【精选3份合集】2020-2021年苏州高新区XX名校中学九年级上学期期末学业质量监测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，ABC ∆的外接圆O 的半径是1.若45C ∠=︒，则AB 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．22
D ．23
【答案】A 【分析】由题意连接OA 、OB ，根据圆周角定理求出∠AOB ，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：连接OA 、OB ，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=90°，
所以AB 22112+=
故选：A.
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 2．若ABC ∆∽DEF ∆，10AB =，12BC =，5DE =，则EF 的长为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【分析】利用相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题.
【详解】解：∵△ABC ∽△DEF ，10AB =，12BC =，5DE =， ∴
AB BC DE EF
=， ∴10125EF =， ∴EF=6.
故选C.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，属于中考基础题．3．下列各组图形中，是相似图形的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的概念：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，直接判断即可得出答案，
【详解】解：A．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
B．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
C．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
D．形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是相似图形的定义，理解掌握概念是解题的关键.
4．若
3
4
y
x
=，则
x y
x
+
的值为（）
A．1 B．4
7
C．
5
4
D．
7
4
【答案】D
【解析】∵
3
4
y
x
=，
∴x y
x
+
=
43
4
+
=
7
4
，
故选D
5．下列事件是必然事件的是（）
A．某人体温是100℃B．太阳从西边下山C．a2+b2＝﹣1 D．购买一张彩票，中奖【答案】B
【解析】根据必然事件的特点：一定会发生的特点进行判断即可
【详解】解：A 、某人体温是100℃是不可能事件，本选项不符合题意；
B 、太阳从西边下山是必然事件，本选项符合题意；
C 、a 2+b 2＝﹣1是不可能事件，本选项不符合题意；
D 、购买一张彩票，中奖是随机事件，本选项不符合题意.
故选：B ．
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．已知反比例函数y=12m x -的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜0
B ．m ＞0
C ．m ＜12
D ．m ＞12 【答案】D
【解析】试题解析：根据题意，在反比例函数y=
12m x -的图象上， 当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，
故可知该函数在第二象限时，y 随x 的增大而增大，
即1-2m ＜0，
解得，m ＞
12
． 故选D ．
7．如图，P 是正ABC ∆内一点，若将PBC ∆绕点B 旋转到'P BA ∆，则'PBP ∠的度数为（ ）
A ．45
B ．60
C ．90
D ．120
【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得：△PBC ≌△P ′BA ，故∠PBC ＝∠P ′BA ，即可求解．
【详解】由已知得△PBC ≌△P ′BA ，所以∠PBC ＝∠P ′BA ，
所以∠PBP ′＝∠P ′BA ＋∠PBA ，
＝∠PBC ＋∠PBA ，
＝∠ABC ，
＝60°．
故选：B ．
【点睛】
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 8．已知二次函数y = ax 2+ 2ax + 3a 2+ 3（其中x 是自变量），当x ≥ 2时，y 随x 的增大而增大，且-3 ≤ x ≤ 0时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）．
A ．1或2-
B 或
C
D ．1 【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-3 ≤ x ≤ 0时时，y 的最大值为9，可得x=-3时，y=9，即可求出a ．
【详解】∵二次函数y = ax 2+ 2ax + 3a 2+ 3 (其中x 是自变量)， ∴对称轴是直线212a x a
=-=-， ∵当x ⩾2时，y 随x 的增大而增大，
∴a>0，
∵-3 ≤ x ≤ 0时，y 的最大值为9，
又∵a>0，对称轴是直线212a x a
=-=-， ()()3101--->--，
∴在x=-3时，y 的最大值为9，
∴x=-3时, 296339y a a a =-++=，
∴220a a +-=，
∴a=1,或a=−2(不合题意舍去).
故选D.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的基本性质即可解答.
9．已知关于x 的二次方程2(12)210k x x ---=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k ≤
B ．1k ≤且12k ≠
C ．0k ≥
D ．0k ≥且12
k ≠ 【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式让∆=b 2−4ac ≥1，且二次项的系数不为1保证此方程为一元二次方程．
【详解】解：由题意得：2(2)4(12)(1)0---⨯-≥k 且120k -≠，
解得：1k ≤且12k ≠
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，方程有2个实数根应注意两种情况：∆≥1，二次项的系数不为1． 10．如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【解析】观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.
【详解】左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1． 故选A ．
【点睛】 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
11．在△ABC 中，∠C＝90°，sinA ＝4
5，则tanB 等于( )
A ．43
B ．3
4
C ．35
D ．4
5
【答案】B
【解析】法一，依题意△ABC 为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=45，∵22cos sin 1B B +=，
∴sinB=3
5,∵tanB=sin cos B B =3
4故选B
法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=3
4b a 故选B
12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE ＝65°，∠ABC ＝68°，则∠A 的度数为（ ）.
A ．112°
B ．68°
C ．65°
D ．52°
【答案】C 【分析】由四边形ABCD 内接于⊙O ，可得∠BAD+∠BCD ＝180°，又由邻补角的定义，可证得∠BAD ＝∠DCE ．继而求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠BAD+∠BCD ＝180°，
∵∠BCD+∠DCE ＝180°，
∴∠A ＝∠DCE ＝65°．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，已知在ABC ∆中，AB AC =.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D .若40BAC ∠=︒，则AD 的度数是________度．
【答案】1
【分析】首先连接AD ，由等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的半圆交BC 于点D ，可得∠BAD=∠CAD=20°，
即可得∠ABD=70°，继而求得∠AOD 的度数，则可求得AD 的度数．
【详解】解：连接AD 、OD ，
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD ⊥BC ，
∵AB=AC ， ∴2102BAD CAD BAC BD DC ，
∴∠ABD=70°，
∴∠AOD=1°
∴AD 的度数1°；
故答案为1．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 14．在一个不透明的袋子中放有a 个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a 的值约为_____．
【答案】1．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：
60.25a
， 解得：a ＝1，
经检验：a ＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的知识点是事件的概率问题，弄清题意，根据概率公式列方程求解比较简单.
15．数据8，8，10，6，7的众数是__________．
【答案】1
【分析】根据众数的概念即可得出答案．
【详解】众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的1出现次数最多，所以众数是1
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键．
16．如图，在△ABC 中，∠BAC=75°，以点A 为旋转中心，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′ 的度数是______________.
【答案】105°
【分析】根据旋转的性质得AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AB′B=∠ABB′，然后根据平行线的性质得到∠AB′B=∠C′AB′=75°，于是得到结论．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，
∴AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，∠C′AB′=∠CAB=75°，
∴△AB′B是等腰三角形，
∴∠AB′B=∠ABB′
∵BB'∥AC，
∴∠A B′B=∠C′AB′=75°，
∴∠C′AC=∠B′A B =180°-2×75°=30°，
∴∠BAC′=∠C′AC+∠BA C =30°+75°=105°，
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
17．已知：如图，点P是边长为2的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M是AB边的中点，且+的最小值是_______．
∠=︒，则MP PB
60
BAD
3
【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DM，则DM就是PM+PB的最小值，求出即可．
【详解】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DM就是PM+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD 是等边三角形，
∵AE=BE ，
∴DE ⊥AB （等腰三角形三线合一的性质）
在Rt △ADE 中，DM=22AD AM －=2221=3－．
故PM+PB 的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是最短线路问题及菱形的性质，由菱形的性质得出点D 是点B 关于AC 的对称点是解答此题的关键．
18．若代数式5x －5与2x －9的值互为相反数，则x ＝________.
【答案】2
【解析】由5x －5的值与2x －9的值互为相反数可知：5x －5＋2x －9＝0，解此方程即可求得答案.
【详解】由题意可得：5x －5＋2x －9＝0，移项，得7x ＝14，系数化为1，得x ＝2.
【点睛】
本题考查了相反数的性质以及一元一次方程的解法.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．某商业银行为提高存款额，经过最近的两次提高利息，使一年期存款的年利率由1.96%提高至2.25%，平均每次增加利息的百分率是多少？（结果写成a%的形式，其中a 保留小数点后两位）
【答案】平均每次增加利息的百分率约为7.14%
【分析】设平均每增加利息的百分率为x ，则两次增加利息后，利率为1．96%（1+x ）2，由题意可列出方程，求解x 即可．
【详解】解：设平均每增加利息的百分率为x ，由题意，得
1.96%（1+x ）2＝
2.25%
解方程得x ＝0.0714或-2.0714（舍去）
故平均每次增加利息的百分率7.14%
答：平均每次增加利息的百分率约为7.14%．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握增长率问题的公式是解决此题的关键．
20．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1；
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1．
【答案】（1）详见解析；（1）详见解析.
【分析】（1）分别作出A，C的对应点A1，C1即可得到△A1BC1；
（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可得到△A1B1C1．
【详解】（1）如图所示，△A1BC1即为所求．
（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，熟练掌握位旋转变换的性质是解本题的关键．
21．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF．
【答案】证明见解析.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，继而可利用ASA判定△AOE≌△COF，继而证得OE=OF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF ，
在△AOE 和△COF 中，
OAE OCF OA OC
AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），
∴OE=OF ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，半圆O 的直径2AB =，将半圆O 绕点B 顺时针旋转45︒得到半圆O '，半圆O '与AB 交于点P ．
（1）求AP 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】（1）AP=22-
；（2）142S π=+阴影． 【分析】（1）先根据题意判断出△O ′PB 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB 的长，进而可得出AP 的长；
（2）由题意根据O PB O A P S S S '∆''=+阴影扇形，直接进行分析计算即可．
【详解】解：（1）连接O P '，
45OBA '∠=︒，O P O B ''=，
O PB ∴'∆是等腰直角三角形，
2PB BO ∴=，
22AP AB BP ∴=-=-．
（2）阴影部分的面积为21111114242
O PB O A P S S S ππ'∆''=+=
⨯⨯+⨯⨯=+阴影扇形． 【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质进行分析作答. 23．如图所示，AD 、BC 为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m ，小明站在P 处，小亮站在Q 处，小明在路灯C 下的影长为2m ，已知小明身高1.8m ，路灯BC 高9m ． ①计算小亮在路灯D 下的影长；
②计算建筑物AD 的高．
【答案】① 1.5BQ =；②12DA =．
【分析】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．
【详解】①∵EP AB ⊥，CB AB ⊥，
∴90EPA CBA ∠=∠= ∵EAP CAB ∠=∠，
∴EAP CAB ∽
∴
EP AP BC AB
= ∴1.829AB = ∴10AB =
102 6.5 1.5BQ =--=；
②∵HQ AB ⊥，DA AB ⊥，
∴90HQB DAB ∠=∠=
∵HBQ DBA ∠=∠，
∴BHQ BDA ∽
∴
HP BQ DA AB
= ∴1.8 1.510DA =
∴12DA =．
【点睛】
本题考查了相似三角形，解题的关键是找到相似三角形利用相似三角形的对应边成比例进行求解. 24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD ．
(1)求证：BD 平分∠ABC ；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD ．
【答案】 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）由OD ⊥AC OD 为半径，根据垂径定理，即可得CD AD =，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD 平分∠ABC ；
（2）首先由OB=OD ，易求得∠AOD 的度数，又由OD ⊥AC 于E ，可求得∠A 的度数，然后由AB 是⊙O 的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD ．
【详解】（1）∵OD ⊥AC OD 为半径，∴CD AD =，∴∠CBD=∠ABD ，
∴BD 平分∠ABC ；
（2）∵OB=OD ，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD ⊥AC 于E ，∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA ﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，在Rt △ACB 中，BC=
12AB ， ∵OD=12
AB ， ∴BC=OD ．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y ax b =+的图象与反比例函数2k y x
=
的图象交于点()A 1,2和()B 2,m -． ()1求一次函数和反比例函数的表达式；
()2请直接写出12y y >时，x 的取值范围；
()3过点B 作BE //x 轴，AD BE ⊥于点D ，点C 是直线BE 上一点，若AC 2CD =，求点C 的坐标．
【答案】()1反比例函数的解析式为22y x
=，一次函数解析式为：1y x 1=+；()2当2x 0-<<或x 1>时，12y y >；()3当点C 的坐标为()13,1-或)
31,1-时，AC 2CD =． 【分析】(1)利用待定系数法求出k ，求出点B 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD ，分点C 在点D 的左侧、点C 在点D 的右侧两种情况解答．
【详解】()1点()A 1,2在反比例函数2k y x
=的图象上， k 122∴=⨯=，
∴反比例函数的解析式为22y x
=， 点()B 2,m -在反比例函数22y x
=的图象上， 2m 12
∴==--， 则点B 的坐标为()2,1--，
由题意得，{a b 2
2a b 1+=-+=-， 解得，{a 1
b 1==，
则一次函数解析式为：1y x 1=+； ()2由函数图象可知，当2x 0-<<或x 1>时，12y y >；
()3AD BE ⊥，AC 2CD =，
DAC 30∠∴=，
由题意得，AD 213=+=，
在Rt ADC 中，CD tan DAC AD ∠=，即CD 33=
解得，CD 3=， 当点C 在点D 的左侧时，点C 的坐标为()
13,1--，
当点C 在点D 的右侧时，点C 的坐标为()31,1+-，
∴当点C 的坐标为()13,1--或()31,1+-时，AC 2CD =．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
26．如图，坡AB 的坡比为1：2.4，坡长AB=130米，坡AB 的高为BT ．在坡AB 的正面有一栋建筑物CH ，点H 、A 、T 在同一条地平线MN 上．
（1）试问坡AB 的高BT 为多少米？
（2）若某人在坡AB 的坡脚A 处和中点D 处，观测到建筑物顶部C 处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH ．3≈1.73，2≈1.41）
【答案】（1）坡AB 的高BT 为50米；（2）建筑物高度为89米
【解析】试题分析:(1)根据坡AB 的坡比为1:2.4,可得tan ∠BAT=
12.4BT AT =,可设TB=h,则AT=2.4h,由勾股定理可得()2222.4130h h +=,即可求解,(2) 作DK ⊥MN 于K,作DL ⊥CH 于L, 在△ADK
中,AD=12AB=65,KD=12
BT=25,得AK=60,在△DCL 中,∠CDL=30°,令CL=x,得3x , 易知四边形DLHK 是矩形,则LH=DK,LD=HK,在△ACH 中,∠CAH=60°,CH=x+25,得3
3603x =,解得30312.564.4x =≈,则CH=64.42589.489+=≈.。