[推荐学习]2017_2018版高中数学第三章概率疑难规律方法学案苏教版必修3

3.3 几何概型学习目标 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一 几何概型的概念思考 往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？梳理 (1)几何概型的定义：设D 是一个可度量的区域(例如________、__________、____________等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会________；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的________________________．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(________、________、________等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． (2)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________________． ②每个基本事件出现的可能性________． 知识点二 几何概型的概率公式思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A 所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？梳理 几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.知识点三 用模拟方法估计概率 1．随机数的产生(1)计算器上产生(0,1)的随机数的函数是______函数．(2)Excel 软件产生[0,1]区间上的随机数的函数为“____________”． (3)[a ，b ]上随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝______________就可以得到[a ，b ]内的随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．2．用模拟方法估计概率的步骤：(1)把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．(2)用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数．(3)统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题．类型一几何概型的概念例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．类型二几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率． 引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率． 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．反思与感悟 若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求： (1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率．反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是________． 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 三棱锥D —ABC 的体积为V ，在其内部任取一点P ，求三棱锥P —ABC 的体积小于13V 的概率．反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为______．1．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；②从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；③在一个边长为4 cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1 cm的概率．其中，是几何概型的为________．2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为________．3．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．4．在装有5升纯净水的容器中不小心混入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是________．1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解．答案精析问题导学知识点一思考出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理线段平面图形立体图形都一样某个指定区域d中的点长度面积体积梳理(1)无限多个(2)相等知识点二思考由定义知，事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成正比，故可用区域的测度代替基本事件数．知识点三1．(1)RAND (2)RAND ( )(3)x1*(b-a)+a题型探究例1 解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．跟踪训练1 解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．例2 解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，所以P(A)＝T1TT1T2＝2 15.引申探究1．解由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝TT2T1T2＝13 15 .2．解 由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车， 故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 跟踪训练2 解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C 、D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －ra.例3 解 如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0，1)，F (1，0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFES 正方形ABCD＝724＝78. (3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π， 所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD ＝4－π4.跟踪训练349π解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π. 例4 解 如图，设三棱锥D —ABC 的底面ABC 的面积为S ，高为h ， 则V D —ABC ＝13Sh ＝V .设平面EFG 是距底面ABC 的距离为13h 的平面，则点P 落在平面EFG 与平面ABC 之间时，可以保证三棱锥P —ABC 的体积小于13V .由于三棱锥D —EFG 的底面EFG 的面积为49S ，高为23h ，因此V D —EFG ＝13×49S ·23h ＝827V ，因此所求概率P ＝V －827VV＝1927. 跟踪训练4233π解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.当堂训练 1．①③解析 ①是，因为区间[－10，10]和[－1，1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；②不是，因为区间[－10，10]内的整数只有21个，不满足无限性；③是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性)． 2.12解析 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.3.13解析 记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则P (A )＝26＝13.4.15。

第3章 概率章末复习课网络构建核心归纳1.本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和.求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A －)(事件A 与事件A －互为对立事件)求解.3.对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn求出概率.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序，做到不重不漏.要点一 随机事件的概率 1.有关事件的概念 事件 概念确定性现象在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.【例1】某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.【训练1】 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________.解析 ∵28254×1 534≈169，∴这批米内夹谷约为169石. 答案 169石要点二 古典概型及其应用古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性.另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数.这就是我们常说的列举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，保证不重不漏.【例2】 一个盒子中装有完全相同的6个小球，分别标有1～6这六个数字，现在依次随机抽出两个小球，如果： (1)抽出的小球不放回； (2)抽出的小球放回，求这两个小球的数字相邻的概率.解 对于抽出的小球放回的情形，所有基本事件的情况如下表：36－6＝30(个)，满足数字相邻的基本事件有10个，因此两个数字相邻的概率为1030＝13. (2)对于抽出的小球放回的情形，共有表中所列的36个基本事件，两个数字相邻的基本事件共有10个，因此两个数字相邻的概率为1036＝518.【训练2】 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示投掷第1颗正四面体玩具落在底面的数字，y 表示投掷第2颗正四面体玩具落在底面的数字. (1)写出试验的基本事件；(2)求事件“落在底面的数字之和大于3”的概率； (3)求事件“落在底面的数字相等”的概率. 解 (1)这个试验的基本事件列表如下：由表知共有16(2)事件“落在底面的数字之和大于3”包括以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4). 故所求概率P ＝1316.(3)事件“落在底面的数字相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4). 故所求概率P ＝416＝14.要点三 互斥事件与对立事件 1.对互斥事件与对立事件概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.(2)利用集合的观点来看，如果事件A ∩B ＝∅，则两事件是互斥的，此时A ∪B 的概率就可用概率加法公式来求，即为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；如果事件A ∩B ≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式.(3)利用集合的观点来看，如果事件A ∩B ＝∅，A ∪B ＝U ，则两事件是对立的，此时A ∪B 就是必然事件，可由P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1来求解P (A )或P (B ). 2.互斥事件概率的求法(1)若A 1，A 2，…，A n 互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和. 3.对立事件概率的求法P (Ω)＝P (A ＋A －)＝P (A )＋P (A －)＝1，由公式可得P (A )＝1－P (A －)(这里A －是A 的对立事件，Ω为必然事件).4.互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解.【例3】 将一枚均匀正方体骰子(每个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数之和为5的概率； (2)两数中至少有一个奇数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y ，点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部的概率.解 由列表法可得，将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数(m ，n )的所有等可能基本事件有36种. (1)记“两数之(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件和为5”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，所以P (A )＝436＝19.B 与“两数均为偶数”为对立事件，“两数均为偶数”包含的基本事件有(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9种，所以P (B )＝1－P (B －)＝1－936＝34.(3)记“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部”为事件C ，则需x 2＋y 2＜15，其包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，所以P (C )＝836＝29.【训练3】 投掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为________.解析 由于基本事件总数为6，故P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，从而P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13，又A 与B －互斥，故P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23. 答案 23课堂小结1. 互斥事件不一定是对立事件；但对立事件一定是互斥事件.若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)试验结果是否有限且是等可能的？ (2)试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错.。

3.3 几何概型庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.深化升华 只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例时，这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征：(1)进行一次试验相当于向一个几何体G 中取一点.(2)对G 内任意子集，事件“点取自g”的概率与g 的测度(长度、面积或体积)成正比，而与g 在G 中的位置、形状无关.如果试验中的随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示（组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应），那么事件A 的概率规定为：P(A)=的测度的测度G g . 例如，正方形内有一个内切圆，向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型，记事件“芝麻落在圆内”为A ，则P(A)=4π=正方形的面积圆的面积. 联想发散 对于几何概型，随机事件A 的概率P(A)与表示它的区域g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与区域g 的位置和形状无关；只要表示两个事件的区域有相同的测度（长度、面积或体积），不管它们的位置和形状如何，这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件出现的可能性相等.（3）几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型.辨析比较 几何概型与古典概型的区别：几何概型的基本事件总数有无限多个，古典概型的基本事件总数有有限个.四、几何概型的计算公式几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=的测度的区域试验的全部结果所构成的测度的区域构成事件D d A . 公式中的“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度”成比例.误区警示 当试验的全部结果所构成的区域面积一定时，事件A 的概率只与构成事件A 的区域面积有关，而与A 的位置和形状无关.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面（1）几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ； （4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.典题·热题知识点 几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？思路分析：包含两个间谍谈话录音的部分在30到40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间即0到32 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件. 解：记A={按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到32min 之间的时间段内按错键.P （A ）=4513032. 误区警示 此题有两个难点：一是等可能性的判断；二是事件A 对应的区域是0到32 min 的时间段，而不是21 min 到32 min 的时间段. 例2 甲乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一人3天以后方可离开，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会面的概率为_________.思路分析：这是会面问题，将问题转化为几何概型求解.设甲乙两人分别在第x,y 天到达某地，则0≤x≤10,0≤y≤10，两人会面的条件是|x-y|≤3.图3-3-2如图3-3-2所示，区域Ω是边长为10的正方形，图中介于两直线x-y=±3之间阴影表示事件A ：“此二人会面”问题可以理解为求出现在图中阴影部分的概率.于是μΩ=10×10=100.μA =102-(10-3)2=51.故所求概率为P(A)=10051=ΩμμA 答案：10051 深化升华 把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率.例3 如图3-3-3，在等腰RT△ABC 中，在斜边AB 上取一点M ，求AM 的长小于AC 的概率.图3-3-3思路分析：此题是“长度比”型的概率求法.点M 随机地落在线段AB 上，线段AB 为试验所有结果构成的区域D ，当点M 位于图中线段AC′上时，AM ＜AC ，线段AC 即为构成事件的区域d.方法一:在AB 上截取AC′=AC，于是 P(AM<AC)=P(AM<AC′)=22=='AB AC AB C A , 即AM 的长小于AC 的长的概率为22. 方法二:视射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在AB 上取AC′=AC，则∠ACC′= 245180︒-︒=67.5° . 故所求的概率为43905.67=. 误区警示 背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.问题·探究思想方法探究问题 我们已经学习了两种计算事件发生概率的方法：(1)通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率；(2)用古典概型的公式来计算概率.可以求解很多的随机事件概率，为什么还要学习几何概型？探究过程：通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率，这是一种近似估计,需通过大量重复试验，具有局限性.另外，用古典概型的公式来计算概率，仅适用基本事件为有限个的情况.而对于基本事件为无限个的，每个基本事件又是等可能的情况，我们无从下手. 探究结论：所以有必要学习几何概型.。

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3.3 几何概型1．了解几何概型的概念及基本特点．(重点）2．熟练掌握几何概型的概率公式．（重点、难点）3．正确判别古典概型与几何概型，会进行简单的几何概型问题计算．（重点、易混点) 4．了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．(难点）[基础·初探]教材整理几何概型阅读教材P106～P107“例1"上边的内容，并完成下面的问题．1．几何概型的定义设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的特点(1）试验中所有可能出现的基本事件有无限个；（2）每个基本事件出现的可能性都相等．3．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A）＝错误!.判断正误：(1)几何概型与古典概型的区别就是基本事件具有无限个．( ）(2）几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．（)（3）有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0。

江苏省响水中学高中数学 第3章《概率》随机事件及其概率导学案苏教版必修3【学习目标】：1.能记住随机事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、确定事件等基本概念.2.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的定义.3.能说出频率与概率的区别与联系.【重点难点】事件、随机事件、频率、概率的概念以及频率与概率的区别与联系频率与概率的关系课前预习4．求事件的概率的基本方法：注意： __________________________________的大小,称为事件A 的概率,记作 .概率p 的取值范围是 .你有什么困惑吗？请提出来 课堂探究： 探究一：试判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件． （1）我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭； （2）若a 为实数，则0|| a ；（3）某人开车通过10个路口都将遇到绿灯； （4）抛一石块，石块下落；（5）一个正六面体的六个面分别写有数字1，2，3，4，5，6，将它抛掷两次，向上的面的数字之和大于12． 探究二用频率估计概率某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:射击次数n 10 20 30 40 50 60 击中靶心次数m8 19 27 35 44 51击中靶心的频率(1)填写表中击中靶心的频率.(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率大约是多少?(3)若该射手在一次射击训练中射中靶心的次数为22次,你估计该射手这次训练射击了多少次?探究三：某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：时间1999年2000年2001年2002年出生婴儿数21840 23070 20094 19982出生男婴数11453 12031 10297 10242.0）；（1）试计算男婴各年出生的频率（精确到001（2）该市男婴出生的概率约为多少?【课堂检测】1. 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?(1)“抛一石块,下落”;(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;(3)“某人射击一次,中靶”;(4)“如果a>b,那么a-b>0”;(5)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;(6)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”.必然事件，不可能事件，随机事件2.下列说法正确的是.①任何事件的概率总是在(0,1)之间;②频率是客观的,与试验次数无关;③随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率;④概率是随机的,在试验前不能确定.3.12个同类产品中含有2个次品,现从中任意抽出3个,必然事件是.①3个都是正品;②至少有一个是次品;③3个都是次品;④至少有一个是正品.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

第三章 概率[自我校对]①几何概型 ②对立事件 ③P (A )＋P (B ) ④1－P (B )随机现象，事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的类型也可以发生变化．随机事件的概率是指大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率mn接近的常数，记作P (A )．它反映的是这个事件发生的可能性的大小，即一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说)又有规律性(对大量重复试验来说)，其中规律性是体现在m n的值具有稳定性，即当随机试验的次数不断增加时，mn的值总在某个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P (A )≤1.对一批电子元件进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批电子元件中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个电子元件，至少需进货多少个电子元件？【精彩点拨】 根据频率、概率的定义及概率的意义求解．【规范解答】 (1)表中的频率从左到右依次为350＝0.06，4100＝0.04，5200＝0.025，5300≈0.017，8400＝0.02，9500＝0.018.(2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批电子元件中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x 个电子元件，为保证其中有2 000个正品电子元件，则x (1－0.02)≥2 000，因为x 是正整数，所以x ≥2 041，即至少需进货2 041个电子元件．[再练一题]1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：(2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少？(3)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？ 【解】 (1)概率约为0.9；(2)估计击中靶心的次数为300×0.9＝270(次)； (3)不一定.古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝m n时，要正确理解基本事件与事件A 的关系，求出n ，m .几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即无限性与等可能性．在应用公式P (A )＝d 的测度D 的测度时，要正确理解测度的类型．古典概型与几何概型在高考中占有非常重要的位置，是高考的常见题型．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取的两个球上标号为相邻整数的概率； (2)求取的两个球上标号之和能被3整除的概率．【精彩点拨】 古典概型→列举法确定事件的个数→按公式求概率【规范解答】 从甲、乙两个盒子中各取出1个球，所有编号的可能情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．共16种．(1)设“取的两个球上标号为相邻整数”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6个．∴P (A )＝616＝38.即取的两球上标号为相邻整数的概率为38.(2)设“取的两个球上标号之和能被3整除”为事件B ，则事件B 包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(3,3)，(2,4)，(4,2)，共5个．∴P (B )＝516.即取的两个球上标号之和能被3整除的概率为516.[再练一题]2．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为多少？【解】 设在区间(0,1)内任取的两个实数分别为x ，y ，则0＜x ＜1,0＜y ＜1，则区域M ＝{(x ，y )|0＜x ＜1,0＜y ＜1}为如图所示的正方形区域，记事件A ＝{(x ，y )|x ＋y ＞13，0＜x ＜1,0＜y ＜1}，则其所表示区域为图中阴影部分，所以P (A )＝S 阴影S M ＝1－12×13×131×1＝1718.率的．应用互斥事件的概率的加法公式解题时一定注意要先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再根据公式求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率，含有“至多”、“至少”的问题求概率时，常考虑其对立事件的概率．互斥事件和对立事件是高考考查的重点内容，也是高考的热点．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率． 【精彩点拨】 (1)运用古典概型求解． (2)利用对立事件的概率求解．【规范解答】 (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果有：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)，共18种．由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M 包含的基本事件有(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)，共9个．事件M 由9个基本事件组成，因而P (M )＝918＝12.∴C 1被选中的概率为12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，则N －包含的基本事件有(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)共2个，所以P (N －)＝218＝19.由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－19＝89.∴A 1和B 1不全被选中的概率为89.[再练一题]3．某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数不足8环的概率．【解】 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A 、B 、C 、D 、E ，(1)P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52， 即射中10环或9环的概率为0.52.(2)法一 P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，即至少射中7环的概率为0.87.法二 射中环数小于7为至少射中7环的对立事件， 所以所求事件的概率为1－P (E )＝1－0.13＝0.87. (3)P (D ＋E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29， 即射中环数不足8环的概率为0.29.“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．【精彩点拨】 利用几何概型求概率即可．【规范解答】 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.如图平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概型的概率公式得P (A )＝S A S ＝602－452602＝716.[再练一题]4．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？【解】 记三人为A ，B ，C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.1．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．【解析】 由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P ＝C 24－C 22C 24＝56.【答案】 562．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．【解析】 取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．乘积为6的情况有：(1,6)，(2,3)，共2种情况． 所求事件的概率为26＝13.【答案】 133．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．【解析】 因为正整数m ，n 满足m ≤7，n ≤9，所以(m ，n )所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m ，n 都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P ＝2063.【答案】20634．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【解析】 画出示意图，由图易知先后抛掷2次，共有36种不同的等可能的结果，点数之和小于10的结果有30种，不小于10的结果有6种．法一：所求概率P ＝3036＝56.法二：所求概率P ＝1－636＝56.【答案】 565．在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．【解析】 圆(x －5)2＋y 2＝9的圆心为C (5,0)，半径r ＝3，由直线与圆相交可得圆心到直线的距离d <r 即|5k －0|k 2＋1<3，解得－34<k <34.由几何概型的概率公式得所求的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－－＝34.【答案】 34。

某某大学附属中学高中数学必修3 第三章概率教案3．1随机事件及其概率教学目标：1、知识与技能：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率与事件A发生的概率的区别与联系；（4）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．2、过程与方法：（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；（2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．3、情感态度与价值观：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．教学重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．教学过程：一、问题情境1．足球比赛用抛掷硬币的方式决定场地，这是否公平？2．某班的50名学生中，有两名学生的生日相同的可能性有多大？3．路口有一红绿灯，东西方向的红灯时间为45ｓ，绿灯时间为60ｓ．从东向西行驶的一辆汽车通过该路口，遇到红灯的可能性有多大？日常生活中，与此相关的问题还有很多。

例如：（１）在标准大气压下水加热到100℃，沸腾；（２）导体通电，发热；（３）同性电荷，互相吸引；（４）实心铁块丢入水中，铁块浮起；（５）买一X福利彩票，中奖；（６）掷一枚硬币，正面向上．二、建构数学在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．在一定的条件下，必然会发生的事件叫做必然事件．在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．必然事件与不可能事件反映的就是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象．以后我们用Ａ，Ｂ，Ｃ等大写英文字母表示随机事件，简称为事件．我们已经学习了用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是０～１之间的一个数．将这个事件记为A，用P(A)表示事件Ａ发生的概率．对于任意一个随机事件Ａ，P(A)必须满足如下基本要求：０≤P(A)≤１．1．奥地利遗传学家孟德尔用豌豆进行杂交试验，通过进一步研究，他发现了生物遗传的基本规律；2．抛掷硬币的模拟试验；3． 的前n位小数中数字６出现的频率统计；4．鞋厂某种成品鞋质量检验结果优等品频率的统计.从以上几个实例可以看出：在相同条件下，随着试验的次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值．一般地，如果随机事件Ａ在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将事件Ａ发生的频率mn作为事件Ａ发生的概率的近似值，即：()mP An．三、数学运用1．例题例1 试判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：（１）我国东南沿海某地明年将３次受到热带气旋的侵袭；（２）若ａ为实数，则｜ａ｜≥０；（３）某人开车通过１０个路口都将遇到绿灯；（４）抛一石块，下落；（５）一个正六面体的六个面分别写有数字１，２，３，４，５，６，将它抛掷两次，向上的面的数字之和大于１２．例2 某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：（１）试计算男婴各年出生频率（精确到0.001）；（２）该市男婴出生的概率约是多少？例3 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？2．练习课本第88页练习 1，2，3课本第91页练习 1，2，3课本第92页习题 1，2备用：1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（）A．必然事件 B．随机事件C．不可能事件 D．无法确定2．下列说法正确的是（）A．任一事件的概率总在（0.1）内B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。

第41课时7.5复习课3(全章复习)自学评价本章内容是概率论的初步知识，它主要包括：随机事件的概率；等可能性事件的概率，包括古典概型和几何概型；互斥事件有一个发生的概率．本章的重点是等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率．难点是概率问题处理的思想与方法.1、下列事件中，属于随机事件的是 ( D )A ． 掷一枚硬币一次，出现两个正面；B 、同性电荷互相排斥；C 、当a 为实数时，|a|<0；D 、2009年10月1日天津下雨2、从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2个，其中：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1 件次品；④至少有1件次品和全是正品；上述事件中，是互斥事件的是（ A ）A ①④B ②③C ①②③D ①②③④ 3、袋中装有大小相同且分别写有1、2、3、4、5五个号码的小球各一个，现从中有放回地任取三球，三个号码全不相同的概率为（ C ） A 、53 B 、51 C 、2512 D 、1253 【精典范例】例1 某射手在同一条件下进行射击结果如下表所示（2）这个射手击中靶心的概率是多少？（3）这个射手射击2000次估计击中靶心的次数为多少？【解】 (1)0,4,0.4,0.48,0.45,0.45,0.45 (2) 0.45 (3)300例2 袋中装有大小均匀分别写有1,2,3,4,5五个号码的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概率: (1)所取的三个球号码完全不同; (2)所取的三个球号码中不含4和5.【解】从五个不同的小球中,有放回地取出三个球,每一个基本事件可视为通过有顺序的三步完成:①先取1个球,记下号码再放回,有5种情况;②再从5球中任取一个球,记下号码再放回,仍然有5种情况;③再从5个球中任取1个球,记下号码再放回,还是有5种情况.因此从5个球中有放回地取3个球,共有基本事件n =5×5×5=125个,(1)记三球号码不同为事件A,这三球的选取仍然为有顺序的三次,第一次取球有5种情况,第二,三次依次有4,3种情况,∴事件A 含有基本事件的个数m =5×4×3=60个,∴6012();12525m P A n ===(2)记三球号码不含4和5为事件B,这时三球的选取还是为有顺序的三次,由于这时前面选的球后面仍然可以选,因此三次选取的方法种数都是3,∴B 中所含基本事件的个数为m =3×3×3=27个,∴27()125m P B n == 例3 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率. 【解】在1000个小正方体中，一面涂有色彩的有286⨯个，两面涂有色彩的有812⨯个，三面涂有色彩的有8个，∴⑴一面涂有色彩的概率为13840.3841000P ==； ⑵两面涂有色彩的概率为2960.0961000P ==； ⑶有三面涂有色彩的概率280.0081000P ==.答：⑴一面图有色彩的概率0.384；⑵两面涂有色彩的概率为0.096；⑶有三面涂有色彩的概率0.008.例4 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率； （Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率． （精确到01.0）【解】(1)0.875 (2)0.041 (3)0.330例5 一个盒中装有8只球，其中4红.3黑.1白，现从中取出2只球（无放回）， 求：（1）全是红球或全是黑球的概率； （2）至少有一个红球的概率。

几何概型[新知初探]1．几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2．几何概型的特征(1)在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无穷多个．(2)在随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．[点睛](1)判断一个随机试验是否为几何概型时，两个条件“无限性”与“等可能性”的验证缺一不可．(2)注意几何概型与古典概型的区别，前者基本事件有无限个，而后者只有有限个．(3)在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．3．几何概型的计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．1．下列概率模型：①从1～10中任意取一个整数，求取到5的概率； ②从区间[1,10]内任意取一个数，求取到5的概率； ③一枚硬币连掷三次，求出现一次正面朝上的概率；④一个十字路口的交通信号灯中，红灯、黄灯、绿灯亮的时间分别为30秒、50秒、60秒，求某辆车到达路口遇见绿灯的概率．其中是几何概型的是________(填序号)． 答案：②④2．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为________． 答案：0.753．在边长为4的正方形中有一个半径为1的圆，向这个正方形中随机投一点M ，则点M 落在圆内的概率为________．答案：π16[典例] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，则一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率为__________．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23. (2)设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，一维几何概型即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[答案] (1)23 (2)13[活学活用]1．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率 P ＝2－12－12＝23.答案：232．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使AM ＞AC 的概率．解：如图所示：设事件D 为“作射线CM ，使AM ＞AC ”．在AB 上取点C ′，使AC ′＝AC .∵△ACC ′是等腰三角形， ∴∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，∠BCC ′＝90°－75°＝15°，∠ACB ＝90°，∴P (D )＝∠BCC ′∠ACB ＝16.[典例] (1)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．(2)设关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.①若a 是从0,1,2,3这四个数中任取一数，b 是从0,1,2这三个数中任取一个数，则此方程有实根的概率为________．②若a 是从[0,3]中任取一数，b 是从[0,2]中任取一个数，则此方程有实根的概率为________．[解析] (1)由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.(2)①此题是古典概型，所有基本事件为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共12个．要使方程有实根则Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∴a ≥b ，符合此条件的基本事件有(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共8个． 故所求概率为812＝23.②该试验的全部结果所构成的区域为如图所示： 即{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件的区域为图中阴影部分OABC 所示， 即{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．二维几何概型∴所求的概率P ＝S 四边形OABC S 四边形OABD ＝3×2－12×223×2＝23.[答案] (1)1－π4 (2)①23 ②231.如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.解析：圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π， 则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.答案：2π2．已知函数f (x )＝ax 2－bx －1，其中a ∈(0,2)，b ∈(0,2)，则函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数的概率为________．解析：该问题是几何概型，试验的全部结果构成的区域为如图所示正方形OABC ，要使f (x )在[1，＋∞)上单调增，则b2a≤1，即b ≤2a .符合此条件的点(a ，b )对应的区域为图中阴影部分，即直角梯形OABD 又S 正方形OABC ＝4，S 梯形＝12×(1＋2)×2＝3.故所求概率P ＝34.答案：34[典例] 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，在正方体内随机取一点M . (1)求点M 落在三棱锥B 1-A 1BC 1内的概率；(2)求点M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a3的概率；三维几何概型(3)求使四棱锥M -ABCD 的体积小于16a 3的概率．[解] (1)棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3. 由正方体的性质可知VB 1-A 1B C 1＝16a 3，∴点M 落在三棱锥B 1-A 1BC 1内的概率为P ＝VB 1-A 1BC 1V＝16. (2)∵两平行平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离为a ，∴点M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a3的概率为13.(3)设点M 到平面ABCD 的距离为h .由题意，得13a 2h ＜16a 3，∴h ＜a 2. ∴使四棱锥M ­ABCD 的体积小于16a 3的概率为12.用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．解：设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.设R ＝3，r ＝1，则区域D 的体积为V ＝43πR 3，区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.∴P (A )＝V 1V ＝1－⎝⎛⎭⎫r R 3＝1－127＝2627.故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.[层级一 学业水平达标]1．某交通路口的红绿灯闪亮时间如下，红灯28秒，黄灯2秒，绿灯30秒，则赶到路口恰好能通过的概率为________．解析：3028＋2＋30＝12.答案：122．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么落在△ABD 内的概率为________．解析：这是一个几何概型(如图)．∵D 为BC 的中点，∴S △ABD S △ABC ＝12，即所求事件的概率为12.答案：123．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，故P (A )＝2400＝0.005.答案：0.0054. 如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为________．解析：试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的69＝23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23. 答案：235．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V －V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.[层级二 应试能力达标]1. 如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83.答案：832. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于________．解析：△ABE 的面积是矩形ABCD 的面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.答案：123．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由题意知m ＞0，则由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，所以满足|x |≤m 的概率为m －－m4－－2＝2m 6＝56，解得m ＝52. 答案：524．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)解析：根据几何概型的面积比，①游戏盘的中奖概率为38；②游戏盘的中奖概率为13；③游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4；④游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π.故①游戏盘的中奖概率最大．答案：①5．设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P (A )＝________.解析：如图所示，△DPQ 为圆内接正三角形，当C 点位于劣弧PQ 上时；弦DC ＞PD ；∴P (A )＝13.答案：136．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离都超过1的概率为________．解析：由题意，蚂蚁若要距离三角形的三个顶点的距离都超过1，则蚂蚁应在图中阴影部分爬行，故P ＝6－12π6＝1－π12.答案：1－π127．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. 答案：16π8. 如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：如图所示，不妨设扇形的半径为2a ，记两块白色区域的面积分别为S 1，S 2，两块阴影部分的面积分别为S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝S 扇形OAB ＝14π(2a )2＝πa 2①，而S 1＋S 3与S 2＋S 3的和恰好为一个半径为a 的圆的面积，即S 1＋S 3＋S 2＋S 3＝πa 2②.由①－②，得S 3＝S 4.又由图可知S 3＝S 扇形E OD ＋S 扇形C OD －S 正方形OEDC ＝12πa 2－a 2，所以S 阴影＝πa 2－2a 2.故由几何概型概率公式可得所求概率P ＝S 阴影S 扇形OAB＝πa 2－2a 2πa 2＝1－2π. 答案：1－2π9．正方形ABCD 的边长为1，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求： (1)△AMB 面积大于或等于14的概率；(2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图①，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内(包括边界)运动时，△AMB 的面积大于或等于14，由几何概型的概率公式，知P ＝S 矩形CEFD S 正方形＝12.(2)如图②，以AB 为半径作弧，M 在阴影部分(包括边界)时，AM 长度大于或等于1，由几何概型的概率公式，知P ＝S 阴影S 正方形ABCD＝1－π4.10．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )．(1)当x ，y ∈R 时，求P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率；(2)当x ，y ∈Z 时，求P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：(1)如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16. (2)满足x ，y ∈Z ，且|x |≤2，|y |≤2的点(x ，y )有25个，满足x ，y ∈Z ，且(x －2)2＋(y －2)2≤4的点(x ，y )有6个，∴所求的概率P 2＝625.。

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错误!预习课本P112~1１5,思考并完成以下1.什么叫互斥事件?2．若A,Ｂ是两个事件,则Ａ＋B的含义是什么?3．互斥事件的概率加法公式是什么？4.什么叫对立事件,对立事件有什么性质？错误!1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件.(2)如果事件A1，A2,…,Aｎ中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1，Ａ2,…,A n彼此互斥.［点睛］（1）若事件A１，A2，…，Ａn彼此互斥，则在这些事件中,至多有一个发生,即可以有一个发生，而其他的均不发生,也可以是均不发生.(2)如果事件A与B是互斥事件,那么A与B同时发生的概率为0.(3)从集合的角度来看,事件A，B彼此互斥,是指事件Ａ,B所含的结果组成的集合彼此不相交，也就是它们的交集是空集，所有事件结果构成全集Ｉ，如图所示．２．互斥事件的概率加法公式（1）A＋B表示在一次试验中Ａ，B至少有一个发生．(２)如果事件A,Ｂ互斥,那么事件A+B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和,即Ｐ（Ａ＋B）＝P(A）+Ｐ(B)．(3)如果事件A１,A2,…,A n两两互斥,则P（Ａ1＋Ａ2＋…+A n）＝P(Ａ1)+P（Ａ2）＋…＋P(A n）．［点睛]运用上述公式必须判断事件间的互斥性，然后再判断它们当中是否必有一个发生,否则不能用公式.3.对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为错误!。

3.4 互斥事件学习目标 1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系；2.掌握互斥事件的概率加法计算公式．知识点一互斥事件思考一粒骰子掷一次，记事件A：点数大于4；事件B：点数小于3，则事件A，B可能在一次试验中同时发生吗？梳理互斥事件的概念：________________的两个事件称为互斥事件．知识点二事件A＋B思考一粒骰子掷一次，A：点数为奇数；事件B：点数大于3，则A，B至少有一个发生包含哪些基本事件？梳理一般地，事件“A，B至少有一个发生”记为A＋B.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝__________________.一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝________________.知识点三对立事件思考在“知识点一思考”中，一次试验里，A，B是否必有一个发生？你能定义一个事件C，使A，C必有一个发生吗？梳理对立事件及其概率公式：如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为A；对立事件概率公式P(A)＝__________.类型一互斥、对立的判定例1 判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．反思与感悟 如果A 、B 是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？ 事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环．类型二 互斥、对立概率公式例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A )的概率是14，取到方块(事件B )的概率是14，问： (1)取到红色牌(事件C )的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D )的概率是多少？反思与感悟 事件C 是事件A 与事件B 的并事件，且事件A 与事件B 互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C 与事件D 是对立事件，因此P (D )＝1－P (C )．跟踪训练2 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？类型三 事件关系的简单应用例3 某人外出去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？反思与感悟 对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．跟踪训练3 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率．1．给出以下结论，其中正确命题的个数有________．①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．2．投掷一枚质地均匀的骰子，若事件A 为“向上的点数至少为5”．则事件A 是指__________________．3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是________． ①至少有一个红球与都是红球；②至少有一个红球与都是白球；③至少有一个红球与至少有一个白球；④恰有一个红球与恰有两个红球．5．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．1．互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A 发生且事件B 不发生；(2)事件A 不发生且事件B 发生；(3)事件A 与事件B 同时不发生．而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A 发生事件B 不发生；(2)事件B 发生事件A 不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．2．当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；3．若事件A与B为对立事件，则A＋B为必然事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，于是有P(A)＝1－P(B)．答案精析问题导学知识点一思考 不可能．梳理 不能同时发生知识点二思考 A ，B 至少有一个发生包含点数为1，3，4，5，6.梳理 P (A )＋P (B ) P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )知识点三思考 不是，比如掷出点数为3，则A ，B 都不发生，定义C ：点数不大于4，则A ，C 必有一个发生．梳理 1－P (A )题型探究例1 解 (1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．跟踪训练1 解 A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)．例2 解 (1)因为C ＝A ＋B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝12.(2)事件C 与事件D 互斥，且C ＋D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，P (D )＝1－P (C )＝12. 跟踪训练2 解 设得到黑球、黄球的概率分别为x ，y ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝512，y ＋－13－x －y ＝512，解得x ＝14，y ＝16， 所以得到绿球的概率为1－13－14－16＝14. 所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 例3 解 (1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ＋D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则 P ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P (A )＋P (B )＝0.3＋0.2＝0.5，P (C )＋P (D )＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．跟踪训练3 解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16.即甲获胜的概率是16. (2)方法一 设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23. 即甲不输的概率为23. 方法二 设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23.即甲不输的概率是23. 当堂训练1．2解析 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A ∪B ＝A 时，P (A ∪B )＝P (A )，∴④错；只有A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，∴⑤错．2．向上的点数至多为4 3.0.304．④解析 ①中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以①不符合题意；②中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以②不符合题意；③中，若取出的3个球是1个红球，2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以③不符合题意；④中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以④符合题意．5．解 设射中10环或7环的概率为P 1，不够7环的概率为P 2.(1)P 1＝0.21＋0.28＝0.49；(2)P 2＝1－0.21－0.23－0.25－0.28＝0.03.。

一、抽样方法抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．简单随机抽样有抽签法、随机数表法．1．抽签法的步骤(1)编号：给总体中所有的个体编号(号码可以从1到N)；(2)制签：将1～N这N个号码写在形状、大小都相同的号签上；(3)搅拌：将号签放在一个容器中，搅拌均匀；(4)抽签：每次从容器中不放回地抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；(5)取样：从总体中，将与抽到的号签编号一致的个体取出．2．系统抽样的步骤从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本的步骤如下：(1)编号：先将总体的N个个体编号；(2)分段：确定分段间隔k ，对编号进行分段；(3)确定初始编号：在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；(4)抽取样本：按照一定的规则抽取样本．3．分层抽样的步骤(1)分层，求抽样比：确定抽样比k ＝；nN (2)求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数n i ＝N i ×k ；(3)各层抽样：各层分别用简单随机抽样或系统抽样法抽取个体；(4)组成样本：综合每层抽取的个体，组成样本．二、总体分布的估计1．作频率分布直方图的步骤(1)求全距．(2)决定组距与组数，注意样本容量越大，所分组数越多．(3)将数据分组．(4)计算各小组的频率，作频率分布表，各小组的频率＝.各小组频数样本容量(5)画频率分布直方图．2．茎叶图刻画数据的优缺点(1)所有信息都可以从图中得到；(2)便于记录和表示；(3)数据较多时不方便．3．用样本的频率分布估计总体的分布时的注意事项(1)对于同一组样本数据，确定的组距不同，得到的组数及分组也不同，绘制的频率分布直方图就会有差异，但都是对总体的近似估计．(2)应用频率分布直方图时，需明确纵轴表示的是频率/组距，进而进行相关计算．(3)绘制茎叶图时需注意同一组数据中的相同数据要一一列出．4．样本的数字特征(1)样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．我们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)在用样本的数字特征估计总体的数字特征时应注意：①任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．特殊情况下，平均数可能受某几个极端值的影响，而偏离一般情况．②标准差的平方是方差，标准差的单位与样本数据的单位一致．③用样本的平均数和标准差估计总体的平均数和标准差时，样本的平均数和标准差只是总体的平均数和标准差的近似值．三、线性回归方程(1)两个随机变量x 和y 之间相关关系的确定方法有：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断．(2)用公式求线性回归方程的一般步骤是：①列表x i ，y i ，x i y i .②计算，，，i y i .x y n ∑i ＝1x 2i n∑i ＝1x③代入公式计算b 、a 的值. ④写出线性回归方程．(3)学习变量的相关性时：①注意通过实例辨析确定性关系(函数关系)与相关关系．根据散点图分析两个变量间的相关关系是正相关还是负相关．②学会用最小平方法求已知样本数据的线性回归方程．用回归方程对数据进行估计时，得到的结果不是准确值．(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是________．解析：由散点图知(1)为函数关系，(4)不具有相关关系，故(2)(3)正确．答案：(2)(3)2．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．解析：应抽取的亩数分别为210×＝7(亩)，120×＝4(亩)，180×＝6(亩)．175101751017510答案：7,4,63．设有一个直线回归方程为＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，减少________个单y ^ y^ 位．解析：由＝2－1.5x 知当x 增加一个单位时，减少1.5个单位．y ^ y^ 答案：1.54．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本．已知从女生中抽取80人，则n ＝________.解析：因为80∶1 000＝8∶100，所以n ∶(200＋1 200＋1 000)＝8∶100，所以n ＝192.答案：1925．在样本频率分布直方图中共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于所有各小矩形面积和的，样本容量是160，则中间一组的频数是________．14解析：因为所有小矩形的面积和为1，所以中间这个小矩形的面积是＝0.25，即这一组样14本数据的频率是0.25，所以这组的频数是160×0.25＝40.答案：406．一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数都乘3，所得的一组新数据的方差是________．解析：设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为，则3x 1,3x 2，…，3x n 的平均数为′x x ＝(3x 1＋3x 2＋…＋3x n )＝3，∴s ′2＝[(3x 1－3)2＋(3x 2－3)2＋…＋(3x n －3)2]1n x 1n x x x ＝9×[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(x n －)2]＝9s 2.1n x x x 答案：9s 27．已知x ，y 的取值如下表：x 0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出y 与x 线性相关，且线性回归方程为＝0.95x ＋a ，则a ＝________.y^ 解析：由数据得＝2，＝4.5，而回归直线必过(，)，将(2,4.5)代入线性回归方程，x y x y 得4.5＝0.95×2＋a ，故a ＝2.6.答案：2.68．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的株数大约是________．解析：底部周长小于110 cm 的频率为：(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周长小于110 cm 的株数大约是10 000×0.7＝7 000.答案：7 0009．某校为了了解学生做家务情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自做家务所用时间的数据，结果如图所示，则可得到这50名学生在这一天平均每人做家务的时间为________h.解析：由题图可知，在调查的50名学生中有5人做家务时间为0 h ，有5人做家务时间为2.0 h ，有10人做家务时间为1.0 h ，有10人做家务时间为1.5 h ，有20人做家务时间为0.5 h ，所以一天中平均每人做家务的时间为(5×0＋5×2＋10×1＋10×1.5＋20×0.5)÷50＝45÷50＝0.9(h)．答案：0.910．把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的频率之和为0.79，而剩下三组的频数满足：第一组频数是第二组频数的，而第三组频数则是第二组频数的144倍．那么剩下三组中频数最高的一组的频数是________．解析：由题意知后三组的频率之和为1－0.79＝0.21，故后三组的频数之和为0.21×100＝21.设后三组中第二组的频数为a ，则a ＋a ＋4a ＝21，14∴a ＝4.即后三组的频数依次为1,4,16.故后三组中频数最高的一组的频数是16.答案：1611．在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小长方形的面积分别为S 、2S 、3S 、4S ，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：∵S ＋2S ＋3S ＋4S ＝1，∴S ＝0.1.∴4S＝0.4.∴0.4×400＝160.答案：16012．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙9　8　817　7　9　96　1　022　5　6　7　9　95　3　2　030　2　37　1　04根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，某同学得到下列四个结论：①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差；②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数；③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值；④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定．则其中所有错误结论的序号是________．解析：①甲得分的极差为47－18＝29，乙得分的极差为33－17＝16，故①正确；②甲得分的中位数为30，乙得分的中位数为26，②正确；③甲>乙正确，s<s；④错误．x x2甲2乙答案：④13．某班50名学生期末考试数学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断：(1)成绩在49.5～59.5分段的人数与89.5～99.5分段的人数相等；(2)从左到右数，第四小组的频率是0.03；(3)成绩在79.5分以上的学生有20人；(4)本次考试，成绩的中位数在第三小组．其中正确的判断有________．解析：(1)49.5～59.5与89.5～99.5两段所在矩形的高相等，所以人数相等．(2)从左到右数，第四小组的频率/组距的值为0.03，频率为0.03×10＝0.3.(3)79.5分以上的学生共有：50×(0.03＋0.01)×10＝20人．(4)49.5～59.5与89.5～99.5段的人数相等，69.5～79.5段的人数比79.5～89.5的人数多，所以中位数在69.5～79.5段，即在第三小组．答案：(1)(3)(4)14．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________．解析：因为总体中位数是10.5，所以＝10.5，即a ＋b ＝21，b ＝21－a ，a ＋b2所以总体平均数是＝(2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋20)＝＝x 11079＋ a ＋b10＝10；79＋2110总体方差是s 2＝[(2－10)2＋(3－10)2＋…＋(a －10)2＋(b －10)2＋…＋(20－10)2]＝110＋13.758＝＋13.758a 2＋b 210a 2＋ 21－a 210＝a 2－a ＋57.85815215＝(a －)2＋35.808.因为7≤a ≤b ≤12，所以当a ＝10.5时，s 2取得最小值1521235.808，b ＝10.5.答案：10.5,10.5二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)如图是甲、乙两人在射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．解：(1)环数678910甲命中次数222乙命中次数132(2)甲＝9环，乙＝9环，s ＝，s ＝1，x x 2甲232乙因为甲＝乙，s ＜s ，x x 2甲2乙所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．16．(本小题满分12分)已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下x 45424648423558403950y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72x (血球体积，mm)，y (血红球数，百万)(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线并且画出图形；(3)回归直线必经过的一点是哪一点？解：(1)散点图如图(2)＝(45＋42＋46＋48＋42＋35＋58＋40＋39＋50)＝44.50，x 110＝(6.53＋6.30＋9.52＋7.50＋6.99＋5.90＋9.49＋6.20＋6.55＋7.72)y 110＝7.27，i y i ＝3 283.9，n ＝3 235.15，＝20 183，n 2＝19 802.5，设回归直线n∑i ＝1xx － y －n∑i ＝1x 2i x 方程为＝bx ＋a ，y^则a＝≈0.13，b ＝－a ≈1.49n∑i ＝1xiyi －nx yn∑i ＝1x 2i －nx 2y x 所以所求回归直线的方程为＝0.13x ＋1.49，图形如下：y^(3)回归直线必经过(，)即(44.50,7.27)．x y 17．(本小题满分12分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率[50,60)40.08[60,70)0.16[70,80)10[80,90)160.32[90,100]合计50(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；(2)补全频率分布直方图；(3)若成绩在[75,85)分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？解：(1)分组频数频率[50,60)40.08[60,70)80.16[70,80)100.20[80,90)160.32[90,100]120.24合计501.00(2)频率分布直方图如图所示(3)成绩在[75,80)分的学生占70～80分的学生的，因为成绩在[70,80)分的学生频率为5100.2，所以成绩在[75,80)分的学生频率为0.1；成绩在[80,85)分的学生占80～90分的学生的，510因为成绩在[80,90)分的学生频率为0.32，所以成绩在[80,85)分的学生频率为0.16，所以成绩在[75,85)分的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人)．18．(本小题满分14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程＝bx ＋a ；y^ (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)如图．(2)i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.n∑i ＝1x＝＝4.5.x 3＋4＋5＋64＝＝3.5.y 2.5＋3＋4＋4.54＝32＋42＋52＋62＝86.n∑i ＝1x2i b ＝＝＝0.7.66.5－4× 4.5× 3.586－4× 4.5266.5－6386－8122a＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35.y x故线性回归方程为＝0.7x＋0.35.y^(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)．。