课时规范练53 空间直线、平面的垂直--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂
直.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
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(1)证明 过点E作EE'⊥AB于点E',过点F作FF'⊥BC于点F',连接E'F'.
∵底面ABCD是边长为8的正方形,△EAB,△FBC均为正三角形,且它们所在
B1BDD1 的距离,所以-1 1 = -1 1 =
确.故选 ABD.
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1
×1×
3
2×
2
2
=
1
,为定值,D
3
正
7. (2022·全国甲,文19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装
盒.包装盒如图所示,底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,
∴PA⊥平面ABCD.
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(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABED为平行四边形.
∵AB⊥AD,∴四边形ABED为矩形,
∴BE⊥CD,AD⊥CD.
∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.
又PA,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点,
∴PD∥EF,∴CD⊥EF.
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又CD⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF,∴CD⊥平面BEF.
∵CD⊂平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
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5.(2024·江西九江模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D为CC1的中
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解析 连接A1C1,如图所示.因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,则
B1D1⊥CC1.若A1C1⊥B1D1,又A1C1∩CC1=C1,CC1,A1C1⊂平面A1CC1,所以
B1D1⊥平面A1CC1,因为A1C⊂平面A1CC1,所以A1C⊥B1D1.
故当 EF⊥BD 时,EF 最小,△AFC 的面积最小,此时
·
EF=

由(1)知,AC⊥平面 BED,∴AC⊥BD.
又 EF∩AC=E,∴BD⊥平面 AFC.
2
在 Rt△BEF 中,BF= -
∴三棱锥 F-ABC 的体积
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2
=
3
3- 4
=
3
.
2
1
1 1
的平面都与平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且
EE'=FF',
∴四边形EE'F'F是平行四边形,
则EF∥E'F'.
∵E'F'⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
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(2)解 过点G,H分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于点G',H',连接
F'G',G'H',H'E',AC.
由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA的中点,六面体EFGH-E'F'G'H'为长方
体,故该包装盒由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.
∵底面ABCD是边长为8的正方形,
∴AC= 82 + 82 =8 2(cm),
1
E'F'=H'E'=2AC=4
2(cm),
PBD与平面PB1D1的交线.下列结论中正确的是( ABD )
A.m⊥PQ
B.m∥平面B1D1Q
C.m⊥平面A1ABB1
D.四棱锥P-B1BDD1的体积为定值
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解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为四边形BB1D1D为矩形,所以
BD∥B1D1,又BD⊂平面PBD,B1D1⊄平面PBD,所以B1D1∥平面PBD,又B1D1⊂
平面PB1D1,且平面PBD与平面PB1D1=m,所以m∥B1D1∥BD.对于A,因为四
边形ABCD为正方形,则AC⊥BD,又AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,则
BD⊥AA1,因为AC∩AA1=A,AC,AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥平面AA1C1C,又
m∥BD,所以m⊥平面AA1C1C,又PQ⊂平面AA1C1C,所以m⊥PQ,A正确;对于
④错误.
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2.(2024·辽宁辽阳模拟)在四面体ABCD中,△BCD为正三角形,AB与平面
BCD不垂直,则下列说法正确的是( A )
A.AB与CD可能垂直
B.A在平面BCD内的射影可能是B
C.AB与CD不可能垂直
D.平面ABC与平面BCD不可能垂直
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(1)证明 ∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.
又E为AC的中点,∴BE⊥AC.
∵AD=CD,且E为AC的中点,
∴DE⊥AC.
又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.
∵AC⊂平面ACD,
∴平面BED⊥平面ACD.
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(2)解 ∵AB=BC=2,∠ACB=60°,
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设 BC=t,则 BB1= 2t,tan∠BB1C=
2
1
2

,CD= CC1= ,tan∠CBD=
2
2
2

=
2
,
2
∴∠BB1C=∠CBD.
∵∠BB1C+∠B1CB=90°,
∴∠CBD+∠B1CB=90°,故B1C⊥BD.
∵B1C⊥AB,B1C⊥BD,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,且AB∩BD=B,知B1C⊥
点,BB1= 2BC .
(1)证明:平面AB1C⊥平面ABD;
(2)若AB=BD= 3 ,求三棱锥B1-ABD的体积.
(1)证明 ∵ABC-A1B1C1为直三棱柱,
∴AB⊥BB1.
又AB⊥BC,BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BB1C1C,
∴AB⊥平面BB1C1C.
∵B1C⊂平面BB1C1C,∴B1C⊥AB.
平面ABD.
又B1C⊂平面AB1C,
∴平面AB1C⊥平面ABD.
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(2)解 由 BC2+CD2=BD2,得
∴△BB1D 的面积△
1
=
2

t2+ 2 =3,解得
1
BB1·
BC=
2
t= 2.
2.
由(1)知 AB⊥平面 BB1C1C,
∴三棱锥 A-BB1D 的体积-1 =
∴△ABC为等边三角形.
∴AC=2,BE= 3.
∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴DE=1.
又BD=2,∴BE2+DE2=BD2,
即DE⊥BE.
连接EF,∵点F在棱BD上,∴EF⊂平面BED.由(1)知,AC⊥平面BED,从而
AC⊥EF,于是
1
S△AFC=2AC·
EF=EF.
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影是点B,则AB与平面BCD垂直,与已知矛盾,B错误.平面ABC与平面BCD可
能垂直,D错误.
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3.(2024·上海闵行模拟)如图,对于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,要使
A1C⊥B1D1,则在四边形ABCD中,满足的条件可以是 A1C1⊥B1D1 .(只需写
出一个正确的条件)
3 3
V= S△ACF·
BF= × ×2× ×
3
3 2
2
2
=
3
.
4
=
3
.
2
本 课 结 束
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4.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面
ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥平面ABCD;
(2)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩
平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,
1

3 △1
·AB=
∴三棱锥 B1-ABD 的体积1 - = -1 =
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6
.
3
6
,
3
综合
提升练
6.(多选题)(2024·广东珠海高三检测)如图,在棱长为1的正方体ABCD-
A1B1C1D1中,P为棱CC1上异于端点的动点,Q为棱AA1的中点,直线m为平面
2025
北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
课时规范练53
空间直线、平面的垂直
Байду номын сангаас
基础
巩固练
1.(2024·陕西咸阳模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,
有以下四个命题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α
②若m⊂α,m⊥β,则α⊥β
③若m⊥α,m⊥β,则α∥β
④若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B,因为m∥B1D1,m⊄平面B1D1Q,B1D1⊂平面B1D1Q,所以m∥平面B1D1Q,B正
确;对于C,假设m⊥平面A1ABB1,即B1D1⊥平面A1ABB1,与正方体的性质矛
盾,C错误;对于D,因为CC1∥BB1,又BB1⊂平面B1BDD1,CC1⊄平面B1BDD1,所
以CC1∥平面B1BDD1,所以点P到平面B1BDD1的距离等于点C到平面
EE'=AEsin 60°=4 3(cm),
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∴该包装盒的容积为 V=VEFGH-E'F'G'H'+4VA-EE'H'H
=E'F'×E'H'×EE'+4×
1
1
×S 四边形 EE'H'H× 4AC
3
=4 2 ×4 2 ×4 3+4×
1 2 3 4 5 6 7 8
1
×4
3
2 ×4 3 ×2 2 =
640 3
3
(cm
).
3
创新
应用练
8.(2022·全国乙,文18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,
∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.
(1)证明:平面BED⊥平面ACD;
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱
锥F-ABC的体积.
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其中正确的命题是( A )
A.②③
B.②④
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C.①③
D.①②
解析 若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,命题①错误;由面面垂直的判定定理可知,
命题②正确;垂直于同一条直线的两个平面互相平行,命题③正确;若
α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m,n可能相交,可能平行,可能异面,不一定互相垂直,命题
解析 当四面体ABCD为正四面体时,如图所示,点A在平面BCD上的射影为
点O,即OA⊥平面BCD.由于CD⊂平面BCD,所以OA⊥CD.延长BO交CD于
点F,则CD⊥BF.由于AO∩BF=O,AO,BF⊂平面ABO,所以CD⊥平面ABO.由
于AB⊂平面ABO,所以AB⊥CD.所以A正确,C错误.若点A在平面BCD内的射