方程、直线与圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力. 【解析】（Ⅰ）由4cos 2sin ρθθ=-，得
24cos 2sin ρρθρθ=-.…………………………………（1分）
将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得
22420x y x y +-+=.……………………（3分）
配方，得22(2)(1)5x y -++=，所以圆心为(2,1)-，半径为
……………………………………（5分）
（Ⅱ）由直线l 的参数方程知直线过定点(5,0)M ，
则由题意，知直线l 的斜率一定存在，因此不妨设直线l 的方程为
(5)y k x =-.………………………（7分）
因为||4PQ =，所以2
54-=，解得0k =或
3
4
k =
.………………………………………（10分） 【归纳总结】（1）化极坐标方程为直角坐标方程主要是利用公式2
2
2
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=来完成．
（2）在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程与参数方程均化为直角坐标方程来解决.
24.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、比较法的应用、绝对值的性质及零点分段法的应用，并考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力.
【解析】（Ⅰ）由()15f x x ≤+得：
150,10,1015.x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或150,100,
1015.x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩
或150,0,
1015.x x x x x +≥⎧⎪
≥⎨⎪++≤+⎩
…………………………………（3分） 解得55x -≤≤， 所以()15f x x ≤+的解集为
[5,5]M =-.…………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）当,a b M ∈，即55a -≤≤，55b -≤≤时， 要证5|||25|a b ab +≤+，即证
2225()(25)a b ab +≤+.…………………………………………………（6分）
∵22222225()(25)25(2)(50625)a b ab a ab b a b ab +-+=++-++
2222222525625(25)(25)0a b a b a b =+--=--≤…………………………………………
^………（9分）
∴2
2
25()(25)a b ab +≤+，即5|||25|a b ab +≤+.…………………………………………^………（10分）
【技巧点拨】（1）零点分段法是求绝对值不等式解集的常用方法；（2）一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法，比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.。