2017届四川省南充高级中学高三4月检测考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}{}0,,1,2M x N =，若{}2M N ⋂=，则M N ⋃=（ ） A. {}0,,1,2x B. {}0,1,2 C. {}2,0,1,2 D. 不能确定 【答案】B【解析】由题意可得： 2x = ，则： {}0,2M =， {}1,2N =， M N ⋃= {}0,1,2 . 本题选择B 选项.2．已知()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】考查充分性： 12120x x x x +>⇒>- ，函数()f x 是R 上的单调递减函数，则： ()()12121122xx f x f x -⎛⎫⎛⎫=>-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2102x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，则： 12112x x +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()121f x f x ⋅<，充分性成立；以上过程可以逆向推倒，即必要性满足；综上，“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的充分必要条件. 本题选择C 选项.3．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A. 2B. 3C. 2-D. 3- 【答案】A【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，首项为1a ，所以312a a d =+，413a a d =+．因为134a a a 、、成等比数列，所以211123a d a a d +=+（）（），解得： 14a d =-．所以3215312227S S a dS S a d-+==-+，故选A.【考点】等差数列的性质；等比数列的性质.4．甲、乙两人要在一排8个空座位上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（）A. 10B. 16C. 20D. 24【答案】C【解析】试题分析：（1）甲在前，乙在后：若甲在第2位，则有4种方法，若甲在第3位，则有3种方法，若甲在第4位，则有2种方法，若甲在第5位，则有1种方法，共计10种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有10种方法.故一共有20种方法.【考点】排列组合.5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（）A. 1.2B. 1.6C. 1.8D. 2.4【答案】B【解析】由题意可知，该几何体左侧是一个圆柱体，右侧是一个长方体，这两个几何体组成一个组合体，其体积：，解得： .本题选择B选项.6．过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260F PF∠=，则椭圆的离心率为（）A．1 2BC．1 3D【答案】D【解析】试题分析：由题设122PF PF =,则34,3221aPF a PF ==,所以由勾股定理可得c a F F 233221==,,应选D ． 【考点】椭圆的几何性质与运算.7．如图是求样本，，…，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】阅读流程图可知，该流程图中的S 记录最终数据，所用的方法是把每个数的 相加求得这10个数的平均值，则图中空白框中应填入的内容为.本题选择D 选项.8．函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A.24π B. 12π C. 8π D. 1124π 【答案】A【解析】试题分析：结合下图可得当24x a π==时，2sin 2cos 22432432ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 成立．【考点】三角函数的图象与性质．9．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则下列结论正确的是（ ）A. B.C. 是奇函数D. 的单调递增区间是（）【答案】D【解析】由题意可得：当 时， ，，，结合题意可知k 为偶数，不妨令 得 ，函数的解析式：，利用函数的解析式逐项考查所给选项：A. ；B. ；C.是非奇非偶函数 ；D.的单调递增区间是（）.本题选择D 选项.10．已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数z m x y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,1- B ．[]1,3- C ．[]1,2-D ．[]2,3 【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.【考点】线性规划.11．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A. 10B. 13C. 16D. 19 【答案】B【解析】试题分析：由题可知，，因此()()121212232313PCPC PC PC C C -=+-≥-=.故选B ．【考点】双曲线的定义与圆切线的性质.12．已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l （ ）（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在 【答案】D【解析】试题分析：/1()1x a f x e a =-，依题意可知，/1()10x a f x e a=-<在(,)-∞+∞有解，①0a <时，/()0f x < 在(,)-∞+∞无解，不符合题意；②0a >时，/()0l n l n xaxf x a e a x a aa>⇔>⇔>⇔<符合题意，所以0a >． 易知，曲线)(x f y =在0=x 的切线l 的方程为1)11(--=x ay . 假设l 与曲线x y =e 相切，设切点为),(00y x消去a 得0001x x e e x =-，设()1x x h x e x e =--，则/()x h x e x =，令/()0h x >，则0x >， 所以()h x 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增，当,()1x h x →-∞→-，,()x h x →+∞→+∞所以()h x 在(0,)+∞有唯一解，则01x e >，而0>a 时，111<-a，与01x e >矛盾，所以不存在．【考点】导数的综合应用二、填空题13．函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可得：当时，，取可得的最小值为.14．，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则__________．【答案】【解析】椭圆中a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，,可得B为AF1的中点，,可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|=|AF2|，|OC|=|AF1|，即有=(|AF1|+|AF2|)=a=6.点睛：一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．15．过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，则弦的长度为__________．【答案】【解析】由条件可知A−BCD是正四面体,如图：A. B. C. D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设AB=a，则过点B . C . D 的截面圆半径，正四面体A −BCD的高 ,则截面BCD 与球心的距离d =OO 1= a −R ，∴,解得.点睛：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．16．已知动点(),P x y满足)24{01x y x xy +≤≥≥，则226x y x +-的最小值为__________． 【答案】409-【解析】∵0y y y >+≥x y ≥=，∵函数()f x x ==是减函数，∴x ⩽y ，∴原不等式组化为24{0x y x x y+≤≥≤.该不等式组表示的平面区域如下图：∵x 2+y 2−6x =(x −3)2+y 2−9.由点到直线的距离公式可得,P (3,0)区域中33,44A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离最小,所以x 2+y 2−6x 的最小值为409-. 点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos 20cos B a bC c c++=. （1）求C ∠的大小；（2）求22sin sin A B +的取值范围. 【答案】（1）23C π=（2）2213sin sin ,24A B ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：(1)利用正弦定理将所给的等式化解为三角函数式，求得1cos 2C =-，∴23C π=． (2)化简三角函数式221πsin A sin B 1sin 2A 26⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，又π0A 3<<，∴2213sin A sin B ,24⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭．试题解析：解：（Ⅰ）∵cos 20cos B a bC c c++=，∴cos 2cos cos 0c B a C b C ++=， ∴sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C ++=， ∴sin 2sin cos 0A A C +=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =-，∴23C π=．（Ⅱ）22cos2cos21sin sin 11sin 2226A B A B A π+⎛⎫+=-=-+ ⎪⎝⎭，又03A π<<，∴52666A πππ<+<， ∴1sin 2126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即2213sin sin ,24A B ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭． 18．某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布表中，的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在内的人数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)结合频率分布表和所给的频率分布直方图可得，然后补全频率分布直方图即可.(2)由题意可得，抽取的人数为7人，可取0，1,2，据此列出分布列可得．试题解析：解：（Ⅰ）由图知，，故；．故，其．（Ⅱ）∵各层之间的比为，且共抽取20人，∴年龄在内抽取的人数为7人．可取0，1,2，，，，故的分布列为：故．点睛：解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中， PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形， AB AD ⊥， //AB CD ， 222AB AD CD ===， E 是PB 的中点． （1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AC E --的余弦值为3，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）欲证平面EAC ⊥平面PBC ，只要证AC ⊥平面PBC 即可；（2）设CP a =，取AB 中点F ，以点C 为原点，分别以,CF CD 为,x y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，求向量PA 与平面EAC 的法向量的夹角即可． 试题解析：（1）证明：∵PC ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ， ∴AC PC ⊥，∵2AB =， 1AD CD ==，∴AC BC == ∴222AC BC AB +=， ∴AC BC ⊥， 又BC PC C ⋂=， ∴AC ⊥平面PBC ， ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．（2）解：设CP a =，取AB 中点F ，以点C 为原点，分别以,CF CD 为,x y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ， ()1,1,0A ， ()1,1,0B -， ()0,0,P a ， 11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭，则()1,1,0CA =， ()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 取()1,1,0m =-，则0m CA m CP ⋅=⋅=，即m 为面PAC 的一个法向量． 设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CAn CE ⋅⋅=，即0,{0,x y x y az +=-+=取x a =，则y a =-， 2z =-，则(),,2n a a =--，依题意得2cos ,m nm n m na ⋅===⋅+，取2a =， 于是()2,2,2n =--， ()1,1,2PA =-，设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅===⋅， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3． 【考点】1、面面垂直的判定；2、直线与平面所成的角． 【方法点睛】用向量法求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角．本题考查面面垂直的判定，向量法求二面角、线面角，问题的关键是求平面的法向量，考查学生的空间想象能力．属于中档题．20．已知抛物线C ： 22x py =（0p >），过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，且16MN =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点()0,4D ，若动圆P 与x 轴交于A 、B 两点，且DA DB <，求DA DB的最小值.【答案】（1）28x y =（21【解析】试题分析：（1）由抛物线焦点弦公式有12MN y y p =++，再利用直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理得123y y p +=，即得4p =，（2）先设动圆圆心200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得圆方程，再令0y =，得A 、B 两点横坐标： 04x -， 04x +，代入DA DB，利用基本不等式求最值，可得DA DB的最小值.试题解析：解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l ： 2p y x =+， 由2,{22,py x x py =+=得2220x px p --=，∴122x x p +=， 123y y p +=，∴12416MN y y p p =++==，∴4p =， ∴抛物线C 的方程为28x y =．（Ⅱ）设动圆圆心()00,P x y ， ()1,0A x ， ()2,0B x ，则2008x y =，且圆P ： ()()()222200004x x y y x y -+-=+-，令0y =，整理得22002160x x x x -+-=，解得104x x =-， 204x x =+，DA DB===当00x =时，1DA DB=，当00x ≠时，DA DB=∵00x >，∴0032x x +≥1DA DB≥=，11<， ∴DA DB1．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 21．设函数（，且），（其中为的导函数）.（Ⅰ）当时，求的极大值点；（Ⅱ）讨论的零点个数. 【答案】（1）的极大值点为．（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得，由导函数讨论函数的单调性可得的极大值点为．(2)分类讨论可得：当或时，有一个零点；当或时，有2个零点；当或时，有3个零点．试题解析：解：（Ⅰ），，解得．当时，；当时，，故的极大值点为．（Ⅱ）（1）先考虑时，的零点个数，当时，为单调减函数，，，由零点存在性定理知有一个零点．当时，由，得，即，即，令，则．由，得，当时，；当时，，故，，且总成立，故的图象如图，由数形结合知，①若，即时，当时，无零点，故时，有一个零点；②若，即时，当时，有一个零点，故时，有2个零点；③若，即时，当时，有2个零点，故时，有3个零点．（2）再考虑的情形，若，则，同上可知，当，即时，有一个零点；当，即时，有2个零点；当，即时，有3个零点．综上所述，当或时，有一个零点；当或时，有2个零点；当或时，有3个零点．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin()3πρθ+=:3OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2.【解析】试题分析：（1）由圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），化为普通方程为()2211x y -+=，利用cos ,sin x y ρθρθ==，即得圆C 的极坐标方程；（2）求线段PQ 的长，由于,,O P Q 三点共线，故PQ OP OQ =-，可设P ()11,ρθ，Q ()22,ρθ，则12PQ ρρ=-，关键是求出12,ρρ的值，由1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩可求得1ρ的值，由2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可求得2ρ的值，从而可解. 试题解析：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22,ρθ为点Q的极坐标，2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQρρ=-=，所以线段PQ的长为2.【考点】【考点】参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用. 23．选修4-5：不等式选讲已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)由不等式的性质可知：的最大值为，结合题意，则．(2)利用柯西不等式可得当且仅当，即，，时，的最小值为.试题解析：解：（Ⅰ）∵，当且仅当时等号成立，又，，∴，∴的最大值为，又已知的最大值为10，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，，时等号成立．。
