浙江省绍兴市2019年中考数学试卷

浙江省绍兴市2019年中考数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）（共10题；共40分）
1.-5的绝对值是（）
A. 5
B. -5
C.
D.
2.某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中数字126000000用科学记数法可表示为（）
A. 12.6×107
B. 1.26×108
C. 1.26×109
D. 0.126×1010
3.如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）
A. B. C. D.
4.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下:
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）
A. 0.85
B. 0.57
C. 0.42
D. 0.15
5.如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）
A. 5°
B. 10°
C. 30°
D. 70°
6.若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）
A. -1
B. 0
C. 3
D. 4
7.D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（）
A. 向左平移2个单位
B. 向右平移2个单位
C. 向左平移8个单位
D. 向右平移8个单位
8.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）
A. π
B. π
C. 2π
D. π
9.正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B 的过程中，矩形ECFG的面积（）
A. 先变大后变小
B. 先变小后变大
C. 一直变大
D. 保持不变
10.如图1长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一楼进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）（共6题；共30分）
11.因式分解:x2-1=________.
12.不等式3x-2≥4的解为________.
13.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1~9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、角线的三个数之和都相等。

如图幻方中，字母m所表示的数是________。

m 2
3 5
14.如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧点A，与AP 交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为________ 。

15.如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y= （常数k>0，x>0)上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是________.
16.把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD 的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是________。

三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分。

）（共8题；共80分）
17.
（1）计算:4sin60°+(π-2)0-( )-
（2）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
18.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象。

（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路。

当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程。

（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量。

19.小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图。

根据图中信息，解答下列问题:
（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少?
（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法.。

20.如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上。

（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC=150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE.
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD=165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少?增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据: ≈1.41，≈1.73）
21.在屏幕上有如下内容:
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的题长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答。

（1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答。

（2）以下是小明、小思的对话:
小明:我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长。

小聪:你这样太简单了，我加的是∠A=30°，连结OC，就可证明△ACB与△DCO全等。

参考此对话:在屏幕内容中添加条件，编制一道题（可以添线、添字母），并解答。

22.有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°. ∠E＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大。

（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积。

（2）能否数出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.
23.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长。

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长。

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2.此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.
24.如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN:EF.
（1）若a:b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值。

（2）若a:b的值为，求k的最大值和最小值。

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a:b为的值。

答案解析部分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1.【答案】A
【解析】【解答】-5的绝对值是5.
故答案为：A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案。

2.【答案】B
【解析】【解答】解：126000000=1.26×108
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。

其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。

3.【答案】A
【解析】【解答】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2,2,1
故答案为：A
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察已知几何体，就可得到此几何体的主视图。

4.【答案】D
【解析】【解答】观察统计表，可知一共有100种结果，但身高不等于180cm的有15种情况，
∴
故答案为：D
【分析】利用表中数据，就可得到所有等可能的结果数及身高不等于180cm的情况数，再利用概率公式可求解。

5.【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2=∠3=100°，∠1=70°
∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。

6.【答案】C
【解析】【解答】设过点（1,4）、（2,7）的直线的函数解析式为：y=kx+b
解之：
∴y=3x+1
将（a，10）代入y=3x+1得
3a+1=10
解之：a=3
故答案为：C
【分析】利用待定系数法求出过点（1,4）、（2,7）的直线的函数解析式，再将（a，10）代入函数解析式，就可求出a的值。

7.【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16
∴顶点坐标为（-1，-16）
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16
∴顶点坐标为（1，-16）
∴将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位就可得到抛物线y=（x+3）（x-5）
故答案为：B
【分析】先将两函数解析式转化为顶点式，就可得到顶点坐标，再根据二次函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，就可得出两图像平移结果。

8.【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB
∴∠A=180°-65°-70°=45°
∵弧BC=弧BC
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°
∵OB=OC
在Rt△OBC中，∠OBC=45°
∴OC=BCsin45°= =2
∴弧BC的长为：
故答案为：A
【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。

9.【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过点E作EH⊥CD于点H，过点D作DM⊥EC于点M
∵正方形ABCD，矩形ECFG
∴四边形AEDH是矩形
∴EH=DC=AD，FC=DM
∴S△DEC= DC·EH= EC·DM
∴DC·EH=EC·DM
∵S矩形ECFG=FC·EC=EC·DM
S正方形ABCD=AD·DC=DC·EH
∴S矩形ECFG=S正方形ABCD
∴在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积保持不变。

故答案为：D
【分析】连接DE，过点E作EH⊥CD于点H，过点D作DM⊥EC于点M，易证四边形AEHD是矩形，利用正方形和矩形的性质，可证得EH=DC=AD，FC=DM，再根据同一个三角形的面积相等，可证得
DC·EH=EC·DM，因此可得到在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积等于正方形ABCD的面积，即可得出答案。

10.【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点D作DC⊥EC于点C
由题意可知：EF=BD=3，DE=BF=8
两图形阴影部分的面积相等，
设AF=x
∴3×6= （x+8）×3
解之：x=4
∴AB=8-4=4
在Rt△ABD中
AD=
∵∠ADB+∠ADE=∠EDC+∠ADE=90°
∴∠ADB=∠EDC
∴cos∠ADB=cos∠DEC
解之：CD=
故答案为：A
【分析】过点D作DC⊥EC于点C，两图形阴影部分的面积相等，设AF=x，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到AB的长，利用勾股定理求出AD的长，再证明∠ADB=∠DEC，就可得到cos∠ADB=cos∠DEC，建立关于DC的方程，解方程求出DC的长即可。

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11.【答案】（x+1）（x-1）
【解析】【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）
故答案为：（x+1）（x-1）
【分析】观察此多项式没有公因式，只含两项，且符合平方差公式的结构特点，因此利用平方差公式分解因式。

12.【答案】x≥2
【解析】【解答】解：3x-2≥4
3x≥6
解之：x≥2
故答案为：x≥2
【分析】先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1.
13.【答案】4
【解析】【解答】解：如下表
m x 2
3 5 y
z n h
∵三行，三列，对角线上的三个数之和相等
∴3+5+y=2+y+h=2+5+z=z+n+h=x+5+n=2+x+m
∴3+5+y=2+y+h
解之：h=6
2+5+z=z+n+6
解之：n=1
∵2+x+m=1+5+x
解之：m=4
故答案为：4
【分析】根据三行，三列，对角线上的三个数之和相等，利用表格可得到3+5+y=2+y+h=2+5+z=z+n+h=x+5+n=2+x+m，解方程依次求出h、n、m即可。

14.【答案】15°或45°
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形ABCD
∴∠DAB=90°，∠BAD=45°，AD=AB
∵∠DAP=30°
∴∠BAM=90°-30°=60°
由题意可知AB=BM
∴△ABM是等边三角形，
∴AM=AB=BM
由题意可知
当点E的位置在直线PA上方，与点B重合，此时∠ADE2=45°；
当点E的位置在直线PA下方，此时点B（E2）与点E1关于直线PA对称，
∴BA=AE,2=AM=AD
∴∠MAE1=60°，∠ADE1=∠AE1D
∴∠DAE1=360°-∠DAB-∠BAM-∠MAE1
=360°-90°-60°-60°
=150°
∴∠ADE1=（180°-150°）÷15°
故答案为：15°或45°
【分析】根据题意画出图形，利用正方形的性质及作图，可证△ABM是等边三角形，易证AM=AB=BM，就可求出∠BAM的度数，再分情况讨论：当点E的位置在直线PA上方，与点B重合，此时∠ADE2=45°；当点E的位置在直线PA下方，此时点B（E2）与点E1关于直线PA对称，利用轴对称的性质，可得到
BA=AE,2=AM=AD，从而可证得∠ADE1=∠AE1D，求出∠MAE1的度数，再利用
∠DAE1=360°-∠DAB-∠BAM-∠MAE1，求出∠DAE1的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠ADE1的度数即可。

15.【答案】y= x
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A、C都在曲线（常数k＞0，x＞0），若顶点D的坐标为（5,3），
设点A的坐标为（2,3）
∴k=2×3=6
∴
当x=5时，则y=
∴点B（2，）
设直线BD的函数解析式为：y=kx+b
∴
解之：
∴
故答案为：
【分析】结合已知条件，利用矩形的性质，设点A的坐标为（2,3），就可求出k的值，从而可求出点B 的坐标，再根据点B、D的坐标，利用待定系数法就可求出函数解析式。

16.【答案】10或6+2 或8+2
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，点O为正方形的中心
∴BC=DC=2，OB=OC=EF=
∴△OBC是等腰直角三角形；
∵点E、F分别是AB，AD的中点，
∴AE=AF=BE=DF=OF=1
如图1，
MQ=1，MN=1+2+1=4，PN=1，PQ=2+1+1=4
四边形MNPQ的周长为：1+4+1+4=10；
如图2，
MQ=2 ，MN=1+2=3，PN=2，PQ=1
四边形MNPQ的周长为：2 +3+2+1；=6+2 ；
如图3，
MQ= ，MN=1+2+2=5，PN= ，PQ=1+1+1=3
四边形MNPQ的周长为：2 +3+2+1；=8+2 ；
故答案为：10或或
【分析】利用正方形的性质可证得BC=CD，求出OB=OC=EF= ，AE=AF=BE=DF=OF=1，再分情况拼图，可拼成矩形或直角梯形或等腰梯形，然后分别求出拼成的四边形的周长。

三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分。

）
17.【答案】（1）解:原式=4× +1-4-2 =-3
（2）解:x2+1=4x+1，x2-4x=0，x（x-4）=0.x1=0，x2=4
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后算加减法。

（2）根据已知两个代数式x2+1，4x+1的值相等，列方程，再利用因式分解法解此方程。

18.【答案】（1）解:由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车行驶了150千米。

1千瓦时可行驶=6千米。

（2）解:设y=kx+b（k≠0)，把点（150，35）（200，10）代入，
得，∴，∴y=-0.5x+110.
当x=180时，y=-0.5×180+110=20.
答:当150≤r≤20时，函数表达式为y=-0.5x+110，当汽车行驶180千米时，蓄电池剩余电量为20千瓦时【解析】【分析】（1）观察函数图像可得到蓄电池剩余电量为35千瓦汽车行驶的路程；根据函数图像，直接列式计算可求出1千瓦的电量汽车行驶的路程。

（2）观察图像可知当150≤x≤200时，图像经过点（200，0），（150，35），利用待定系数法求出此函数解析式；然后将x=180代入求出对应的函数值，就可求得结果。

19.【答案】（1）解:这5期的集训共有56天。

小聪这5次测试的平均成绩是11.68秒。

（2）解:一类:结合己知的两个统计图的信息及体育运动实际，如，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致最费下降
三类:结合己知的两个统计图的信息，如:集训的时间为10天或14天时，成绩最好。

三类:根据己知的两个统计图中的其中一个统计图的信息，如；集训时间每期都增加。

【解析】【分析】（1）观察条形统计图，可得到这五期的集训的总时间；再结合折线统计图，利用平均数公式求出小聪这5次测试的平均成绩。

（2）结合两统计图中的时间，和测试成绩的变化情况进行分析即可。

20.【答案】（1）解:过点B作BO⊥DE，垂足为O，
则四边形ABOE是矩形，∠OBD=150°-90°=60°，
∴DO=BD·sin 60°=40×sin 60°=20 ，
∴OE= DO+OE=DO+AB=20 +5≈39.6 cm.
（2）解:下降了。

如图2，过点D作DF⊥l于点F，
过点C作CP⊥DF于点P，
过点B作BG⊥DF于点G，
被点C作CH⊥BG于点H，
则四边形PCHG为矩形，
∵∠CBH=60°，∴∠BCH=30°，
又∵∠BCD=165，∴∠DCP=45°，
∴CH=BCsin 60°=10 ，DP=CDsin 45°=10 .
∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB
=10 +10 +5.
∴下降高度，DE-DF=20 +5-10 -10 -5
=10 -10
≈3.2cm.
【解析】【分析】（1）过点B作BO⊥DE于点O，将要解决的问题转化到直角三角形中，易证四边形ABOE 是矩形，利用矩形的性质，可得到OB=AE，AB=OE，利用解直角三角形求出DO，再根据DE=DO+OE求出DE的长。

（2）过点B作BG⊥DF，过点C作CH⊥BG，CP⊥DF，将此问题转化到直角三角形和矩形中，根据已知条件分别求出∠BCH、∠DCP的度数，然后在两个直角三角形，利用解直角三角形求出CH、DP的长，从而可求出DF，然后求出下降的高度即DE-DF的值即可。

21.【答案】（1）解:连结OC.
∵CD与⊙O相切，
∵∠OCD=90°
又∵∠ADC=30°
∴OD=2OC=2，
∴AD=OA+OD=3
（2）解:一类:通过几何，代数方法的综合运用，解得所编制题目的答案。

如:加条件CP是直径，连结PD，设BD=x，PD=y，求y关于x的关系式.解答略。

二类:通过三角形全等、三角形相似，解得所编制题目的香案。

如:加条件∠ABC=60°，求证:△ACB≌△DCO解答略。

三类，通过线段、角度等的加减，解得所编制题目的答案.
如:加条件∠ABC=60°，求BC的长。

解答略。

【解析】【分析】（1）利用已知条件CD是圆O的切线，因此连接OC，可证得△OCD是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出OD的长，然后根据AD=OA+OD求出AD的长。

（2）此题是一道探究性的题目，根据两人的对话，可知小明给出的信息，添加条件后可以利用三角形全等，三角形相似来解决问题；小聪给出的信息，添加条件后，利用全等三角形的判定定理求解。

22.【答案】（1）解:如图1，S1=AB·BC=6×5=30.
如图2，过点C作CH⊥FG于点H，
则四边形BCHG为矩形，
△CHF为等腰直角三角形，
∴HG=BC=5，BG=CH，FH=CH，
∴BG=CH=FH=FG-HG=AE-HG
=6-5=1，
∴AG=AB-BG=6-1=5，
∴S2=AE·AG=6×5=30.
（2）解:能。

如图3，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M. FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，
则四边形AMFN，BCGM为矩形，
△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=CG.
设A.M=x，则BM=6-x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，
∴S=AM·FM=x(11-x)=-(x-5.5)2+30.25.
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25.
【解析】【分析】（1）由题意添加辅助线，过点F作CF⊥AE于点F，利用矩形的面积公式求出矩形ABCF 的面积，再过点E作EF⊥AE∠DC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，易证△CFH 是等腰直角三角形，再利用矩形的性质，分别求出AE、AG的长，然后求出矩形AEFG的面积。

（2）添加辅助线，在CD上取一点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，利用矩形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，可得到MG=BC，BM=CG，FG=CG，设AM=x，用含x的代数式表示出BM、FM，再利用矩形的面积公式，根据矩形AMFN的面积与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，就可求解。

23.【答案】（1）解:①AM=AD+DM=40，或AM=AD-DM=20.
②显然∠MAD不能为直角。

当∠AMD为直角时
AM2=AD2-DM2=302-102=800，∴AM=20
当∠ADM为直角时，
AM2=AD2+CM2=302+102=1000 ∴AM=10
（2）解:连结CD1由题意得∠D1AD2=90°，
AD1=AD2=30
∴∠AD2D1=45°，D1D2=30
又∵∠AD2C=135°，∴∠CD2D1=90°
∴CD1= =30
∵∠BAC=∠D2AD1=90°
∴<BAC-∠CAD2=∠D2AD1-∠CAD2.
即∠BAD2=∠CAD1
又∵AB=AC，AD1=AD2，∴△ABD2≌△ACD1
∴BD2=CD1=30
【解析】【分析】（1）①根据已知条件，分两种情况讨论，由AM=AD+DM或AM=AD-DM就可求出AM 的长；②分情况讨论：由题意可知∠DAM不能为直角，当∠AMD为直角时；∠ADM为直角时，分别利用勾股定理求出AM的长。

（2）连接CD，利用旋转的性质易证∠D1AD2=90°，AD1=AD2，利用解直角三角形求出D1D2，再证明△CD1D2是直角三角形，利用勾股定理就可求出CD1，然后利用SAS证明△ABD2≌△ACD1，根据全等三角形的性质，就可求出BD2的长.
24.【答案】（1）解:作FH⊥BC，MO⊥CD，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴FH=AB，MQ=BC，∴FH=MQ.
∵MN⊥EF，
∴∠HFE=∠NMO，∠FHE=∠MQN=90°，
∴△FHE≌△MQN，∴MN=EF，
∴k=1
（2）解:∵a:b=1:2，∴b=2a.
由题意得，2a<MN<a，a≤EF≤ a，
当MN取最长时，EF可取到最短，此时k的值最大，最大值为，
当MN取最短时，EF可取到最长，此时k的值最小，最小值为
（3）解:连结FN，ME
∵k=3，MP=EF=3PE，
∴，∴
∴△PNF∽△PME，
∴.ME∥NF.
设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m.
①当点N与点D重合时，如图2，点M恰好与点B重合，过点F作FH⊥BD于点H，
∵∠MPE=∠FPH=60°，
∴PH=2m，FH=2 m，HD=10m，
∴
②当点N与点C重合时，如图3，过点E作EH⊥MN于点H，
则PH=m，HE= m，
∴HC=PH+PC=13m，
∴tan∠HCE=
∵ME∥FC
∴∠MEB=∠FCB=∠CFD.
又∵∠B=∠D，
∴△MEB∽△CFD，∴
∴
综上所述，a:b的值为或
（1）添加辅助线，作FH⊥BC，MQ⊥CD，利用正方形的性质和矩形的性质，可证得FH=AB，【解析】【分析】
MQ=BC=AB，易得到FH=MQ，再证明∠HFE=∠NMQ，∠FHE=∠MQN，从而可证得△FHE≌△MQN，然后利用全等三角形的性质，就可得到MN=EF，即可得出k的值。

（ 2 ）由已知a与b的比值，可知b=2a，再根据题意可得到MN，EF的取值范围，要使MN最长，因此EF最短，即可得出k的最大值；要使MN最短，就可得到k的最小值，即可解答此题。

（ 3 ）连接FN，ME，由已知MP=EF=3PE，可转化为线段成比例，利用相似三角形的判定定理可证得
△PNE∽△PME，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，可得到NF：ME=PN：PM，由此设PE=2m，可表示出PF、MP、NP的长，再分情况讨论：当点N与点D重合时，点M恰好于点B重合，过点F作FH⊥BD于点H，利用解直角三角形就可用含m的代数式分别表示出PH，FH，HD，就可求出a与b的比值；当点N与点C重合时，过点E作EH⊥MN于点H，用含m的代数式分别表示出PH、HE、HC的长，再利用相似三角形的判定定理证明△MEB∽△CFD，然后利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出a与b的比值。