典型例题一
例1圆9
)3
(
)3
(2
2=
-
+
-y
x上到直线0
11
4
3=
-
+y
x的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线
1
l、
2
l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9
)3
(
)3
(2
2=
-
+
-y
x的圆心为)3,3(
1
O，半径3
=
r．
设圆心
1
O到直线0
11
4
3=
-
+y
x的距离为d，则3
2
4
3
11
3
4
3
3
2
2
<
=
+
-
⨯
+
⨯
=
d．
如图，在圆心
1
O同侧，与直线0
11
4
3=
-
+y
x平行且距离为1的直线
1
l与圆有两个交点，
这两个交点符合题意．
又1
2
3=
-
=
-d
r．
∴与直线0
11
4
3=
-
+y
x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线0
11
4
3=
-
+y
x，且与之距离为1的直线和圆的交点．
设所求直线为0
4
3=
+
+m
y
x，则1
4
3
11
2
2
=
+
+
=
m
d，
∴5
11±
=
+
m，即6
-
=
m，或16
-
=
m，也即
6
4
3
1
=
-
+y
x
l：，或0
16
4
3
2
=
-
+y
x
l：．
设圆9
)3
(
)3
(2
2
1
=
-
+
-y
x
O：的圆心到直线
1
l、
2
l的距离为
1
d、
2
d，则
3
4
3
6
3
4
3
3
2
2
1
=
+
-
⨯
+
⨯
=
d，1
4
3
16
3
4
3
3
2
2
2
=
+
-
⨯
+
⨯
=
d．
∴
1
l与
1
O相切，与圆
1
O有一个公共点；
2
l与圆
1
O相交，与圆
1
O有两个公共点．即符合
题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324
311
34332
2
<=+-⨯+⨯=d ．
∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
典型例题三
例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为2
2
2
)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2
2
2
)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2
22
24)3(16)1(r
a r a
解之得：1-=a ，202
=r ．
所以所求圆的方程为20)1(2
2
=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为
13
12
4-=--=
AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．
又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C
