正弦函数、余弦函数的性质14

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。

它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。

5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。

5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。

三角函数的性质知识点总结三角函数是数学中重要的一部分，主要涉及到正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在数学、物理、工程等学科中都有广泛的应用。

本文将对三角函数的性质进行总结，包括周期性、对称性、函数值范围等方面的内容。

一、正弦函数的性质1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即sin(x+2π) = sin(x)，其中x表示角度。

2. 对称性：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。

3. 函数值范围：正弦函数的函数值范围在[-1, 1]之间。

二、余弦函数的性质1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，即cos(x+2π) = cos(x)。

2. 对称性：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。

3. 函数值范围：余弦函数的函数值范围同样在[-1, 1]之间。

三、正切函数的性质1. 周期性：正切函数的周期是π，即tan(x+π) = tan(x)，其中x表示角度。

2. 对称性：正切函数关于原点对称，即tan(-x) = -tan(x)。

3. 函数值范围：正切函数的函数值范围是整个实数集。

1. 正弦函数和余弦函数的特殊角度值如下： sin(0) = 0, cos(0) = 1；sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2；sin(π/4) = √2/2, cos(π/4) = √2/2；sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2；sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0；2. 正切函数的特殊角度值如下：tan(0) = 0；tan(π/4) = 1；tan(π/3) = √3；tan(π/2) 没有定义。

五、三角函数的基本关系1. 正切函数与正弦函数和余弦函数的关系： tan(x) = sin(x) / cos(x)。

2. 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。

1. 正弦函数和余弦函数的图像是波形振动，具有周期性和对称性。

三角函数基本性质三角函数是数学中常见的函数类型，它们在解决几何、物理和工程问题中起到了重要的作用。

本文将介绍三角函数的基本性质，包括定义域、值域、周期性等。

1. 正弦函数（sin）的基本性质：正弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。

其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于y轴对称。

正弦函数是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。

在定义域内，正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。

2. 余弦函数（cos）的基本性质：余弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。

其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于x轴对称。

余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。

在定义域内，余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。

3. 正切函数（tan）的基本性质：正切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，正切函数有无穷多个极值点。

其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。

正切函数的值域为实数集R。

4. 余切函数（cot）的基本性质：余切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，余切函数有无穷多个极值点。

其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。

余切函数的值域为实数集R。

5. 正割函数（sec）的基本性质：正割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。

其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。

注意到正割函数与余弦函数的关系，即sec(x) = 1/cos(x)。

6. 余割函数（csc）的基本性质：余割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。

其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。

注意到余割函数与正弦函数的关系，即csc(x) = 1/sin(x)。

三角函数的基本性质对于解决几何、物理和工程问题至关重要。

在解决角度、周期性、波动等问题时，我们可以利用这些性质计算和推导。

三角函数还与复数、级数等数学概念有着广泛的联系，为更深入的数学研究提供了基础。

第14讲正、余弦函数图象与性质一．学习目标：1.了解正弦函数、余弦函数的图象.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．2.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.会求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期性及奇偶性．4..掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.5.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．二．重点难点：重点：三角函数的图象与性质．难点：①三角函数的单调区间．②五点法画图．③三角函数性质的应用．三．知识梳理：1．正弦曲线、余弦曲线图象：2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．4．函数的周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个______________，使得当x 取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__________________．（3）函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sinωx或y＝A tanωx，而偶函数一般可化为y＝A cosωx＋b的形式．5.正弦函数、余弦函数的性质：题型一利用“五点法”作正、余弦函数的图象例1利用“五点法”画函数y＝－sin x＋1(0≤x≤2π)的简图．课堂练习1：利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．课堂小结：作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．题型二三角函数图象的应用例2（1）（2011年高考陕西文）方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根（2）（2011年高考全国新课标理）函数11yx=-的图像与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A．2B．4C．6D．8课堂练习2：(1)（2008年高考浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数[]3cos(),0,222x y x ππ=+∈的图象和直线12y =的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4(2)方程sin lg 0x x -=的零点个数 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）方程sin 0x x -=的零点个数（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3题型三 三角函数周期性例3 求下列函数的最小正周期： (1)y ＝2⎪⎭⎫⎝⎛-x 323sin π；(2)121sin()255y x =-（3）3tan(3)85y x ππ=-+- （4）y ＝cos(sin x )例4 （2009年高考江苏）函数y ＝Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A ＞0,ω＞0)在闭区间 ［－π,0］上的图象如图所示,则ω＝______________________.课堂练习3（2009年高考辽宁文）已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0)的图像如图所示,则ω＝____________.题型四 三角函数的奇偶性例5 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x. （4）()sin()f x x ϕ=+课堂练习4：（1）定义在R 上的函数()x f 既是偶函数，又是周期函数，若()x f 的最小正周期为π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()x x f sin =，则⎪⎭⎫⎝⎛35πf 的值为（ ） A.21- B.21 C.23- D.23（2）()x f 是以5为周期的奇函数，()3-f =4，且21cos =α，则()[]αα22sin cos 4-f =________。

正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。

正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。

正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。

2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。

3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。

2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。

正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。

2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。

3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。

就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。

正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。

数学中的三角函数正弦余弦与正切的应用在数学中，三角函数是一种基础的数学工具，常用于解决与角度和三角形相关的问题。

其中，正弦、余弦和正切是三角函数中最常见且广泛应用的三种。

它们在几何、物理、工程等领域中起到了重要的作用。

本文将介绍三角函数正弦、余弦和正切的定义、性质以及其在各个领域中的具体应用。

一、正弦函数的定义与性质在三角函数中，正弦函数(sin)是最基本且常见的函数之一。

它的定义如下：定义1：对于任意实数x，正弦函数sin(x)的值等于以x为角度的弧所对应的直角三角形中，斜边的长度与斜边所在直角的邻边的比值。

正弦函数的性质如下：性质1：正弦函数的周期为2π（或360°）。

即sin(x+2π) = sin(x)，对于任意实数x。

性质2：正弦函数的取值范围为[-1,1]。

即-1≤ sin(x) ≤1，对于任意实数x。

正弦函数在几何、物理等领域中有许多应用。

1. 几何中的应用正弦函数在解决几何问题中起到了重要的作用，尤其是在三角形中。

其中，正弦定理是一项基于正弦函数的重要几何定理。

它可以用于计算三角形的边长或角度。

利用正弦函数，可以得到正弦定理的数学表达式如下：对于任意三角形ABC，边长分别为a, b, c，对应的角度分别为A, B, C，那么有：sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c根据这个定理，我们可以根据已知的两个边与它们夹角的关系，求解未知边长或角度。

2. 物理中的应用正弦函数在物理学中的应用非常广泛。

例如，振动和波动等现象均可以通过正弦函数进行描述和分析。

在简谐振动中，物体以正弦函数的形式来回振动。

振动的幅度、频率以及相位差等都可以通过正弦函数来表示。

在波动中，正弦函数也被广泛应用。

例如，声波、光波等均可以表示为正弦函数的形式。

通过正弦函数可以描述波的振幅、频率、波长等特征。

3. 工程中的应用正弦函数在工程领域中也有很多应用。

例如，在电工学中，交流电信号可以表示为正弦函数。

初中数学三角函数三角函数是数学中的重要概念，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在三角形的边长比例、角度关系以及周期性方面有广泛的应用。

一、正弦函数正弦函数记作sin(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，正弦函数的值等于角度对应的弧度上的纵坐标值。

正弦函数的取值范围在-1到1之间，当x为0度、180度、360度等时，sin(x)的值为0；最大值1出现在90度、270度等，最小值-1出现在-90度、-270度等。

正弦函数的图像是一条连续曲线，呈现周期性。

二、余弦函数余弦函数记作cos(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，余弦函数的值等于角度对应的弧度上的横坐标值。

余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当x为0度、360度等时，cos(x)的值为1；最大值1出现在-90度、270度等，最小值-1出现在90度、-270度等。

余弦函数的图像也是一条连续曲线，呈现周期性。

三、正切函数正切函数记作tan(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，正切函数的值等于角度对应的弧度上的纵坐标值与横坐标值的比值。

正切函数的取值范围是全体实数，但当x为90度、270度等奇数倍角时，tan(x)的值为无穷大。

正切函数的图像也是一条连续曲线，呈现周期性。

四、三角函数的性质和公式1. 基本关系式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，这是三角函数最基本的性质，称为勾股定理。

2. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)3. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]，cos(x/2) = ±√[(1 +cos(x))/2]4. 三角函数的互余关系：sin(x) = cos(90° - x)，tan(x) = 1/tan(90° - x)5. 诱导公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)，cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)五、三角函数的应用1. 三角函数可以用于计算三角形的边长比例，如正弦定理和余弦定理。