北京市丰台区2019—2020学年度高三第一学期期末练习数学文试题

丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习 高三数学（文科）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．设集合A ={x ∣x <4}，B ={x ∣x 2<4}，则
(A) A ⊆B (B) B ⊆A
(C) A ⊆R B ð
(D) B ⊆R A ð
2．在复平面内，复数
1+i
i
-对应的点位于 (A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
3．已知命题p ：x R ∃∈，
1
x x
>，命题q ：x R ∀∈，20x >，则 (A) 命题p q ∨是假命题 (B) 命题p q ∧是真命题
(C) 命题()p q ∨⌝是假命题
(D) 命题()p q ∧⌝是真命题
4．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，
其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如
果在某一时期有-1<k <0，那么这期间人口数 (A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变
5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 (A)
1
3
(B)
23
(C) 1
(D) 2
俯视图
侧视图
正视图
6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为
(A) 650 (B) 1250 (C) 1352 (D) 5000
7．若函数21
()log ()f x x a x
=+-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是
(A) 2
5
(log ,1)2
-- (B) (1,)+∞
(C) 2
5(0,log )2
(D) 25(1,log )2
8．如图，P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线AC 1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是
y x
O
(A)
y
x
O
(B)
y
x
O
(C)
y
x
O
(D)
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．过点(-1,3)且与直线x -2y +3=0平行的直线方程为 ． 10．已知函数2log ,(0),
()2,
(0).
x x x f x x >⎧=⎨
≤⎩ 若1
()2
f a =
，则a = ． 11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间[8,10) 上的频数是 ．
12．若向量a r ，b r 满足2a =r ，2b =r ，()a b a -⊥r r r
，则向量a r 与b r 的夹角
等于___．
13．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则公比q 等于 ．
14．函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有
D 1
C 1
B 1A 1
P
D
C
B
A
121212()()'()2
f x f x x x
f x x -+=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①
()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=
f x x
；④()=x
f x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有．．
满足条件的函数序号）
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知函数2
()2cos
2
x
f x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f π
α-
=，求
cos 21tan α
α
-的值．
16.（本小题共14分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC ，M ，N 分别是CC 1，AB 的中点． （Ⅰ）求证：CN ⊥AB 1；
（Ⅱ）求证：CN //平面AB 1M ．
17.（本小题共13分）
N
M
C 1
B 1
A 1
C
B A
为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班. （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；
（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中
至少有1个来自甲学校的概率.
18.（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线40x --=相切．
（Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）直线l ：3y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得
四边形OAMB 为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．
19.（本小题共14分）
已知函数x x
b
ax x f ln 2)(++
=． （Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，2
1
=x 处取得极值，求a ，b 的值；
（Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围．
20.（本小题共13分）
函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -（*
n N ∈且2n ≥）．
（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-(k 为非零常
数， *
n N ∈且2n ≥)，求k 的值；
（Ⅱ）若()(1)f x kx k =>，12a =，*
ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，
对于给定的正整数m ，如果(1)m n mn
S S +的值与n 无关，求k 的值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习
高三数学（文科）答案及评分参考
9．270x y -+= 10．1- 11．30 12．
4
π
13．13
14． ①②
注：第10，14题只写出一个答案给2分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题共13分）
已知函数2
()2cos
2
x
f x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f π
α-=，求
cos 21tan α
α
-的值． 解
：
（
Ⅰ
）
因
为
()1cos f x x x =+ ……………………1分
12cos()3
x π
=++， ……………………3分
所
以
函
数
()
f x 的周期为
2π
，值域为
[1,3]-． ……………………5分
（Ⅱ）因为 1()33
f π
α-
=， 所
以
1
12cos =
3
α+，即
1
cos 3
α=-． ……………………6分
因
为
22cos 2cos sin cos sin 1tan cos ααα
ααα
α
-=-- ……………………8分
cos (cos sin )ααα=+
2cos cos sin ααα=+， …………
…………10分
因为
α
为第二象限角， 所以
sin 3
α=
． ……………………11分 所
以
cos 211tan 9αα==- ……………………13分
16.（本小题共14分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC ，M ，N 分别是CC 1，AB 的中点． （Ⅰ）求证：CN ⊥AB 1；
（Ⅱ）求证：CN //平面AB 1M ． 证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥底面ABC ， 所以BB 1⊥平面ABC ， 所以BB 1⊥CN ．…………………1分
因为AC =BC ，N 是AB 的中点，
所以CN ⊥AB ． ……………………3分 因为AB ∩BB 1=B ， ……………………4分
所以CN ⊥平面AB B 1A 1． ……………………5分
所以CN ⊥AB 1． ……………………6分
（Ⅱ）（方法一）连结A 1B 交AB 1于P ． ……………………7分
因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1， 所以P 是A 1B 的中点．
因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，
所以NP // CM ，且NP = CM ， ……………………9分 所以四边形MCNP 是平行四边形， ……………………10分 所以CN //MP ． ……………………11分 因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ………………12分 所以CN //平面AB 1M ． ……………………14分 （方法二）取BB 1中点P ，连结NP ，CP ． ……………………7分
因为N ，P 分别是AB ，BB 1的中点， 所以NP //AB 1．
因为NP ⊄平面AB 1M ，AB 1⊂平面AB 1M ，
所以NP //平面AB 1M ． ……………………10分 同理 CP //平面AB 1M ． ……………………11分 因为CP ∩NP =P ，
所以平面CNP //平面AB 1M ． ……………………13分
N
M
C 1
B 1
A 1
C
B A P
N M
C 1
B 1
A 1
C
B
A
P
N M
C 1
B 1
A 1
C
B
A
因为CN ⊂平面CNP ，
所以CN //平面AB 1M ． ……………………14分
17.（本小题共13分）
为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班． （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；
（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.
解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3， ……………………1分
所以甲学校抽取教学班数为26=26⨯个，乙学校抽取教学班数为1
6=16
⨯个，丙学校抽取教学班数
为
3
6=36
⨯个， ……………………4分
所以分别抽取的教学班个数为2，1，
3. ……………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为1A ，
2A ，1B ，1C ，2C ，3C ，则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：12(,)A A ，11(,)A B ，11(,)A C ，12(,)A C ，13(,)A C ，21(,)A B ，21(,)A C ，22(,)A C ，23(,)A C ，11(,)B C ，12(,)B C ，13(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，23(,)C C 共15
个. ……………………7分
设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件
D ， …………8分
则事件D 包含的基本事件为：12(,)A A ，11(,)A B ，11(,)A C ，12(,)A C ，13(,)A C ，
21(,)
A B ，
21(,)
A C ，
22(,)
A C ，
23(,)
A C 共9
个. ……………………10分 所
以
93
()155
P D =
=. ……………………12分
所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学
校的概率为
35
. …………
…………13分
18.（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线40x --=相切． （Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）直线l ：3y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）设圆O 的半径为r ，因为直线40x -=与圆O 相切，
所
以
2
r =
=．
……………………3分 所
以
圆
O
的方程为
224x y +=． ……………………5分
（Ⅱ）（方法一）因为直线l ：3y kx =+与圆O 相交于A ，B 两点，
所以
2
O l d -=
<，解得
2
k >
或
k <． ……………………7分 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为
菱形， ……………………8分
则OM 与AB
互相垂直且平
分， ……………………9分
所
以
原
点
O
到直线
l
：
3
y kx =+的距离为
1
||12
d OM =
=． ……………………10分 所
以
1
O l d -=
=，解得
28k =， ……………………11分
即
k =±，经验证满足条
件． ……………………12分 所以存在点M ，使得四
边
形
OAMB
为菱
形． ……………………13分 （方法二）记OM 与AB 交于点00(,)C x y ．
因为直线l 斜率为k ，显然0k ≠，所以OM 直线方程为
1
y x k
=-． ……………………7分
31y kx y x k =+⎧⎪
⎨
=-⎪⎩， 解得02023131k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
， 所以点M 坐标为22
66(
,)11
k M k k -++， ………………9分 因为点M
在圆上，所以2
26(
)1
k k -++2
26(
)41
k =+，解得28k =， ……………………11分
即
k =±，经验证满足条
件． ……………………12分
所以存在点M ，使得四边形
OAMB
为菱
形． ……………………13分 19.（本小题共14分）
已知函数x x
b
ax x f ln 2)(++
=． （Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，2
1
=x 处取得极值，求a ，b 的值；
（Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）
21
()2b f x a x x
'=-
+， ……………………2分
由
(1)01()02
f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ ， ……………………4分
可得
131
3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． ……………………6分 （Ⅱ）函数)(x f 的定义域是),0(+∞， ……………………7分
因为(1)2f '=，所以12-=a b ． ……………………8分 所以
222
2(21)(1)[2(21)]()ax x a x ax a f x x x +--+--'==， ……………………9分
要使)(x f 在),0(+∞上是单调函数，只要()0f x '≥或()0f x '≤在),0(+∞上恒成立．
…………
…………10分
当0=a 时，21()0x f x x +'=
>恒成立，所以)(x f 在),0(+∞上是单调函数； ………………11分
当0<a 时，令()0f x '=，得11-=x ，12112122>-=-=
a
a a x ， 此时)(x f 在),0(+∞上不是单调函
数； ……………………12分
当0>a 时，要使)(x f 在),0(+∞上是单调函数，只要120a -≥，即102
a <≤．…………13分 综上所述，a 的取值范围是
1[0,]2
a ∈． ……………………14分 20.（本小题共13分）
函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -（*n N ∈且2n ≥）．
（Ⅰ）若数列{}n a 成等差，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-(k 为非零常数，*n N ∈且2n ≥)，求k 的值；
（Ⅱ）若()(1)f x kx k =>，12a =，*ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，
对于给定的正整数m ，如果
(1)m n mn S S +的值与n 无关，求k 的值．
解：（Ⅰ）当2n ≥时， 因为 1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，
所以 111()()()n n n n n n a a f a f a k a a +---=-=-． 因为数列{}n a 是等差数列，所以 11n n n n a a a a +--=-． 因为 11()n n n n a a k a a +--=-， 所以1=k ． ……………………6分
（Ⅱ）因为()(1)f x kx k =>，12a =，且1()n n a f a +=，
所以 1n n a ka +=．
所以数列{}n a 是首项为2，公比为k 的等比数列，
所以12n n a k -=．
所以ln ln 2(1)ln n n b a n k ==+-．
因为1ln n n b b k --=，
所以{}n b 是首项为ln 2，公差为ln k 的等差数列．
所以 n S 1()(1)[ln 2ln ]22
n b b n n n k +-==+．
因为 (1)[(1)1](1){ln 2ln }(1)[(1)ln 2ln 2ln ]2(1)[ln 2ln 2ln ][ln 2ln ]2
m n
mn m n m n k S m m n k k mn S m mn k k mn k ++-+++++-==-+-+， 又因为(1)m n
mn
S S +的值是一个与n 无关的量，
所以 2ln 2ln 2ln 2ln
ln (1)ln k k
mn k m n k --=+，
解
得4k =．
(13)
分
（若用其他方法解题，请酌情给分）。