2019年高考一轮复习第五章平面向量及复数第五章第一节平面向量

第五章平面向量与复数
第一节平面向量及其应用
一考试说明
(1)平面向量的实际背景及基本概念
①了解向量的实际背景．
②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
③理解向量的几何表示．
(2)向量的线性运算
①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．
②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
③了解向量线性运算的性质及其几何意义．
(3)平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义．
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
(4)平面向量的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
二 考情分析
5．1 平面向量的概念及线性运算
知识点梳理 1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度或称模).AB →
的模记作
||AB →．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.
a ||
a 是一个与a 同向的单位向量．－a
|a |是
一个与a 方向相反_的单位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反_的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量
都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为起点
以第二个向量b 的终点B 为终点的向量OB →
就是a 与b 的和(如图1)． 推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →
.
图1
图2
②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则以A 为起点的对角
线AC →就是a 与b 的和(如图2)．在图2中， BC →＝AD →
＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质：
a ＋
b ＝b ＋a (交换律)；
(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(结合律)；
a ＋0＝0＋a ＝a .
(2)向量的减法
已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →
＝a －b ，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．
3．向量的数乘及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：
①||λa ＝|λ||a | ；
②当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝μ(λa )； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．两个向量共线定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa
基础题组5.1平面向量概念
1．[教材改编] (AB →－BM →)＋(BO →－CB →)＋OM →
＝________．
2．[教材改编] 若2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋13a －(b －c ＋3x )－b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则x ＝________． 3．[教材改编] M 是△ABC 边BC 的中点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →
＝________． 4．若四边形ABCD 满足AD →＝12
BC →
，则四边形ABCD 的形状是________．
5．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，且b 是非零向量，则a 与c 的关系是________． 6．已知向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝3，则|a ＋b |的范围是________．
题组三 常考题
7．[2012·辽宁卷改编] 已知两个非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则下面结论正确的是________．
①a ∥b ；② a ⊥b ；③||a ＝||b ；④a ＋b ＝a －b .
8．[2015·全国卷Ⅰ改编] 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，若以AB →，AC →表示AD →，则AD →
＝________． 9．[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．
易错点：共线向量、零向量概念不清致误 解析
1.AC → [解析] 原式＝(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →.
2.23a －2b ＋c [解析] 由已知等式，得x ＝2
3
a －2
b ＋
c . 3.12(a ＋b ) [解析] ∵AB →＋BM →＝AM →，AC →＋CM →＝AM →，CM →＝－BM →，∴AM →＝12(AB →＋AC →
)＝12(a ＋b )． 4．梯形 [解析] AD →＝12BC →表示AD →∥BC →，但|AD →|≠|BC →
|，所以四边形ABCD 是梯形．
5．共线向量 [解析] 由共线向量的概念知向量a 与向量c 共线．
6．[2，4] [解析] 当a 与b 方向相同时，有|a ＋b |＝4；当a 与b 方向相反时，有|a ＋b |＝2；当a 与b
不共线时，2<|a ＋b |<4.所以|a ＋b |∈[2，4]．
7．② [解析] 易知||a ＋b ＝||a －b 表示以a ，b 为邻边构成的平行四边形的对角线相等，故a ⊥b . 8．－13AB →＋43AC → [解析] AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →
)＝－13AB →＋43
AC →.
9.1
2 [解析] 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.
高考真题5.1平面向量概念
1. 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a
与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与
a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一
是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.
2. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →
，则( )
A.AD →＝－13AB →＋43AC →
B.AD →＝13AB →－43AC →
C.AD →＝43AB →＋13
AC →
D.AD →＝43AB →－13
AC →
解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →
)＝－13AB →＋43
AC →.故选A.
3. (2015·东北三省联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →
，则四边形ABCD 一定是( )
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．平行四边形
解：依题意得AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，则BC →＝AD →
，因此BC ∥AD 且BC ＝AD ，故四边形ABCD 一定是平行四边形．故选D.
4. 在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM →＝mAB →，AN →＝nAD →(mn ≠0)，若MN →∥BE →
，则n m
＝________.
解：MN →＝AN →－AM →＝nAD →－mAB →，BE →＝BC →＋ CE →＝AD →－12AB →，因为MN →∥BE →，且向量AD →和AB →
不共线，所以n 1
＝
－m －12
，解得n
m ＝2.故填2. 5.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12
(AB →＋AC →)，则|AP →
|＝________.
解：如图，
取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12
(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD →⇒AP →＝AD →
，
因此|AP →|＝|AD →
|＝1.故填1.
6．[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．
[答案] 1
2
[解析] 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝t ，
1＝2t ，解
得λ＝t ＝1
2
.
7.[2016·北京卷] 设a ，b 是向量，则“|a|＝|b|”是“|a ＋b|＝|a －b|”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] D 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为边组成的平行四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故选D.
关键知识点讲解及典型例题 类型一 向量的基本概念 例1. 给出下列命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；
③若AB →＝DC →
，则四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形； ④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →
； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．若 AB →
＝DC →
，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.
[总结反思] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是
方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关向量平行的概念和几何中直线与直线的平行是不同的，两个向量平行表示它们的有向线段平行或在一条直线
上．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．（6）零向量，其长度为零，方向不确定，在一些问题中要注意已知的向量是否是零向量的情况；
例2 下列命题中，正确的是________．(填序号)
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →
共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；
⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；
⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤. 类型二 向量的线性运算 一 平面向量的线性运算
例3. 在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →
＝b ，
试用a ，b 表示AG →
.
解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →
＋ 23(AE →－AB →)＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝13
AB →＋13AC →＝ 13a ＋13b .
解法二：由于G 是△ABC 的中线BE 与CF 的交点，所以G 为△ABC 的重心．延长AG 交BC 于H ， 由重心的性质知，AG →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋1
3
b .
[总结反思] (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向
量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．
例4 (1)设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则( )
A.PA →＋PB →＝0
B.PC →＋PA →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.PA →＋PB →＋PC →＝0 解：如图，
根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PC →＋PA →
＝0.故选B. (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB →＝2DC →，BE →＝EC →，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →
＝ ( ) A.23a ＋12b B.34a ＋12b C.34a －14b D.23a ＋14
b (1)B[解析] (1)由BE →＝EC →
知点E 为BC 的中点，取AD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥AB ， 且|EF →|＝|AB →|＋|DC →|2，所以FE →＝34a .又AF →＝12AD →＝12b ，所以AE →＝AF →＋FE →＝34a ＋1
2
b .
(3)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC →
D.12BC →
解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →
)
＝12(AB →＋AC →)＝AD →
.故选A. 二 利用向量的线性运算求参数
例5.(1)向量AB →，BC →，MN →在正方形网格中的位置如图4­24­1所示．若MN →＝λAB →＋μBC →
，其中λ，μ∈R ，
则
λ
μ
＝________．
图4­24­1
(2) 如图4­24­2所示，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近B 的三等分点．
若EF →＝mAB →＋nAD →
，则2m －3n ＝________．
图4­24­2
解析: 构造三角形，利用向量运算的三角形法则，即可将向量用已知向量表示出来，
从而求得相关参数．
(1)2 (2)3 [解析] (1)将MN →向上平移1个单位，可得MN →＝AB →＋12BC →
，
所以λ＝1，μ＝12，所以λ
μ
＝2.
(2)易知在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 是DC 的中点，所以EC →＝12
DC →
.
因为点F 为BC 上靠近B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →
，
所以m ＝12，n ＝－2
3
，即2m －3n ＝3.
[总结反思] 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形利用向量运算的三角形法则进行加
法或减法运算，即可求得相关参数．
类型三 向量共线的充要条件及其应用
例6 已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，
求证：向量OA →，OB →，OC →
的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ， 使得OC →＝λOA →＋μOB →
，且λ＋μ＝1. 证明：(1)先证必要性．
若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →， 所以存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →
)， 所以OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ， 则λ＋μ＝－m ＋1＋m ＝1，
即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →
， 且λ＋μ＝1. (2)再证充分性．
若OC →＝λOA →＋μOB →
，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，
所以OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →，
所以BC →∥BA →
，又BC 与BA 有公共点B ， 所以A ，B ，C 三点共线． 综合(1)(2)可知，原命题成立．
[总结反思] （1）证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个
向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →
.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →
外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．
（2）一个常用结论：A ，B ，C 三点共线⇔存在实数λ，μ，对任意一点O (O 不在直线BC 上)，
OA →＝λOB →＋μOC →
(λ＋μ＝1)．
例7 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，D
D ．A ，C ，D
解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →
，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.
(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.
解：因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b . 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0， 所以k 2
－1＝0.所以 k ＝±1.故填±1.
(3)如图，在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点．若AN →＝λAB →＋μAC →
，则λ＋μ的值为( )
A.12
B.13
C.1
4
D ．1 解：由N 为AM 的中点， 可得AN →＝12
AM →＝λAB →＋μAC →，
整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →
，由B ，M ，C 三点共线可得2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.故选A.
例8.经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q .设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →
，其中m ，n ∈R ，
求1m ＋1
n
的值．
解析 因为G 为重心，所以有OG →＝13(a ＋b )，结合P ，G ，Q 三点共线，即有PQ →＝λPG →
，利用两向量相
等，构建系数之间的关系，进而求解．
解：设OA →＝a ，OB →
＝b ，
则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →
＝n b －m a ，
PG →
＝OG →－OP →＝1
3
(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
－m a ＋13
b .
由P ，G ，Q 三点共线可知，存在实数λ使得PQ →＝λPG →
，
即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋1
3
λb ，
从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝1
3λ，
消去λ，得1m ＋1
n ＝3.
章节归纳：
1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：
(1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形；
(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/a ＝±b ； (3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行； (4)对于任意非零向量a ，
a
||
a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法； (5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；
(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量
共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．
2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完
美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减
向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．
4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法
运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．
5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：
(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的；
(2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线．
因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件 “a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件．
课时作业5．1 平面向量的概念及线性运算
1．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使
a |a |＝
b |b |
成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
解：由题意
a |a |＝b
|b |
表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线．故选C. 2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
解：因为c ∥d ，所以存在实数λ，使得c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1. 此时c ＝－d .所以c 与d 反向．故选D.
3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →
，实数λ∈(1，2)，则( )
A ．点M 在线段A
B 上 B ．点B 在线段AM 上
C ．点A 在线段BM 上
D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线
解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →
.又λ∈(1，2)，所以点B 在线段AM 上．故选B . 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，则( )
A.AO →＝2OD →
B.AO →＝OD →
C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →
解：因为D 为BC 的中点，所以由2OA →＋OB →＋OC →＝0得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即2OD →＝2AO →，所以AO →＝OD →
.故选B.
5．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若 AE →＝AD →＋μAB →，
则μ的取值范围是( ) A ．[0，1]
B ．[0，3]
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 解：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，
所以AB →＝2DC →.
因为点E 在线段CD 上， 所以DE →＝λDC →
(0≤λ≤1)． 且AE →＝AD →＋DE →，
又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →，即DE →＝2μDC →， 所以λ＝2μ.因为0≤λ≤1， 所以0≤μ≤1
2
.故选C.
6．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，
且 AM →＝xAB →，AN →＝yAC →
，x ，y ∈R ，则xy x ＋y
的值为( )
A ．3 B.13 C ．2 D.1
2
解法一：由点G 是△ABC 的重心，知AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →
)．又M ，N ，G 三点共线(A 不在直
线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得 AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λxAB →＋ μyAC →＝13(AB
→
＋AC →
)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，
于是得1x ＋1y ＝3，所以xy x ＋y ＝11x ＋
1y
＝1
3
.
解法二：特殊化法，取MN ∥BC ，易得
xy x ＋y ＝1
3
.故选B. 7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD →＝12AB →，BE →＝23
BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，
则λ1＋λ2的值为________．
解：DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－ AB →
)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，
因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
，所以λ1＝－16，λ2＝23，
从而λ1＋λ2＝12.故填1
2
.
8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R ＋)，
则m n
＝________. 解：如图，
设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →
，因为∠AOC ＝30°，
所以|OC →|cos30°＝|OF →|＝m|OA →|＝m ， |OC →|sin30°＝|OE →|＝n|OB →
|＝3n ， 两式相除得
m
3n
＝
|OC →
|cos30°
|OC →|sin30°
＝1tan30°＝3，所以m n ＝3.另外此题也可用坐标求解．故填3.
9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且 AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →
＝b ，
试用a ，b 表示BC →和MN →
.
解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →
＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .
MN →
＝MD →＋DA →＋AN →
＝－1
4a ＋(－b )＋12a ＝14
a －
b .
10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．
(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →
＝ －8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线； (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →
＝ 2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． 解：(1)证明：因为AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →
＝－8e 1－2e 2， 所以AC →＝AB →＋BC →
＝4e 1＋e 2＝ －12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，
所以AC →与CD →
共线．
又因为AC →与CD →
有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →
＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝ 3e 1－2e 2， 因为A ，C ，D 三点共线，
所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，
得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λ
k ，
解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为4
3.
11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →
＝b .试用a 和b 表示
向量OM →
.
解：因为A ，M ，D 三点共线， 所以OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA → ＝1
2λ1b ＋(1－λ1)a ，① 因为C ，M ，B 三点共线，
所以OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →
＝λ2b ＋1－λ24a ，②
由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1
＝λ2，
1－λ1
＝1－λ
2
4
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ
1
＝6
7，λ
2＝37
. 故OM →＝1
7a ＋37
b .
设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈
R )，且1λ＋1μ
＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法
正确的是( )
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →
(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，
若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →
⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，
若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒
1λ＋1
μ
＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒
1λ＋1
μ
＜2，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．故选D.
5．2 平面向量的基本定理及坐标表示
知识点梳理
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．
我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．向量的夹角
(1)已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB ＝θ，叫做向量a 与b 的夹角(如图)
cos θ＝a ·b
|a||b |
．
(2)向量夹角θ的范围)0°≤θ≤180°．a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°. (3)如果向量a 与b 的夹角是90°，我们就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解．
(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量
a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对(x ，y )叫做向量a
的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为(x ，y )．显然，i ＝(1，0)， j ＝(0，1)，0＝(0，0).
4．平面向量的坐标运算
(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝x 1±x 2，y 1±y 2). (2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1). (3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )_.
(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0。

基础演练5．2 平面向量的基本定理及坐标表示
1．[教材改编] 已知AB →
＝(－2，－5)，B (3，－7)，则点A 的坐标为________．
2．[教材改编] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，c ＝(3，4)，且c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 3．[教材改编] 已知OA →＝a ，OB →
＝b ，若C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C
较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD →
为________．
4．已知A (m ，2)，B (2，n )，若BA →
＝(3，4)，则m ＝________，n ＝________．
5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________．
6．给出下列向量组：①(2，1)，(－4，－2)；②(0，1)，(1，2)；③(1，4)，(2，5)．其中能够作为基底的
序号是________． 题组三 常考题 7．[2015·北京卷] 在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________，y ＝________． 8. [2016·全国卷Ⅱ改编] 已知向量a ＝(m ，－2)，b ＝(1，m －3)，且a ∥b ，则m ＝________ .
易错点：利用向量AB →
的坐标计算时忽视终点坐标减去起点坐标；平面向量共线的坐标形式记忆不准；利
用平面向量基本定理的前提是基底不能共线． 解析：
1．(5，－2) [解析] 设点A 的坐标为(x ，y )，由AB →＝OB →－OA →
，
得(－2，－5)＝(3，－7)－(x ，y )＝(3－x ，－7－y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝3－x ，－5＝－7－y ， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2， 故点A 的坐标为(5，－2)． 2．1 [解析] 因为c ＝λa ＋μb ，所以(3，4)＝λ(1，2)＋μ(2，3)＝(λ＋2μ，2λ＋3μ)，得
⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝3，2λ＋3μ＝4， 得⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以λ＋μ＝1. 3.49a ＋59b [解析] 易知OD →＝OA →＋AD →，AD →＝AC →＋CD →＝13AB →＋13CB →＝13AB →＋29AB →＝59
AB →. ∵AB →＝b －a ，∴AD →＝59b －59a ，则OD →
＝a ＋⎝⎛⎭⎫59b －59a ＝49a ＋59b . 4．5 －2 [解析] 易知BA →
＝(m －2，2－n )＝(3，4)，可得m ＝5，n ＝－2. 5．－1 [解析] a ＋b ＝(1，m －1)．
因为(a ＋b )∥c ，所以1×2＝－1×(m －1)，解得m ＝－1. 6．②③ [解析] 易知①中两向量共线，②③中两向量不共线．
7.12 －16 [解析] 易知在△ABC 中，MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 8．1或2 [解析] 依题意m (m －3)－(－2)×1＝0，即m 2－3m ＋2＝0，得m ＝1或m ＝2.
高考真题5．2 平面向量的基本定理及坐标表示
1. (2015·全国Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7，4)
C ．(－1，4)
D ．(1，4)
解：AB →＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.
2. 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)线性表示出来的是( )
A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)
B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)
C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)
解：一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的一组基底，它能表示出平面内的其他向量．A 中，e 1＝0，且e 2与a 不共线；C ，D 中的两个向量都是共线向量且不与a 共线，故表示不出a .B 中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可以表示出a .故选B. 3. 已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )
A ．－ 2
B. 2
C ．－2或 2
D ．0
解：由a ∥b 知1×2－m 2
＝0，所以m ＝± 2.故选C.
4. (2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．
解：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9， －8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，
故m －n ＝－3.故填－3.
5. 已知两点A (1，0)，B (1，1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限内，且∠AOC ＝135°，
设OC →＝－OA →＋λOB →
(λ∈R )，则λ的值为________．
解：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝ －x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，
则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋λ，－a ＝λ， 消掉a 得λ＝12.故填1
2.
6.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →
，则|QF |＝( ) A.72 B ．3 C.5
2
D ．2 [解析] B 由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (x 0，y 0)，则FP ＝(－4，t )，FQ →
＝(x 0－2，y 0)， 由FP ＝4FQ ，得－4＝4(x 0－2)，解得x 0＝1，根据抛物线定义得|QF |＝x 0＋2＝3.
7.[2015·北京卷] 在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝_____，y ＝_____．
[答案] 12 －1
6
[解析] 在△ABC 中，MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16
AC →
.
8．[2015·江苏卷] 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的
值为________． [答案] －3
[解析] 因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝2，
n ＝5，故
m －n ＝－
9.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF
与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →
，则|QF |＝( ) A.72 B ．3 C.5
2
D ．2 [解析] B 由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (x 0，y 0)，则FP ＝(－4，t )，FQ →
＝(x 0－2，y 0)， 由FP ＝4FQ ，得－4＝4(x 0－2)，解得x 0＝1，根据抛物线定义得|QF |＝x 0＋2＝3. .
关键知识点及典型例题讲解
类型一 向量共线充要条件的坐标表示
例1 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．
(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值； (3)若n ≠0，且m a ＋n b 与a －2b 共线，求m n
的值． 解：(1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，
2m ＋n ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.
(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－16
13
.
(3)m a ＋n b ＝(3m －n ，2m ＋2n )，
a －2
b ＝(5，－2)，
由题意得－2(3m －n )－5(2m ＋2n )＝0，
解得m n ＝－12
.
[总结反思]：
解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，
b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－ x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数
λ，使b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
例2 (1)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________．
解：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 因为(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，
所以存在唯一的实数λ使得⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧8－2x ＝λ（16＋x ），12x －2＝λ（x ＋1），
解得x ＝4(x >0)．故填4.
(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k ＝________.
解：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线.AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →
＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．因为AB →∥AC →，AC →
≠0，所以1×(k ＋1)－ 2k
＝0，解得k ＝1.故填1.
类型二 平面向量基本定理及其应用 例3 在
ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，AE →
＝ 13
EB →，BF →＋2CF →＝0，设AB →＝a ，AD →
＝b .
(1)设DB →＝λDE →＋μDF →
(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值； (2)设AF 与DE 交于点G ，用a ，b 表示AG →
. 解：(1)因为AE →＝13EB →，AB →＝AE →＋EB →
＝a,
所以AE →＝14a ，所以DE →＝AE →－AD →＝1
4a －b .
因为BF →＋2CF →＝0，BC →＝AD →
＝b ， 所以CF →
＝－13
b ，
所以DF →＝DC →＋CF →
＝a －13b ，
DB →
＝DC →＋DA →
＝a －b .
因为DB →＝λDE →＋μDF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋μa －⎝
⎛⎭⎪⎫λ＋13μb ，
即a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋μa －⎝
⎛⎭⎪⎫λ＋13μb . 由于a ，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋μ＝1，λ＋13μ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝8
11
，μ＝911，
则λ＋μ＝17
11
.
(2) 设DG →＝mDE →，AG →＝nAF →，m ，n ∈R ，则 DG →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b ＝1
4
m a －m b ，AG →＝n (AD →＋DF →)＝n (b ＋a －13b )
＝n a ＋2n 3b ，由于AG →＝AD →＋DG →
＝b ＋ 14m a －m b ＝14m a ＋(1－m )b ，即n a ＋2n 3b ＝14m a ＋ (1－m )b .
由于a ，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧n ＝14m ，2n 3＝1－m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6
7
，n ＝314.
则AG →＝14×67a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－67b ＝314a ＋17b .
[总结反思]应用平面向量基本定理的关键点：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．(2)
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．
例4。

(1)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →
＝( )
A.13a ＋2
3
b B.23a ＋13b C.35a ＋4
5
b D.45a ＋3
5
b 解法一：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理，得AD DB ＝AC BC ＝
|b ||a |＝2，所以AD →＝2DB →＝23
AB →
.
所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →
)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13
b .
解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令 CB ＝1，CA ＝2，AB ＝3，则∠DCB ＝30°，所以BD ＝33
.故BD →＝13BA →，CD →＝CB →＋BD →
＝a ＋13(b － a )＝23a ＋13b .故选B.
(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ
μ
＝________.
解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，
所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，
根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩
⎪
⎨⎪⎧λ＝－2，
μ＝－1
2
. 所以λ
μ＝4.故填4. 类型三 求向量的坐标
例5 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．
解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )． (1)若四边形ABCD 1为平行四边形， 则AD 1→＝BC →，
且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →
＝(－2，－5)． 所以⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5. 所以D 1(－3，－5)．
(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→
＝(x －1，y ＋5)．
所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5.
所以D 2(5，－5)．
(3)若四边形ACBD 3为平行四边形， 则AD 3→＝CB →，
且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →
＝(2，5)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5. 所以D 3(1，5)．
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 (－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．
[总结反思] 平面向量坐标运算的技巧：(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知
有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．
例6 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13
BC →
.
(1)求E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →
.
解：(1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意得AC →＝(2，2)，BC →
＝(－2，3)， AB →
＝(4，－1)．
所以AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.
因为AE →
＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝(x 1＋1，y 1)，
BF →
＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(x 2－3，y 2＋1)．
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1
＋1＝23，y 1
＝23， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1
＝－1
3，y 1
＝23.
⎩⎪⎨
⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，
y 2＝0.
所以E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，0. (2)证明：由(1)知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，0，
所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23，且AB →
＝(4，－1)，
又4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，所以EF →∥AB →.
章节归纳小结
1．对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐
标表示的基础．
(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．
(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一
平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．
(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且 λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0. 2．对两向量夹角的理解
两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同． 3．向量的坐标表示。