2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考(三)数学(文)试题(解析版)

重庆市巴蜀中学2020届高三适应性月考（八，3 月）数学（文）试题(共 60 分)、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..2叽21. 已知全集UR ，集合 M {x|2x 2{x|y 1x}，则(C u M) NA. {x|x 1}1} {x|1}D.{x| 12. 已知向量a (2,m) , bA. 充要条件（3,2 m ）,.必要不充分条件 R ，则“ a (a 2b) ” 是“ m 2 ”的（ ）C. 充分不必要条件•既不充分也不必要条件3. 已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且a 5a92a ? 18，则 log 3 a 3 log 3an( )A.在区间 [2,2]上随机取两个数x,y ，则 1的概率是（）A.9_32执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为2332i=i+/w俯視丽A. 24 B . 8、6中点，贝U AM AN 的值是（、2 C . D .3 111.直线l 过抛物线C : x 2 4y 的焦点F 且交抛物线C 于A,B 两点，则| AF | 2 | BF |的x y 1 0 6.若实数x,y 满足不等式组x 2y 2 0则2x y 的最大值是（)x 1y 0A. 1 B. 5C .4D .22A. 3 B . 4 C5 D 67.某几何体的三视图如图所示，其外接球表面积为（ ）&在平行四边形ABCD 中,BAD AD 1，若M ,N 分别是边BC,CD 的B. 2C. 3D.15 49•已知函数f （x ）为偶函数，且0时, f(x)1 .sin 2x ，则关于x 的不等式 f (x) f (2x1）的解集为（ A. {x|1 x3}{x|x1}1.{x | x 或 x 1}3D {xQ x31}10.已知双曲线2 x2a石1(a0,b 0) 过双曲线左焦点 F 1且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以MF 1为直径的圆过右焦点F 2，则双曲线的离心率是（最小值为( )四位同学被问及情况•甲说：“我没去”；乙说：“丁去了” ；丙说：“乙去了” ； 丁说：“我没去”班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，但只有一位说了假话，则去了幸福 广场的这位同学是.16 .已知a - , f(x) x(e x 1 a) 2e x 1 4a ，关于x 的不等式f (x) 0有且只有两个3整数解，则实数a 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)A B1 17 .在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b,c ，若 cos 2— — sin AsinB —.24(1) 求角C 的大小；(2) 已知acosC ccosA 4 , ABC 的面积为8，求边长a 的值•18 . 2020年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工 600人，其年龄与人数分布表如下：约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取 30人作为全市庆祝晚会的观众•(1) 抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？ (2) 若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热13 .已知复数 z 满足z(1 2i) 1 (其中i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为 • 14 .已知2 (0, —), sin ，则 cos( )2 3 6 20分，将答案填在答题纸上) 二、填空题(每题 15 .学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓高三学习压力，返校后甲、乙、丙、A. 3 2 2 B.2 3.. 2 C . 612 •若存在x, y, z * y f e x x R ,满足 ，且 zz 2 e 2x , 则In y ln x 的取值范围是( 1 A [21] In2,e 1 In 2] C • [1 D. [1 In 2,e 1 In 2]衷关心民生大事•完成下列2 2列联表，并回答能否有 90%的把握认为年龄层与热衷关心民 生大事有关？热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12中年5总计30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取 2人上台表演节目，则抽出的 2人能胜任才艺表演的概率是多少？3右焦点为F 2，若tan PF 2F 1 .4（1）求椭圆C 的离心率;19.如图所示，在四棱锥P ABCD 中，已知平面PAD 平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AB//CD ，且 AD CD , PD AD 、3AB . 3 , CD 3, PA 6 , E 在棱 PC 上 2且满足PE 丄EC3(1) 求证：BE//平面PAD ; (2) 求证：AC 平面PBD ;P(K 1 2 3 k 。

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（三）文科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.4.考试结束后，请在教师指导下扫描二维码观看名师讲解.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则()S C A B =I （ ） A. {}1,7 B. {}3,9 C. {}1,5,7 D. {}1,7,9【答案】A 【分析】根据集合的补集运算，得到S C A ，再由交集运算，得到()S C A B I ，得到答案. 【详解】因为集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =， 所以{}1,7S C A =， 而集合{}1,3,7,9B =， 所以(){}1,7S C A B =I ， 故选：A.【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题.2.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +-=，则角C =（ ） A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【分析】对条件中()22a b c ab +-=进行化简整理，然后代入到余弦定理cos C 的表达式中，得到答案.【详解】因为()22a b c ab +-=， 所以222a b c ab +-=-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，因()0,C π∈，所以120C ︒=，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理求角的大小，属于简单题.3.已知等差数列{}n a 的前5项和为10，154a =，则9a =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【分析】根据等差数列前n 项和的公式，得到15a a +，根据等差中项，得到3a 的值，结合条件，再利用一次等差中项，得到9a 的值，得到答案. 【详解】因为{}n a 为等差数列， 所以()1555102a a S +==，即154a a +=， 所以根据等差中项可得，15322a a a +==，因为154a =，所以根据等差中项可得，315932a a a +==， 故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和，等差中项，属于简单题.4.已知函数()f x 是偶函数，其图象与x 轴有9个交点，则方程()0f x =的所有实根之和为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9【答案】A 【分析】根据偶函数的图像的特点，得到零点关于y 轴对称，从而得到答案. 【详解】因为()f x 偶函数，所以其图像与x 的交点关于y 轴对称， 故如果()00f ≠，则()f x 图像与x 的交点个数应是偶数个， 而已知条件中，()f x 图象与x 轴有9个交点， 所以可得()00f =，其它8个交点两两关于y 轴对称， 故方程()0f x =的所有实根之和为0. 故选：A.【点睛】本题考查偶函数图像的性质和特点，属于简单题.5.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，则数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差是（ ）A. 20B. 18C. 10D. 8【答案】A 【分析】根据已知方差和对应数据的变化情况，得到答案.【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，所以数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差 是22520⨯=， 故选：A.【点睛】本题考查数据同时变化后对方差的影响，属于简单题.6.设a r 与b r是相互垂直的两个向量，2a =r ，1b =r 且满足()()a b a b λ+⊥-r r r r ，则λ=（ ）A.12B. 4C. 2D.14【答案】D 【分析】由题意得到0a b ⋅=r r，再根据()()a b a b λ+⊥-r r r r ，得到()()0a b a b λ+⋅-=r r r r ，展开代入已知条件，得到λ的方程，求出答案.【详解】因为a r 与b r是相互垂直的两个向量， 所以0a b ⋅=r r，因为()()a b a b λ+⊥-r r r r ，所以()()0a b a b λ+⋅-=r r r r，即()2210a a b b λλ+-⋅-=r r r r ，因为2a =r ，1b =r，所以410λ-=， 解得14λ=. 故选：D.【点睛】本题考查垂直向量的表示，向量数量积的运算律，属于简单题.7.已知函数()(32019log 2f x x x =+，则不等式()()21130f x f x ++-<的解集为（ ） A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. ()2,+∞D. (),2-∞【答案】C 【分析】判断出()f x 为奇函数，且在R 上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为()()2131f x f x +<-，利用单调性解得答案.【详解】函数()(32019log 2f x x x =+，定义域(),-∞+∞，()(32019log 2f x x x -=-+-(132019log 2x x -=-(32019log 2x x =--()f x =-，且()00f =所以()f x 为奇函数，因为2019log y t =，2t x =和3y x =都是增函数所以()(32019log 2f x x x =+是增函数，所以由()()21130f x f x ++-<， 得到()()()211331f x f x f x +<--=-， 所以2131x x +<- 即2x >. 故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性，单调性，根据函数性质解不等式，属于中档题.8.对于任意两个数()*,,x y x y N∈，定义某种运算“◎”如下：①当**2,2,x m m N y n n N ⎧=∈⎨=∈⎩或**21,21,x m m N y n n N ⎧=-∈⎨=-∈⎩时，x y x y =+◎；②当**2,21,x m m N y n n N⎧=∈⎨=-∈⎩时，x y xy =◎.则集合(){},|10A x y x y ==◎的子集个数是（ ）A. 142个B. 132个C. 112个D. 72个【答案】C 【分析】读懂条件中给出的定义，得到,x y 对应的取值情况，然后根据所求的集合(){},|10A x y x y ==◎，列出满足要求的(),x y ，得到其子集个数.【详解】根据条件中的定义可知，当*,x y N ∈，且,x y 同为奇数或者同为偶数时，有x y x y =+◎，当*,x y N ∈，且x 为偶数，y 为奇数时，有x y xy =◎，故集合(){},|10A x y x y ==◎中10x y =◎，当,x y 同为奇数或者同为偶数时，10x y +=，(),x y 可取()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()5,5，()6,4，()7,3，()8,2，()9,1，当x 为偶数，y 为奇数时，10xy =(),x y 可取()2,5，()10,1，所以(),x y 可取的情况共有11种， 即集合A 中有11个元素， 所以集合A 得子集个数为112. 故选：C.【点睛】本题考查对给出的新定义的理解，读懂题目是关键，考查了根据集合元素个数求子集的个数，属于中档题.9.若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A. (),8-∞- B. ()8,-+∞ C. (),8-∞ D. ()8,+∞【答案】B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-， 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.10.在长方体1111ABCD A B C D -中，111A A A D ==，3AB =，E 为棱1AA 的中点，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.C.4D. 4-【答案】B 【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，利用得到各点坐标，得到EF u u u r 和1u u uu r BC 的坐标，利用向量的夹角公式，得到异面直线所成角的余弦值.【详解】以D 为原点，DA uuu r为x 轴，DC u u u r 为y 轴，1DD u u u u r 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以()A，(1A，()B，(1C ，E 为棱1AA的中点，所以(E ，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，所以(F ，所以(EF =u u u r，(1BC =-u u u u r，设异面直线EF 与1BC 所成角为θ则1cos cos ,EF BC θ=u u u r u u u u r114EF BC EF BC ⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 。

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（十）文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知全集U R =，集合{}2430A x x x =-+，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,3 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，则9S =（ ） A ．25 B ．45 C ．60 D ．903．已知双曲线222:1y C x b-=的一条渐近线是y =，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2BC ．3D ．44．渝康码是腾讯和支付宝与重庆市政府合作推出的重庆电子健康码，用户申请使用渝康码，凭此码出入小区，学校，医院，商业，公共交通，办公楼宇，交通卡口等．如图，健康人员的渝康码是黑白相间的．已知某个重庆市民的渝康码是边长为15cm 的正方形，利用随机模拟的方法向该渝康码内投入900个点，其中落入黑色部分的点的个数为480个，则该渝康码的黑色部分的面积约为（ ）2cm ．A ．105B ．115C ．120D ．1355．已知1ln 3a =，lg3b =，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<6．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点(2,)(0)M b b >到焦点的距离为3，则b 的值为（ ）A B ．2 C ． D ．4 7．已知平面αβ⊥，l αβ=，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥是m l ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．一个算法的程序框图如图所示，则该程序输出的结果是（ ）A ．5B ．1C ．15 D ．179．已知在矩形ABCD 中，24AB BC ==，E 为AB 的中点，沿着DE 将ADE △翻折到PDE △，使平面PDE ⊥平面EBCD ，则PC 的长为（ ）A ．B ．C ．4D ．610．如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟．将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y 轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为0t =，则此人距离地面的高度()f t 与摩天轮运行时间t （单位：分钟）的函数关系式为（ ）A ．()50sin20(0)9f t t t π=+ B ．()50sin 70(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()50sin 20(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D ．()50sin 70(0)9f t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．其定理陈述如下：如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，则在区间(,)a b 内至少存在一个点0(,)x a b ∈，使得()0()()()f b f a f x b a '-=-，0x x =称为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的中值点，则函数()sin f x x x =在区间[0,]π上的“中值点”的个数为（ ）1.41≈ 1.73≈， 3.14π≈．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知平面向量OA ，OB ，OP ，OQ ，满足：||2OA =，||1OB =，且()0OB OB OA ⋅-=，若OP tOA =，(1)OQ t OB =-，其中01t ，则||PQ 的最小值为（ ）A ．27 B ．37C ．7D ．7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13．已知复数22z i=-，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =________． 14．已知甲、乙两个盒子，其中甲盒中有大小完全相同的红、黄、白三个球，乙盒中有大小完全相同的红、黄两个球，现从两个盒子中各取一个球，则两个小球颜色不同的概率为________．15．已知函数32()(1)3f x x a x ax =+--为一个奇函数，则()f x 在[2,3]-上的最大值为________．16．已知数列{}n a 中11a =-，当2n 时，1123,,n n n a a a n n --⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，记26n n b a =+，则1n nbb +=________；数列{}n b 前n 项和n S =________．（第一空2分，第二空3分） 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 是锐角，且sin 2cos b A a B c +=．（1）求角A ；（2）若D 为AC 边上一点，2BC BD =， 5AB =，且ABD △的面积为2，求sin C ． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，BP ⊥平面PDC ，四边形ABCD 是一个直角梯形，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AD AB BC ==．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若AB BP PA ==，且P ABCD V -=P ABD -的侧面积． 19．（本小题满分12分）新型冠状病毒肺炎是一种传染性极强的肺炎临床上，核酸检测是新冠肺炎患者确诊的重要依据、是最关键的一环．为什么要做核酸检测呢？简单来说，核酸类似病毒的“指纹”、身份证，找到核酸，就等于确定了病毒的身份与性质．核酸是生物的最基本组成物质和生物学研究的基础物质．病毒是一种个体微小，结构简单的非细胞生物，病毒中也有核酸，且只含一种核酸（DNA 或RNA ），所以，检测到核酸，也就等于揪住了病毒的尾巴．新型冠状病毒感染者，经过治疗，如果核酸检测第一种为阴性，就说明病毒已经消失或者已不再具备造成感染的能级、数量．某生物制药公司生产了两种不同规格型号的新冠病毒核酸检测试剂盒．检测单个样本得知核酸检测结果所需的时间记为X （单位：分钟）．现两种试剂盒检测的样本各有20个，统计检测所需时间，得到如图的茎叶图．（1）试通过平均数比较两种试剂盒哪一种检测更快捷；（2）在改变了试剂盒的生产工艺后，组织了2000名志愿者参加了核酸检测，记录检测时间，得到如下统计数据：800 1200判断是否有99.5%的把握认为核酸检测时间与试剂盒生产工艺有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（本小题满分12分）已知函数()()a xf x x e a R =∈，()()ln ()g x f x f x =-． （1）当0a =时，求曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程； （2）当1a =时，若()01g x =，求证：01325x <<． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，短轴长为4．（1）求该椭圆的标准方程；（2）已知点P ，过点P 作相互垂直的两条直线分别交椭圆于另一点A ，B ，求点P 到AB 距离的最大值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为321x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点(3,1)P -，求||||PM PN ⋅的值． 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|21||21|f x x x =+--．（1）若不等式()|4|f x ax +的解集包含[1,2]，求a 的取值范围； （2）若()f x 的值域为A ，且,a b A ∈，证明：|4||22|ab a b ++．巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（十）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．【解析】 1．[1,3]A =，{1,2,3}AB =，故选D ．2．()199599452a a S a +===，故选B ．3．依题意b =A ．4．设该渝康码的黑色部分的面积为x ，则480120225900x x =⇒=，故选C ． 5．1ln ln 303=-<，0lg31<<，1221>，所以a b c <<，故选A ．6．由焦半径公式232pMF =+=，2p =，24y x =，∴28b =，b =，故选C ． 7．m n ⊥不能推出m l ⊥，由面面垂直的性质定理可知m l m n ⊥⇒⊥，故选B ．8．第一次进入循环体：1i =，是，2i =，1T =，1553P ==；第二次进入循环体：2i =，是，3i =，2T =，515P ==；第三次进入循环体：3i =，是，4i =，3T =，17P =；第四次7进入循环体：4i =，否，输出17P =，故选D ．9．当平面PDE ⊥平面EBCD 时，∵CE DE ⊥，平面PDE平面EBCD DE =，∴CE ⊥平面PDE ，CE DP ⊥，∵DP PE ⊥，PE EC E =，∴DP ⊥平面PEC ，DP PC ⊥，所以PC =A ．10．由已知()sin()(0,0)f t A t B A ωϕω=++>>，205012070A B A A B B ⎧-+==⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，18T =，2189ππω==，当0t =时，sin 1ϕ=-，2πϕ=-，()50sin 70(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，故选B ．11．由()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，知()2cos 3f x x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭．由拉格朗日中值定理：令()0()()f b f a f x b a -'=-，即00()(0)2cos cos 303f f x x ππππ-⎛⎫⎛⎫+==⇒+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，0(0,)x π∈，由11,2π⎛⎫--- ⎪⎝⎭，结合余弦函数图象易知方程在区间(0,)π内有2解，故在2区间[0,]π上的“中值点”有2个，故选B ．12．由()0OB OB OA ⋅-=，得到OA 与OB 的夹角60θ=︒，进而||2OP t =，|1OQ t =-∣，且OP 与OQ的夹角60θ=︒，||4PQ t ==．当27t =时，min ||7m OP OQ =-=，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．【解析】 13．242255z i i ==+-，4255z i =-． 14．甲盒中的三个球记为R ，Y ，W ，乙盒中的两个球记为r ，y ，则共有(,)R r ，(,)R y ，(,)Y r ，(,)Y y ，(,)W r ，(,)W y ，6种情况，则42()63P A ==． 15．10a -=，3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，(1)2f -=，(3)18f =，∴max ()18f x =． 16．()2122212222366262666n n n n n n n n a b a a b a a a +++⋅+++⋅+====+++，则1264b a =+=，则数列{}n b 是首项为14b =，公比2q =的等比数列，()24122412n n n S +-==--．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理：sin sin 2sin cos sin sin()B A A B C A B +==+， （1分） 所以sin sin 2sin cos sin cos cos sin B A A B A B A B +=+，因为sin 0B >，即有sin 2cos A A =， （3分）2sin cos cos A A A ⇒=，因为A 是锐角，cos 0A >，所以12sin 1sin 2A A =⇒=，所以6A π=． （6分） （2）如图，因为5AB =，6A π=，所以1sin 22ABD S AB AD A =⋅⋅⋅=△，解得AD = （8分）在ABD △中，由余弦定理2cos 6π=，解得BD =BC = （10分）在ABC △中，由正弦定理15sin sin sin 28AB BC C C A ⨯=⇒==． （12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：如图，设E 是BC 的中点，连接DE ，设12AD AB BC a ===，则BE EC a ==，因为AD BC ∥，90ABC ∠=︒，易得DE a =，且DE BC ⊥，所以BD DC ==．又2BC a =，由勾股定理得CD BD ⊥， （3分） 因为BP ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以BP CD ⊥． （5分） 又因为BD ，BP 相交，所以CD ⊥平面PB D ． （6分）（2）解：设AB BP a ==，由（1）可得BD =，因为BP ⊥平面PDC ，所以BP PD ⊥．∵BP a =，∴PD a ==，在等腰三角形PBD 中，设O 是BD 的中点，∴PO BD ⊥，由（1）知：CD ⊥平面PBD ，所以CD PO ⊥．从而PO ⊥平面ABCD ，且122PO BD a ==， （8分） 由（1）中数据得2(2)322ABCDa a a a S +⋅==梯形， （9分）所以21134332P ABCDABCD a V S PO a -==⨯=⋅=梯形． （10分） 因为PAB △和PAD △为边长为4的等边三角形，PBD △是一个等腰直角三角形，所以88PAB PAD PBD S S S S =++==侧△△△． （12分）19．（本小题满分12分）解：（1）第一种更快， （1分） 第一种的平均时间为11531819212232324230231333543464826.820X ⨯++++⨯++⨯+⨯++++++==， （3分）第二种的平均时间为21821932324252262734352363840414923020X ⨯+⨯+++⨯++++⨯+++++⨯==， （5分）因为12X X <，所以第一种试剂盒检测更快捷． （6分） （2）由题可知400a =，600b =，800c =，200d =，1000a b +=，1200a c +=，1000c d +=，800b d +=，2000n a b c d =+++=，（8分） 所以2K 检验的估计值为222000(400200600800)333.333100010001200800K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， （10分）由于333.3337.879>， （11分） 所以有99．5%的把握认为核酸检测时间与试剂盒生产工艺有关． （12分）20．（本小题满分12分）（1）解：当0a =时，()xg x e x =-，()1xg x e '=-， ∴(1)1g e '=-，又(1)1g e =-，∴曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为(1)y e x =-． （4分）（2）证明：当1a =时，令()xt f x xe ==，则()ln g x t t =-， 由0t >，则0x >．令()ln h t t t =-，则11()1t h t t t-'=-=． 当(0,1)t ∈时，()0h t '<，()h t 单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 单调递增，∴min min ()()(1)1g x h t h ===，当且仅当1t =时取等号， （8分） 所以()01g x =．当且仅当()0001x t f x x e ===时，∵()(1)0(0)xf x x e x '=+>>，∴()f x 在(0,)+∞上递增．又1211122f e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3533155f e ⎛⎫==≈> ⎪⎝⎭， ∴()01325f f x f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(0,)+∞上递增， ∴01325x <<．（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）由题意得，2c =，2b =，所以方程为22184x y +=． （4分） （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则设直线:AB x t =，()()(221212122(2)20PA PB x x y yt y ⋅=--+=-+-=又∵22128t y +=，∴2t =或23t =，∴2t =时舍去，此时距离为43． （5分） 若直线AB 的斜率存在，设该直线为y kx m =+，代入椭圆方程得()222214280k x kmx m +++-=，122421kmx x k -+=+，21222821m x x k -=+． （6分）()()(121222PA PB x x kx m kx m ⋅=--+++ ()()2212121((2)4(k x x k m x x m =++-+++()()22222128((2)44(2121k m k m km m k k +--=-++++0==，∴(230k m k m +++=， （9分）∴2m k =-此时AB 过点P ）或者m =， （10分） ∴AB过定点2,33Q ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，距离d的最大值为||PQ = （12分） 22．（本小题满分10分）【选修4-4坐标系与参数方程】 解：（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，∴22(2)4x y -+=．∵321x ty t =+⎧⎨=-+⎩，∴250x y --=． （5分）（2）∵321x t y t =+⎧⎨=-+⎩，∴31x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，代入224x y x +=，得220t +-=，∴12t t +=，122t t =-，故12||||2PM PN t t ⋅==． （10分） 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：依题意得，当[1,2]x ∈时，不等式|21||21||4|x x ax +--+恒成立，即(21)(21)|4|x x ax +--+，即|4|2ax +恒成立， （3分） 展开得242ax -+，即62ax x--恒成立， ∵[1,2]x ∈，∴max 63x -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，min22x -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，∴32a --． （5分）（2）证明：∵()212121(21)2f x x x x x =+--+--=，所以()f x 的值域[2,2]A =-． （7分）又∵()()222222|4||22|81642ab a b a b ab a ab b +-+=++-++()()222222441644a b a b a b =--+=--，∵,[2,2]a b ∈-，∴24a ，24b ，∴()()22440a b --，所以22|4||22|ab a b ++，所以|4||22|ab a b ++． （10分）。

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷数学（文）试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}2|20A x x x =-<，集合{}|1B x x =<，则A B =I （ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()0,1D ．()0,2 【答案】C【解析】化简集合,A B ，根据交集的定义，即可求解.【详解】 ()0,2A =，()1,1B =-，所以()0,1A B =I ，故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知复数()20201z ii =⋅+，则z 的模z =（ ）A ．1BC D ．4 【答案】B【解析】由20201,1iz i ==+，根据模长公式，即可求解. 【详解】已知()111z i i =⋅+=+，所以z =，故选：B【点睛】本题考查虚数的定义，以及复数的模长，属于基础题.3．在2019年的国庆假期中，重庆再次展现“网红城市”的魅力，吸引了3000多万人次的客流.北京游客小李慕名而来，第一天打算游览“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”.如果随机安排三个景点的游览顺序，则最后游览“朝天门”的概率为（ ）A ．16B ．56 C ．13 D ．23 【答案】C 【解析】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为,,A B C ，列出游览三个景点的所有安排顺序，确定最后游览“朝天门”安排个数，根据古典概型的概率即可求解.【详解】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为,,A B C ，随机安排三个景点的游览顺序，有以下安排方法：{,,},{,,},{,,},{,,}A B C A C B B A C B C A ，{,,},{,,}C B A C A B 共有6种安排方法，其中最后游览“朝天门”由2种安排方法 其概率为2163P ==.故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.4．已知非零向量a r ，b r 满足：()1,1a =r ，1b =r ，()a b b -⊥r r r ，则向量a r ，b r 的夹角大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】B【解析】由()a b b -⊥r r r ，()1,1a =r ，1b =r ，求出a b ⋅r r ，再由向量的夹角公式，即可求解.【详解】由()a b b -⊥r r r ，有20a b b ⋅-=r r r ，则2cos a b b θ=r r r，有2cos ,24b a b πθθπθ===≤≤=rr r .故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题.5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为1S ，2S ，则12S S =（ ）A ．1B ．12 C ．13 D ．14 【答案】C【解析】根据正方体的内切球的直径为正方体的棱，求出其半径，外接球的直径为正方体的对角线，求出半径，由球的表面积公式，即可求解.【详解】 内切球的半径112r =，外接球的半径22r =， 所以表面积之比为2112213S r S r ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查正方体的内切球和外接球的表面积，属于基础题.6．函数()2cos sin 12cos x x xf x ⋅=-的一个对称中心为（ ） A ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】根据二倍角公式化简()1tan 22f x x -=，结合正切函数的对称中心，即可求解. 【详解】 ()1sin 212tan 2cos 22x f x x x ==--， 由()()2,24k k x k Z x k Z ππ=∈=∈，对称中心为()(,0)4k k Z π∈. 故选：B【点睛】 本题考查三角函数化简，考查三角函数的性质，属于基础题.7．已知函数()f x 满足：()(),02,0x e x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2019f =（ ） A ．1e -B ．eC ．0D ．1【答案】A 【解析】由()(),02,0x e x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，得()2019(1)(1)f f f ==-，即可求解. 【详解】由0x >时，由函数的解析式，则有()()()1201911f f f e -==-=， 故选：A.【点睛】本题考查分段函数的函数值，属于基础题.8．有些数学游戏的结果是可以预知的，比如从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中，任取两个数字出来，然后排出所有的两位数，数字不能重复.把所有的两位数全部加起来，再除以这两个数字之和，结果一定是11.例如我们取出的是3和9，则能组成93和39，加起来是132，除以12，会得到11.那么如果任意取三个数字，任意排出不同的三位数，按以上操作一定得到的结果是（ ）A ．111B ．11C ．22D ．222【答案】D【解析】取出不同的三个数字，如1,2,3，将这三个数排出6个数，根据这6个数的关系，求出这6个数的和，除以6，即可求出结果.【详解】假设取的是1，2，3，可以组成6个数，每位上三个数字各出现2次，所以所有的和为1332，除以6等于222，故选：D.本题考查归纳推理，认真审题，理解题意是解题的关键，数据基础题.9．某程序框图如图所示，若输出的结果是20182019s =，则函数()g n 可能是下列的（ ）A ．()212n g n n=- B ．()21g n n n =- C ．()212n g n n =+ D ．()21g n n n =+ 【答案】D 【解析】根据循环体的语句可得(1)(2)(2018)S g g g =+++L ，当2n =时，选项A ，()g n 没意义；当1n =时，，选项B ，()g n 没意义，选项A,B 排除；选项C,D 分别用裂项相消法求和验证，即可得结论. 【详解】依题意(1)(2)(2018)S g g g =+++L ，选项A: 当2n =时，()g n 没意义，所以不正确；选项B ：当1n =时，()g n 没意义，所以不正确；选项C ：()21111=()222n n n g n n =-++， (1)(2)(2018)S g g g =+++L11111111[(1)()+()++()]23243520182020=-+---L 13112018()22201920202019=--≠，所以不正确； 选项D:()2111=1n n n g n n =-++, (1)(2)(2018)S g g g =+++L1111112018(1)()++()=12232018201920192019=-+---=L , 符合题意，所以正确.【点睛】本题考查程序框图，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.10．已知抛物线E ：24y x =，圆C 以抛物线E 的焦点F 为圆心，与准线l 相切.若圆C 和抛物线E 分别交于两点A 和B ，则弦长AB =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】B【解析】由抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据条件求出圆C 方程，与抛物线方程联立，求出交点,A B 坐标，即可求解.【详解】圆C 的方程为()2214x y -+=，和抛物线联立解得1x =，3x =-（舍负），代入抛物线得2y =±，所以AB 4=，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的性质和圆的方程，考查曲线的交点，属于基础题.11．已知函数()()lg 31x f x =+，则()()()()4343f f f f +----=（ ） A ．0B ．1C ．lg 4D ．lg 3【答案】D 【解析】由已知条件和对数的运算法则，求得()()444lg3f f -=-，()()333lg3f f -=-，再用对数的运算法则，即可求解.【详解】已知()()44431lg l 14g343f f -⎛⎫+== ⎪+⎝⎭--， ()()33331lg l 13g333f f -⎛⎫+== ⎪+⎝⎭--，所以原式化为()()()()4344331g 1g 333f f f f -----⎡⎤⎡⎤⎛⎫== ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 故选：D.【点睛】本题考查对数的运算，合理分组求和是解题的关键，属于基础题.12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线l ：x =E 交于两点A 和B ，和y 轴交于点P .若2FP PA =u u u r u u u r ，则椭圆E 的离心率e =（ ）A ．2B ．2C ．4-D 1【答案】D【解析】由已知可得()F 和()0,1P ，c =2FP PA =u u u r u u u r ，得322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点A 坐标代入椭圆方程，结合223b a =-，求出a ，即可求解.【详解】根据直线可知()F ，所以c =，又()0,1P 及2FP PA =u u u r u u u r ，得32A ⎫⎪⎪⎝⎭， 代入椭圆方程有2239144a b+=，将223b a =-代入，解得2a =223a c =<=（舍去），则)2241e ==-=， 故选：D【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知双曲线2233x y -=，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】y x = 【解析】将双曲线方程化为标准方程，结合渐近线方程公式，即可求解.【详解】2233x y -=化为2213x y -=，所以渐近线方程为3y x =±.故答案为：y x = 【点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.14．著名的斐波那契数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故还称为“兔子数列”.它满足：11a =，21a =且()*21n n n a a a n N ++=+∈，则10a =______. 【答案】55【解析】根据递推公式分别求出12389,,,,a a a a a L ，即可求出结论.【详解】由递推关系知前9项分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，所以1055a =.故答案为：55【点睛】本题考查数列的表示，属于基础题.15．曲线sin 2cos y x x =-在点,12Q π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______. 【答案】21y x π=-+ 【解析】求导，求出2,|x y y π=''，用直线方程的点斜式求出切线方程，即可求解.【详解】求导'cos 2sin y x x =+，将2x π=代入得斜率为2， 直线为122y x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：21y x π=-+【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16．“层层叠”是一款经典的木制益智积木玩具，它的设计理念来源于我国古代汉朝的黄肠题凑木模.玩法是先将木块三根为一层，交错叠高成塔（或者其他叠法），然后轮流抽取任意一层的一根木块，在抽取的过程中木塔倒塌则算输.如图，现用9根尺寸为113⨯⨯的木条，叠成一个正方体，并编号1～9.小张抽出中间的5号木条后，正方体表面积由54变为64.若小王又把8号木条抽走，现在几何体的表面积为______.【答案】66【解析】根据几何体结构特征有，总表面积＝外表面－外表空洞＋内部增加，即可求出结论.【详解】总表面积＝外表面－外表空洞＋内部增加，所以()()544353466S =-++⨯+=.故答案为：66【点睛】本题以数学文化为背景，考查几何体的表面积，认真审题，注意观察图形是解题的关键，属于基础题.三、解答题17．已知在ABC ∆中，A ∠，B Ð，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c ，设函数()213cos cos 24x x x f x =-+.若ABC ∆满足：()12f A =. （1）求A ∠的大小；（2）若a =1c =，求ABC ∆面积S 的大小.【答案】（1）3A π∠=；（2）ABC S ∆= 【解析】（1）用降幂公式和二倍角的正弦，以及辅助角公式化简()1cos 2123x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()12f A =和角A 的范围，即可求出3A π∠=；（2）由已知条件和余弦定理，求出b ，再由面积公式，即可求解.【详解】（1）()cos 2+1312cos 214423x f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 由()12f A =，cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,可得22()3A k k Z πππ+=+∈， 则3A k ππ=+()k ∈Z ，又()0,A π∈，所以3A π∠=. （2）在ABC ∆中，由余弦定理可知2712cos 3b b π=+-，260b b --=求得3b =，或2b =-（舍去）则1sin 2ABC S bc A ∆== 【点睛】本题考查三角函数的化简，要熟练掌握三角恒等变换公式以及变形，考查余弦定理解三角形，属于中档题.18．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，E 点为AD 的中点，PE CD ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若正方形的边长为4，求D 点到平面PEC 的距离.【答案】（1）见解析；（2）DH =【解析】（1）PD PA =，E 点为AD 的中点，可知PE AD ⊥，再由已知条件PE CD ⊥，可证PE ⊥平面ABCD ，即可证明结论；（2）连CE ，由（1）可得平面PEC ⊥平面ABCD ，过D 作DH CE ⊥与H ，根据面面垂直的性质定理，可得DH ⊥平面PCE ，即DH 为所求，且DH 为Rt CDE ∆斜边上的高，可得出结论 【详解】（1）证明：由PD PA =，E 点为AD 的中点， 可知PE AD ⊥，再已知PE CD ⊥，且AD ，CD 相交于D ，则PE ⊥平面ABCD . 又PE ⊂平面ADP ，所以平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）知PE ⊥平面ABCD ， 则平面PEC ⊥平面ABCD ，相交于EC .作DH EC ⊥，可知DH 为D 点到平面PEC 的距离，且5DH ==【点睛】本题考查面面垂直的证明以及面面垂直性质的应用，考查空间垂直的转化，属于基础题.19．当前，旅游已经成为新时期人民群众美好生活和精神文化需求的重要内容.旅游是综合性产业，是拉动经济发展的重要动力，也为整个经济结构调整注入活力.文化旅游产业研究院发布了《2019年中国文旅产业发展趋势报告》，报告指出：旅游业稳步增长，每年占国家GDP 总量的比例逐年增加，如图及下表为2014年到2018年的相关统计数据.（1）根据以上数据，求出占比y 关于年份x 的线性回归方程y bx a =+$$$； （2）根据（1）所求线性回归方程，预测2019年的旅游收入所占的比例.附：()()()121ˆˆˆni i i nii x x y y b x x ay bx ==⎧--⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑. 【答案】（1）$0.1810.34x y =+；（2）11.42% 【解析】（1）求出,x y ，将数据代入公式()()()121ˆˆˆniii ni i x x y y ba y bxx x ==--==--∑∑，，计算，即可求得结论； （2）将6x =代入线性回归方程求出y ，可得出结论. 【详解】（1）由表中数据可知3x =，10.88y =，则20.4810.0810.1220.320.184114b⨯+⨯+⨯+⨯==+++$，$10.8830.1810.34a=-⨯=， 所以占比y 关于年份x 的线性回归方程为$0.1810.34x y =+.（2）将6x =带入$0.1810.34x y =+，求得11.42y =， 则2019年的占比预计为11.42% 【点睛】本题考查线性回归方程，以及应用方程进行预测，考查计算能力，属于基础题.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =1F ，2F ，椭圆上一动点P 和1F ，2F 组成12PF F ∆（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线l ：y kx m =+和椭圆相交于不同的两点A ，B ，且原点O 与A ，B 连线的斜率之和满足：2OA OB k k +=.求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）14k <-或0k > 【解析】（1）根据椭圆图形可知，椭圆上一动点P 和1F ，2F 组成12PF F ∆的面积最大为bc ，有条件可得bc =e =,,a b c 的平方关系，即可求解； （2）直线l 方程与椭圆方程联立，消元，整理，得到()222148440kxkmx m +++-=，>0∆，得到22410m k --<，①，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据韦达定理，可得12,x x 关系，再由已知2OA OB k k +=，得到21k m =-，代入①消去m ，求出k 的范围. 【详解】（1）由题可知c e a ==，12PF F∆的面积最大为122c b bc ⋅⋅==由222a b c =+，可得24a =，21b =，椭圆的方程E ：2214x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将l ：y kx m =+代入E ：2214xy +=，整理得到()222148440kxkmx m +++-=，由判别式()()222264414440k m km∆=-+->，得22410m k --<，①由韦达定理得122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+， 而()1212121222OA OB m x x y y k k k x x x x ++=+=+=， 将韦达定理代入得21k m =-，再代入①中，消去21m -，可得240k k +>， 解得斜率k 的取值范围为14k <-或0k >. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，掌握设而不求用根与系数关系表示交点坐标与参数关系，考查计算能力，属于中档题.21．已知函数()()ln f x x a x =-⋅，其中a R ∈. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）若[]1,x e ∈时，()2ef x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 附： 2.7183e ≈.【答案】（1）单调减区间为10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 的单调增区间为1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；（2）2e a ≥【解析】（1）求导，当0,()1ln a f x x '==+，由1()0,f x x e'==-求出()0,()0f x f x ''<>的解，即可求出结论；（2）要使[]1,x e ∈时，()2e f x ≤恒成立，只需[]1,x e ∈时，max ()2ef x ≤，令 ()()1ln h x x x a =+-，[]1,x e ∈，求导并判断()0h x '>，()h x 在[]1,x e ∈是增函数，对a 分类讨论，通过判断()f x '的正负情况，讨论()f x 的单调区间，从而求出[]1,x e ∈时()f x 的最大值，即可求解. 【详解】 （1）已知()()1ln 'x x af x x+-=，其中0x >.当0a =时，()'1ln f x x =+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x <，()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()'0f x >，()f x 单调递增.则()f x 的单调减区间为10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 的单调增区间为1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.（2）令()()1ln h x x x a =+-，[]1,x e ∈， 则()'2ln h x x =+，由[]1,x e ∈，则()'0h x >， 所以()h x 单调递增，()[]1,2h x a e a ∈--. ①当1a <时，()0h x >，则()f x 单调递增， 满足()2ef e e a =-≤，无解； ②当2a e >时，()0h x <，则()f x 单调递减， 满足()102ef =≤，成立； ③当12a e ≤≤时，由[]1,x e ∈时，()h x 单调递增， 所以存在[]01,x e ∈，使得()00h x =， 则()f x 在()01,x 上单减，在()0,x e 上单增， 要()2e f x ≤恒成立，只要()12e f ≤且()2e f e ≤，即22ea e ≤≤. 综上所述，实数a 的取值范围为2ea ≥. 【点睛】本题考查函数导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间、最值，考查不等式恒成立问题，等价转化为函数的最值与参数关系，考查分类讨论思想，属于较难题.22．已知在平面直角坐标系中，曲线E 的参数方程为221x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），若以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点3(1,0),(2,).2A B π （1）求曲线E 的直角坐标方程以及,A B 两点的直角坐标； （2）曲线E 上有动点21(2,)P t t t t+-，求PAB ∆面积的最小值时点P 的直角坐标. 【答案】（1）曲线E ：22416x y -=，(10)(02).A B -，，，（2）最小的面积为1S =-，此时点.P ⎝⎭【解析】（1）用消元法得曲线E 的直角坐标方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得,A B 两点的直角坐标．（2）求出直线AB 方程，由点到直线距离公式得P 到直线AB 的距离，这个距离最小，则三角形面积最小． 【详解】（1）由曲线E 的参数方程可得2442x y t x y t +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，，两式相乘得曲线E ：22416x y -=， A B ，两点的直角坐标为(10)(02).A B -，，， （2）由（1）可得A B ，两点确定的直线方程为22x y -=，则动点212P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，到直线AB的距离d ==，当t =d =此时最小的面积为1||12S d AB ==，此时点.P ⎝⎭【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，考查极坐标与直角坐标互化．属于基础题． 23．已知函数()|241|,0.f x x a x a =-++> （1）若1a =，求关于x 的不等式()7≤f x 的解集； （2）若关于x 的不等式()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）410.33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2） 1.a ≥【解析】（1）按绝对值符号里式子的正负分类去掉绝对值符号后解不等式；（2）按绝对值符号里式子的正负分类去掉绝对值符号得分段函数，然后考虑a 值范围确定函数的最小值，由最小值3≥得结论． 【详解】（1）()|24||1|7f x x x =-++≤.①当2x ≥时，不等式化为1033723x x -⇒≤≤≤； ②当12x -<<时，不等式化为5712x x -+⇒-<<≤； ③当1x ≤-时，不等式化为433713x x -⇒--≤≤≤，综上，原不等式的解集为410.33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）(2)42()241(2)412(2)41a x a x f x x a x a x a x a x a x ++-≥⎧⎪=-++=-++-<<⎨⎪-++-≤-⎩，，，，，， ①若min 2()(1)6a f x f =-=≥，； ②若02a <<，min ()(2)3f x f a ==， 综上，()3 1.f x a ⇒≥≥ 【点睛】本题考查含绝对值的不等式的解法．解题方法是按绝对值定义去绝对值符号．分类讨论思想是本题的重要思想方法．。

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（三）文科数学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.4. 考试结束后，请在教师指导下扫描二维码观看名师讲解.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则()S C A B =（ ）A . {}1,7B . {}3,9C . {}1,5,7D . {}1,7,92. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +-=，则角C =（ ） A . 30︒ B . 60︒ C . 120︒D . 150︒3. 已知等差数列{}n a 的前5项和为10，154a =，则9a =（ ） A . 2 B . 3 C . 4D . 54. 已知函数()f x 是偶函数，其图象与x 轴有9个交点，则方程()0f x =的所有实根之和为（ ） A . 0 B . 3 C . 6D . 95. 数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，则数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差是（ ）A . 20B . 18C . 10D . 86. 设a 与b 是相互垂直的两个向量，2a =，1b =且满足()()a b a b λ+⊥-，则λ=（ ） A .12B . 4C . 2D .147. 已知函数()(32019log 2f x x x =+，则不等式()()21130f x f x ++-<的解集为（ ） A . 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B . 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C . ()2,+∞D . (),2-∞8. 对于任意两个数()*,,x y x y N ∈，定义某种运算“◎”如下：①当**2,2,x m m N y n n N ⎧=∈⎪⎨=∈⎪⎩或**21,21,x m m N y n n N ⎧=-∈⎪⎨=-∈⎪⎩时，x y x y =+◎；②当**2,21,x m m N y n n N⎧=∈⎪⎨=-∈⎪⎩时，x y xy =◎.则集合(){},|10A x y x y ==◎的子集个数是（ ）A . 142个 B . 132个 C . 112个D . 72个9. 若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A . (),8-∞- B . ()8,-+∞ C . (),8-∞D . ()8,+∞10. 在长方体1111ABCD A B C D -中，111A A A D ==，3AB =，E 为棱1AA 的中点，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A .B .C .D .11. 若函数()sin 2266f x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于直线6x π=对称，则θ的值不能是（ ） A . 43π- B . 3π- C .23πD .43π 12. 已知数列{}n a 满足123a =，123nan a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈，则下列结论成立的是（ ）A . 201920202018a a a <<B . 202020192018a a a <<C . 201920182020a a a <<D . 201820192020a a a <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知sin39a ︒=（a 为常数），则sin 219︒=______.（用含a 的式子表示）14. 已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，1n n b a =+，*n N ∈，则{}n b 的通项公式n b =______.15. 已知直线l 的斜率为1，且与双曲线2212x y -=相切于第一象限于点A ，则点A 的坐标为______. 16. 在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱()14AA a a =>，M 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（包括四条边上的点），且满足tan 3tan APD MPB ∠=∠，则三棱锥P ABC -的体积取最大值是______.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知，如图甲，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图乙所示，且60DEA CFB ∠=∠=︒，点M 在线段AB 上且不与点A ，B 重合，直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定的平面相交，交点为O .（1）若12AM AB =，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ； （2）若78AM AB =，求点O 到平面CDEF 的距离. 18. 在公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列.数列{}n b 满足3,4,n a n n n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数为正偶数. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19. 2014年12月19日，2014年中国数学奥林匹克竞赛（第30届全国中学生数学冬令营）在重庆市巴蜀中学举行.参加本届中国数学奥林匹克竞赛共有来自各省、市（自治区、直辖市）、香港地区、澳门地区，以及俄罗斯、新加坡等国的30余支代表队，共317名选手.竞赛为期2天，每天3道题，限时4个半小时完成.部分优胜者将参加为国际数学奥林匹克竞赛而组建的中国国家集训队.中国数学奥林匹克竞赛（全国中学生数学冬令营）是在全国高中数学联赛基础上进行的一次较高层次的数学竞赛，该项活动也是中国中学生级别最高、规模最大、最有影响的全国性数学竞赛.2020年第29届全国中学生生物学竞赛也将在重庆巴蜀中学举行.巴蜀中学校本选修课“数学建模”兴趣小组调查了2019年参加全国生物竞赛的200名学生（其中男生、女生各100人）的成绩，得到这200名学生成绩的中位数为78.这200名学生成绩均在50与110之间，且成绩在[)90,100内的人数为30，这200名学生成绩的高于平均数的男生有62名，女生有38名.并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图.（1）求x ，y 的值；（2）能否有99.9%的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系？男生 女生 总计 成绩不高于平均数 成绩高于平均数总计参考公式及数据：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82820. 已知函数2ln f x x x =-.（1）求函数()f x 在点()01,A y 处的切线方程； （2）求函数()f x 在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域； （3）若存在121,,,,n x x x e e ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+≤成立，求n 的最大值.（其中自然常数 2.71828e =⋅⋅⋅）21. 已知椭圆Γ的方程为()222210x y a b a b +=>>，椭圆Γ的离心率正好是双曲线2213y x -=的离心率的倒数，椭圆Γ的短轴长等于抛物线24y x =上一点()03,P y 到抛物线焦点F 的距离.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 与椭圆Γ的两个交点为C ，D 两点，已知圆O ：224x y +=与x 轴的交点分别为A ，B （点A 在x 轴的正半轴），且直线l 与圆O 相切，求ACD ∆的面积与BCD ∆的面积乘积的最大值. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为325415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于P ，Q 两点，且()2,1A ，求11AP AQ+的值. 23.【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()1f x x a x =++-.（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围.巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（三）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5：ACBAA6-10：DCCBB11-12：DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. a - 14. 2n 15. ()2,1 16.64515三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解：（1）如图，延长FM 交EA 的延长线于点O ， ∵M 为AB 的中点，//AE BF ，∴M 为OF 的中点， 又//AB EF ，∴A 为OE 的中点，连接DF 交CE 于点N ， 则N 为FD 的中点，所以//DO MN .又DO ⊄平面EMC ，MN ⊂平面EMC ，∴//DO 平面EMC .（2）法一：过点O 作OT DE ⊥于点T ，由题意可知，EF DE ⊥，EF AE ⊥，DE AE E =，所以EF ⊥平面ADE ， 又OT ⊂平面ADE ，∴EF OT ⊥，又OT DE ⊥，EFDE E =，∴OT ⊥平面CDEF ，即OT 为点O 到平面CDEF 的距离， ∵OA AM OE EF =，∴728OA AM AM OA EF AB ===+，∴14OA =，16OE =，sin 6083OT OE =︒= ∴点O 到平面CDEF 的距离为3法二：令d 为点O 到平面CDEF 的距离，∵O DEF F ODE V F --=， ∴1133DEF ODE S d S EF ∆∆⋅=⋅， ∴1111sin 603232DE EF d OE DE EF ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅︒⋅，∴d =18. 解：（1）在公差d 不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成等比数列，可得2319a a a =，又11a =，可得()()211128a d a a d +=+，化简可得11a d ==，即有n a n =，*n N ∈.（2）由（1）可得3,4,n n n b n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数为正偶数，数列{}n b 的前2n 项和()()352123333816248n n T n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()()()319391188411928n nn n n n --=++=++-. 19. 解：（1）∵成绩在[)90,100内的人数为30， ∴成绩在[)90,100内的频率为300.15200=. 由频率分布直方图得()0.010.005100.151y x x ++++⨯+=，化简得20.07y x +=，① 由中位数可得()0.01101078700.5y x ⨯++-=，化简得540.2y x +=，② 由①②解得0.025x =，0.02y =. （2）根据题意得到列联表：()222003838626211.5210.828100100100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系.20. 解：（1）()2222'2x f x x x x-=-=，∴()'10f =，又()11f =，∴()101y x -=⨯-，即10y -=为所求切线的方程.（2）∵函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增， 故()()min 11f x f ==，又因为21123f e e⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()2225.29 2.722 2.82 5.84f e e =-<=-<-=， 故()()2max 2f x f e e ==-，故1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦. （3）由于()()()()()21212n n e f e f x f x f x f x --=≥≥++⋅⋅⋅+()()111n f n ≥-=-，则217n e ≤-<，取123451x x x x x =====，则()()()212552f x f x f x e ++⋅⋅⋅+=<-，故n 的最大值为6.21. 解：（1）设椭圆Γ的焦距为()20c c >，由题知，椭圆Γ的短轴长为2314b PF ==+=，则2b =，椭圆Γ的离心率e =2222c e a b b a c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆Γ的方程为221164x y +=. （2）由题意知，直线l 的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠， 设点()11,C x y ，()22,D x y ， 由于直线l 与圆224x y +=2=，所以()2241m k =+.点A 到直线l的距离为1d =，点B 到直线l的距离为2d ==将直线l 的方程与椭圆Γ的方程联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()()222418440k x kmx m +++-=.由韦达定理可得122841kmx x k +=-+，()21224441m x x k -=+. 记ACD ∆的面积为1S ，记BCD ∆的面积为2S ，由弦长公式可得12CD x x =-====.所以，2121212111224S S CD d CD d CD d d=⋅⋅⋅=⋅()()22222221921414141k k k mkk+-=⨯⨯++()()222221921144141k kkk+=⨯⨯++()222422221921921921161841168k kk kk kk===+++++1921216≤==.当且仅当22116kk=时，即当12k=±时，等号成立.因此，12S S的最大值为12.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线1C的普通方程为()2224x y-+=，即2240x y x+-=.将cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简得1C的极坐标方程为4cosρθ=.（2）将2C的参数方程代入1C的普通方程()2224x y-+=中，得28305t t+-=，设P，Q两点的参数分别为1t，2t，则12128530t tt t⎧+=-⎪⇒⎨⎪=-<⎩1t，2t异号，1212121111t tAP AQ t t t t-+=+===23.【选修4-5：不等式选讲】解：（1）当2a=时，()218f x x x x=++-≥+等价于1218xx x≥⎧⎨+≥+⎩或2138xx-≤<⎧⎨≥+⎩或2218xx x<-⎧⎨--≥+⎩，解得(][),37,x∈-∞-+∞.（2）依题意即()15f x x a x x=++-≤-在[]0,2x∈时恒成立，当[]0,1x∈时，15x a x x++-≤-，即444x a a x a+≤⇔--≤≤-，∴404314a a a--≤⎧⇒-≤≤⎨≤-⎩；当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-，即66236a x x a x x a-⎧≤⎪+≤-⇔⎨⎪≤+⎩，对任意(]1,2x ∈恒成立，∴6023426a a a a -⎧≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≥-⎩⎪≤+⎩，∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤.。

重庆市巴蜀中学2020届高三下学期高考适应性月考(十)数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．2. 已知等差数列的前n项和为，，则（）A．25 B．45 C．60 D．903. 已知双曲线的一条渐近线是，则双曲线C的离心率是（）A．2 B．C．3 D．44. 渝康码是腾讯和支付宝与重庆市政府合作推出的重庆电子健康码，用户申请使用渝康码，凭此码出入小区，学校，医院，商业，公共交通，办公楼宇，交通卡口等.如图，健康人员的渝康码是黑白相间的.已知某个重庆市民的渝康码是边长为15cm的正方形，利用随机模拟的方法向该渝康码内投入900个点，其中落入黑色部分的点的个数为480个，则该渝康码的黑色部分的面积约为（）.A．105 B．115 C．120 D．1355. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．6. 抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为，则的值为（）A．B．2 C．D．47. 已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8. 一个算法的程序框图如图所示，则该程序输出的结果是（）A．5 B．1C．D．9. 已知在矩形中，，为的中点，沿着将翻折到，使平面平面，则的长为（）A．B．C．4 D．610. 如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y 轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为，则此人距离地面的高度与摩天轮运行时间t（单位：分钟）的函数关系式为（）A．B．C．D．11. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，则函数在区间上的“中值点”的个数为（）参考数据：，，.A．1 B．2 C．3 D．412. 已知平面向量，，，，满足：，，且，若，，其中，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知复数，其中为虚数单位，则的共轭复数________.14. 已知甲、乙两个盒子，其中甲盒中有大小完全相同的红、黄、白三个球，乙盒中有大小完全相同的红、黄两个球，现从两个盒子中各取一个球，则两个小球颜色不同的概率为________.15. 已知函数是一个奇函数，则在上的最大值为________.三、双空题16. 已知数列中，当时，，记，则________；数列前项和________.四、解答题17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A是锐角，且.（1）求角A；（2）若D为AC边上一点，，，且的面积为，求.18. 如图，在四棱锥中，平面PDC，四边形ABCD是一个直角梯形，，，.（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）若，且，求三棱锥的侧面积.19. 新型冠状病毒肺炎是一种传染性极强的肺炎临床上，核酸检测是新冠肺炎患者确诊的重要依据、是最关键的一环.为什么要做核酸检测呢？简单来说，核酸类似病毒的“指纹”、身份证，找到核酸，就等于确定了病毒的身份与性质.核酸是生物的最基本组成物质和生物学研究的基础物质.病毒是一种个体微小，结构简单的非细胞生物，病毒中也有核酸，且只含一种核酸（DNA或RNA），所以，检测到核酸，也就等于揪住了病毒的尾巴.新型冠状病毒感染者，经过治疗，如果核酸检测第一种为阴性，就说明病毒已经消失或者已不再具备造成感染的能级、数量.某生物制药公司生产了两种不同规格型号的新冠病毒核酸检测试剂盒.检测单个样本得知核酸检测结果所需的时间记为X（单位：分钟）.现两种试剂盒检测的样本各有20个，统计检测所需时间，得到如图的茎叶图.（1）试通过平均数比较两种试剂盒哪一种检测更快捷；（2）在改变了试剂盒的生产工艺后，组织了2000名志愿者参加了核酸检测，记录检测时间，得到如下统计数据：总计改进工艺400 600 1000原工艺800 200 1000总计1200 800 2000判断是否有99.5%的把握认为核酸检测时间与试剂盒生产工艺有关？0.010 0.005 0.0016.6357.879 10.82820. 已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若，求证：.21. 已知椭圆的焦距为4，短轴长为4.（1）求该椭圆的标准方程；（2）已知点，过点P作相互垂直的两条直线分别交椭圆于另一点A，B，求点P到AB距离的最大值.22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点，求的值.23. 已知函数.（1）若不等式的解集包含，求a的取值范围；（2）若的值域为A，且，证明：.。

数学参考答案·第1页（共8页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（三）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCADBA【解析】1．2i (1i)2i i(1i)1i 1i 1iz z z -=⇒==+=-+⇒=--- ，故选D ．2．2201||a b x x a b ⊥⇒-=⇒=⇒-=，故选B ．3．(10)(01)A =- ，，，(1][0)(01)B A B =-∞-+∞⇒=R R ，，， ，故选C ．4．令0(0)(0)(0)1(0)1x y f f f f ==⇒=+-⇒=，这样()()()1()f x x f x f x f x -=+--⇒+()2f x -=，所以()f x 的图象关于点(01)，对称，故选C ． 5．设AG x =，则GC GE x ==，所以1121828.38CE x x ⎛=-=⇒=+≈ ⎝，所以站台高度28.38 1.629.9830.0AB AG GB =+=+=≈，故选A ．6．2221546593377373722()8a a a a a a a a a a a a a a ++=++=+==⇒+，故选D ．7．62AB AC ==，∵，AD 为BAC ∠的角平分线，23144AD AC AB =+⇒= ∴221(96)16AC AC AB AB ++ ，1cos sin 33ABC BAC BAC S ∠=-⇒∠=⇒=△∴，故选B ． 8．如图1，由双曲线的定义知，12|||2|QF QF a -=，1||=||QF QP ∵，212||||4PF a PF a =⇒=∴，而12||2FF c =，设12F F P θ∠=，在12PF F △中，由余弦定理知：2222244163cos 2222a c a c a a c acθ+--==， cos 4c e aθ===∵．因为2122||||2a a QF QF a λλ==+，，在12QF F △中，由余弦定理有：222222282cos 3a a a a a θλλλλ⎛⎫⎛⎫+=++⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．图1数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BCDABDACBC【解析】9．A ．由22||||a b a b ⇔==得不出a b = 或a b =- ，所以错误；B ．由||||||a b a b a b =⇒ ∥，所以正确；C ．由||||0a b a b a b a b +=-⇒=⇒⊥ ，所以正确；D ．由a ，b同向得：||||||||a bb a a b a b =⇒=，所以正确，故选BCD ． 10．137771330S a a a ==⇒=，而10a >，所以A ，B 正确；60a >，70a =⇒n S 取最大值时，6n =或7，所以C 错误；1314131400S S S a ==+<，，所以D 正确，故选ABD ．11．A ．0a =时，()ln ()ln 1(1)1f x x x f x x f =⇒'=+⇒'=，而(1)0f =，所以在1x =处的切线方程是1y x =-，正确；由于始终有(1)0f =，所以B 错误；C ．1a >时，1()ln 10e 1a f x x a x -'=-+=⇒=>，11()(e )e 0a a f x f a --==-<极小值，而x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在1(e )a -+∞，有唯一零点，显然()f x 在1(0e )a -，有唯一零点1x =，所以正确；D. 1a <时，同样有11()(e )e 0a a f x f a --==-<极小值，此时10e 1a -<<，令ln 2(01)a =∈，，此时()(ln ln 2)ln 2f x x x =-+，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在ln 21(0e )-，有一零点，又(1)0f =，所以错误，故选AC ．12．在等腰ABC △中，120BAC ∠=︒， 2BC AB AC =⇒==，AM AE EM AE =+=+212233333EF AE AF AB AC λμ=+=+，||||2AB AC == ，∵120BAC ∠=︒，AB AC ∴ 4cos1202=︒=-，222416849999AM λμλμ=+-= ∵，22421λμλμ+-=∴，所以A 错误；22()31λμμ-+=∵，∴令cos sin λμθθ-==，显然cos [11]λμθ-=∈-，，所以B正确；cos μθλθθ==+，，∴22222sin cos cos 3λμθθθθ+=++∴11cos 25(1cos 2)2)tan 326θθθθϕϕ⎛+=-+=++= ⎝⎭，当sin(2)θϕ+ 1=时，22max 5()6λμ++=，所以C 正确，故选BC ．数学参考答案·第3页（共8页）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．设第1r +项为常数项，则23631332C ()C (2)rr rr r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为常数项，所以2r =，2221332C ()12T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．14．35ππ3ππ241234T T ω⎛⎫=--=⇒=⇒= ⎪⎝⎭，5ππππ2()2sin 212233f xx ϕϕ⎛⎫+=⇒=-⇒=- ⎪⎝⎭ ． 15．取AB ，11A B 的中点分别为E ，F ，在等腰梯形ABCD 中易算得：AC =222AC BC AB+=，∵90ADB ACB ∠=∠=︒，∴122ED EC AB ===，∴∴外接球的球心O 是EF 的中点，1322OE h ==∵，2EB =，52R OB ==∴，34π3V R =∴ 125π6=． 16．2222()()2log [()2]3()f x x a x a f x -=-+-++-=∵，()f x ∴为R 上的偶函数，()f x ∵为R上的偶函数，又有且只有一个零点，2(0)2301f a a a =+-=⇒=∴或3a =-，当1a =时，222()2log (2)2f x x x =++-，显然(0)0f =，当x ∈R 且0x ≠时，222x +>⇒222log (2)20()0x f x +->⇒>，()fx ∴此时只有0x =这个零点，符合题意；当3a =-时，222()6log (2)6f xx x =-++，286log 440f =-=-<∵，2366log 32f =-60=>，()f x ∴在内至少还有一个零点，与题意不合，舍去，所以1a =． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）1111094910100122a d a d a d ⨯+=+=⇒==，，， 21n a n =-∴．…………………………………………………………（5分）（2）21max 222(41)200430143n a n n n n n b T n -==⇒=-<⇒<⇒=． ………………（10分）数学参考答案·第4页（共8页）18．（本小题满分12分）（1）证明：3sin cos sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+2sin cos cos sin tan 2tan A C A C C A ⇒=⇒=．……………………………………（6分）（2）解：2222221323a b c a b c a b ab +-=⇒=+ ，而3c b =，222712933b a b a b =+⇒=，∴1πcos 323b C C a ===∴． ……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）列联表如下：…………………………………………………………………………（3分）由公式得：222()400(12010010080)4004.040()()()()20020018022099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯5.024<，所以认为喜爱马拉松项目与性别无关． ………………………………………（6分）（2）易得：采取分层抽样方法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中抽取10人中有6名男士，4名女士；从10人中抽取4人有1名女士的概率：31641410C C 821C p ==， 从10人中抽取4人没有女士的概率：462410C 114C p ==， 所以从10人中抽到的4人中至少有2名女士的概率：1223142p p p =--=．………………………………………………………………（12分）喜爱 不喜爱 合计 男性 120 100 220 女性 80 100 180 合计200200400数学参考答案·第5页（共8页）20．（本小题满分12分）（1）证明：连接DQ ，因为PO ⊥平面ABC ，所以PO AB ⊥．又因为CD AB ⊥，CD PO O = ，所以AB ⊥平面PCD ， 所以AB PC ⊥，AB DQ ⊥．由二面角的定义可知：QDC ∠即为截面QAB 与底面ABC 所成的二面角． 又因为QDC OPC ∠=∠，所以90PQD POD ∠=∠=︒，即PC DQ ⊥． 又因为AB DQ D = ，所以PC ⊥平面QAB ，证毕．…………………………（5分）（2）解：由（1）知：可以Q 为坐标原点，向量QD ，DB ，QP所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系Q xyz -，由题可知：(000)Q ，，，(002)P ，，，(420)A -，，，(420)B ，，， 所以(002)QP = ，，，(422)PA =-- ，，，(422)PB =-，，，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为1111()n x y z = ，，，2222()n x y z =，，， 则有1100n PA n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得11111142204220x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，， 令11x =，得10y =，12z =，所以1(102)n =，，， 则有2200n QP n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得2222204220z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，， 令21x =，得22y =-，20z =，所以2(120)n =-，，， 设平面ABP 与平面BPC 夹角的大小为θ， 则1212||1cos 5||||n n n n θ==． …………………………………………………………（12分）图2数学参考答案·第6页（共8页）21．（本小题满分12分）（1）解：由题可知：2222221914a c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………………………（4分）（2）证明：设直线l 的方程为1x my =+，点11()M x y ，，22()N x y ，， 联立2213412x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得：223(1)412my y ++=， 化简得：22(34)690m y my ++-=，由于直线l 所过点F 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必相交，即0∆>， 所以由韦达定理得：122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩易得：121246()my y y y =+，…………………………………………………………………（7分）又因为(20)A -，，11()M x y ，，所以直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++， 又因为(20)B ，，22()N x y ，，所以直线BN 的方程为22(2)2y y x x =--， 联立直线AM 与BN 得：1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，…………………………………………………………………（9分）解得：21121221121221121221121224422(1)442(1)22(1)22(1)x y y y x y my y y y my y x x y y y x y my y y y my y -+++-+++==-+++-+++++1212121212124266()26433my y y y y y y y y y y y -++-+===++，即点P 的横坐标为4，同理：点Q 的横坐标也为4，PQ 即为直线4x =， 所以PQ x ⊥轴，证毕．…………………………………………………（12分）数学参考答案·第7页（共8页）22．（本小题满分12分）（1）解：由题可知：()f x 的定义域为(0)+∞，，导函数222e e 11(1)(e )()(0)x x xx x k f x k x x x xx ----⎛⎫'=-+=> ⎪⎝⎭．……………………（1分）①当1k ≤时，易得：e 0x k ->，从而当(01)x ∈，时，()0f x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在(01)，上单减，(1)+∞，上单增；②当1k >时，由()0f x '=可得：1x =或ln k ， 1︒．当ln 1k =时，即e k =时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在(0)+∞，上单增；2︒．当ln 1k <时，即1e k <<时，从而当(0ln )x k ∈，时，()0f x '>； 当(ln 1)x k ∈，时，()0f x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增； 3︒．当ln 1k >时，即e k >时，从而当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(1ln )x k ∈，时，()0f x '<；当(ln )x k ∈+∞，时，()0f x '>； 所以()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增． 综上：①当1k ≤时，()f x 在(01)，上单减，(1)+∞，上单增；②当1e k <<时，()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增； ③当e k =时，()f x 在(0)+∞，上单增；④当e k >时，()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增．…………………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知：若()f x 存在极小值，则1e k <<或e k >，①当1e k <<时，()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增， 易得：()(1)e 0f x f k ==->极小，而2(ln )0k -<，所以不符合题意，舍去；…………………………………………………………………（6分）②当e k >时，()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增，数学参考答案·第8页（共8页）易得：2()(ln )ln(ln )(ln )f x f k k k k ==-=-极小， 得到：2ln(ln )(ln )k k k =，令ln 1t k =>，则有2e ln tt t =，得到ln ln e e ett t t t t ==，………………………………………………………………………（8分） 令ln ()(1)x g x x x =>，则21ln ()xg x x -'=， 从而得到()g x 在(1e)，上单增，(e )+∞，上单减， 又因为()(e )t g t g =，所以1e e t t <<<， 令()(2e )ln ln(2e )G x x x x x =---，1e x <<， 则2e 2e ()ln ln(2e )ln((2e ))2e 2e x x x xG x x x x x x x xx --'=-+--+=--++--2222e ln((e)e )ln(e )202e x xx xx -=---+++>-+=-， 所以()G x 在(1e)，上单增，从而()(e)0G x G <=， 得到：(2e )ln ln(2e )x x x x -<-，即ln ln(2e )2e x x xx -<-，又因为1e e tt <<<，所以ln e ln ln(2e )2e et t t t t t -=<-， 又因为()g x 在(e )+∞，上单减，所以e 2e t t >-， 从而e 2e t t +>，即ln 2e k k +>，证毕．…………………………………（12分）。

数学参考答案·第1页（共10页） 巴蜀中学2022届高考适应性月考卷（三）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A C B A【解析】1．12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)2z -----===++-，对应的点的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限，故选C ． 2．{10123}A =-，，，，，所以A B = {101}-，，，故选D ． 3．cos y x =在(0π)，上单调递减，故为充要条件，故选C ．4．在ABC △中，由正弦定理，sin sin sin 3a b B A B =⇒=，故选B ． 5．()f x 为奇函数，故排除B ，当(0π)()0x f x ∈>，，，故排除C ，()0x f x →+∞→，，故排除D ，故选A ．6．分类：甲校2人 222532C C A 60=，甲校3人3252C A 20=，故总数有80种，故选C ．7．πππ22662αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵，ππππcos 2cos 2sin 26626ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ ππ2sin cos 66αα⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π5ππππ3662αα⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵，，∴，，则πcos 63α-⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ππ12sin cos 266339αα⎛⎛⎫⎛⎫++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，故选B ． 8．设2BF m AF m ==，，渐近线与x 轴所成角为θ，在OAF OBF △，△中分别由正弦定理：sin sin(1502)m c θθ=︒-，2sin sin 30m c θ=︒，则1sin 302sin(1502)θ︒=︒-， 则sin(1502)1θ︒-=，则30θ=︒，则tan 33b e a θ==⇒==，故选A ．数学参考答案·第2页（共10页） 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 题号 9 10 11 12 答案 AC ABD AD BCD【解析】9．线线关系中，平行具有传递性，垂直没有传递性，故A 正确，B 错误.由线面垂直的性质定 理，C 正确，平行于同一平面的两条直线不一定平行，可以相交和异面，故D 错误，故选AC.10．观察散点图，变量x 与y 具有负的相关关系，A 正确， 易得B 正确，若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过()x a y ，，C 错误；残差=真实值-预测值，因此残差为0.1，D 正确，故选ABD ．11．1cos 2π()2212sin 226x f x x x ωωω+⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，()f x ∵在区间ππ123⎛⎫ ⎪⎝⎭，上具有单调性，π242T ω⇒∴≤≤，()f x ∵在区间3π08⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有且仅有2个极值点，π()4cos 26f x x ωω⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，ππ3ππ26646x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，，则3π3ππ5π1624629ω<+⇒<≤ 289ω≤，故1629ω<≤，又ω∈*Z ∵，所以2ω=，故B 错误，则π()2sin 46fx x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最大值为2，A 正确；当π24x =时，π()2sin 3f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 错误；令πππ2π42π262k x k -+++≤≤，则ππππ62122k k x -++≤≤，D 正确，故选AD ． 12．2ln ()x f x x -'=，故()f x 在(01)，递增，(1)+∞，递减，易得若()2f x m =有两个不同解，则021m <<，则102m <<，故A 错误，当0k ≤时，y kx =与()y f x =显然有且仅有1个交点，当0k >时，则()y f x =与y kx =相切时，有且仅有1个交点，设切点为00()x y ，，。