2011-2012(2)线性代数试卷A卷

全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题 课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩. 一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=( )A.EB.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( ) A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭　的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解， 下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的 二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。

滁州学院2012/2013学年度第二学期期末考试试卷答案经济管理类(本科)专业 2012级《线性代数与概率统计C 》A 卷（时间120分钟）一、选择题（每小题3分,共15分）1、若1112132122233132332a a a a a a a a a =,则212223111213313233222a a a a a a a a a =（ C ）。

(A) 2- (B) 2 (C) 4- (D) 42、1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2001P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2434B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ C ）。

(A) B AP = (B) 1B AP -= (C) B PA = (D) 1B P A -= 3、在向量组1234αααα，，，中，若123ααα，，线性相关，则（ B ）。

(A) 3α可以由12, αα线性表示 (B) 1234αααα，，，线性相关 (C)4α可以由123ααα，，线性表示 (D) 12, αα线性无关4、若线性方程组m n A x b ⨯=无解，则下列结论正确的是（ C ）。

(A) (,)()R A b R A n =< (B) (,)()R A b R A n == (C) (,)()1R A b R A =+ (D) (,)()2R A b R A =+5、设123,,X X X （）为来自总体2(X N ，） m s 的样本，则下列估计量为m 的无偏估计的是（ A ）。

(A)123(23)6X X X ++ (B)123(432)X X X ++ (C)123(433)12X X X ++ (D)123(534)15X X X ++二、填空题（每小题3分，共15分）1、已知三阶方阵A 的特征值为1,2,3， 则23A A += 720 。

2、已知()()0.4,()0.5P A P B P A B ===U ，则(|)P A B = 3/4 。

3、3个球随机放入4个盒子中，每个盒内最多只有1球的概率为 3/8 。

中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。

二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。

三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。

四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。

五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。

六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。

2012年1月(A卷解答)2011~2012学年秋季学期线性代数（B ）(A 卷)课程考试试题（解答）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1. 设,A B 都是n 阶矩阵，且它们的行列式分别为3 2 A B ==-，，则AB 2= 62 n-⨯．2．若向量组T T T123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)t ααα===线性相关，则t = 5 ．3. 设n 阶矩阵A 与B 相似，且3A E +不可逆，则B 的一个特征值为 3 -．4．设3阶矩阵A 的特征值互不相同, 若行列式||0=A , 则A 的秩为 2 ．5. 若二次型()()222212312332f x ,x ,x x t x t x =+--是正定的，那么t 取值范围为 20 t <．二、 选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．已知四阶行列式312D 201321=-，则13332A A +的值为【 C 】．（其中ijA 为行列式D 中元素a ij 的代数余子式．）(A) 2； (B) 1； (C) 0； (D) 3． 2． 设12,,,sa a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【 B 】．(A) 对于任意一组不全为0的数12,,,sk k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠，则12,,,sa a a 线性无关；(B) 若12,,,sa a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,sk k k 都有s s k a k ak a 1122,0+++=；(C) 12,,,sa a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ；(D) 若12,,,sa a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 3. 设3阶矩阵A 的特征值为123221λλλ==-=，，，对应的特征向量依次为123,,p p p ，令()123,,P =p p p ，则1-PAP =【 D 】．(A) 200020001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； (C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(D)200020001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.4. 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是其对应的齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则Ax b=的通解为【 A 】． (A)k k k k R 112212121()(,)2ααββ+++∈； (B)k k k k R 112212121()(,)2ααββ++-∈;(C)k k k k R 1122112(,)ββα++∈； (D)11!ni n i==∑10分四、（本题满分10分）设矩阵300011014A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，361123B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足B X AX +=2，求矩阵X .解答：由BX AX +=2得，(2)A E X B-=4分1100(2)021011A E -⎛⎫⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭8分1(2)X A E B -=-=100021011⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭361123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭364132⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭10分 或1003610036(2,)01111 010410122300132A E B r ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，X =364132⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭．五、（本题满分14分，第1题10分，第2题4分）1. 已知非齐次线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩ ；（1）求参数的值为何值时，方程组无解，有无穷多解，有惟一解；（2）并在有解时，求其解． 2. 设矩阵1234(,,,)αααα=A ，矩阵A的秩()3R =A ，且234,ααα=+12βαα=-+3α4α-，求方程β=Ax 的通解．解答：1. 对增广矩阵进行行初等变换，得 11011101(,)1011 0110110021A b r a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，3分 （1）21a b =≠，时，方程组无解； 4分2a ≠时，方程组有惟一解；5分21a b ==，时，方程组有无穷多解解；6分 （2）惟一解为1231121212b x a b x a b x a -⎧=+⎪-⎪-⎪=⎨-⎪-⎪=⎪-⎩8分21a b ==，时，11011011(,)1011 0110110000A b r a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为1110()10x k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分2．由()3R A =知，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含一个非零的解向量．由于234,ααα=+，则有123401(,,,)011⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭αααα，于是0111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是齐次线性方程组Ax =基础解系． 2分由12βαα=-+3α4α-，则有123411(,,,)11⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ααααβ，3分于是1111η*⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是方程β=Ax 的特解，故β=Ax 的通解为()x k k R ξη*=+∈． 4分六、（本题满分14分）已知二次型T 21221232313(,,)222(0)f x x x x Ax =ax x x bx x b =+-+>，其中f 的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12．(1) 求a ，b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解答：(1) 二次型f的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭2分设A 的特征值为iλ（1, 2, 3i =）． 由题设条件，有1232(2)1a λλλ++=++-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=-，解得1, 2a b ==．4分(2) 矩阵A 的特征多项式()21020202(3)22A E λλλλλλ--=-=--+--，所以A的特征值122λλ==，33λ=-． 7分对于122λλ==，解齐次线性方程组(2)0A E x -=，得对应的特征向量T1(2,0,1)a =， T2(0,1,0)a =．9分 对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0A+E x =，得对应的特征向量T3(1,0,2)a=-． 10分由于1a ，2a ，3a 已是正交向量组，只需将1a ，2a ，3a 单位化，由此得T155β=，T2(0,1,0)β=，T355β=．令矩阵()123055,,010055Q βββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪ ⎝，则Q 为正交矩阵．在正交变换=X QY 下，有T 200020003Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭，13分且二次型f的标准形为222123223f y y y =+-．14分七、（本题满分12分，每小题各6分）证明下列各题： 1. 若向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，那么它们的线性组合11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k kk k +++=；2. 设A 是n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，12,ηη是A的属于特征值1λ的两个线性无关的特征向量，3η是A的属于特征值2λ的特征向量，证明：123,,ηηη线性无关．证：1. 向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，则(1,2,3,4)iA b i ξ==， 2分于是，11223344112233441234() (),A k k k k k A k A k A k A k k k k b ξξξξξξξξ+++=+++=+++4分 故11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k k k k +++=． 6分 2. 令1122330k k k ηηη++=． (1)2分用A 左乘上式得1122330k A k A k A ηηη++=，由111212323,,A A A ηληηληηλη===得，1112123230k k k ληληλη++=． (2)1(1)(2)λ⨯-得3123()0k λλη-=，由12λλ≠，30η≠，知30k =，代入(1)得11220k k ηη+=，4分 再由12,ηη线性无关知，120k k ==，故123,,ηηη线性无关． 6分八、（本题满分6分）设A 为3阶实对称矩阵，且A 的秩()2R A =，已知111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求： A 的所有特征值及每一个特征第 11 页 共 11 页 11 值所对应的特征向量．解答：由111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得，111100, 001111A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则11λ=-是A 的特征值，p k k 110(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭是与之对应的特征向量， 2分21λ=是A 的特征值，p k k 210(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭是与之对应的特征向量． 4分 由()2R A =知，30λ=是A 的特征值．设与30λ=对应的特征向量为1323x p x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于A 为3阶实对称矩阵，故3p 分别与12, p p 正交，于是有121200x x x x -=⎧⎨+=⎩，则p k k 301(0)0⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭ ．6分。

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。

2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。

3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。

6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。

7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。

8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

线性代数A卷试卷+答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《线性代数》期末考试题A 题一、 填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分） 1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A =（A ）A E ； （B ）A ；（C ）n A A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。

(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。

__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。

上海海洋大学试卷诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。

承诺人签名： 日 期：考生姓名： 学号： 专业班名：一、选择题（每题4分，共20分）1．矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001110001100011的元素12a 的代数余子式值为（ ）.A. 1B. 1-C. 2D. 2-2．已知3阶矩阵A 的行列式为1，则A 2的行列式为（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 8 3．设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）.A. A 的秩小于nB. A 的秩等于1n -C. 0A =D. 线性方程组0=Ax 只有零解4．已知34⨯阶矩阵A 的列向量组线性无关，则T A 的秩为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 45. 设Ax=b 是一非齐次线性方程组，12,ηη是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A. 12ηη-是Ax=0的一个解 B.121122ηη+是Ax=b 的一个解 C. 12ηη+是Ax=0的一个解D. 122ηη-是Ax=b 的一个解二、填空题（每题4分，共20分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111B ，则AB = . 2．已知向量组)3,1,2(1-=α，)6,,4(2-=k α线性相关，则=k .3．设3阶矩阵A 的秩为2，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020001P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100Q ，则PAQ 的秩为 . 4．设3151A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的特征值为 .5．设3阶可逆方阵A 与它的伴随矩阵*A 相等，则=A . 三、计算题（共54分）1. （8分）计算行列式1234112331101205---，并求1121314122A A A A +-+。

2．（8分）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101A ，求n A .3．（8分）已知100025013A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1-A .4．（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，且X A AX +=，求X .5．（10分）求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡422222323101的秩及其列向量组的一个极大无关组，并将不属于这个极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.6．（10分）求线性方程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解.四、证明题（6分）证明：若方阵A 的行列式0 A ，则A 可逆.课程考试标准答案和评分标准一、选择题（每题4分，共20分） 1. B 2. D 3. A 4. C 5. C 二、填空题（每题4分，共20分）1． 2255-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 2． 2- .3． 2 . 4． 122,4λλ=-= . 5． 1 三、计算题（共54分）1. （8分）计算行列式1234112331101205---，并求1121314122A A A A +-+。

（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。

浙江科技学院考试试卷浙江科技学院2009-2010学年第二学期考试试卷A 卷参考答案与评分标准考试科目 线性代数A考试方式闭完成时限 2小时拟题人工程数学组审核人批准人2012年6月2日一、填空题（每小题3分，共21分1.设 ． 3,,0是方程的根，则x px q αβγαβγγαββγα++==2. 设可逆且则的伴随矩阵 ．A 2,A A E =A *A =3. 已知，则 .120210112001A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A =4. 设是三阶方阵, ,则 .A ||2A =*123A A --=5. n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值是A 可对角化的条件．6.设三阶方阵与对角矩阵相似，=_ A 123Λ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭||A ．7. 已知是正定矩阵，则的值满足 ．210110003a a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭a 二、选择题（每小题4分，共20分）1. 已知4阶行列式的第二行元素分别为1、2、3、4，与它们D 对应的余子式依次为4、3、2、1，则=（）．D 得分浙江科技学院考试试卷（A ）　20. (B)　-20( C ) 0.(D) 102. 在n 阶行列式中，的符号为( ) .122334(1)1n n n a a a a a - （A ） （B ） （C ）正 （D ）负1(1)n --(1)n -3.已知A ，B 均为3阶方阵，矩阵Z 满足其中E 为三阶单位矩阵，则Z =（,AZA BZB BZA AZB E -=-+）（A ）（B ）()122A B--()()11A B A B ---+（C ）（D ）条件不满足，不能确定()()11A B A B --+-4. 矩阵在( )时可改变秩.A （A ）转置 （B ）乘以不可逆矩阵　（C ）乘以可逆矩阵 （D ）初等变换5. 设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则有0AX =A 0AX =非零解的充要条件是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）r n <r n =r n ≥r n >6. 齐次线性方程组(为4阶方阵)的解空间的维数是2，则0A x=A ( ) .()R A = （A ）　4(B)　3 ( C ) 2(D) 17. 设均为阶方阵，若与相似，则以下结论错误的是( ) .B A ,n A B （A ）存在，且并有 （B ）P ||0P ≠PA BP =||||A B =（C ）与都相似于对角矩阵（D ）A B||||A E B E λλ-=-三、解答题（共52分）浙江科技学院考试试卷1.(8分)计算行列式.1234234134124123D =.2. （6分）设n 阶方阵满足，求证可逆并求其A 240,E +-=A A A E -逆．3、（8分）求向量组()()()1231,1,4,2,1,1,2,4,3,2,3,1,TTTTααα==--=--得分得分浙江科技学院考试试卷的秩及一个最大无关组．4、 （8分）设矩阵其中,X XA X A =+满足111111,.111求A X -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭一、填空题（每小题4分，共20分）1.0.2．A得分得分浙江科技学院考试试卷3.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2002202014. 1.25. 充分6 . -67. 3 1.a - 二、选择题（每小题4分，共20分）1. (C )2.（A ）3.（B ）4.（B ）5. ( A )6.（C ）7. ( C )三、解答题（共52分）1.（8分）解：....2. (3) (5)......8.. (7)1010101011111234123412121101034123412312141234123432112141012110121160321321分分分分6分分D -===------=--=--=-----2.（6分）解由,…3分+-=→-+=2140()[(2)]2A A E A E A E E 故可逆且,…6分A E -11()(2).2A E A E --=+浙江科技学院考试试卷3、（8分）解：123411311123(,,,)423102410A αααα-⎛⎫⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭….5分1131113102520252061560010002520000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故是一个最大无关组. ….8分1234123(,,,)3,,,R ααααααα=4.（8分）解 由…..3分(),XA X A X A E A =+→-=1()X A A E -=-=…..6分1111111111[111]211111111111112111--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭…..8分5.（8分）解122112212442000024420000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭行变-与原方程组同解的方程组为……………3分12323221(,x x x x x =-++为自由未知量)令 ……5分*23101,(1,0,0)T x x x η==→=→=与导出组同解的方程组为，1232322(,x x x x x =-+为自由未知量)令，23111,0,2,(2,1,0)T x x x ξ==→=-→=-又令， …………7分23120,1,2,(2,0,1)T x x x ξ==→=→=浙江科技学院考试试卷则 …8分2*12121122010.(,)001i i i k k k k k R ηηξ=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑6四、证明题（6分）。

广西工学院 2011 — 2012 学年第 二 学期期末考试线性代数A 试题（ A 卷）考试班级 相关专业 学生总数 印数 考试时间 120 分钟 考生注意：出题教师 出题组 审核人（签名）1.系别、班别、学号、姓名要填写 准确、工整。

2.考试作弊者， 本门课程成绩以零 分记，并取消补考 资格，同时给予留 校察看以上处分。

第二次作弊者，给 以勒令退学或开除 学籍处分。

装订线内 不要答题第1页（共6页）第2页（共6页）三（12分）：设矩阵2111021100210002A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12112111B ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，若AX X B =+，求矩阵X ． 四（14分）：设有向量组：1(1,1,0,1)T α=-，2(1,1,1,1)T α=--，3(1,1,1,0)T α=，4(2,0,1,2)T α=-，5(1,1,0,1)T α=-．（1）求向量组12345,,,,ααααα的秩r ；（2）求向量组12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．五（14分）：设有非齐次线性方程组12345123451234512123224x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪+-+-=⎪⎨--+-=⎪⎪-=⎩（1）求方程组的一个特解；（2）求方程组对应的齐次线性方程组（即导出组）的一个基础解系；（3）写出方程组的一般解.六（14分）：设矩阵300011011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求正交矩阵T ，使T T AT 为对角矩阵并写出对角阵． 七（6分）：设向量组1234,,,αααα线性无关,而向量组11βα=，212βαα=-，3123βααα=-+，41234βαααα=-+-，证明向量组1234,,,ββββ也线性无关.2011-2012学年第二学期线性代数A （A 卷）期末考试参考答案一．填空题（每题3分，共30分）：1、12；2、0；3、2，2211111232123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ； 4、1- ； 5、 ()R A n < ； 6、相 ；7、11 1.2213()()k k ηηηηηη=+-+- ； 8、0,8,24 ； 9、4 ，1-； 10、1 二（10分）：解：1234234134124123D =123410101010234134124123r r r r +++ 1213141111101211,2,3,4100121100321r r r r r r r ---------32424311110121,3,1000400004r r r r r r --++--160=三（12分）： 解：解法一：由AX X B =+，有()A E X B -=.∵1111011100110001A E ⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴()|A E B -=1111120111110011210111⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭342414,,111001011020001012000111r r r r r r ---⎛⎫⎪- ⎪−−−−−→⎪-⎪⎝⎭231312,,100021010032001012000111r r r r r r ---⎛⎫⎪- ⎪−−−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭从而 1()X A E B -=-21321211⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ 解法二：1111011100110001A E ⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭ ()1111100001110100|0011001000010001A E E ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭11101001011001010010001100010001-⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭11001010010001100010001100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭1000110001000110001000110010001-⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-⎪⎝⎭∴ 111000110()00110001A E --⎛⎫ ⎪-⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭ 从而 1()X A E B -=-1100011000110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭12112111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭21321211⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪⎝⎭解法三：（用伴随矩阵来求解，根据具体情况评分） 四（14分）： 解： ()123451112111101,,,,0111011021A ααααα⎛⎫⎪--⎪== ⎪⎪---⎝⎭2141,11121020220111000102r r r r -+⎛⎫ ⎪--- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 21211121010110111000102r -⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→⎪⎪⎝⎭ 1232,10110011100010100102r r r r --⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭13234341,,,310011010110010100001r r r r r r r ---⎛⎫⎪⎪−−−−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭ 142434,,10010010100010001r r r r r r --+⎛⎫ ⎪⎪−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭所以（1）12345,,,,ααααα的秩为4r =（2）1235,,,αααα为向量组12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组 且 412ααα=+五（14分）：解：(|)A A b ==111111111112111113220004--⎛⎫⎪--⎪⎪---⎪-⎝⎭213141,,2111111022221002222002222r r r r r r -----⎛⎫⎪--⎪−−−−−−→ ⎪--⎪--⎝⎭433211,,221111111011112001111000000r r r r ----⎛⎫ ⎪⎪--−−−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭1223,31000021010002001111000000r r r r ++⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-−−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭（1）方程组的同解方程组为123453 21 21x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪-+=-⎪⎪⎩，即123453 21 21x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-+-⎪⎪⎩令450x x ==，得特解 31,,1,0,022Tη*⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）方程组对应的齐次线性方程组（即导出组）的同解组为123450 0x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 分别取45(,)(1,0),(0,1)T T T x x =，得基础解系()10,0,1,1,0T η=，()10,0,1,0,1Tη=-（3）方程组的一般解为：1122x C C ηηη*=++ 12(,)C C R ∈ .六（14分）：解：（1）300011011E A λλλλ--=---- ()()2311λλ⎡⎤=---⎣⎦=(2)(3)λλλ=--特征值为10λ= 22λ= 33λ=当10λ=时，3001000011011011000E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，(0)0E A x -=即为1230 x x x =⎧⎨=-⎩取31x =得1(0,1,1)T η=-，特征向量为1111(0,1,1),0T k k k η=-≠当22λ=时，1001002011011011000E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，(2)0E A x -=即为1230 x x x =⎧⎨=⎩取31x =得2(0,1,1)T η=，特征向量为2222(0,1,1),0T k k k η=≠当33λ=时，0000103021001012000E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，(3)0E A x -=即为230 0 x x =⎧⎨=⎩取11x =得3(1,0,0)T η=，征向量为3333(1,0,0),0T k k k η=≠七（6分）：证明：设11223344k k k k ββββ+++=0 即 11212312341234()()()k k k k αααααααααα+-+-++-+-=0 亦即 12341234234344()()()k k k k k k k k k k αααα+++-++++-=0 ∵向量组1234,,,αααα线性无关∴ 12342343440()000k k k k k k k k k k +++=⎧⎪-++=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩此方程组只有零解，即12340k k k k ====. 故向量组1234,,,ββββ也线性无关.得证.。

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷）2009 — 2010学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页）一、(15分) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3142240122221043A ，求矩阵A 第四行元素余子式之和。

解44434241MMMM+++=44434241A A A A +-+-3分1111240122221043----=10分＝0 15分二、 (20分)已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 122α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=023b α与向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3122β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=6713β有相同的秩，且向量3α可由向量组321,,βββ线性表示，求参数b a ,的值。

解 由于3α可由向量组321,,βββ，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=06337122121),,,(3321b αβββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----633045502121~b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-60021102121~b 5分所以，6-=b。

且321,,βββ的秩为2。

10分所以，向量组321,,ααα的秩为2，于是028402611221|,,,|321=-=--=a aααα 15分所以，6,7-==b a。

20分三、(15分) 设n 阶方阵A 的各行元素之和为零，A 的伴随矩阵0*≠A ，求齐次线性方程组0=Ax 的通解。

解 由于0*≠A ，所以，存在代数余子式0≠ij A ，于是1)(-≥n A R ， 5分又由于A 的各行元素之和为零，所以0||=A ，因此，1)(-=n A R 。

8分 所以，0=Ax的解空间是一维的。

10分又由于A 的各行元素之和为零，则0)1,...,1,1(=TA .因此，向量T)1,...,1,1(=α是0=Ax的基础解系， 12分方程组的通解为：Rk k x∈=,α。

15分四、(20分) 已知二次型2123222132122),,(x x x ax x x x x f -++=可以经过正交变换Qyx =化成标准形232232122),,(y y x x x f +=，求数a 和正交矩阵Q 。

（答案要注明各个要点的评分标准）一. 填空题（每小题3分，共15分）1. 2-2. 222061⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3. -34. 12-5. 2b 二. 选择题（每小题3分，共15分）1. （B ）2. （B ）3. （D ）4. （A ）5. （B ）三. 计算题 （本题60分）1．解：432114321433214)4(2=f ………………………….…. (2分) = =43211432143101010102432114321431111102 ………………………….…. (6分) =440040121103211211211032111211213000110--=---=---2…….….……. (8分) 160= ………………….….……. (10分)2 解：（1）301100100121( )110 010010 012014001001001r A E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦….……. (4分)故1121012001A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭………………….….…….…（5分） （2）因为A 可逆，由AX B =，得1X A B -=121140122500113--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭……………（7分）4901113--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭………………….….…….…（10分）3. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα=11304014211032271),,,(4321A …….….….…….………（3分）~r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000010011302271 .….…….……….….…….………（6分） 故 向量组的秩为3 .….…….………（8分）321,,ααα为向量组的一个最大无关组。

.….…….………（10分）4. 解：对该齐次线性方程组的系数矩阵实行初等行变换101510151015210301270127111201270000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………….…（5分） 由于()24R A =<，基础解系含2个自由未知量 .…（7分）原方程组等价于134237527x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩，取34,x x 为自由未知量。