第九章 典型相关分析
9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。
答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想：
（1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1)
(1)(1)
(1)12(,,
,)p X X X =X
、(2)(2)(2)
(2)
12(,,
,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量，
分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。
在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。
9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？
答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说，
()(1)()(1)
()(1)
()(1)1122i i i i i P P
U a X a X a X '=++
+a X
()(2)()(2)
()(2)
()(2)1122i i i i i q q
V b X b X b X '=+++b X
在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称
(1)(1)'a X 、(1)(2)'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。
典型变量性质：
典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1
(1,2,,)k k D U D V k r ===
(,)0,(,)0()i j i j Cov U U Cov V V i j ==≠
2. 0(,1,2,,)
(,)0
()0()
i i j i j i r Cov U V i j j r λ≠==⎧⎪
=≠⎨⎪>⎩
9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。
答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中
()(1)()(1)()(1)()(1)
1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i
q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1
2
(,,,)p
X X X =X 、(2)(2)(2)(2)1
2
(,,,)q
X X X =X
，度量了这两组变量之间联系的强度。
9.4 简述典型相关分析中载荷分析的内容及作用。
答：作用：进行典型载荷分析有助于更好解释分析已提取的p 对典型变量。分析原始变量与典型变量之间相关性。
内容：
令 (1)(2)*()p ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a a A a (1)(2)*()p ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦b b B b 12p U U U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦U 12p V V V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
V *(1)
*(2)==U A X V B X
其中*
A ，*
B 为p 对典型变量系数向量组成的矩阵，U 和V 为p 对典型变量组成的向
量。则(1)*(1)(1)*
11(,)(,)Cov Cov ==U X A X X A Σ
(1)(1)(1)1/2
(1)(,)(,)
i k
i kk k Corr U X Cov U X σ-=
=
=
这里()1i D U =
，1/2
kk σ=。记1/211V -为对角元素是1/2
kk σ-的对角阵，所以有
(1)(1)1/2(1)
11,*(1)1/2(1)*1/2
111111
(,)(,)
(,)U X Corr Cov Cov ---====R U X U V X A X V X A ΣV
类似可得：
(2)*1/22222
,V X -=R B ΣV (2)*1/21222,U X -=R A ΣV (1)*1/2
2111,V X -=R B ΣV 对于经过标准化处理后得到的典型变量有：
(1)*11,Z U Z =R A R ； (2)*22,Z V Z =R B R (2)*12,Z U Z =R A R ；(1)*
21,Z V Z =R B R
对于样本典型相关分析，上述结果中的数量关系同样成立。
9.5 简述典型相关分析中冗余分析的内容及作用。 答：典型冗余分析的作用即分析每组变量提取出的典型变量所能解释的该组样本总方差的比例，从而定量测度典型变量所包含的原始信息量。
第一组变量样本的总方差为11()tr p =R ，第二组变量样本的总方差为22()tr q =R 。
*ˆz A 和*ˆz B 是样本典型相关系数矩阵，典型系数向量是矩阵的行向量，*(1)ˆˆz =U A Z ，*(2)ˆˆz
=V
B Z 。 前r 对典型变量对样本总方差的贡献为
