2019届广州市高三年级调研考试数学

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秘密 ★ 启用前 试卷类型: A2019届广州市高三年级调研测试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|02M x x =≤<，{}2|230N x x x =--<，则集合M N =A ．{}|02x x ≤<B ．{}|03x x ≤<C ．{}|12x x -<<D ．{}|01x x ≤<2．若复数i 1ia z +=-(i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．23．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于A ．1B ．53C ．2D ．3 4．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<6．下列命题中，真命题的是A ．00,0x x R e ∃∈≤B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1a b=- D ．若,x y R ∈,且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 7．由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到1sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,则()f x = A ．31sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．31sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．1sin 63x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中 取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A ．13B ．12C ．59D ．299．已知抛物线()220y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为A 21B 31C 51D 22+10。

高考数学精品复习资料2019.5广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π三、解答题17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，…………………………………………1分 即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………………………………2分 因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，…………………………………………………………………3分 所以sin 2sin cos C C A =．………………………………………………………………………………4分 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．………………………………………………………………………5分 因为0A <<π，所以3A π=．…………………………………………………………………………6分 解法2：由已知根据余弦定理，得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯．……………………1分 即222b c a bc +-=．……………………………………………………………………………………3分所以2221cos 22b c a A bc +-==．…………………………………………………………………………5分因为0A <<π， 所以3A π=．…………………………………………………………………………6分（2）解法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，………………………………………………………………………………………7分即2()34b c bc +=+．……………………………………………………………………………………8分因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………9分所以223()()44b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 时等号成立）．……………………………………………………11分 所以6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分 解法2：因为2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3A π=，所以b B =，c C =．…………………………………………………………………8分所以)2sin sin a b c B C ++=++22sin sin 33B B ⎡π⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦………………………9分 24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………10分因为203B π<<，所以当3B π=时，a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OFDE ，且OF DE =．………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分 因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分 （2）解法1：因为直线 PC 与平面ABCD 所成角为o45，所以 45=∠PCA ，所以2AC PA ==．………………………………………………………………7分 所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形． 设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系xyz A -（如图）．则()20,0，P ，()01,3，C ，()12,0，E ，()02,0，D ， ()21,3-=，PC ，()11,3，-=CE ，()10,0，=DE ．…………………………9分设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．……………………………………………………………10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．…………11分设二面角D CE P --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos cos ,θ⋅=-=-==⋅n m n m n m．所以二面角D CE P --的余弦值为46-．…………………………………………………………12分 解法2：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，且⊥PA 平面ABCD ，所以45PCA ∠=，所以2==AC PA ．………………………………………………………………7分 因为2AB BC ==，所以∆ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 所以⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ． 在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以点O 为原点，OB ，OC ，OF 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系-O xyz （如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)=-=--=--CP CE CD ．……………………………………………9分 设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11=y ，则111,1.y z =⎧⎨=⎩，则法向量()0,1,1=n ．……………10分设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21=x ，则220.y z⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m ．………………………………………………11分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m n m．所以二面角--P CE D 的余弦值为4-．…………………………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．……………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x………………………………………………3分==．…………………………………………………4分z OyxPACBDE所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑．………………5分因为0.75r>，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．…………………………………………6分（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，当30<X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y=2×3000=6000元，故Y的分布列为所以20000.260000.85200EY=⨯+⨯=元．………………………………………………………9分③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，当30<X≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元，故Y的分布列为所以10000.250000.790000.14600EY=⨯+⨯+⨯=元．………………………………………11分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………………12分20．解：（1）因为椭圆C的离心率为12，所以12ca=，即2a c=．……………………………………1分又222+a b c=，得22=3b c，即2234b a=，所以椭圆C的方程为2222134y xa a+=．把点⎛⎝⎭代人C中，解得24a=．………………………………………………………………2分所以椭圆C的方程为22143y x+=．……………………………………………………………………3分（2）解法1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=．…………………………………………………………4分设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+，…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭……………………………………………………………………………6分因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上，所以1M y =，因为2M My kx =+，所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………………7分 设(,0)H H x ，又直线HM 垂直l ，所以1MH k k =-，即111H k x k=---．…………………………8分所以1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫-⎪⎝⎭．……………………………………………………………………9分 又()10,1F ，所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 因为110F B F H ⋅=，所以2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+，………………………………………10分 解得283k =．……………………………………………………………………………………………11分 所以直线l的方程为2y x =+．………………………………………………………………12分解法2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=，…………………………………………………………4分设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+．…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+． 所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，()1,1H F H x =-．…………………………………………………6分因为110F B F H ⋅=，所以21234H kx k -⋅+2249034k k --=+，解得29412H k x k -=．………………………7分 因为MO MA =，所以()22222M M M M x y x y +=+-，解得1M y =．………………………………8分所以直线MH 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．………………………………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩ 解得()22920121M k y k +=+．……………………………………………10分 由()229201121M k y k+==+，解得283k =．………………………………………………………………11分 所以直线l的方程为23y x =±+．………………………………………………………………12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，…………………………………2分取10e ax -=，则211e 1e 0a af --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………………………………3分（或：因为00x <<01e x <时，所以()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=．）因为()11f =，所以()()010f x f <，此时函数()f x 有一个零点．………………………………4分 ②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则ln 02af a ==即2e a =-．………………………5分综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2e a =-或0a >．………………………………………6分 （2）因为对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………………………7分 因为0a b +=，则a b =-．所以()ln bf x b x x =-+，所以()()11bb b x b f x bx x x---'=+=． 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦，………………8分 因为1ee bf b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，所以()()max 1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭．……………9分设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -'=+->=．所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………10分 所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤，设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．……………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分 （2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……………9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分 所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩……………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………………10分。

数学（文科）试题A 第 1 页 共 5 页秘密 ★ 启用前 试卷类型: A2019届广州市高三年级调研测试文科数学2018.12 本试卷共5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合(){}211P x x =-<,{}11Q x x =-<<,则P Q =A.()1,2-B.()1,0-C.()1,2D.()0,12.若复数z 满足()1i +z 12i =+,则z =A.2B.32C.2D.12 3.下列函数中,既是奇函数,又在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的是 A.2sin x y x =- B.122x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.sin y x x =-D.cos y x x =- 4.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.数学（文科）试题A 第 2 页 共 5 页根据该折线图,下列结论错误．．的是 A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期在8月C.2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳5.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马,其 正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为A.C. D.24π6.已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =,则AD 可表示为A.1344AD AB AC =+B. 3144AD AB AC =+ C.4155AD AB AC =+ D. 1455AD AB AC =+ 7.已知双曲线C 的中心为坐标原点,点(P 在C 上,则C 的方程为 A.22142x y -= B.221714x y -= C.22124x y -= D.221147y x -= 8.由12sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后, 所得图象对应的函数解析式为 A.12sin(3)6y x π=- B.12sin(3)6y x π=+C.12sin(3)12y x π=-D.12sin(12)6y x π=- 9.3=a 是直线0=3+2+a y ax 和7-=1-+3a y a x )(平行的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件10. 若实数x ,y 满足不等式组()()125002x y x y x --+-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，， 则2z x y =-的取值范围是 A.[]5,3- B.[]5,1- C.[]1,3 D.[]5,5-数学（文科）试题A 第 3 页 共 5 页11.已知ABC ∆的内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,且222sin sin sin A B C c+-=sin sin cos cos A B a B b A +, 若4a b +=,则c 的取值范围为A. ()0,4B.[)2,4C. [)1,4D.(]2,4 12.已知椭圆Γ: 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴是短轴的2倍,过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与 Γ相交于A ,B 两点.若3AF FB =,则k =A. 1B. 2C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知132a =,则()2log 2a = .14.设θ为第二象限角,若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos θ = . 15.圆锥底面半径为1,高为点P 是底面圆周上一点,则一动点从点P 出发,绕圆锥侧面一圈之后回到点P ,则绕行的最短距离是 .16.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条,则实数a 的取值范围是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知37a =,1222n n a a a -=+-()2n ≥.(1)证明:数列{}1n a +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式,并判断n ,n a ,n S 是否成等差数列？数学（文科）试题A 第 4 页 共 5 页18.(本小题满分12分)某蔬果经销商销售某种蔬果,售价为每公斤25元,成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售. 如果当天卖不出去,未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况,得到如图所示的 频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值代表)；(2)该经销商某天购进了250公斤这种蔬果,假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤,利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式,并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.19.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 是平行四边形,平面AED ⊥平面ABCD ,EF AB ,2AB =,1BC EF ==,AE ,3DE =,60BAD ∠=,G 为BC 的中点.(1)求证:FG 平面BED ； (2)求证:BD ⊥平面AED ；(3)求点F 到平面BED 的距离.20.(本小题满分12分)已知动圆C 过定点(1,0)F ,且与定直线1x =-相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ,试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M ),使得QNM PNM π∠+∠=？若存在,求点N 的坐标；若不存在,说明理由.数学（文科）试题A 第 5 页 共 5 页 21.(本小题满分12分)已知函数()f x x =e ()ln x a x x ++.(1)若a =-e,求()f x 的单调区间；(2)当0a <时,记()f x 的最小值为m ,求证:1m ≤.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ+,直线1:()6l πθρ=∈R ,直线 2:()3l πθρ=∈R . 以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求直线1l ,2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；(2)已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点,直线2l 与曲线C 交于,O B 两点,求AOB ∆的面积.23.(本小题满分10分)选修4－5:不等式选讲(1)当2a =时,解不等式()113x f x -+≥； (2)设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ,若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围.。

2019届广州市高三年级调研测试数 学（文科）本试卷共5页，23小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{}2(1)1P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则集合=Q PA ．)2,1(-B ．)0,1(-C ．)2,1(D ．)1,0(2． 若复数z 满足()1i 12i z +=+，则z =A ．2B ．32C ．2D ．123． 下列函数中,既是奇函数,又在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递增的是A ．x y xsin 2-= B ．xxy ⎪⎭⎫⎝⎛-=212 C ．x x y -=sin D ．cos y x x =-4． 某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳5． 《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,现有一阳马,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为A ．π6B ．368πC ．π68D ．π246． 已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足DC BD 4= ,则AD 可表示为A ．AC AB AD 4341+=B ．AC AB AD 4143+=C ．5154+=D ．5451+=7． 已知双曲线C 的中心为坐标原点,离心率为3，点(P 在C 上，则C 的方程为A ．22142x y -= B ．221714x y -= C ．22124x y -= D ．221147y x -= 8． 由)616sin(2π-=x y 的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为A ．)613sin(2π-=x yB ．)613sin(2π+=x y C ．)1213sin(2π-=x y D ．)6112sin(2π-=x y9． 3a = 是直线230ax y a ++= 和31)(7x a y a +-=- 平行的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．若实数x ，y 满足(1)(25)002,x y x y x --+-≥⎧⎨≤≤⎩，则2z x y =-的取值范围是A. [5,3]-B. [5,1]-C. [1,3]D. [5,5]-11．在已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+．若4a b += ,则c 的取值范围为 A. ()0,4 B. [2,4) C. [1,4) D. (2,4] 12．已知椭圆Γ：22221y x a b+=()0a b >>的长轴是短轴的2倍,过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与Γ相交于,A B 两点，若FB AF 3=，则k =A ．1B ．2CD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知132a = ，则2log (2)a = ________． 14．设θ为第二象限角,若214tan =⎪⎭⎫⎝⎛+πθ ，则cos θ=________．15．圆锥底面半径为1，高为，点P 是底面圆周上一点,则一动点从点P 出发,绕圆锥侧面一圈之后回到点P ,则绕行的最短距离是________．16．已知过点(),0A a 作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =,()12222n n a a a n -=+-≥. (1)证明：数列{1}n a +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并判断,,n n n a S 是否成等差数列?某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元，销售宗旨是当天进货当天销售. 如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完，根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值代表)； (2)该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤()0500x ≤≤，利润为y 元. 求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF //AB ，2AB =，1 , 3 , 60, BC EF AE DE BAD G ===∠=︒为BC 的中点.(1)求证:FG //平面BED ； (2)求证:BD ⊥平面AED ； (3)求点F 到平面BED 的距离.20. (本题满分12分)已知动圆C 过定点()1,0F ，且与定直线1x =-相切. (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程:(2)过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由.已知函数()(ln )x f a x x xe x =++. (1) 若a e =-，求()f x 的单调区间；(2)当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ≤（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 32+=，直线()1:,6l R πθρ=∈直线()2:3l R πθρ=∈．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程;(2)已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||3f x x a =-()a R ∈ ． （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若M ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131，，求实数a 的取值范围．数学（文科）参考答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．43 14． 15． 16．()(),40,-∞-+∞三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分∴121n n a a -=+， ……………………………………2分 ∴11a =， ……………………………………3分111122211n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ……………………………………5分∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列． …………………………………………6分 （2）解：由（1）知，12n n a +=， ……………………………………7分 ∴21n n a =-， ……………………………………8分∴()12122212n n n S n n +-=-=---， ……………………………………9分∴()()12222210n nn n n S a n n ++-=+----=， ……………………10分∴2n n n S a +=. ……………………11分 即n ，n a ，n S 成等差数列． ……………………12分18．解：（1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4500.0015100+⨯⨯ …………………………2分 265=. ……………………………3分 故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分 （2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ………6分所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩ …………………………8分由1750y ≥得，200500x ≤≤, ……………………………9分 所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯ =0.7. …………………………11分故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分19． 解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以OGDC 且112OG DC ==，……………1分 因为EFAB ，AB DC ，1EF =， 所以EF OG 且EF OG =，……………………2分 所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG OE ， ………………………3分又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG平面BED ． ……………………………4分（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=，由余弦定理得BD == …………………………5分 因为222314BD AD AB +=+==，所以BD AD ⊥. …………………………6分 因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,平面AED 平面ABCD AD =， 所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分（3）解法1：由（1）FG平面BED ，所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离， ……………………8分 设点G 到平面BED 的距离为h ，过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，OG FEDCB AHGFEDCBA则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高． ……………………9分 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=，所以sin ADE ∠=,sin EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分124DBG S DB BG ∆=⋅=122BDE S BD DE ∆=⋅=. 因为G BDE E DBG V V --=，…………………………11分 即1133BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=⋅，解得h =. 所以点F 到平面BED 的距离为65． ………………………………12分 解法2：因为EFAB ，且12EF AB =, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的12， ……………8分 由（2）BD ⊥平面AED .因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ．过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED 平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分 在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ， 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=所以sin 3ADE ∠=， …………………10分因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ， …………………………………………………11分 所以点F 到平面BED 的距离为65． …………………………………………………12分20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分 由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =． ……………………………3分解法2：设动圆圆心C (),x y1x =+. …………………………2分化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． …………………………3分 （2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分 直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-, ………………………………5分由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=． …………………………………6分 由()24480m ∆=--⨯>,得m >或m < ……………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． ……………………………………………8分 由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．消去12,x x ，得()22122101211044y y y y x y y +-+=, ………………………………………………9分 ()()1212012104y y y y x y y +-+=, ………………………………………………………10分 120,y y +≠012124x y y ∴==, ………………………………………………………11分∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=． ………………………………………………12分21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )xf x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分()()11'()1(1)x x x f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭， …………………………………2分当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． …………………………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． …………………………4分 （2）证明：由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()xx f x xe a x+=+， 令()xg x xe a =+，则'()(1)0xg x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，……………………5分 因为0a <,所以(0)0g a =<，()0ag a aea a a --=-+>-+=，故存在()00,x a ∈-，使得000()0xg x x e a =+=． ………………………………………6分当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0xx f x xe a x+=+<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0xx f x xe a x+=+>，()f x 单调递增； 故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000ln xm f x x e a x x ==++, ………………………8分由000xx e a +=得()()0000ln ln xx m x e a x ea a a =+=-+-， ……………………………9分令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-，当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x =-单调递增， ……………………………10分 当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x =-单调递减，……………………………11分 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤． ……………………12分22．解：（1） 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y ． ……………………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分所以22((1)4x y +-=， …………………………………………………………………4分所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………………6分同理，2OB ρ== ……………………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOBS OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………………9分 即AOB ∆的面积为 ……………………………………………………………10分11 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． ……………………………4分 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． ………………………………5分 （2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分 所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤， 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分。

高考数学精品复习资料2019.5秘密 ★ 启用前 试卷类型： A广州市高三年级调研测试理科数学20xx ．12 本试卷共5页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则AB =A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35C．5D3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A ．212-B ．92-C ．92D ．2126．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x -7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23B ．12C ．16D ．138．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种10()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6πB ．12πC ．4π D ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为 AB．3C．1+ D．2+12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1x f x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩ ()411,0,2120,0.x x x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若ab ，则向量a 的模为________．14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若201822a =，则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）EDBCA P如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点x y （百斤）54386542（千克）O为1F ，椭圆C 的离心率为12，且过点1,3⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H •=，且MO MA =，求直线l 的方程． 21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+． （1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．。

广东省广州市2019届高三年级调研考试数学（文科）试题 文 科 数 学一、 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1．方程22150,50x px x x q -+=-+= 且{}3MN =，则:p q 的值为（ ）A ．13 B ．23 C ．1 D ．432． “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件3．已知数列{a n }中，a 1=67，a n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤121122102n n n n a a a a ，则a 2012等于( ) A ． 37 B ． 47 C ． 57 D ． 674．设10.23121log 3,(),23a b c ===，则（ ）A ． c b a <<B ． a b c <<C ． b a c <<D ． c a b <<5．如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为3的正方形，则它的外接球的表面积等于( )A ．8πB ．253π C ．9π D ．283π 6．函数2()2cos 3sin 2f x x x =-（x ∈R ）的最小正周期和最大值分别为( )A ． 2π 3B ．2π 1C ．π 3D ．π 17．已知点P 是以F 1 、F 2为左、右焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，且满足120PF PF ⋅=，，则此双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．13C ． 5D ．13 8．定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)()f x f x -=，3()'()02x f x -<，若x 1<x 2，且x 1+x 2>3，则有( )A ． 12()()f x f x <B ． 12()()f x f x >C ． 12()()f x f x =D ．不确定9.函数()f x 的导函数为/()f x ,若/(1)()0x f x +⋅>,则下列结论中正确的一项为（ ）,1().1().1().1()A x f x B x f x C x f x D x f x =-=-=-=-一定是函数的极大值点一定是函数的极小值点不是函数的极值点不一定是函数的极值点10．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）二、 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．11． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为．12． 执行右边的框图，则输出的s 是13．与圆C:222210x y x y +--+=相切的直线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B且2OA >，2OB >，则三角形AOB 面积的最小值为 ．选做题（考生只能两题中选作一题）14．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ ；15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 ．BCDE OEC 1B 1A 1C BA三、 解答题：本大题共6个小题．共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知(sin cos ,3cos ),(cos sin ,2sin )m x x x n x x x ωωωωωω=+=-，且0ω>，设()f x m n =⋅，()f x 的图象相邻两对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，4b c +=，1f A =（），求△ABC 面积的最大值．17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0．7、0．6、0．8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．（1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；（2）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率；（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X ，求EX ．18．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ， 已知11,2,BC BB ==（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）试在棱1CC （不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥；19．（本小题满分14分）已知函数ln(1)()x f x x+=． （1）确定()y f x = 在（0，+∞） 上的单调性；（2）设3()()h x x f x x ax =⋅--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图，已知抛物线C 的顶点在原点, 焦点为F (0, 1)． (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 在抛物线C 上是否存在点P , 使得过点P 的直线交C 于另一点Q , 满足PF ⊥QF , 且PQ 与 C 在点P 处的切线垂直? 若存在, 求出点P 的 坐标; 若不存在, 请说明理由．21．（本小题满分14分） 设数列{}n a ,{}n b 满足：a 1=4，a 2=52 ,12n n n a b a ++=, 12n n n n n a b b a b +=+．（1）用n a 表示1n a + ；并证明：n N +∀∈, a n >2 ;（2）证明：2ln2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （3）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，当n ≥2时，S n 与42()3n + 是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由xyPOQF届高三年级调研考试试题文 科 数 学答案一、1．D 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9 A 10D二、 11．638-12．132 13． 322+14．在平面直角坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=分别表示圆()2224x y ++=和直线1x =，易知AB ＝23．15． C 为圆周上一点，AB 是直径，所以AC ⊥BC ，而BC ＝3，AB ＝6，得∠BAC ＝30°,进而得∠B ＝60°，所以∠DCA ＝60°，又∠ADC ＝90°，得∠DAC ＝30°，09sin 369sin 602AD AC DCA ∴=⋅∠=-⋅=． 三、16．解：（Ⅰ）22()cos sin 23sin cos cos 23sin 2f x x x x x x x ωωωωωω=-+=+=2sin(2)6x πω+ …………………4分依题意：22ππω=，∴1()2sin(2)6f x x πω=∴=+，．…………………6分 （Ⅱ）∵1f A =（），∴1sin(2)62A π+=， 又132666A πππ<+<，∴52,66A ππ+= 3A π=． …………………8分 4b c +=2133sin ()32442ABC b c S bc A bc ∆+∴==≤=…………………10分 当且仅当2b c ==等号成立，所以ABC S ∆面积最大值为3……………12分 17．解:（1） 设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品为事件A,B,C ，则 P （A ）=0．7, P （B ）=0．6, P （C ）=0．8从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为1P =1-P(A)P(B)P(C)=1-0．3×0．4×0．2=0．976 4分（2） 将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，它是一等品的概率为 P 2=20.70.60.80.74⨯++= 8分（3） P （X=4）=04C ×0．74=0．2401， P （X=3）=14C ×0．3×0．73=0．4116P （X=2）=24C ×0．32×0．72=0．2646, P （X=1）=34C ×0．33×0．7=0．0756 P （X=0）=44C ×0．34=0．0081X 4 3 21 0 P 0．2401 0．4116 0．2646 0．07560．0081因为X~B （4，0．7），所以EX=4×0．7=2．8 12分 18． 证（1）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中，1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理有2211112cos 1422cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅⋅∠ =+-⨯⨯= 故有222111BC BC CC C B BC += ∴⊥而BC AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面……………… 4分（2）由11,,,,EA EB AB EB AB AE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂平面从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ⊂平面 故1BE B E ⊥ 不妨设 CE x =，则12C E x =-，则221BE x x =+- 又1123B C C π∠= 则22157B E x x =-+ 在1Rt BEB 中有 225714x x x x -++-+= 从而12x x ==或（舍去） 故E 为1CC 的中点时，1EA EB ⊥……………… 8分19．解：（1）由已知函数求导得2ln(1)1'()xx x f x x -++= 2分设()ln(1)1xg x x x =-++，则2211'()0(1)1(1)x g x x x x -=-=<+++ 4分 ∴g (x )在(0,+∞)上递减，()(0)0g x g <= ,∴'()0f x < ,因此()f x 在（0，+∞）上单调递减 6分（2）由3()()h x f x x ax =--可得， 221(331)'()1311x ax ax h x ax x x -++=--=++ 8分若a ≥0,任给x ∈（0，+∞），1101x -<+，230ax -<，∴'()h x ＜0， ∴()h x 在（0，2）上单调递减，则()f x 在（0，2）无极值 10分若a <0，3()()h x x f x x ax =⋅--）在（0，2）上有极值的充要条件是2()331x ax ax ϕ=++ 在（0，2）上有零点 12分∴(0)(2)0ϕϕ⋅<，解得118a <- 综上，a 的取值范围是（-∞，118-） 14分20． (Ⅰ) 解: 设抛物线C 的方程是x 2 = ay ,则14=a, 即a = 4．故所求抛物线C 的方程为x 2= 4y ． 5分(Ⅱ) 解: 设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 则抛物线C 在点P 处的切线方程是：112y x x y -=, 直线PQ 的方程是：1122y x x y ++-=． 将上式代入抛物线C 的方程, 得：0)2(48112=+-+y x x x ,故 x 1+x 2 =18x -, x 1x 2 =－8－4y 1 ,所以 x 2=18x -－x 1 , y 2=14y +y 1+4 ．而FP ＝(x 1, y 1－1), FQ ＝(x 2 , y 2－1) ,FP ⋅FQ ＝x 1 x 2＋(y 1－1) (y 2－1)＝x 1 x 2＋y 1 y 2－(y 1＋y 2)＋1＝－4(2+y 1)+ y 1(14y +y 1+4)－(14y +2y 1+4)+1＝21y －2y 1 －14y －7＝(21y ＋2y 1＋1)－4(11y +y 1+2)＝(y 1＋1)2－121)1(4y y +＝1211)1)(4(y y y +-＝0,故 y 1＝4, 此时, 点P 的坐标是(±4,4) ． 经检验, 符合题意． 所以, 满足条件的点P 存在, 其坐标为P (±4,4)． 14分21．（1）由已知得a 1=4，a 2=52,所以11b = 故11114n n n n a b a b a b ++====; 由已知：0n a >，12a >，22a >，4n n b a =∴122n n na a a +=+,由均值不等式得12n a +> 4分故n N +∀∈ ，2n a > 5分（2）2112222n n n n a a a a ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭，21(2)22n n n a a a +++=,21(2)22n n na a a +--= 所以1122ln2ln 22n n n n a a a a ++++=--，所以2ln 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列 8分（3）由（2）可知1122ln (ln 3)2ln 32n n n n a a --+=⨯=-∴11223131n n n a --+=- 当n ≥2时，()11221221031n n n n a a a -+--=≤-- 10分 ∴()3212210a a -<- , ()4312210a a -<- ,…，()112210n n a a --<-相加得：[]121112(2)2(2)10n n S a a n S a n -----<--- 12分∵14a =,252a =,∴106520(2)42(2)n n n S n S a n ---<---- ∴()1122253125182229993931n n n S n n n --+<+-<+-=+- 故n ≥2时，423n S n ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭14分 解二：1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫=⨯=+=+ ⎪---⎝⎭ 设()()12212224414333n n n n n C C ----==<，（n ≥2） 10分 211121111124444n n n n n C C C C ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴当n ≥2时，11224n n a -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭12分21121111142(1)2444111442221142182212343n n n n n S a a a n n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++<+-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫- ⎪⎝⎭=++⨯-⎛⎫=++-<+⎪⎝⎭14分。

7 8 994 4 6 4 7 3高考数学精品复习资料2019.5广州市20xx 届高三年级调研测试数学（文 科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数4y x =-的定义域是A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞ 2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84B ． 84，85C ． 86，84D ． 84，864．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是 A ．i - B ．1- C ．i D ．1 5．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则AB 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是 A ．442+ B ．42 C ．42+ D ．842+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．函数()sin f x x x =+在区间[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）图1是否开始 1,1==p k p p k =⋅?k N <输出p图22k k =+输入N结束图3正视图侧视图俯视图11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若3OC =，1OM =，则MN 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 23A C +=． （1）求cosB 的值；（2）若3a =，22b =，求c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表． 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数25 ab（1）求正整数a ，b ，N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3ABCOM N图4图5组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． 18．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足MD PD 2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求BA EA ⋅的取值范围． 21．（本小题满分14分）MCBPA图6D已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．5 12．3 13．8π14．1 15．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC中，A B ++=π．………………………………………………………………1分 所以co 22A CBπ+-= (2)分3sin23B ==．………………………………………………………………………3分所以题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B D A D C D B A C B2cos 12sin 2BB =- ……………………………………………………………………………5分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，22b =，1cos 3B =， 由余弦定理222c o s b a c a c=+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =． (12)分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：在正A M B∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故P A A B⊥．……………………2分 又PA AC ⊥，AB AC A =，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PAPC P PA PC ⊥=⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为A M ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以11422BCS S ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分MCBPAD因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为M B BC M V V --=， (12)分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131， 即153125333238h ⨯⨯=⨯⨯．……………………………………………………………………13分所以512=h ． 故点B到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D =，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，M CBP AHD E则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以34122552BC DEBH CD⨯⨯===．方法2：在Rt△BHD中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分 在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．②…………………………………12分由①，②解得125BH =． 故点B 到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=-，② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分 所以2n n a =． (5)分因为12a =，适合上式， 所以2n n a =()*n ∈N ． (6)分（2）由（1）得2nn a =．所以()()111n n n n a b a a +=--()()122nnn +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分） （1）解法1：由MD PD 2=知点M为线段PD 的中点．……………………………………………1分设点M的坐标是(,x y ，则点P的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上， 所以()2224x y +=． (3)分所以曲线C的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ， 由MD PD 2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2EA EB EA EA BA EA =-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++- 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以BA EA ⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分 且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分 当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以1x =是函数()y f x =的极小值点． 故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分 由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-． 因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>． 当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-． (9)分 ②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即1222a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]ma 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2ma ()f x ==．…………………………………………………13分 综上所述： 当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-； 当1222a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --； 当212a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12 本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合2{|02},{|230}M x x N x x x =<=--<≤，则集合M N =（ ）A ．{|02}x x <≤B ．{|03}x x <≤C ．{|12}x x -<<D ．{|01}x x <≤1．答案：A解析：2{|230}{|(1)(3)0}{|13}N x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{|02}M N x x =<≤．2．若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．答案：C 解析：设ii,1i a z b b +==∈-R ，则i i a b b +=+，则1a b b=⎧⎨=⎩ ，解得1a =． 3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ） A ．1 B ．53C ．2D ．33．答案：C解析：3123(62)(6)618312S a a a d d d =++=-+-+=-=，解得2d =．4．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=4．答案：D解析：圆的标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)C ，011312CP k -==--，则2MN k =，则弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，化简得：210x y --=．5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<5．答案：B解析：因为12e <<，所以()2ln 2ln 2(0,1),2(1,2),22ln 2(2,4),ln 2(0,1)a b c ∈=∈=+∈=∈， 故c a b <<．6．下列命题中，真命题的是（ ） A ．00,0xx R e ∃∈≤ B ．2,2xx R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于16．答案：D解析：选项A ，,0xx e ∀∈>R ，故A 错误；选项B ，当2x =时，22x x =，故B 错误；选项C ：当0a b +=成立时，不妨设0a b ==，此时不满足1ab=-，故C 错误； 选项D ，若,x y 都不大于1，则2x y +≤，所以D 正确． 7．由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到1sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ）A ．31sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．1sin 63x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭7．答案：B解析：1321sin 3sin 666y x y x πππ⎛⎫⎛⎫=-−−−−−−−→=-−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向右平移个单位横坐标缩短到原来的1sin 6sin 62sin 63666y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1()sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为（ ） A ．13B ．12C ．59D ．298．答案：B解析：分两种情况，第一种情况：从甲袋中取出一个黄球放入乙袋，概率为12，现在乙袋中有3个黄球和2个红球，再从乙袋中取出红球，概率为25． 第二种情况：从甲袋中取出一个红球放入乙袋，概率为12，现在乙袋中有2个黄球和3个红球，再从乙袋中取出红球，概率为35．故所求概率1213125252P =⨯+⨯=．解法2：因为甲袋中和乙袋中黄球红球的个数均相等，故按题目操作，从乙袋中取出红球黄球的概率也是相等的，故所求概率为12． 9．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A 21 B 31+C 51D 22+9．答案：A解析：依题意可知：,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭或2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22b c a =，22b ac =，222c a ac -=，212e e -=，2210e e -+=，2(1)2e -=，21e =．10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A ．3(1)2nn -++⨯ B ．3(1)2nn ++⨯C ．1(1)2nn ++⨯D ．1(1)2nn +-⨯10．答案：D 解析：36331231111138,2,2477,1S S q q S a a a a a a a a S -==∴==++=++==∴=， 故12n n a -=，设12n n n b na n -==⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则112121,145T b T b b ===+=+=，经验证，只有选项D 符合．11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A ．6B ．7C ．223D ．23311．答案：B解析： 该几何体的直观图如图所示，则该多面体的体积111122************V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知过点(,0)A a 作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)(0,)-∞-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)(1,)-∞-+∞12．答案：A解析：设切点为(,)tt te (1)()t t y te t e x t -=+-，将(切线，故1t ≠-，所以a t =作出函数1(1)21y t t =++-+当0a >或4a <-时，直线y 有两个交点．二、填空题：本题共45分，共20分． 13．已知向量,a b 的夹角为45︒ ，且1,2a b ==，则a b -=____________．13．答案：1解析：()22222222cos451221a b a b a a b b a a b b -=-=-⋅+=-⋅︒+=-+=，所以1a b -=．14．已知(4234012342x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+= ．14．答案：16解析：当1x =时，得401234(2a a a a a ++++=； 当1x =-时，得4401234(2(2a a a a a -+-+=-=；4 22024130123401234()()()()(2a a a a a a a a a a a a a a a⎡⎤∴++-+=++++-+-+=+⎣⎦4216==．15．已知实数x, y满足20,350,0,0,x yx yxy-⎧⎪-+⎪⎨>⎪⎪>⎩≤≥则1142x yz⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________．15．答案：116解析：2111422x y x yz+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设2t x y=+，则当t取得最大值时，z取得最小值，作可行域为如图所示的OAB△，其中5(2,1),0,3A B⎛⎫⎪⎝⎭，不包括线段OB，由2t x y=+得2y x t=-+，作直线2y x=-并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点(2,1)A时，直线在y轴上的截距最大，此时t取得最大值4，所以12tz⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为116．16．已知在四面体A BCD-中，1AD DB AC CB====，则该四面体的体积的最大值为___________．16解析：取AB中点O，连接,CO DO，要使得四面体的体积最大，则必有平面ABD⊥平面ABC，设OB t=，则2,AB t OD OC===则31112()323V t t t⎛=⨯⨯=-+⎝，A BCDO则21(31)3V t '=-+，令0V '=，得3t =，当3t =时，V 取得最大值27． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且B A AC B sin sin sin cos cos 222+=-.（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC △的面积为34，M 为BC 的中点，求AM ．17．解：(1) 由B A A C B sin sin sin cos cos 222+=-，得B A A B C sin sin sin sin sin 222+=-． ……………………………………………2分 由正弦定理，得ab a b c +=-222，即ab c b a -=-+222， …………………………3分所以2122cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C ． ………………………………………………5分 因为0C π<<，所以23C π=． ……………………………………………………6分 (2) 因为6A π=，所以6B π=． ……………………………………………………7分所以ABC △为等腰三角形，且顶角23C π=．因为21sin 24ABC S ab C a ===△， ………………………………………………8分 所以4=a ． ………………………………………………………………9分 在MAC △中，24,2,3AC CM C π===， 所以22212cos 164224282AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=++⨯⨯⨯=． ………11分 解得72=AM ．…………………………………………………………………………12分图1：设备改造前样本的频率分布直方图18．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 [15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) [40,45)频数2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望．18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下质量指标值 [15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) [40,45)频数41640121810417.51622.54027.51232.51837.51042.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100 2.541516204025123018351040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3020=． ……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为302030.2100=． ……………………………………………2分FDECBA根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2． ………………………3分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12，13，16， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为12，13，16． …………4分 随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5分111(240)6636P X ==⨯=， 12111(300)369P X C ==⨯⨯=，1211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=， 12111(420)233P X C ==⨯⨯=，111(480)224P X ==⨯=，…………………………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列为：…………………………………………………………………11分所以11511()2403003604204804003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，DE CF ∥，,2CD DE AD ⊥=，3DE DC ==，6CF =．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D --的余弦值为14．19．解：（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC AD ∥.因为AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ． ………………………………………………………………1分 同理CF ∥平面ADE ． ……………………………………………………………2分 又因为BCCF C =，所以平面BCF ∥平面ADE ． …………………………3分因为BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ． …………………………………4分 （2）法一：因为,CD AD CD DE ⊥⊥，所以ADE ∠是二面角A CD F --的平面角，即60ADE ∠=︒． ………………5分 因为ADDE D =，所以CD ⊥平面ADE .因为CD ⊂平面CDEF , 所以平面CDEF ⊥平面ADE .作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF . ………………6分 由2,3AD DE ==, 得1DO =，2EO =．以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则3),(3,1,0),(0,1,0),(0,2,0),(3,5,0)A C D E F --， 3)OB OA AB OA DC =+=+=，……7分 设(3,,0),15G t t -≤≤，则(3,2,3),(0,,3)BE BG t =--=， 设平面BEG 的法向量为(,,)m x y z =，则由0,0,m BE m BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得3230,30,x y z ty z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取2,3,3,x t y z t ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ 得平面BEG 的一个法向量为(23)m t t =-， ……………………………8分 又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =， ……………………………………9分OMHABCEDFG所以24s c ,o m n m nt n m ⋅⋅==…………………………10分14，解得12t =或1322t =-（舍去）， ……………………………………………11分 此时14CG CF =，得1342CG CF ==. 即所求线段CF 上的点G 满足32CG =．…………………………………………12分 法二：作BO CF ⊥于点O ，作OH EG ⊥的延长线于点H ，连结BH ．因为,,CD BC CD CF BCCF C ⊥⊥=，所以CD ⊥平面BCF ， ……………………………………………………………5分BCF ∠为二面角A CD F --的平面角，60BCF ∠=︒． ……………………6分所以CD BO ⊥． 因为CDCF C =，所以BO ⊥平面CDF ，BO EH ⊥．…7分 因为,OH EH OHBO O ⊥=，所以EH ⊥平面BOH ．……8分所以EH BH ⊥，BHO ∠为二面角B EG D --的平面角． ……………………9分 在Rt BCO ∆中，2,60BC BCO =∠=︒， 所以1BO CO ==．又因为1cos 4BHO ∠=，所以tan BO BHO OH ∠==，OH =．…………10分作EM CF ⊥于M ，则OGH EGM ∆∆，3,3EM CD CM DE====，设OG x =，则OH EM OG EG =，即5x =， …………………11分 解得12x =，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =． ………………………12分 20．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点2P ⎫⎪⎭在C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别是椭圆C 的左, 右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，求1F AB △的内切圆的半径的最大值．20．解：（1）依题意有222221,2,331,4c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………………………………3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………………4分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，设1F AB △的内切圆半径为r ，1F AB △的周长为121248AF AF BF BF a +++==， 所以11442F AB S a r r =⨯⋅=△．……………………………………………………………5分 解法一：根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，………………6分 由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=………………………………………7分 ()22(6)36340m m ∆=++>，m R ∈， 由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，……………………………………8分112121221234F AB S F F y y y y m ∴=-=-==+△，………10分令t =，则1t ≥，121241313F AB t S t t t∴==++△． 令1()3f t t t =+，则当1t ≥时，21'()103f t t=->，()f t 单调递增， 4()(1)3f t f ∴=≥，13F AB S △≤， ……………………………………………………11分即当1,0t m ==时，1F AB S △的最大值为3，此时max 34r =． 故当直线l 的方程为1x =时，1F AB △内切圆半径的最大值为34． ………………12分解法二：当直线l x ⊥轴时，331,,1,,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112132F AB S F F AB ∆==. .……………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为(1)y k x =-， 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=. …………………………………7分 ()()()22222(8)44341214410k k k k ∆=-+-=+>， 由韦达定理得221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，………………………………………8分 1121212121()2F AB S F F y y y y k x x ∆∴=-=-=-==……………………………10分 令243t k =+，则3t ≥，1103t <≤,1F AB S ∆∴====3<=. 综上，当直线l 的方程为1x =时，1F AB S ∆的最大值为3，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34． ……………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数21()(2ln ),x f x a x x a x -=-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．解：(1) ()f x 的定义域为(0,)+∞，23322(2)(1)()1x x ax f x a x x x ---⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭. ………………………………………1分 (i)当0a ≤时，210ax -<恒成立， (0,2)x ∈时，'()0f x >，()f x 在(0,2)上单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在(2,)+∞上单调递减； ……………………2分 (ii) 当0a >时，由()0f x '=得，1232,x x x ===（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；……3分 ②当12x x >，即14a >时， x⎛∈ ⎝或(2,)x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，()f x 在⎛ ⎝，(2,)+∞单调递增； x⎫∈⎪⎭时，()0f x '<恒成立，()f x 在⎫⎪⎭上单调递减；……………4分 ③当12x x <即104a <<时， x⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,2),⎫+∞⎪⎭单调递增； x⎛∈ ⎝时，()0f x '<恒成立，()f x 在⎛ ⎝上单调递减；……………5分 综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)+∞； 当14a =时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当14a >时，()f x 单调递增区间为⎛ ⎝，(2,)+∞，单调递减区间为⎫⎪⎭； 当104a <<时，()f x 单调递增区间为(0,2),⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．…………………………………………………6分(2)由(1)知，当0a <时，()f x 单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)+∞，又因为(1)0f a =<， …………………………………7分 取01max ,5x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，令121()2ln ,()f x x x f x x =-=，则12()10f x x '=->在(2,)+∞成立，故1()2ln f x x x =-单调递增，10()52ln 512(2ln 5)1f x -=+->≥，0002220000011111()(2ln )0f x a x x a x x x x x =-+-+--<≤≤， （注：此处若写“当x →+∞时，()f x →-∞”也给分）所以()f x 有两个零点等价于1(2)(22ln 2)04f a =-+>，得188ln 2a >--， 所以1088ln 2a >>--．……………………………………………………………8分 当0a =时，21()x f x x-=，只有一个零点，不符合题意； 当14a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；………9分 当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值，1(2)(22ln 2)04f a =-+>，ln f a a a =+-，记()ln g x x x x =-， …………………………………10分()(1ln )1ln g x x x '=++-=+ ，令()ln h x x =+，则3322111()22h x x x x '=-+=. 当14x >时，()0h x '>，'()g x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； 当104x <<时，()0h x '<，'()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减． 故1()22ln 204g x g ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭，()g x 在(0,)+∞单调递增．0x →时，()0g x →，故ln 0f a a a =+->．……………………11分 又1(2)(22ln 2)04f a =-+>，由(1)知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫-⎪-⎝⎭. ……………………………………12分 （二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB △的面积．22．解：(1) 依题意，直线1l的直角坐标方程为3y x =，2l的直角坐标方程为y =． …………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………………………………………3分所以22((1)4x y -+-=，………………………………………………………4分 所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）． ……………………5分 （2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………6分同理，2OB ρ==……………………………………………………………7分 又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOB S OA OB AOB =∠=⨯⨯=△ …………………9分 即AOB △的面积为 ……………………………………………………………10分23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()()3R f x x a a =-∈． （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， ……………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； …………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x <≤； …………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． …………………………4分 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x 或≤≥． …………………………5分 （2）不等式1()3x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ……………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -+≤≤，…………………………8分 所以113112a a ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≤≥，解得1423a -≤≤， 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………10分。

2019 届广州市高三年级调研测试文科数学2018．12本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 设集合2{|(1)1},{|11}P x x Q x x =-<=-<<，则P Q ⋂=( )A.(1,2)-B. (1,0)-C. (1,2)D. (0,1)2. 若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =（ ）B.32D.123. 下列函数中，既是奇函数，又在2π（0，）上单调递增的是（ ）A.2sin xy x =- B.12()2xxy =- C.sin y x x =-D.cos y x x =-4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2015 年 1 月至 2017 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是（ ） A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期在 8 月C. 2015 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳5. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )C.D.C.D.24π6. 已知ABC ∆的边BC 上有一点满足4BD DC =，则AD 可表示为（ ）A.1344AD AB AC =+B. 3144AD AB AC =+C. 4155AD AB AC =+D., 1455AD AB AC =+7. 已知双曲线C P 在C 上，则C 的方程为（ ）A.22142x y -=B.221714x y -=C.22124x y -=D.221147y y -= 8. 由2sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A.2sin(3)6y x π-＝ B.2sin(3)6y x π=+C.2sin(3)12y x π=-D.2sin(12)6y x π=-9. 3a =是直线230ax y a ++=和3(1)7x a y a +-=-平行的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 若实数,x y 满足不等式组(1)(25)002x y x y x --+-≥⎧⎨≤≤⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A.[5,3]-B.[5,1]-C.[1,3]D.[5,5]- 11.已知ABC ∆的内角,,A B C的对边分别是,,a b c，且若222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+，4a b +=，则c 的取值范围为（ ）A.(0,4)B.[24)，C.[1,4)D.(2,4]12. 已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点。

试卷类型： A2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则集合A．B．C．D．2．若复数(是虚数单位)为纯虚数，则实数的值为A． B． C． D．3．已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于A．1 B． C．2 D．34．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为A． B． C． D．5．已知实数，，，则的大小关系是A． B． C． D．6．下列命题中，真命题的是A．B．C．的充要条件是D．若，且，则中至少有一个大于17．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则A． B． C． D．8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A． B． C． D．9．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为A． B． C． D．10. 已知等比数列的前项和为，若，，则数列的前项和为A． B． C． D．11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为A．6 B．7 C． D．12．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量的夹角为，且，则____________．14．已知，则= ．15．已知实数, 满足则的最小值为____________．16．已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，为的中点，求．18．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．19. （本小题满分12分）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，．（1）求证：平面；（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为．20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求椭圆的方程；（2）设分别是椭圆的左, 右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数R.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．2019届广州市高三年级调研测试理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案A C C D B D B B A D B A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14．16 15． 16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1) 由，得．……………………………………………2分由正弦定理，得，即，…………………………3分所以．………………………………………………5分因为，所以． (6)分(2)因为，所以． (7)分所以为等腰三角形，且顶角．因为，......................................................8分所以． (9)分在中，，所以．.........11分解得． (12)分18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下质量指标值频数41640121810．……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为．……………………………………………2分根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为．………………………3分（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，，，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，，． (4)分随机变量的取值为：240，300，360，420，480． (5)分，，，，，…………………………………………………………………10分所以随机变量的分布列为：240300360420480…………………………………………………………………11分所以． (12)分19．解：（1）因为四边形为矩形，所以.因为平面，平面，所以平面．........................................................................1分同理平面．.....................................................................2分又因为，所以平面平面．..............................3分因为平面，所以平面． (4)分（2）法一：因为，所以是二面角的平面角，即．………………5分因为，所以平面.因为平面,所以平面平面.作于点，则平面. ………………6分由, 得，．以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，……7分设，，则，设平面的法向量为，则由得，取得平面的一个法向量为，……………………………8分又平面的一个法向量为，……………………………………9分所以，…………………………10分所以，解得或（舍去），……………………………………………11分此时，得.即所求线段上的点满足．…………………………………………12分法二：作于点，作的延长线于点，连结．因为，所以平面，……………………………………………………………5分为二面角的平面角，．……………………6分所以．因为，所以平面，．…7分因为，所以平面．……8分所以，为二面角的平面角．……………………9分在中，，所以．又因为，所以，．…………10分作于，则，，设，则，即，…………………11分解得，即所求线段上的点满足．………………………12分20．解：（1）依题意有解得………………………………3分故椭圆的方程为．………………………………………………………4分（2）设，设的内切圆半径为，的周长为，所以． (5)分解法一：根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，………………6分由，得………………………………………7分，，由韦达定理得，……………………………………8分，………10分令，则，．令，则当时，，单调递增，，，……………………………………………………11分即当时，的最大值为3，此时．故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为． (12)分解法二：当直线轴时，. (6)分当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由，得. …………………………………7分，由韦达定理得，………………………………………8分. ……………………………10分令，则，,.综上，当直线的方程为时，的最大值为3，内切圆半径的最大值为．……………………………12分21．解：(1) 的定义域为，. ………………………………………1分(i)当时，恒成立，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；……………………2分(ii) 当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增； (3)分②当，即时，或时，恒成立，在，单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………4分③当即时，或时，恒成立，在单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………5分综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．…………………………………………………6分(2)由(1)知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又因为，…………………………………7分取，令，，则在成立，故单调递增，，，（注：此处若写“当时，”也给分）所以有两个零点等价于，得，所以．……………………………………………………………8分当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意； (9)分当且时，有两个极值，，，记，…………………………………10分，令，则.当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．故，在单调递增．时，，故．……………………11分又，由(1)知，至多只有一个零点，不符合题意．综上，实数的取值范围为. ……………………………………12分（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：(1) 依题意，直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为．…………………………………………………2分由得，因为，.............................................3分所以，...............................................................4分所以曲线的参数方程为（为参数）．........................5分（2）联立得，.................................6分同理，．.....................................................................7分又，.................................................................................8分所以，.....................9分即的面积为．.....................................................................10分23．解：（1）当时，原不等式可化为， (1)分①当时，，解得，所以；…………………………2分②当时，，解得，所以；…………………3分③当时，，解得，所以．…………………………4分综上所述，当时，不等式的解集为． (5)分（2）不等式可化为，依题意不等式在上恒成立，……………………………6分所以，即，即，…………………………8分所以，解得，故所求实数的取值范围是． (10)分。

2019届广东省广州市高三年级第一学期调研考试（一模）数学（理）科试题一、单选题1．设集合M=则集合=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再由交集的定义即可得结果.【详解】因为集合,,,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题，属于简单题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．若复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】C【解析】利用复数代数形式的除法运箅化简复数,再根据实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】为纯虚数，，即，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运箅，考查复数的基本概念，是基础题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，选C.【考点】等差数列性质4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为() A．B．C．D．【答案】D【解析】圆心C(3,0)，k PC＝，∵点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴k MN k PC＝－1，∴k MN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.【考点】圆的弦所在的直线方程.5．已知实数，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质,所以所以由指数函数的单调性可得，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．下列命题中，真命题的是（）A．B．C．的充要条件是D．若，且，则中至少有一个大于1【答案】D【解析】根据指数函数的值域判断；根据特殊值判断；根据逆否命题与原命题的等价性判断.【详解】根据指数函数的性质可得,故错误；时，不成立，故错误；当时，不成立，故错误；因为“，则中至少有一个大于1”的逆否命题“都小于等于1，则”正确，所以“，则中至少有一个大于1”正确，故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义，以及原命题与逆否命题的等价性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．由的图象向左平移个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】将的图象上各个点的横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，即可得到的图象，根据三角函数的图象变换规律可得的解析式.【详解】将的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数的图象，再把函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，所以，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8．已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．59 D ．29【答案】C【解析】试题分析：甲取出的求有两种情况：（1）从甲取出1黄球1红球，概率为：132136213C C C ⋅=，（2）从甲取出2红球，概率为：142136129C C C ⋅=，故概率为125399+=． 【考点】1、古典概型；2、分类加法、分步乘法计数原理．9．已知抛物线为双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出的坐标，将代入抛物线方程求出双曲线的三参数的关系，则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，，点是两曲线的一个交点，且轴，将代入双曲线方程得到，将的坐标代入抛物线方程可得,，即，解得，，解得，故选A .【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10．已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，不成立，当时，，两式相除得，解得：，即，，，，两式相减得到：，所以，故选D.11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．7 C．D．【答案】C【解析】该几何体为如图所示的几何体，是从棱长为的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积，故选C.12．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.13．已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数，设，令得到如上图中的虚线，向上平移易知在点处取得最小值，，所以目标函数.【考点】线性规划.二、填空题14．已知向量的夹角为45°，且，则=__________【答案】1【解析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出平方的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为，，，可得，故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式，属于简单题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.15．已知，则__________．【答案】【解析】令，得；令，得；两式相加得．点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.16．在四面体中，，则该四面体体积的最大值为________．【答案】【解析】由于平面是边长为1的正三角形，，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当平面时体积最大，.三、解答题17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1)(2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出根据的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.【详解】(1)∵∴∴由正弦定理得：即∴∵C为三角形的内角，∴(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2由余弦定理得：AM=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析， 400.【解析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）的可能取值为：240，300，360, 420, 480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】(1)样本的质量指标平均值为.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，随机变量的取值为：240，300，360, 420, 480，；，，所以随机变量的分布列为：.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A-CD-F为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF∥平面ADE；（2）在线段CF上求一点G，使锐二面角B-EG-D的余弦值为.【答案】（1）详见解析；（2）点满足.【解析】（1）先证明平面，平面，可得平面平面，从而可得结果；（2）作于点，则平面，以平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面的法向量，结合面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得，从而可得结果.【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF＝C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE∴∠ADE为二面角A-CD-F的平面角∴∠ADE=60°∵CD⊥面ADE平面平面，作于点，则平面，由，得，以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设平面的法向量为，则由，得，取，得平面的一个法向量为，又面的一个法向量为，，，解得或（舍去），此时，得，即所求线段上的点满足.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20．已知椭圆C：的离心率为，点P在C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设分别为椭圆C的左右焦点，过的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，求△的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）；(2) 最大值为.【解析】(1) 根据离心率为，点在椭圆上，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）可设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得，换元后利用导数可得，的最大值为，再结可得结果.【详解】（1）依题意有，解得，故椭圆的方程为.（2）设，设的内切圆半径为，的周长为，，根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由，得，，由韦达定理得，，令，则，，令，则当时，单调递增，，即当时，的最大值为，此时，故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若的有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1) 当a≤0，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当，在（0，2）和上单调递增，在（2，）递减；当a=，在（0，+∞）递增；当a＞，在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）递减；(2) . 【解析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，可证明，有两个零点等价于，得，可证明，当时与当且时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【详解】（1）的定义域为，，（i）当时，恒成立，时，在上单调递增；时，在上单调递减.（ii）当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；②当，即时，或，恒成立，在上单调递增；时，恒成立，在上单调递减.③当，即时，或时，恒成立，在单调递增，时，恒成立，在上单调递减.综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，令，则在成立，故单调递增，，，有两个零点等价于，得，，当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当且时，有两个极值，，记，，令，则，当时，在单调递增；当时，在单调递减，故在单调递增，时，，故，又，由（1）知，至多只有一个零点，不符合题意，综上，实数的取值范围为.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22．已知曲线C的极坐标方程为，直线，直线，设极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线的直角坐标系方程以及曲线C的参数方程；（2）若直线与曲线C交于O、A两点，直线与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积.【答案】（1）；；为参数；（2）.【解析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线与直线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程两边同乘以利用即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立，得，同理，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线直角的坐标方程为，直线直角的坐标方程为，由得，，，曲线的参数方程为为参数）.（2）联立，得，同理，又，，即的面积为.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式，可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用化简得到在区间上是恒成立的，也就是是不等式的子集，据此得到关于的不等式组，求出它的解即可．解析：（1）当时，原不等式可化为．①当时，原不等式可化为，解得，所以；②当时，原不等式可化为，解得，所以；③当时，原不等式可化为，解得，所以．综上所述，当时，不等式的解集为．（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以．解得，故所求实数的取值范围是．。

奥密★ 启用前试卷种类： A2019 届广州市高三年级调研测试文科数学2018．12本试卷共 5 页， 23 小题，满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项： 1．答卷前，考生务势必自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔在答题卡的相应地点填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。

答案不可以答在试卷上。

3．非选择题一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内的相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新答案；禁止使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生一定保持答题卡的整齐。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1P x x121， Q x 1 x 1 ，则 P Q．设会合A ．1,2B ．1,0C．1,2D．0,12z知足1i z12i ，则z．若复数A ．2B ．31012C．D．2223．以下函数中，既是奇函数，又在0,上单一递加的是21xA ．y2x sin x B．y2x C．y sin x x D．y x cos x24．某城市为认识旅客人数的变化规律，提升旅行服务质量，采集并整理了2015 年 1 月至 2017 年 12 月期间月招待旅客量 (单位：万人 ) 的数据，绘制了下边的折线图．数学（文科）试题A第1页共16页依据该折线图，以下结论错误 的是．．A ．年招待旅客量逐年增添B ．各年的月招待旅客量顶峰期在8 月C ．2015 年 1 月至 12 月月招待旅客量的中位数为 30 万人D ．各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相对于7 月至 12 月，颠簸性更小，变化比较安稳5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” . 现有一阳马，其正视图和侧视图是如下图的直角三角形．若该阳马的极点都在同一个球面上，则该球的体积为A ．68 6B ．3C ． 8 6D ． 246．已知 ABC 的边 BC 上有一点 D 知足 BD4DC ，则 AD 可表示为A ． AD1AB 3 ACB ． AD 3AB 1AC444 4 C ． AD4AB1ACD ． AD1 AB4AC55557．已知双曲线 C 的中心为坐标原点，离心率为3 ，点 P 22,2 在 C 上，则 C 的方程为x 2 y 2 1B ．x 2 y 21C ．x 2y 2y 2 x 2A ．2714 21 D ． 1441478．由 y2sin(6 x1) 的图象向左平移3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到本来的 2 倍6后， 所得图象对应的函数分析式为A ． y2sin(3 x1 )B ． y 2sin(3 x1 )66C ． y2sin(3 x 1 )D ． y 2sin(12 x 1 )9ax 12ax (a ) y a 6y和平行的． a 是直线A ．充足非必需条件B ．必需非充足条件C ．充要条件D ．既不充足又不用要条件10. 若实数 x ， y 知足不等式组x y 1 2x y 50，则 z 2 x y 的取值范围是0 x2，A ．5,3B ． 5,1C ． 1,3D ．5,5数学（文科）试题 A 第 2 页 共 16 页11．已知ABC 的内角A, B , C 的对边分别是a, b ,csin 2 A sin 2 B sin 2C sinAsinB，，且c acosB bcosA若 a b 4 ，则c的取值范围为A ．0,4B ．2,4C．1,4D．2,4x2y21(a b0) 的长轴是短轴的 2 倍，过右焦点 F 且斜率为k (k0)的直线与12．已知椭圆Γ：ba22A ，B两点．若AF3FB，则 kΓ订交于A. 1B. 2C.3D.2二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．113．已知a23，则log22a．14．设为第二象限角，若tan41，则 cos=．215．圆锥底面半径为1，高为2 2 ，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈以后回到点 P ，则绕行的最短距离是．16．已知过点A(a,0)作曲线C : y x e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都一定做答．第22、 23 题为选考题，考生依据要求做答．（一）必考题：共60 分．17．（本小题满分12 分）设S n为数列a n的前 n 项和，已知 a37 ， a n2a n 1a2 2 n 2 ．（ 1）证明：数列a n 1 为等比数列；（ 2）求数列a n的通项公式，并判断n ， a n， S n能否成等差数列？数学（文科）试题A第3页共16页18．（本小题满分12 分）某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25 元，成本为每公斤15 元 . 销售主旨是当日进货当日销售.假如当日卖不出去，未售出的所有降价以每公斤10 元办理完 . 依据过去的销售状况，获得如下图的频次散布直方图：（ 1）依据频次散布直方图计算该种蔬果日需求量的均匀数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（ 2）该经销商某天购进了250 公斤这类蔬果，假定当日的需求量为x 公斤(0x 500) ，收益为y 元.求 y 对于x的函数关系式，并联合频次散布直方图预计收益y 不小于1750元的概率.19．（本小题满分12 分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED平面ABCD，EF AB ， AB 2 ,BC EF 1,AE6 ,DE 3,BAD 60，G为BC的中点.（ 1）求证：FG平面 BED ；F E（ 2）求证：BD平面 AED ；（ 3）求点F到平面BED的距离 .G B AC D20.（本小题满分12 分）已知动圆 C 过定点F (1,0)，且与定直线x 1 相切．（ 1）求动圆圆心 C 的轨迹E的方程；（ 2）过点M2,0 的任一条直线l 与轨迹E交于不一样的两点P, Q ，尝试究在x 轴上能否存在定点N （异于点 M ），使得QNM PNM？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明原因．数学（文科）试题A第4页共16页21.（本小题满分12 分）已知函数f x x e x a ln x x.（ 1）若a e，求 f ( x) 的单一区间；（ 2）当a0 时，记 f ( x) 的最小值为m ，求证：m1．（二）选考题：共10 分．请考生在第22、 23 题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程为=2 3cos2sin ，直线 l1 :(R )，直线l2:(R )．以极点 O 为原点，极轴为x 轴的正半轴成立平面直角坐标系．63（ 1）求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程；（ 2）已知直线l1与曲线C交于O, A两点，直线l2与曲线C交于O, B两点，求AOB 的面积．23.（本小题满分10 分）选修4－ 5：不等式选讲已知函数 f x 1 x a a R ．3（ 1）当a2时，解不等式x 1f x 1；3（ 2）设不等式x1f x x 的解集为M，若 1 , 1M ，务实数a的取值范围．332绝密★ 启用前2019 年广州市一般高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参照评分说明 :1．本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分参照制定相应的评分细则．数学（文科）试题A第5页共16页2． 算 ，当考生的解答在某一步出 ，假如后 部分的解答未改 的内容和 度，可 影响的程度决定后 部分的 分，但不得超 部分正确解答 得分数的一半；假如后 部分的解答有 重的 ，就不再 分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到 一步 得的累加分数．4．只 整数分数． 不 中 分．一、号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B B A A B D B D C B C二、填空13． 1714． 515．1 , 16．2,0385三、解答17．解：（ 1）因 2(tan Atan B)tan A tan B ，cos Acos Bsin Asin Bsin AsinB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分因此 2cosBcos A cos Bcos Acos Acos B化 得 2 sin A cosB cos Asin B sin A sin B ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分即 2sinA B sin A sin B ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因在 ABC 中， A B C， sinA BsinC sin C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分进而 sin Asin B 2sin C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分由正弦定理，得 a b 2c ．因此ab=2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分c（ 2）由（ 1）知ca bc2 ，因此 a b4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分，且 2a2b2c2a b 22ab c2因 C=，因此 cosC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2ab2ab3即 cos12 2ab．3 2ab因此 ab 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分数学（文科） A 第 6 共 16因此S ABC11 3 ．ab sin C 4 sin223因此△ ABC 的面3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分18．（ 1） 明： 取 AD 的中点 O ， OP ， OB ， BD ，因 底面 ABCD 菱形，PBAD 60 ，因此 ADAB BD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分 D因 O AD 的中点，因此 BO AD ． ⋯⋯⋯⋯⋯2分C在△ PAD 中， PA PD ， O AD 的中点，O因此 PO AD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分AB因 BO POO ，因此 AD平面 POB ．⋯⋯⋯ 4 分因 PB平面 POB ，因此 AD PB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（ 2）解法1：在 Rt △ PAD 中， AD2 ，因此 PO1．因 底面 ABCD 是 2 的菱形，BAD60 ，因此 BO3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分在△ PBO 中， PO 1， BO 3 ， PB BC2 ，因 PO 2BO2PB 2 ，因此 POBO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分【 6-7 分段另 ：在△ APD 中，APD 90 ， O AD 的中点，因此 PO1ADAO ．2在 △ BOP 和 △ BOA 中，因 POAO ，ADAB，BOBO ，因此 △ BOP△ BOA ．PB因此BOP BOA 90 ． 因此 OP OB ．】由（ 1）有 PO AD ，且 AD BOO ， AD平面 ABCD ， BO 平面 ABCD ，因此 PO平面 ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分在△ PBC 中，由（ 1） 得 AD PB ，且 BC / / AD ，因此 BC PB ．因 PBBC2 ，因此 S PBC2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分在 △ ABC 中， AB BC2 ，ABC 120 ，因此 S ABC1AB BC sin ABC3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2点 A 到平面 PBC 的距离 h ，数学（文科） A 第 7 共 16因1S PBC h 1S ABC PO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1133V A PBC V P ABC ，即分S ABC PO313因此 h2．SPBC2因此点 A 到平面 PBC 的距离3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分2解法 2：因AD / /BC，BC平面 PBC ， AD平面 PBC ，因此 AD / / 平面 PBC ．因此点 A 到平面 PBC 的距离等于点 O 到平面 PBC 的距离．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯点 O 作 OH PB 于点 H ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分P由（）得 AD平面 POB ，且 AD / / BC ，1因此 BC平面 POB ．H因 OH平面 POB ，因此 BC OH ．D因 PB BC B ， PB 平面 PBC ， BC平面 PBC ，O因此 OH平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分A B 在 Rt △PAD 中， AD 2 ，因此 PO 1．6分C因底面 ABCD 是 2 的菱形，BAD 60 ，因此BO3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分在△ PBO 中， PO1，BO3， PB BC 2 ，因PO2BO 2PB2，因此 PO BO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【 9-10 分段另：在△APD中，APD90 ， O AD 的中点，因此 PO 1AD AO ．2在△BOP和△BOA 中，因 PO AO ，AD AB ，BO BO ，因此△BOP△BOA ．PB因此BOP BOA90．因此 OP OB ．】在△ PBO 中，依据等面关系得PB OH PO OB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分因此OH PO OB13 3 ．PB22因此点 A 到平面 PBC 的距离3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2数学（文科）A第8共1619．解：（ 1）依据上表中的 本数据及其散点 ：（ⅰ） x26 27 39 41 49 53 56 58 60 6147 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分10n（ⅱ） ri x i y i nx y10 47 271⋯⋯⋯⋯ 3 分nn2222 22363810 477759.6 10 272x n xy nyiii 1i 112690⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分23638 22090729015488378．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分6 43 4 2935因 43 ， 2935 ，因此 r0.98 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分由 真有关系数r0.98 ，能够推测人体脂肪含量和年 的有关程度很 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 2）因 回 方程??，即 ?．1.56 bxy?y?27a．因此 bx47nn?i 1x ix y iyi 1 x i y i nx y0.54 】⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【或利用 bn2 n x i 221548i 1 x ixi 1 n x?0.54 x 1.56 ．因此 y 对于 x 的 性回 方程 y将 x50代入 性回 方程得 y50．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分?因此依据回 方程估 年 50 人体的脂肪含量28.56 %．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分【 没写28.56 %扣 1 分】20．解：（ 1） Mx, y ， P x 0 , y 0 ， 点 Q 的坐 x 0,0 ．因 PM 2MQ ，因此 xx , yy 2 x x,y ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分数学（文科） A 第 9 共 16x 0 x,2 分即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯y 0 3y.因 点 P 在抛物 y 236x 上，因此 y 0236x 0 ，即2 36x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3y3 分因此点 M 的 迹 C 的方程 y 24x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（ 2）解法 1： 直 xmy 1 与曲 C 的交点坐A y 12 , y 1 ，B y 22 , y 2，44x my 1, 得 y24my 4 0 ．由4x,y 2由 达定理得 y 1 y 2 = 4m ， y 1 y 2 =4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分点 Ty 02， k ATy 1y 04 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分, y 022y 04y 1 y 0 y 14 4因此直 AT 的方程 yy 04xy 02 ．y 0 y 14令 x1，得点 D 的坐1,y 0 y14 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分y 0 y 1同理可得点 E 的坐1,y 0 y24 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分y 0y 2假如以 DE 直径的 x 某必定点 N n,0 ， 足 NDNE0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因 NDNE1 n, y y 41 n,y y42y 1 y 2 y 02 4 y 0 y 1 y 2 160 1 y0 2y1+n + y 2y y y y y．y 0y212121因此 1+n+216my 0 160 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 y 02y 02 4my 0 4即 1 n20 ，解得 n1或 n 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分4故以 DE 直径的 x 上的定点 1,0 和 3,0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分解法 2：直 x 1与曲 C 的交点坐A 1,2 ，B 1,2 ，若取 T0,0 ， A T ， B T 与直 x1 的交点坐 D1, 2 ， E 1,2 ，数学（文科）A第 10共 16因此以 D E 直径的 的方程x 2 y 24 ．1与 x 的交点坐1,0 和 3,0 ．因此切合 意的定点只好是 N 1 1,0 或 N 2 3,0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分直 x my1 与曲 C 的交点坐 Ay 12 , y ， B y 22 , y 2 ，4 1 4x my 1,4my 40 ． 由得 y2y 24x,由 达定理得 y 1 y 2 = 4m ， y 1 y 2 = 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分点 Ty 02 ， k ATy 1y 04．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分, y 0y 122y 0 4y 0 y 144因此直 AT 的方程 yy 04 xy 02．4y 0 y 1令 x1 ，得点 D 的坐1,y 0 y14．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分y 0 y 1同理可得点 E 的坐1,y 0 y24 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分y 0y 2若点 N 1 1,0 足要求， 足N 1D N 1 E 0 ．因 N 1D N 1 E2,y 0y14 2,y 0 y 24y 0 y 1y 0 y 24+y 1 y 2 y 02 4 y 0 y 1y 2164 y 02 16my 0 16y 02 y 0 y 1y 2=4+y 024 my 00 ．⋯⋯ 11 分y 1 y 24因此点 N 1 1,0 足 意．同理可 点 N 2 3,0 也 足 意．故以 DE 直径的x 上的定点1,0 和3,0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分21．（ 1）解： 当 a1 ， f (x) (x 2)ln x1 x2 4 x 7 ，222函数 f (x) 的定 域( 0, ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分数学（文科）A第 11共 16且 f x ln x 2x3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分xg x ln x 2x 3 ，xg ( x)121x2x2x2x1x 0 ．x x2x2x2当 0 x1，g ( x)0 ；当x1，g ( x)0 ，即函数 g x 在 0,1上减，在 1,上增，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因此当 x0 ，g x g 10（当且当 x1取等号）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分即当 x0 ， f (x)0 （当且当x 1 取等号）．因此函数 f x在 (0,) 增，至多有一个零点. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因 f (1)0 ，x 1 是函数f (x)独一的零点.因此若 a 1f x 的所有零点只有x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分，函数2（ 2）法1：因 f ( x)( x2)ln x ax24x7a ，函数 f (x) 的定域 ( 0,) ，且 f (x)ln x x 22ax 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分12x当 a x ln x x 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分， fx22由（ 1）知ln x x30．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分x即当 x0 f x0 ，因此 f x在 0,上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分因此 f (x) 不存在极．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分法 2：因 f (x)(x2)ln x ax 24x7a，函数 f (x) 的定域 ( 0,) ，且 f (x)ln x x27 分2ax 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x2xm( x)ln x2ax 4 ，xm (x) 1 22a2ax2x 2x 0 ．x x2x2数学（文科）A第12共16() 2 2 2 ( 0) ， m ( x) 与 h(x) 同号．axxxh x当 a1 ，由 h(x) 2ax2 x 20 ，2解得 x 111 16a0 ， x 2 1 1 16a．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4a4a可知当 0x x 2 ， h(x)0 ，即 m ( x) 0 ，当 x x 2 ， h( x) 0 ，即 m ( x) 0 ，因此 f ( x) 在0, x 2 上 减，在x 2,上 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由（ 1）知 ln x2 x3 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x8 分9 分10 分f ( x 2 )ln x 22x 2 3 (2a 1)x 2 (2a 1)x 2 0 ．x 2因此f (x)f (x 2 )0 ，即 f ( x) 在定 域上 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分因此 f (x) 不存在极 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22．（ 1）解法 1：因 直 lx 2 t cos , 的参数方程y3 t sin （ t 参数），当 =2 ，直 l 的直角坐 方程 x 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分当，直 l的直角坐 方程y3 tanx 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2因 2x 2 y 2 , cosx ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分因22 cos8 ，因此 x 2y 2 2x8．因此 C 的直角坐 方程x 2 y 22 x 8 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分解法 2：因 直 l 的参数方程x 2 t cos ,y3（ t 参数），t sin有x sin2sint sincos ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分y cos 3 cost sin cos ,因此直 l 的直角坐 方程 xsiny cos 2sin 3 cos 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因2x 2y 2 , cosx ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分数学（文科）A第 13 共 16因22 cos8 ，因此 x 2 y 22x 8 ．因此 C 的直角坐 方程x 2 y 2 2x 80 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2）解法1：曲 C 的直角坐 方程x 2 y 2 2 x 80 ，将直 l 的参数方程代入曲 C 的方程整理，得 t 2( 2 3 sin2 cos )t 5 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯因(2 3sin 2 cos )2 200 ，可 方程的两个根t 1 ， t 2 ，t 1 t 22 3 sin 2cos， t 1t 25．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因此 ABt 1t 2 t 1 t 2 24t 1t 22 3 sin2cos2204 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯整理得3sincos23 ，故 2sin6 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因 0，因此或2，6633解得6或2上所述，直 l 的 斜角或 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 2解法 2：直 l 与 C 交于 A ， B 两点，且 AB4 2 ，故 心 C (1,0) 到直 l 的距离 d 9(2 2) 2 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①当，直 l 的直角坐 方程x2 ，切合 意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2②当0,2, ，直 l 的方程 x tany 3 2 tan0 ．2因此 d | tan0 3 2 tan|1 tan21 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯整理得3 tan1 tan 2．解得 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯65 分6 分7 分8 分9 分10 分6 分7 分8 分9 分数学（文科）A第 14共 16上所述，直l 的斜角或．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分6223．（ 1）解：当a1，由 f ( x)x ，得2x11 x1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分当 x 1， 2x 1 1 x1，解得 x 3．2当 x 1， 12 x1x1，解得 x14 分2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3上可知，不等式 f (x)x1的解集x x或1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分3 x3（ 2）解法1：由f ( x)1f (x1) ，得 2 x 1 a12x1 a ．222a 2 2x1 2 x1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分令 g( x) 2 2x12x1，等价于 a(g ( x))min2x3,x 1 , 2因 g(x)6x 1,1x1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2122x3,,x2g (x)min g1 2 ．2因此数 a 的取范( 2,) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分解法 2：因 2 x 12x1(2 x1) (2 x1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分即 22x1 2 x12， 2x12x12．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分因此 g(x)2x12x 12x122x1 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分当且当 x 1等号成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2因此 g( x) min 2 ．数学（文科）A第15共16因此数 a 的取范( 2, )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分数学（文科）A第16共16。