山东省烟台市中考数学真题试题(带解析)

2023年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

1．（3分）﹣的倒数是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．（2a2）3＝6a6C．a2•a3＝a5D．a8÷a2＝a4 5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（）A．B．C．D．7．（3分）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（）A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差8．（3分）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（）A．P1＜P2B．P1＝P2C．P1＞P2D．无法判断9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为．12．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为．13．（3分）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．14．（3分）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是．15．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为．16．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A 后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．18．（7分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．19．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）20．（8分）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．【问题提出】在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．21．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．23．（11分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB 的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．2023年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

2024年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

1．（3分）（2024•烟台）下列实数中的无理数是（）A．B．3.14C．D．2．（3分）（2024•烟台）下列计算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．a3+a3D．（a2）33．（3分）（2024•烟台）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）（2024•烟台）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b5．（3分）（2024•烟台）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A．0.15×103纳米B．1.5×104纳米C．15×10﹣5纳米D．1.5×10﹣6纳米6．（3分）（2024•烟台）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（）≈A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定7．（3分）（2024•烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）（2024•烟台）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE 并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（）A．B．C．D．9．（3分）（2024•烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（）A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺10．（3分）（2024•烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2024•烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．12．（3分）（2024•烟台）关于x的不等式m﹣≤1﹣x有正数解，m的值可以是（写出一个即可）．13．（3分）（2024•烟台）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为．14．（3分）（2024•烟台）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．15．（3分）（2024•烟台）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为．16．（3分）（2024•烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．其中正确结论的序号为．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（+）÷，再求值．18．（7分）（2024•烟台）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：0≤t ＜2；B 组：2≤t ＜4；C 组：4≤t ＜6；D 组：6≤t ＜8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a 的值为，D 组对应的扇形圆心角的度数为；（3）D 组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19．（8分）（2024•烟台）根据手机的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°．sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择日（填冬至或夏至）时，α为（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．20．（8分）（2024•烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？21．（9分）（2024•烟台）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y 轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC 与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．（1）求反比例函数的表达式；（2）求n的值及△BCG的面积．22．（10分）（2024•烟台）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为；【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．23．（11分）（2024•烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI 并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．24．（13分）（2024•烟台）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2024年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

2023年烟台市初中学业水平考试数学试题本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的, 请把正确的答案选出来。

每小题3分，共30分）1. 23-的倒数是（ ）A.23B.23-C.32D.32-2.是同类二次根式的是（ ）A.B.C.D.3. 下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 下列计算正确的是（ ） A. 2242a a a += B. ()32626aa = C. 235a a a ⋅= D. 824a a a ÷=5. 不等式组321,23m m -≥⎧⎨->⎩的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）A. B. C.D.6. 如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）A. B. C. D.7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C. 甲班视力值极差小于乙班视力值的极差D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差8. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为1P ，停在空白部分的概率为2P ，则1P 与2P 的大小关系为（ ）A. 12P P <B. 12P P =C. 12P P >D. 无法判断的9. 如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①0abc >；②20b c +>；③若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确结论的个数是（ ）A 1B. 2C. 3D. 410. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A. ()31.34B. ()31,34-C. ()32,35D. ()32,0二、填空题(本大题共6个小题，每题3分，共18分）11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知1102∠=︒，则2∠的度数为_____．.13. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C ，D ，连接AB ，则BAD ∠的度数为_______．14. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8； ③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确序号是___________．15. 如图，在直角坐标系中，A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径，点C 在函数(0,0)ky k x x=>>的图象上，D 为y 轴上一点，ACD 的面积为6，则k 的值为________．的16. 如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17. 先化简，再求值：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中a 是使不等式112a -≤成立的正整数． 18. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A ，B ，C ，D ，E 五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D 所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A 大学的大约有_________人；（3）甲、乙两位同学计划从A ，B ，C 三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．19. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30︒的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD 长16米，在地面点A 处测得风力发电机塔杆顶端P 点的仰角为45︒，利用无人机在点A 的正上方53米的点B 处测得P 点的俯角为18︒，求该风力发电机塔杆PD 的高度．（参考数据：sin180.309≈︒，cos180.951≈︒，tan180.325≈︒）20. 【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD 进行如下操作：①分别以点,B C为圆心，以大于12BC 的长度为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交BC 于点O ，连接AO ；②将ABO 沿AO 翻折，点B 的对应点落在点P 处，作射线AP 交CD 于点Q ．【问题提出】在矩形ABCD 中，53AD AB ==，，求线段CQ 的长． 【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ 长；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．的请你任选其中一种方案求线段CQ 的长．21. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？22. 如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,E O 经过,A D 两点，交对角线AC 于点F ，连接OF 交AD 于点G ，且AG GD =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）已知O 的半径与菱形的边长之比为5:8，求tan ADB ∠的值．23. 如图，点C 为线段AB 上一点，分别以,AC BC 为等腰三角形的底边，在AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE ，且A CBE ∠=∠．在线段EC 上取一点F ，使EF AD =，连接,BF DE ．（1）如图1，求证：DE BF =；（2）如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点G ，求BE 的长．24. 如图，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB =．抛物线的对称轴3x =与经过点A 的直线1y kx =-交于点D ，与x 轴交于点E ．（1）求直线AD 及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B 为圆心，画半径为2圆，点P 为B 上一个动点，请求出12+PC PA 的最小值． 参考答案一、选择题1. 23-的倒数是（ ）A.23B.23-C.32D.32-【答案】D 【解析】【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答． 【详解】解：∵23132⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴23-的倒数是32-，故选：D ．【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键． 2.是同类二次根式的是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．的【详解】解：A 2=不是同类二次根式，不符合题意；B 不是同类二次根式，不符合题意；C =是同类二次根式，符合题意；D =，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B ， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 4. 下列计算正确的是（ ） A. 2242a a a += B. ()32626aa = C. 235a a a ⋅= D. 824a a a ÷=【答案】C 【解析】【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答． 【详解】解：A .2222a a a +=，故该选项不正确，不符合题意； B .()32628a a =，故该选项不正确，不符合题意；C .235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；D .826a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键． 5. 不等式组321,23m m -≥⎧⎨->⎩的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：32123m m -≥⎧⎨->⎩①②解不等式①得：m 1≥ 解不等式②得：1m <-将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，故选：A ．【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．6. 如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE的投影为点E，棱AB的投影为线段BE，棱AD的投影为线段ED，棱AC的投影为正方形BCDE的对角线，∴该几何体的俯视图为：，故选：A【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（）A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 【答案】D 【解析】【分析】根据平均数，中位数，极差，方差定义分别求解即可． 【详解】甲班视力值分别：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4； 从小到大排列为：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位数为4.7 4.7=4.72+， 平均数为()14.4 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.85.0=4.78+++++++；极差为5.0 4.40.6-= 方差为()()()()222221=0.30.10.10.3=0.0258S ⎡⎤+++⎣⎦甲；乙班视力值分别为：4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4； 从小到大排列为：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0，中位数为4.7 4.7=4.72+ 平均数为()14.4 4.5 4.6 4.7 4.7 4.8 4.95.0=4.78+++++++；极差为5.0 4.40.6-= 方差为()()()()()()22222221=0.30.20.10.10.20.3=0.0358S ⎡⎤+++++⎣⎦甲；甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D 选项正确 故选：D ．【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键．8. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为1P ，停在空白部分的概率为2P ，则1P 与2P 的大小关系为（ ）的为A. 12P P <B. 12P P =C. 12P P >D. 无法判断【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接AE BD ，交于O ， 由题意得，A B C D ，，，分别是正方形四条边的中点， ∴点O 为正方形的中心， ∴AOBF AODC S S =四边形四边形，根据题意，可得扇形OAB 的面积等于扇形CAD 的面积， ∴AOBF OAB AODC AOC S S S S -=-四边形扇形四边形扇形，∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半 ∴12P P =， 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．9. 如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①0abc >；②20b c +>；③若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据图象，分别得出a 、b 、c 的符号，即可判断①；根据对称轴得出a b =，再根据图象得出当1x =时，0y a b c =++<，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程230ax bx c ++-=移项可得23ax bx c ++=，根据该方程无实数根，得出抛物线2y ax bx c =++与直线3y =没有交点，即可判断④．详解】解：①∵该抛物线开口向下， ∴a<0，∵该抛物线的对称轴在y 轴左侧， ∴0b <，∵该抛物线于y 轴交于正半轴， ∴0c >， ∴0abc >，故①正确，符合题意；②∵1,2A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴该抛物线的对称轴为直线122b x a =-=-，则a b =， 当1x =时，y a bc =++，把a b =得：当1x =时，2y b c =+，【由图可知：当1x =时，0y <， ∴20b c +<，故②不正确，不符合题意； ③∵该抛物线的对称轴为直线12x =-， ∴()13,y -到对称轴的距离为()15322---=，()23,y 到对称轴的距离为17322⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∵该抛物线开口向下，∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵5722<， ∴12y y >，故③正确，符合题意；④将方程230ax bx c ++-=移项可得23ax bx c ++=， ∵230ax bx c ++-=无实数根，∴抛物线2y ax bx c =++与直线3y =没有交点， ∵1,2A m ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴3m <．故④正确综上：正确的有：①③④，共三个． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质．10. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A. ()31.34B. ()31,34-C. ()32,35D. ()32,0【答案】A 【解析】【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：∵()121A -，，()412A -，，()703A ，，()1014A ，，L ， ∴()323n A n n --，，∵1003342=⨯-，则34n =，∴()1003134A ，， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．二、填空题11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 【答案】113.610⨯ 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3600亿360000000000=，用科学记数法表示为113.610⨯．故答案为：113.610⨯．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知1102∠=︒，则2∠的度数为_____．【答案】78︒##78度 【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，AB DC ∥， ∴2BCD ∠=∠，∵1180BCD ∠+∠=︒，1102∠=︒， ∴180178BCD ∠=︒-∠=︒∴278∠=︒．故答案为：78︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C ，D ，连接AB ，则BAD ∠的度数为_______．【答案】52.5︒【解析】【分析】如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ===，502525AOB ∠=︒-︒=︒，然后再根据等腰三角形的性质求得65OAB ∠=︒、25OAD ∠=︒，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ===，502525AOB ∠=︒-︒=︒,15525130AOD ∠=︒-︒=︒， ∴()118077.52OAB AOB ∠=︒-∠=︒，()1180252OAD AOB ∠=︒-∠=︒， ∴52.5OAB A BAD O D ∠∠-∠==︒． 故答案为52.5︒．【点睛】本题主要考查了角的度量、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性质是解答本题的关键．14. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8； ③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是___________． 【答案】①③ 【解析】【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．【详解】解：①4=；故①正确，符合题意； ②按键的结果为()3424+-=-；故②不正确，不符合题意； ③按键的结果为()sin 4515sin 300.5︒-︒=︒=；故③正确，符合题意； ④按键的结果为2132102⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭；故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③． 故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 15. 如图，在直角坐标系中，A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径，点C 在函数(0,0)ky k x x=>>的图象上，D 为y 轴上一点，ACD 的面积为6，则k 的值为________．【答案】24 【解析】【分析】设,k C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,k OB a AC a ==，则122kAC BC a==，根据三角形的面积公式得出162ACD S AC OB =⋅= ，列出方程求解即可． 【详解】解：设,k C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵A 与x 轴相切于点B ， ∴BC x ⊥轴，∴,kOB a AC a==，则点D 到BC 的距离为a ， ∵CB 为A 的直径， ∴122k AC BC a ==， ∴16224ACDk k S a a =⋅⋅== ， 解得：24k =， 故答案为：24．【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．16. 如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．【解析】【分析】过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，勾股定理求得AQ ，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，∴7BC =，4,3BQ QC ==在Rt ABQ 中，8,4AB BQ ==∴AQ === ∵1122ABC S AB CG AQ BC =⨯=⨯ ，∴BC AQ CG AB ⨯===,． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．三、解答题17. 先化简，再求值：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中a 是使不等式112a -≤成立的正整数． 【答案】33a a -+；12- 【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭()()()23225222a a a a a a -+-⎡⎤=÷+⎢⎥---⎣⎦()2234522a a a a--+=÷-- ()()()232233a a a a a --=⋅-+- 33a a -=+， 解不等式112a -≤得：3a ≤， ∵a 为正整数，∴1a =，2，3，∵要使分式有意义20a -≠，∴2a ≠，∵当3a =时，552320223a a ++=++=--， ∴3a ≠，∴把1a =代入得：原式131132-==-+． 【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．18. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A ，B ，C ，D ，E 五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D 所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有_________人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．【答案】（1）见解析（2）14.4︒；200．（3）1 3【解析】【分析】（1）根据C的人数除以占比得到总人数，进而求得B的人数，补全统计图即可求解；（2）根据D的占比乘以360︒得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可求解；（3）根据列表法求概率即可求解．【小问1详解】解：总人数为1428%50÷=（人）∴选择B大学的人数为5010142816----=，补全统计图如图所示，【小问2详解】在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为236014.4 50︒⨯=︒，选择A大学的大约有101000=20050⨯（人）故答案为：14.4︒；200．【小问3详解】列表如下，甲乙A B CA AA AB ACB BA BB BCC CA CB CC共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为13． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30︒的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD 长16米，在地面点A 处测得风力发电机塔杆顶端P 点的仰角为45︒，利用无人机在点A 的正上方53米的点B 处测得P 点的俯角为18︒，求该风力发电机塔杆PD 的高度．（参考数据：sin180.309≈︒，cos180.951≈︒，tan180.325≈︒）【答案】该风力发电机塔杆PD 的高度为32米【解析】【分析】过点P 作PF AB ⊥于点F ，延长PD 交AC 延长线于点E ，先根据含30︒角直角三角形的性质得出8DE =，设PD x =米，则()8PE PD DE x =+=+米，进而得出()8AE x =+米，证明四边形FAEP 为矩形，则()8PF AE x ==+米，()8AF PE x ==+米，根据线段之间的和差关系得出()45BF AB AF s x =-=-米，最后根据tan18BF PF=︒，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P 作PF AB ⊥于点F ，延长PD 交AC 延长线于点E ，根据题意可得：AB 、PD 垂直于水平面，30DCE ∠=︒，45PAC ∠=︒，18GBP ∠=︒，∴PE AE ⊥，∵16CD =米，∴1116822DE CD ==⨯=（米）， 设PD x =米，则()8PE PD DE x =+=+米，∵45PAC ∠=︒，PE AE ⊥， ∴()8tan 45PE AE x ==+︒米， ∵AB AE ⊥，PE AE ⊥，PF AB ⊥，∴四边形FAEP 为矩形，∴()8PF AE x ==+米，()8AF PE x ==+米，∵53AB =米，∴()()53845BF AB AF x x =-=-+=-米，∵18GBP ∠=︒，∴18BPF ∠=︒， ∴tan18BF PF =︒，即450.3258x x-≈+， 解得：32x ≈，答：该风力发电机塔杆PD 的高度为32米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．20. 【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD 进行如下操作：①分别以点,B C 为圆心，以大于12BC 的长度为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交BC 于点O ，连接AO ；②将ABO 沿AO 翻折，点B 的对应点落在点P 处，作射线AP 交CD 于点Q ．【问题提出】在矩形ABCD 中，53AD AB ==，，求线段CQ 的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ 的长；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长． 请你任选其中一种方案求线段CQ 的长．【答案】线段CQ 的长为2512． 【解析】【分析】方案一：连接OQ ，由翻折的不变性，知3AP AB ==， 2.5OP OB ==，证明()HL QPO QCO ≌△△，推出PQ CQ =，设PQ CQ x ==，在Rt ADQ △中，利用勾股定理列式计算求解即可；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，证明OAQ R ∠=∠，推出QA QR =，设CQ x =，同方案一即可求解．【详解】解：方案一：连接OQ ，如图2．∵四边形ABCD 是矩形，∴3AB CD ==，5AD BC ==， 由作图知1 2.52BO OC BC ===， 由翻折的不变性，知3AP AB ==， 2.5OP OB ==，90APO B ∠=∠=︒，∴ 2.5OP OC ==，90QPO C ∠=∠=︒，又OQ OQ =，∴()HL QPO QCO ≌△△，∴PQ CQ =，设PQ CQ x ==，则3AQ x =+，3DQ x =-，在Rt ADQ △中，222AD QD AQ +=，即()()222533x x +-=+， 解得2512x =， ∴线段CQ 的长为2512； 方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，如图3．∵四边形ABCD 是矩形，∴3AB CD ==，5AD BC ==， 由作图知1 2.52BO OC BC ===， 由旋转的不变性，知3CR AB ==，BAO R ∠=∠，90B OCR ∠=∠=︒，则9090180OCR OCD ∠+∠=︒+︒=︒，∴D C R 、、共线，由翻折的不变性，知BAO OAQ ∠=∠，∴OAQ R ∠=∠，∴QA QR =，设CQ x =，则3QA QR x ==+，3DQ x =-，在Rt ADQ △中，222AD QD AQ +=，即()()222533x x +-=+， 解得2512x =， ∴线段CQ 的长为2512． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．21. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； （2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【解析】【分析】（1）设《周髀算经》单价为x 元，则《孙子算经》单价是34x 元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m 的取值范围，根据m 的取值范围结合函数解析式解答即可．【小问1详解】解：设《周髀算经》单价为x 元，则《孙子算经》单价是34x 元， 依题意得，600600534x x =+， 解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，。

2024年山东省烟台市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中的无理数是（ ）A ．23B ．3.14C D2．下列运算结果为6a 的是（ ）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ． 12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．3．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A 、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意；B 、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C 、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C 不符合题意；D 、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D 不符合题意；故选：A ．4．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．3b c +>B ．0a c -<C ．a c >D ．22a b-<-【答案】B5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）A ．30.1510⨯纳米B ．.41510⨯纳米C ．51510-⨯纳米D ．61.510-⨯纳米6．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．22S S >甲乙B ．22S S <甲乙C ．22S S =甲乙D ．无法确定【答案】A 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，∴22S S >甲乙；故选A ．7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP 为AOB ∠的平分线；第二个图，由作图可知：,OC OD OA OB ==，∴AC BD =，∵AOD BOC ∠=∠，∴AOD BOC ≌△△，∴OAD OBC ∠=∠，∵AC BD =，BPD APC ∠=∠，∴BPD APC ≌，∴AP BP =，∵,OA OB OP OP ==，∴AOP BOP ≌△△，∴AOP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第三个图，由作图可知,ACP AOB OC CP ∠=∠=，∴CP BO ∥，COP CPO ∠=∠，∴CPO BOPÐ=Ð∴COP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第四个图，由作图可知：OP CD ⊥，OC OD =，∴OP 为AOB ∠的平分线；故选D ．8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（ ）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α∴OD OC =，ODC ∠=∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OD ∴EOF DOC ∽△△，9．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺故选：C ．10．如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．∵菱形EFGH ，60E ∠=︒，依题意，MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则cos30NG =∴1sin 60S NG NG =⨯⨯⨯︒依题意，6EM EG t t =-=-，则EK ∴()211236223EKJ S EJ EM t =⋅=⨯- ∴EKJS S S =- 菱形当1114x <≤时，同理可得，3综上所述，当03x ≤≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当开口向下的一段抛物线，当68x <≤时，函数图象为一条线段，当开口向下的一段抛物线，当1114x <≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D ．二、填空题11x 的取值范围为 ．【答案】1x >/1x<【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：10x ->，解得：1x >；故答案为：1x >．12．关于x 的不等式12x m x -≤-有正数解，m 的值可以是 （写出一个即可）．13．若一元二次方程22410x x --=的两根为m ，n ，则2234m m n -+的值为．14．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作 BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．设圆锥的底面圆的半径为∴3r =；故答案为：3．15．如图，在ABCD Y 中，120C ∠=︒，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF ' ，连接AD '，BD '，则ABD '△面积的最小值为．过C 作CN AB ⊥于N ，∵AB CD ∥，∴EM CN =，在Rt BCN 中，10BC =，CBN ∠16．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：x4-3-1-15y59527-下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x -<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y --均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x -或3x >．其中正确结论的序号为 ．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a b c 、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把()4,0-，()1,9-，()1,5代入2y ax bx c =++得，164095a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴0abc >，故①正确；∵1a =-，2b =-，8c =，由2228y x y x x =-+⎧⎨=--+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =-⎧⎨=⎩，∴()2,0A ，()3,5B -，由图形可得，当3x <-或2x >时，2282x x x --+<-+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题17．利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：27442393mm m m m m --⎛⎫+÷⎪--+，再求值．18．“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)请补全条形统计图；(2)扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19．根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，1429α︒≤≤︒；夏至日时，4376α︒≤≤︒．sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈sin290.48︒≈，cos290.87≈︒，tan290.55≈︒sin430.68︒≈，cos430.73︒≈，tan430.93︒≈sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB 共11层，乙楼CD 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE 为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填14︒，29︒，43︒，76︒中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．【答案】任务一：冬至，14︒；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即14α=︒，故答案为：冬至，14︒；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，则90AFE ∠=︒，54EF =米，BF DF =，在Rt AFE 中，tan AFEFα=，∴tan14540.2513.5AF EF =⋅︒≈⨯=（米）∵11 3.336.3AB =⨯=（米），∴36.313.5DE BF AB AF ==-=-=22.8 3.37÷≈（层），20．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？21．如图，正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．(1)求反比例函数的表达式；(2)求n 的值及BCG 的面积．22．在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值．由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，BE 过点E 作EM BC ⊥交BC 于点由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴ACD DME ∠=∠，ADC ∠+∴CAD EDM ∠=∠由（2）得1DM AC ==，2EM CD ==，∴3CM CD DM =+=，∴2213CE CM EM =+=，∴2213sin 1313EM ECD CE ∠===．同理可得：ACD DME △≌△，∴1DM AC ==，2ME CD ==，∴211CM =-=，∴22215CE =+=，∴225sin 55EM ECD CE ∠===；23．如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点I 为ABC 的内心，连接CI 并延长交O于点D ，E 是 BC上任意一点，连接AD ，BD ，BE ，CE ．(1)若25ABC ∠=︒，求CEB ∠的度数；(2)找出图中所有与DI 相等的线段，并证明；(3)若CI =DI =ABC 的周长．【答案】(1)115︒(2)DI AD BD ==，证明见解析(3)30【分析】（1）利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再根据三角形的内角和定理求65CAB ∠=︒，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接A I ，由三角形的内心性质得到内心，CAI BAI ∠=∠，ACI BCI ∠=∠，然后利用圆周角定理得到DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，利用三角形的外角性质证得DAI DIA ∠=∠，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，利用解直角三角形求得2CF CP ==， 13AB =，进而可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，又25ABC ∠=︒，∴902565CAB ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABEC 是O 内接四边形，∴180CEB CAB ∠+∠=︒，∴180115CEB CAB ∠=︒-∠=︒；∵点I 为ABC 的内心，∴CAI BAI ∠=∠，ACI ∠∴ AD BD=，∴DAB DCB ACI ∠=∠=∠∵点I 为ABC 的内心，即为∴Q 、F 、P 分别为该内切圆与∴AQ AF =，CF CP =，∵22CI =，90IFC ∠=2AB AQ BQ CF=+++22AB CF=+21322=⨯+⨯30=．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24．如图，抛物线21y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OC OA =，4AB =，对称轴为直线1:1l x =-，将抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点D ，顶点为E ，对称轴为直线2l ．(1)分别求抛物线1y 和2y 的表达式；(2)如图1，点F 的坐标为()6,0-，动点M 在直线1l 上，过点M 作MN x ∥轴与直线2l 交于点N ，连接FM ，DN ．求FM MN DN ++的最小值；(3)如图2，点H 的坐标为()0,2-，动点P 在抛物线2y 上，试探究是否存在点P ，使2PEH DHE ∠=∠？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．由题意得2AG BG ==，∵对称轴为直线=1x -，∴()()1,0, 3.0B A -，∴3OC OA ==，∴()0,3C ，将A 、B 、C 分别代入21y ax bx c =++，得：09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴2123y x x =--+，∴()2212314y x x x =--+=-++，顶点为()1,4-∵抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，∴抛物线2y 的1a =，顶点为()1,4-，∴2y 的表达式为：()2214y x =--，即2223y x x =--（2）解：将点F 向右平移2个单位至F '，则2F F '=，()4,0F '-，过点D 作直线2l 的对称点为D ¢，连接,,F N F D ND ''''，∴ND ND '=，∵()2214y x =--，∴直线2l 为直线1x =，∵抛物线()2214y x =--，∴()1,4E -∵2l y ∥轴，∴1DHE ∠=∠，∵2PEH DHE ∠=∠，∴2112PEH ∠=∠=∠+∠，∴12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H '，则点H '在直线PE 上，∵点H 的坐标为()0,2-，直线2l ：1x =，∴()2,2H '-，设直线PE 的表达式为：()0y kx b k =+≠，代入()2,2H '-，()1,4E -,得：224k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得：26k b =⎧⎨=-⎩，∴直线PE 的表达式为26y x =-，联立222623y x y x x =-⎧⎨=--⎩，得：22326x x x --=-，解得：3x =或1x =（舍），∴()3,0P ；②当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，如图：。

2017年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2017烟台）下列实数中的无理数是（）A．√9B．πC．0 D．1 3【考点】26：无理数．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：√9，0，13是有理数，π是无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（3分）（2017烟台）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2017烟台）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有65个国家加入，共涉及总人口约达46亿人，用科学记数法表示该总人口为（）A．×109B．46×108 C．×1010D．×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：46亿=4600 000 000=×109，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017烟台）如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．（3分）（2017烟台）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外角性质计算∠C的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C+∠E，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∴∠C=12∠1=12×48°=24°．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．6．（3分）（2017烟台）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则输出结果应为（）A ．12B ．132C ．172D ．252【考点】25：计算器—数的开方．【分析】根据2ndf 键是功能转换键列式算式，然后解答即可．【解答】解：依题意得：√64+(−3)22=172． 故选：C ．【点评】本题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndf 键的功能．7．（3分）（2017烟台）用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为（ ）A ．3nB ．6nC ．3n+6D ．3n+3【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解答】解：∵第一个图需棋子3+3=6；第二个图需棋子3×2+3=9；第三个图需棋子3×3+3=12；…∴第n 个图需棋子3n+3枚．故选：D ．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．8．（3分）（2017烟台）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（ ）A ．两地气温的平均数相同B ．甲地气温的中位数是6℃C ．乙地气温的众数是4℃D ．乙地气温相对比较稳定【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】分别计算出甲乙两地的平均数、中位数、众数和方差，然后对各选项进行判断．【解答】解：甲乙两地的平均数都为6℃；甲地的中位数为6℃；乙地的众数为4℃和8℃；乙地气温的波动小，相对比较稳定．故选C ．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数和中位数．9．（3分）（2017烟台）如图，ABCD 中，∠B=70°，BC=6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DD ̂的长为（ ）A ．13πB ．23πC ．76πD ．43π 【考点】MN ：弧长的计算；L5：平行四边形的性质；M5：圆周角定理．【分析】连接OE ，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】解：连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴DD̂的长=40D×3180=23D；故选：B．【点评】本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．10．（3分）（2017烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2m，x1x2=m2﹣m﹣1．∵x1+x2=1﹣x1x2，∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m1=﹣2，m2=1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系以及x 1+x2=1﹣x1x2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．11．（3分）（2017烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】31 ：数形结合．【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b 的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣D2D=1，∴b=﹣2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣D2D=1，∴b=﹣2a，而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（3分）（2017烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为°，已知测倾器AB的高度为米，则楼房CD的高度约为（结果精确到米，√2≈）（）A．米B．米C．米D．米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=米，在Rt△DFB′中，B′F=DDDDD67.5°，在Rt△DFB中，BF=DF，∵BB′=AA′=20，∴BF﹣B′F=DF﹣DDDDD67.5°=20，∴DF≈米，∴CD=DF+CF=米，答：楼房CD的高度约为米，故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2017烟台）30×（12）﹣2+|﹣2|= 6 ．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：30×（12）﹣2+|﹣2|=1×4+2=4+2=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．14．（3分）（2017烟台）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC=√3，则sin D 2= 12． 【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据∠A 的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵sinA=DD DD =√32， ∴∠A=60°， ∴sin D 2=sin30°=12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．15．（3分）（2017烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是 x ＜8 ．【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】根据运算程序，列出算式：3x ﹣6，由于运行了一次就停止，所以列出不等式3x ﹣6＜18，通过解该不等式得到x 的取值范围．【解答】解：依题意得：3x ﹣6＜18，解得x＜8．故答案是：x＜8．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过程序表达式，将程序转化问题化为不等式组，难度一般．16．（3分）（2017烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是（﹣3，43）．【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣32得到B′的坐标．【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，又∵B（3，﹣2）∴B′的坐标是[3×(−23)，﹣2×(−23)]，即B′的坐标是（﹣2，43）；故答案为：（﹣2，43）．【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．17．（3分）（2017烟台）如图，直线y=x+2与反比例函数y=DD的图象在第一象限交于点P，若OP=√10，则k的值为 3 ．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】可设点P（m，m+2），由OP=√10根据勾股定理得到m的值，进一步得到P点坐标，再根据待定系数法可求k的值．【解答】解：设点P（m，m+2），∵OP=√10，∴√D2+(D+2)2=√10，解得m1=1，m2=﹣3（不合题意舍去），∴点P（1，3），∴3=D 1，解得k=3．故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点P的坐标，难度不大．18．（3分）（2017烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交DD̂于点D，点F是DD̂上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为36π﹣108 ．【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=12OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD ﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=12OA=12OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=12OD=3，∴S弓形BD =S扇形BOD﹣S△BOD=30?D?62360﹣12×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积计算公式及折叠的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（6分）（2017烟台）先化简，再求值：（x﹣2DD−D2D）÷D2−D2D+DD，其中x=√2，y=√2﹣1．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x﹣2DD−D2D）÷D2−D2D+DD=D2−2DD+D2D?D(D+D)(D+D)(D−D)=(D−D)2D?D(D+D)(D+D)(D−D)=x﹣y，当x=√2，y=√2﹣1时，原式=√2−(√2−1)=√2−√2+1=1．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（8分）（2017烟台）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：A．放下自我，彼此尊重； B．放下利益，彼此平衡；C．放下性格，彼此成就； D．合理竞争，合作双赢．要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：观点频数频率A aB 12C 8 bD 20（1）参加本次讨论的学生共有50 人；（2）表中a= 10 ，b= ；（3）将条形统计图补充完整；（4）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图．【分析】（1）由B观点的人数和所占的频率即可求出总人数；（2）由总人数即可求出a、b的值，（3）由（2）中的数据即可将条形统计图补充完整；（4）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）总人数=12÷=50（人），故答案为：50；（2）a=50×=10，b=850 =，故答案为：（3）条形统计图补充完整如图所示：（4）根据题意画出树状图如下：由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有4种，所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率=412=13．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（9分）（2017烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x==10%或x=﹣（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×1011=100011≈（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×910=14580（元）．14742＞14580．答：去B商场购买足球更优惠．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．22．（9分）（2017烟台）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣20℃时，制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行．同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：时间x/min… 4 810162021222324283036404244…温度y/℃…﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4﹣8﹣12﹣16﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4a﹣20…（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣80D；②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣4x+76 ；（2）a的值为﹣12 ；（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）①由xy=﹣80，即可得出当4≤x＜20时，y关于x的函数解析式；②根据点（20，﹣4）、（21，﹣8），利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；（2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值；（3）描点、连线，画出函数图象即可．【解答】解：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，20×（﹣4）=﹣80，∴当4≤x＜20时，y=﹣80 D ．故答案为：y=﹣80 D ．②当20≤x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx+b中，{20D+D=−4 21D+D=−8，解得：{D=−4D=76，∴此时y=﹣4x+76．当x=22时，y=﹣4x+76=﹣12，当x=23时，y=﹣4x+76=﹣16，当x=24时，y=﹣4x+76=﹣20．∴当20≤x＜24时，y=﹣4x+76．故答案为：y=﹣4x+76．（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，∴当x=42时，与x=22时，y值相同，∴a=﹣12．故答案为：﹣12．（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征以及一次（反比例）函数图象，解题的关键是：（1）①根据x、y成反比例，找出函数解析式；②利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据表格数据找出冷柜的工作周期；（3）描点、连线，画出函数图象．23．（10分）（2017烟台）【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，{DD=DD∠DDD=∠DDDDD=DD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF；理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，{DD=DD∠DDD=∠DDDDD=DD，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，{DD=DD∠DDD=∠DDDDD=DD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，{DD=DD∠DDD=∠DDDDD=DD，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（11分）（2017烟台）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB 长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．【考点】MR ：圆的综合题．【分析】（1）连接MF ．只要证明MF ∥AD ，可得DD DD =DD DD ，即D 10=DD 16，解方程即可； （2）当线段EN 与⊙M 相切时，易知△BEN ∽△BOA ，可得DD DD =DD DD ，即2D 8=16−2D 10，解方程即可；（3）①由题意可知：当0＜t ≤327时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点．②当F 与N 重合时，则有85t+2t=16，解得t=409，观察图象即可解决问题； 【解答】解：（1）连接MF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，AC ⊥BD ，OA=OC=6，OB=OD=8，在Rt △AOB 中，AB=√62+82=10，∵MB=MF ，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=∠MFB ，∴MF ∥AD ，∴DD DD =DD DD， ∴D 10=DD 16， ∴BF=85t （0＜t ≤8）．（2）当线段EN 与⊙M 相切时，易知△BEN ∽△BOA ，∴DD DD =DD DD， ∴2D 8=16−2D 10，∴t=327． ∴t=327s 时，线段EN 与⊙M 相切．（3）①由题意可知：当0＜t ≤327时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． ②当F 与N 重合时，则有85t+2t=16，解得t=409， 关系图象可知，409＜t ＜8时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． 综上所述，当0＜t ≤327或409＜t ＜8时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点．【点评】本题考查圆综合题、菱形的性质、切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．学会用构建方程的思想思考问题．属于中考压轴题．25．（13分）（2017烟台）如图1，抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m 可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得{D+D+2=09D−3D+2=0，解得{D=−23D=−43，∴抛物线解析式为y=﹣23x2﹣43x+2；（2）在y=﹣23x2﹣43x+2中，令y=2可得2=﹣23x2﹣43x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，﹣23m2﹣43m+2），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣23m2﹣43m+2﹣（﹣m）=﹣23m2﹣13m+2=﹣23（m+14）2+4924，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=√22PG=√22[﹣23（m+14）2+4924]=﹣√23（m+14）2+49√248，∴当m=﹣14时，l有最大值，最大值为49√248；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中{∠DDD=∠DDD ∠DDD=∠DDD DD=DD∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣23x2﹣43x+2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣103，当x=﹣4时，y=103，∴M点坐标为（2，﹣103）或（﹣4，﹣103）；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣32，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴x+（﹣1）=2×（﹣32）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；综上可知点M的坐标为（2，﹣103）或（﹣4，﹣103）或（﹣2，2）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG与l的关系是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。

2024年烟台市初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1. 下列实数中的无理数是（）A. 23B. 3.14C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可．【详解】解：A、23是有理数，不符合题意；B、3.14是有理数，不符合题意；CD4=有理数，不符合题意；故选C．2. 下列运算结果为6a的是（）A. 23a a⋅ B. 122a a÷ C. 33a a+ D. ()32a 【答案】D是【解析】【分析】本题考查了同底数幂乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可 【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意； B ． 12212210a a a a −÷==，故选项不符合题意； C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ×==，故选项符合题意；故选：D ．3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】A 【解析】【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A 、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意；B 、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C 、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C 不符合题意；的D 、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D 不符合题意；故选：A ．4. 实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 3b c +>B. 0a c −<C. a c >D. 22a b −<−【答案】B 【解析】【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a ，b ，c 的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判断a ，b ，c 的正负及知识点的应用． 【详解】由数轴可得，32a −<<−，21b −<<−，34c <<，A 、3b c +<，原选项判断错误，不符合题意，B 、0a c −<，原选项判断正确，符合题意，C 、根据数轴可知：a c <，原选项判断错误，不符合题意，D 、根据数轴可知：a b <，则22a b −>−，原选项判断错误，不符合题意，故选：B ．5. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 30.1510×纳米 B. .41510×纳米C. 51510−×纳米D. 61.510−×纳米【答案】B 【解析】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：10,110,na a n ×≤<为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米40.0151000000 1.510=×=×纳米； 故选B ．6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A. 22S S >甲乙 B. 22S S <甲乙C. 22S S =甲乙D. 无法确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果． 【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴22S S >甲乙； 故选A ．7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【解析】【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP 为AOB ∠的平分线；第二个图，由作图可知：,OC OD OA OB ==， ∴AC BD =， ∵AOD BOC ∠=∠， ∴AOD BOC ≌△△， ∴OAD OBC ∠=∠，∵AC BD =，BPD APC ∠=∠，∴BPD APC ≌， ∴AP BP =，∵,OA OBOP OP ==， ∴AOP BOP ≌△△， ∴AOP BOP ∠=∠， ∴OP 为AOB ∠的平分线；第三个图，由作图可知,ACP AOB OC CP ∠=∠=， ∴CP BO ∥，COP CPO ∠=∠， ∴CPO BOP ∴COP BOP ∠=∠， ∴OP 为AOB ∠的平分线；第四个图，由作图可知：OP CD ⊥，OC OD =， ∴OP 为AOB ∠的平分线； 故选D ．8. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（ ）A.452α°− B.902α°− C.452α°+ D.2α【答案】B 【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明EOF DOC ∽△△，求得45OFE ∠=°，证明ABE GDE ∽，证得12DG CD CG ==，推出()SAS DEG CFG ≌，得到GE GF =，据此求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴OD OC =，45ODC OCD ∠=∠=°，DE CF =， ∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OFOD OC=， ∴EOF DOC ∽△△， ∴45OFE OCD ∠=∠=°，∵点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点， ∴12DE BE =， ∵正方形ABCD ， ∴AB CD ∥， ∴ABE GDE ∽，∴12DG DE ABBE ==， ∴12DG CD CG ==， ∴()SAS DEG CFG ≌， ∴GE GF =，∴()111809022GEFAGF α∠=°−∠=°−， ∴1190904545222FAG GEF AFE ααα∠=°−°−−°=°−=∠−∠=， 故选：B ．9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A. 45尺B. 88尺C. 90尺D. 98尺【答案】C 【解析】【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和()115302+×即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺， ∴一共织布()11530902+×=（尺）， 故选：C ．10. 如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=°，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cmS 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设,EG HF 交于点O ，∵菱形EFGH ，60E ∠=°， ∴HG GF = 又∵60E ∠=°， ∴HFG 是等边三角形，∵EF =，60HEF ∠=°， ∴30OEF ∠=°∴22cos306EG EO EF ==×°==∴11622H EFG S EG FH =⋅=××=菱形当03x ≤≤时，重合部分为MNG ， 如图所示，依题意，MNG 为等边三角形， 运动时间为t，则cos30t NG==°，∴221sin 602S NG NG =×××°当36x <≤时，如图所示，的依题意，6EM EG t t =−=−，则)6sin 60EM EKt ==−°∴))22116622EKJ S EJ EM t t =⋅=−−∴EKJ EFGH SS S − 菱形)22666t =−+−+ ∵6EG BC =<∴当68x <≤时，S =当811x <≤时，同理可得，)268S t −当1114x <≤时，同理可得，())226814St t =−−=−综上所述，当03x ≤≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当36x <≤时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当68x <≤时，函数图象为一条线段，当811x <≤时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当1114x <≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11. x 的取值范围为________． 【答案】1x > 【解析】【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：10x −>， 解得：1x >； 故答案为：1x >． 12. 关于x 的不等式12xm x −≤−有正数解，m 的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式正数解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于m 的一元一次不等式，即可求出m 的取值范围，进而可得m 的值，求出m 的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项得，112x m ≤−， 系数化为1得，22x m ≤−， ∵不等式12xm x −≤−有正数解， ∴221m −≥， 解得12m ≤， ∴m 的值可以是0， 故答案为：0．13. 若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为________． 【答案】6 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −= ∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．14. 如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作 BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．【解析】【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点A 作AG BF ⊥，求出BF 的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF ，∴()621801206BAF AFE E −⋅°∠=∠=∠==°，6ABAF EF DE ====，∴()1180120302AFB ABF ∠=∠=°−°=°，()1180120302EFD EDF ∠=∠=°−°=°， ∴12023060BFD ∠=°−×°=°，过点A 作AG BF ⊥于点G ，则：22cos3026BF FG AF ==⋅°=×=，设圆锥的底面圆的半径为r ，则：602180r ππ=×∴r =；15. 如图，在ABCD 中，120C ∠=°，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF ′ ，连接AD ′，BD ′，则ABD ′△面积的最小值为________．【答案】16−##16−+【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到8CD AB ==，AB CD ∥，60ABC ∠=°，由折叠性质得到4ED DE ′==，进而得到点D '在以E 为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E 作EM AB ⊥交AB 延长线于M ，交圆E 于D '，此时D '到边AB 的距离最短，最小值为D M ′的长，即此时ABD ′△面积的最小，过C 作CN AB ⊥于N ，根据平行线间的距离处处相等得到EM CN =，故只需利用锐角三角函数求得CN =即可求解．【详解】解：∵在ABCD 中，120BCD ∠=°，8AB =， ∴8CD AB ==，AB CD ∥，则18060ABC BCD ∠=°−∠=°，∵E 为边CD 的中点，∴142DECE CD ===， ∵DEF 沿EF 翻折得D EF ′ ，∴4ED DE ′==，∴点D '在以E 为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E 作EM AB ⊥交AB 延长线于M ，交圆E 于D '，此时D '到边AB 的距离最短，最小值为D M ′的长，即ABD ′△面积的最小，过C 作CN AB ⊥于N ， ∵AB CD ∥， ∴EM CN =，在Rt BCN 中，10BC =，60CBN ∠=°，∴sin 6010CN BC =⋅°=，∴4D M ME ED ′′=−=−，∴ABD ′△面积的最小值为()184162××−=，故答案为：16−．【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点D '的运动路线是解答的关键． 16. 已知二次函数2y ax bx c ++的y 与x 的部分对应值如下表：x4−3− 1−1 5y5 9 5 27−下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a b c 、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把()4,0−，()1,9−，()1,5代入2y ax bx c ++得，164095a b c a b c a b c −+=−+=++=， 解得128a b c =−=− =，∴0abc >，故①正确； ∵1a =−，2b =−，8c =， ∴228y x x =−−+，当9y =时，2289x x −−+=， ∴2210x x ++=， ∵224110∆=−××=，∴关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线3112x −+==−， ∴抛物线的顶点坐标为()1,9−， 又∵0a <，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大，当1x >−时，y 随x 的增大而减小，当=1x −时，函数取最大值9，∵3x =−与1x =时函数值相等，等于5，∴当41x −<<时， y 的取值范围为09y <≤，故③错误；∵()212m m +−−=−，∴点()1,m y ，()22,m y −−关于对称轴=1x −对称， ∴12y y =，故④正确；由()212ax b x c +++<得22ax bx c x ++<−+，即2282x x x −−+<−+，画函数228y x x =−−+和2y x =−+图象如下：由2228y x y x x =−+=−−+ ，解得1120x y = = ，2235x y =− = ， ∴()2,0A ，()3,5B −，由图形可得，当3x <−或2x >时，2282x x x −−+<−+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17. 利用课本上计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的的平方根，先化简：27442393m m m m m m −− +÷−−+ ，再求值． 【答案】262m m −−，25−．【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出m 的值，把m 的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出m 的值是解题的关键． 【详解】解：27442393mm m m m m −− +÷−−+ ()22274393m mm m m m −− =−÷−−+， ()()()()()()3743333322m m m m m m m m m +−+=−× +−+−− ， ()()()()()23743333322m m m m m m m m m +−+=−×+−+−− ， ()()()24433322m m m m m m −++×+−−，()()()()2233322m m m m m −+×+−−−， ()223m m −=−−，262m m−=−，∵2354−=，∴235−的平方根为2±， ∵420m −≠， ∴2m ≠，又∵m 为235−的平方根， ∴2m =−， ∴原式()2226225−−==−−×−．18. “山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a 的值为_____，D 组对应的扇形圆心角的度数为______；（3）D 组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）图见解析 （2）32,28.8° （3）23【解析】【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法或树状图法求概率：（1）A 组人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出C 组人数，补全条形图即可； （2）用B 组人数除以总数，求出a 的值，D 组人数所占的比例乘以360度求出圆心角的度数； （3）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：1020%50÷=， ∴C 组人数为：501016420−−−=； 补全条形图如图：【小问2详解】16%100%32%50a=×=，∴32a=，D组对应的扇形圆心角的度数为436028.850°×=°；故答案为：32,28.8°；【小问3详解】列表如下：男1 男2 女1 女2男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，∴82123P==．19. 根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，1429α°≤≤°；夏至日时，4376α°≤≤°．sin140.24°≈，cos140.97°≈，tan140.25°≈sin290.48°≈，cos290.87≈°，tan290.55≈°sin430.68°≈，cos430.73°≈，tan430.93°≈sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．任务探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热二 水器．【答案】任务一：冬至，14°；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即14α=°， 故答案为：冬至，14°；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，则90AFE ∠=°，54EF =米，BF DF =，在Rt AFE 中，tan AFEFα=， ∴tan14540.2513.5AF EF =⋅°≈×=（米）， ∵11 3.336.3AB =×=（米）， ∴36.313.522.8DE BF AB AF ==−=−=（米）， 22.8 3.37÷≈（层）， 答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】（1）2220120005y x x =−++，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元 （2）这天售出了64辆轮椅【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；（2）令12160y =，得到关于x 的一元二次方程，进行求解即可．【小问1详解】解：由题意，得：()222006042012000105x y x x x =−+×=−++ ； ∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200180x −≥，∴20x ≤， ∵()22222012000251225055y x x x =−++=−−+， ∴当25x <时，y 随x 的增大而增大，∴当20x 时，每天的利润最大，为()22202512250122405−×−+=元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；【小问2详解】当12160y =时，222012*********x x −++=， 解得：121040x x ==，（不合题意，舍去）； ∴106046410+×=（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅．21. 如图，正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．（1）求反比例函数的表达式；（2）求n 的值及BCG 的面积．【答案】（1）6y x= （2）1，10【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：（1）先求出a 的值，进而求出反比例函数的解析式即可；（2）根据平移规则，得到平移后的解析式y x n =−，联立两个解析式，表示出,B C 的坐标，过点B ，C 作x 轴的平行线交y 轴于点,M N ,根据:3:2BE CE =，进而求出n 的值，进而根据对称性得出90CBG ∠=°，勾股定理求得BD ，进而求得,BG BC 的长，即可求解．【小问1详解】解：∵正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，∴a =∴A ，∴6k ==； ∴6y x =； 【小问2详解】∵A ∴A A x y =∴tan 1AOD ∠= ∴45AOD ∠=°∵将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位，∴平移后的解析式为：y x n =−，如图所示，过点B ，C 作x 轴的平行线交y 轴于点,M N ，则BME ，CNE 是等腰直角三角形， 45BEM CEN ∴∠=∠=°∴BM CN ∥∴BME CNE △∽△ ∴32BM BE CN CE == 设23,B m m，则3BM m = ∴2CN m =， ∴32,C m m−−， ∵23,B m m，32,C m m −− ，在y x n =−上 ∴2332m n m m n m =− −=−−解得：11m n = =（负值舍去）∴()()3,2,2,3B C −−，∴BC 的解析式为1y x =−，BC =当0y =时，1x =，则()1,0D ，∴2BF DF ==，1OE OD ==，则DE = ∵直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，BF x ⊥轴，∴2DF FG ==，BFD △和BFG 是等腰直角三角形，∴()5,0G∴BD BG ==，∵BFD △和BFG 是等腰直角三角形，45DBF GBF ∠=∠=° ∴90∠=°DBG∴111022BCG S BG BC =×=×=22. 在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=°，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值．【答案】（1）BE =；（2）BE =，补图及证明见解析；（3）sin ECD ∠或sin ECD ∠【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点E 作EM CB ⊥延长线于点M ，利用一线三垂直全等模型证明ACD DME △≌△，再证明BM EM =即可；（2）同（1）中方法证明ACD DME △≌△，再证明BM EM =即可；（3）分两种情况讨论：过点E 作EM CB ⊥延长线于点M ，求出EM ，CE 即可．【详解】解：（1）如图，过点E 作EM CB ⊥延长线于点M ，由旋转得AD DE =，90ADE ∠=°，∴90ADC EDM ∠+∠=°，∵90ACB ∠=°， ∴ACD DME ∠=∠，90ADC CAD ∠+∠=°，∴CAD EDM ∠=∠，∴ACD DME △≌△，∴CD EM =，AC DM =，∵AC BC =，∴BM DM BD AC BD BC BD CD =−=−=−=，∴BM EM =，∵EM CB ⊥，∴BE =，故答案为：BE =；（2）补全图形如图：BE =，理由如下：过点E 作EM BC ⊥交BC 于点M ，由旋转得AD DE =，90ADE ∠=°，∴90ADC EDM ∠+∠=°，∵90ACB ∠=°， ∴ACD DME ∠=∠，90ADC CAD ∠+∠=°，∴CAD EDM ∠=∠，∴ACD DME △≌△，∴CD EM =，AC DM =，∵AC BC =，∴BM BC CM DM CM CD =−=−=，∴BM EM =，∵EM CB ⊥，∴BE =；（3）如图，当D 在CB 的延长线上时，过点E 作EM CB ⊥于点M ，连接CE ，由（2）得1DM AC ==，2EM CD ==，∴3CM CD DM =+=，∴CE∴sin13EM ECD CE ∠===． 当D 在BC 的延长线上时，过点E 作EM CB ⊥于点M ，如图，连接CE ，同理可得：ACD DME △≌△，∴1DM AC ==，2MECD ==， ∴211CM =−=，∴CE =，∴sin EM ECD CE ∠=综上：sin ECD ∠sin ECD ∠23. 如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点I 为ABC 的内心，连接CI 并延长交O 于点D ，E 是 BC上任意一点，连接AD ，BD ，BE ，CE ．（1）若25ABC ∠=°，求CEB ∠的度数；（2）找出图中所有与DI 相等的线段，并证明；（3）若CI =DI =，求ABC 的周长． 【答案】（1）115°（2）DI AD BD ==，证明见解析（3）30【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到90ACB ∠=°，再根据三角形的内角和定理求65CAB ∠=°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接AI ，由三角形的内心性质得到内心，CAI BAI ∠=∠，ACI BCI ∠=∠，然后利用圆周角定理得到DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，利用三角形的外角性质证得DAIDIA ∠=∠，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，利用解直角三角形求得2CF CP ==， 13AB =，进而可求解．【小问1详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=°，又25ABC ∠=°，∴902565CAB ∠=°−°=°，∵四边形ABEC 是O 内接四边形，∴180CEB CAB ∠+∠=°，∴180115CEB CAB ∠=°−∠=°；【小问2详解】解：DI AD BD ==，证明：连接AI ，∵点I 为ABC 的内心，∴CAI BAI ∠=∠，1452ACI BCI ACB ∠=∠=∠=°， ∴ AD BD=， ∴DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，∵DAI DAB BAI ∠=∠+∠，DIA ACI CAI ∠=∠+∠，∴DAI DIA ∠=∠，∴DI AD BD ==；【小问3详解】解：过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，∵点I 为ABC 的内心，即为ABC 的内切圆的圆心．∴Q 、F 、P 分别为该内切圆与ABC 三边的切点，∴AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，∵CI =90IFC ∠=°，45ACI ∠=°，∴cos452CF CI CP =⋅°==，∵DI AD BD ==，DI =，90ADB ∠=°，∴13AB =， ∴ABC 的周长为AB AC BC ++AB AF CF CP BP =++++2AB AQ BQ CF =+++22AB CF +21322=×+×30=．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24. 如图，抛物线21y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OC OA =，4AB =，对称轴为直线1 : 1l x =−，将抛物线1y 绕点O 旋转180°后得到新抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点D ，顶点为E ，对称轴为直线2l ．（1）分别求抛物线1y 和2y 的表达式；（2）如图1，点F 的坐标为()6,0−，动点M 在直线1l 上，过点M 作MN x ∥轴与直线2l 交于点N ，连接FM ，DN ．求FM MN DN ++的最小值；（3）如图2，点H 的坐标为()0,2−，动点P 在抛物线2y 上，试探究是否存在点P ，使2PEH DHE ∠=∠若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2123y x x =−−+，2223y x x =−−（2）2+ （3）存在，()3,0P 或9480,11121P −【解析】【分析】（1）先求出点A 、B 、C 坐标，再用待定系数法求出抛物线1y 的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线2y 的二次项系数a 微微原来的相反数，顶点坐标与抛物线1y 的顶点坐标关于原点对称，即可求解；（2）将点F 向右平移2个单位至F ′，则2FF ′=，()4,0F ′−，过点D 作直线2l 的对称点为D ，连接,,F N F D ND ′′′′，则四边形FF NM ′为平行四边形，则MF NF ′=，ND ND ′=，因此22FM MN DN NF ND F D ′′′′++=++≥+，即可求解；（3）存在，当点P 在直线2l 右侧抛物线上时，可得12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H ′，则点H ′在直线PE 上，可求直线PE 的表达式为26y x =−，联立222623y x y x x =− =−− ， 解得：3x =或1x =（舍），故()3,0P ；当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，可得QH QN =，可证明出NQ NE =，由QM EK ∥，得HMQ HKE △∽△，设2,HM m MQ m ==，则2MN HM m ==，24NK m =−，在Rt QMN △和Rt ENK 中，由勾股定理得()()22222241m m m +=−+，解得：511m =或1m =（舍），所以420,11N − ，可求直线PE 表达式为：2421111y x =−−，联立22242111123y x y x x =−− =−− ，解得：911x =或1x =（舍），故9480,11121P −． 【小问1详解】解：设对称轴与x 轴交于点G ，由题意得2AG BG ==，∵对称轴为直线=1x −，∴()()1,0, 3.0B A −，∴3OC OA ==，∴()0,3C ，将A 、B 、C 分别代入21y ax bx c =++， 得：09303a b c a b c c ++= −+==， 解得：123a b c =− =− =，∴2123y x x =−−+， ∴()2212314y x x x =−−+=−++，顶点为()1,4− ∵抛物线1y 绕点O 旋转180°后得到新抛物线2y ，∴抛物线2y 的1a =，顶点为()1,4−，∴2y 的表达式为：()2214y x =−−，即2223y x x =−− 【小问2详解】解：将点F 向右平移2个单位至F ′，则2FF ′=，()4,0F ′−，过点D 作直线2l 的对称点为D ，连接,,F N F D ND ′′′′，∴ND ND ′=，∵()2214y x =−−，∴直线2l 为直线1x =，∵MN x ∥轴，∴()112MN =−−=，对于抛物线2223y x x =−−，令0x =，则23y =−，∴()0,3D −，∵点D 与点D 关于直线1x =对称，∴点()2,3D ′−，∵MN x ∥轴，2FF MN ′==，∴四边形FF NM ′为平行四边形，∴MF NF ′=，∴22FM MN DN NF ND F D ′′′′++=++≥+，当点,,F N D ′′三点共线时，取得最小值，而F D ′′=∴FM MN DN ++的最小值为2+【小问3详解】解：当点P 在直线2l 右侧抛物线上时，如图：∵抛物线()2214y x =−−，∴()1,4E −∵2l y ∥轴，∴1DHE ∠=∠，∵2PEH DHE ∠=∠，∴2112PEH ∠=∠=∠+∠，∴12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H ′，则点H ′在直线PE 上，∵点H 的坐标为()0,2−，直线2l ：1x =，∴()2,2H ′−， 设直线PE 的表达式为：()0y kx b k =+≠， 代入()2,2H ′−，()1,4E −,得：224k b k b +=− +=−， 解得：26k b = =−， ∴直线PE 的表达式为26y x =−，联立222623y x y x x =− =−− ，得：22326x x x −−−， 解得：3x =或1x =（舍）， ∴()3,0P ；②当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，如图：∵OM 垂直平分HN ，∴QH QN =，∴QHN QNH ∠=∠， ∴2NQE NHE ∠=∠， ∵2PEH DHE ∠=∠∴H NQE PE ∠∠=，∴NQ NE =，由点()()0,2,1,4H E −−得：1,2EK KH ==， ∵QM EK ∥，∴HMQ HKE △∽△， ∴HM MQ HK KE=， ∴21HM MQ =， 设2,HM m MQ m ==， ∴2MN HM m ==，24NK m =−，Rt QMN △和Rt ENK 中，由勾股定理得2222QM MN NK KE +=+，∴()()22222241m m m +=−+， 解得：511m =或1m =（舍） ∴20221111NK =−=， ∴24241111ON =−=， ∴420,11N−， 设直线PE 表达式为：()1110y a x b a =+≠， 代入点N ，E ， 得：11144211a b b +=− =−， 解得：112114211a b =− =−∴直线PE 表达式为：2421111y x =−−， 联立22242111123y x y x x =−− =−− ，在得：2242231111x x x −−=−−， 整理得：2112090x x −+= 解得：911x =或1x =（舍）， ∴9480,11121P −， 综上所述，()3,0P 或9480,11121P − ． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。

2021年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分1．以下实数中，有理数是〔〕A．B．C．2．以下商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形是〔〕A．B．C．D．3．以下计算正确是〔〕A．3a2﹣6a2=﹣3 B．〔﹣2a〕•〔﹣a〕=2a2C．10a10÷2a2=5a5 D．﹣〔a3〕2=a64．如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体主视图和俯视图分别为〔〕A．B．C．D．5．如图，是我们数学课本上采纳科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键依次正确是〔〕A．B．C．D．6．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们成果平均数〔环〕及方差两个因素进展分析，甲、乙、丙成果分析如表所示，丁成果如下图．甲乙丙平均数方差依据以上图表信息，参赛选手应选〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁7．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心位似图形，且相像比为，点A，B，E在x轴上，假设正方形BEFG边长为6，那么C点坐标为〔〕A．〔3，2〕B．〔3，1〕C．〔2，2〕D．〔4，2〕8．反比例函数y=图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标积为负数，那么t取值范围是〔〕A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥9．假设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，那么x12﹣x1+x2值为〔〕A．﹣1 B．0 C．2 D．310．如图，Rt△ABC斜边AB与量角器直径恰好重合，B点与0刻度线一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，假设射线CD将△ABC分割出以BC为边等腰三角形，那么点D在量角器上对应度数是〔〕A．40° B．70° C．70°或80°D．80°或140°11．二次函数y=ax2+bx+c图象如下图，以下结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确有〔〕A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．如图，○O半径为1，AD，BC是⊙O两条相互垂直直径，点P从点O动身〔P点与O点不重合〕，沿O→C→D 路途运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间关系图象大致是〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共6个小题，每题3分，共18分13．|x﹣y+2|﹣=0，那么x2﹣y2值为．14．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，那么点M对应实数为．15．不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②解集如下图，那么b﹣a值为．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=图象上，那么k值为．17．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，那么边BC扫过区域〔图中阴影部分〕面积为cm2．18．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF六等分点，假设把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆直径为10cm，那么圆柱上M，N两点间间隔是cm．三、解答题：本大题共7个小题，总分值66分19．先化简，再求值：〔﹣x﹣1〕÷，其中x=，y=．20．网上购物已经成为人们常用一种购物方式，售后评价特殊引人关注，消费者在网店购置某种商品后，对其有“好评〞、“中评〞、“差评〞三种评价，假设这三种评价是等可能．〔1〕小明对一家网店销售某种商品显示评价信息进展了统计，并列出了两幅不完好统计图．利用图中所供应信息解决以下问题：①小明一共统计了个评价；②请将图1补充完好；③图2中“差评〞所占百分比是；〔2〕假设甲、乙两名消费者在该网店购置了同一商品，请你用列表格或画树状图方法扶植店主求一下两人中至少有一个给“好评〞概率．21．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定消费甲、乙两种型号防雾霾口罩共20万只，且全部产品当月全部售出，原料本钱、销售单价及工人消费提成如表：甲乙原料本钱12 8销售单价18 12消费提成 1〔1〕假设该公司五月份销售收入为300万元，求甲、乙两种型号产品分别是多少万只？〔2〕公司实行计件工资制，即工人每消费一只口罩获得肯定金额提成，假如公司六月份投入总本钱〔原料总本钱+消费提成总额〕不超过239万元，应怎样支配甲、乙两种型号产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润〔利润=销售收入﹣投入总本钱〕22．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学爱好小组测量了旗杆高度．如图2，某一时刻，旗杆AB影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上影长BC为4米，落在斜坡上影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与程度面夹角为72°，1米直立标杆PQ在斜坡上影长QR 为2米，求旗杆高度〔结果精确到〕．〔参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08〕23．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O直径，PB是⊙O切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．〔1〕求证：BD平分∠PBC；〔2〕假设⊙O半径为1，PD=3DE，求OE及AB长．24．【探究证明】〔1〕某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直线段与矩形两邻边数量关系进展探究，提出以下问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： =；【结论应用】〔2〕如图2，在满意〔1〕条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，假设=，那么值为；【联络拓展】〔3〕如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求值．25．如图1，平行四边形ABCD顶点A坐标为〔2，6〕，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕顶点坐标为〔2，2〕，点F〔m，6〕是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．〔1〕求抛物线表达式；〔2〕设四边形ABEF面积为S，恳求出S与m函数关系式，并写出自变量m取值范围；〔3〕如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN最小值，并干脆写出此时m值．2021年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分1．以下实数中，有理数是〔〕A．B．C．【考点】实数．【分析】实数分为有理数，无理数，有理数有分数、整数，无理数有根式下不能开方，π等，很简洁选择．【解答】解：A、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；B、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；C、π为无理数，所以为无理数，故本选项错误；D、小数为有理数，符合．应选D．2．以下商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形是〔〕A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】依据轴对称图形与中心对称图形概念逐项分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，应选C．3．以下计算正确是〔〕A．3a2﹣6a2=﹣3 B．〔﹣2a〕•〔﹣a〕=2a2C．10a10÷2a2=5a5 D．﹣〔a3〕2=a6【考点】整式除法；合并同类项；幂乘方与积乘方；单项式乘单项式．【分析】依据整式加减法可得出A选项结论不正确；依据单项式乘单项式运算可得出B选项不正确；依据整式除法可得出C选项正确；依据幂乘方可得出D选项不正确．由此即可得出结论．【解答】解：A、3a2﹣6a2=﹣3a2，﹣3a2≠﹣3，∴A中算式计算不正确；B、〔﹣2a〕•〔﹣a〕=2a2，2a2=2a2，∴B中算式计算正确；C、10a10÷2a2=5a8，5a8≠5a5〔特殊状况除外〕，∴C中算式计算不正确；D、﹣〔a3〕2=﹣a6，﹣a6≠a6〔特殊状况除外〕，∴D中算式计算不正确．应选B．4．如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体主视图和俯视图分别为〔〕A．B．C．D．【考点】简洁组合体三视图．【分析】干脆利用组合体结合主视图以及俯视图视察角度得出答案．【解答】解：由几何体所示，可得主视图和俯视图分别为：和．应选：B．5．如图，是我们数学课本上采纳科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键依次正确是〔〕A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数；计算器—数开方．【分析】简洁电子计算器工作依次是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M﹣为存储减键，依据按键依次写出式子，再依据开方运算即可求出显示结果．【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键依次正确是．应选：C．6．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们成果平均数〔环〕及方差两个因素进展分析，甲、乙、丙成果分析如表所示，丁成果如下图．甲乙丙平均数方差依据以上图表信息，参赛选手应选〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【分析】依据方差计算公式求出丁成果方差，依据方差性质解答即可．【解答】解：由图可知丁射击10次成果为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，那么丁成果平均数为：×〔8+8+9+7+8+8+9+7+8+8〕=8，丁成果方差为：×[〔8﹣8〕2+〔8﹣8〕2+〔8﹣9〕2+〔8﹣7〕2+〔8﹣8〕2+〔8﹣8〕2+〔8﹣9〕2+〔8﹣7〕2+〔8﹣8〕2+〔8﹣8〕2]=0.4，∵丁成果方差最小，∴丁成果最稳定，∴参赛选手应选丁，应选：D．7．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心位似图形，且相像比为，点A，B，E在x轴上，假设正方形BEFG边长为6，那么C点坐标为〔〕A．〔3，2〕B．〔3，1〕C．〔2，2〕D．〔4，2〕【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形性质．【分析】干脆利用位似图形性质结合相像比得出AD长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO长，即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心位似图形，且相像比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：〔3，2〕，应选：A．8．反比例函数y=图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标积为负数，那么t取值范围是〔〕A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥【考点】反比例函数与一次函数交点问题．【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出关于x一元二次方程，由两函数图象有两个交点，且两交点横坐标积为负数，结合根判别式以及根与系数关系即可得出关于k一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标积为负数，∴，解得：t＞．应选B．9．假设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，那么x12﹣x1+x2值为〔〕A．﹣1 B．0 C．2 D．3【考点】根与系数关系．【分析】由根与系数关系得出“x1+x2=2，x1•x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，∴x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣1．x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．应选D．10．如图，Rt△ABC斜边AB与量角器直径恰好重合，B点与0刻度线一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，假设射线CD将△ABC分割出以BC为边等腰三角形，那么点D在量角器上对应度数是〔〕A．40° B．70° C．70°或80°D．80°或140°【考点】角计算．【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD 度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO．∵点D在量角器上对应度数=∠DOB=2∠BCD，∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边等腰三角形时，∠BCD=40°或70°，∴点D在量角器上对应度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，应选D．11．二次函数y=ax2+bx+c图象如下图，以下结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确有〔〕A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】二次函数图象与系数关系．【分析】依据抛物线与x轴有两个交点即可推断①正确，依据x=﹣1，y＜0，即可推断②错误，依据对称轴x＞1，即可推断③正确，由此可以作出推断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确，∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故②错误，∴对称轴x＞1，a＜0，∴﹣＞1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确．应选B．12．如图，○O半径为1，AD，BC是⊙O两条相互垂直直径，点P从点O动身〔P点与O点不重合〕，沿O→C→D 路途运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间关系图象大致是〔〕A．B．C．D．【考点】动点问题函数图象．【分析】依据题意确定出y与x关系式，即可确定出图象．【解答】解：依据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=〔1＜x＜2〕，图象为：，应选B．二、填空题：本大题共6个小题，每题3分，共18分13．|x﹣y+2|﹣=0，那么x2﹣y2值为﹣4 ．【考点】因式分解-运用公式法；非负数性质：肯定值；非负数性质：算术平方根．【分析】由|x﹣y+2|﹣=0，依据非负数性质，可求得x﹣y与x+y值，继而由x2﹣y2=〔x﹣y〕〔x+y〕求得答案．【解答】解：∵|x﹣y+2|﹣=0，∴x﹣y+2=0，x+y﹣2=0，∴x﹣y=﹣2，x+y=2，∴x2﹣y2=〔x﹣y〕〔x+y〕=﹣4．故答案为：﹣4．14．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M，那么点M对应实数为．【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形性质．【分析】先利用等腰三角形性质得到OC⊥AB，那么利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应数．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，∴OM=OC=，∴点M对应数为．故答案为．15．不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②解集如下图，那么b﹣a值为．【考点】解一元一次不等式组；负整数指数幂；在数轴上表示不等式解集．【分析】依据不等式组，和数轴可以得到a、b值，从而可以得到b﹣a值．【解答】解：，由①得，x≥﹣a﹣1，由②得，x≤b，由数轴可得，原不等式解集是：﹣2≤x≤3，∴，解得，，∴，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=图象上，那么k值为﹣6 ．【考点】反比例函数系数k几何意义；菱形性质．【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且相互平分，得到三角形CDO面积为菱形面积四分之一，依据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k几何意义确定出k值即可．【解答】解：连接AC，交y轴于点D，∵四边形ABCO为菱形，∴AC⊥OB，且CD=AD，BD=OD，∵菱形OABC面积为12，∴△CDO面积为3，∴|k|=6，∵反比例函数图象位于第二象限，∴k＜0，那么k=﹣6．故答案为：﹣6．17．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，那么边BC扫过区域〔图中阴影部分〕面积为πcm2．【考点】扇形面积计算；旋转性质．【分析】依据条件和旋转性质得出两个扇形圆心角度数，再依据扇形面积公式进展计算即可得出答案．【解答】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=，∴B′C′=，∴S扇形B′OB==π，S扇形C′OC==，∵∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；故答案为：π．18．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF六等分点，假设把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆直径为10cm，那么圆柱上M，N两点间间隔是cm．【考点】圆柱计算．【分析】依据题意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM长，进而确定出MN长即可．【解答】解：依据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，底面圆直径为10cm，∴底面周长为10πcm，即EF=10πcm，那么MN=cm，故答案为：．三、解答题：本大题共7个小题，总分值66分19．先化简，再求值：〔﹣x﹣1〕÷，其中x=，y=．【考点】分式化简求值．【分析】首先将括号里面进展通分，进而将能分解因式分解因式，再化简求出答案．【解答】解：〔﹣x﹣1〕÷，=〔﹣﹣〕×=×=﹣，把x=，y=代入得：原式=﹣=﹣1+．20．网上购物已经成为人们常用一种购物方式，售后评价特殊引人关注，消费者在网店购置某种商品后，对其有“好评〞、“中评〞、“差评〞三种评价，假设这三种评价是等可能．〔1〕小明对一家网店销售某种商品显示评价信息进展了统计，并列出了两幅不完好统计图．利用图中所供应信息解决以下问题：①小明一共统计了150 个评价；②请将图1补充完好；③图2中“差评〞所占百分比是13.3% ；〔2〕假设甲、乙两名消费者在该网店购置了同一商品，请你用列表格或画树状图方法扶植店主求一下两人中至少有一个给“好评〞概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】〔1〕①用“中评〞、“差评〞人数除以二者百分比之和可得总人数；②用总人数减去“中评〞、“差评〞人数可得“好评〞人数，补全条形图即可；③依据×100%可得；〔2〕可通过列表表示出甲、乙对商品评价全部可能结果数，通过概率公式计算可得．【解答】解：〔1〕①小明统计评价一共有： =150〔个〕；②“好评〞一共有150×60%=90〔个〕，补全条形图如图1：③图2中“差评〞所占百分比是：×100%=13.3%；〔2〕列表如下：好中差好好，好好，中好，差中中，好中，中中，差差差，好差，中差，差由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评〞有5种，∴两人中至少有一个给“好评〞概率是．故答案为：〔1〕①150；③13.3%．21．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定消费甲、乙两种型号防雾霾口罩共20万只，且全部产品当月全部售出，原料本钱、销售单价及工人消费提成如表：甲乙原料本钱12 8销售单价18 12消费提成 1〔1〕假设该公司五月份销售收入为300万元，求甲、乙两种型号产品分别是多少万只？〔2〕公司实行计件工资制，即工人每消费一只口罩获得肯定金额提成，假如公司六月份投入总本钱〔原料总本钱+消费提成总额〕不超过239万元，应怎样支配甲、乙两种型号产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润〔利润=销售收入﹣投入总本钱〕【考点】一元二次方程应用．【分析】〔1〕设甲型号产品有x万只，那么乙型号产品有〔20﹣x〕万只，依据销售收入为300万元列出方程，求出方程解即可得到结果；〔2〕设支配甲型号产品消费y万只，那么乙型号产品消费〔20﹣y〕万只，依据公司六月份投入总本钱〔原料总本钱+消费提成总额〕不超过239万元列出不等式，求出不等式解集确定出y范围，再依据利润=售价﹣本钱列出W与y一次函数，依据y范围确定出W最大值即可．【解答】解：〔1〕设甲型号产品有x万只，那么乙型号产品有〔20﹣x〕万只，依据题意得：18x+12〔20﹣x〕=300，解得：x=10，那么20﹣x=20﹣10=10，那么甲、乙两种型号产品分别为10万只，10万只；〔2〕设支配甲型号产品消费y万只，那么乙型号产品消费〔20﹣y〕万只，依据题意得：13y+8.8〔20﹣y〕≤239，解得：y≤15，依据题意得：利润W=〔18﹣12﹣1〕y+〔12﹣8﹣0.8〕〔20﹣y〕=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．22．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学爱好小组测量了旗杆高度．如图2，某一时刻，旗杆AB影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上影长BC为4米，落在斜坡上影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与程度面夹角为72°，1米直立标杆PQ在斜坡上影长QR 为2米，求旗杆高度〔结果精确到〕．〔参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08〕【考点】解直角三角形应用．【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，依据=，求出CM，在RT△AMN中利用tan72°=，求出AN即可解决问题．【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意=，即=，CM=，在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，∴tan72°=，∴AN≈12.3，∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN=CM=，∴AB=AN+BN=米．23．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O直径，PB是⊙O切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．〔1〕求证：BD平分∠PBC；〔2〕假设⊙O半径为1，PD=3DE，求OE及AB长．【考点】切线性质；三角形外接圆与外心．【分析】〔1〕由∠PBD+∠OBD=90°，∠DBE+∠BDO=90°利用等角余角相等即可解决问题．〔2〕利用面积法首先证明==，再证明△BEO∽△PEB，得=，即==，由此即可解决问题．【解答】〔1〕证明：连接OB．∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∴∠PBD+∠OBD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OP⊥BC，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠PBD=∠EBD，∴BD平分∠PBC．〔2〕解：作DK⊥PB于K，∵==，∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，∴DK=DE，∴==，∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，∴△BEO∽△PEB，∴=，∴==，∵BO=1，∴OE=，∵OE⊥BC，∴BE=EC，∵AO=OC，∴AB=2OE=．24．【探究证明】〔1〕某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直线段与矩形两邻边数量关系进展探究，提出以下问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： =；【结论应用】〔2〕如图2，在满意〔1〕条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，假设=，那么值为；【联络拓展】〔3〕如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求值．【考点】相像形综合题．【分析】〔1〕过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相像三角形性质就可解决问题；〔2〕只需运用〔1〕中结论，就可得到==，就可解决问题；〔3〕过点D作平行于AB直线，交过点A平行于BC直线于R，交BC延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由〔1〕中结论可得=．设SC=x，DS=y，那么AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中依据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中依据勾股定理可得〔5+x〕2+〔10﹣y〕2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．【解答】解：〔1〕过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°，∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴=，∴=；〔2〕如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由〔1〕中结论可得=， =，∴==．故答案为；〔2〕过点D作平行于AB直线，交过点A平行于BC直线于R，交BC延长线于S，如图3，那么四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由〔1〕中结论可得=．设SC=x，DS=y，那么AR=BS=5+x，RD=10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，在Rt△ARD中，〔5+x〕2+〔10﹣y〕2=100②，由②﹣①得x=2y﹣5③，解方程组，得〔舍去〕，或，∴AR=5+x=8，∴===．25．如图1，平行四边形ABCD顶点A坐标为〔2，6〕，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕顶点坐标为〔2，2〕，点F〔m，6〕是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．〔1〕求抛物线表达式；〔2〕设四边形ABEF面积为S，恳求出S与m函数关系式，并写出自变量m取值范围；〔3〕如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN最小值，并干脆写出此时m值．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕依据平行四边形性质和抛物线特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线解析式．〔2〕依据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间间隔为3，BC，x轴间隔也为3，F〔m，6〕，确定出E〔，3〕，从而求出梯形面积．〔3〕先求出直线AC解析式，然后依据FM⊥x轴，表示出点P〔m，﹣ m+9〕，最终依据勾股定理求出MN=，从而确定出MN最大值和m值．【解答】解：〔1〕∵过B，C，D三点抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕顶点坐标为〔2，2〕，∴点C横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A〔2，6〕，∴D〔6，6〕，设抛物线解析式为y=a〔x﹣2〕2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a〔6﹣2〕2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=〔x﹣2〕2+2=x2﹣x+3，〔2〕∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间间隔为3，BC，x轴间隔也为3，F〔m，6〕∴E〔，3〕，∴BE=，∴S=〔AF+BE〕×3=〔m﹣2+〕×3=m﹣3∵点F〔m，6〕是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．〔2≤m≤6〕〔3〕∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B〔0，3〕，C〔4，3〕，∵A〔2，6〕，∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P〔m，﹣ m+9〕，〔2≤m≤6〕∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最大==．。

2022年山东省烟台市中考数学真题一、选择题1. ﹣8的绝对值是（ ）A. 18B. 8C. ﹣8D. ±8【答案】B【解析】【分析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．【详解】解：∵﹣8是负数，﹣8的相反数是8∴﹣8的绝对值是8．故选B．【点睛】本题考查绝对值的定义，理解绝对值的意义是解题的关键．2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3. 下列计算正确的是（ ）A. 2a+a＝3a2B. a3•a2＝a6C. a5﹣a3＝a2D. a3÷a2＝a【解析】【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一即可解答．【详解】解：A、2a+a＝3a，故A不符合题意；B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；C、a5与a3不能合并，故C不符合题意；D、a3÷a2＝a，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．4. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，可得如下图形：故选：A．【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．5. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）A. 正方形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形【解析】【分析】设这个外角是x °，则内角是3x °，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【详解】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1， ∴设这个外角是x °，则内角是3x °， 根据题意得：x +3x ＝180°， 解得：x ＝45°， 360°÷45°＝8（边）， 故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．6. 如图所示电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）A.13B.23C. 12D. 1【答案】B 【解析】【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把S 1、S 2、S 3分别记为A 、B 、C ， 画树状图如下：的共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB 、AC 、BA 、CA ，∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为4263． 故选：B ．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．7. 如图，某海域中有A ，B ，C 三个小岛，其中A 在B 南偏西40°方向，C 在B 的南偏东35°方向，且B ，C 到A 的距离相等，则小岛C 相对于小岛A 的方向是（ ）A. 北偏东70°B. 北偏东75°C. 南偏西70°D. 南偏西20° 【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得∠ABC ＝75°，AD ∥BE ，AB ＝AC ，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠C ＝75°，从而求出∠BAC 的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB ＝∠ABE ＝40°，从而求出∠DAC 的度数，即可解答． 【详解】解：如图：由题意得：∠ABC ＝∠ABE +∠CBE ＝40°+35°＝75°，AD ∥BE ，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝75°，的∴∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝30°， ∵AD ∥BE ，∴∠DAB ＝∠ABE ＝40°，∴∠DAC ＝∠DAB +∠BAC ＝40°+30°＝70°， ∴小岛C 相对于小岛A 的方向是北偏东70°， 故选：A ．．【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8. 如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）A. （）5B. （）6C. ）5D.）6 【答案】C 【解析】，第1个正方形的边长为1，其；第2，其对角线长为2；第3个正方形的边长为2，其对角线长为3；•••；第n 个正方形的边长为1n -．所以，第6个正方形的边长5．【详解】解：由题知，第1个正方形的边长1AB =，根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC =，根据勾股定理得，第3个正方形的边长2CF =，根据勾股定理得，第4个正方形的边长3GF =，根据勾股定理得，第5个正方形的边长4GN =，根据勾股定理得，第6个正方形的边长5=．故选：C ．倍关系是解题的关键．9. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣12，且与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc ＞0；②a ＝b ；③2a +c ＝0；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A. ①③B. ②④C. ③④D. ②③【答案】D 【解析】【分析】根据对称轴、开口方向、与y 轴交点位置即可判断a 、b 、c 与0的大小关系，然后将由对称可知a ＝b ，从而可判断答案． 【详解】解：①由图可知：a ＞0，c ＜0，2ba-＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①不符合题意． ②由题意可知：2ba -＝12-， ∴b ＝a ，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y ＝ax 2+bx +c ， ∴4a ﹣2b +c ＝0，的∵a ＝b ，∴2a +c ＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的最小值小于0， 令y ＝1代入y ＝ax 2+bx +c ，∴ax 2+bx +c ＝1有两个不相同的解，故④不符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a 、b 、c 的数量关系，本题属于基础题型．10. 周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s （米）与时间t （秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】B 【解析】【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n 次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n ﹣200）米，列方程求出n 的值，即可得答案． 【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120103=（米/秒）和200÷100＝2（米/秒），∴20分钟父子所走路程和为102060264003⎛⎫⨯⨯+=⎪⎝⎭（米）， 父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米）， 父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米）， 父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米）， …父子二人第n 次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n ﹣1）×2+200＝（400n ﹣200）米，令400n ﹣200＝6400， 解得n ＝16.5，∴父子二人迎面相遇的次数为16． 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n 次迎面相遇时，两人所跑路程之和()400200n -米．二、填空题11. 将24x -因式分解为________． 【答案】()()22x x +- 【解析】【分析】利用平方差公式可进行因式分解． 【详解】解：()()2422x x x -=+-，故答案为：()()22x x +-．【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 12. 观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．【答案】（4，1） 【解析】【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1）， 故答案为：（4，1）．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．13. 如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x ＝﹣5，y ＝3，则输出结果为 _____．【答案】13 【解析】【分析】根据题意可得，把5x =-，3y =代入()2012x y +进行计算即可解答． 【详解】解：当5x =-，3y =时，()()2200111532613222x y ⎡⎤+=-+=⨯=⎣⎦． 故答案为：13．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．14. 小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一） 【解析】【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： （5-3+2）×6＝24，故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．15. 如图，A ，B 是双曲线y ＝kx（x ＞0）上的两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，△AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为 _____．【答案】6 【解析】【分析】应用k 的几何意义及中线的性质求解． 【详解】解： D 为AC 的中点，AOD ∆的面积为3，∴AOC ∆的面积为6，所以122k m ==， 解得：m ＝6． 故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数中k 的几何意义，关键是利用AOB ∆的面积转化为三角形AOC 的面积．16. 如图1，△ABC 中，∠ABC ＝60°，D 是BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），DE ∥AB ，交AC 于点E ，EF ∥BC ，交AB 于点F ．设BD 的长为x ，四边形BDEF 的面积为y ，y 与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P 的坐标为（2，3），则AB 的长为 _____．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF，AB＝2BF，即可解决问题．【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x＝4时，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，∵3＝2FH，∴FH＝32，∵∠ABC＝60°，∴BF＝3 2 sin60︒∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝，故答案为：【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．三、解答题17. 求不等式组231,13(1)2(1)x xx x≤-⎧⎨+-<+⎩的解集，并把它的解集表示在数轴上．【答案】1≤x＜4，数轴见解析【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可．【详解】解：23113(1)2(1)x xx x≤-⎧⎨+-<+⎩①②，由①得：1≥x ，由②得：4x <，∴不等式组的解集为：14x ≤<，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 18. 如图，在▱ABCD 中，DF 平分∠ADC ，交AB 于点F ，BE ∥DF ，交AD 的延长线于点E ．若∠A ＝40°，求∠ABE 的度数．【答案】70°【解析】【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A +∠ADC ＝180°，∵∠A ＝40°，∴∠ADC ＝140°，∵DF 平分∠ADC ，∴∠CDF ＝12∠ADC ＝70°， ∴∠AFD ＝∠CDF ＝70°，∵DF ∥BE ，∴∠ABE ＝∠AFD ＝70°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．19. 2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：组别体育活动时间/分钟人数A 0≤x＜30 10B 30≤x＜60 20C 60≤x＜90 60D x≥90 10根据以上信息解答下列问题：（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；（3）若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数．【答案】（1）见解析（2）64分钟（3）980名【解析】【分析】（1）用扇形统计图表示各组人数占所调查人数的百分比；（2）根据平均数计算方法进行计算即可；的（3）样本估计总体，求出样本中每天校外体育活动时间不少于1小时的学生所占的百分比即可．【小问1详解】解：由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；【小问2详解】 解：556563577075637++++++＝64（分）， 答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为64分钟；【小问3详解】1400×6010100+＝980（名）， 答：该校1400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有980名．【点睛】本题考查统计图的选择，频数分布表以及平均数，掌握各种统计图的特点以及加权平均数的计算方法是正确解答的前提．20. 如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB ＝0.75m ，斜坡AC 的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED ＝2.55m ．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）11.3100.00314.7440.005【答案】不得小于11度【解析】【分析】根据题意可得DF＝15AB＝0.15米，然后根据斜坡AC坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：DF＝15AB＝0.15（米），∵斜坡AC的坡比为1：2，∴A BB C＝12，DFCD＝12，∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），∵ED＝2.55米，∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ABEB＝0.753.75＝15，查表可得，∠AEB≈11.310°≈11°，∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于11度．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．的21. 扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？【答案】每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元【解析】【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，利用数量＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元购进B型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣400）中即可求出每个B型扫地机器人的进价．【详解】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，依题意得：960001680002400x x=-，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【小问1详解】解：如图，切线AD即为所求；【小问2详解】如图：连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，∴∠BOA＝150°，∠AOB＝75°，∴∠BCA＝12∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC•cos30°∴BC＝【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23.（1）【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．（2）【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，且A B B C ＝AD DE ＝34．连接BD ，CE ． ①求BD CE的值； ②延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin ∠BFC 的值．【答案】（1）见解析 （2 （3）①35；②45 【解析】【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE ，从而得出结论；（2）证明△BAD ∽△CAE ，进而得出结果；（3）①先证明△ABC ∽△ADE ，再证得△CAE ∽△BAD ，进而得出结果；②在①的基础上得出∠ACE ＝∠ABD ，进而∠BFC ＝∠BAC ，进一步得出结果．【小问1详解】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°，∴∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE （S A S ），∴BD ＝CE ；【小问2详解】解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，AB AB AE AC ∴==，∠DAE ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE ，BD AB CE AC ∴===； 【小问3详解】 解：①34AB AD AC DE ==，∠ABC ＝∠ADE ＝90°， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，35AB AD AC AE ==， ∴∠CAE ＝∠BAD ，∴△CAE ∽△BAD ，35BD AD CE AE ∴== ； ②由①得：△CAE ∽△BAD ，∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠AGC ＝∠BGF ，∴∠BFC ＝∠BAC ，∴sin ∠BFC 45BC AC ==． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．24. 如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣43x2﹣83x+4（2）S最大＝334，D（﹣32，5）（3）存在，Q（﹣2，19 8）【解析】【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．【小问1详解】解：当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，43x+4＝0，∴x ＝﹣3，∴A （﹣3，0），∵对称轴为直线x ＝﹣1，∴B （1，0），∴设抛物线的表达式：y ＝a （x ﹣1）•（x +3），∴4＝﹣3a ，∴a ＝﹣43， ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣43（x ﹣1）•（x +3）＝﹣43x 2﹣83x +4； 【小问2详解】如图1，作DF ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∴D （m ，﹣243m ﹣83m +4），E （m ，﹣43m +4）， ∴DE ＝﹣243m ﹣83m +4﹣（43m +4）＝﹣43m 2﹣4m ， ∴S △ADC ＝12DE ⋅OA ＝32•（﹣43m 2﹣4m ）＝﹣2m 2﹣6m ， ∵S △ABC ＝12AB OC ⋅＝1432⨯⨯＝6， ∴S ＝﹣2m 2﹣6m +6＝﹣2（m +32）2+334， ∴当m ＝﹣32时，S 最大＝334，当m＝﹣32时，y＝﹣433(1)(3)322⨯--⨯-+＝5，∴D（﹣32，5）；【小问3详解】设P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝13 8，∴P（﹣1，138），∵x P+x Q＝x A+x C，y P+y Q＝y A+y C∴x Q＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，y Q＝4﹣138＝198，∴Q（﹣2，198）．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质。

年山东省烟台市中考数学试卷含答案解析版It was last revised on January 2, 20212017年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2017?烟台）下列实数中的无理数是（）A．√9B．πC．0 D．1 3【考点】26：无理数．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：√9，0，13是有理数，π是无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√62．（3分）（2017?烟台）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2017?烟台）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有65个国家加入，共涉及总人口约达46亿人，用科学记数法表示该总人口为（）A．×109B．46×108C．×1010D．×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：46亿=4600 000 000=×109，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017?烟台）如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．（3分）（2017?烟台）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB ∥CD ，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为（ ）A ．48°B ．40°C ．30°D ．24°【考点】KH ：等腰三角形的性质；JA ：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质，由AB ∥CD 得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外角性质计算∠C 的度数．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C +∠E ，∵CF=EF ，∴∠C=∠E ，∴∠C=12∠1=12×48°=24°． 故选D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．6．（3分）（2017?烟台）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则输出结果应为（ ）A ．12B ．132C ．172D ．252【考点】25：计算器—数的开方．【分析】根据2ndf 键是功能转换键列式算式，然后解答即可．【解答】解：依题意得：√64+(−3)22=172．故选：C．【点评】本题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndf键的功能．7．（3分）（2017?烟台）用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（）A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解答】解：∵第一个图需棋子3+3=6；第二个图需棋子3×2+3=9；第三个图需棋子3×3+3=12；…∴第n个图需棋子3n+3枚．故选：D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．8．（3分）（2017?烟台）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（）A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃C．乙地气温的众数是4℃D．乙地气温相对比较稳定【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】分别计算出甲乙两地的平均数、中位数、众数和方差，然后对各选项进行判断．【解答】解：甲乙两地的平均数都为6℃；甲地的中位数为6℃；乙地的众数为4℃和8℃；乙地气温的波动小，相对比较稳定．故选C ．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数和中位数．9．（3分）（2017烟台）如图，ABCD 中，∠B=70°，BC=6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DÊ的长为（ ） A ．13π B ．23π C ．76π D ．43π 【考点】MN ：弧长的计算；L5：平行四边形的性质；M5：圆周角定理．【分析】连接OE ，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】解：连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE ，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴DE ̂的长=40π×3180=23π； 故选：B ．【点评】本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE 的度数是解决问题的关键．10．（3分）（2017?烟台）若x 1，x 2是方程x 2﹣2mx +m 2﹣m ﹣1=0的两个根，且x 1+x 2=1﹣x 1x 2，则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．1或﹣2C ．﹣2D ．1【考点】AB ：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系结合x 1+x 2=1﹣x 1x 2，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而可确定m 的值．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx +m 2﹣m ﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=m 2﹣m ﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m ﹣1），即m 2+m ﹣2=（m +2）（m ﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx +m 2﹣m ﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m ）2﹣4（m 2﹣m ﹣1）=4m +4≥0，解得：m ≥﹣1．∴m=1．故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系以及x 1+x 2=1﹣x 1x 2，找出关于m 的一元二次方程是解题的关键．11．（3分）（2017?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】31 ：数形结合．【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a=1，∴b=﹣2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a=1，∴b=﹣2a，而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（3分）（2017?烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为°，已知测倾器AB的高度为米，则楼房CD的高度约为（结果精确到米，√2≈）（）A．米 B．米 C．米 D．米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=米，在Rt △DFB′中，B′F=DF tan67.5°， 在Rt △DFB 中，BF=DF ，∵BB′=AA′=20，∴BF ﹣B′F=DF ﹣DF tan67.5°=20， ∴DF ≈米，∴CD=DF +CF=米，答：楼房CD 的高度约为米，故选C ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2017?烟台）30×（12）﹣2+|﹣2|= 6 ． 【考点】2C ：实数的运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：30×（12）﹣2+|﹣2| =1×4+2=4+2=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．14．（3分）（2017?烟台）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC=√3，则sin A 2= 12． 【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据∠A 的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵sinA=BC AB =√32， ∴∠A=60°，∴sin A 2=sin30°=12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．15．（3分）（2017?烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是 x ＜8 ．【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】根据运算程序，列出算式：3x ﹣6，由于运行了一次就停止，所以列出不等式3x ﹣6＜18，通过解该不等式得到x 的取值范围．【解答】解：依题意得：3x ﹣6＜18，解得x ＜8．故答案是：x ＜8．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过程序表达式，将程序转化问题化为不等式组，难度一般．16．（3分）（2017?烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB 与△A′OB′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A ，B 都在格点上，则点B′的坐标是 （﹣3，43） ． 【考点】SC ：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】把B 的横纵坐标分别乘以﹣32得到B′的坐标． 【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB 的相似比为2：3，又∵B （3，﹣2）∴B′的坐标是[3×(−23)，﹣2×(−23)]，即B′的坐标是（﹣2，43）； 故答案为：（﹣2，43）． 【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．17．（3分）（2017?烟台）如图，直线y=x +2与反比例函数y=k x的图象在第一象限交于点P ，若OP=√10，则k 的值为 3 ．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】可设点P （m ，m +2），由OP=√10根据勾股定理得到m 的值，进一步得到P 点坐标，再根据待定系数法可求k 的值．【解答】解：设点P （m ，m +2），∵OP=√10，∴√m 2+(m +2)2√10，解得m 1=1，m 2=﹣3（不合题意舍去），∴点P （1，3），∴3=k 1， 解得k=3．故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点P 的坐标，难度不大．18．（3分）（2017?烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB ．已知OA=6，取OA 的中点C ，过点C 作CD ⊥OA 交AB̂于点D ，点F 是AB̂上一点．若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段BD ，DF ，FA 依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 36π﹣108 ．【考点】MO ：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE ⊥OB 可得DE=12OD=3，先根据S 弓形BD =S 扇形BOD ﹣S △BOD 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD ⊥OA ，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=12OA=12OD ， ∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE ⊥OB 于点E ，则DE=12OD=3， ∴S 弓形BD =S 扇形BOD ﹣S △BOD =30π62360﹣12×6×3=3π﹣9， 则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积计算公式及折叠的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（6分）（2017?烟台）先化简，再求值：（x ﹣2xy−y 2x ）÷x 2−y 2x +xy，其中x=√2，y=√2﹣1．【考点】6D ：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x ﹣2xy−y 2x ）÷x 2−y 2x 2+xy=x 2−2xy+y 2x x(x+y)(x+y)(x−y)=(x−y)2x x(x+y)(x+y)(x−y)=x ﹣y ，当x=√2，y=√2﹣1时，原式=√2−(√2−1)=√2−√2+1=1．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（8分）（2017?烟台）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：A ．放下自我，彼此尊重；B ．放下利益，彼此平衡；C ．放下性格，彼此成就；D ．合理竞争，合作双赢．要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：观点 频数 频率Aa B12 C8 b D 20（1）参加本次讨论的学生共有 50 人；（2）表中a= 10 ，b= ；（3）将条形统计图补充完整；（4）现准备从A ，B ，C ，D 四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D （合理竞争，合作双赢）的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VC ：条形统计图．【分析】（1）由B 观点的人数和所占的频率即可求出总人数；（2）由总人数即可求出a 、b 的值，（3）由（2）中的数据即可将条形统计图补充完整；（4）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）总人数=12÷=50（人），故答案为：50；（2）a=50×=10，b=850=， 故答案为：（3）条形统计图补充完整如图所示：（4）根据题意画出树状图如下：由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D （合理竞争，合作双赢）的概率有4种，所以选中观点D （合理竞争，合作双赢）的概率=412=13．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（9分）（2017?烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x==10%或x=﹣（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×1011=100011≈（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×910=14580（元）．14742＞14580．答：去B商场购买足球更优惠．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．22．（9分）（2017?烟台）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣20℃时，制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行．同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：时间x/min… 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 …温度y/℃…﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4﹣8﹣12﹣16﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4a ﹣20…（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣80x；②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣4x+76；（2）a的值为﹣12；（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．【考点】FH ：一次函数的应用．【分析】（1）①由x?y=﹣80，即可得出当4≤x ＜20时，y 关于x 的函数解析式； ②根据点（20，﹣4）、（21，﹣8），利用待定系数法求出y 关于x 的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；（2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a 值；（3）描点、连线，画出函数图象即可．【解答】解：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，20×（﹣4）=﹣80，∴当4≤x ＜20时，y=﹣80x ．故答案为：y=﹣80x ．②当20≤x ＜24时，设y 关于x 的函数解析式为y=kx +b ，将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx +b 中，{20k +b =−421k +b =−8，解得：{k =−4b =76，∴此时y=﹣4x +76．当x=22时，y=﹣4x +76=﹣12，当x=23时，y=﹣4x +76=﹣16，当x=24时，y=﹣4x +76=﹣20．∴当20≤x ＜24时，y=﹣4x +76．故答案为：y=﹣4x +76．（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，∴当x=42时，与x=22时，y 值相同，∴a=﹣12．故答案为：﹣12．（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征以及一次（反比例）函数图象，解题的关键是：（1）①根据x、y成反比例，找出函数解析式；②利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据表格数据找出冷柜的工作周期；（3）描点、连线，画出函数图象．23．（10分）（2017?烟台）【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，{AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF；理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，{CD=CF∠DCE=∠FCECE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，{AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，{CD=CF∠DCE=∠FCECE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（11分）（2017?烟台）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=12cm ，BD=16cm ，动点N 从点D 出发，沿线段DB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点M 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t （s ）（t ＞0），以点M 为圆心，MB 长为半径的⊙M 与射线BA ，线段BD 分别交于点E ，F ，连接EN ．（1）求BF 的长（用含有t 的代数式表示），并求出t 的取值范围；（2）当t 为何值时，线段EN 与⊙M 相切？（3）若⊙M 与线段EN 只有一个公共点，求t 的取值范围．【考点】MR ：圆的综合题．【分析】（1）连接MF ．只要证明MF ∥AD ，可得BM BA =BF BD ，即t 10=BF 16，解方程即可；（2）当线段EN 与⊙M 相切时，易知△BEN ∽△BOA ，可得BE OB =BN AB ，即2t 8=16−2t 10，解方程即可；（3）①由题意可知：当0＜t ≤327时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点．②当F 与N 重合时，则有85t +2t=16，解得t=409，观察图象即可解决问题； 【解答】解：（1）连接MF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，AC ⊥BD ，OA=OC=6，OB=OD=8，在Rt △AOB 中，AB=√62+82=10，∵MB=MF ，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=∠MFB ，∴MF ∥AD ，∴BM BA =BF BD， ∴t 10=BF 16， ∴BF=85t （0＜t ≤8）． （2）当线段EN 与⊙M 相切时，易知△BEN ∽△BOA ，∴BE OB =BN AB， ∴2t 8=16−2t 10， ∴t=327． ∴t=327s 时，线段EN 与⊙M 相切． （3）①由题意可知：当0＜t ≤327时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． ②当F 与N 重合时，则有85t +2t=16，解得t=409， 关系图象可知，409＜t ＜8时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． 综上所述，当0＜t ≤327或409＜t ＜8时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． 【点评】本题考查圆综合题、菱形的性质、切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．学会用构建方程的思想思考问题．属于中考压轴题．25．（13分）（2017?烟台）如图1，抛物线y=ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E 点坐标，从而可求得直线OE 解析式，可知∠PGH=45°，用m 可表示出PG 的长，从而可表示出l 的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC 为边和AC 为对角线，当AC 为边时，过M 作对称轴的垂线，垂足为F ，则可证得△MFN ≌△AOC ，可求得M 到对称轴的距离，从而可求得M 点的横坐标，可求得M 点的坐标；当AC 为对角线时，设AC 的中点为K ，可求得K 的横坐标，从而可求得M 的横坐标，代入抛物线解析式可求得M 点坐标．【解答】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A （﹣3，0），B （1，0），把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式可得{a +b +2=09a −3b +2=0，解得{a =−23b =−43，∴抛物线解析式为y=﹣23x 2﹣43x +2； （2）在y=﹣23x 2﹣43x +2中，令y=2可得2=﹣23x 2﹣43x +2，解得x=0或x=﹣2， ∴E （﹣2，2），∴直线OE 解析式为y=﹣x ，由题意可得P （m ，﹣23m 2﹣43m +2），∵PG ∥y 轴，∴G （m ，﹣m ），∵P 在直线OE 的上方，∴PG=﹣23m 2﹣43m +2﹣（﹣m ）=﹣23m 2﹣13m +2=﹣23（m +14）2+4924，∵直线OE 解析式为y=﹣x ，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=√22PG=√22[﹣23（m +14）2+4924]=﹣√23（m +14）2+49√248，∴当m=﹣14时，l 有最大值，最大值为49√248；（3）①当AC 为平行四边形的边时，则有MN ∥AC ，且MN=AC ，如图，过M 作对称轴的垂线，垂足为F ，设AC 交对称轴于点L ，则∠ALF=∠ACO=∠FNM ，在△MFN 和△AOC 中{∠MFN =∠AOC ∠FNM =∠ACO MN =AC∴△MFN ≌△AOC （AAS ），∴MF=AO=3，∴点M 到对称轴的距离为3，又y=﹣23x 2﹣43x +2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M 点坐标为（x ，y ），则|x +1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣103，当x=﹣4时，y=103， ∴M 点坐标为（2，﹣103）或（﹣4，﹣103）； ②当AC 为对角线时，设AC 的中点为K ，∵A （﹣3，0），C （0，2），∴K （﹣32，1）， ∵点N 在对称轴上，∴点N 的横坐标为﹣1，设M 点横坐标为x ，∴x +（﹣1）=2×（﹣32）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2， ∴M （﹣2，2）；综上可知点M 的坐标为（2，﹣103）或（﹣4，﹣103）或（﹣2，2）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A 、B 的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG 与l 的关系是解题的关键，在（3）中确定出M 的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。

2023年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

1．（3分）﹣的倒数是（ ）A．B．﹣C．D．﹣2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（ ）A．a2+a2＝2a4B．（2a2）3＝6a6C．a2•a3＝a5D．a8÷a2＝a4 5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．6．（3分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）A．B．C．D．7．（3分）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差8．（3分）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（ ）A．P1＜P2B．P1＝P2C．P1＞P2D．无法判断9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（ ）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 ．12．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 ．13．（3分）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．14．（3分）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是 ．15．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 ．16．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A 后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 ．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．18．（7分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 ；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．19．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）20．（8分）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．【问题提出】在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．21．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．23．（11分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB 的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD ，连接BF，DE．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．2023年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

山东省烟台市中考数学真题及答案一、选择题（本题共12个小题,每小题3分,满分36分）1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,那么这三个数中绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．无法确定4．如图,是一个几何体的三视图,则这个几何体是（）A．B．C．D．5．如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据（）A．众数改变,方差改变B．众数不变,平均数改变C．中位数改变,方差不变D．中位数不变,平均数不变6．利用如图所示的计算器进行计算,按键操作不正确的是（）A．按键即可进入统计计算状态B．计算的值,按键顺序为：C．计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D．计算器显示结果为时,若按键,则结果切换为小数格式0.3333333337．如图,△OA1A2为等腰直角三角形,OA1＝1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…,按此规律作下去,则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣18．量角器测角度时摆放的位置如图所示,在△AOB中,射线OC交边AB于点D,则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°9．七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上,小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板,并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”,其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．10．如图,点G为△ABC的重心,连接CG,AG并延长分别交AB,BC于点E,F,连接EF,若AB＝4.4,AC＝3.4,BC＝3.6,则EF的长度为（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.411．如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3,BC＝5,则tan∠DAE的值为（）A．B．C．D．12．如图,正比例函数y1＝mx,一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中,若y3＞y1＞y2,则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,满分18分）13．5G是第五代移动通信技术,其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上,正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为．14．已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的内角和的度数为．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是．16．按如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为﹣3,则输出y的结果为．17．如图,已知点A（2,0）,B（0,4）,C（2,4）,D（6,6）,连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合（点A与点C重合,点B与点D重合）,则这个旋转中心的坐标为．18.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1,另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共7个小题,满分66分）19.先化简,再求值：（﹣）÷,其中x＝+1,y＝﹣1．20.奥体中心为满足暑期学生对运动的需求,欲开设球类课程,该中心随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请根据图中信息,解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整；（3）我们把“羽毛球”“篮球”,“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A,B,C,D,E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练,利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．21.新冠疫情期间,口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货,才能使销售总利润最大？22.如图,在▱ABCD中,∠D＝60°,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长与⊙O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2,求的长（结果保留π）．23.今年疫情期间,针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题,清华大学牵头研制一款“测温机器人”,如图1,机器人工作时,行人抬手在测温头处测量手腕温度,体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行,不合格时机器人不抬臂杆并报警,从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度,科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（18～60岁）女性（18～55岁）抽样人数（人）2000 5000 20000 2000 5000 20000平均身高（厘米）173 175 176 164 165 164根据你所学的知识,若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高,男性应采用176 厘米,女性应采用厘米；（2）如图2,一般的,人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适,由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB,AC的连接点A 处,A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B,C在同一水平线上,BC＝100厘米,点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等,求两臂杆的夹角．（参考数据表）#DLQZ计算器按键顺序计算结果（近似计算器按键顺序计算结果（近似值）值）0.1 78.70.2 84.31.7 5.73.5 11.3 24.如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF．【问题解决】如图1,若点D在边BC上,求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．25.如图,抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA＝2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x＝,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时,求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由．2020年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】根据平方根的定义,求数4的平方根即可．【解答】解：4的平方根是±2．故选：C．2．下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项符合题意；B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不符合题意；D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项不符合题意．故选：A．3．实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,那么这三个数中绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．无法确定【分析】根据有理数大小比较方法,越靠近原点其绝对值越小,进而分析得出答案．【解答】解：有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,这三个数中,实数a离原点最远,所以绝对值最大的是：a．故选：A．4．如图,是一个几何体的三视图,则这个几何体是（）A．B．C．D．【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．【解答】解：结合三个视图发现,这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．故选：B．5．如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据（）A．众数改变,方差改变B．众数不变,平均数改变C．中位数改变,方差不变D．中位数不变,平均数不变【分析】由每个数都减去5,那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5,方差不变,据此可得答案．【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5,方差不变,故选：C．6．利用如图所示的计算器进行计算,按键操作不正确的是（）A．按键即可进入统计计算状态B．计算的值,按键顺序为：C．计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D．计算器显示结果为时,若按键,则结果切换为小数格式0.333333333【分析】根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．【解答】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的,故选项A不符合题意；B、计算的值,按键顺序为：,故选项B符合题意；C、计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的,故选项C不符合题意；D、计算器显示结果为时,若按键,则结果切换为小数格式0.333333333是正确的,故选项D不符合题意；故选：B．7．如图,△OA1A2为等腰直角三角形,OA1＝1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…,按此规律作下去,则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣1【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长,依据规律即可得出答案．【解答】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形,OA1＝1,∴OA2＝；∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴OA3＝2＝；∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴OA4＝2＝．∵△OA4A5为等腰直角三角形,∴OA5＝4＝,……∴OA n的长度为（）n﹣1．故选：B．8．量角器测角度时摆放的位置如图所示,在△AOB中,射线OC交边AB于点D,则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【分析】根据等腰三角形的性质,三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵OA＝OB,∠AOB＝140°,∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°,∵∠AOC＝60°,∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°,故选：C．9．七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上,小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板,并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”,其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1cm2,可得平行四边形面积为2cm2,中等的等腰直角三角形的面积为2cm2,最大的等腰直角三角形的面积为4cm2,再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1（cm2）,平行四边形面积为2cm2,中等的等腰直角三角形的面积为2cm2,最大的等腰直角三角形的面积为4cm2,则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2）,不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2）,不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2）,不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2）,符合题意．故选：D．10．如图,点G为△ABC的重心,连接CG,AG并延长分别交AB,BC于点E,F,连接EF,若AB＝4.4,AC＝3.4,BC＝3.6,则EF的长度为（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线,进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．【解答】解：∵点G为△ABC的重心,∴AE＝BE,BF＝CF,∴EF＝＝1.7,故选：A．11．如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3,BC＝5,则tan∠DAE的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5,AB＝CD＝3,再根据折叠的性质得AF＝AD＝5,EF ＝DE,在Rt△ABF中,利用勾股定理计算出BF＝4,则CF＝BC﹣BF＝1,设CE＝x,则DE＝EF ＝3﹣x,然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2,解方程即可得到x,进一步得到EF的长,再根据余弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形,∴AD＝BC＝5,AB＝CD＝3,∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,∴AF＝AD＝5,EF＝DE,在Rt△ABF中,BF＝＝＝4,∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1,设CE＝x,则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中,∵CE2+FC2＝EF2,∴x2+12＝（3﹣x）2,解得x＝,∴DE＝EF＝3﹣x＝,∴tan∠DAE＝＝＝,故选：D．12．如图,正比例函数y1＝mx,一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中,若y3＞y1＞y2,则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1【分析】根据图象,找出双曲线y3落在直线y1上方,且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由图象可知,当x＜﹣1或0＜x＜1时,双曲线y3落在直线y1上方,且直线y1落在直线y2上方,即y3＞y1＞y2,所以若y3＞y1＞y2,则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．故选：D．二．填空题13．5G是第五代移动通信技术,其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上,正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为 1.3×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．故答案为：1.3×106．14．已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的内角和的度数为1260°．【分析】利用任意多边形的外角和均为360°,正多边形的每个外角相等即可求出它的边数,再根据多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：正n边形的每个外角相等,且其和为360°,据此可得＝40°,解得n＝9．（9﹣2）×180°＝1260°,即这个正多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是m＞0且m≠1 ．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0,然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0,解得m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．16．按如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为﹣3,则输出y的结果为18 ．【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．【解答】解：∵﹣3＜﹣1,∴x＝﹣3代入y＝2x2,得y＝2×9＝18,故答案为：18．17．如图,已知点A（2,0）,B（0,4）,C（2,4）,D（6,6）,连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合（点A与点C重合,点B与点D重合）,则这个旋转中心的坐标为（4,2）．【分析】画出平面直角坐标系,作出新的AC,BD的垂直平分线的交点P,点P即为旋转中心．【解答】解：平面直角坐标系如图所示,旋转中心是P点,P（4,2）．故答案为（4,2）．18.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1,另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0,对称轴在y轴的右侧,b＜0, ∴ab＜0,故①错误；②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1,0）,与y轴的交点为（0,﹣1）,∴c＝﹣1,∴a+b﹣1＝0,故②正确；③∵a+b﹣1＝0,∴a﹣1＝﹣b,∵b＜0,∴a﹣1＞0,∴a＞1,故③正确；④∵抛物线与与y轴的交点为（0,﹣1）,∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1,∵抛物线与x轴的交点为（1,0）,∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1,根据根与系数的关系,另一个根为﹣,故④正确；故答案为②③④．三.解答题19.先化简,再求值：（﹣）÷,其中x＝+1,y＝﹣1．【分析】根据分式四则运算的顺序和法则进行计算,最后代入求值即可．【解答】解：（﹣）÷,＝[﹣]÷,＝×,＝,当x＝+1,y＝﹣1时,原式＝＝2﹣．20.奥体中心为满足暑期学生对运动的需求,欲开设球类课程,该中心随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请根据图中信息,解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整；（3）我们把“羽毛球”“篮球”,“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A,B,C,D,E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练,利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．【分析】（1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案；（2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数,从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数,然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）此次共调查的学生有：40÷＝200（名）；（2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人）,补全统计图如下：（3）根据题意画树状图如下：共用25种等可能的情况数,其中他俩选择不同项目的有20种,则他俩选择不同项目的概率是＝．21.新冠疫情期间,口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货,才能使销售总利润最大？【分析】（1）设销售A型口罩x只,销售B型口罩y只,根据“药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2：3”列方程组解答即可；（2）根据题意即可得出W关于m的函数关系式；根据题意列不等式得出m的取值范围,再结合根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：设销售A型口罩x只,销售B型口罩y只,根据题意得：,解答,经检验,x＝4000,y＝5000是原方程组的解,∴每只A型口罩的销售利润为：（元）,每只B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元）．答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元,0.6元．（2）根据题意得,W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000,10000﹣m≤1.5m,解得m≥4000,∵0.1＜0,∴W随m的增大而减小,∵m为正整数,∴当m＝4000时,W取最大值,则﹣0.1×4000+6000＝5600,即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只,才能使销售总利润最大,增大利润为5600元．22.如图,在▱ABCD中,∠D＝60°,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长与⊙O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2,求的长（结果保留π）．【分析】（1）证明：连接OB,根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°,求得∠BAC ＝30°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°,于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2,过O作OH⊥AM于H,则四边形OBCH是矩形,解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OB,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠D＝60°,∵AC⊥BC,∴∠ACB＝90°,∴∠BAC＝30°,∵BE＝AB,∴∠E＝∠BAE,∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°,∴∠E＝∠BAE＝30°,∵OA＝OB,∴∠ABO＝∠OAB＝30°,∴∠OBC＝30°+60°＝90°,∴OB⊥CE,∴EC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD＝2,过O作OH⊥AM于H,则四边形OBCH是矩形,∴OH＝BC＝2,∴OA＝＝4,∠AOM＝2∠AOH＝60°,∴的长度＝＝．23.今年疫情期间,针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题,清华大学牵头研制一款“测温机器人”,如图1,机器人工作时,行人抬手在测温头处测量手腕温度,体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行,不合格时机器人不抬臂杆并报警,从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度,科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（18～60岁）女性（18～55岁）抽样人数（人）2000 5000 20000 2000 5000 20000平均身高（厘米）173 175 176 164 165 164根据你所学的知识,若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高,男性应采用176 厘米,女性应采用164 厘米；（2）如图2,一般的,人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适,由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB,AC的连接点A 处,A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B,C在同一水平线上,BC＝100厘米,点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等,求两臂杆的夹角．（参考数据表）#DLQZ计算器按键顺序计算结果计算器按键顺序计算结果（近似值） （近似值）0.178.70.284.31.7 5.7 3.511.3【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题． （2）利用等腰三角形的性质求出∠BAC 即可．【解答】解：（1）用表格可知,男性应采用176厘米,女性应采用164厘米． 故答案为176,164．（2）如图2中,∵AB ＝AC ,AF ⊥BC , ∴BF ＝FC ＝50cm ,∠FAC ＝∠FAB , 由题意FC ＝10cm , ∴tan ∠FAC ＝＝＝5,∴∠FAC ＝78.7°,∴∠BAC ＝2∠FAC ＝157.4°, 答：两臂杆的夹角为157.4°24.如图,在等边三角形ABC 中,点E 是边AC 上一定点,点D 是直线BC 上一动点,以DE 为一边作等边三角形DEF ,连接CF ． 【问题解决】如图1,若点D 在边BC 上,求证：CE +CF ＝CD ； 【类比探究】如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【分析】【问题解决】在CD上截取CH＝CE,易证△CEH是等边三角形,得出EH＝EC＝CH,证明△DEH≌△FEC（SAS）,得出DH＝CF,即可得出结论；【类比探究】过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC ＝60°,得出△GCD为等边三角形,则DG＝CD＝CG,证明△EGD≌△FCD（SAS）,得出EG＝FC,即可得出FC＝CD+CE．【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE,如图1所示：∵△ABC是等边三角形,∴∠ECH＝60°,∴△CEH是等边三角形,∴EH＝EC＝CH,∠CEH＝60°,∵△DEF是等边三角形,∴DE＝FE,∠DEF＝60°,∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°,∴∠DEH＝∠FEC,在△DEH和△FEC中,,∴△DEH≌△FEC（SAS）,∴DH＝CF,∴CD＝CH+DH＝CE+CF,∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE,CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形,∴∠A＝∠B＝60°,过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图2所示：∵GD∥AB,∴∠GDC＝∠B＝60°,∠DGC＝∠A＝60°,∴∠GDC＝∠DGC＝60°,∴△GCD为等边三角形,∴DG＝CD＝CG,∠GDC＝60°,∵△EDF为等边三角形,∴ED＝DF,∠EDF＝∠GDC＝60°,∴∠EDG＝∠FDC,在△EGD和△FCD中,,∴△EGD≌△FCD（SAS）,∴EG＝FC,∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．25.如图,抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA＝2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x＝,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时,求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由．【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t,0）、（﹣t,0）,则x＝＝（2t﹣t）,即可求解；（2）点D（m,﹣m2+m+2）,则点F（m,﹣m+2）,则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m,即可求解；（3）以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似,则,即＝2或,即可求解．【解答】解：（1）设OB＝t,则OA＝2t,则点A、B的坐标分别为（2t,0）、（﹣t,0）, 则x＝＝（2t﹣t）,解得：t＝1,故点A、B的坐标分别为（2,0）、（﹣1,0）,则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2,解得：a＝﹣1,故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2,令x＝0,则y＝2,故点C（0,2）,由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为：y＝﹣x+2,设点D的横坐标为m,则点D（m,﹣m2+m+2）,则点F（m,﹣m+2）,则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m,∵﹣1＜0,故DF有最大值,此时m＝1,点D（1,2）；（3）存在,理由：点D（m,﹣m2+m+2）（m＞0）,则OD＝m,DE＝﹣m2+m+2,以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似,则,即＝2或,即＝2或, 解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去）, 故m＝1或．。

山东省烟台市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分1．下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．0.101001001【考点】实数．【分析】实数分为有理数，无理数，有理数有分数、整数，无理数有根式下不能开方的，π等，很容易选择．【解答】解：A、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；B、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；C、π为无理数，所以为无理数，故本选项错误；D、小数为有理数，符合．故选D．2．下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选C．3．下列计算正确的是（）A．3a2﹣6a2=﹣3 B．（﹣2a）•（﹣a）=2a2C．10a10÷2a2=5a5D．﹣（a3）2=a6【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【分析】根据整式的加减法可得出A选项结论不正确；根据单项式乘单项式的运算可得出B 选项不正确；根据整式的除法可得出C选项正确；根据幂的乘方可得出D选项不正确．由此即可得出结论．【解答】解：A、3a2﹣6a2=﹣3a2，﹣3a2≠﹣3，∴A中算式计算不正确；B、（﹣2a）•（﹣a）=2a2，2a2=2a2，∴B中算式计算正确；C、10a10÷2a2=5a8，5a8≠5a5（特殊情况除外），∴C中算式计算不正确；D、﹣（a3）2=﹣a6，﹣a6≠a6（特殊情况除外），∴D中算式计算不正确．故选B．4．如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】直接利用组合体结合主视图以及俯视图的观察角度得出答案．【解答】解：由几何体所示，可得主视图和俯视图分别为：和．故选：B．5．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．故选：C．6．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．根据以上图表信息，参赛选手应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【分析】根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差，根据方差的性质解答即可．【解答】解：由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，则丁的成绩的平均数为：×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）=8，丁的成绩的方差为：×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.4，∵丁的成绩的方差最小，∴丁的成绩最稳定，∴参赛选手应选丁，故选：D．7．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．8．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）A．t＜ B．t＞ C．t≤D．t≥【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，结合根的判别式以及根与系数的关系即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t＞．故选B．9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．3【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1•x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣1．x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．故选D．10．如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°【考点】角的计算．【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO．∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，∠BCD=40°或70°，∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，故选D．11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=﹣1，y＜0，即可判断②错误，根据对称轴x＞1，即可判断③正确，由此可以作出判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确，∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故②错误，∴对称轴x＞1，a＜0，∴﹣＞1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确．故选B．12．如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P 点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=（1＜x＜2），图象为：，故选B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分13．已知|x﹣y+2|﹣=0，则x2﹣y2的值为﹣4．【考点】因式分解-运用公式法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】由|x﹣y+2|﹣=0，根据非负数的性质，可求得x﹣y与x+y的值，继而由x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）求得答案．【解答】解：∵|x﹣y+2|﹣=0，∴x﹣y+2=0，x+y﹣2=0，∴x﹣y=﹣2，x+y=2，∴x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）=﹣4．故答案为：﹣4．14．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质．【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，∴OM=OC=，∴点M对应的数为．故答案为．15．已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为．【考点】解一元一次不等式组；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据不等式组，和数轴可以得到a、b的值，从而可以得到b﹣a的值．【解答】解：，由①得，x≥﹣a﹣1，由②得，x≤b，由数轴可得，原不等式的解集是：﹣2≤x≤3，∴，解得，，∴，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为﹣6．【考点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质．【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．【解答】解：连接AC，交y轴于点D，∵四边形ABCO为菱形，∴AC⊥OB，且CD=AD，BD=OD，∵菱形OABC的面积为12，∴△CDO的面积为3，∴|k|=6，∵反比例函数图象位于第二象限，∴k＜0，则k=﹣6．故答案为：﹣6．17．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为πcm2．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=，∴B′C′=，==π，∴S扇形B′OBS 扇形C ′OC ==，∵∴阴影部分面积=S 扇形B ′OB +S △B ′C ′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C ′OC =S 扇形B ′OB ﹣S 扇形C ′OC =π﹣=π；故答案为：π．18．如图，在正方形纸片ABCD 中，EF ∥AD ，M ，N 是线段EF 的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A 与点D 重合，此时，底面圆的直径为10cm ，则圆柱上M ，N两点间的距离是 cm ．【考点】圆柱的计算．【分析】根据题意得到EF=AD=BC ，MN=2EM ，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM 的长，进而确定出MN 的长即可．【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC ，MN=2EM=EF ，∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A 与点D 重合，底面圆的直径为10cm ， ∴底面周长为10πcm ，即EF=10πcm ，则MN=cm ，故答案为：．三、解答题：本大题共7个小题，满分66分19．先化简，再求值：（﹣x ﹣1）÷，其中x=，y=． 【考点】分式的化简求值．【分析】首先将括号里面进行通分，进而将能分解因式的分解因式，再化简求出答案．【解答】解：（﹣x ﹣1）÷，=（﹣﹣）×=×=﹣，把x=，y=代入得：原式=﹣=﹣1+．20．网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图．利用图中所提供的信息解决以下问题：①小明一共统计了150个评价；②请将图1补充完整；③图2中“差评”所占的百分比是13.3%；（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好评”的人数，补全条形图即可；③根据×100%可得；（2）可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，通过概率公式计算可得．【解答】解：（1）①小明统计的评价一共有：=150（个）；②“好评”一共有150×60%=90（个），补全条形图如图1：③图2中“差评”所占的百分比是：×100%=13.3%；（2）列表如下：由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种，∴两人中至少有一个给“好评”的概率是．故答案为：（1）①150；③13.3%．21．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据销售收入为300万元列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W与y的一次函数，根据y的范围确定出W 的最大值即可．【解答】解：（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．22．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【考点】解直角三角形的应用．【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据=，求出CM，在RT△AMN中利用tan72°=，求出AN即可解决问题．【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意=，即=，CM=，在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，∴tan72°=，∴AN≈12.3，∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN=CM=，∴AB=AN+BN=13.8米．23．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．（1）求证：BD平分∠PBC；（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）由∠PBD+∠OBD=90°，∠DBE+∠BDO=90°利用等角的余角相等即可解决问题．（2）利用面积法首先证明==，再证明△BEO∽△PEB，得=，即==，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OB．∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∴∠PBD+∠OBD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OP⊥BC，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠PBD=∠EBD，∴BD平分∠PBC．（2）解：作DK⊥PB于K，∵==，∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，∴DK=DE，∴==，∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，∴△BEO∽△PEB，∴=，∴==，∵BO=1，∴OE=，∵OE⊥BC，∴BE=EC，∵AO=OC，∴AB=2OE=．24．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：=；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中的结论，就可得到==，就可解决问题；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得=．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QA T+∠AQT=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°，∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴=，∴=；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得=，=，∴==．故答案为；（2）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得=．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，由②﹣①得x=2y﹣5③，解方程组，得（舍去），或，∴AR=5+x=8，∴===．25．如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC ∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式．（2）根据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（，3），从而求出梯形的面积．（3）先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，﹣m+9），最后根据勾股定理求出MN=，从而确定出MN最大值和m的值．【解答】解：（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，==．∴当m=时，MN最大。

2022年山东省烟台市中考(zhōnɡ kǎo)数学试卷一、选择题：本大题共12小题(xiǎo tí)，每小题3分，共36分1．下列(xiàliè)实数中，有理数是（）A． B．C．D．0.1010010012．下列商标图案(tú àn)中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列(xiàliè)计算正确的是（）A．3a2﹣6a2=﹣3 B．（﹣2a）•（﹣a）=2a2C．10a10÷2a2=5a5D．﹣（a3）2=a64．如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（）A．B．C．D．5．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．6．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．甲乙丙平均数7.9 7.9 8.0方差 3.29 0.49 1.8根据以上图表信息(xìnxī)，参赛选手应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．如图，在平面(píngmiàn)直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标(zuòbiāo)为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）8．反比例函数(hánshù)y=的图象与直线(zhíxiàn)y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．310．如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线(lùxiàn)运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分13．已知|x﹣y+2|﹣=0，则x2﹣y2的值为．14．如图，O为数轴(shùzhóu)原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．15．已知不等式组，在同一条数轴(shùzhóu)上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为．16．如图，在平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象(tú xiànɡ)上，则k的值为．17．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．18．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱(yuánzhù)，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱(yuánzhù)上M，N两点间的距离是cm．三、解答(jiědá)题：本大题共7个小题，满分66分19．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中(qízhōng)x=，y=．20．网上购物已经成为人们常用的一种(yī zhǒnɡ)购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图．利用图中所提供的信息解决以下问题：①小明一共统计了个评价；②请将图1补充完整；③图2中“差评”所占的百分比是；（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率．21．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本12 8销售单价18 12生产提成 1 0.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行(shíxíng)计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）22．某中学(zhōngxué)广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡(xiépō)上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一(tóngyī)时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立(shùlì)标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）23．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O 于D，连接BD．（1）求证：BD平分∠PBC；（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．24．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：=；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB 上，求的值．25．如图1，已知平行四边形ABCD顶点(dǐngdiǎn)A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x 轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标(zuòbiāo)为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数(hánshù)关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段(xiànduàn)MN的最小值，并直接写出此时m的值．2022年山东省烟台市中考(zhōnɡ kǎo)数学试卷参考答案与试题(shìtí)解析一、选择题：本大题共12小题(xiǎo tí)，每小题3分，共36分1．下列(xiàliè)实数中，有理数是（）A． B．C．D．0.101001001【考点(kǎo diǎn)】实数．【分析】实数分为有理数，无理数，有理数有分数、整数，无理数有根式下不能开方的，π等，很容易选择．【解答】解：A、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；B、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；C、π为无理数，所以为无理数，故本选项错误；D、小数为有理数，符合．故选D．2．下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选C．3．下列计算正确的是（）A．3a2﹣6a2=﹣3 B．（﹣2a）•（﹣a）=2a2C．10a10÷2a2=5a5D．﹣（a3）2=a6【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【分析】根据整式的加减法可得出A选项结论不正确；根据单项式乘单项式的运算可得出B选项不正确；根据整式的除法可得出C选项正确；根据幂的乘方可得出D选项不正确．由此即可得出结论．【解答】解：A、3a2﹣6a2=﹣3a2，﹣3a2≠﹣3，∴A中算式计算不正确；B、（﹣2a）•（﹣a）=2a2，2a2=2a2，∴B中算式计算正确；C、10a10÷2a2=5a8，5a8≠5a5（特殊情况除外），∴C中算式计算不正确；D、﹣（a3）2=﹣a6，﹣a6≠a6（特殊(tèshū)情况除外），∴D中算式计算(jì suàn)不正确．故选B．4．如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么(nà me)这个几何体的主视图和俯视图分别为（）A．B．C．D．【考点(kǎo diǎn)】简单(jiǎndān)组合体的三视图．【分析】直接利用组合体结合主视图以及俯视图的观察角度得出答案．【解答】解：由几何体所示，可得主视图和俯视图分别为：和．故选：B．5．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M ﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．故选：C．6．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差(fānɡ chà)两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．甲乙丙平均数7.9 7.9 8.0方差 3.29 0.49 1.8根据以上图表信息(xìnxī)，参赛选手应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点(kǎo diǎn)】方差(fānɡ chà)；算术平均数．【分析(fēnxī)】根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差，根据方差的性质解答即可．【解答】解：由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，则丁的成绩的平均数为：×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）=8，丁的成绩的方差为：×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.4，∵丁的成绩的方差最小，∴丁的成绩最稳定，∴参赛选手应选丁，故选：D．7．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标(zuòbiāo)为：（3，2），故选：A．8．反比例函数(hánshù)y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点(jiāodiǎn)，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥【考点(kǎo diǎn)】反比例函数与一次函数的交点(jiāodiǎn)问题．【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，结合根的判别式以及根与系数的关系即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t＞．故选B．9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．3【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1•x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣1．x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．故选D．10．如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端(yīduān)重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°【考点(kǎo diǎn)】角的计算(jì suàn)．【分析(fēnxī)】如图，点O是AB中点，连接(liánjiē)DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO．∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，∠BCD=40°或70°，∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，故选D．11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=﹣1，y＜0，即可判断②错误，根据对称轴x＞1，即可判断③正确，由此可以作出判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确，∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故②错误，∴对称轴x＞1，a＜0，∴﹣＞1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确(zhèngquè)．故选B．12．如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径(zhíjìng)，点P从点O出发（P点与O 点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B． C． D．【考点(kǎo diǎn)】动点问题(wèntí)的函数图象．【分析(fēnxī)】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=（1＜x＜2），图象为：，故选B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分13．已知|x﹣y+2|﹣=0，则x2﹣y2的值为﹣4 ．【考点】因式分解-运用公式法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】由|x﹣y+2|﹣=0，根据非负数的性质，可求得x﹣y与x+y的值，继而由x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）求得答案．【解答】解：∵|x﹣y+2|﹣=0，∴x﹣y+2=0，x+y﹣2=0，∴x﹣y=﹣2，x+y=2，∴x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）=﹣4．故答案(dá àn)为：﹣4．14．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接(liánjiē)OC，以O 为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．【考点(kǎo diǎn)】勾股定理；实数(shìshù)与数轴；等腰三角形的性质．【分析(fēnxī)】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数．【解答】解：∵△A BC为等腰三角形，OA=OB=3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，∴OM=OC=，∴点M对应的数为．故答案为．15．已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为．【考点】解一元一次不等式组；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据不等式组，和数轴可以得到a、b的值，从而可以得到b﹣a的值．【解答】解：，由①得，x≥﹣a﹣1，由②得，x≤b，由数轴可得，原不等式的解集是：﹣2≤x≤3，∴，解得，，∴，故答案(dá àn)为：．16．如图，在平面(píngmiàn)直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象(tú xiànɡ)上，则k的值为﹣6 ．【考点(kǎo diǎn)】反比例函数(hánshù)系数k的几何意义；菱形的性质．【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO 面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．【解答】解：连接AC，交y轴于点D，∵四边形ABCO为菱形，∴AC⊥OB，且CD=AD，BD=OD，∵菱形OABC的面积为12，∴△CDO的面积为3，∴|k|=6，∵反比例函数图象位于第二象限，∴k＜0，则k=﹣6．故答案为：﹣6．17．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为πcm2．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【分析(fēnxī)】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算(jì suàn)即可得出答案．【解答(jiědá)】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转(xuánzhuǎn)得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=，∴B′C′=，∴S扇形(shàn xínɡ)B′OB==π，S扇形C′OC==，∵∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；故答案为：π．18．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是cm．【考点】圆柱的计算．【分析】根据题意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM的长，进而确定出MN的长即可．【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，底面圆的直径为10cm，∴底面周长为10πcm，即EF=10πcm，则MN=cm，故答案为：．三、解答题：本大题共7个小题，满分66分19．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中(qízhōng)x=，y=．【考点(kǎo diǎn)】分式(fēnshì)的化简求值．【分析(fēnxī)】首先将括号里面进行(jìnxíng)通分，进而将能分解因式的分解因式，再化简求出答案．【解答】解：（﹣x﹣1）÷，=（﹣﹣）×=×=﹣，把x=，y=代入得：原式=﹣=﹣1+．20．网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图．利用图中所提供的信息解决以下问题：①小明一共统计了150 个评价；②请将图1补充完整；③图2中“差评”所占的百分比是13.3% ；（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析(fēnxī)】（1）①用“中评”、“差评”的人数(rén shù)除以二者的百分比之和可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好评”的人数，补全条形图即可；③根据×100%可得；（2）可通过列表表示出甲、乙对商品(shāngpǐn)评价的所有可能结果数，通过概率公式计算可得．【解答(jiědá)】解：（1）①小明(xiǎo mínɡ)统计的评价一共有： =150（个）；②“好评”一共有150×60%=90（个），补全条形图如图1：③图2中“差评”所占的百分比是：×100%=13.3%；（2）列表如下：好中差好好，好好，中好，差中中，好中，中中，差差差，好差，中差，差由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种，∴两人中至少有一个给“好评”的概率是．故答案为：（1）①150；③13.3%．21．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本12 8销售单价18 12生产提成 1 0.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）【考点】一元二次方程的应用．【分析(fēnxī)】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据(gēnjù)销售收入为300万元列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据(gēnjù)公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W与y的一次函数，根据y的范围确定出W的最大值即可．【解答(jiědá)】解：（1）设甲型号(xínghào)的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．22．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【考点】解直角三角形的应用．【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据=，求出CM，在RT△AMN中利用tan72°=，求出AN即可解决问题．【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意=，即=，CM=，在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，∴tan72°=，∴AN≈12.3，∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN=CM=，∴AB=AN+BN=13.8米．23．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足(chuí zú)为E，交⊙O于D，连接BD．（1）求证(qiúzhèng)：BD平分∠PBC；（2）若⊙O的半径(bànjìng)为1，PD=3DE，求OE及AB的长．【考点(kǎo diǎn)】切线的性质(xìngzhì)；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）由∠PBD+∠OBD=90°，∠DBE+∠BDO=90°利用等角的余角相等即可解决问题．（2）利用面积法首先证明==，再证明△BEO∽△PEB，得=，即==，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OB．∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∴∠PBD+∠OBD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OP⊥BC，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠PBD=∠EBD，∴BD平分∠PBC．（2）解：作DK⊥PB于K，∵==，∵BD平分(píngfēn)∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，∴DK=DE，∴==，∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，∴△BEO∽△PEB，∴=，∴==，∵BO=1，∴OE=，∵OE⊥BC，∴BE=EC，∵AO=OC，∴AB=2OE=．24．【探究(tànjiū)证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行(jìnxíng)探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别(fēnbié)交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： =；【结论(jiélùn)应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别(fēnbié)在边BC，AB上，求的值．【考点(kǎo diǎn)】相似形综合题．【分析(fēnxī)】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似(xiānɡ sì)三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用(yùnyòng)（1）中的结论，就可得到==，就可解决问题；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得=．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°，∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴=，∴=；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得=， =，∴==．故答案为；（2）过点D作平行于AB的直线(zhíxiàn)，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形(jǔxíng)，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论(jiélùn)可得=．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，由②﹣①得x=2y﹣5③，解方程组，得（舍去），或，∴AR=5+x=8，∴===．25．如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标(zuòbiāo)为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x 轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标(zuòbiāo)为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数(hánshù)关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线(zhíxiàn)AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【考点(kǎo diǎn)】二次函数(hánshù)综合题．【分析(fēnxī)】（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式．（2）根据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（，3），从而求出梯形的面积．（3）先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，﹣ m+9），最后根据勾股定理求出MN=，从而确定出MN最大值和m的值．【解答】解：（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析(jiě xī)式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线(zhíxiàn)AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足(chuí zú)为M，交直线AC于P∴P（m，﹣ m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足(chuí zú)为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最大==．内容总结。

2023年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

1．（3分）﹣的倒数是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．（2a2）3＝6a6C．a2•a3＝a5D．a8÷a2＝a4 5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（）A．B．C．D．7．（3分）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（）A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差8．（3分）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（）A．P1＜P2B．P1＝P2C．P1＞P2D．无法判断9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为．12．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为．13．（3分）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．14．（3分）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是．15．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为．16．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A 后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．18．（7分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．19．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）20．（8分）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．【问题提出】在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．21．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．23．（11分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB 的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．2023年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题,每小题3分,满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1．（3分）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣22．（3分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（）A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图4．（3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）A．B．C．D．无法确定5．（3分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（）A．1.5×10﹣9秒B．15×10﹣9秒C．1.5×10﹣8秒D．15×10﹣8秒6．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定7．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变8．（3分）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP 为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°9．（3分）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128 B．256 C．512 D．102410．（3分）如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）A．B．C．D．11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣1 0 2 3 4y 5 0 ﹣4 ﹣3 0下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y ＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE ⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）|﹣6|×2﹣1﹣cos45°＝．14．（3分）若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为．15．（3分）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P 点的坐标为．16．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为．17．（3分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是．18．（3分）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19．（6分）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．20．（8分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节，为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目．小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）五届艺术节共有个班级表演这些节目，班数的中位数为，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为；（2）补全折线统计图；（3）第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演（“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A，B，C，D表示），利用树状图或表格求出该班选择A和D两项的概率．21．（9分）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？22．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．23．（10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8m．（1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；（2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位）参考数据表计算器按键顺序计算结果（已取近似值）2.656.811.240.350.9374149494124．（11分）【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．25．（13分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y 轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题,每小题3分,满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1．【解答】解：∵﹣2的立方等于﹣8，∴﹣8的立方根等于﹣2．故选：B．2．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．3．【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，故选：A．4．【解答】解：设正六边形边长为a，则灰色部分面积为3×＝，白色区域面积为a×＝，所以正六边形面积为a2，镖落在白色区域的概率P＝＝，故选：B．5．【解答】解：所用时间＝15×0.000 000 001＝1.5×10﹣8．故选：C．6．【解答】解：∵b+c＝5，∴c＝5﹣b．△＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．∵（b﹣6）2≥0，∴（b﹣6）2+24＞0，∴△＞0，∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．故选：A．7．【解答】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，故选：B．8．【解答】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，则∠BOC＝15°或45°，故选：D．9．【解答】解：由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）9展开式中所有项的系数和为（1+1）9＝29＝512故选：C．10．【解答】解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵DE⊥BD，∴OC∥ED，∵DE＝6，∴OC＝，∵▱ABCD的面积为24，∴，∴BD＝8，∴＝＝5，设CF＝x，则BF＝5+x，由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，解得x＝，∴DF＝，∴sin∠DCE＝．故选：A．11．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；抛物线的对称性为直线x＝2，所以②正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x2＜x1＜2或2＜x1＜x2，所以⑤错误．故选：B．12．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：原式＝6×﹣×＝3﹣1＝2．故答案为：2．14．【解答】.解：方程两边都乘（x﹣2），得3x﹣x+2＝m+3∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝3．故答案为3．15．【解答】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．16．【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，∴m＝1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；故答案为x≤1；17．【解答】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案为45°；18．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，∵O点为等边三角形的外心，∴BH＝CH＝1，在Rt△OBH中，OH＝BH＝，∵S弓形AB＝S扇形ACB﹣S△ABC，∴阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O＝3S扇形ACB﹣2S△ABC﹣S⊙O ＝3×﹣2××22﹣π×（）2＝π﹣2．故答案为π﹣2．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19．【解答】解：（x+3﹣）÷＝（﹣）÷＝•＝，当x＝1时，原式＝＝．20．【解答】解：（1）第一届、第二届和第三届参加班级所占的百分比为1﹣22.5%﹣＝45%，所以五届艺术节参加班级表演的总数为（5+7+6）÷45%＝40（个）；第四届参加班级数为40×22.5%＝9（个），第五届参加班级数为40﹣18﹣9＝13（个），所以班数的中位数为7（个）在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为360°×22.5%＝81°；故答案为40，7，81°；（2）如图，（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中该班选择A和D两项的结果数为2，所以该班选择A和D两项的概率＝＝．21．【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，依题意，得：，解得：．答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，依题意，得：36m+22n＝218，∴n＝．又∵m，n均为正整数，∴．答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．22．【解答】解：（1）连接OP，则∠PAO＝∠APO，而△AEP是由△ABP沿AP折叠而得：故AE＝AB＝4，∠OAP＝∠PAB，∴∠BAP＝∠OPA，∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）CF＝CE＝AC﹣AE＝﹣4＝2﹣2，＝，故：点F是线段BC的黄金分割点．23．【解答】解：（1）如图，过点P作PH⊥OA于点H．设OH＝x，则HM＝10﹣x，由勾股定理得OP2﹣OH2＝PH2，MP2﹣HM2＝PH2，∴OP2﹣OH2＝MP2﹣HM2，即122﹣x2＝82﹣（10﹣x）2，解得x＝9，即OH＝9（cm），∴cos∠AOB＝＝＝0.75，由表可知，∠AOB为41°；（2）过点P作PH⊥OA于点H．在Rt△OPH中，，OH＝11.244（cm），，∴PH＝4.2（cm），∴HN＝（cm），∴ON＝OH+HN＝11.244+6.8＝18.044（cm），∴MN＝ON﹣OM＝18.044﹣10＝8.044（cm）∵电脑台面的角度可达到六档调节，相邻两个卡孔的距离相同，∴相邻两个卡孔的距离为8.044÷（6﹣1）≈1.6（cm）答：相邻两个卡孔的距离约为1.6cm．24．【解答】解：【问题探究】（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CE＝CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠BEC＝45°∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°∴AD⊥BD故答案为：AD⊥BD②如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝∴DF＝CF＝1∴AF＝＝3∴AD＝AF+DF＝4故答案为：4【拓展延伸】（2）若点D在BC右侧，如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE∴∠ADC＝∠BEC，∵CD＝，CE＝1∴DE＝＝2∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°∴△DCE∽△CFD，∴即∴CF＝，DF＝∴AF＝＝∴AD＝DF+AF＝3若点D在BC左侧，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE∴∠ADC＝∠BEC，∴∠CED＝∠CDF∵CD＝，CE＝1∴DE＝＝2∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90°∴△DCE∽△CFD，∴即∴CF＝，DF＝∴AF＝＝∴AD＝AF﹣DF＝225．【解答】解；（1）C（0，3）∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，∵D在y＝上，∴D（2，3），将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），∴M'D'直线的解析式为y＝﹣x+∴N（，0），F（0，）；（3）设P（0，t），N（r，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；∴PN＝ND，∴r＝，∴t2﹣6t﹣4r+13＝0，易求BD的中点为（，），直线BD的解析式为y＝﹣3x+9，∴BD的中垂线解析式y＝x+，N在中垂线上，∴t＝r+，∴t2﹣18t+21＝0，∴t＝9+2或t＝9﹣2，∵0＜t＜3，∴t＝9﹣2，∴P（0，9﹣2）；21 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