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3 第三节 高阶导数

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第三节 高阶导数 习题课

第三节 高阶导数 习题课
四则 运算 法则
′ f ( x) f ′( x) g( x) − f ( x) g′( x) (3) = 2 g( x) [ g( x)]
3.复 复 合函 数的 求导 法则
(4) ( f [ g( x)])′ = f ′(u) ⋅ g′( x) u= g ( x )
dy dy du = ⋅ dx du dx
ds(t ) v(t ) = dt
或
v = s′.
加速度a是速度 对时间 的变化率，即速度v对时 加速度 是速度v对时间 的变化率，即速度 对时 是速度 对时间t的变化率 的导数： 间t的导数： 的导数
d[v(t )] d ds(t ) a= = dt dt dt 或 a = (s′)' = s'' (t ).
y′ = a ,
n
y ′′ = 0
(n )
问题： 问题：(1) x
( )
=?
(x )
n
(n)
= n!
(ax ) = ? (ax ) ( ) (x ) = 0
n
(n)
n
n
( n+1)
=?
n+1
n n −1 ⑵ 若 y = a0 x + a1 x + L + a n−1 x + a n , y( n) = ? y( n+1) = ?
第二章 导数与微分
第一节 第二节 第三节 第四节 导数概念 函数的求导法则 高阶导数 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 第五节 函数的微分
求导公式与求导法则
(1) (c)′ = 0
1. 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式

高阶导数PPT

高阶导数PPT

y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
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大学高等数学基础教材下册

大学高等数学基础教材下册

大学高等数学基础教材下册第一章导数和微分第一节函数导数的定义与性质第二节常见函数的导数1. 幂函数的导数2. 指数函数的导数3. 对数函数的导数4. 三角函数的导数5. 反三角函数的导数第三节高阶导数1. 二阶导数2. 高阶导数的计算第四节隐函数与参数方程的导数1. 隐函数的导数2. 参数方程的导数第二章积分与定积分第一节不定积分1. 基本积分表2. 特殊积分a. 有理函数的积分b. 三角函数的积分c. 指数函数与对数函数的积分第二节定积分1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的计算方法a. 改变积分区间b. 分部积分法c. 凑微分法4. 定积分的应用a. 几何应用b. 物理应用c. 经济应用第三章微分方程第一节微分方程的基本概念1. 微分方程的定义2. 解的概念第二节常微分方程1. 高阶线性常微分方程a. 齐次线性微分方程b. 非齐次线性微分方程2. 一阶线性常微分方程3. 可分离变量微分方程4. 高阶常系数齐次线性微分方程5. 可降阶的高阶常系数齐次线性微分方程第三节常微分方程的应用1. 生物学应用2. 物理学应用3. 工程学应用第四章无穷级数第一节数项级数1. 无穷级数的收敛与发散2. 收敛级数的性质3. 收敛级数的求和第二节幂级数1. 幂级数的基本概念2. 幂级数的收敛域3. 幂级数的性质第三节泰勒级数1. 泰勒级数的定义2. 常见函数的泰勒展开a. 指数函数的泰勒展开b. 对数函数的泰勒展开c. 三角函数的泰勒展开第五章多元函数微分学第一节二元函数的极限与连续1. 极限的定义2. 连续的定义第二节偏导数与全微分1. 偏导数的定义与计算2. 全微分的定义与计算第三节隐函数与参数方程的偏导数与全微分1. 隐函数的偏导数与全微分2. 参数方程的偏导数与全微分第六章多元函数的积分学第一节二重积分1. 二重积分的定义与性质2. 二重积分的计算方法a. 矩形区域上的二重积分b. 一般区域上的二重积分c. 极坐标下的二重积分第二节三重积分1. 三重积分的定义与性质2. 三重积分的计算方法a. 长方体上的三重积分b. 一般区域上的三重积分c. 柱面坐标与球面坐标下的三重积分第三节多重积分的应用1. 几何应用2. 物理应用3. 经济应用第七章空间解析几何基础第一节空间直线与平面1. 空间直线的方程2. 空间平面的方程第二节空间曲线与曲面1. 空间曲线的参数方程2. 空间曲面的方程第三节空间向量与标量积1. 空间向量的定义与性质2. 空间向量的运算3. 空间向量的模与方向角4. 空间向量的数量积与向量积第四节空间直线与平面的位置关系1. 点与直线的位置关系2. 直线与平面的位置关系3. 平面与平面的位置关系第八章多元函数微分学应用第一节多元函数的极值与条件极值1. 多元函数的极值与最值2. 多元函数的条件极值第二节多元函数的梯度与方向导数1. 多元函数的梯度2. 多元函数的方向导数第三节多元函数的泰勒展开1. 二元函数的泰勒展开2. 三元函数的泰勒展开第九章多重积分的应用第一节物理应用1. 质心与重心2. 质量、重力与力矩第二节统计应用1. 概率密度函数与分布函数2. 期望值与方差第十章曲线与曲面积分第一节曲线积分1. 第一类曲线积分a. 定义b. 性质与计算2. 第二类曲线积分a. 定义b. 性质与计算第二节曲面积分1. 第一类曲面积分a. 定义b. 性质与计算2. 第二类曲面积分a. 定义b. 性质与计算第十一章常微分方程的定性与数值解第一节常微分方程的定性1. 稳定性与解的性态2. 解的存在唯一性第二节常微分方程的数值解1. 插值法2. 数值微分与数值积分3. 数值解的稳定性第十二章矩阵与线性方程组第一节矩阵的基本概念1. 矩阵的定义与运算2. 矩阵的基本性质第二节线性方程组的解1. 线性方程组的表示与解的存在唯一性2. 齐次线性方程组的基础解系3. 非齐次线性方程组的通解与特解第三节矩阵的秩与逆矩阵1. 矩阵的秩与线性独立性2. 逆矩阵的定义与性质第十三章局部极值与最值第一节多元函数的极值与最值1. 多元函数的极值与最值的定义2. 多元函数的极值判定第二节约束条件下的极值与最值1. 拉格朗日乘子法2. 约束条件下的条件极值第十四章重积分的应用第一节应用于质量与质心1. 三维物体的质量2. 质心的位置与坐标第二节应用于流量与通量1. 二维平面上的流量2. 曲面上的通量第十五章傅里叶级数与傅里叶变换第一节傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义2. 傅里叶级数的性质第二节傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义2. 傅里叶变换的性质。

高数3知识点总结大一

高数3知识点总结大一

高数3知识点总结大一在大一的学习过程中，高等数学3（简称高数3）是一个非常重要的课程。

高数3主要包括微积分方面的内容，对于理工科学生来说，掌握高数3的知识点对于未来的学习和研究是至关重要的。

下面将对高数3的知识点进行总结，希望能帮助大家更好地掌握这门课程。

一、导数与微分1. 导数的定义和性质在高数3中，我们首先学习了导数的定义，即函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)等于函数f(x)在点x=a处的切线斜率。

导数具有一些重要的性质，如导数的线性性、乘积法则、商积法则等，这些性质对于求导数的过程非常有帮助。

2. 微分的概念微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点附近的变化情况。

微分的计算方法包括差值法、中值定理和一阶导数的近似计算等。

3. 高阶导数和导数的应用除了一阶导数，我们还学习了高阶导数的概念。

高阶导数描述了函数的变化速度的变化情况。

导数在实际问题中有着广泛的应用，比如求函数的最值、判断函数的单调性等。

二、积分与定积分1. 不定积分的概念与性质在高数3中，我们学习了不定积分的概念与性质。

不定积分是求解函数的原函数的过程，它与导数是互逆的关系。

不定积分的计算方法主要包括换元法、分部积分法和有理函数的积分等。

2. 定积分的概念与性质定积分是对函数在某一区间上的积分，它表示了函数在该区间上的累积。

定积分的计算方法包括定积分的性质、换元法和分部积分法等。

3. 牛顿-莱布尼茨公式和定积分的应用牛顿-莱布尼茨公式描述了定积分与不定积分之间的关系，它是微积分的基本定理之一。

定积分在实际问题中具有广泛的应用，比如求曲线与坐标轴所围成的面积、物体的质心和弧长等。

三、微分方程1. 微分方程的概念和基本形式微分方程是描述变化率和未知函数之间关系的方程，它包含导数和未知函数。

微分方程的基本形式包括一阶微分方程和高阶微分方程。

2. 一阶微分方程的求解方法对于一阶微分方程，我们学习了几种基本的求解方法，如可分离变量法、齐次微分方程的解法和一阶线性微分方程的解法等。

高等数学2-3

高等数学2-3

v
(k )
【注】
莱布尼兹公式
例10 设 y = x2e2 x , 求y( 20) . 解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
2x 2
y
( 20 )
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 + 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x
2x ( 20 ) 2 2x ( 19 ) 2
20 ⋅ 19 18 2 x 2 e ⋅2 + 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
例11 设f ( x) = arctan x，求 f (0) 1 2 解 由 f ′( x ) = 得 (1 + x ) f ′( x ) = 1 2 1+ x
( 3) ( u ⋅ v )
(n)
= u v + nu
(n)
( n −1 )
n(n − 1) ( n− 2 ) (n u v ′′ v′ + 2!
n( n − 1) L ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v + L + uv ( n ) + k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
∴y(20) = 1[( 1 )(20) −( 1 )(20)] 2 x −1 x +1
= 1[ 20! − 20! ] 2 (x −1)21 (x +1)21
高阶导数运算法则
= 20!⋅[ 1 21 − 1 21] 2 (x −1) (x +1)

高等数学3-3高阶导数

高等数学3-3高阶导数
(uv) uv 2uv uv.
20-14
利用高阶导数运算法则，以及常用高阶导数公式，通过
适当的函数变形，求出函数n 阶导数的方法称为间接法。
例 3.3.6 设 y ln
1 x 1 x ，则 y(99) (0)
．
解 由于 y 1 [ln(1 x) ln(1 x)]，所以 2
y(99) 1 {[ln(1 x)](99) [ln(1 x)](99)} 2
1 [ 2
98! (1 x)99
(1)98
98! (1 x)99
]
98![ 1 2 (1 x)99
1 (1 x)99
]
，
所以
y(99) (0)
98![ 2
(1
1 0)99
1 (1 0)99
]
98! 。
20-15
例 3.3.7
求
y
x x2 1
的n
阶导数， n
1, 2,
。
解
由于 y
x
x
x2 1 (x 1)(x 1)
如果 为正整数，则情形如同例 3.3.2；
如果
1，则 (
x
1 )(n) C
(1)n n! (x C)n1
.
20-10
记住
由于[ln(1 x)] 1 (1 x)1 ，则 1 x
[ln(1
x)](n)
[(1
x) 1 ]( n 1)
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
,n
1,2,.
同理可得
2
20-9
同理有
(cosx)(n) n cos(x n ), n 0,1, 2, .
2
例 3.3.5 求 y (x C) 的 n 阶导数（其中 C， 为常数）.

复变函数与积分变换第3章 3.4解析函数的高阶导数

复变函数与积分变换第3章 3.4解析函数的高阶导数

n! M Rn ,
(n 1, 2, ).
(柯西不等式)
证明 R1 : 0 R1 R , 函数 f (z) 在 | z z0 | R1 上解析，
f (n)(z0 )
n! 2πi
| z z0 | R1
f (z) (z z0 )n1
dz ,
(n 1,
2, ).
| f (n)(z0 )|
f (n)(z0 )
n! 2πi
C
f (z) (z z0 )n1
dz ,
(z0 D).
证明 由函数 f (z)在 D D C 上连续，有
| f (z)| 在 D D C 上有界，即 | f (z)| M .
设边界 C 的长度为 L。
(1) 先证
n 1 的情形，即证
f (z0 )
f (z)
dz ,
z 2πi C (z z0 z)(z z0 )
f 1
z 2πi
f (z) C (z z0 )2 dz
z 2πi
f (z) C (z z0 z)(z z0 )2 dz
记为 I .
下面需要证明：当 z 0 时，I 0.
附：高阶导数定理的证明
证明
(1) 先证
| z z0 Δz| | z z0 | |Δz|
d 2
,
即得
|I|
|z| 2π
2 d
1 d2
ML
0, (z 0),
附：高阶导数定理的证明
证明 (2) 对于 n 2的情形 由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，
因此将 f (z) 作为新的函数，用同样的方法求极限：
lim f (z0 Δz) f (z0 ) ,

§3. 高阶导数

§3. 高阶导数
1
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(1)二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数. 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 dy df y′ f ′( x ) dx dx 2 2 d y d f f ′′( x ) y′′ 2 2 dx dx 3 3 d y d f f ′′′( x ) y′′′ 3 3 dx dx 4 4 d y d f (4) (4) f ( x) y 4 4 dx dx ……………………………………… dny dn f (n) ( n) f ( x) y n n dx dx
k +L+ Cn u(k)v(n−k) +
规定： 莱布尼兹(Leibniz) 公式 莱布尼兹
10
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例7.
2
求
2x
解: 设 u = x , v = e , 则
u′ = 2x , u′′ = 2,
u
(k )
=0
(k = 3 ,L 20) ,
v(20−k) = 220−k e2x
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念 定义 函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) 称为函数 f ( x ) 的二阶导数 二阶导数. 二阶导数的导数称为 f ( x )的三阶导数 三阶导数. 三阶导数的导数称为 f ( x )的四阶导数. 四阶导数 LLLLLLLLLLLLLLLL
n − 1 阶导数的导数称为 f ( x )的n阶导数 阶导数. 阶导数
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13
结束
思考与练习
如何求下列函数的 n 阶导数? 1− x (1) y = 解: 1+ x
1 (n) n! n ( ) = (−1) ( x + a )n +1 x+a

同济版高等数学第二章导数与微分_3高阶导数课件

同济版高等数学第二章导数与微分_3高阶导数课件

阶数 2
分析:
f
(
x)


4x3 2x3
, ,
x0 x0

f
(0)

lim
x 0
2x3 x
0
0
f (0)

lim
x0
4x3 0 x

0

f
(
x)


12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)

lim
x0
6x2 x
0
f
(0)

lim
x0
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)

(1)n
n!
( x
1 2)n1

(x
1

1)
n1

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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x

复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式

复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2

复变函数3.3高阶导数公式

复变函数3.3高阶导数公式

§3.3 高阶导数公式)(,ζf D D Γ+=在闭域D 上解析。

ΓD计算⎰Γ-ζζζd z f 0)(作圆周ρζρ=-|:|0z C 位于D 内，则⎰⎰-=-ΓρζζζζζζC d z f d z f 00)()( （复闭路定理）⎰⎰-=-→ΓρζζζζζζρC d z f d z f 000)(lim )( （假设lim 与⎰可换）⎰-=→ρζζζρC d z f 00)(lim（由于)(ζf 于D 内连续）⎰-=ρζζC d z z f 00)( )(21)(000z if d z z f C πζζρ=-=⎰推测 ⎰Γ=-)(2)(00z if d z f πζζζ定理（柯西积分公式）D 是以简单闭路或复闭路Γ为边界的有界区域，)(ζf 在D 上解析，则,0D z ∈∀有)(2)(00z if d z f πζζζ=-⎰Γ证：因,0,0)(>∃>∀εδεζ内连续，故在D f 只要εδρζ<=-||0z 时，有πεζ2|)()(|0<-z f f 由于 |)(2)(|||000⎰=---ρζπζζζz z if d z f|)()(||)()(|||00||||000000⎰⎰⎰=-=-=---=---=ρζρζρζζζζζζζζζz z z d z z f f d z z f d z f επρπρεζρπεζζζρζρζ=⋅=⋅<--≤⎰⎰=-=-22||12|||||)()(|||||0000z z d d z z f f 即⎰=-→=-ρζρπζζζ||0000)(2)(lim z z if d z f )(2)(lim )(0||0000z if d z f d z f z πζζζζζζρζρ=-=-⎰⎰=-→Γ 当z 在D 内变动时，(*))()(21z f d z f i =-⎰Γζζζπ当为圆周R z =-||0ζ时，参数方程为)20(,Re 0πθζθ≤≤+=i z ，代入（*）得⎰+=πθθπ2000)Re (21)(d z f z f i 若用此公式来求解，则计算量太大。

三高阶导数隐函数及由参数方程所确定函数的导数

三高阶导数隐函数及由参数方程所确定函数的导数

ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
2
上式两边对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1111
x 1 x 2 x 3 x 4
四、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x之间的
函数关系,
1 3 sin2 2x 4
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
例8. 设 解:
求 其中 f 二阶可导.
三、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
例14.设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1)
确定函数 y y(x), 求
解: 各方程两边对 t 求导 , 得
dx
2t 2
dt
即
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
d t 1 cos y
故
dy dx
注：有些显函数用对数求导法求导很方便.
例如
上式两边同时取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
上式两边同时对 x 求导
y ln a a b y bxx
又如
y
(x 1)(x 2) (x 3)(x 4)
上式两边取对数

高等数学 第三章 第3节 高阶导数(中央财经大学)

高等数学 第三章 第3节 高阶导数(中央财经大学)
( k −1)
n −k ′ ) = n ( n − 1)( n − 2) ⋯ ( n − k + 1) x
(1 ≤ k ≤ n )
注意, 当 k = n 时
( x n ) ( n ) = n (n − 1) (n − 2) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅1 = n ! 从而, 当 k ≥ n + 1 时, ( x n ) ( k ) = 0 .
d f ( x) d d f ( x) = , n n−1 dx dx dx
n−1
一个函数的导函数不一定再可导 , 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数
f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导
数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 f ( x ) ∈ C n ( I ) 或 f ( x ) ∈ C n . 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
x (n)
x 的任何阶导数仍为 ex y = ex
=e
x
(n ∈ N )
例
求 y = ax 的各阶导数 .
解
y ' = a ln a
x x 2 ′ ′ ′ y ' ' = ( y ) = (a ln a ) = a (ln a )
x
⋯⋯⋯
y ( k ) = a x (ln a ) k
运用数学归纳法可得 (a )
π 79π 1 = C x sin ( x + 80 ⋅ ) + C80 ( 2 x ) sin ( x + ) 2 2 π 2 + C80 ⋅ 2 ⋅ sin ( x + 78 ⋅ ) 2

考研高阶导数公式

考研高阶导数公式

考研高阶导数公式
摘要：
1.考研高阶导数公式的概述
2.高阶导数的求解方法
3.实例解析
4.总结
正文：
【1.考研高阶导数公式的概述】
在考研数学中，导数公式是非常重要的一部分，尤其是高阶导数公式。

高阶导数指的是函数的导数的导数，即函数的二阶导数、三阶导数等。

求解高阶导数公式对于理解函数的性质和解决实际问题有着重要的意义。

【2.高阶导数的求解方法】
求解高阶导数公式的方法主要有以下几种：
（1）莱布尼兹公式：莱布尼兹公式是求解高阶导数的基本公式，可以用来求解任意阶数的导数。

（2）求导法则：根据导数的求导法则，可以求解一些常见的高阶导数。

（3）泰勒公式：泰勒公式可以用来求解函数的任意阶导数。

【3.实例解析】
以函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 为例，我们可以求解其二阶导数和三阶导数。

（1）二阶导数：根据莱布尼兹公式，可以得到f"(x) = 3x^2 + 4x - 3，再次对f"(x) 求导，即可得到f""(x) = 6x + 4。

（2）三阶导数：对f""(x) 求导，可以得到f"""(x) = 6。

【4.总结】
高阶导数公式在考研数学中占据重要地位，理解高阶导数的求解方法，能够帮助我们更好地理解函数的性质和解决实际问题。

隐函数的导数、参数式函数的导数

隐函数的导数、参数式函数的导数

d 2y dx 2

dt dx
dt
例 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的方切 程. 线
解
dy dx
dy

dt dx
asint a acost
分子分母不要颠倒
sint 1 cost
dy dx
t 2

sin 2
1 cos
(ey)eyy; [lny2(1)]y22y y1. (2)解出 y(允许表达式y中 ). 含有
因为y是x的函数, 所以 y 2 是x的复合函数,
例 设曲C线 的方程x为 3y33xy,求过 C上点 (3,3)
22 的切线方 ,并程证明曲 C在线该点的法线通. 过
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
高等数学Ⅰ
第三节 高 阶 导 数
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
(2 )(ski)(n n x ) k nsik n x n ( ) 2
(3 )(cko )(n x ) sk nco k s x n ( ) 2
( 4 ) ( x ) ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n
(5)(lx n )(n)(1)n1(nx n 1)!(1x)(n)
(1)n
n! xn1
y

( 3,3) 22
y x2 y2 x
1.
( 3,3 ) 22

《高数导数公式》课件

《高数导数公式》课件
如圆内切正方形问题、相交曲线的法线求导等。
反函数求导
反函数的概念
如果函数f(x)与函数g(x)满足 f(g(x))=x和g(f(x))=x，则f(x)和g(x) 互为反函数。
反函数求导的公式推 导
通过链式法则和反函数的定义 式，可以推导出反函数的导数 公式。
常见的反函数求导例 题
如指数函数和对数函数，三角 函数和反三角函数等。
3
某些特殊函数的高阶导数
一些特殊函数的高阶导数具有规律性，掌握这些规律有助于简化高阶导数的计算过程。
隐函数求导
隐函数的概念
隐函数求导的基本方法 常见的隐函数求导例题
当存在一种关系式，通过该关系式可以表示出两 个或多个变量间的函数关系，但其中一个变量无 法显式表示时，就称该关系式为隐函数。
通过求出各个变量间的导数，利用链式法则和隐 函数的定义式，计算隐函数的导数。
物理意义
导数可以表示物体在某一瞬间 的速度和加速度，对于运动学 和力学问题的研究非常重要。
定义式
导数的定义式是函数的极限表 达形式，表示函数在某一点的 变化率。
导数的基本法则
1 常数函数的导数
2 变量函数的导数
常数函数的导数恒为0，因为常数函数没有变 化。
变量函数即自变量是x的函数，其导数表示函 数在不同点的变化率。
减法法则
两个函数相减的导数等于两个函数各自的导数之 差。
除法法则
两个函数相除的导数等于第一个函数的导数乘以 第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导 数，再除以第二个函数的平方。
高阶导数
1
定义
高阶导数表示导数的导数，用于描述函数变化的二阶、三阶及以上的特性。
2
n阶导数的符号表示
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n
2-3 高阶导数 10

2015/11/16
例7. 设 f ( x ) 3 x 3 x 2 x ,求使 f ( n ) (0) 存在的最高 3 2 阶数 4x , x 0
2x 0 f (0) lim 0 2 x 0 x 12 x , x 0 f ( x ) 3 2 4x 0 6 x , x0 0 f (0) lim x 0 x 2 又 f (0) lim 6 x 0 24 x , x 0 f ( x) x 0 x 12 x , x 0 2 12 x f (0) lim 0
y
1 (1 x )2
1 1 1 2 2 解: y , , y (1 x )2 , y ( 1) 3 (1 x ) 1 x …… y ( n ) (1)n1 ( n 1)!
(1 x )
n
规定 0 ! = 1
思考:
2015/11/16 2-3 高阶导数 7
( n! ) 0.
6
例4. 设 y e , 求 y . 3 ax 2 ax ax 解: y a e , y a e , y a e , ,
ax
( n)
y
例5. 设
( n)
a e
n
ax
特别有: (e x )( n ) e x 求
1 y 1 x
1 (n) ( 1) n n! 1 (n) ( 1) n n! ( ) , ( ) , n 1 n 1 x 1 ( x 1) x 1 ( x 1)
y
(n)
3 1 1 n ( 1) n![ ]. n 1 n 1 2 ( x 1) ( x 1)
6.
( 1)
n 1
( n 1)!
(1 x )n
1 ( n) n! n ( ) ( 1) x 1 ( x 1)n1
1 (n) n n! ( ) ( 1) n1 x x
(ln x )
(n)
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 ( n) n! ( ) 1 x (1 x )n1
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 2.公式法:
适用于：可以转换为两个函数相乘的n阶导数的问题。
2015/11/16 2-3 高阶导数 13
例8.
解: 设
2x
求
u e , v x ,则 (k ) k 2x ( k 1 , 2 , , 20 ) u 2 e v 2 x , v 2 ,
y 2 1a2 3 2a3 x n( n 1)an x n 2
依次类推 , 可得：
y
( n)
n ! an
2015/11/16
2-3 高阶导数
5
例3 设 y x ( R), 求y 解
1

( n)
.
y x 2 1 y (x ) ( 1) x
1 x y y
利用复合函数的 求导法则
3
y x y 3 ( y )
1 y
19
2015/11/16
2-3 高阶导数
4x2 1 , 求 y (n) . 5. 设y 2 x 1 4x2 1 4x2 4 3 3 1 1 4 ( ) 解: y 2 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1
2
v
y
(20)
20
(k )
0 (k 3 , , 20)
2
19 2x代入莱布尼兹公式 , Nhomakorabea得 2 e x 20 2 e
2x
2 x
20 19 2!
2015/11/16 2-3 高阶导数
2 e
18
2x
2
14
练习题
1.设
解:
求
其中 f 二阶可导.
2015/11/16
2-3 高阶导数
d y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y , 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx 一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
d y d f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
例6 设 y sin x, 求y
( n)
.
y cos x sin( x ) 解 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) …… 2 2 (n) y sin( x n ) 2 ( n) 一般地 , (sin x ) sin( x n ) 2 (n) 同理可得： (cos x ) cos( x n ) 2
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即
f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
2015/11/16 2-3 高阶导数 2
记作
2015/11/16
2-3 高阶导数
17
2 求 f (a ) . f ( x ) ( x a ) g( x ) ， 3. 设 g ( x ) 连续，且
g( x ) 可导 解：
f ( x ) 2( x a ) g ( x ) ( x a )2 g( x )
两个函数相乘 用莱布尼兹公式
1 n Cn [( x 2)n ]( n 1) g ( x ) C n [( x 2)n ](0) g( x )( n
n ! ( x 1) cos 各项均含 16 ( n) 因子 ( x – 2 ) f (2) n ! 2 2 2-3 高阶导数 2015/11/16 16
g( x ) 不一定存在.
故用定义求 f (a )
( x ) f (a ) f f (a ) lim x a xa
f ( a ) 0
f ( x ) lim ( x )] 2 g(a ) lim [ 2 g ( x ) ( x a ) g x a x a x a
1 (n) n! ( ) n1 a x (a x )
1 ( n ) ( 1)n n ! a n ( ) b ax (b ax )n1
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性 ,写出 n阶导数.(数学归纳法证明 ) 2015/11/16 8 2-3 高阶导数
设 y
x x2
求 y
x x x 2 9 1 xx 解: y 1 1 1 x 8 x 8 x2 4 8
y x
1 8
7 8
x
9 8
1 8
7. 证明：可导的偶函数的导数是奇函数;
可导的奇函数的导数是偶函数; 可导的周期函数的导数是周期函数.
2
2
3
函数f ( x )的n阶导数, 记作 n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地 . 2015/11/16, f ( x )称为零阶导数 3 2-3 高阶导数; f ( x )称为一阶导数
15
2. (填空题)
( n)
(1) 设 f ( x ) ( x 3 x 2) cos
2 n
x 2
16
,则
2 f (2) n ! g( x ) 2 2 x 提示: ( x 2)n ( x 1)n cos
16
( x 2)n g( x )
0 f ( n) ( x ) Cn [( x 2)n ]( n ) g( x )(0)
2015/11/16 2-3 高阶导数 18
4. 试从
导出
(见 P103 题4 )
d2 x d dx d 1 dx 解： 2 dy d y d y d x y d y
1 y
2 d d x d x 类似可求 2 3 d y dy dy dx dy
2015/11/16
C u
k 0 k n
n
( n k )
v
(k )
2-3 高阶导数 12
(uv) u v uv (u v uv) u v 2 u v uv (uv) (uv) u v 3uv 3uv uv
n
x2
(2) 已知 f ( x ) 任意阶可导, 且 f ( x ) [ f ( x )]2 , 则当
n 2时 f
提示:
( n)
( x ) n ! [ f ( x )]
n 1
3 f ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) 2 ![ f ( x )]
f ( x ) 2 ! 3[ f ( x )]2 f ( x ) 3 ! [ f ( x )]4
3
x 0
分析: f ( x ) 3 2 x , x0
(0) 不存在 f f (0) 24 , 但是 2015/11/16f 11 . 2-3 高阶导数 (0) 12 ,
x
二. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
……
y
( n)
y (( 1) x
2
) ( 1)( 2) x
n
3
( 1)( n 1) x

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