高三下学期高考数学试卷附答案 (127)

2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷高考数学模拟测试学校：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） (A)()1,1- (B)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)()-1,0 (D)1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（）(2008北京理)ACD MN P A 1B 1C 1D 1 A ．B ．C ．D ．3．已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或34．①口袋里有伍分、壹角、壹元硬币若干枚，随机的摸出一枚是壹角； ②在标准大气压下，水在90C o沸腾； ③射击运动员射击一次命中10环；④同时掷两颗骰子，出现点数之和不超过12。

上述事件中，是随机事件的有-------------------------------------------------------------------------（ ）(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④ 5．1．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a 列车不停在第一道上，b 列车不停在第二道上，那么不同的停车方法共有------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 120种 (B) 78种 (C) 96种 (D) 72第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题6．函数的定义域为▲ .7．已知定义在R 上的奇函数y=f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）=0，则不等式f （2x ﹣1）＞0的解集为 ．（5分）射击次数n1020 50 100 200 500 击中靶心的次数m 9194491178451击中靶心的频率m n0.9 0.95 0.88 0.91 0.89 0.9028．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ▲9．对于每一个实数)(,x f x 是22x -和x 中的较小者，则函数)(x f 的值域为 10．点P 为单位圆O 外的一点，PA ，PB 为圆O 的两条切线，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为 ．11．若函数||3([,])x y x a b =∈的值域[1,9]，则222a b a +-的取值范围是_________12．某学院的A,B,C 三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本｡已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生,则在该学院的C 专业应抽取____名学生｡ 〖解〗4013．在数列}{n a 中，4,2111-==+n n a a a ，则前n 项和n S 的最大值为______14．在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = .15．数列｛a n ｝中，a ３、a １０是方程x ２-3x -5=0的两根，若｛a n ｝是等差数列，则a ５+a ８＝ .16．设函数)10(2log log )(2<<-=x x x f x ,数列{}n a 满足)(2)2(*N n n f n a∈=⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 判断数列{}n a 的单调性．17．对正整数n ，设抛物线22(21)y n x =+，过点P （2n,0）任作直线l 交抛物线于,n nA B 两点，则数列{}2(1)n nOA OB n ⋅+u u u u r u u u u r 的前n 项和为_ _(1)n n -+18．若直线220ax by -+=（,a b R ∈）始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则ab 的最大值是 ．19．给出问题：F 1、F 2是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．某学生的解答如下：“双曲线的实轴长为8，由128PF PF -=，即298PF -=，得21PF =或17．” 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面的横线上；若不正确，将正确的结果填在下面的横线上： ．三、解答题20．如图，ABCD 是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF ，其中动点E 、F 分别在CD 、BC 上，且△ECF 的周长为常数a （单位：百米）． （1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．（本小题满分14分）21．（本小题满分16分）如图，正方形A B C D 所在平面与圆O 所在平面相交于C D ,线段C D为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，A E =3，正方形A B C D 的边长为（1）求证：平面A B C D 丄平面A D E ；FE D C BA（第17题）（2）求四面体B A D E 的体积；（3）试判断直线O B 是否与平面CDE 垂直，并请说明理由．22．在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos23cos()1A B C -+=. (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值. （2013年高考湖北卷（文））23．某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处， 已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？24．已知圆4)4()3(:22=-+-y x C ，直线1l 过定点)0,1(A 。

2024年湖南省长沙高考数学最后一卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|2M x x =≤，{|ln 1}N x x =<，则M N = （）A ．[)2,e B ．[]2,1-C ．[)0,2D ．(]0,22．若复数z 满足i z z =⋅，则z 可以为（）A ．1i-B ．1i+C ．12i+D ．12i-3．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且()()220.3P X k P X k <-=>+=，0k >，则()22P X k <≤+=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．已知直线l ：0kx y -+=，圆O ：221x y +=，则“1k <”是“直线l 上存在点P ，使点P 在圆O 内”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平行四边形ABCD 中，24AC BD ==，点P 为该平行四边形所在平面内的任意一点，则2222PA PB PC PD +++ 的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．126．地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯·里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为0lg lg M A A =-，其中M 表示某地地震的里氏震级，A 表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，0A 表示这次地震中的标准地震振幅．假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0．002，则该地这次地震的里氏震级约为（）（参考数据：lg 20.3≈）A ．6.3级B ．6.4级C ．7.4级D ．7.6级7．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 为C 的渐近线上一点．若12PF F △2，2123PF PF c ⋅= ，则C 的离心率为（）A B ．2C ．D 8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 是棱1CC 的中点，空间中的动点P 满足DP BM ⊥，且11D P =，则动点P 的轨迹长度为（）A ．5B ．3C ．2πD ．5二、多选题：本题共3小题，共18分。

2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷高考数学模拟测试学校：__________题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、选择题1．已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则()()A B =U U U痧（ D ）（A ）{1,6} （B ）{4,5} （C ）{2,3,4,5,7} （D ）{1,2,3,6,7}(2006重庆文)2．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是 A. ( 4.5 ,3 ) B. ( 3,6 ) C. ( 9, 2 ) D. ( 6, 4 ) (2004广东理)3．若()224ln f x x x x =--，则()'fx ＞0的解集为（ ）A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-⋃+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-（2011江西理4）4．直线xy=0将圆x 2+y 2=1分成四个区域，用五种不同的颜色给这四个区域涂色，有公共边的区域颜色互异，每块区域只涂一种颜色，则不同的涂色办法种数为 （ ） A ．260 B ．200 C ．250 D ．1905．一个无穷等差数列{an},公差为d,则{an}中有有限个负数的充要条件是 A.a1>0且d>0 B.a1>0且d<0 C.a1<0且d<0D.a1<0且d>0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题6．已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()3sin 2.B C A +=，则A 的度数为3π 7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为8．已知椭圆E ：2214x y +=，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ▲ ．9．复数z ＝2＋i1＋i （i 为虚数单位），则z 对应的点在第 象限．10．若实数,x y 满足100x y x -+≤⎧⎨>⎩，则yx 的取值范围是 ．11．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ________________．解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，整理得 x 2＋y 2－2x ＝0.（第14题图）12．已知复数z=3-4i,则复数z的实部和虚部之和为_____________13．已知1 cos sin8αα=，42ππα<<，则cos sinαα-的值为32-14．45sin()33cosππ-+= .评卷人得分三、解答题15．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知a，b∈R，若M=13ab-⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y = 3变换成自身，试求实数a，b．（第21-A题）16．（理）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （1）证明：AC ⊥SB ；（2）求二面角N —CM —B 的余弦值； （3）求点B 到平面CMN 的距离．17．已知函数f (x )＝12m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；（2）当m ＞0时，若曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与曲线y ＝f (x )有且只有一个公共点，求实数m 的值．(本小题满分14分)18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT <≤．（本小题满分14分）19．平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞U ，对应的曲线为C2， 设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面 积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由. (2011年高考湖北当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22221x y a ma -=，C 是焦点在x 轴上的双曲线. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1m =-时，C 1的方程为222x y a +=； 当(1,0)(0,)m ∈-+∞U 时，C 2的两个焦点分别为1(1,0)F a m -+，2(1,0)F a m +.对于给定的(1,0)(0,)∈-+∞U m ，C 1上存在点000(,)(0)≠N x y y 使得2=S m a 的充要条件是22200020,0, 121 2x y a y a m y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅+=⎪⎩①②由①得00y a <≤，由②得01m a y m=+，当01m a a m<≤+，即150m -≤<，或150m +<≤时， 存在点N ，使2S m a =：当1m a a m>+，即151m --<<，或15m +>时，不存大满足条件的点N.当15150,22m ⎡⎫⎛+∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U 时， 由100(1,)NF a m x y =-+-u u u r ，200(1,)NF a m x y =+-u u u u r ，可得22221200(1)NF NF x m a y ma ⋅=-++=-u u u r u u u u r令1122,NF r NF r ==u u u r u u u u r，12F NF θ∠=,则由21212cos NF NF rr ma θ⋅==-u u u r u u u u r ，可得212cos ma r r θ=-，从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-，于是由2S m a =， 可得221tan 2ma m a θ-=，即2tan m m θ=-，综上可得：当1,02m ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在C 1上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2F NF =;当10,2m ⎛+∈ ⎝⎦时，在C 1上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2F NF =-;当111,,22m ⎡⎫⎛⎤∈-+∞⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦U 时，在C 1上，不存在满足条件的点N. 20．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．21．已知函数||1221(),()()4162x m mx f x f x x -==+,其中m ∈R ． (1)若02m <≤,试求函数12()()(),[2,)f x f x f x x =+∈+∞的最小值；(2)设函数12(),2,()(),2,f x x g x f x x ≥⎧=⎨<⎩若对于任意大于等于2的实数1x ,总存在唯一的小于2的实数2x ,使得12()()g x g x =成立,试确定实数m 的取值范围．22．已知关于x 的函数2()2(,)f x x ax b a b R =++∈其中 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令2.t a b =-若存在实数m ，使得11()(1)44f m f m ≤+≤与同时成立，求t 的最大值．关键字：二次函数；含绝对值；求单调区间；存在性问题；分类讨论23．在数列{a n }中，a 1＝1，11(1416n n a a +=+，求a n ．设不动点为x，则1(1416x x =+．解得x ＝13． 分析一：用不动点改写原式，分析二：用换元法，令n b =，去掉根式，便于化简变形．24．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的 两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积25．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题6．7．2±8．9．+∞10．(1,)11．x2＋y2－2x＝012．—113．14．三、解答题15．16．17．解（1）由题意知，f(x)＝－2x＋3＋ln x，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x (x ＞0)． ……………………… 2分 由f ′(x )＞0得x ∈(0，12) ．所以函数f (x )的单调增区间为(0，12)． ……………………… 4分 （2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1x ，得f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分 由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解， 即关于x 的方程12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解． 令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x (x ＞0)． …………… 8分 ①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1m ， 所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1m ，＋∞)上为增函数． 又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点． 故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1m ＜x ＜1，所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1． ……………………… 14分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列， 所以()11n a a n d=+-，()112n n n S na d -=+．……………………………………………………1分依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =，4d =．……………………………………………………………………………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………………………………6分 （2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．…………………………………………………8分 所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………10分 因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <．………………………………………………11分因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．………………………………12分 所以116n T T ≥=．………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<．…………………………………………………………………………………………14分 19． 20． 21．22．（1）①当02≤-b a 时，单调区间为：增减),[,],(+∞---∞a a ； （2分） ②当02>-b a 时，单调区间为：()()()增减增减+∞-+--+----------∞,,,,,,),(2222b a a b a a a a b a a b a a （5分） （2）①当0412≤-≤-b a 时，由方程4122=++b ax x 解得4122,1+-±-=b a a x此时1412212≤+-=-b a x x ，不满足. （8分） ②当0412>->b a 时, 由方程4122=++b ax x 解得4122,1+-±-=b a a x此时()2,1412212∈+-=-b a x x ，满足题意. （11分） ③当412≥-b a 时, 由方程4122=++b ax x 方程4122-=++b ax x 和解得4122,1+-±-=b a a x ,4124,3--±-=b a a x 此时由于[)+∞∈+-=-,2412212b a x x ，1424141214141222213<≤--++-=---+-=-b a b a b a b a x x 所以只要1412243≤--=-b a x x 即可,此时212≤-b a ,综上所述t 的最大值为21.（16分）23．构建新数列{}n b，使0n b =>，则 15b =，2124nn b a =+ ，即2124n n b a -=．∴22111114241624n n n b b b +⎛⎫--=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭． 化简得 ()()22123n n b b +=+，∴123n n b b +=+，即 ()11332n n b b +-=-． 数列 {}3n b - 是以2为首项，12为公比的等比数列． 1213222n nn b --⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭， 即 223nn b -=+．∴221121123212432n n n n n b a ----+⨯+==⨯．(利用式的各种变形证题 24．解：（1）设M 14),,(),(),)(,334(11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ①……………………3分 同理可得13322=+ty x ②…………………………5分 由①②知AB 的方程为)1(3,133ty x ty x -==+即…………6分 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）……8分(2）把AB 的方程0167,14)1(322=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+⋅+=AB ……………………12分 又M 到AB 的距离33231|334|=+=d ∴△ABM 的面积21316||21=⋅⋅=d AB S ……………………15分25．（本小题满分15分）解：(Ⅰ)因为a e ==所以c=1……………………(3分) 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2212x y +=………………………………(5分) (Ⅱ)因为P (1,1),所以12PF k =,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x(7分) 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(2-,4) ……………………………(8分)所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥, 故直线PQ 与圆O 相切…………………………………(10分) (Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切……………………(11分)证明:设00(,)P x y (00,1x ≠±),则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-……………(13分)所以点Q(－2,0022x y +)…………………… (13分)所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切…(15分)。

绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a、b、c应满足的条件是（）A. a > 0，b = 0，c任意B. a < 0，b = 0，c任意C. a > 0，b ≠ 0，c任意D. a < 0，b ≠ 0，c任意答案：A2. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/4答案：C3. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，公差d = 3，则第10项an = （）A. 29B. 30C. 31D. 32答案：A4. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x答案：C5. 若log2(x - 1) = log2(3x + 1)，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B6. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 4，点P(2, 0)在圆C上，则圆C的切线方程为（）A. x = 2B. y = 0C. x + y = 2D. x - y = 2答案：A7. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/4答案：A8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A9. 在等比数列{an}中，若a1 = 2，公比q = 1/2，则第5项an = （）A. 16B. 8C. 4D. 2答案：C10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像关于点（2，0）对称，故f(x)的对称轴方程为（）A. x = 2B. y = 2C. x + y = 2D. x - y = 2答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，若f(x)在x=1处取得极小值，则a的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -1答案：B解析：首先求f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 6x，令f'(x) = 0，得x = 0或x = 1。

当x = 0时，f''(x) = 12x - 6 = -6 < 0，f(x)在x = 0处取得极大值；当x =1时，f''(x) = 6 > 0，f(x)在x = 1处取得极小值。

因此a = 1。

2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an =（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得an = 3 + (10 - 1) 2 = 21。

3. 若log2(3x - 2) = log2(5x + 1)，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：由对数的性质，得3x - 2 = 5x + 1，解得x = 1。

4. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则z的辐角θ的取值范围是（）A. [0, π]B. [0, π/2]C. [π/2, π]D. [-π/2, π/2]答案：D解析：复数的模长|z| = √(a^2 + b^2)，由|z| = 1，得a^2 + b^2 = 1。

复数的辐角θ的取值范围为[-π/2, π/2]，因为当a = 0，b > 0时，θ = π/2；当a = 0，b < 0时，θ = -π/2。

5. 已知直线l：y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的值为（）A. ±√2B. ±1C. ±√3D. ±1/√2解析：圆的半径为1，直线l到圆心的距离等于半径，即|k0 + 1|/√(k^2 + 1) = 1，解得k = ±√2。

2024年河南高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m- B. 3m -C.3m D. 3m5.（ ）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><的的10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.的则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．为19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只的有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2-B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin C ===的的又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.小问2详解】由（1）可得π3B =，cos C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 12462A ⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin 22ABC S ab C === ，由已知ABC面积为323=+，所以c =16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；【的（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b=⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP 沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C=或18C=-，当6C=时，联立221129260x yx y⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得3xy=⎧⎨=-⎩或332xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B-或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B-时，此时32lk=，直线l的方程为332y x=-，即3260x y--=，当33,2B⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk=，直线l的方程为12y x=，即20x y-=，当18C=-时，联立2211292180x yx y⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y-+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.法二：同法一得到直线AP的方程为260x y+-=，点B到直线AP的距离d=设()00,B x y22001129x y⎪+=⎪⎩，解得332xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩或03xy=⎧⎨=-⎩，即()0,3B-或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为260x y+-=，点B到直线AP的距离d=设(),3sinBθθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d =，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析 （3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

卜人入州八九几市潮王学校新会华侨2021届高三数学下学期测试试题理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.(){}2|{()|},1,A x y xy B x y y x ====，，那么A B =〔〕A.{}0,1B.(){}1,1C.()(){}0,0,1,1D.∅【答案】B 【解析】 【分析】先分析出集合分别表示曲线1xy =、2y x =上的点组成的集合，直接求曲线1xy =和2y x =的交点即可. 【详解】集合(){}|,1A x y xy ==表示曲线1xy =上的点组成的集合.集合2{()|}Bx y y x ==，表示曲线2y x =上的点组成的集合.由21xy y x =⎧⎨=⎩解得：1,1x y ==.所以A B =(){}1,1.应选：B【点睛】此题考察集合的描绘法，集合的交集运算，属于根底题.1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限的〔〕 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】先将复数()11ai i +化简，得到a i -，再判断. 【详解】()11,ai ia i +=-在复平面内表示的点的坐标为(),1a -.当1a >时，点(),1a -在第四象限，反之当点(),1a -在第四象限时，0a >所以实数1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限充分非必要条件. 应选：A【点睛】此题考复数的几何性质和充分条件、必要条件的判断，属于根底题.{}n a 满足131533a a a a +=-=-,，那么7a =〔〕A.8B.8-C.6D.6-【答案】A 【解析】 【分析】 由条件131533a a a a +=-=-,，结合等比数列的通项公式可得212,1,q a ==由通项公式可求答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,133a a +=，即()2113a q +=①153a a -=-，即()4113a q -=-②由÷②①得:211q -=-,即212,1q a ==.那么1n n n a a q q ==所以()36278a q q ===应选：A【点睛】此题考察求等比数列的通项公式和求数列中的项，属于根底题.110.61822⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金矩形.如图，矩形AEFD 与矩形BEFC AEFD 中取一点，那么取自矩形ABCD 的概率为〔〕B.3352【答案】A 【解析】 【分析】 设1EF=,根据题意可求出,CF AE 的长，再矩形AEFD ,ABCD 的面积即可得到答案.【详解】设1EF=，那么由条件有12CF EF =.那么12CF =，所以12AE = 故1AB =.所以矩形AEFD的面积为11122S AE EF =⨯=⨯=矩形ABCD 的面积为11=1S AB BC =⨯=⨯取自矩形ABCD的概率为P ==应选:A【点睛】此题考察几何概率问题，属于根底题.()()()1,00,12,1a b c ===,,，那么()λ-⊥a b c 的充要条件是实数λ=〔〕A.3-B.2C.2-D.3【答案】B 【解析】【分析】 先求出()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c 有()0a b c λ-⋅=，根据向量的数量积的坐标公式可求得结果.【详解】由向量()()()1,00,12,1a b c ===,, 那么()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c .那么()0a b c λ-⋅=，即()()1,2,10λ-⋅=.所以()1210λ⨯+-⨯=，故2λ=，应选：B【点睛】此题考察根据向量的垂直关系求参数，属于根底题. 6.在以下四个图象中，函数()f x xsin x π=与()g x xcos x π=的大致图像依次对应为〔〕A.①②B.①④C.③②D.③④【答案】D 【解析】 【分析】 由()f x 和()g x 的解析式得出奇偶性，再根据特殊点处的函数值，可得出答案.【详解】函数()f x xsin x π=为偶函数，所以()f x 的图像只能在①、③中选择.又3322f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，排除①，应选③；函数()g x xcos x π=为奇函数，所以()g x 的图像只能再,②、④中选择.又()11,g=-排除,②应选④，应选:D【点睛】此题考察函数的奇偶性，以及函数在特殊点处的函数值分析函数的图像，属于根底题.,x y 满足约束条件2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩，那么〔〕A.z x y =+有最小值B.z x y =+无最大值C.2zx y =+有最小值 D.2zx y =+无最大值【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件作出可行域，在对选项进展验证，可得答案.【详解】由2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩知，可行域在两相交直线的下方.z x y =+与边界限20x y +-=平行，显然有最大值，无最小值，A 、B 不正确.由于可行域不封闭，如图，2z x y =+向左、右平移始终与可行域有交点.所以2zx y =+无最大值，也无最小值.应选:D【点睛】此题考察简单的线性规划问题，属于根底题. 8.执行如下列图的程序框图，假设输入的10241n S ==，，那么输出的n 的结果是〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】 【分析】由框图可知程序是求数列(){}log 1nn -求积的运算，根据运算可求出输出的n 值.【详解】设输出的值是n m .由框图可知程序是对数列(){}log 1nn -求积.所以()()10241023111023102210.11024m lg m Slog log log m lg -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-=≤化简得()1024log 10.1m -≤，即()21log 10.110m -≤，所以()2log 11m -≤ 得3m ≤.所以当3n =时，程序退出循环，完毕，输出3n = 应选:B【点睛】此题考察程序框图中的循环构造，属于中档题.()2222:10,0x y C a b a b-=>>，左右焦点分别为12F F 、，直线2F A 与C 的一条渐近线垂直，垂足为,A 假设三角形12AF F 的面积为2.那么12AF AF ⋅=〔〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率为2可得ab =，从而有2AF =，渐近线为y x =±，即245F OA ∠=︒，在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA ==利用等面积的方法求出2c =，进一步求出1AF 与2AF 的长，得到答案.【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 由2222212c b e a a==-=，可得a b =. 所以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线为y x =±，即245F OA ∠=︒. 由条件设2AF 垂直于渐近线y x =2AF =.过点A 作AH x ⊥轴，交x 轴于点H .又在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA == 所以221122OA AF OF AH⨯⨯=⨯⨯,222OA AF cAH OF ⋅==故12AF F △面积为112222c c ⋅⋅=， 所以2c =，那么2AF ==1AH OH ==,1AF ==应选:C【点睛】此题考察双曲线的离心率和渐近线的性质，以及三角形的面积的应用，属于中档题.10.我国古代认为构成宇宙万物的根本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行〞，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，假设取出的两行为“生"的次数记为X，那么()EX 与()D X 的值分别为〔〕 A.91,10B.213,10C.55,2D.217,10【答案】C 【解析】 【分析】从五行中随机任取两行为“生〞的概率为12，那么重复取10次，所以随机变量X服从二项分布，然后用二项分布的期望和方差公式求解.【详解】设从五行中随机任取两行为“生〞的事件为,A那么()25512P A C == 依题意，随机变量X服从二项分布，有()~10,0.5X B ，故()()5 2.5,EX D X ==,应选:C【点睛】此题考察古典概率和二项分布的期望和方差的计算，属于中档题.11.如图，正方形网格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体所有的外表中面积最大的值是〔〕 A.8 B.12C.18D.22【答案】C 【解析】 【分析】由三视图，在正方体中将该几何体复原，然后再计算出面积最大的面. 【详解】由三视图可知该几何体为图中的三棱台111B FE A AD -，根据三视图可知，正方体的棱长为4，,E F 分别为111,BB B C 的中点. 侧面11111,AA B E A D FB 为全等的两个直角梯形,即面积为：424122S +=⨯=. 设11,AD A D 相交于H ,1,EF B C 相交于G ，那么,H G 分别为1,A D FE 的中点.侧面1EFD A 是等腰梯形，如图在矩形11A B CD 中，11AD A D ⊥,1AD CD ⊥所以1AD ⊥平面11A B CD ，那么1AD HG ⊥,所以梯形1EFD A 的高为HG取1A H的中点P ,那么1//PB HG ,所以1GH B P ===其面积为1(18.2⨯⨯= 该几何体所有的外表中最大的值是18. 应选:C【点睛】此题考察三视图以及几何体中面积最大的面，属于中档题.()()()f x g x h x 、、中，()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =；函数(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩；函数()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-.现给出()f x ①是偶函数；()g x ②在R 上单调递增；()h x ③无最大值；()h x ④有5个零点这四个结论，那么正确结论的编号是〔〕 A.①③ B.②③C.②④D.③④【答案】D 【解析】 【分析】由条件()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =,可得函数()f x 的图像特点,再结合()g x【详解】()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像.将()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像.将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向左平移个π单位,再将纵坐标变为为原来的12，得到3,22ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的图像， 依此类推可得()f x 的图像，如图.所以()f x 不是周期函数，所以①错误.由(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩，作出其函数图像，如图.由图显然()gx 在R 上不是单调递增函数，所以②错误.当x 大于0，且0x →时，logx π→-∞.所以当x 大于0，且0x →时()()() h x f x g x =-→+∞.所以()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-无最大值,故③正确.函数()()() ,(),hx f x g x x ππ=-∈-的零点个数,即函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上交点的个数.作出函数()y f x =与()y g x =的图像,如同由图像可知,函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上有5个交点,故④正确.应选:D【点睛】此题考察函数的图像变换,函数零点以及利用函数图像分析函数性质,属于难题. 二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕X满足2~202()0,X N σ，()20050.2P X <=，那么()20202035P X <<=_________.【解析】 【分析】 随机变量X满足2~202()0,X N σ，那么可知对于的正态分布曲线的对称轴为2021，()20050.2P X <=，那么()200520200.3P X <<=，根据正态曲线的对称性可得答案.【详解】随机变量X满足2~202()0,X N σ，那么可知对于的正态分布曲线的对称轴为2021，又()20050.2PX <=，那么()200520200.3P X <<=.20052020X <<,与20202035X <<，在正态曲线中是关于对称轴对称的.所以由正态曲线的对称性可得()()20052020202020350.3P X P X <<=<<=所以()202020350.3PX <<=.【点睛】此题考察由正态分布曲线的对称性求概率问题，属于根底题.()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中x 的系数为8，那么展开式中的常数项是__________(用数字答题)【答案】13 【解析】 【分析】由411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141rr r T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数，从而得到答案.【详解】由()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141rrr T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭由于411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的展开式中不含x 的项，∴()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项为1421axC x⋅ 所以()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数为14a C ⋅由x 的系数为148a C ⋅=，可得2a =.故展开式中的常数项是241213C +=.故答案为：13【点睛】此题考察二项式展开式中根据特定项的系数求参数，属于中档题.{}n a 满足()21n n n S a a =+，那么100S =__________.【答案】5050 【解析】 【分析】根据n a 与n S 的递推关系1111nn n an a S S n -=⎧=⎨->⎩，消去n S 得到n a 的递推关系，从而求出n a ，再求答案.【详解】由己知得: 1a =， 又()21n nn S a a =+①得()()111212n n n S a a n ---=+≥②-①②得:()()11211n n n n n a a a a a --=+-+，整理得:()()1110n n n n a a a a --+--=因为{}n a 是正项数列，所以-11n n a a -=，故()11na n n =+-=所以100110010050502S +=⨯=. 故答案为：5050【点睛】此题考察由含n a 与n S 的递推关系求通项公式，属于中档题.16.如图，半径为5的圆与边长为2x 的正方形中心重合，点E F G H 、、、都在圆周上，图中以虚线为腰、正方形的边为底的四个全等的等腰三角形分别沿各自的底折起后得到一个EFGH x 变化时得到一个体积最大的正四棱锥，那么此时的四棱锥的外接球半径为________.【答案】10【解析】 【分析】 连接OF 交AB 于I ，那么OI x =，5FI x =-，那么正四棱锥的高为h =，表示出其体积，求出体积最大时正四棱锥的各个棱长，然后再求外接球的半径.【详解】连接OF 交AB 于I ，如图，那么OI x =，5FI x =-.那么正四棱锥的高为h=依题意，此时的四棱锥体积为:令()()4552,0,2gx x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 那么()()343'2010102,g x x x x x =-=-可知当2x=时，此时()()E FGH ABCDmaxV -这时，棱锥的高为OE ==，又OB=BE ==设此时的四棱锥的外接球半径为R ，球心为O '.那么由Rt BOO '△中,OO R '=,OB =BO R '=.那么222O B OB OO ''=+,即)(222R R=+,解得10R =【点睛】此题考察空间线线、线面以及面面的位置关系，考察锥体的体积和锥体的外接球问题，属于中档题. 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 464,b asinB co A s π⎛+==⎫ ⎪⎝⎭.〔1〕求A ；〔2〕假设3,aAD DC AE EB ===,求DE 的长. 【答案】〔1〕3π；〔2〕2 【解析】【分析】(1)由464,basinB co A s π⎛+==⎫ ⎪⎝⎭结合正弦定理可得6sinAsinB sinBcos A π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭，进一步得到sin cos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理可得tanA =.(2)由正弦定理得:2b sinBsinA a ==,由条件可得3B π=,结合条件由余弦定理可得答案.【详解】〔1〕依题意，6A asinBbcos π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭由正弦定理得6sinAsinBsinBcos A π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭0B π<<.0sinB ∴≠故sincos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即122sinA cosA sinA =-即3,2sinA =即tanA =〔2〕由正弦定理a b sinA sinB =得:b sinB sinA a ==ABC 是锐角三角形，故3B π=，所以90CAB ==,3AE EB =，故AE = AD DC =,故2AD =.在ADE 中，由余弦定理可得:24122242DE =+-⨯⨯=， 故2DE =【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题. 18.如图，矩形ABCD 所在的平面与正三角形CDE 所在的平面互相垂直，F 为CE 的中点，连接AE BE 、.〔1〕证明:平面AFD ⊥平面CBE ； 〔2〕假设直线AF 与平面CDE 所成的角为045，求二面角E AC D --的余弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2 【解析】 【分析】〔1〕连接，可得ECDF ⊥，由条件可证AD EC ⊥，可得EC ⊥平面ADF ，从而可证.〔2〕取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系,直线AF与平面CDE所成的角即为45AFD ∠=︒，故AD DF =，运用向量的方法求解.【详解】〔1〕证明:连接.DF三角形CDE 为正三角形，F 为CE 的中点， 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面,CDECD =,AD CD AD ⊥⊂平面CDEAD ∴⊥平面CDEEC ⊂平面CDE .AD DF D ⋂=，AD ⊂平面,ADF FD ⊂平面ADF ，EC ∴⊥平面ADFEC ∴⊂平面CBE∴平面AFD ⊥平面CBE〔2〕取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系，如图.直线AF 与平面CDE 所成的角即为45AFD ∠=︒，故AD DF =.设2CD =， 那么5AD DF ==，)E ，()0,1,0C，(()0,0,1,0A D --，故()3,1,0CE =-，(0,CA =-设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，那么00m CE m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()()()(,,3,1,00,,0,2,0x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩即2y y ==⎪⎩ 令1x =，那么2y z ==，故1,3.()2m =.平面ABCD 的法向量为()1,0,0n =，设所求二面角E AC D --的大小为θ， 那么,m n θ=由()1,0,024m n cos m nθ⋅⋅===⋅，故二面角E AC D --的余弦值为:【点睛】此题考察面面垂直的证明和求二面角的大小，属于中档题.100名旅客进展调查统计，得知在这100名旅客中40岁(含)以下采用乘坐京广高铁出行的占34.〔1〕请完成的22⨯列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐京广高铁出行与年龄有关〞 〔2〕为优化效劳质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法随机抽取5人免费到参加座谈会，会后再进展抽奖活动，奖品一共三份.由于年龄差异，规定40岁(含)以下的旅客假设中奖每人得800元，40岁以上的旅客假设中奖每人得1000元，这两个年龄段的得奖人数分别记为M 与N .设旅客抽奖所得的总金额为X元，求X的分布列与数学期望()EX .参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.n a b c d =+++参考数据如表【答案】〔1〕表格见解析，有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关〞；〔2〕分布列见解析，()2640EX =【解析】 【分析】〔1〕根据条件及22⨯列联表中数据，完善22⨯列联表，再计算出()21004530151024.2460405545k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，得到结论. 〔2〕采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下〞的人中抽取3人，从“40岁以上〞的人中抽取2人，X 的可能取值为:240026002800，，,求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望. 【详解】〔1〕由可得，40岁〔含〕以下采用乘坐京广高铁出行的有360454⨯=人 22⨯列联表如表:由列联表中的数据计算可得2K 的观测值由于24.2410.828>，故有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关〞. 〔2〕采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下〞的人中抽取3人， 从“40岁以上〞的人中抽取2人，由30M N =⎧⎨=⎩或者21M N =⎧⎨=⎩或者12M N =⎧⎨=⎩X的可能取值为:240026002800，，故分布列如表:数学期望()2400260028002640101010EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察HY 性检验和离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F 、右顶点为,A 过右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆相交于B C 、两点，所得四边形1ABF C 为菱形，且其面积为323. 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于D E 、两点，试求三角形2DEF 面积的最大值.【答案】〔1〕22198x y ；〔2〕163【解析】 【分析】(1)由椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，可得B 的纵坐标为2B b y a=，四边形1ABF C 的面积为()2132223b ac a +⨯⋅=，结合,,a b c 的关系求解出,a b ，即可得到得答案.(2)设()()1122,,,D x y E x y ，设直线l 的方程为:1,x ky =-由直线方程与椭圆方程联立，得到12,y y +12y y 的表达式，求出三角形2DEF 面积的表达式，再求其最大值.【详解】〔1〕如图，因椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，即2c a c =-，即3a c =①令x c =，得点B 的纵坐标为2B by a=由四边形1ABF C 的面积为323故()2132223b ac a +⨯⋅= 即28b =②又222c a b =-③联立①②③得:2298a b ⎧=⎨=⎩故椭圆方程为22198x y〔2〕由()1知:()1121,02,F F F -=，设直线l 的方程为:1,x ky =- 假设()()1122,,,Dx y E x y .由221981,x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得:()229118ky y -+=即()228916640ky ky +--=由()()()2216489640k k =--+->得:210k +>，故k ∈R .(1,)t t =≥那么()2224848481818198DEF t t St t t t===+-++设()()181f t t t t =+≥由()21'80f t t =->可知:()()181f t t t t =+≥单调递增，故()2max163DEF S = 【点睛】此题考察求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，考察三角形的面积的最值，属于中档题. 21.()sin 1( ()x f x sinx e x e ππ=+--<<函数为自然对数的底数).〔1〕求()f x 的单调递增区间与最小值；〔2〕设()12gx sinx x =-，证明:在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤. 【答案】〔1〕,02π⎛⎫-⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2f x e =-最小值；〔2〕见解析【解析】【分析】(1)由()()sin sin 'cos cos 1x x f x cosx e x x e =-⋅=-，令()0,f x '=得出解，再用表格得出()f x '与()f x 变化关系,得到单调性，从而得到最小值.(2)要证()()f x g x ≤即证sin 112x sinx e sinx x +-≤-，设()sinx 112g x x e =+-，求出()g x '，得到()g x 的单调性，从而证明结论.【详解】〔1〕()()sin sin 'cos cos 1x x f x cosx e x x e =-⋅=- 令()0,f x '=那么()sin 10x cosx e -=即0,cosx=或者sin 10x e -= 当(),x ππ∈-时，2x π=-或者0x =，或者2x π= ()()f x f x '、随(),x ππ∈-变化如下:所以，()f x 的单调递增区间为,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()12f x e f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，或者()22f x e f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值 因为12e e ->- 故()2,f x e =-最小值〔2〕要证()()f x g x ≤即证sin 112x sinx e sinx x +-≤-，即证sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. [方法一]令()sinx 112g x x e =+-，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()sinx 112g x x e =+-在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 即sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤ [方法二]只需证sinx 112e x ≥+在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立 因1t e t ≥+为恒成立，即sin 1 xe sin x ≥+恒成立， 故需证1112sinx x +≥+上成立， 即证 20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 令()2,h x sinx x =-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()h x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 即20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立， 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤. 【点睛】此题考察利用导数求函数的单调区间和最小值以及利用导数证明不等式，属于中档题.22.*,n N ∈在直角坐标系xOy 中，曲线n C 的参数方程为2x nt y nt⎧=⎨=⎩(t 为参数)，直线n l 的普通方程为40309x y n+-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 〔1〕当1n =时，求曲线1C 的极坐标方程； 〔2〕设射线000(,)':0903l tan θθθθ=<<=与,n n C l 分别交于n n A B 、两点，设(),n n n ON f OB =+求()f n 的最小值.【答案】〔1〕2sin cos ρθθ=；〔2〕9【解析】【分析】(1)先求出曲线n C 的普通方程为2y nx =，再化为极坐标方程2sin cos n ρθθ=，将1n =代入即可.(2)将射线'l 与,n n C l 的极坐标方程分别联立，得到n OB =，n OA =，那么()4f n n n ⎫=+⎪⎝⎭，再求其最值. 【详解】〔1〕曲线n C 的普通方程为2y nx = 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()2sin sin n ρθρθ=，即2sin cos n ρθθ= 1n =时，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ= 〔2〕由题意可得：000tan 3sin θθθ=⇒==直线n l 的极坐标方程为40sin 3sin 9n ρθρθ+=， 可得()409cos 3sin n ρθθ=+故4099310n OB n n ==+⎪⎭同理，2cos sin n n OA θθ===故()4f n n n ⎫=+≥⎪⎝⎭当且仅当2n =时，()f n的最小值为9【点睛】此题考察参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标下极径的几何意义的运用，属于中档题.。

2021年高三下学期普通高考测试（二）数学理试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，集合，则（）．A．B．C．D．2．已知是复数，是虚数单位，若，则=（）．A．B．C．D．3．随机变量服从正态分布，若，则的值为（）．A．B．C．3 D．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（）．A．B．C．D．5．在右图所示的程序框图中，输出的和的值分别为（）．A．3,21 B．3,22 C．4,21 D．4,226．设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图像，则=（）．A．3 B．2 C．1 D．07．若平面向量与的夹角是，且，则的坐标为（）．A．B．C．D．8．对于任意正整数，定义“”如下：当是偶数时，；当是偶数时，；且有．则如下四个命题：①；②；③的个位数是；④的个位数是．其中正确的命题有（）．A．个B．个C．个D．个二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9．曲线在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线的离心率是．11．_______________．12．某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师最多是名．13．已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，，则集合的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角是．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形中，，，，点．分别在．上，且，若，则的长是．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数（1）求函数在区间上的值域（2）记内角的对应边分别为，若，且，求的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的22列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，0⊥，⊥，==平面DCDCPD．AD=，且//ADAB1BCD452CDABCD=AB,,∠（1）若点M是PD的中点，证明：;（2）若得面积为，求二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）数列的前项和记为，对任意正整数，均有，且．求及数列的通项公式；令，求数列的前n项和．20．（本小题满分14分）已知曲线E上的任一点到点和点的距离之和为4．（1）求曲线E的方程；（2）已知点，设直线与曲线E交于B．D两点（B在第一象限），求四边形ABCD面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数为实数，．（1）若，且函数的值域为，求；（2）设，，且函数为偶函数．证明：；（3）设的导函数是当时，证明：对任意实数，．24900 6144 慄21944 55B8 喸34192 8590 薐37318 91C6 釆23645 5C5D 屝40612 9EA4 麤a22390 5776 坶|lvk/22752 58E0 壠。

1. 答案：B解析：根据三角函数的定义，sin30° = 1/2，故选B。

2. 答案：A解析：由二次函数的性质可知，当a>0时，函数开口向上，故选A。

3. 答案：C解析：由指数函数的性质可知，当x增大时，f(x)增大，故选C。

4. 答案：D解析：根据向量的坐标表示，a = (2, -3)，b = (4, 6)，则a·b = 2×4 + (-3)×6 = -6，故选D。

5. 答案：B解析：由复数的乘法法则，(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i，故选B。

6. 答案：C解析：由数列的通项公式可知，an = 3n - 2，故选C。

7. 答案：A解析：由对数函数的性质可知，当底数大于1时，对数函数是增函数，故选A。

8. 答案：D解析：由空间几何的性质可知，若两条直线相交，则它们的夹角为0°，故选D。

9. 答案：B解析：由排列组合的性质可知，从n个不同元素中取出m个元素的排列数为A(n, m)，故选B。

10. 答案：C解析：由二项式定理可知，(a+b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + ... + C(n, n)b^n，故选C。

1. 答案：-1/2解析：由三角函数的定义，cos(π/3) = 1/2，故cos(π - π/3) = -cos(π/3) = -1/2。

2. 答案：-8解析：由二次函数的性质可知，对称轴为x = -b/2a，故对称轴为x = -2/(-4) = 1/2。

将x = 1/2代入二次函数，得y = -8。

3. 答案：3解析：由指数函数的性质可知，a^b = c，则a = c^(1/b)，故a = 27^(1/3) = 3。

4. 答案：-1解析：由向量的坐标表示，a = (2, -3)，b = (4, 6)，则a·b = 2×4 + (-3)×6 = -6，故|a|·|b|·cosθ = -6，又|a| = √(2^2 + (-3)^2) = √13，|b| = √(4^2 + 6^2) = √52，故cosθ = -6 / (√13 × √52) = -1。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(-1)$的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 22. 下列函数中，奇函数是（）A. $f(x) = x^2 + 1$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = |x|$D. $f(x) = e^x$3. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则$a_6 + a_7 + a_8$的值为（）A. 123B. 127C. 129D. 1314. 若$\triangle ABC$中，$a=5$，$b=6$，$c=7$，则$\sin A$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{6}$D. $\frac{6}{7}$5. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意的实数$x$，$x^2 + 1 \geq 0$恒成立B. 函数$y = x^2$在$x=0$处有极大值C. 数列$\{a_n\}$中，$a_{n+1} = 2a_n$，则$\{a_n\}$是等差数列D. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$6. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$|z+3i| = |z-2i|$，则$a$的值为（）A. -2B. 2C. -1D. 17. 函数$y = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$的图像与$x$轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，则数列$\{a_n\}$是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 指数数列D. 对数数列9. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围是（）A. $[-1, 1]$B. $(-1, 1)$C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$D. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$10. 若$|a+b| = |a-b|$，则下列选项中正确的是（）A. $a+b=0$B. $a-b=0$C. $a=0$D. $b=0$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把所选项前的字母填在答题卡上。

）1. 若复数z满足方程|z-1|=|z+i|，则复数z在复平面内的对应点一定在（）A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心是（）A. (0, 0)B. (1, -2)C. (0, -2)D. (1, 0)3. 在等差数列{an}中，若a1 + a7 = 12，a2 + a6 = 14，则数列{an}的公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个不同的交点，且a ≠ 0，则以下结论正确的是（）A. a > 0B. a < 0C. b > 0D. b < 05. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 - c^2 = 2abcosC，则角C的大小是（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°6. 下列命题中正确的是（）A. 若集合A⊆B，则集合A与集合B的交集是集合AB. 若集合A∩B=∅，则集合A与集合B的并集是空集C. 若集合A⊆B，则集合B的补集是集合A的补集D. 若集合A∪B=U，则集合A与集合B的交集是空集7. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n是（）A. (3^n - 1)^2 / 4B. (3^n - 1)^2 / 2C. (3^n - 1)^2 / 8D. (3^n - 1)^2 / 48. 下列函数中，是偶函数的是（）A. y = x^3 - xB. y = x^2 + 1C. y = |x|D. y = x^2 - 2x9. 若直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，则直线l的斜率k是（）A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/210. 已知函数f(x) = log_2(x+1) - log_2(x-1)，则f(x)的定义域是（）A. (1, +∞)B. (-1, 1)C. (-1, +∞)D. (-∞, 1)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。