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通信原理第2章知信号2

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通信原理简答题答案2(个人整理)

通信原理简答题答案2(个人整理)

第一章绪论1-2何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么？答：数字信号：电信号的参量值仅可能取有限个值。

模拟信号：电信号的参量取值连续。

两者的根本区别是携带信号的参量是连续取值还是离散取值。

1-3何谓数字通信？数字通信偶哪些优缺点？答：利用数字信号来传输信息的通信系统为数字通信系统。

优点：抗干扰能力强，无噪声积累传输差错可控；便于现代数字信号处理技术对数字信息进行处理、变换、储存；易于集成，使通信设备微型化，重量轻；易于加密处理，且保密性好。

缺点：一般需要较大的传输带宽；系统设备较复杂。

1-4 数字通信系统的一般模型中各组成部分的主要功能是什么？答：信源编码：提高信息传输的有效性（通过数字压缩技术降低码速率），完成A/D转换。

信道编码/译码：增强数字信号的抗干扰能力。

加密与解密：认为扰乱数字序列，加上密码。

数字调制与解调：把数字基带信号的频谱搬移到高频处，形成适合在信道中传输的带通信号。

同步：使收发两端的信号在时间上保持步调一致。

1-5 按调制方式，通信系统如何分类？答：基带传输系统和带通传输系统。

1-6 按传输信号的特征，通信系统如何分类？答：模拟通信系统和数字通信系统。

1-7 按传输信号的复用方式，通信系统如何分类？答：FDM,TDM,CDM。

1-8 单工、半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释他们的工作方式。

答：按照消息传递的方向与时间关系分类。

单工通信：消息只能单向传输。

半双工：通信双方都能收发消息，但不能同时进行收和发的工作方式。

全双工通信：通信双方可以同时收发消息。

1-9 按数字信号码元的排列顺序可分为哪两种通信方式？他们的适用场合及特点？答：分为并行传输和串行传输方式。

并行传输一般用于设备之间的近距离通信，如计算机和打印机之间的数据传输。

串行传输使用与远距离数据的传输。

1-10 通信系统的主要性能指标是什么？答：有效性和可靠性。

1-11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？答：有效性：传输速率，频带利用率。

樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(确知信号)【圣才出品】

樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(确知信号)【圣才出品】

第2章确知信号思考题2-1 何谓确知信号？答：确知信号是指其取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。

例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。

2-2 试分别说明能量信号和功率信号的特性。

答：（1）能量信号的能量为一个有限正值，但其平均功率等于零。

（2）功率信号的能量为无穷大，其平均功率为一个有限正值。

2-3 试用语言（文字）描述单位冲激函数的定义。

答：单位冲击函数是指宽度无穷小，高度为无穷大，积分面积为1的脉冲。

其仅有理论上的意义，是不可能物理实现的一种信号。

2-4 试画出单位阶跃函数的曲线。

答：如图2-1所示。

图2-12-5 试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。

答：（1）功率信号的频谱适用于周期性的功率信号。

（2）能量信号的频谱密度适用于能量信号。

（3）能量信号的能量谱密度适用于能量信号。

（4）功率信号的功率谱密度适用于功率信号。

2-6 频谱密度S（f）和频谱C（jnω0）的量纲分别是什么？答：频谱密度的量纲是伏特/赫兹（V/Hz）；频谱的量纲是伏特（V）。

2-7 自相关函数有哪些性质？答：自相关函数的性质：（1）自相关函数是偶函数；（2）与信号的能谱密度函数或功率谱密度函数是傅立叶变换对的关系；（3）当τ＝0时，能量信号的自相关函数R（0）等于信号的能量，功率信号的自相关函数R（0）等于信号的平均功率。

2-8 冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？答：（1）冲激响应的定义：输入为单位冲激函数时系统的零状态响应，一般记作h（t）。

（2）冲激响应的傅里叶变换等于系统的频率响应，即H（f）。

习题2-1 试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号：（1）s1（t）＝e－t u（t）（2）s2（t）＝sin（6πt）＋2cos（10πt）（3）s3（t）＝e－2t解：若0＜E＜∞，而功率P→0，则为能量信号；若能量E→0，而0＜P＜∞，则为功率信号。

通信原理第2章 确知信号

通信原理第2章 确知信号
n 1

它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。

j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1

C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1

T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n

即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C

n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。

通信原理-第2章

通信原理-第2章

思考问题
(2.1) 为什么能量信号的平均功率为零,举例说明哪 些信号是能量信号，哪些信号是功率信号？
(2.2.1) 周期信号的频谱特性？ (2.2.2) 为什么能量信号用频谱密度来表示它的频
域特性？
2.1 确知信号的类型
❖ 按照周期性区分： ➢ 周期信号：每隔一定时间T，周而复始且无始无终的信 号。
g a (t )
它的傅里叶变换为

1 0
t /2 t /2
Ga ( f )
/2 e j2 ft dt
/2
1 (e j f e j f ) sin( f ) Sa( f )
j2 f
f
ga(t) 1
0
t
Ga(f)
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
T T T / 2

性质：
当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：
R(0) lim 1 T / 2 s 2 (t)dt P
T T
T / 2
功率信号的自相关函数也是偶函数。
2.3.2 功率信号的自相关函数
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V ,
/2 t /2
s(t)
s(t) 0,
/ 2 t (T / 2)
s(t) s(t T ),
由式(2.2-1)：
t
V

-T
0
t
T
/2
Cn

1 T
/2 Ve j 2 nf0t dt
矩形脉冲的带宽等于其脉
冲持续时间的倒数，在这里

樊昌信《通信原理》（第7版）课后习题答案

樊昌信《通信原理》（第7版）课后习题答案

樊昌信《通信原理》（第7版）课后习题答案第⼆部分　课后习题第1章　绪　论思考题1-1　以⽆线⼴播和电视为例，说明教材图1-3模型中信源、信宿及信道包含的具体内容是什么？答：（1）在⽆线电⼴播中①信源：从声⾳转换⽽成的原始电信号。

②信宿：从复原的原始电信号转换成的声⾳。

③信道：载有声⾳和影像的⽆线电波。

（2）在电视系统中①信源：从影像转换⽽成的电信号。

②信宿：从复原的原始电信号转换成的影像。

③信道：载有声⾳和影像的⽆线电波。

1-2　何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么？答：（1）数字信号是指载荷消息的信号参量仅有有限个取值的信号；模拟信号是指载荷消息的信号参量取值为连续（不可数、⽆穷多）的信号。

（2）两者的根本区别在于载荷消息信号参量的取值是连续的还是离散可数的。

时间域上的连续与否不能作为区分模拟信号和数字信号的标准。

1-3　何谓数字通信？数字通信有哪些优缺点？答：（1）数字通信是指利⽤数字信号来传递信息的⼀种通信系统。

其中主要有信源编码与译码、数字调制与解调、同步以及加密与解密等组成部分。

（2）数字通信的优缺点：①优点：a ．抗⼲扰能⼒强，且噪声不积累。

数字通信特有的抽样判决再⽣的接收⽅式使得其拥有较强的抗⼲扰能⼒。

b ．传输差错可控。

在数字通信系统中，可通过信道编码技术进⾏检错与纠错，降低误码率，提⾼传输质量。

c ．易于加密处理，且保密性好。

d ．便于存储、处理和交换；数字通信的信号形式和计算机所⽤的信号⼀致，都是⼆进制代码，因此便于与计算机联⽹，也便于⽤计算机对数字信号进⾏存储，处理和交换，可使通信⽹的管理，维护实现⾃动化，智能化。

e ．易于集成，使通信设备微型化，重量减轻。

f ．便于构成综合数字⽹和综合业务数字⽹。

采⽤数字传输⽅式，可以通过程控数字交换设备进⾏数字该⽂档是极速PDF 编辑器⽣成，如果想去掉该提⽰,请访问并下载：http:///doc/7ab1b6f0492fb4daa58da0116c175f0e7dd119ef.html /交换，以实现传输和交换的综合。

通信原理第7版第2章PPT课件(樊昌信版)

通信原理第7版第2章PPT课件(樊昌信版)

上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， ● A0/2为直流分量； ● A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率（基频）与原周期信号相同 （ 2 ）； T
● A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； ● 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间 (t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这 n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小？
为使上式最小（系数Cj变化时），有
2 Ci Ci

t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t 0
j 1
n
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项 不为0，写为： t2 2 2 [ 2 C f ( t ) ( t ) C i i i i (t )]d t 0 Ci t1 即： 2
信号的正交分解
问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小。
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
通常两个函数误差最小，是指这两个函数在区间(t1， t2)内的的方均值（均方误差）最小。均方误差为：
n t2 1 2 2 [ f ( t ) C ( t ) ] dt j j t 2 t1 t1 j 18t源自 例2不满足条件2的一个函数是
2π f t sin , 0 t 1 t

通信原理-确知信号_2

通信原理-确知信号_2

s(t)
V
0 T
t
其频谱：

Cn

1 T
Ve j 2nf0t dt
0

1 T

V
j 2nf 0
e
j 2nf0t

0
V 1 e j 2nf0 V
1 e j 2n / T
T j2nf0
j 2n
可见：此信号不是偶函数，所以其频谱Cn是 复函数 。
则其能量谱密度G(f )为：
G(f ) = |S(f )|2
能量——Parseval定理
E
s2 (t)dt
S( f ) 2df

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

G( f )df 2 G( f )df



0
例 【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度 。
解
在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：
0
2/
f
评注：矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，即 (1/) Hz 。
例 【2-4】试求单位冲激函数 (函数) 的频谱密度。
解 函数的定义：
(t)dt 1 且 (t) 0, t 0
函数的频谱密度：
( f )
(t)e j2ft dt 1
f
)

V
n T
2
Sa2f

(
f
nf0)
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
—— 能量信号s(t) 的傅里叶变换：
S ( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号： s(t) S ( f )e j2ft df

《通信原理》_樊昌信_曹丽娜(第六版)第2章_确知信号

《通信原理》_樊昌信_曹丽娜(第六版)第2章_确知信号

【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V , s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.2-1)：
-T
0
t
T
/2
Cn
1 T
/
2
V
e
j
2nf0t
dt
/ 2
1 T
V
j 2nf 0
e j 2nf0t
T / 2
T0 T0 / 2
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
(2.2-45)
P 1
T0
T0 / 2 s 2 (t)dt
T0 / 2
Cn
n
2
式中 |Cn|2 －第n次谐波的功率
(2.2-46)
利用函数可将上式表示为
式中
P C( f )
C( f ) 2 ( f nf0 )df
通信原理
第2章 确知信号
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
功率信号：
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
Cn的模偶对称
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
(a) 振幅谱 n
Cn的相位奇对称
-5 -4
-2 -1
3
-3
012
45
n
(b) 相位谱

通信原理教程第二章 信号

通信原理教程第二章 信号

P(X xn) = 1
∵P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi),
∴
0

FX
(x)


i
pk
k1
1
x x1 x1 x xi1
x xn
性质：
FX(- ) = 0
FX(+) = 1
若x1 < x2，则有: FX(x1) FX(x2) ，
随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此
X为一呼叫次数是一个
随机变量。 随机变量的分布函数：
定义：FX(x) = P(X x) 性质： ∵ P(a < X b) + P(X a) = P(X b),
f(t)sin t)( 0t1
f(t)f(t1)
求频谱：
t
C ( jn 0 ) T 1 0 T T 0 0 // 2 2 s ( t ) e j n 0 td 0 1 t si t ) e n j2 n d ( t t ( 4 n 2 2 1 )
解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是：
(t)dt 1 (t) 0
t 0
(t)的频谱密度： (f)(t)e j td 1 t(t)d 1 t


7
Sa(t)及其频谱密度的曲线：
(f)
(t)
1
0
t
0
f
函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。
将上式两端求导，得到其概率密度：
性质：
n
pX(x) pi(xxi) i1

通信原理课件第2章确知信号

通信原理课件第2章确知信号
测试信号
用于系统性能测试和故障诊断，如误码率测试和信号质量评估等。
THANKS
感谢观看
确知信号的应用
在通信系统中，确知信号常被用作载 波信号或调制信号，以传递信息。
可以用确定的数学函数来表示确知信 号，例如正弦波、余弦波、方波等。
确知信号的分类
周期信号和非周期信号
根据信号波形重复性的不同，可以将确知信号分为周期信号和非周期信号。周 期信号的波形在时间上重复出现，而非周期信号则没有这种重复性。
确定性
确知信号的波形是确定的 ，不受外界干扰的影响， 因此其取值是确定的，不 具有随机性。
02
CATALOGUE
确知信号的频域分析
频域分析的基本概念
频域
在信号处理中，频域是描述信号 频率特性的一个抽象空间，通过 将信号分解为不同频率的正弦波
分量来研究信号的频率特性。
傅里叶分析
傅里叶分析是研究信号在频域中 的性质和行为的一种数学工具， 通过将信号表示为正弦波的叠加 ，可以分析信号的频率成分和频
能量信号与功率信号
能量信号是指能量有限的信号，其能量值在时间上可变；功率信号是指功率有限的信号， 其功率值在时间上可变。能量信号和功率信号的时域波形和频域特性有所不同。
确知信号的时域运算
信号的加法与减法
将两个同频率、同相位的信号相加或相减，可以得到一个新的信号。新信号的幅度和相位可以通过简单的代数运算得 到。
率变化。
频谱
频谱是信号在频域中的表示形式 ，通过将信号的幅度或功率随频 率变化的规律绘制成图，可以直
观地了解信号的频率特性。
确知信号的频谱
确定性信号
确知信号也称为确定性信号，是 指信号在时间上是确定的，即对 于任意给定的时间，信号都有一

通信原理第2章-1确知信号部分

通信原理第2章-1确知信号部分

dt
lim
2
sin[ (
( f
f
f
f0 ) 0 )
]
s
in[ (
( f
f
f
f0 ) 0 )
]
lim sin c ( f
2
f0 ) sin c ( f
f0 )
参照式(2.2-19)，上式可以改写为
S( f )
1 [ ( f
2
f0) ( f
f0 )]
t
(a) 波形
－f0
0
f0
帕塞瓦尔定理把一个信号的能量或功率的计算和频谱 函数或频谱联系起来了。
帕塞瓦尔定理给出一个很重要的概念，即能量信号的 总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的连续 和；而周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量 单独贡献出来的功率之和。
小结
功率谱密度和能量谱密度都与振幅--频率特性有 关，而与相位--频率特性无关。因此，从功率谱密度 和能量谱密度中只能获得信号振幅的信息。
式中 G(f) = |S(f)|2 －能量谱密度
(2.2-29)
由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数,
因此上式可以改写成 E 20 G( f )df
(2.2-31)
第2章 确知信号
【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2.4中，已经求出其频谱密度： S( f ) Ga ( f ) sin c(f ) 故由得出能量谱密度 G( f ) S( f ) 2 sin c(f ) 2 2 sin c(f ) 2
第2章 确知信号
4. 功率信号的功率谱密度
定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 < t < T/2

通信原理(第七版)思考题及答案

通信原理(第七版)思考题及答案

第一章绪论1．以无线广播和电视为例，说明图1-3模型中的信息源，受信者及信道包含的具体内容是什么在无线电广播中，信息源包括的具体内容为从声音转换而成的原始电信号，收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换乘的声音；在电视系统中，信息源的具体内容为从影像转换而成的电信号。

收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换成的影像；二者信道中包括的具体内容分别是载有声音和影像的无线电波2．何谓数字信号，何谓模拟信号，两者的根本区别是什么数字信号指电信号的参量仅可能取有限个值；模拟信号指电信号的参量可以取连续值。

他们的区别在于电信号参量的取值是连续的还是离散可数的3．何谓数字通信，数字通信有哪些优缺点传输数字信号的通信系统统称为数字通信系统；优缺点： 1.抗干扰能力强； 2.传输差错可以控制； 3.便于加密处理，信息传输的安全性和保密性越来越重要，数字通信的加密处理比模拟通信容易的多，以话音信号为例，经过数字变换后的信号可用简单的数字逻辑运算进行加密，解密处理；4.便于存储、处理和交换；数字通信的信号形式和计算机所用的信号一致，都是二进制代码，因此便于与计算机联网，也便于用计算机对数字信号进行存储，处理和交换，可使通信网的管理，维护实现自动化，智能化； 5.设备便于集成化、微机化。

数字通信采用时分多路复用，不需要体积较大的滤波器。

设备中大部分电路是数字电路，可用大规模和超大规模集成电路实现，因此体积小，功耗低； 6.便于构成综合数字网和综合业务数字网。

采用数字传输方式，可以通过程控数字交换设备进行数字交换，以实现传输和交换的综合。

另外，电话业务和各种非话务业务都可以实现数字化，构成综合业务数字网；缺点：占用信道频带较宽。

一路模拟电话的频带为4KHZ带宽，一路数字电话约占64KHZ。

4．数字通信系统的一般模型中的各组成部分的主要功能是什么数字通行系统的模型见图1-4所示。

其中信源编码与译码功能是提高信息传输的有效性和进行模数转换；信道编码和译码功能是增强数字信号的抗干扰能力；加密与解密的功能是保证传输信息的安全；数字调制和解调功能是把数字基带信号搬移到高频处以便在信道中传输；同步的功能是在首发双方时间上保持一致，保证数字通信系统的有序，准确和可靠的工作。

通信原理(第二版)第2章确知信号与随机信号分析

通信原理(第二版)第2章确知信号与随机信号分析
通信原理(第二版)第 2章确知信号与随机
信号分析
目录
• 确知信号分析 • 随机信号分析 • 确知信号与随机信号的应用 • 信号分析的现代方法
01
确知信号分析
定义与分类
定义
确知信号是指在任何时刻都已知 其全部信息的信号，如正弦波、 方波等。
分类
连续信号和离散信号，周期信号 和非周期信号，实信号和复信号 等。
小波变换具有多分辨率分析的 特点，能够适应不同频率的信 号处理需求。
小波变换在信号降噪、特征提 取、模式识别等领域有着广泛 的应用。
神经网络在信号分析中的应用
神经网络能够通过学习自动提取信号 中的特征，具有很强的自适应性。
神经网络在语音识别、图像处理、雷 达信号处理等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理非线性信号，对于 一些难以用传统方法处理的复杂信号 非常有效。
随机信号的时域分析
自相关函数
描述随机信号取值在时间上的相关性。
互相关函数
描述两个随机信号在时间上的相关性。
谱估计
通过时域数据估计随机信ห้องสมุดไป่ตู้的功率谱密度的方法。
03
确知信号与随机信号的应 用
确知信号在通信中的应用
载波信号
用于调制信息信号，实现信息的 传输。
脉冲信号
用于数字通信中表示二进制状态， 如脉冲编码调制（PCM）。
确知信号的频域分析
01
02
03
傅里叶级数
将确知信号表示为无穷多 个正弦波的叠加，每个正 弦波具有不同的幅度、频 率和相位。
频谱密度函数
描述信号中各频率分量的 强度，通常用图形表示， 即频谱图。
频谱分析
通过频谱图分析信号中各 频率分量的特性，如频率 范围、幅度和相位等。

《通信原理》樊昌信__课后习题答案

《通信原理》樊昌信__课后习题答案

《通信原理》樊昌信__课后习题答案第⼀章概论1.3 某个信息源由A 、B 、C 、D 等4个符号组成。

这些符号分别⽤⼆进制码组00、01、10、11表⽰。

若每个⼆进制码元⽤宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1）这4个符号等概率出现；（2）这4个符号出现的概率分别为1/4、1/4、3/16、5/16。

解：每秒可传输的⼆进制位为：()20010513=?÷-每个符号需要2位⼆进制，故每秒可传输的符号数为： 1002200=÷ （1） 4个符号等概率出现时每个符号包含的平均信息量为： bit 24log 2=故平均信息速率为：s b R b /2002100=?=（2）每个符号包含的平均信息量为：bit 977.11651log 1651631log 163411log 41411log 412222=+++故平均信息速率为： s b R b /7.197977.1100=?=1.6 设⼀个信号源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125s µ。

试求码元速率和信息速率。

解：码元速率为：()baud R B 80001012516=?÷=- 信息速率为：s kb R R B b /16280004log 2=?==第⼆章信号2.2 设⼀个随机过程X （t ）可以表⽰成：()()∞<<∞-+=t t t X θπ2cos 2其中θ在（0，2π）之间服从均匀分布，判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它的能量⽆限，功率有界，所以是⼀个功率信号。

`()[]()[]()()()πτθπτθππτπθπθπτπθπππ2cos 4224cos 2cos 22122cos 22cos 22020=+++=+++=?d t d t t由维纳－⾟钦关系有：()()ττωωτd e R P j X -+∞∞-?=()()[]πωδπωδπ222++-=2.3 设有⼀信号可表⽰为：()()??>≥-=000exp 4t t t t x试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

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2.5 傅里叶变换（Fourier Transform）
2.5.1 周期信号的傅里叶级数 2.5.2 傅里叶变换 2.5.3 傅里叶变换的基本性质 2.5.4 卷积特性 2.5.5 周期信号的傅里叶变换
Fourier Transform
• 傅里叶变换在物理学、电子类学科、 数论、组合数学、信号处理、概率 论、统计学、密码学、声学、光学、 海洋学、结构动力学等领域都有着 广泛的应用
• 任何周期函数都可以用正弦函数和 余弦函数构成的无穷级数来表示 （选择正弦函数与余弦函数作为基 函数是因为它们是正交的）
（1）三角函数形式的傅里叶级数
若f(t)的周期为T1，角频率ω1=2π/T1，频率 f1=1/T1，傅里叶级数展开表达式为： f(t) = a0+a1cos(ω1t)+ b1sin(ω1t) +a2cos(2ω1t)
n
n
[∑aifi(t)] = ∑aiFi(ω)
i=1
i=1
其中ai为常数，为n正整数。
（3）奇偶虚实性
• 若 [f(t)]=F(ω)，无论f(t)为实函数或复函数，
都具有以下性质： [f(-t)] = F(-ω) [f (t)] = F (-ω) [f (-t)] = F (ω)
（4）尺度变换特性
设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ, 脉 冲幅度为E, 重复周期为T1, 此信号在一个周期 内(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式为 f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]，其中u(t)单位阶跃信 号
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
T1
t

f(t)=a0+∑n=0[ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)]
dt
= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt

f(t)=
F(nω1)
e-jnω1t
n-

=nω1F-(nω1)
/
ω1•
e-jnω1t
Δ(nω1)
在极限情况下， nω1ω， Δ(nω1) dω1,
F(nω1) / ω1F(ω) / 2π

nω1-
∫∞-∞
f(t)=1/(2π) ∫∞-∞F(ω)ejωt dω
或：

f(t)=d0+∑n=0dnsin(nω1t+θ) 其中：
a0=d0 dn=√an2+bn2 an= dncosθn bn= dnsinθn tanθn= bn/an
(n=1, 2, …)
频谱图：
幅度谱（幅频特性）
相位谱（相频特性）
例2.5.1 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 （三角形式）
+b2sin(2ω1t)+…+ ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)+…

= a0+n∑=0[ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)]
各次谐波成分的幅度值计算公式为：
直流分量为
a0=1/T1∫t0t0+T1 f(t)dt
余弦分量的幅度为
an=2/T1∫t0t0+T1 f(t)cos(nω1t) dt
例2.5.3 矩形脉冲信号的频谱
f(t)
f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]
E
解： F(ω)=∫∞-∞f(t)e-jωt dt
=∫τ/2-τ/2 Ee-jωt dt =(2E/ω)sin(ωτ/2) = Eτ·Sa(ωτ/2)
0
-τ/2 τ/2 t
例2.5.4 钟形(高斯)脉冲信号的频谱
频谱图上第一个零点频率，记作B。信号功率 主要部分（90%）集中的频率范围（Hz）
例：对周期矩形脉冲信号，
Bω=2 π /τ
即
Bf=1/τ = B
• 基带信号：信号功率集中在零频率附近
• 频带信号：信号功率集中在某一载频附近
2.5.2 傅里叶变换
• 傅里叶正变换（频谱密度函数，简称频谱函数）
F(ω)= [f(t)]= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
τ
t
f(t)
E
E/e
0
τ
t
F(ω)
√ πEτ
√πEτ/e 0
2/τ ω
例2.5.5 升余弦脉冲信号的频谱
f(t)
f(t)=E/2[1+cos(πt/τ)] (0≤t≤τ)
E
解： F(ω)
0
=∫∞-∞f(t)e-jωt dt
-τ -τ/2 τ/2 τ t
=∫τ-τE/2[1+ cos(πt/τ)]e-jωt dt
其中： a0=1/T1∫T1/2-T1/2f(t)dt=1/T1∫τ/2-τ/2Edt=Eτ/T1 an= 2/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)cos(nω1t)dt = 2/T1∫τ/2-τ/2E cos(nω1t) dt = 2E/ (nπ) ·sin(nπτ/T1) = 2Eτ/T1·Sa(nπτ/T1) bn=0
(n=1, 2,…)
例2.5.2 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 （指数形式）
设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ, 脉 冲幅度为E, 重复周期为T1, 此信号在一个周期 内(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式为 f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
• 信号处理中，傅里叶变换的典型应 用将信号分解成幅值分量和频率分 量
2.5.1 周期信号的傅里叶级数
（1）三角函数形式的傅里叶级数 （2）指数形式的傅里叶级数 （3）周期信号的平均功率 （4）频带宽度（带宽）
傅里叶级数（ Fourier Series ）
• 如果一个给定的非正弦周期函数f(t) 满足狄利克雷（ Dirichlet）条件， 它能展开为一个收敛的级数
f(t)
E
0 -τ -τ/2 τ/2 τ
t
例2.5.6 冲激信号的频谱
F(ω)=∫∞-∞ δ (t)e-jωt dt=1
f(t)
(1)

0
t
F(ω)
1
0
ω
2.5.3 傅里叶变换的基本性质
（1）对称性 （2）线性（叠加性） （3）奇偶虚实性 （4）尺度变换特性 （5）时移特性 （6）频移特性 （7）微分特性 （8）积分特性
= E/2∫τ-τe-jωt dt+E/4∫τ-τ ejπt/τ·e-jωt dt
+ E/4∫τ-τ e-jπt/τ·e-jωt dt
= EτSa(ωτ)+(Eτ/2)Sa[(ω-π/τ)τ]
+ (Eτ/2)Sa[(ω+π/τ)τ]
= Esin(ωτ)/ ω[1-(ωτ/π)2]
= EτSa(ωτ)/[1-(ωτ/π)2]
F(ω)=|F(ω)|e jφ(ω)
• 傅里叶逆变换
f(t)= -1 [F(ω)]= 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω
傅里叶变换
• 周期函数的傅里叶级数是存在的，非周 期函数未必存在傅里叶级数
• 非周期函数的傅里叶变换是存在的，更 具有普遍意义
• 重要特性：傅里叶变换可以化复杂的卷 积运算（时域）为简单的乘积运算（频 域），从而提供了计算卷积的一种简单 方法；傅里叶变换属于谐波分析；离散 形式的傅里叶变换可以利用计算机快速 算出（快速傅里叶变换FFT算法）等。 r(t)=e(t)*h(t) R(ω)=E(ω)H(ω)
（1）对称性
• 若F(ω)= [f(t)]，则
[F(t)]=2πf(- ω) • 当f(t)是偶函数时，则
[F(t)]=2πf(ω)
证明：
f(t) = 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω f(-t) = 1/(2π)∫∞-∞F(ω)e-jωt dω
将变量t与ω互换,可以得到
2π f(-ω) = ∫∞-∞F(t)e-jωt dt
T1
t
（3） 周期性功率信号[Parseval（帕 塞瓦尔）]定理：方均值，均方值
Pf2(t)T 1 T T /2 /2f2(t)dt F n2
此式表明：周期信号的功率等于该信号在 完备正交函数集中各分量功率之和，即时 域和频域的能量守恒（f(t)为周期性功率 信号）。
推导过程：
F(nω1)=1/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t dt
F(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1 =∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t dt
F(ω)=lωim102πF(nω1)/ω1
=lim T1
F(nω1)/T1
=lim T1
∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t
例2.5.10 矩形调幅信号的频谱
f(t)=g(t)cos(ω0t)
G(ω)
g(t)
E
0
-τ/2
τ/2 t
例2.5.11 余弦和正弦信号的频谱
F(ω)
(π)
(π)
-ω1 0 ω1 ω
jF(ω)
(π)
-ω1 0 ω1 ω
(-π)
（7）微分特性
• 若 [f(t)]=F(ω)，则时域微分特性为
[df(t)/dt] = jωF(ω) [df n(t)/dtn] = (jω)n F (ω) 频域微分特性为 -1[dF(ω)/dω] = (-jt)f(t) -1[dFn(ω)/dωn] = (-jt)n f (t)
• 若 [f(t)]=F(ω)，则
其中，α为非零的实常数。
例2.5.9 尺度变换特性的实例

（5）时移特性
• 若 [f(t)]=F(ω)，则
[f(t-t0)] = e –jωt0 ·F(ω) [f (t+t0)] = e jωt0 ·F (ω)

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