圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)

1．（福建卷）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)2．（湖南卷）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )3．（辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．(陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.2336. (全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A （B ）12（C ）2 （D 1 7. （广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）238.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+9．[全国]设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 10．（ 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32 C ．22 D ．2311．（ 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7312.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞13.（江西卷 7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1) B ．1(0,]2C ．(0,2D ．,1)2 14.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(215.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D16.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y +=17.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．19、（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。

例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。

圆锥曲线专题 求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。

策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221ab ac e -==；双曲线中221a b a c e +==.所以只要求出ab值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率.解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则1221221=-b y a x ① 1222222=-by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得13222121==--=a b x x y y k BD，解得322=ab ，所以231122=+=+=a b e .方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22ab 的值，从而整体代入求出离心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ϕ=+，2),(=b a ϕ或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22a b 的值，最后求得离心率.【同类题型强化训练】1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313.A 213.B 315.C 210.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率21-=k ，求椭圆的离心率.3.（母题）已知双曲线)0(1:22>=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21，求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为032=±y x ，比较可得32=a b ，则313941122=+=+=a b e .2.答案：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则1221221=+b y a x ① 1222222=+by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得2221212ab x x y y k -=--=直线AB 的斜率21-=k ，所以21222-=-=a b k ，解得4122=a b所以离心率23411122=-=-==a b a c e .3.答案：曲线C 的渐近线方程分别为0:1=+y m x l 和0:2=-y m x l ，设),(00y x P ，则 点),(00y x P 到直线1l 的距离m y m x d ++=1001，点),(00y x P 到直线2l 的距离my m x d +-=1002，mmy x my m x y m x d d +-=+-⋅+=⋅11220000021因为),(00y x P 在曲线C 上，所以m my x =-2020，故21121=+=⋅m m d d ，解得1=m 所以2=e .策略二：构造c a ,的关系式求离心率根据题设条件，借助c b a ,,之间的关系，沟通c a 、的关系（特别是齐次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e .例 2.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点P 在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，1MF 的中点为P ，则点P 的横坐标为2c-.由c F F PF ==21121， 焦半径公式a ex PF p --=1有a ca c c --⨯-=)2(，即02222=--ac a c 有0222=--e e解得31+=e ，或31-=e （舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于c a ,的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义ace =整理成关于e 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：),1(),1,0(+∞∈∈双曲线椭圆e e . 【同类题型强化训练】1.（2011新课标）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）.A 2.B 3.C 2 .D 32.（2008浙江）若双曲线12222=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）.A 3 .B 5 .C 3 .D 5 【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意a aa c AB 22222=-=，解得2=e .2.答案：依据题意2:3)(:)(22=-+c a c c a c ，整理得223a c =，所以3==ace .策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即e dMF =.例3.（2010年辽宁卷）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60,2AF FB =,求椭圆C 的离心率.解法一：作椭圆的左准线B A '',过A 作B A ''的垂线，垂足为A '；过B 作B B '的垂线，垂足为B '.过B 作A A '的垂线，垂足为M .如图2.由图，由椭圆的第二定义，则e A A AF ='e AF A A ='⇒，e B B BF ='e BFB B ='⇒ 12::==''e BF e AF B B A A B B A A '='⇒2 且A A BM '⊥,所以M 是A A '的中点又因为直线l 的倾斜角为︒60，即︒=∠=∠60AFx BAM ， 所以在BAM Rt ∆中，A A AM AB '==2,故3232=⋅='=AB AB A A AF e . 解法二：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得221222223(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b -+--==++因为2AF FB =，所以122y y -=.即 2222223(2)3(2)233b c a b c a a b a b +--=⋅++得离心率 23c e a ==. 方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。

本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。

每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。

方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。

对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。

这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。

方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。

当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。

当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。

这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。

方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。

通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。

这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。

方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。

通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。

这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。

方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。

通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。

这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。

方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。

微重点　离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1 B.14,35C.12,1D.0,14【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出PF 1 ,PF 2 ，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点P 在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，令半焦距为c ，由PF 1 =4PF 2 及PF 1 +PF 2 =2a ，得PF 1 =8a 5,PF 2 =2a5，显然PF 1 -PF 2 ≤|F 1F 2|，当且仅当点F 1,F 2,P 共线，且F 2在线段PF 1上时取等号，因此2c ≥8a 5-2a 5=6a 5，即e =c a ≥35，又0<e <1，则35≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围是35,1 .故选：A2(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,5【答案】C【分析】由双曲线定义MF 2 2MF 1=MF 1 +2a2MF 1，变形后由基本不等式得最小值，从而得MF 1 =2a ，再利用双曲线中的范围有MF 1 ≥c -a ，由此结合可得离心率的范围．【详解】F 1，F 2是左、右焦点，M 为双曲线左支上的任意一点，则MF 2 -MF 1 =2a ，即MF 2 =MF 1 +2a ，代入MF 22MF 1得MF 22MF 1=MF 1 +2a2MF 1=MF 1 +4a 2MF 1+4a ≥2MF 1 ×4a 2MF 1+4a =8a ，当且仅当MF 1 =2a 时取等号，即MF 1 =2a ，又点M 是双曲线左支上任意一点，所以MF 1 ≥c -a ，即2a ≥c -a ，解得e ≤3，所以双曲线离心率e 的取值范围是1,3 .故选：C ．3(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2 B.2,+∞C.1,5D.5,+∞【答案】B【分析】方法一：连接AF 2，BF 2，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接AF 2，BF 2，可得AF 2 =BF 2 ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出k OM ，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a ，AM =BM =2a ，MF 1 =m ，所以MF 2 2=m 2-4a 2=4c 2-m 2，即m 2=2c 2+2a 2.设∠BF 1F 2=α，则∠MOF 2=2α，所以tan2α=2tan α1-tan 2α≥3，解得13≤tan 2α<1.又tan α=MF 2 MF 1 ，所以13≤m 2-4a 2m 2<1，解得m 2≥6a 2，所以2c 2+2a 2≥6a 2，即c 2≥2a 2，所以e =ca≥ 2.故选：B .方法二：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a .设直线l 的方程为x =ty -c ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .由x =ty -cx 2a2-y 2b2=1，消去x 并整理，得b 2t 2-a 2 y 2-2b 2tcy +b 4=0.422422242242因为直线l 与双曲线E 的两支相交，所以-b a <1t <ba，即b 2t 2-a 2>0.由y 1+y 2=2b 2tc b 2t 2-a2y 1y 2=b 4b 2t 2-a 2，得AB =1+t 2y 1-y 2 =2ab 21+t 2 b 2t 2-a 2.结合AB =4a ，化简得t 2=b 2+2a 2b 2①.由x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，两式相减，得x 1-x 2y 1-y 2=a 2b 2⋅y 1+y 2x 1+x 2，即t =a 2b 2⋅k OM ②，②代入①化简，得k 2OM=b 4+2a 2b 2a 4≥3，所以b 2≥a 2，即c 2≥2a 2，所以e ≥ 2.故选：B .4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】　(2，2)【解析】双曲线C 与直线y =x 有交点，则b a >1，b 2a 2=c 2-a 2a 2>1，解得e =ca>2，双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则P 点在双曲线右支上，设PF 1与y 轴交于点Q ，由对称性得|QF 1|=|QF 2|，所以∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 2Q =∠PF 2F 1-∠QF 2F 1=2∠PF 1F 2=∠PQF 2，所以|PQ |=|PF 2|，所以|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，由|QF 1|>|OF 1|得2a >c ，所以e =ca<2，又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2+∠PF 2F 1=4∠PF 1F 2<180°，∠PF 1F 2<45°，所以c 2a =cos ∠PF 1F 2>22，即e =ca>2，综上，2<e <2.考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,2 2B.22,255C.55,255D.255,1【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，易知∠F1BF2<θ，又b>c，则tan θ2=tan∠F1MO=cb<1，0<θ2<π2，∴0<θ2<π4,∴0<∠θ<π2，即θ为锐角，∴45=sin∠F1BF2<sinθ，又sinθ=2sinθ2cosθ2sin2θ2+cos2θ2=2tanθ2tan2θ2+1,∴2tanθ2tan2θ2+1>45,∴12<tanθ2<2.又0<θ2<π4，∴12<tanθ2<1,∴12<cb<1，则14<c2b2<1，所以14<c2a2-c2<1，则55<ca<22，即55<e<22，则椭圆C1的离心率的取值范围是55,22，故选：A.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=c a；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,1【答案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2 与F 2B 1的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ,b ,c ，则B 2A 2 =a ,-b ,F 2B 1=-c ,-b ，∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2 ⋅F 2B 1=-ac +b 2<0，又b 2=a 2-c 2,∴a 2-ac -c 2<0，两边除以a 2得1-e -e 2<0，解得e >5-12或e <-5-12；又∵0<e <1，∴1>e >5-12．故选：D ．3(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B=3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A ,B 两点关于y 轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解A 点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设A x 0,y 0 ，则B -x 0,y 0 ，因为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由F 1A ⋅F 1B =3c 2，得：x 0+c ⋅-x 0+c +y 20=3c 2，即x 20-y 20=-2c 2，点A ,B 在椭圆上，所以满足x 20a 2+y 20b2=1，代入上式可得：y 20-2c 2a 2+y 20b 2=1，即b 2y 20-2c 2 +a 2y 20=a 2b 2，即y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2，因为点在椭圆上，所以y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2≤b 2，解得：2c 2≤b 2，即3c 2≤a 2，解得：0<e ≤33.故选：B4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2) B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]【答案】A【解析】若点P 是双曲线的顶点，a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1无意义，故点P 不是双曲线的顶点，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2，又a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，∴|PF 1||PF 2|=c a ，即|PF 1|=ca ·|PF 2|，∴P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴c a |PF 2|-|PF 2|=2a ，即|PF 2|=2a 2c -a ，由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c -a ，∴2a 2c -a>c -a ，即c 2-2ac -a 2<0，∴e 2-2e -1<0，解得-2+1<e <2+1，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是(1,1+2)．考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.5【答案】　A【解析】双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，设双曲线上的点P (x 0，y 0)，所以x 20a 2-y 20b2=1，即b 2x 20-a 2y 20=a 2b 2，则P (x 0，y 0)到两条渐近线bx ±ay =0的距离分别为d 1=bx 0+ay 0a 2+b2，d 2=bx 0-ay 0a 2+b2，所以d 1d 2=b 2x 20-a 2y 2a 2+b 2=a 2b 2a 2+b2，又|OP |2=x 20+y 20=a 2+a 2b2y 20+y 20=a 2+a2b2+1y 20，y 0∈R ，所以|OP |2≥a 2，因为d 1d 2≤12|OP |2恒成立，所以a 2b 2a 2+b2≤12a 2，整理得b 2≤a 2，即b 2a2≤1，所以离心率e =c a =c 2a 2=1+b 2a2≤2，则C 的离心率的最大值为 2.2(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x +b2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,13【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a ,b ,c 的齐次不等式，从而得解.【详解】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a 2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a ,b ,c 之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知△OFH 中，OF =c ，FH =b ，OH =a ，因为sin ∠HOF >sin ∠HFO ，由正弦定理可知b >a ，即b 2>a 2，所以c 2>2a 2，得e >2．又因为直线y =2x 与双曲线无公共点，则ba≤2，即b ≤2a ，结合a 2+b 2=c 2，所以c 2≤5a 2，所以e ≤5．综上：2<e ≤5，故选：A ．4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1【答案】C【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离, 从而可得出a 的范围, 进而求出离心率的范围.【详解】若从圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为y =kx ±k 2a 2+b 2，∴过圆上一点p 1x 1,y 1 的切线为y 1=kx 1±k 2a 2+b 2，y 1-kx 1 2=k 2a 2+b 2，即x 21-a 2 k 2-2x 1y 1k +y 21-b 2 =0.(1)又∵p 1x 1y 1 在圆上, ∴x 21+y 21=a 2+b 2，即x 21-a 2=-y 21-b 2 .(i )当x 21-a 2≠0时, (1)式为k 2-2x 1y 1x 2-a 2k -1=0,由根与系数关系知k 1k 2=-1, 故两条切线互相垂直.(ii )当x 21-a 2=0时, x =±a ,y =±b , 此时两条切线显然互相重直.故圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.所以椭圆x2a2+y 2=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2+1.若∠APB 恒为锐角, 则直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离故109+16>a 2+1, 又a >1,∴1<a <3,∴e =c a =a 2-1a =1-1a 2∈0,63 .故选:C .强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到PF 1 PF 2 =2b 2，设PF 1 PF 2=m ，结合双曲线的定义得到PF 1⋅PF 2 =4a 2m (m -1)2，则b 2a 2=2m +1m -2，构造函数f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，利用导数法求解.【详解】解：因为PF 1 -PF 2 =2a ，PF 1⊥PF 2，∴PF 1 2+PF 2 2=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2 =4a 2+2PF 1 PF 2 =4c 2，又b 2=c 2-a 2，∴PF 1 PF 2 =2b 2．设PF 1 PF 2=m ，则PF 1 =m PF 2 ，2≤m ≤4，∴PF 1 -PF 2 =(m -1)PF 2 =2a ，∴PF 2 =2a m -1，则PF 1 =2amm -1，∴PF 1 PF 2 =4a 2m(m -1)2．∴4a 2m (m -1)2=2b 2，则b 2a 2=2m m 2-2m +1=2m +1m -2，设f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，则f (m )=1-1m2>0，∴f m 在2,4 上单调递增，∴f (2)=12≤f (m )≤f (4)=94，∴49≤1f (m )≤2，∴89≤b 2a 2≤4，∴c 2a 2=1+b 2a2∈179,5 ，∴e =c a ∈173,5 ，故选：B ．2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62 B.62,+∞ C.324,62D.62,142【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF 1 =a 1+a 2MF 2 =a 1-a 2.进而在△MF 1F 2中，由余弦定理变形可得a 1c2+3a 2c 2-4=0，1e 22=134-1e 12.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF 1 +MF 2 =2a 1MF 1 -MF 2 =2a 2 ，所以MF 1 =a 1+a 2MF2 =a 1-a 2.在△MF F 中，∠F MF =60°，由余弦定理可得cos ∠F 1MF 2=MF 12+MF 2 2-F 1F 2 22MF 1 ⋅MF 2 =a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-4c 22a 1+a 2 a 1-a 2=12，整理可得，a 21+3a 22-4c 2=0，两边同时除以c 2可得，a 1c 2+3a 2c 2-4=0.又e 1=c a 1，e 2=ca 2，所以有1e 1 2+31e 22-4=0，所以，1e 2 2=134-1e 12.因为e 1∈22,32 ，所以12≤e 21≤34，所以43≤1e 21≤2，所以，-2≤-1e 21≤-43，2≤4-1e 21≤83，所以，23≤1e 2 2=134-1e 12 ≤89.则63≤1e 2≤223，故324≤e 2≤62.故选：C .3(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为()A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 【答案】A【分析】设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，根据F 为△MAB 的重心，求得D 3c 2,-3b 2，由直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，得到3c 22a 2--3b22b 2>1，求得c a >133，再由e =3时，证得M ,F ,A ,B 四点共线不满足题意，即可求得双曲线E 的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0)，且M 0,3b ，设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，因为F 为△MAB 的重心，所以MF =2FD，即(c ,-3b )=2(x 0-c ,y 0)，解得x 0=3c 2,y 0=-3b 2，即D 3c 2,-3b2，因为直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，则满足3c 2 2a 2--3b 22b 2>1，整理得c 2a2>139，解得c a >133或c a <-133(舍去)，当离心率为e =3时，即a =33c 时，可得b =c 2-a 2=63c ，此时D 3c 2,-6c2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得x 1+x 2=3c ,y 1+y 2=-6c ，又由x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减可得y2-y1x2-x1=b2x2+x1a2y1+y2=b2×3ca2×(-6c)=-6，即直线l的斜率为k l=-6，又因为k MF=0-3bc-0=-6，所以k MF=k l，此时M,F,A,B四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线E的离心率的取值范围为133,3∪3,+∞.故选：A.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,2【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率-ba即可求解.【详解】依题意，可得A-a,0,B0,b，则k AB=b-00+a=ba，又因为直线l垂直平分线段AB，所以k l=-a b，因为直线l与C存在公共点，所以-ab>-ba，即a2<b2，则a2<c2-a2，即2<c2a2,e2>2，解得e>2，所以双曲线C的离心率的取值范围是2,+∞.故选：B5(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m∈0,4，过点P2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,5 2C.1,2D.1,2【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为l、l ，由已知易知F22,0，若P在双曲线内部(如P 位置)，显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若P在双曲线与渐近线l之间(如P 位置)，过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满故P 只能在双曲线的渐近线l 上方，此时过P 可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线l 平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线l 平行的直线符合要求；即1>24-m m ⇒4m -1<14⇒e 2=4m <54，故e ∈1,52，故选：B6(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,1【答案】D【分析】由PF 1 =4PF 2 结合椭圆的定义可求出PF 1 ，再由a +c ≥PF 1 ≥a -c 可求出离心率的范围.【详解】因为PF 1 =4PF 2 ，因为PF 1 +PF 2 =2a ，所以4PF 2 +PF 2 =2a ，所以PF 2 =2a 5，PF 1 =8a5，因为a +c ≥PF 1 ≥a -c ，所以a -c ≤8a5≤a +c ，所以5a -5c ≤8a ≤5a +5c ，所以5-5e ≤8≤5+5e ，解得e ≥35，因为0<e <1，所以35≤e <1，所以离心率的范围35,1 ，故选：D .7(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【分析】求出双曲线的解析式，根据△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心求出F 1E ,F 2E 的关系式和点H ,G 的横坐标，设出直线AB 的倾斜角，得到HG 的表达式，即可求出HG 的取值范围【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =ca =1+b 2a 2=1+6a 2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2 =c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463 .故选：D .【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.8(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104D.12,58【答案】C【分析】设PF 2 =t ，由椭圆定义和勾股定理得到e 2=λ2+1λ+1 2，换元后得到λ2+1λ+12=21m -12 2+12，根据二次函数单调性求出12≤e 2≤58，得到离心率的取值范围.【详解】设F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，由椭圆的定义可得，PF 1 +PF 2 =2a ，可设PF 2 =t ，可得PF 1 =λt ，即有λ+1 t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2，即为λ2+1 t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1λ+12，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1λ+12=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由13≤λ≤3，可得43≤m ≤4，即14≤1m ≤34，则m =2时，取得最小值12；m =43或4时，取得最大值58.即有12≤e 2≤58，得22≤e ≤104.故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6<λ<3，判断方程中分母的符号即可判断A ,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.【详解】对于A ，∵x 2λ+6-y 23-λ=1表示双曲线，∴(λ+6)(3-λ)>0，解得-6<λ<3，故A 正确；对于B ，由A 项可得-6<λ<3，故λ+6>0,3-λ>0，∴C 的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为c (c >0)，则c 2=λ+6+3-λ=9，∴c =3，即焦距为2c =6，故C 正确；对于D ，离心率e =3λ+6，∵-6<λ<3，∴0<λ+6<3，∴e 的取值范围是(1,+∞)，故D 错误．故选：AC .10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为1【答案】AC【分析】根据点P 2,1 在椭圆内部求b 的范围，然后可得离心率范围，可判断A ；利用椭圆定义和基本不等式判断B ；当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，然后利用余弦定理判断∠F 1QF 2的最大值，然后可判断C ；利用点差法求解即可判断D .【详解】因为点P 2,1 在椭圆内部，所以24+1b2<1，得b 2>2，因为e =c a=1-b 2a2=1-b 24，所以0<e <22，A 正确；因为点Q 在椭圆上，所以QF 1 +QF 2 =2a =4，所以QF 1 ⋅QF 2 ≤QF 1 +QF 2 22=4，当且仅当QF 1 =QF 2 时等号成立，所以，QF 1 ⋅QF 2 有最大值4，B 错误；由椭圆性质可知，当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，此时，cos ∠F 1QF 2=a 2+a 2-2c 22a2=1-2e 2，因为0<e <22，所以cos ∠F 1QF 2=1-2e 2>0，即∠F 1QF 2的最大值为锐角，故不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0，C 正确；当e =33时，有c 2=33，得c =233，所以b 2=83，易知，当点P 为弦中点时斜率存在，记直线斜率为k ，与椭圆的交点为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 214+y 21b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，由点差法得y 2-y 1 y 2+y 1 x 2-x 1 x 2+x 1 =-b 24=-23，又k =y 2-y 1x 2-x 1,x 2+x 1=22,y 2+y 1=2，所以22k =-23，即k =-223，D 错误.故选：AC11(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23【答案】ABD【分析】对于A ，根据当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，再根据S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P+S △IF 2P =3r ，代入进而即可求解；对于B ，根据PO =12PF 1 +PF 2，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C ，运用角平分线定理即可求解；对于D ，由正弦定理可得R =1sin θ，再又结合A 可得r =tan θ2，从而得到R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，再根据题意得到θ∈0°,60° ，进而即可求解．【详解】对于A ，设P x ,y ，-2<x <2，则-3<y <3，且y ≠0，所以S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅y =c ⋅y =y ，则当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，又S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =3r ，所以当S △PF 1F 2最大时，3r =3，即r =33，故A 正确；对于B ，过点H 作HG ⊥PF 1，垂足为点G ，又点H 为△PF 1F 2外接圆的圆心，即为△PF 1F 2三条边的中垂线的交点，则点G 为PF 1的中点，由PH ⋅PO =12PH ⋅PF 1 +PF 2 =12PH⋅PF 1 +PH ⋅PF 2 ，又PH ⋅PF 1 =PG +GH ⋅PF 1 =PG ⋅PF 1 =12PF 1 2，同理PH ⋅PF 2 =12PF 2 2，所以PH ⋅PO =14PF 1 2+PF 2 2 =14PF 1 2+PF 2 2≥12PF 1 +PF 222=a 22=2，当且仅当PF 1 =PF 2 =a 时等号成立，即PH ⋅PO的最小值为2，故B 正确；对于C ，由△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则IF 1，IF 2分别是∠PF 1F 2，∠PF 2F 1的角平分线，则由角平分线定理可得PI IM =PF 1 F 1M =PF 2 F 2M ，即PI IM =PF 1+ PF 2 F 1M + F 2M =2a 2c =a c =1e ，故C 错误；对于D ，设∠F 1PF 2=θ，PF 1=a 1，PF 2=a 2，由正弦定理可得2R =F 1F 2 sin θ=2c sin θ，即R =c sin θ=1sin θ，则cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2，即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=6cos θ+1，因为S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=3sin θcos θ+1=3sin θ2cos θ2cos 2θ2=3tanθ2，又结合A 有S △MF 1F 2=3r ，所以3tanθ2=3r ，即r =tan θ2，所以R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，又因为当P 在短轴的端点时，θ最大，此时PF 1=PF 2=F 1F 2=2，θ=60°，所以θ∈0°,60° ，即θ2∈0°,30° ，所以cos θ2∈32,1，故R ⋅r =12cos 2θ2∈12,23 ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.【答案】22【分析】焦点F 1,0 ，根据椭圆定义得到c =2，设椭圆和抛物线的交点为Q ，根据抛物线性质得到a =QF +QP2≥2，得到离心率的最大值.【详解】抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F 1,0 ，根据题意2c =3-1 2+2-0 2=22，c = 2.设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x =-1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a =QF +QP2=d +QP 2≥3--1 2=2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e =c a =22.故答案为：2213(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】1+32,2【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，可知直线PF 2的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即batan60°=3⇒3a 2 b 2=c 2-a 2⇒e <2，设PF 2 =n ，则PF 1 =2a +n ，根据∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1可知PF 2 ≥F 1F 2 =2c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知n 2+4c 2-2a +n 2=2cos120°×2cn ⇒n =2b 22a -c，即2b 22a -c≥2c ⇒b 2≥2ac -c 2⇒2c 2-2ac -a 2≥0，则2e 2-2e -1≥0⇒e ≥1+32，故2>e ≥1+32故答案为：1+32,2 14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】2,10 ∪10,+∞ 【分析】首先ba≠3，故e =1+b a 2≠10，其次由题意由点差法得y M =b 23a 2x M ①，同理y N =b 23a2x N ②，由P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，代入得b23a2=y0x0=k≥1，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，ba≠3，故e=1+b a 2≠10，设A x1,y1,B x2,y2,D x3,y3,E x4,y4,P x0,y0,AB的中点M x M,y M,DE的中点N x N,y N，则x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x21-x22a2-y21-y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22⋅y1-y2x1-x2=b2a2，所以b2a2⋅x My M=y1-y2x1-x2=3，所以y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，因为AB∥DE，所以P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，将①②代入得b23a2x M-y0x M-x0=b23a2x N-y0x N-x0，即x M-x Nb23a2x0-y0=0，因为x M≠x N，所以b23a2=y0x0=k≥1，所以b2a2≥3，所以双曲线C的离心率为e=ca=1+b2a2≥2.所以双曲线C的离心率的取值范围为2,10∪10,+∞.故答案为：2,10∪10,+∞.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，结合P,M,N三点共线以及离心率公式即可顺利得解.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且PF1=5PF2.(1)用a表示PF1,PF2；(2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)PF1=52a,PF2=12a(2)264<e <32【分析】(1)直接利用双曲线的定义结合条件求得PF 1 ,PF 2 ；(2)由余弦定理得到cos ∠F 1PF 2=135-85e 2，利用∠F 1PF 2是钝角，则-1<cos ∠F 1PF 2<0，解得离心率e 的取值范围.【详解】(1)因为点P 在双曲线的右支上，所以PF 1 -PF 2 =2a ，又PF 1 =5PF 2 ，联立解得PF 1 =52a ,PF 2 =12a .(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=254a 2+a 24-4c 22×52a ×12a =132a 2-4c 252a 2=135-85e 2，因为-1<cos ∠F 1PF 2<0，所以-1<135-85e 2<0，所以264<e <32.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)2+1(3)2,+∞【分析】(1)根据离心率和右焦点即可求出答案.(2)根据对称性分析，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入曲线方程即可求得结果.(3)根据已知，利用圆心到直线l 距离为m k 2+1=1，得出m 2=k 2+1，再由∠AOB =π2，可得k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，然后联立y =kx +m x 2a 2-y 2b2=1，得出x 1+x 2=2a 2kmb 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2，上式联立化简可得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，进而利用a ,b ,c 关系，得出ca的范围.【详解】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0，则c =2，ca=2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA =c ，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1，可得b 2a 2-a 2b 2=2，令x =b 2a2x >0 ，则x -1x =2，解得x =1+2，即b 2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且R =1，则圆心到直线l 距离为mk 2+1=1，化简得m 2=k 2+1，①又∠AOB =π2，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k OA ⋅k OB =-1，即y 1x 1⋅y 2x 2=-1，则k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，②联立y =kx +m x 2a2-y 2b2=1得b 2-a 2k 2 x 2-2a 2kmx -a 2m 2-a 2b 2=0，则x 1+x 2=2a 2km b 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k2，③联立①②③，得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，则a 2+a 2b 2-b 2=0，又c 2=a 2+b 2，则c 2a2=c 2-a 2+2=b 2+2>2，则e =ca>2，即离心率e 的取值范围为2,+∞ .【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.【答案】(1)1,2 (2)5-1,2【分析】(1)根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；(2)设直线l 的方程x =my +1，与双曲线方程联立，以双曲线C 的实半轴长a 和m 表示A ，B 两点坐标，根据∠AOB 恒为锐角，转化为OA ⋅OB>0，代入坐标计算，由关于m 的不等式恒成立，求得a 的取值范围.【详解】(1)因为b <22，所以b 2<12，因为a 2+b 2=1，所以c =1，a 2=1-b 2>12，所以a >22，则C 的离心率e =c a =1a<122=2，又e >1，所以C 的离心率的取值范围是1,2 .(2)因为F 1,0 ，直线l 的斜率不为零，所以可设其方程为x =my +1.结合b 2=1-a 2(0<a <1)，联立x =my +1,x 2a2-y 21-a2=1,得a 2m 2+1 -m 2 y 2+2m a 2-1 y -a 2-1 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 由韦达定理，得y 1+y 2=-2m a 2-1a 2m 2+1 -m 2,y 1y 2=-a 2-1 2a 2m 2+1 -m 2,由于A ,B 两点均在C 的右支上，故y 1y 2<0⇒a 2m 2+1 -m 2>0，即m 2<a 21-a2.则OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=my 1+1 my 2+1 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2+m y 1+y 2 +1=m 2+1 ⋅-a 2-1 2a 2m 2+1 -m2+m ⋅-2m a 2-1 a 2m 2+1 -m2+1=m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1a 2m 2+1 -m 2.由∠AOB 恒为锐角，得对∀m 2<a 21-a 2，均有OA ⋅OB >0，即m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1>0恒成立.由于a 21-a 2 >0，因此不等号左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2=0时，-a 4+3a 2-1>0成立即可，解得5-12<a <5+12，结合0<a <1，可知a 的取值范围是5-12,1.综上所述，C 的实轴长的取值范围是5-1,2 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ．(1)若e =2，且双曲线E 经过点(2,1)，求双曲线E 的方程；(2)若a =2，双曲线E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦点到双曲线E 的渐近线的距离为3，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若MF 1 =8，求cos ∠F 1MF 2的值；(3)设圆O :x 2+y 2=4，k ,m ∈R ．若动直线l :y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A ,B 时，总有∠AOB =π2，求双曲线E 离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 2=1；(2)1316；。

32 福建中学数学 2020年第6期一题多解，思维开花——浅谈离心率取值范围的多种求法郑 婕 华南师范大学（510631）离心率e 是圆锥曲线的重要特征量，求离心率的取值范围是数学高考和数学竞赛中经常考察的热点问题之一，解决这类问题的关键是构造a c ，或者e 的不等式．本文拟通过一题多解的形式，浅谈如何通过构造不等式求圆锥曲线离心率的取值范围．1 题目展示 如图1，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F ，，若椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠= ，求椭圆离心率e 的取值范围．2 解法赏析2.1 利用圆锥曲线上点的坐标范围构造不等式 解法1 设00()P x y ，，由椭圆焦半径公式有：10||PF a ex =+，20||PF a ex =−．由焦点三角形面积公式可得：212601tan ||||sin 6022S b PF PF ==⋅⋅ ，化简得2222243a b x e e =−． 又因为2200x a ≤<，所以2222403a b a e ≤−<，将222b a c =−代入，解得1[1)2e ∈，． 2.2 利用焦半径取值范围构造不等式解法2 设2||PF x =，由椭圆的定义可知1||2PF a x =−， 同样由面积公式得：212601tan ||||sin 6022S b PF PF ==⋅⋅ ，可得23(2)4b x a x =−．因为a c x a c −<<+，所以222233)44a cb a (−<≤，解得1[1)2e ∈，．2.3 利用焦点三角形顶角范围构造不等式解法3 P 为椭圆上任意一点，当P 点移动到椭圆的短轴端点B 时，12F PF ∠最大．由已知椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠= ，所以一定有1260F BF ∠≥ ，230OBF ∠≥ （O 为坐标原点）．在2t OBF ∆R 中，21sin sin 302c OBF a ∠=≥=，故1[1)2e ∈，．2.4 利用均值不等式构造不等式解法4 由余弦定理得2221212||||||PF PF F F +− 122||||cos 60PF PF =⋅⋅⋅ ，即22121212(||||)||3||||PF PF F F PF PF +−=⋅⋅， 由椭圆定义有12||||2PF PF a +=，12||2F F c =，于是22124||||()3PF PF a c ⋅=−．又由均值不等式12||||PF PF ⋅2212||||()2PF PF a +≤=， 所以2224()3a c a −≤，解得1[1)2e ∈，．2.5 利用二次方程有实根的条件构造不等式 解法5 由解法4可知12||||2PF PF a +=，22124||||()3PF PF a c ⋅=−． 所以12||||PF PF ，可以看成方程2242(3x ax a −+−2)0c =的两个根，于是有222164()03a a c ∆=−−≥， 整理得22214c e a=≥，即1[1)2e ∈，． 3 小结通过上述解法可以看出，合理建立不等关系是求解圆锥曲线离心率的取值范围的关键，而构造不等式大致可分为利用几何关系以及利用代数关系两xx2020年第6期 福建中学数学 33 种思路．即在求解这类问题时，一方面可以将所求量离心率e 与已知范围的量如圆锥曲线上点的坐标、焦半径、焦点三角形顶角建立联系，利用已知取值范围求解；另一方面也可以从代数关系如均值不等式、二次方程有实根的条件入手，灵活运用余弦定理、焦点三角形面积公式等知识辅助解题，同样可求出离心率的取值范围．这类题目凸显了知识之间的综合性、联系性，能较好地考察学生思维的全面性、缜密性，具有训练价值．事实上，进行一题多解的训练可以提升思维水平和应试技巧，思维开花，下笔如有神．但重要的是，在做题时应不断总结，择优解题，才能真正在习题训练中提升解题技巧，开拓解题思路．参考文献[1]包建民．圆锥曲线离心率取值范围的九种求法[J]．数学大世界（教师适用），2011（1）：54圆锥曲线问题解决中引入参数需要厘清的问题雷雄军 广东省东莞市第六高级中学（523420）圆锥曲线作为高考解答题必考内容，考查的范围比较广，难度比较大，是提升学生数学抽象，直观想象，逻辑推理，数学运算等数学核心素养的很好的载体．因此，一线高三数学教师在一轮复习和二轮专题复习中都会在这块知识上花很多的时间和精力，但是效果很多时候并不理想．很多的学生还是仅满足于做出第（Ⅰ）问，对第（Ⅱ）问不敢深入涉及．第（Ⅱ）问主要涉及定点、定值、范围、最值、存在性问题等等下文称作圆锥曲线热点问题．在热点问题的解答过程中，经常会涉及参数的问题．学生正是因为对参数使用把控不到位，所以对第（Ⅱ）问解答只能望而却步．笔者结合近年圆锥曲线的高考题，阐释参数引入过程中需要厘清的几个问题．1 问题1：引入什么变量作为参数圆锥曲线中的热点问题破解的基本思路是建立求解目标与参数的关系（不等关系、函数关系等），最后通过参数的恰当处理，使得热点问题得以解决．这里有一个很重要步骤就是引入恰当的参数．例1 （2016年高考北京卷·理20）已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>(0)A a ，，(0B ，)b ，(00)O ，，OAB ∆的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于N ．求证：||||AN BM ⋅ 为定值．解析 （Ⅰ）椭圆C 的方程是2214x y +=．（Ⅱ）涉及的是热点问题中的定值问题，这类问题求解的基本思想是求解目标与某个变量（参数）无关．而题目中没有给出直接参数，这就需要我们引入参数． 由于问题中需要解决的是当椭圆C 上点P 动的时候||||AN BM ⋅为定值．因此就自然选择动点P 的坐标作为参数．解答过程如下： （Ⅱ）由（Ⅰ）知(20)A ，，(01)B ，． 设00()P x y ，，则22004x y +=． （ⅰ）当00x ≠时，直线PA 的方程为00(2y y x x =− 2)−．令0x =，得0022M y y x =−−， 从而002|||1||1|2M y BM y x =−=+−． 在直线PB 的方程0011y y x x −=+中令0y =， 得001N x x y =−−， 从而00|||2||2|1N x AN x y =−=+−． 所以00002|||||2||1|12x y AN BM y x ⋅=+⋅+−−． 22000000000044484||22x y x y x y x y x y ++−−+=−−+=000000004484||22x y x y x y x y −−+−−+4=．。

⾼中数学圆锥曲线离⼼率知识点归纳总结
基础知识点记忆
离⼼率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张⼝⼤⼩”的⼀个重要数据。

求离⼼率或取值范围题型综合性强，是解析⼏何的⼀个难点！
求离⼼率的常⽤⽅向
【具体⽅法】
1、利⽤椭圆上⼀点 P(x,y)坐标的取值范围，构造关于 a,b,c 的不等式
关于a,b,c 不等式
3、利⽤圆锥曲线的“焦三⻆形”+余弦定理+均值不等式
4、利⽤圆锥曲线的定义，结合完全平⽅数（式）⾮负的属性构造关于a,b,c 的不等式
5、将题中已知不等关系巧妙转化为关于 a,b,c 的不等式
6、利⽤圆锥曲线参数⽅程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c 的不等式
与离⼼率有关的⼆级结论。

圆锥曲线的离心率问题大家知道，圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容，可以毫不夸张地说，不管是高考，还是高三的诊断考试，基本上是每卷都有出现。

这类问题归结起来主要包括：①已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线的离心率；②已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线离心率的取值范围。

从题型上看，属于5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从考试的深难度来看，属于中、高档题。

那么如何解答这类问题呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题：1、已知1F 、2F 是椭圆两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若∆AB 2F 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（2016—2017成都实外西区期中考试）A2B 3C 3D 2 2、已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0,b ＞0）的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2y =2px（p ＞0）与双曲线有相同的焦点，设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且cos ∠P 1F 2F =57，则双曲线C 的离心率为（ ）（2019成都市高三三诊） AB或3 C 2或D 2或3〖解析〗1、【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③正三角形的定义与性质；【解答思路】题中没有确定焦点在X 轴还是Y 轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X 轴上的情况。

由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a ，c 的值，然后根据椭圆离心率的公式e=ca求出结果； 【详细解答】如图Q ∆AB 2F 是正三角形，A 1F ⊥X∴∠A 2F 1F =.30，⇒|A 2F |=2|A 1F |，设|A 2F | =2， 则|A 1F |=1，在Rt ∆A 1F 2F 中，Q tan .30= 112||||AF F F = 12c =3，∴ c=2，Q |A 1F |+ |A 2F |=1+2=3=2a ，2a 23232、【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③抛物线的定义与性质；④曲线交点的定义与求法；【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确焦点在X 轴上，根据问题条件结合双曲线，抛物线的定义与性质分别求出a ，c 的值，然后由双曲线离心率的公式e= ca求出结果； 【详细解答】如图，过1F 作垂直于X 轴的直线l ，过P 作PQ ⊥l 于Q ，Q 抛物线2y =2px （p ＞0）与 双双曲线C 有相同的焦点，P 是抛物线与 双曲线C的一个交点，∴|PQ|=|P 2F |， ∠QP 1F =∠2F 1F P ， Q cos ∠P 1F 2F =57，∴cos ∠QP 1F =1||||PQ PF =21||||PF PF =57， ⇒|P 2F |=57|P 1F |，设|P 1F |=7，则|P 2F |=5，⇒|P 1F |-|P 2F |=7-5=2=2a ，⇒a=1，Q 在∆P 1F 2F 中， |2F P|2= |P 1F |2+||1F 2F |2-2|P 1F ||1F 2F | cos ∠P 1F 2F ，∴25=49+42c -2⨯7⨯2c ⨯57，⇒2c -5c+6=0，⇒c=2或c=3，∴ e= c a = 21或e= c a= 31⇒e=2或e=3。

解析几何——难点突破——离心率专题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12C.23D.34[思路点拨]本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．[方法演示]法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a .又△OBN ∽△FBM ，所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，直线BN 的方程为x a ＋y m ＝1.又因为直线AE与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n 2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得ca ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎫－c ，2m ⎝⎛⎭⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎫1－ca －m －c ＝m －a，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c(x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝⎛⎭⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝maa －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －c a .在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE 2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c.所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. [答案] A[解题师说]1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]1．(2018·新疆模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．2解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1e 2＝2|PF 1||F 1F 2|.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝23sin ∠F 1F 2P ， 所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43＝433，当且仅当sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝π2时取等号，因此1e 1＋1e 2的最大值是433.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝b (a －1)a 2＋b2＋b (a ＋1)a 2＋b2＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，52≤e ≤ 5.故双曲线离心率的取值范围为52， 5.答案：52，5一、选择题1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图如图所示，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.3．(2018·宝鸡质检)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率等于( )A.53 B.54C.53或2516D.53或54解析：选D 当m <0，n >0时，圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径R ＝1，由mx 2＋ny 2＝1，得y 21n －x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，对应的一条渐近线方程为y ＝±a b x ，设双曲线的一条渐近线为y ＝ab x ，即ax －by ＝0.∵一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a－b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以8a 2－6ab ＝0，即4a －3b ＝0，b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝259a 2，c ＝53a ，故离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，双曲线的渐近线为y ＝±bax ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，∴|3b －a |a 2＋b 2＝1， 即9b 2－6ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴8b 2－6ab ＝0，即4b ＝3a ，平方得16b 2＝9a 2，即16(c 2－a 2)＝9a 2，可得e ＝54.综上，e ＝53或54.4．(2018·广西三市第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43B.53C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1.∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a .∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.5．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为( )A.12 B.22C.32D.33解析：选B 记∠PF 1F 2＝2α，∠PF 2F 1＝2β，则有∠F 1MP ＝2β＋π－(2α＋2β)2＝π2＋(β－α)，sin ∠F 1MP ＝cos(α－β)＝sin ∠F 2MP ，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝sin (2α＋2β)sin 2α＋sin 2β＝2sin (α＋β)cos (α＋β)2sin (α＋β)cos (α－β)＝cos (α＋β)cos (α－β).由已知得2|PM ||PF 1|＝|PF 2||PM |，即2sin 2αcos (α－β)＝cos (α－β)sin 2β，2sin 2αsin2β＝cos 2(α－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos 2(α－β)，即[2cos 2(α－β)－1]－[2cos 2(α＋β)－1]＝cos 2(α－β)，cos 2(α－β)＝2cos 2(α＋β)，cos (α＋β)cos (α－β)＝22＝e ，所以该椭圆的离心率e ＝22.6．(2018·云南11校跨区调研)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5 B.5C.53D.54解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos ∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C的离心率为e ＝ca ＝5.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选C如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx ＝45°.设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1.又其渐近线的方程为y ＝b ax ，则ba ＜1，又e ＝ 1＋b 2a2， 所以1＜e ＜2，故双曲线的离心率e 的取值范围为(1，2)．8．(2018·广东五校协作体诊断)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1―→·NF 1―→>0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则MF 1―→·NF 1―→＝－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2>0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2>0，即a 4＋c 4－6a 2c 2<0，故e 4－6e 2＋1<0，解得3－22<e 2<3＋22，又e >1，故1<e 2<3＋22，得1<e <1＋ 2.9．(2018·贵阳检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y <b ax ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 10.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，34 B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e 21＋e <12，从而可得12<e <23. 11．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝ab x 平行的直线为y ＝ab x ＋c .联立⎩⎨⎧y ＝abx ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2. 因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得ca＜2，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．12．(2018·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.53，＋∞ B.54，＋∞ C ．1，53D ．1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bc a ，不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc a .因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 二、填空题13.(2018·洛阳第一次统考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A .B ，C 是椭圆E 上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．解析：法一：设AC 的中点为M (x 0，y 0)，依题意得点A (a,0)，C (2x 0－a,2y 0)，B (a －2x 0，－2y 0)，F (c,0)，其中y 0≠0.由B ，F ，M 三点共线得k BF ＝k BM ，2y 0c －a ＋2x 0＝3y 03x 0－a≠0，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.法二：连接AB ，记AC 的中点为M ，B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则在△ABC 中，AO ，BM 为中线，其交点F 是△ABC 的重心．又F (c,0)，由重心坐标公式得c ＝x 0－x 0＋a3，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.答案：1314．(2018·湖北部分重点高中联考)已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为__________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x 2a 2－y2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 2，y 2＝3(1－a 2)，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3(1－a 2)＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－y 212＝1，离心率e ＝ 2.答案：215．已知点A (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则当椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离最小时，椭圆的离心率为__________．解析：因为点A (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，所以9a 2＋16b 2＝1，所以b 2＝16a 2a 2－9.因为a >b >0，所以1＝9a 2＋16b 2>9a 2＋16a 2＝25a2，从而a 2>25.设椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离为d ，则d ＝a 2a 2－b 2＝a 4a 2－16a 2a 2－9＝a 21－16a 2－9＝a 2(a 2－9)a 2－25＝a 2－25＋400a 2－25＋41≥2400＋41＝9， 当且仅当a 2－25＝400a 2－25，即a 2＝45时，等号成立，此时b 2＝20，c 2＝25，于是离心率e ＝c a ＝2545＝535＝53.答案：5316．已知抛物线y ＝14x 2的准线过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点，且双曲线C 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A ，B .则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．解析：抛物线y ＝14x 2化为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1，所以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即b ＝1，实用文档所以双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1， 消去y ，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0. ∵与双曲线交于两点A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. 而b ＝1，则c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1，∴离心率e ＝c a ＝a 2＋1a ＝1＋1a 2>1＋12＝62，且e ＝1＋1a 2≠2， ∴e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)。

圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线，是指在圆锥平面中，通过一个固定点和一个固定直线的点集，主要包含了椭圆、双曲线和抛物线三种常见形态。

而关于圆锥曲线的离心率问题一直是考试中常出的内容，掌握好这方面的知识点和解题技巧，对于我们来说至关重要。

一、椭圆离心率题型及解题技巧：椭圆是圆锥曲线的一种，它的离心率为介于0和1之间的有理数，如0.1、0.3等。

我们在应对椭圆离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、当椭圆的长轴和短轴长度已知时：已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，求椭圆离心率。

解法：利用椭圆离心率的定义式，将长轴和短轴代入，去消掉e。

得e^2 = 1 - (b/a)^2e = √(1 - (b/a)^2)2、当已知椭圆的焦点和顶点时：已知椭圆的一焦点为F1，另一焦点为F2，顶点为P，求椭圆离心率。

解法：通过焦点和顶点P，可得到椭圆的长轴的长度2a，因为F1、F2与P在同一直线上，故PF2 = PF1 + 2a。

/e= F1P/F2P = PF2 - PF1 / PF2 + PF1=2a/2PF1，可求得e的值。

二、双曲线离心率题型及解题技巧：双曲线离心率大于1，如2、3等，我们在应对双曲线离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、已知双曲线的焦点和距离，求双曲线离心率。

已知双曲线的两焦点为F1,F2，且F1F2距离为d，求双曲线的离心率。

解法：当双曲线焦点间距为2c时，可以列出双曲线离心率e的计算公式：e=c/a，其中a为距离焦点最近的水平轴的长度，c为两焦点间的距离。

而d=2a*e，所以：e=d/(2a)。

2、已知双曲线与其对称轴，求双曲线离心率。

已知双曲线的对称轴为y=k，有关于x轴的对称，且两条渐近线的交点的坐标为(x0,0)。

解法：可以通过已知条件列出双曲线的标准方程：(x-x0)²/b² - y²/a² =1，其中a为双曲线与纵轴的交点的距离，b为双曲线的半焦距。

微重点　离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1B.14,35C.12,1D.0,142(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,53(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2B.2,+∞C.1,5D.5,+∞4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C 2：x 2=2py (p >0)，椭圆C 1与抛物线C 2相交于不同的两点A ,B ，且四边形ABF 1F 2的外接圆直径为5c 2，若b >c ，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.55,22B.22,255C.55,255D.255,12(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1,A 2,B 1,B 2椭圆顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,13(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B =3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2)B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.52(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =ba x +b 2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22C.105,1 D.0,133(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62B.62,+∞ C.324,62 D.62,1423(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为() A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂直平分线段AB ，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,25(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x 2m-y 24-m =1，m ∈0,4 ，过点P 2,1 可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,52C.1,2D.1,26(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,17(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,4638(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104D.12,58二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为111(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.13(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上(点P 不在x 轴上)，且PF 1 =5PF 2 .(1)用a 表示PF 1 ,PF 2 ；(2)若∠F 1PF 2是钝角，求双曲线离心率e 的取值范围.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为e．(1)若e=2，且双曲线E经过点(2,1)，求双曲线E的方程；(2)若a=2，双曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，焦点到双曲线E的渐近线的距离为3，点M在第一象限且在双曲线E上，若MF1=8，求cos∠F1MF2的值；(3)设圆O:x2+y2=4，k,m∈R．若动直线l:y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线E交于A,B时，总有∠AOB=π2，求双曲线E离心率e的取值范围．19(22-23高三下·上海浦东新·阶段练习)已知坐标平面xOy上左、右焦点为-4,0，4,0的双曲线C1:x2m2-y2n2=1m,n>0和圆C2:x2+y-a2=9a∈R．(1)若C1的实轴恰为C2的一条直径，求C1的方程；(2)若C1的一条渐近线为y=3x，且C1与C2恰有两个公共点，求a的值；(3)设a=5，若存在C2上的点P x0,y0，使得直线l P:x0xm2-y0yn2=1与C1恰有一个公共点，求C1的离心率的取值范围．。