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高中数学北师大版必修4第三章三角恒等变形课题学习摩天轮中的数学问题教学课件PPT

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高中数学第三章三角恒等变形本章整合课件北师大版必修4

高中数学第三章三角恒等变形本章整合课件北师大版必修4

专题1
专题2
专题3
应用 1 已知向量 a= cos ������, sin ������ ,b= cos ,-sin
π ,π 2
3 2
3 2
������2
������ 2
, 且������ ∈
.
(1)求a· b及|a+b|; 3 (2)若函数f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是 - , 求实数λ的值.
1 . 2 3 5 3 1 1
专题1
专题2
专题3
应用 2 已知点 A, B, C 的坐标分别为(3,0),(0,3),(cos α,sin α), α∈
π 3π , 2 2
.
2sin2 ������+sin2������ −1, 求 1+tan������
(1)若| ������������ | = | ������������ |, 求角������的值 ; (2)若������������ ·������������ = 的值.
专题2
专题3
(2)由(1), 得 f (x)=cos 2x-2λ(-2cos x)=cos 2x+4λcos x=2cos 2 x+4λcos x-1=2(cos x+λ)2 -1-2λ2 . 因为 x∈
π ,π 2
, 所以-1≤cos x≤0,
3
所以, 若 λ<0, 则当 cos x=0 时, f (x)min =-1, 与已知条件最小值为 − 2 矛盾, 故舍去. 若 0≤λ≤1, 则当 cos x=-λ 时,f(x)min =-1-2λ2 . 所以-1-2λ2 =− 2 , 解得������ = 2 或 λ=− 2 (舍去). 若 λ>1, 则当 cos x=-1 时, f(x)min =1-4λ. 所以 1-4λ=− 2 , 则������ = 8 , 不满足λ>1, 故舍去. 综上所述, λ=

高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系课件北师大版必修4

高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系课件北师大版必修4

B [∵sin A＋cos A＝23， ∴1＋2sin Acos A＝49， ∴sin Acos A＝－158<0， 又∵A∈(0，π)，sin A>0， ∴cos A<0，A 为钝角．故选 B.]
4．已知43ssiinn
θ－2cos θ＋5cos
θθ＝161，求下列各式的值．
5cos2θ (1)sin2θ＋2sin θcos
【例 3】 (1)化简 tan α· sin12α－1，其中 α 是第二象限角；
(2)求证：1s＋in22αsi－n αcocos2sαα＝ttaann
α＋1 α－1.
[思路探究] (1)先确定 sin α，cos α 的符号，结合平方关系和商
数关系化简．
(2)逆用平方关系结合 tan α＝csoins αα化简．
(3)变形形式 ①1＝sin2α＋cos2α； ②sin2α＝_1_－__co__s2_α_；cos2α＝_1_－__si_n_2_α_； ③sin α＝_±___1_－__c_o_s_2_α___；cos α＝_±___1_－__s_i_n_2α__； ④sin α＝cos αtan α； ⑤(sin α±cos α)2＝_1_±_2_s_i_n_α_c_o_s_α___.
2．已知角 α 的一个三角函数值，求 α 的其他两个三角函数值时， 要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．
3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧： (1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将 1 用“sin2α＋cos2α” 代替． (2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数． (3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件 适当变形找出与算式之间的关系.
第三章 三角恒等变形

新版高中数学北师大版必修4课件：第三章三角恒等变形 3.2.1-3.2.2

新版高中数学北师大版必修4课件：第三章三角恒等变形 3.2.1-3.2.2

目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.两角和与差的余弦公式
(1)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ;(Cα+β) (2)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β .(Cα-β) 2.两角和与差的正弦公式
(1)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ;(Sα+β) (2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β .(Sα-β)
2.
同理,sin
2α=−
12 13
.
∴sin(α-β)=sin[2α-(α+β)]
=sin
2αcos(α+β)-cos
2αsin(α+β)=
12-10 39
2.
目标导航
题型一
题型二
题型三
题型四
知识梳理
典例透析
随堂演练
反思求解本题的关键是利用角的代换化异角为同角.常见
的角的变换有 α=(α+β)-β=β-(β-α),π4+α=π2 −
已知 α,β 都是锐角,且 sin α=
5 , sin ������ =
5
10 , 求������ +
10
������的值.
错解∵α,β∈
0,
π 2
, 且sin
α=
5 , sin ������ =
5
10,
10
∴cos
α=
2 5,
5
cos
������
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一

高一数学北师大版必修4课件第三章 三角恒等变形 整合

高一数学北师大版必修4课件第三章 三角恒等变形 整合
(1)∵ a ⊥b,∴ a ·b=0,∴ sin θ- 3cos θ=-1, 则 sin θ������ 3
=- .∵ - <θ< ,∴ - <θ- < .∴ θ- =- .∴ θ= .
1 2
������ 2
������ 2
5������ 6
������ 3
������ 6
������ 3
1-������������������α������������������β
������������������α ������������������α
������������������(α-β) = ������������������α������������������β + ������������������α������������������β 差角公式
本章整合
同角三角函数的基本关系:������������ ������2 α + ������������������ 2 α = 1,������������������α = ������������������(α + β) = ������������������α������������������β-������������������α������������������β 和角公式 ������������������(α + β) = ������������������α������������������β + ������������������α������������������β ������������������α+������������������β ������������������ (α + β) =

高中数学-第三章 三角恒等变形章末整合课件 北师大版必修4

高中数学-第三章 三角恒等变形章末整合课件 北师大版必修4

,故 t∈ - ,1 ,
2
-10,
因为当 t∈ - ,1 时,函数 y=4t2-12t-1 递减,
1
2
π
π
12
4
所以当 t=- ,即 x=- 时,ymax=6;当 t=1,即 x= 时,ymin=-9.
2
考点一
考点二
考点三
考点一:同角三角函数的基本关系式与和(差)角公式的应用
1.(2015 课标全国 Ⅰ高考)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=
2
2ωx-1=sin 2-
π
6
2
故 f(x)=sin 2x=
π
2
π
6
+ (k∈Z).
3
2
1
sin 2ωx- cos
2
-1,
因为 f(x)的最小正周期为 π,故
π
3
2π
2
=π,所以 ω=1.
π
π
6
2
-1,其对称轴满足 2x- =kπ+ (k∈Z),故其对称轴为
专题一
专题二
专题三
π
(2)将函数 f(x)的图像向左平移 个单位长度得到函数 y=sin 2 +
2
5
3π
4
方法二:由 cos α=- ,π<α< ,得 sin α=1
π
3
2
5
2
由 tan β= ,0<β< ,得 sin β=
1
10
,cos β=
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= 1
10
2 5
5
2 5

高中数学北必修4第三章三角恒等变形课题学习摩天轮中的数学问题教学课件

高中数学北必修4第三章三角恒等变形课题学习摩天轮中的数学问题教学课件
2.当你第一次距离地面60.5米时用了多少时间？
3.当你第二次距离地面60.5米时用了多少时间？
4.当你第四次距离地面60.5米时用了多少时间？
研究性学习——模型应用
游客距离地面的高度 y(单位：m)与时间x(单位：min )的函数关系
为 : y 40 cos x 40.5(x 0)
6
5.当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低点处登上摩天轮，请求 出你的朋友与地面的距离y与时间t的函数解析式.
O
40米
40.5米
设游客距离地面的高度y(单位：m)与时间x(单位：min)的函数关系
为y Asin(x ) b
研究性学习——模型应用
游客距离地面的高度 y(单位：m)与时间x(单位：min )的函数关系
为 : y 40 cos x 40.5(x 0)
6 1.当你登上摩天轮8分钟后你距地面多少米？
研究性学习——课后作业
1.当你距地面20.5米时，你的朋友距地面多少米？
2.如果规定每位游客乘坐摩天轮观景的时间是每次 20分钟，从你的朋友登上摩天轮的时间算起，什么 时候你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离？
只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰 经验不是发生在一个人身上的事件，而是一个人如何看待发生在他身上的事。 生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭 人们不相信聪明人会做蠢事：人的权利竟是丧失到了如此地步。 人们不相信聪明人会做蠢事：人的权利竟是丧失到了如此地步。 命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎么走。 子谓——《韶》：“尽善矣，尽美矣。”——《论语·八佾》（尽善尽美） 恋爱不是慈善事业，不能随便施舍的。感情是没有公式，没有原则，没有道理可循的。可是人们至死都还在执著与追求。 儿童能力初期萌芽是尤其可贵的，我们引导儿童初期自然趋向的途径能固定儿童的基本习惯，能确定后来能力的趋向。——杜威 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐；只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 只要愿意去做，人无所不通。 有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯

北师版数学高一-必修4课件 第三章 三角恒等变形

北师版数学高一-必修4课件 第三章 三角恒等变形

章末复习提升
19
例 3 求证：tan2x＋tan12x＝213－＋ccooss44xx. 证明 方法一 左边＝csoins22xx＋csoins22xx＝sisnin4x2＋xcocso2sx4x ＝sin2x＋cos142sxin22－2x2sin2xcos2x＝1－14s12insi2n22x2x
＝ 3－ 3tan 25°tan 35°＋ 3tan 25°tan 35°＝ 3.
章末复习提升
16
跟踪演练 2 已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝61，α∈π2，π， 求1＋sinco4sα2α的值. 解 ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，sinπ2＋2α＝13， 即 cos 2α＝31.又 α∈π2，π，2α∈(π，2π)，
21＋cos22x sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2
＝ 4sin2xcos2x ＝
2sin2xcos2x
＝2s2isnin4x2＋xcocso2sx4x＝tan2x＋tan12x＝左边.
原式得证.
章末复习提升
22
跟踪演练 3
sin x＋cos x－1sin x－cos
求证：
sin 2x
章末复习提升
17
∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－
1－132＝－2
3
2 .
∴1＋sinco4sα2α＝21si＋n 1＋2αc·2ocoss22αα＝2×1－＋213＋2213×13 ＝－4152.
章末复习提升
18
题型三 三角恒等式的证明 三角恒等式的证明主要是利用 sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝tan α， 二倍角公式等结论证明等式成立.一般思路是从左向右或两 头凑，注意函数名的统一，一般是切化弦.

高中数学北师大版必修四 三角恒等变形 课件(34 张)

高中数学北师大版必修四 三角恒等变形 课件(34 张)

1 5
3 5 2 又因为 0 , 所以 3 , 因为 2 2 2 5 sin 0, 所以 13 12 cos 1 sin 2 , 13 cos cos［ ］
r r 【例3】已知向量 a 1,cosx , b ( 1 , sinx) 4 r r (1)当 x ［0, ］ 时，若 a b, 求x的值； 4 r r r (2)定义函数 f x a g a b , x R, 求f(x)的最小正周期及最大


值.
【规范解答】 1 a b a gb 0 1 sinxcosቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
1 sin2x , 2 则 由 x ［0, ］ , 2x x . ［0, ］ 知 2x 2 6 12 4 r r 3 2 Q a b ( ,cosx sinx), 4 3 3 f x cosx cosx sinx 4 4 1 cos2x sin2x 5 2 sin(2x ), 2 4 2 4 则T=π,最大值为 5 2 , 此时 x k , k Z. 8 4 2 4
三角函数式的化简与证明 由于三角函数式中包含着各种不同的角、不 同的函数种类以及不同的式子的结构形式，因此在三角函数 式的化简与证明中，我们需从三个方面去考虑：
1.明确化简(证明)的要求： 三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分 母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求
【例2】(1)已知 0 ,cos 3 ,sin 5 ,
2 5 13
求sinα 和cosβ 的值.

高中数学北师大版必修4第三章三角恒等变形课题学习摩天轮中的数学问题教学课件

高中数学北师大版必修4第三章三角恒等变形课题学习摩天轮中的数学问题教学课件
山东无轴摩天轮“渤海之眼”
美国拉斯维加斯“豪客”摩天轮
新加坡飞行者摩天轮
南昌之星摩天轮
摩天轮中的数学问题
游乐场中的摩天轮匀速运 转，其中心O距地面40.5米，半 径为40米，如果你从最低点处 登上摩天轮，那么你与地面的 距离将随时间的变化而变化，6 分钟后第一次到达最高点，以 你登上摩天轮的时间开始计时.
2.当你第一次距离地面60.5米时用了多少时间？
3.当你第二次距离地面60.5米时用了多少时间？
4.当你第四次距离地面60.5米时用了多少时间？
研究性学习——模型应用
游客距离地面的高度 y(单位：m)与时间x(单位：min )的函数关系
为 : y 40 cos x 40.5(朋友也在摩天轮最低点处登上摩天轮，请求 出你的朋友与地面的距离y与时间t的函数解析式.
40米
40.5 米
研究性学习——建立模型
问题1：摩天轮做周而复始的圆周运动这是一种什么现象？ 摩天轮的转动是有周期性的。是周期现象。
问题2：你坐摩天轮的过程中哪些量在发生变化？怎样变的？ 摩天轮的转动的过程中时间和距离地面的高度在变化
问题3：在上述变化过程中， 当时间确定时高度是否唯一确定？ 确定 当高度确定了，时间是否唯一确定？ 不确定
O
40米
40.5米
研究性学习——建立模型
问题1：摩天轮做周而复始的圆周运动这是一种 什么现象？
问题2：你坐摩天轮的过程中哪些量在发生变化？
怎样变的？
O
问题3：在上述变化过程中，当时间确定时高度 是否唯一确定？当高度确定了，时间是否唯一 确定？
问题4：从上述研究过程我们已经看到时间与高 度是一对变量,它们之间是否存在一定的关系？ 是什么关系？

新版高中数学北师大版必修4课件：第三章三角恒等变形 3.1.1

新版高中数学北师大版必修4课件：第三章三角恒等变形 3.1.1

根据α所在的象限分别求出sin α的值,最后求出tan α的值.
目标导航
知识梳理
题型一
题型二
题型三
题型四
解∵cos
α=
8 17
>
0,
且cos
α≠1,
∴α 是第一或第四象限角.
当 α 是第一象限角时,
sin α=
1-cos2 ������ =
1-
8 17
2
=
15 17
,
∴tan
α=
sin������ cos������
������ ������
=
tan ������-3 tan ������+1
=
− 5.
3
(2)sin2α+sin αcos α+2
sin2 ������ + sin������cos������ + 2(sin2������ + cos2 ������)
=
sin2 ������ + cos2 ������
随堂演练
反思已知tan α的值,求关于sin α,cos α的分式值的问题,有以下两 种情况:
(1)若分子、分母中sin α,cos α的次数相同(称为齐次式),由cos α≠0,令分子、分母同除以cosnα(n∈N*),将待求式化为关于tan α的 表达式,再整体代入tan α的值求解.
(2)若待求式形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α,注意可将分母“1”化 为sin2α+cos2α,进一步转化为关于tan α的表达式,然后求值.
知识梳理
典例透析
12345
1
若

高中数学北师大版必修4第三章《课题学习 摩天轮中的数学问题》优质课教案省级比赛获奖教案教师面试试讲教案

高中数学北师大版必修4第三章《课题学习 摩天轮中的数学问题》优质课教案省级比赛获奖教案教师面试试讲教案

高中数学北师大版必修4第三章《课题学习摩天轮中的数学问题》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲
教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识目标:
(1)通过对三角函数模型简单应用的学习,提升对函数知识的完整认识;
(2)将实际问题抽象为y=Asin(ωx+φ)三角函数模型问题.
2、能力目标:
体验一些具有周期性变化规律实际问题的数学“建模”过程和思想,培养学生的抽象概括能力、运用信息技术工具能力、创新精神和实践能力。

3、情感目标:
切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用。

指导学生用科学、辩证的眼光观察事物,激发学生的学习兴趣,培养学生锲而不舍,勇于探索、勤于思考的精神。

2学情分析
本教学设计适合中等偏上水平学生教学使用
3重点难点
1、重点:培养学生解决实际问题的能力,体验探究和实践的过程。

2、难点:分析、整理、利用信息,将实际问题抽象转化成三角函数模型,并综合运用相关知识解决实际问题。

4教学过程
1【讲授】三角函数值简单应用
一、温故知新,知能储备
1、三角函数是以为自变量, 为因变量的函数。

2、圆周运动中的角速度是
指。

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2.当你第一次距离地面60.5米时用了多少时间？
3.当你第二次距离地面60.5米时用了多少时间？
4.当你第四次距离地面60.5米时用了多少时间？
研究性学习——模型应用
游客距离地面的高度 y(单位：m)与时间x(单位：min )的函数关系
为 : y 40 cos x 40.5(x 0)
6
5.当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低点处登上摩天轮，请求 出你的朋友与地面的距离y与时间t的函数解析式.
6.求出你和你Leabharlann 朋友与地面距离之差h关于时间t的函数解析式。
7.你的朋友登上摩天轮多少时间后，你们俩与地面距离相等？
8.你和你的朋友与地面的距离差何时最大？最大距离差是多少？
研究性学习——知识总结
1.通过对实际模型的分析与解决，进一步巩固三角 函数的图像和性质； 2.三角函数是刻画现实世界中周期现象的重要函数； 3.用数学知识发现生活中的数学问题。
研究性学习——课后作业
1.当你距地面20.5米时，你的朋友距地面多少米？
2.如果规定每位游客乘坐摩天轮观景的时间是每次 20分钟，从你的朋友登上摩天轮的时间算起，什么 时候你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离？
44.漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。 7.累吗？累就对了，舒服是留给死人的！ 88.有财富的人追求优裕的生活，有智慧的人追求优质的生活。 53.积极向上的心态，是成功者的最基本要素。 93.挫折经历的太少，所以总是把一些琐碎的小事看得很重。 33.你可以倒下，但是要记得站起来；你可以流泪，但是要记得长大。 66.树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。 22.你吃过的苦，会照亮未来的路。 83.寂寞其实应是一朵开放的心灵深初最美丽的花，扎根于孤独的土壤，自我生发，自我研丽。 14.自己选择的路，别说爬，死也要死在路上。 21.学问多深也别满足，过失多小也别忽略。 24.要使整个人生都过得舒适愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭 12.不要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。 4.质变的积累，才有量变的爆发。你没有时间可以浪费！ 39.顺境时，多一份思索；逆境时，多一份勇气；成功时，多一份淡然；彷徨时，多一份信念。 47.乐观的人能重整旗鼓东山再起，悲观的人因缺乏自信，往往一败涂地。 8.实力加自信就是一把坚韧不摧的利剑，也是通往成功的船票实力决定成败。 53.积极向上的心态，是成功者的最基本要素。 51.活得糊涂的人，容易幸福；活得清醒的人，容易烦恼。这是因为，清醒的人看得太真切，一较真，生活中便烦恼遍地；而糊涂的人，计较 得少，虽然活得简单粗糙，却因此觅得了人生的大滋味。
O
40米
40.5米
设游客距离地面的高度y(单位：m)与时间x(单位：min)的函数关系
为y Asin(x ) b
研究性学习——模型应用
游客距离地面的高度 y(单位：m)与时间x(单位：min )的函数关系
为 : y 40 cos x 40.5(x 0)
6 1.当你登上摩天轮8分钟后你距地面多少米？
40米
40.5 米
研究性学习——建立模型
问题1：摩天轮做周而复始的圆周运动这是一种什么现象？ 摩天轮的转动是有周期性的。是周期现象。
问题2：你坐摩天轮的过程中哪些量在发生变化？怎样变的？ 摩天轮的转动的过程中时间和距离地面的高度在变化
问题3：在上述变化过程中， 当时间确定时高度是否唯一确定？ 确定 当高度确定了，时间是否唯一确定？ 不确定
问题4：从上述研究过程我们已经看到时间与高度是一对变量, 它们之间是否存在一定的关系？是什么关系？ 它们之间符合函数关系。
研究性学习——建立模型
设游客距离地面的高度y(单位：m)与时间x(单位：min)的函数关系
为y Asin(x ) b
研究性学习——建立模型
摩天轮中心O距地面40.5米， 半径为40米，从最低点处登上 摩天轮，6分钟后第一次到达最 高点，以你登上摩天轮的时间 开始计时.
山东无轴摩天轮“渤海之眼”
美国拉斯维加斯“豪客”摩天轮
新加坡飞行者摩天轮
南昌之星摩天轮
摩天轮中的数学问题
游乐场中的摩天轮匀速运 转，其中心O距地面40.5米，半 径为40米，如果你从最低点处 登上摩天轮，那么你与地面的 距离将随时间的变化而变化，6 分钟后第一次到达最高点，以 你登上摩天轮的时间开始计时.
93.挫折经历的太少，所以总是把一些琐碎的小事看得很重。 39.顺境时，多一份思索；逆境时，多一份勇气；成功时，多一份淡然；彷徨时，多一份信念。
O
40米
40.5米
研究性学习——建立模型
问题1：摩天轮做周而复始的圆周运动这是一种 什么现象？
问题2：你坐摩天轮的过程中哪些量在发生变化？
怎样变的？
O
问题3：在上述变化过程中，当时间确定时高度 是否唯一确定？当高度确定了，时间是否唯一 确定？
问题4：从上述研究过程我们已经看到时间与高 度是一对变量,它们之间是否存在一定的关系？ 是什么关系？

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