北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)

北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级《应用随机过程》期末试题A 卷一、（15分）设随机过程()X t Yt Z =+，其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量，求()X t 的数学期望，协方差函数和一维概率密度函数。

二、（15分）设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）5分钟内来到的顾客数为2人的概率；（2）5分钟内到来的平均顾客数；（3）设T 为首位顾客到达的时间，计算概率()5P T >。

三、（15分）设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：11000221100022100001110033301000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（1）若初始分布为11,,0,0,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。

四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，转移概率,10,111,i i i i p p a ---==，1001,1,2,,1i i i a i a ∞-=<<==∑ 。

（1）试证明该Markov 链是不可约常返链； （2）试给出此链正常返的充要条件，并求出状态0的平均返回时间。

五、（15分）某实验室有两台机器，每台机器发生故障的概率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。

令()X t 表示t 时刻正常工作的机器数，则()X t 是一生灭过程。

（1）写出()X t 的Q 矩阵；（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。

六、（15分）设()()cos X t V at =+Θ，其中()0,2,0,1U EV DV πΘ== ，且,V Θ相互独立。

北京理工大学2011-2012学年第一学期2009级复变函数试题A 卷一、（10分）设12,z z ∈，求证：()2221212122Re z z z z z z +=++。

二、（10分）设函数()()()2222f z x axy by i cx dxy y =+++++，试确定常数,,,a b c d 的值使()f z 在复平面上处处解析。

三、（10分）求下列积分，积分路径均为逆时针方向。

1.3z z z dz e =⎰；2.3z z e dz z =⎰；3.1Re z zdz =⎰。

四、（10分）求函数()22sin 41zz z +在1z <内的孤立奇点，说明这些奇点的类型，并求出在这些点处的留数。

五、（10分）1.求()2cos f z z =在0z =处的Taylor 展式；2.求()()()112f z z z =--在环域12z <<和2z <<+∞上的Laurent 展式。

六、（10分）求下列积分。

1.20sin d a πθθ+⎰，其中1a >为常数；2.2cos 1xdx x+∞+⎰。

七、（10分）求方程4510z z -+=在1z <内根的个数。

八、（10分）求一单叶解析函数，使其将带状区域0Im z π<<映射成w 平面的单位圆盘1w <。

九、（10分）设()f z 在00z z r ->上解析，且()lim z zf z A →∞=，求证：对于任何正数0r r >，()f z 在圆C ：0z z r -=上的积分()2Cf z dz iA π=⎰。

十、（10分）设二元实函数(),u x y 在区域D 上有定义，且在D 上有22220u u u x y∂∂∆=+=∂∂，则称(),u x y 是区域D 上的调和函数。

求证：1.解析函数的实部和虚部均为调和函数； 2.设(),u x y 是单连通区域D 上的调和函数，则存在区域D 上的调和函数(),v x y ，使得()(),,u x y iv x y +在区域D 上解析；3. 设(),u x y 是区域D 上的调和函数，且不恒为常数，则(),u x y 不可能在D 的内点达到最大值或最小值。

,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷A1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；5分，共10分） （1）)(lim 22x x x x x --++∞→ （2）xx x ln 1)(cot lim +→（10分）设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .（10分）设参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求x yd d 与22d d xy, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. （10分）造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r为多少时, 可使其表面积最小? （10分）设0>x 时, 方程112=+xkx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+x x x )1(d 3 （2）⎰-+226d )cos (sin ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线px y 22=在点),2(p p 处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果A xx f x =→)(lim, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十．（10分）设01>x , )(211nn n x ax x +=+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A 答案一. （1）解：12lim)(lim 2222=-++=--++∞→+∞→xx x x xx x x x x x（2）解：)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 10xx x xx x x x x x -==+++→→→ e1)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=-+-=++<+=1|| ,/11 ,2/)1(1,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f即1=+b a , 1-=-b a解之得.1 ,0==b a三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 22=++=, 32222241)1/(2/121d d tt t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >xy, 0d d 22<x y . 因此, 方程确定的函数)(x f y =单调增加且上凸.四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r rVS π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+=x kx x f , 则32)(xk x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又+∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x (0<k ), 1)(lim -=+∞→x f x (0=k )因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时+∞=+→)(lim 0x f x , +∞=+∞→)(lim x f x故当且仅当0)(0=x f 即392=k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是Cx x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)111(616)1(6)1(d 662223253(2)⎰⎰⎰⎰-===+--202022226dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为101010d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n =八. 因p y y 22=', 故1|2=='=y py p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为)2(p x p y --=-或y px -=23.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,29(p p -, 所以所求图形的面积232316d )223(p y p y y p A pp =--=⎰-九. 0)(lim)(lim )0(0===→→x xx f x f f x x , A xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!2)()0()0()(2ξ上式当0=x 时显然成立. 证毕.十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调减少有下界的数列. 由于a x ax x nn n =⋅≥+1 故数列}{n x 有下界. 此外, 因为1)11(21)1(2121=+≤+=+n n n x a x x 故数列}{n x 单调减少. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是AaA x a x x A n n n n n +=+==∞→+∞→)(21limlim 1 解之得a A =（由极限保号性负根舍去）.,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷B1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；5分，共10分） （1）)2(lim 2x x x x -++∞→ （2）x x x +→0lim二．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 ,e 0,1sin )(x x xx x f x βα, 试根据α和β的值, 讨论)(x f 在0=x 处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三．（10分）设方程22ln arctan y x x y +=确定函数)(x f y =, 求22d d x y .四．（10分）试确定数列}{n n 中的最大项.五．（10分）设0>a , 试讨论方程ax x =ln 实根的个数. 六．计算下列积分（每小题5分，共10分） （1）⎰+xx e1d （2）⎰-+22d )e (sin 4ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导, a x f ≤|)(|, b x f ≤''|)(|,)1,0(∈c , 试证明22|)(|b a c f +≤'. 十．（10分）已知0>a , a x =1, n n x a x +=+1, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B 答案一. （1）解：122lim)2(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x（2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 20000=-===++++→→→→xx x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0=x 为第一类间断点; 当0≤α时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x 求导得22222221)/(11yx y y x x y y x x y +'+=-'+ 整理得 yx yx x y -+=d d 于是, 322222)()(2)()1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+=-'-+--'+=. 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2/1=-='xxx x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而33)/1(2<<e e因此,33为最大项.五. 解: 令ax x x f -=ln )(, 0>x . 解01)(=-='a xx f 得唯一驻点ax 1=. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以有如下结论:(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根 六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是Cx e C e e C t t dt t t dt t t t e dxx x x x+--+=+++-+=++-=+--=-=+⎰⎰⎰)11ln(21111ln 11ln )1111(12112(2) ⎰⎰⎰⎰-===+--20202222dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为1010100d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n = 八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求体积ππ342421==⎰dx x V九. 由泰勒公式21)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ 22)1)((21)1)(()()1(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ 两式相减得2122)(21)1)((21)()1()0(c f c f c f f f ξξ''--''+'=- 因此22])1[(212 |)(|21)1(|)(|21|)1(||)0(||)(|222122b a c c b a c f c f f f c f +≤+-+≤''+-''++≤'ξξ十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然, 12x x >, 假设1->n n x x , 则n n n n x x a x a x =+>+=-+11故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然, 11+<a x , 假设1+<a x n , 则111+<++<+=+a a a x a x n n故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是A a x a x A n n n n +=+==∞→+∞→lim lim 1解之得2411aA ++-=（由极限保号性负根舍去）.。

课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。

二、（10分） 设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。

三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。

(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。

四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。

(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。

五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。

六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。

七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量， （1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值； （2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。

2013——2014年《数值分析》考试习题一、（15分）设2101202a a ⎡⎤⎢⎥A =⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，123x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，331b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求出当a 满足何条件时可以对A 进行cholesky 分解（即T LL 分解，L 为非奇异下三角矩阵）（2）若a=1时利用T LL 分解对方程组Ax=b 进行求解（保留两位小数）二、（10分）求证：111a a a a a a ⎡⎤⎢⎥A =⎢⎥⎢⎥⎣⎦，只有当1122a -<< 时用Jacobi 迭代法求解方程组Ax=b 才收敛 三、（15分） （1）已知i x1 3 4 6 ()i f x-75814对其进行3次插值，并求出()2f 的值 （2）给定函数组i x0 1 2 ()i f x 1 4 15 ()'i f x6对其进行3次Hermite 插值多项式3H 并求出余项()()f x H x - 的表达式四、（15分）利用最小二乘法，求形如2y a bx =+ 的拟合i x 1 2 3 4 5 i y0.12.98.114.924.1五、（15分）（1）选择合适的数值积分方法，对210x e dx ⎰ 进行积分，使其具有2位有效数字 （2）根据（1）中选取的数值积分方法，编写Matlab 源程序代码 六、（15分）（1）构造迭代格式求解40x x e --= 的根，使其具有4位有效数字 （2）从理论上证明你所构造的迭代格式是收敛的七、（15分）对常微分方程初值问题()()'00,y f x y y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，证明其二步公式111(58)12n n n n n hy y f f f ++-=++- 是三阶精度的迭代公式，并求出该二步公式的局部截断误差主项。

课程编号：MTH17063 北京理工大学2010—2011学年第一学期2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级 学号 姓名 成绩一、(25分)设()n n M F ⨯表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间.取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈,定义()X AX XA σ=-. （1)证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换.（2）证明:对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。

（3)当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。

（4）当1402A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求()Ker σ的一组基与维数. 二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的矩阵为010440212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.求线性变换A 的Jordan 标准形。

三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量,那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。

（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和. 四、(20分）设22()V M F ⨯=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E . （1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式. （2)求V 上任意一个线性函数f 的表达式.五、（20分)证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。

北京信息科技大学2012 ~2013 学年第一学期《线性代数A 》课程期末考试试卷A课程所在学院：理学院 适用专业班级：工科48学时考试形式：(闭卷)一、完成下列各题（本题满分48分，共含8道小题，每题6分）1、求排列3154726的逆序数,并判断奇偶性。

2、设101310124D -=-，D 的（i,j ）元的代数余子式A ,ij 求313233A A A ++。

3、计算行列式1234111100,0,1,2,3,4100100i a a D a i a a =≠=其中。

4、设111123111,124111051A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,求2T A B A -。

5、120213,121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求：12+3A E -。

6、设1121212==+r r βαβααβααα=+++，，且向量组12,,,r ααα线性无关，证明：向量组12,,,r βββ组线性无关。

7、若12,t β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可由1232211,2,1174ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性表出，求t 的值 8、判断二次型12222312133924f x x x x x x x =++-+的正定性。

二、计算题（本题满分40分，共含5道小题，每题8分）1、设110011,2,101A AX X A X -⎛⎫ ⎪=-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭求。

2、求非齐次线性方程组 的通解。

3、设11021α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21201α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，32514α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，41131α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，（1）求向量组4321,,,αααα的秩；（2）求该向量组的一个最大线性无关组；（3）将其余向量用最大无关组表示。

4、已知向量1111a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一组非零向量23,,a a 使得123,,a a a 两两正交。

2012-2013学年度期末考试试卷高一数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案，请把你认为正确的答案填在答题卡上．．．．．．．．，答在试卷上的一律无效．．．．．．．．．．。

）1． 若{}9,6,3,1=P {}8,6,4,2,1=Q ，那么=⋂Q P （ C ）A.{1}B.{6}C. {1，6}D. 1，62．下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数 （ B ）A.2)(x y =B. 33x y = C. xx y 2=D.2x y =3．图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ A ）图（1） A B C D4．下列函数中有两个不同零点的是（ D ）A ．lg y x =B ．2x y =C ．2y x =D ．1y x =-5．函数()12f x x=-的定义域是（ A ） A ．[)()+∞⋃-,22,1 B ．[)+∞-,1 C ．()()+∞⋃∞-,22,D ． 1 22 -⋃+∞(，)(，)6．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，下面有三个命题：①//m n αβ⇒⊥；②//m n αβ⊥⇒；③//m n αβ⇒⊥；则真命题的个数为（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．若10x -<<，那么下列各不等式成立的是（ D ）A ．220.2x x x -<<B ．20.22x x x -<<C ．0.222x x x -<<D ．220.2x x x -<<8. 过2 3A -(，) ，2 1B (，) 两点的直线的斜率是（ C ） A ．12B ．12-C ．2-D ．29. 已知函数)31(12)(≤≤+=x x x f ，则（ B ） A ．)1(-x f =)20(22≤≤+x x B ． )1(-x f =)42(12≤≤-x x C ． )1(-x f =)20(22≤≤-x x D ． )1(-x f =)42(12≤≤+-x x10．．已知)(x f 是偶函数，当0<x 时，)1()(+=x x x f ，则当0>x 时，()f x 的值为（ A ） A ．)1(-x x B ．)1(--x x C ．)1(+x x D ．)1(+-x x第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把你认为正确的答案填在答题卡上．．．．．．．．，答在试卷上的一律无效．．．．．．．．．．。

课程编号：MTH17004北京理工大学2012-2013学年第二学期工科数学分析期末试题(A 卷)班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 直线241132--=+=-z y x 与平面062=-++z y x 的夹角=ϕ___________________. 2. 设221:x y L = ),10(≤≤x 则=⎰L xdl ________________________.3. 设),(y x f 具有连续偏导数, 曲线0),(=y x f 在其上点),(00y x 处的切线斜率,2=dxdy又,3),(00='y x f y 则='),(00y x f x ________________.4. 函数1)(-=x x f )0(π≤≤x 的以π2为周期的余弦级数的系数=5a ________________.5. 设+S 是曲面1)1(222=-++z y x )1(≥z 的上侧, L 是S 的边界曲线, 从z 轴正向看去L 是逆时针方向, 则⎰⎰⎰+=++S Ldz y xydy ydx x 22_______________________________.二. (8分)设方程组⎩⎨⎧=+=-10xv yu yv xu , 求.,y ux u ∂∂∂∂三. (9分) 将⎰⎰-+=22221x x xdy y x dx I 化成极坐标系中的累次积分, 并计算积分的值.四. (10分) 求函数x xy x z 12323-+=的极值点和极值.五. (9分) 求正数λ的值, 使得曲面λ=xyz 与曲面1222222=++cz b y a x 在某一点相切.六. (9分) 设V 是曲面221y x z --=与22y x z +=所围成的立体, 其上任一点的密度等于此点到原点的距离, 求V 关于z 轴的转动惯量.七. (9分) 求幂级数∑∞=-+-12112)1(n nn n x 的收敛域及和函数.八. (10分) 已知j x f y y x x i x f y y x y A )()8()()6(33322+++=是某二元函数),(y x u 的梯度, 其中)(x f 有连续导数, 且,1)1(=f 求)(x f , 并求).,(y x u九. (9分) 把231)(2++=x x x f 展成1-x 的幂级数, 并指出收敛域.十. (9分) 设S 是曲线)20(022≤≤⎩⎨⎧==z x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面的上侧. (1)求S 的方程; (2) 利用高斯公式计算曲面积分.)1(22⎰⎰-++=Sdxdy z ydzdx x dydz xy I十一. (8分) 设函数)(x f 在]1,1[-有定义, 在0=x 处可导, 且级数∑∞=1)1(n n f 收敛, 证明0)0(='f .。

课程编号：MTH17003 北京理工大学2013-2014学年第一学期工科数学分析期末试题(A 卷)班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________(本试卷共6页, 十一个大题. 解答题必须有解题过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 设)(x p 是多项式, 且,2)(lim 23=-∞→x x x p x ,3)(lim 0=→xx p x ，则=)(x p ____________________.2. 曲线θρcos 1-=在4πθ=处的切线斜率等于__________________.3. 已知点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点, 则_,__________=a .______________=b4. 设⎰⋅+-=102)(arctan 1)(dt t f x x x f , 则=)(x f _________________________________.5. 质量为m 的降落伞从跳伞塔下落, 所受空气阻力与速度成正比(比例系数为0>k ), 则降落伞的位移)(t y 所满足的微分方程为___________________________________. 二. (8分) 求极限 .1)1ln(lim2tan 0--+→xx ex x三. (8分) 设e xy e y=-确定函数)(x y y =, 求22,dxyd dx dy .四. (9分) 设⎰+∞∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-+082lim dx e x a x a x x xx ),0(≠a 求常数a 的值.五. (9分) 求微分方程4yx ydx dy +=的通解.六. (9分) 已知x x a x f 3sin 31cos )(-=在3π=x 处取得极值, 求a 的值, 并判断)3(πf 是极大值还是极小值.七. (9分) 求曲线x y =2与直线2-=x y 所围成平面图形的面积A, 以及此平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V .八. (9分) 求不定积分.11⎰+dx xxx九. (9分) 一圆锥形贮水池, 深3m, 直径4m, 池中盛满了水, 如果将水抽空, 求所作的功. (要求画出带有坐标系的图形)十. (12分) 设0)()()(0=-++⎰-xx dt t f x t e x f , 其中)(x f 是连续函数, 求)(x f 的表达式.十一. (8分) 设)(x f 在]1,0[上非负连续, 试证存在)1,0(∈ξ, 使得区间]1,[ξ上以)(ξf 为高的矩形面积等于区间],0[ξ上以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积.(2013-2014)工科数学分析第一学期期末试题(A 卷)解答（2014.1）一．1. x x x 3223++2.12+3． ,23- 294. x x arctan 2ln 2412+-+-ππ5． dt dyk mg dt y d m -=22二. 原式 x x x x 20tan )1ln(lim-+=→20)1ln(lim xx x x -+=→ ……………..(2分) x x x 2111lim 0--+=→ ……………..(6分) )1(21lim0x x --=→ ……………..(7分)21-= ……………..(8分)三. 0=--dx dy x y dx dy e y……………..(3分) x e ydx dy y-= ……………..(4分) 222)()1()(x e dx dy e y x e dx dy dx y d y y y ----⋅= ……………..(6分) 2)()1()(x e x e y e y x e x e y y yyy y -----⋅-= ……………..(7分) 32)(22x e e y ye xy y yy --+-= ……………..(8分)四. x x a x a x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→2lim a x axa a x x a x a --∞→-+=33])31[(lim ……………..(2分) a e 3= ……………..(3分)⎰+∞08dx ex x ⎰+∞-=08dx xe x ⎰+∞--=08xxde ……………..(4分) ⎰+∞-∞+-+-=088dx e xe x x ……………..(6分)880=-=+∞-xe ……………..(8分)83=a e 2ln =a ……………..(9分)五.31y x y dy dx += 31y x ydy dx =- ……………..(2分) )(131⎰⎰+⎰=---dy ey C ex dyy dyy……………..(4分))(ln 3ln ⎰-+=dy e y C e y y ……………..(6分) )1(3⎰+=dy yy C y ……………..(8分) 431y Cy += ……………..(9分) 六. x x a x f 3cos sin )(--=' ……………..(3分)由 0123)3(=+-='a f π 得 32=a ……………..(5分)x x a x f 3s i n 3c o s )(+-='' ……………..(7分)因为031)3(<-=''πf 故 )3(πf 是极大值 ……………..(9分)七.抛物线与直线的交点为)2,4(),1,1(- ……………..(1分)⎰--+=212])2[(dy y y A ……………..(3分)29)322(2132=-+=-y y y ……………..(5分)⎰--+=2142])2([dy y y V ππ ……………..(7分)ππ572]51)2(31[2153=-+=-y y ……………..(9分)八. 令 x x t +=1 即 112-=t x ……………..(2分) ⎰--=dt t t I 1222……………..(3分)⎰-+-=dt t )111(22 ……………..(4分) ⎰+--+-=dt t t )1211211(2 ……………..(6分)C t t t +--++-=1ln 1ln 2 ……………..(8分) C xx xx xx +-+-++++-=11ln11ln12 ……………..(9分)九. dx x gx dx x gx dx y g x dW 222)3(94)31(4-=-⋅=⋅=πμπμπμ ……..(3分)⎰-=302)3(94dx x gx w πμ ……………..(5分)⎰+-=3032)69(94dx x x x g πμ30432)41229(94x x x g +-=πμ ……………..(8分)g g ππμ30003==(J) ……………..(9分)十. ⎰⎰-+-=-xxx dt t tf dt t f x e x f 0)()()( ……………..(1分)⎰+='-xx dt t f e x f 0)()( ……………..(2分))()(x f e x f x +-=''- x e x f x f --=-'')()( ……………..(3分) 1)0(-=f 1)0(='f ……………..(5分) 012=-r 1±=r ……………..(6分) x x e C e C x f -+=21)( ……………..(7分)设 xA x e x f -=)(* ……………..(8分)代入微分方程得 1=A x xe x f -=1)(* ……………..(9分)通解为 xx x xe e C e C x f --++=21)(21 ……………..(10分) 由初值得 411-=C 432-=Cx x x xe e e x f --+--=214341)( ……………..(12分)十一. 令 ⎰-=tdx x f t t F 0)()1()( ……………..(2分)则)(t F 在]1,0[连续, 在)1,0(可导, 又 0)1()0(==F F由罗尔定理, )1,0(∈∃ξ, 使 0)(='ξF ……………..(6分)0)()1()(0=-+⎰ξξξf dx x f ……………..(7分)即 ⎰=-ξξξ0)()()1(dx x f f 得证 ……………..(8分)。

2012-2013学年第一学期《高等数学》期末考试试卷A 参考答案适用专业：生物技术、社会工作、社会保障2012年级各1班本试卷共六大题， 100分一、填空题（每题3分，共15分）1.积分⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++1122111sin dx x x x x 2 2. 设函数22xy y x z +=，则=∂∂)1,1(x z 3 ，=∂∂)1,1(xz 3 . 3. 设参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin 1(t t y t t x 确定的函数)(x f y =.则==0t dx dy 0 . 4. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 21lim 2e 5. 函数)1ln(112-+-=x x y 的定义域为 x > 1二、选择题（每题3分，共15分）1. 关于函数6323+-=x x y 的极值点和极值的结论下面正确的是（ C ）A. 0极小值点，极小值为3B. 2是极大值点，极大值为2C. 0极大值点，极大值为6D. 2是极小值点，极小值为62. 设R x x x x f ∈+-=),1)(2()('则在区间()2,0内函数)(x f 是（ D ）A. 先增后减，拐点的横坐标为1B. 先增后减，拐点的横坐标为1.5C. 先减后增，拐点的横坐标为2D. 先减后增，拐点的横坐标为2.53. 由曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积为（ C ） A 2 B 1 C 31 D 32 4.函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ A ）。

A. 必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关的条件5. 若()()11-=-x x x f ，则()=x f （B ）A.()1+x xB.)2)(1(--x xC.()1-x xD.()12-x x三、计算题（共6小题，每题8分，）1若函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰020sin 1)(023x x dt mt x x f x 在0=x 连续，求 m 的值.解： 22002303sin lim sin 1lim x mx dt mt x x xx →→=⎰ ………………………………………….….4分 3m =…………………………………………………………………………………….…...6分 由连续，则2)0(3==f m …………………………………………………………………7分 则6=m ………………………………………………………………………………………8分2.计算定积分：I=x x x d ln 51e 1⎰+. 解：I=x x x d ln 51e 1⎰+ )(ln d )ln 51(e 1x x ⎰+=................................................................2分 )ln 51(d )ln 51(51e 1x x ++=⎰.....................................................4分 []e x 1ln 512151+⨯=......................................................................6分21= ....................................................................8分3. 计算广义积分：I=⎰+∞∞-++26102x x dx 解：原积分=⎰+∞∞-++1)5(2xdx ………………………………………………………………………3分 []+∞∞-+=)5arctan(x ………………………………………………………………………4分)5arctan(lim )5arctan(lim +-+=-∞→+∞→x x x x ……………………………………………6分 πππ=--=)2(2…………………………………………………………………………8分4.计算二重积分：I=⎰⎰D dxdy y x 22 ，其中D 是由曲线2,2==x x y 所围成的闭区域.解：积分区域D ：x y x ≤≤≤≤0,20……………………………………………………………2分⎰⎰D dxdy y x22⎰⎰=x dy y x dx 02220………………………………………………………………4分 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2003231dx y x x ………………………………………………………………5分 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202731dx x ………………………………………………………………6分 20299231⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x ……………………………………………………………………7分 22732=……………………………………………………………………………8分5.已知)(x f 的一个原函数为x x sin ，计算I=⎰'dx x f x )(解：x x x x x x f cos sin )sin ()(+='=，…………………………………………………2分⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ……………………………………………………………..5分⎰-=dx x f x xf )()(………………………………………………………………..7分C x x +=cos 2……………………………………………………………………….8分6.设方程0=+-yx e e xy 所确定的隐函数为)(x f y =，求其在当0=x 时的切线方程.解 两边同时对x 求导，注意y 是x 的函数，所以y e 是x 的复合函数，可得 0=+-+dxdy e e dx dy xy y x …………………………………………3分 解得 yx e x y e dx dy +-=. ………………………………………5分 当0=x 时，0=y ………………………………………6分10==x dxdy………………………………………7分 则切线方程为y = x ………………………………………8分五、证明不等式：（本题7分）0>x 时， x e x +>1.证明：令)1()(x e x f x+-=，则0)0(=f …………………………………………2分 当0>x 时，01)(>-='xe xf …………………………………………………………………4分 则在区间),0[+∞，上)(x f 单调递增，所以0)0()(=>f x f ，…………………………………6分 即 x e x+>1 ………………………………………………………………………………7分 六、应用题（本题15分）某化肥厂生产某类化肥，假设生产的产品都能销售出去，其总成本函数为 23()1000600.30.001C x x x x =+-+ (元)销售该产品的需求函数为 x =p 320800-(吨), p 为价格，x 为销售量，问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价格为多少?解：设利润函数为)(x C xp y -=，203120x p -=………………………………………3分 则)0(100060203001.0)001.03.0601000()203120()(2332>-++-=+-+--=-=x x x x x x x x x x C xp y …………………………8分 令0='y ，即060103003.02=++-='x x y ………………………………………………12分 解得200=x 为唯一驻点，由题意即为最大值点………………………………………………14分 此时，价格90=p ………………………………………………15分。

2012-2013学年北京市某校高一（上）期末数学试卷（A ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 在0到2π范围内，与角−π3终边相同的角是（ ） A.π3 B.2π3C.4π3D.5π32. α是一个任意角，则α的终边与α+3π的终边（ ） A.关于坐标原点对称 B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y =x 对称3. 已知向量a →=(−1, 2)，b →=(1, 0)，那么向量3b →−a →的坐标是（ ） A.(−4, 2) B.(−4, −2) C.(4, 2) D.(4, −2)4. 若向量a →=(1, 3)与向量b →=(−1, λ)共线，则λ的值为（ ） A.−3 B.3C.−13D.135. 函数f(x)的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是(π2，0)，那么f(x)的解析式可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin x +1 D.cos x +16. 已知向量a →=(1,√3)，b →=(−2,2√3)，则a →、b →的夹角是（ ） A.π6 B.π4C.π3D.π27. 为了得到函数y =cos (2x −π3)的图象，只需将函数y =cos 2x 的图象（ ） A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度 C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度8. 函数y =1−2cos 2x 的最小正周期是（ ） A.π4 B.π2C.πD.2π9. 设角θ的终边经过点(3, −4)，则cos (θ+π4)的值等于（ ） A.√210B.−√210C.7√210D.−7√21010. 在矩形ABCD 中，AB =√3，BC =1，E 是CD 上一点，且AE →⋅AB →=1，则AE →⋅AC →的值为（ ）A.3B.2C.√32D.√33二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. sin 4π3=________．若cos α=−12，α∈(0,π)，则α=________．已知向量a →=(−1, 3)，b →=(−3, x)，且a →⊥b →，则x =________．已知sin α−cos α=√2，则sin 2α=________．函数y =2cos x 在区间[−π3，2π3]上的最大值为________，最小值为________．已知函数f(x)=x sin x ，对于[−π2，π2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 12>x 22；②x 1>x 2；③x 1>x 2，且x 1+x 22>0．其中能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是________．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知π2<α<π，cos α=−45．（1）求tan α的值；（2）求sin 2α+cos 2α的值．已知函数f(x)=2√3sin 2x2+sin x −√3+1．（1）求f(π3)的值；（2）求f(x)的单调递增区间；（3）作出f(x)在一个周期内的图象．如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P ′是点P 关于AB 的对称点，AB =2a(a >0)．（1）当点P 是弧AB̂上靠近B 的三等分点时，求AP →⋅AB →的值；（2）求AP →⋅OP′→的最大值和最小值．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.已知集合P ={x|−1<x <1}，M ={a}．若M ⊆P ，则a 的取值范围是________．lg 2+lg 5−lg √10=________．满足不等式2x >12的x 的取值范围是________．设f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)在(0, +∞)上是减函数，且2是函数f(x)的一个零点，则满足xf(x)>0的x 的取值范围是________．已知集合U ={1, 2, ..., n}，n ∈N ∗．设集合A 同时满足下列三个条件： ①A ⊆U ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁U A ，则2x ∉∁U A ．(1)当n =4时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可）(2)当n =7时，满足条件的集合A 的个数为________．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=1−1x 2． （1）证明函数f(x)为偶函数；（2）用函数的单调性定义证明f(x)在(0, +∞)上为增函数．设函数f(x)={(2−x)(x +4)x ≤2(2−x)(x −a)x >2．（1）求函数f(x)在区间[−2, 2]上的最大值和最小值；（2）设函数f(x)在区间[−4, 6]上的最大值为g(a)，试求g(a)的表达式．已知函数g(x)=log a x ，其中a >1．（1）当x ∈[0, 1]时，g(a x +2)>1恒成立，求a 的取值范围；（2）设m(x)是定义在[s, t]上的函数，在(s, t)内任取n −1个数x 1，x 2，…，x n−2，x n−1，设x 1<x 2<...<x n−2<x n−1，令s =x 0，t =x n ，如果存在一个常数M >0，使得∑|n i=1m(x i )−m(x i−1)|≤M 恒成立，则称函数m(x)在区间[s, t]上的具有性质P ．试判断函数f(x)=|g(x)|在区间[1a ，a 2]上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由． （注：∑|n i=1m(x i )−m(x i−1)|=|m(x 1)−m(x 0)|+|m(x 2)−m(x 1)|+⋯+|m(x n )−m(x n−1)|）参考答案与试题解析2012-2013学年北京市某校高一（上）期末数学试卷（A ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.【答案】 D【考点】 终边相同的角 【解析】利用终边相同的角的集合定理即可得出． 【解答】解：∵ −π3=−2π+5π3，∴ 在0到2π范围内，与角−π3终边相同的角是5π3．故选：D ． 2.【答案】 A【考点】 终边相同的角 【解析】直接利用角的终边所在位置关系，判断α的终边与α+3π的终边的对称关系即可． 【解答】解：因为α是一个任意角，则α的终边与α+3π的终边相差3π， 所以α的终边与α+3π的终边关于坐标原点对称． 故选A ． 3.【答案】 D【考点】平面向量的坐标运算 【解析】由已知中向量a →=(−1, 2)，b →=(1, 0)，根据数乘向量坐标运算公式及向量减法坐标运算公式，可求出向量3b →−a →的坐标． 【解答】解：∵ a →=(−1, 2)，b →=(1, 0)，∴ 向量3b →−a →=3(1, 0)−(−1, 2)=(4, −2). 故选D ． 4.【答案】 A【考点】平行向量的性质 平面向量的坐标运算【解析】由向量共线可得1×λ−3×(−1)=0，解之即可． 【解答】解：∵ 向量a →=(1, 3)与向量b →=(−1, λ)共线， ∴ 1×λ−3×(−1)=0， 解得λ=−3 故选A 5.【答案】 B【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】根据正余弦函数图象利用排除法解答． 【解答】解：A 选项：中心对称点是(kπ, 0)，k ∈Z ，故排除．B 选项：中心对称点是(π2+kπ, 0)，k ∈Z ，k =0时，即为(π2，0)，B 为正确答案．C 选项：可以将图象看做正弦函数图象向上平移1个单位，所以中心对称点是(kπ, 1)，k ∈Z ，故排除．D 选项：可以将图象看做余弦函数图象向上平移1个单位，所以中心对称点是(π2+kπ, 1)，k ∈Z ，故排除． 故选B ． 6.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据向量a →、b →的坐标，分别算出向量a →、b →的模和a →⋅b →，再用向量的夹角公式算出夹角余弦之值，结合向量夹角的取值范围和特殊角的余弦，即可得到本题答案． 【解答】解：∵ 向量a →=(1,√3)，b →=(−2,2√3)， ∴ a →⋅b →=1×(−2)+√3×2√3=4 由此可得向量a →、b →的夹角θ满足：cos θ=|a →|⋅|b →|˙=4√12+(√3)2⋅√(−2)2+(2√3)2=12∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π3 故选：C7. 【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由条件利用函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规率可得结论． 【解答】解：函数y =cos (2x −π3)=cos 2(x −π6)， 故把函数y =cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度， 可得函数y =cos (2x −π3)的图象， 故选B ． 8.【答案】 C【考点】求二倍角的余弦三角函数的周期性及其求法【解析】利用倍角的余弦公式化简三角函数解析式，可求得函数的最小正周期． 【解答】解：函数y =1−2cos 2x =−cos 2x ， ∴ 函数的最小正周期为π， 故答案是π． 9. 【答案】 C【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数 【解析】依题意，利用三角函数的概念可求得sin θ与cos θ，从而可求得cos (θ+π4)． 【解答】解：∵ 角θ的终边经过点(3, −4)，∴ sin θ=22=−45，cos θ=35， ∴ cos (θ+π4) =cos θcos π4−sin θsin π4=35×√22−(−45)×√22=7√210． 故选C ． 10.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 【解析】设DE →=λAB →，可得AE →=AD →+λAB →，代入AE →⋅AB →=1算出λ=13，从而得到AE →关于AD →、AB →表示式，再由AC →=AD →+AB →，代入AE →⋅AC →结合题中数据即可算出AE →⋅AC →的值． 【解答】解：设DE →=λDC →，即DE →=λAB →∵ AE →=AD →+DE →=AD →+λAB →∴ AE →⋅AB →=1即(AD →+λAB →)AB →=1 ∵ AD 、AB 互相垂直，可得AD →⋅AB →=0∴ (AD →+λAB →)AB →=λAB →2=3λ=1，解之得λ=13由此可得DE →=13AB →，AE →=AD →+13AB →∵ AC →=AD →+AB →∴ AE →⋅AC →=(AD →+13AB →)(AD →+AB →)=AD →2+43AD →⋅AB →+13AB →2=12+13×(√3)2=2故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 【答案】−√32【考点】运用诱导公式化简求值【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果． 【解答】 解：sin4π3=sin (π+π3)=−sin π3=−√32． 故答案为：−√32【答案】2π3【考点】余弦函数的图象 【解析】根据余弦函数的性质可求． 【解答】解：∵ y =cos x 在(0, π)上单调递减，且cos 2π3=−12，∴ α=2π3，故答案为：2π3；【答案】 −1【考点】平面向量数量积的运算 【解析】根据两个向量垂直的坐标表示建立关于x 的方程，解之即可得到实数x 的值． 【解答】解：∵ a →=(−1, 3)，b →=(−3, x)，且a →⊥b →，∴ −1×(−3)+3x =0，解之得x =−1． 故答案为：−1 【答案】 −1【考点】求二倍角的正弦 【解析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin 2α的值． 【解答】解：将sin α−cos α=√2两边平方得：(sin α−cos α)2=sin 2α−2sin αcos α+cos 2α=1−sin 2α=2， ∴ sin 2α=−1． 故答案为：−1 【答案】 2,−1【考点】三角函数的最值 余弦函数的单调性【解析】利用余弦函数的性质，即可求得函数的最值． 【解答】解：∵ x ∈[−π3，2π3]∴ cos x ∈[−12, 1]∴ x =0时，函数y =2cos x 取得最大值2；x =2π3时，函数y =2cos x 取得最小值−1故答案为：2，−1； 【答案】 ①③ 【考点】函数单调性的性质 【解析】先判断函数的奇偶性，易知是偶函数，同时再判断单调性，根据函数性质作出草图，即可得到结论． 【解答】解：由已知得f(x)是偶函数，且在区间[−π2, 0]上递减，在[0, π2]上递增， 作出函数的草图，如图所示：由图象可知，f(x 1)>f(x 2)⇔|x 1|>|x 2|，即x 12>x 22．故①符合，②不符合； 由x 1>x 2，且x 1+x 22>0，知x 1>0，若x 2>0，则显然f(x 1)>f(x 2)成立； 若x 2<0，由x 1+x 2>0，得x 1>−x 2，即|x 1|>|x 2|，有f(x 1)>f(x 2)成立，故③符合；故答案为：①③．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】解：（1）因为cos α=−45，π2<α<π，所以sin α=35，… 所以tan α=sin αcos α=−34．…（2）因为sin 2α=2sin αcos α=−2425，… cos 2α=2cos 2α−1=725，…所以sin2α+cos2α=−2425+725=−1725．…【考点】求二倍角的正弦同角三角函数间的基本关系求二倍角的余弦【解析】（1）由已知可先求sinα，然后利用tanα=sinαcosα即可求解（2）由二倍角公式可先求sin2α，cos2α，进而可求【解答】解：（1）因为cosα=−45，π2<α<π，所以sinα=35，…所以tanα=sinαcosα=−34．…（2）因为sin2α=2sinαcosα=−2425，…cos2α=2cos2α−1=725，…所以sin2α+cos2α=−2425+725=−1725．…【答案】解：（1）由已知f(π3)=2√3sin2π6+sinπ3−√3+1…=√32+√32−√3+1=1．…（2）∵f(x)=√3(1−cos x)+sin x−√3+1…=sin x−√3cos x+1=2sin(x−π3)+1．…∵函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)，…由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6．所以f(x)的单调递增区间为[2kπ−π6，2kπ+5π6](k∈Z)．…（3）列表：作出f(x)在一个周期[π3，7π3]上的图象如图所示．…【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象函数的求值正弦函数的单调性【解析】（1）把x=π3直接代入函数的解析式，求得函数的值．（2）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出它的增区间．（3）用五点法作函数y=A sin(ωx+⌀)在一个周期上的简图．【解答】解：（1）由已知f(π3)=2√3sin2π6+sinπ3−√3+1…=√32+√32−√3+1=1．…（2）∵f(x)=√3(1−cos x)+sin x−√3+1…=sin x−√3cos x+1=2sin(x−π3)+1．…∵函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)，…由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6．所以f(x)的单调递增区间为[2kπ−π6，2kπ+5π6](k∈Z)．…（3）列表：作出f(x)在一个周期[π3，7π3]上的图象如图所示．…【答案】 解：（1）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系． ∵ P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则∠BOP=π3， 点P 坐标为(12a ，√32a)． 又点A 坐标是(−a, 0)，点B 坐标是(a, 0)， ∴ AP →=(32a,√32a)，AB →=(2a,0)，∴ AP →⋅AB →=3a 2．（2）设∠POB =θ，θ∈[0, 2π)，则P(a cos θ, a sin θ)， P ′(a cos θ, −a sin θ)，∴ AP →=(a cos θ+a,a sin θ)，OP′→=(a cos θ,−a sin θ)．∴ AP →⋅OP′→=a 2cos 2θ+a 2cos θ−a 2sin 2θ=a 2(2cos 2θ+cos θ−1) =2a 2(cos 2θ+12cos θ+116)−98a 2=2a 2(cos θ+14)2−98a 2．当cos θ=−14时，AP →⋅OP′→有最小值−98a 2， 当cos θ=1时，AP →⋅OP′→有最大值2a 2． 【考点】平面向量数量积的运算圆的参数方程【解析】（1）由已知先求出点P 的坐标，再利用数量积即可求出；（2）设∠POB =θ，θ∈[0, 2π)，写出点p 与P′的坐标，求出AP →⋅AP ′→的表达式，再利用二次函数和余弦函数的单调性即可求出其最值．【解答】 解：（1）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系． ∵ P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则∠BOP =π3，点P 坐标为(12a ，√32a)． 又点A 坐标是(−a, 0)，点B 坐标是(a, 0)， ∴ AP →=(32a,√32a)，AB →=(2a,0)，∴ AP →⋅AB →=3a 2．（2）设∠POB =θ，θ∈[0, 2π)，则P(a cos θ, a sin θ)， P ′(a cos θ, −a sin θ)，∴ AP →=(a cos θ+a,a sin θ)，OP′→=(a cos θ,−a sin θ)．∴ AP →⋅OP′→=a 2cos 2θ+a 2cos θ−a 2sin 2θ=a 2(2cos 2θ+cos θ−1) =2a 2(cos 2θ+12cos θ+116)−98a 2=2a 2(cos θ+14)2−98a 2．当cos θ=−14时，AP →⋅OP′→有最小值−98a 2， 当cos θ=1时，AP →⋅OP′→有最大值2a 2．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 【答案】{a|−1<a <1} 【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】M是P的子集，元素a∈P，∴−1<a<1【解答】解：∵M⊆P，∴−1<a<1，故答案为{a|−1<a<1}；【答案】12【考点】对数的运算性质【解析】利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=√10=lg√10=12lg10=12．故答案为：12．【答案】{x|x>−1}【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】利用指数函数y=2x在R是单调递增即可求出．【解答】解：不等式2x>12可化为2x>2−1，根据指数函数y=2x在R是单调递增，∴x>−1．因此x的取值范围是{x|x>−1}．故答案为{x|x>−1}．【答案】(−2, 0)∪(0, 2)【考点】函数的零点奇偶性与单调性的综合【解析】利用已知函数当x>0时的单调性和奇函数的对称性画出图象即可解出．【解答】解：由f(x)在(0, +∞)上是减函数，且2是函数f(x)的一个零点，可以画出图象，已知f(x)是定义在R上的奇函数，因此其图象关于原点对称，且f(0)=0，据此画出图象．①当x>0时，∵xf(x)>0，∴f(x)>0，因此0<x<2；②当x<0时，∵xf(x)>0，∴f(x)<0，因此−2<x<0．综上可知：满足xf(x)>0的x的取值范围是(−2, 0)∪(0, 2)．故答案为(−2, 0)∪(0, 2)．【答案】{2}，或{1, 4}，或{2, 3}，或{1, 3, 4}；16.【考点】补集及其运算【解析】（1）n=4时，集合U={1, 2, 3, 4}，1，4必须同属于A，此时2属于A的补集；或1，4必须同属于A的补集，此时2属于A；而对元素3与集合A的关系没有限制，此时满足条件的集合有22=4个，列举可得答案．（2）n=7时，集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，1，4必须同属于A，此时2属于A的补集；或1，4必须同属于A 的补集，此时2属于A；3属于A时，6属于A的补集；3属于A的补集时，6属于A；而元素5，7没有限制．此时满足条件的集合有24=16个．【解答】解：（1）n=4时，集合U={1, 2, 3, 4}，由①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈C U A，则2x∉C U A．当1∈A，则2∉A，即2∈C U A，则4∉C U A，即4∈A，但元素3与集合A的关系不确定,故A={1, 4}，或A={1, 3, 4},当2∈A，则4∉A，1∉A，但元素3与集合A的关系不确定,故A={2}，或A={2, 3}.（2）n=7时，集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，由①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈C U A，则2x∉C U A．1，4必须同属于A，此时2属于A的补集；或1，4必须同属于A的补集，此时2属于A；3属于A时，6属于A的补集；3属于A的补集时，6属于A；而元素5，7没有限制,故满足条件的集合A共有：24=16个.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】证明：（1）由已知，函数f(x)的定义域为D={x∈R|x≠0}．设x∈D，则−x∈D，f(−x)=1−1(−x)2=1−1x2=f(x)．所以函数f(x)为偶函数．（2）设x1，x2是(0, +∞)上的两个任意实数，且x1<x2，则△x=x2−x1>0，△y=f(x2)−f(x1)=1−1x22−(1−1x12)=1x12−1x22=x22−x12x12x22=(x2−x1)(x2+x1)x12x22．因为0<x1<x2，所以x2+x1>0，x2−x1>0，所以△y>0，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】（1）利用偶函数的定义即可证明；（2）设0<x1<x2，根据增函数的定义只需通过作差证明f(x2)>f(x1)；【解答】证明：（1）由已知，函数f(x)的定义域为D={x∈R|x≠0}．设x∈D，则−x∈D，f(−x)=1−1(−x)2=1−1x2=f(x)．所以函数f(x)为偶函数．（2）设x1，x2是(0, +∞)上的两个任意实数，且x1<x2，则△x=x2−x1>0，△y=f(x2)−f(x1)=1−1x22−(1−1x12)=1x12−1x22=x22−x12x12x22=(x2−x1)(x2+x1)x12x22．因为0<x1<x2，所以x2+x1>0，x2−x1>0，所以△y>0，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数．【答案】解：（1）在区间[−2, 2]上，f(x)=(2−x)(x+4)=−x2−2x+8．其对称轴为x=−1，且开口向下，如图，所以f(x)在区间[−2, −1]上单调递增，在区间[−1, 2]上单调递减，所以f(x)在区间[−2, 2]上的最大值为f(−1)=−(−1)2−2×(−1)+8=9，最小值为f(2)=−22−2×2+8=0．（2）当x>2时，f(x)=(2−x)(x−a)=−x2+(a+2)x−2a函数的对称轴为x=a+22，且横过定点(2, 0)．当a≤2时，f(x)在[−4, −1]上单调递增，在[−1, 6]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(−1)=9．当2<a≤8时，f(x)在[−4, −1]上单调递增，在[−1, 2]上单调递减，在[2,a+22]单调递增，在[a+22，6]上单调递减，此时f(−1)=9，f(a+22)=(a−22)2≤9，所以f(x)的最大值为9．当8<a≤10时，f(x)在[−4, −1]上单调递增，在[−1, 2]上单调递减，在[2,a+22]单调递增，在[a+22，6]上单调递减．此时f(a+22)=(a−22)2>f(−1)，所以f(x)的最大值为(a−2)24．当a>10时，f(x)在[−4, −1]上单调递增，在[−1, 2]上单调递减，在[2, 6]单调递增，此时f(6)=4(a−6)>f(−1)，所以f(x)的最大值为4(a−6)．综上，g(a)={9a≤8(a−2)248<a≤104(a−6)a>10.【考点】二次函数在闭区间上的最值函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）函数在区间[−2, 2]上的解析式一定，找出函数的对称轴，由对称轴把区间[−2, 2]分段，判出函数在两个区间上的单调性，则最大值和最小值可求；（2）函数f(x)=(2−x)(x−a)=−x2+(a+2)x−2a横过定点(2, 0)，根据a的不同取值范围对函数的对称轴所在的位置讨论，结合函数f(x)=(2−x)(x+4)=−x2−2x+8得到函数f(x)在区间[−4, 6]上的单调性．最后通过比较极值与端点处的函数值得到函数在[−4, 6]上的最大值．【解答】解：（1）在区间[−2, 2]上，f(x)=(2−x)(x+4)=−x2−2x+8．其对称轴为x=−1，且开口向下，如图，第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页所以f(x)在区间[−2, −1]上单调递增，在区间[−1, 2]上单调递减，所以f(x)在区间[−2, 2]上的最大值为f(−1)=−(−1)2−2×(−1)+8=9， 最小值为f(2)=−22−2×2+8=0．（2）当x >2时，f(x)=(2−x)(x −a)=−x 2+(a +2)x −2a 函数的对称轴为x =a+22，且横过定点(2, 0)．当a ≤2时，f(x)在[−4, −1]上单调递增，在[−1, 6]上单调递减， 所以f(x)的最大值为f(−1)=9．当2<a ≤8时，f(x)在[−4, −1]上单调递增，在[−1, 2]上单调递减， 在[2,a+22]单调递增，在[a+22，6]上单调递减，此时f(−1)=9，f(a+22)=(a−22)2≤9，所以f(x)的最大值为9．当8<a ≤10时，f(x)在[−4, −1]上单调递增，在[−1, 2]上单调递减， 在[2,a+22]单调递增，在[a+22，6]上单调递减．此时f(a+22)=(a−22)2>f(−1)，所以f(x)的最大值为(a−2)24．当a >10时，f(x)在[−4, −1]上单调递增，在[−1, 2]上单调递减，在[2, 6]单调递增，此时f(6)=4(a −6)>f(−1)，所以f(x)的最大值为4(a −6)．综上，g(a)={9a ≤8(a−2)248<a ≤104(a −6)a >10.【答案】解：（1）当x ∈[0, 1]时，g(a x +2)>1恒成立，即x ∈[0, 1]时，log a (a x +2)>1恒成立， 因为a >1，所以a x +2>a 恒成立，即a −2<a x 在区间[0, 1]上恒成立， 所以a −2<1，即a <3，所以1<a <3．即a 的取值范围是(1, 3)．（2）由已知f(x)=|log a x|，可知f(x)在[1, a 2]上单调递增，在[1a ，1]上单调递减， 对于(1a ，a 2)内的任意一个取数方法1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数k ∈{1, 2, 3, ..., n −1}，使得x k =1时， ∑|n i=1f(x i )−f(x i−1)|=[f(x 0)−f(x 1)]+[f(x 1)−f(x 2)]+⋯+[f(x k−1)−f(x k )]+[f(x k+1)−f(x k )]+[f(x k+2)−f(x k+1)]+...+[f(x n )−f(x n−1)]=f(1a )−f(1)+f(a 2)−f(1)=1+2=3．当对于任意的k ∈{0, 1, 2, 3, ..., n −1}，x k ≠1时，则存在一个实数k 使得x k <1<x k+1， 此时∑|n i=1f(x i )−f(x i−1)|=[f(x 0)−f(x 1)]+[f(x 1)−f(x 2)]+⋯+[f(x k−1)−f(x k )]+|f(x k+1)−f(x k )|+[f(x k+2)−f(x k+1)]+...+[f(x n )−f(x n−1)]=f(x 0)−f(x k )+|f(x k )−f(x k+1)|+f(x n )−f(x k+1)，(∗) 当f(x k )>f(x k+1)时，(∗)式=f(x n )+f(x 0)−2f(x k+1)<3， 当f(x k )<f(x k+1)时，(∗)式=f(x n )+f(x 0)−2f(x k )<3，当f(x k )=f(x k+1)时，(∗)式=f(x n )+f(x 0)−f(x k )−f(x k+1)<3．综上，对于(1a ，a 2)内的任意一个取数方法1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有∑|n i=1f(x i )−f(x i−1)|≤3．所以存在常数M ≥3，使∑|n i=1f(x i )−f(x i−1)|≤M 恒成立， 所以函数f(x)在区间[1a ，a 2]上具有性质P ．此时M 的最小值为3． 【考点】函数恒成立问题函数与方程的综合运用【解析】（1）当x ∈[0, 1]时，g(a x +2)>1恒成立，可转化为a x +2>a 恒成立，进而转化为函数最值问题解决； （2）先研究函数f(x)在区间[1a ，a 2]上的单调性，然后对(1a ，a 2)内的任意一个取数方法1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，根据性质P 的定义分两种情况讨论即可：①存在某一个整数k ∈{1, 2, 3, ..., n −1}，使得x k =1时，②当对于任意的k ∈{0, 1, 2, 3, ..., n −1}，x k ≠1时；【解答】 解：（1）当x ∈[0, 1]时，g(a x +2)>1恒成立，即x ∈[0, 1]时，log a (a x +2)>1恒成立， 因为a >1，所以a x +2>a 恒成立，即a −2<a x 在区间[0, 1]上恒成立， 所以a −2<1，即a <3，所以1<a <3．即a 的取值范围是(1, 3)．（2）由已知f(x)=|log a x|，可知f(x)在[1, a 2]上单调递增，在[1a，1]上单调递减， 对于(1a ，a 2)内的任意一个取数方法1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数k ∈{1, 2, 3, ..., n −1}，使得x k =1时， ∑|n i=1f(x i )−f(x i−1)|=[f(x 0)−f(x 1)]+[f(x 1)−f(x 2)]+⋯+[f(x k−1)−f(x k )]+[f(x k+1)−f(x k )]+[f(x k+2)−f(x k+1)]+...+[f(x n )−f(x n−1)]=f(1a )−f(1)+f(a 2)−f(1)=1+2=3．当对于任意的k ∈{0, 1, 2, 3, ..., n −1}，x k ≠1时，则存在一个实数k 使得x k <1<x k+1， 此时∑|n i=1f(x i )−f(x i−1)|=[f(x 0)−f(x 1)]+[f(x 1)−f(x 2)]+⋯+[f(x k−1)−f(x k )]+|f(x k+1)−f(x k )|+[f(x k+2)−f(x k+1)]+...+[f(x n )−f(x n−1)]=f(x 0)−f(x k )+|f(x k )−f(x k+1)|+f(x n )−f(x k+1)，(∗) 当f(x k )>f(x k+1)时，(∗)式=f(x n )+f(x 0)−2f(x k+1)<3， 当f(x k )<f(x k+1)时，(∗)式=f(x n )+f(x 0)−2f(x k )<3，当f(x k )=f(x k+1)时，(∗)式=f(x n )+f(x 0)−f(x k )−f(x k+1)<3．综上，对于(1a，a 2)内的任意一个取数方法1a=x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有∑|n i=1f(x i )−f(x i−1)|≤3．所以存在常数M ≥3，使∑|n i=1f(x i )−f(x i−1)|≤M 恒成立， 所以函数f(x)在区间[1a ，a 2]上具有性质P ． 此时M 的最小值为3．。

课程编号：MTH07065 北京理工大学2012 – 2013学年第二学期计算机科学与技术专业 组合数学试题 A 卷班级 学号 姓名 成绩一. (10分) 从数集{1,2,…,15}中取3个数的子集，要求子集中没有相邻数，有多少种取法。

解法一：任选3个数有C(15,3)种方案。

两数相邻另一个分离：1,2和14,15这两个相邻数对，各对应另一不相邻数有12种选择；2,3到13,14共12种相邻数对，各对应另一不相邻数有11种选择。

三数相邻有13种选择。

286131112122315=-⨯-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛解法二：任选3个数有C(15,3)种方案。

取两个相邻数有14种选择，另一个与已取出两数不同有13种选择。

每三个相邻的数在前一步被计数了两次，需要补回一次。

286131314315=+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛解法三：先放12个0排成一排。

再在13 个空挡中放3个1，有C(13,3)种方法。

在12个0和3个1形成的排列中，数1所在的位置abc ，即得到3个不相邻的1到15中的数。

286313=⎪⎭⎫⎝⎛解法四：令3个数从小到大排列为a,b,d ，满足a+1<b ，b+1<d 。

令B=b-1,D=d-1，则a<B<D 为从1到13中的数，且无不相邻限制。

286313=⎪⎭⎫⎝⎛二. (10分) (1) 求7阶反射Gray 码1010111的前驱和后继。

(2) 在7阶反射Gray 码中，序号是1和2的码是0000000和0000001，求1010111的序号。

(1) 1010111的前驱是1010110，后继是1010101。

(2) 令b=1100101，则1010111的序号是(b)2+1=102三. (10分) 设有4堆硬币，各堆的硬币数分别是17,25,37,50。

游戏人I 和II 轮流取硬币，游戏人I 先取。

每次取硬币任选一堆，至少从该取一枚硬币，至多取走该堆的所有硬币。

当各堆硬币都取完后游戏结束，最后取硬币的人胜。