2021届四川省巴中市高三零诊考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{|2}Bx x ，则A B =（ ） A ．∅B ．()1,3-C ．()1,3D ．()2,3 【答案】D【解析】化简集合A ，根据集合的交集运算可得结果.【详解】 因为{}2230A x x x =--<{|13}x x =-<<，{|2}Bx x ， 所以AB ={|23}x x <<. 故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．若复数z 满足()25i z +=，则z =（ ）A ．5B C D ．【答案】B【解析】把给出的等式两边同时乘以12i+，然后利用复数代数形式的除法运算化简，进一步求得z ；【详解】解：由(2)5i z +=，得：55(2)5(2)22(2)(2)5i i z i i i i --====-++-，∴z ==．故选：B【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的模，属于基础题． 3．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解【详解】 因为1y a x '=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题4．已知a ，b ，c 满足23a =，ln21b =，32c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】A【解析】根据指数与对数的关系，将指数式化为对数式，最后根据对数函数的单调性判断即可；【详解】解：因为23a =，ln21b =，32c =，所以2log 3a =，21log ln 2b e ==，33log 2log 31c =<=， 因为2log y x =在定义域上单调递增，所以222log 3log log 21e >>=所以1a b >>，1c <所以a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数与对数互化以及对数函数的性质的应用，属于基础题.5．在ABC 中，1cos 2A =，3BC =，2AC =，则cos C （ ）A ．BCD 【答案】A【解析】根据余弦定理求出1AB =3cos 6C =. 【详解】由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅⋅，得2194222AB AB =+-⋅⋅⨯，即2250AB AB --=，解得1AB =+1AB =-，所以222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅⋅==. 故选：A【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题.6．已知函数()sin 2cos21f x x x =++，若函数()f x 的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心为（ ）A ．,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：将函数()sin 2cos21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，得到函数4()212144g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，令242x k πππ+=+，k Z ∈，解得28k x ππ=+，k Z ∈，故函数的对称中心为18,2k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k Z ∈可得()g x 的一个对称中心为,18π⎛⎫⎪⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．已知P 为圆()2211x y ++=上任一点，A ，B 为直线l ：3470x y +-=上的两个动点，且3AB =，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．32【答案】B 【解析】计算出圆上点到直线的最远距离为3，利用面积公式即可得解.【详解】由题意知圆()2211x y ++=的圆心为()1,0-，半径为1， 则圆心到直线的距离为2237372534----==+，所以圆上的点到直线的最大距离为213+=，所以PAB S ∆的最大值为193322⨯⨯=． 故选：B .【点睛】本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题. 8．在直角PAB △中，90P ∠=︒，4AB =，点Q 在平面PAB 内，且1PQ =，则QA QB ⋅的最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4- 【答案】C【解析】以P 为原点建立直角坐标系，两直角边分别为x 轴和y 轴，设(),0A a ，()0,B b ，得2216a b +=，设()cos ,sin Q θθ，将向量数量积的坐标运算和三角函数相结合即可得结果.【详解】由于90P ∠=︒，不妨以P 为原点建立直角坐标系，两直角边分别为x 轴和y 轴，设(),0A a ，()0,B b ，由于4AB =，则2216a b +=，因为1PQ =，P 为原点，故可设()cos ,sin Q θθ，所以()cos ,sin QA a θθ=--，()cos ,sin QB b θθ=--，所以()()cos cos sin sin 1cos sin QA QB a b a b θθθθθθ⋅=----=--()()114sin θϕθϕ=+=-+（其中ϕ为辅助角）当()sin 1θϕ+=时，QA QB ⋅最小，最小值为3-，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，适当的方式建立坐标系是解题的关键，属于中档题.9．已知1cos2sin 221cos2sin 2θθθθ-+=++，则tan θ=（ ）A ．1B ．2C ．3D 【答案】B【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.【详解】 因为1cos2sin 221cos2sin 2θθθθ-+=++， 所以222sin 2sin cos 22cos 2sin cos θθθθθθ+⋅=+⋅， 所以sin (sin cos )2cos (cos sin )θθθθθθ+=+， 所以tan 2θ=.故选：B【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.10．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p ，使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.则从不超过20的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（ ）A ．114B ．328C ．17D ．528【答案】C【解析】20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828n C ==个基本事件，利用列举法求出20以内的孪生素数包含4个基本事件，由此能求出从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率．【详解】解：依题意，20以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19共有8个，从中选两个共包含2828n C ==个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个， 其中能构成孪生素数的概率为41287p ==． 故选：C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312BCD 【答案】B【解析】先根据点到直线距离公式求得FA b =，再由513AF BF =用b 表示出FB .根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得a 与b 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a =±. 将渐近线方程化为一般式为0bx ay ±=，双曲线满足222c a b =+，过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，如下图所示:由点到直线距离公式可知22bcFA b b a ==+， 根据题意513AF BF =，则135b BF =， 设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=， 而tan b a α=，18185tan 25b AB b OA a aα===， 由正切二倍角公式可知2222tan 2tan 21tan ab a b ααα==--， 即221825b ab a a b=-，化简可得2249a b =， 由双曲线离心率公式可知22131319c b e a a==+== 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.12．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()ff x 有相同的值域，则a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞ 【答案】B【解析】判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．【详解】()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞即()f x 的值域为[)21,a ++∞，函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞， 0211a ∴<+≤，解得：102-<≤a ．故选：B【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．二、填空题 13．若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为32，则展开式中3x 的系数为_________. 【答案】10-【解析】根据二项式系数和求得n ，根据二项式展开式的通项公式求得3x 的系数.【详解】 依题意2n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为32，所以232n =，即5n =. 二项式52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()5152r r r C x x --⋅⋅-()5252r r r C x -=-⋅⋅. 令523,1r r -==，所以3x 的系数为()115210C -⋅=-. 故答案为：10-【点睛】本小题主要考查二项式展开式的有关计算，属于基础题.14．若x ，y 满足约束条件1,22,1.y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩则z x y =-的最大值__________.【答案】3【解析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z x y =-得y x z =-，利用平移求出z 最大值即可．【详解】解：不等式对应的平面区域如图：由z x y =-得y x z =-，平移直线y x z =-，由平移可知当直线y x z =-，经过点C 时，直线y x z =-的截距最小，此时z 取得最大值，由110y x y =-⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩， 即()2,1C -代入z x y =-得()213z =--=，即z x y =-的最大值是3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=，23BC =4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________.【答案】32π【解析】设三角形ABC 的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，根据正弦定理求出r ，根据球的性质，得到12OO =，再根据勾股定理得到28R =，根据球的表面积公式可求得结果.【详解】如图：设三角形ABC 的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，PA 的中点为E ，连接11,,,OE OA OO AO ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1PA AO ⊥，又1OO ⊥平面ABC ，所以1//OO PA ， 因为E 为PA 的中点，所以OE PA ⊥，所以四边形1OEAO 为矩形，所以1122OO EA PA ===， 在三角形ABC 中，由正弦定理得232324sin 603BC r A ====，所以2r ，在直角三角形1OO A 中，得2221R r OO =+22228=+=，所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为2432R ππ=.故答案为：32π. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了球的性质，考查了球的表面积公式，考查了直线与平面垂直的性质定理，属于中档题.16．已知函数()x f x xe =，()x x g x e=，()ln h x x x =，现有以下四个命题： ①()()f x g x -是奇函数；②函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于原点中心对称；③对任意x ∈R ，恒有()()f x g x ≥；④函数()f x 与函数()h x 的最小值相同. 其中正确命题的序号是__________. 【答案】②③④【解析】对于①，举特值可知①不正确；对于②，通过证明函数()xf x xe =的图象上任意一点(,)P x y 关于原点对称的点(,)Q x y --都在函数()xxg x e =的图象上，且函数()xx g x e=的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数()xf x xe =的图象上，可知②正确；对于③，设()()xx x y f x g x xe e =-=-，利用导数求出最小值为0，可证不等式成立；对于④，利用导数求出两个函数的最小值，可知④正确. 【详解】对于①，设()()()x f x g x ϕ=-，因为11(1)(1)(1)(1)f g e e e eϕϕ-=---=-+≠-=-+所以()ϕx =()()f x g x -不为奇函数，故①不正确；对于②，设(,)P x y 为函数()xf x xe =的图象上任意一点，则xy xe =，所以xy xe -=-，即xxy e ---=，即点(,)Q x y --在函数()g x 的图像上， 所以函数()xf x xe =的图象上任意一点(,)P x y 关于原点对称的点(,)Q x y --都在函数()x xg x e=的图象上， 同理可知，函数()x x g x e=的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数()xf x xe=的图象上，所以函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于原点中心对称，故②正确；对于③，令()()xx x y f x g x xe e =-=-，则2()x x x x x e xe y e xe e -'=+-1x xxx e xe e -=+-1x xx x x e xe e e=-++， 因为当0x >时，e 1x >，101x e <<，0xx x xe e+>，所以0y '>，当0x <时，01x e <<，11xe>，0xx x xe e +<，所以0y '<， 所以xx x y xe e=-在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以0x =时，函数xx x y xe e=-取得最小值，最小值为0，即0y ≥，所以对任意x ∈R ，恒有()()f x g x ≥，故③正确； 对于④，因为()(1)xxxf x e xe e x '=+=+，所以当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>， 所以()f x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增， 所以当1x =-时，()f x 取得最小值，最小值为1e-， 因为()ln h x x x =，所以1()ln 1ln h x x x x x'=+⋅=+， 当10x e<<时，()0h x '<，当1x e >时，()0h x '>，所以()ln h x x x =在1(0,)e上递减，在1(,)e +∞上递增，所以当1=x e 时，()h x 取得最小值，最小值为1e-，所以函数()f x 与函数()h x 的最小值相同，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的对称性，考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设2nn n a b =，证明：222121112nb b b ++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）根据1122n nn na a ++-=1，结合等差数列的定义可证结论； （2）由（1）知，1(1)1nb n n =+-⨯=，根据21111n b n n<--(2)n ≥放大后裂项求和，可证不等式成立. 【详解】（1）因为1122n n n n a a ++-=1122112222n n n n nn n n na a a a +++-=+-=，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知，1(1)1n b n n =+-⨯=，所以2211n b n =，当2n ≥时，2211111(1)1n b n n n n n =<=---， 所以2221211111111111222231n b b b n n n++⋅⋅⋅+<+-+-++-=-<-. 【点睛】本题考查了用定义证明等差数列，考查了利用放缩法证明数列不等式，考查了裂项求和法，属于基础题.18．随着运动App 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表：（1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）；（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率； （3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）9.04千步（2）0.565（3）答案见解析，有99.9%的把握认为，健步达人与年龄有关. 【解析】（1）由260614010100146018202218260302400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯计算可得解；（2）根据频数分布表列式19.048()(60140100)400128P A -=++⨯-可求得结果； （3）根据题得22⨯列联表，计算2K ，根据临界值表可得答案. 【详解】（1）这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为260614010100146018202218260302400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=9.04千步.（2）由频率约等于概率可得19.048()(60140100)0.565400128P A -=++⨯=-. （3）根据题意可得22⨯列联表如下：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(1501505050)200200200200⨯-⨯=⨯⨯⨯100=10.828>， 所以有99.9%的把握认为，健步达人与年龄有关. 【点睛】本题考查了根据频数分布表求平均数，求频率，考查了独立性检验，属于中档题. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 分别为AC 和11B C 的中点.（1）证明：//DE 平面11ABB A ；（2）若AB BC ⊥，12AB BC AA ===，求二面角B AE D --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）55【解析】（1）本题首先可以作线段BC 中点F 并连接DF 、EF ，然后通过F 是线段BC中点、点D 为线段AC 的中点以及点E 为线段11B C 的中点证得//DF AB 、1//EF B B ，再然后根据面面平行的判定得出平面//DEF 平面11ABB A ，最后根据面面平行的性质得出//DE 平面11ABB A ；（2）本题首先可以构建空间直角坐标系，然后求出平面BAE 的法向量n 以及平面AED 的法向量m ，最后令二面角B AE D --为θ，根据cos θm n m n即可得出结果.【详解】（1）如图，作线段BC 中点F ，连接DF 、EF ，因为F 是线段BC 中点，点D 为线段AC 的中点， 所以//DF AB ，因为F 是线段BC 中点，点E 为线段11B C 的中点，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1//EF B B ， 因为DFEF F =，直线AB平面11ABB A ，直线1B B ⊂平面11ABB A ，所以平面//DEF 平面11ABB A ，因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ABB A .（2）如图，以B 为原点、BC 为x 轴、BA 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,0A ，()1,0,2E ，()1,1,0D ，()0,2,0BA =，1,0,2BE，1,1,0AD ，0,1,2DE ，设()111,,n x y z =是平面BAE 的法向量， 则00n BA n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111020y x z =⎧⎨+=⎩，令12x =，则()2,0,1n =-，5n =， 设()222,,m x y z =是平面AED 的法向量， 则00m AD m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令22x =，则()2,2,1m =，3m =令二面角B AE D --为θ， 则35cos θ535m n m n， 故结合图像易知，二面角B AE D --5.【点睛】本题考查线面平行的证明以及二面角的余弦值的求法，考查根据面面平行证明线面平行，考查根据空间向量求二面角的余弦值，能否合理的构建空间直角坐标系是解决本题的关键，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，一个焦点为().（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 的中点N 在直线1x =上.试问：线段PQ 的垂直平分线l 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）线段PQ 的垂直平分线l 过定点，定点为1(,0)2. 【解析】（1）根据离心率和焦点坐标求出2a =，22b =，可得椭圆C 的方程； （2）设0(1,)N y，则o y <<，当直线PQ 的斜率存在时，设直线:PQ 0y kx y k =+-，代入22142x y +=，根据韦达定理和中点坐标公式求出012y k =-，进一步可求出直线l 的方程为11()2y x k =--，可知经过定点1(,0)2，当直线PQ 的斜率不存在时，直线l 也经过点1(,0)2. 【详解】（1）依题意可得c =c a =，所以2a =，222422b a c =-=-=， 所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设0(1,)N y，则22o y -<<， 当直线PQ 的斜率存在时，设直线:PQ 0(1)y y k x -=-，即0y kx y k =+-，由022142y kx y kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得22200(12)4()2()40k x k y k x y k ++-+--=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则01224()12k y k x x k -+=-+，因为线段PQ 的中点N 在直线1x =上，所以024()212k y k k--=+， 显然0k ≠，所以012y k=-， 所以1(1,)2N k-， 所以直线:l 11()(1)2y x k k --=--，即11()2y x k =--， 所以直线l 经过定点1(,0)2，当直线PQ 的斜率不存在时，直线:0l y =也经过点1(,0)2，所以线段PQ 的垂直平分线l 经过定点，定点为1(,0)2.【点睛】本题考查了求椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析 【解析】（1）求出函数导数()12xf x e ax '=--，令()12xh x e ax =--，再利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解. 【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）由（1）得，当12a =，0x >时，212xx e x >++，即222122x x x x e x +->++=， 要证不等式()()21ln 1xe x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12xx x+>+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增， 又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22．在平面直角坐标系xOy 中以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，直线l的参数方程为,1.2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），其中0a >，直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若点(),0P a 满足111PM PN+=，求a 的值. 【答案】（1）2y x =；（2）14a =【解析】（1）由极坐标与直角坐标转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程； （2）点(),0P a 在直线l 上，且恰好是直线所过的定点，则可由将直线的参数方程代入2y x =，整理得2014t a -=，由根与系数的关系，将114||||PM PN +=，转化为a 的方程，即可求出a 的值． 【详解】 解：（1）曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，22sin cos ρθρθ∴=，所以曲线C 的直角坐标方程是2y x =；（2）点(),0P a 在直线l：,21.2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）上，且恰好是直线l 所过的定点，将,21.2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2y x =，整理得2014t a -=，∴12124t t t t a +==-，因为0a >，又114||||PM PN +=，令120,0t t <> 则有12114t t +=-，即21124t t t t -=-，又21t t -=4=，解得14a =或316a =-（舍去）． 【点睛】本题考查极坐标与直角方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的线段长度的问题可以大大降低计算量，属于中档题． 23．已知()13f x x x =-++.第 21 页 共 21 页 （1）若存在0x 使得()206f x m m +≤+，求m 的取值范围； （2）记0m 是（1）中m 的最大值且330a b m +=，证明02a b <+≤.【答案】（1）12m -≤≤；（2）证明见解析.【解析】（1）先求出()4f x ≥，再解不等式246m m +≤+即得解；（2）先证明0a b +>，再结合基本不等式证明2a b +≤即得证.【详解】（1）由题得()13|13|4f x x x x x =-++≥---=，所以2246,20,(2)(1)0m m m m m m +≤+∴--≤∴-+≤，所以12m -≤≤.（2）由题得332a b +=， 所以222232=()()()[()]24b a b a ab b a b a b +-+=+-+， 因为223()024ba b -+>，所以0.a b +> 222223312=()()()[()3]()[()()]()44a b a ab b a b a b ab a b a b a b a b +-+=++-≥++-+=+，(当且仅当a b =时取等)所以3()8,2a b a b +≤∴+≤.所以02a b <+≤得证.【点睛】本题主要考查利用三角绝对值不等式求最值，考查一元二次不等式的解法，考查不等式的证明和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
