第60讲 空间直线、平面垂直位置关系的证明-高中数学常见题型解法归纳反馈训练

高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，证明几何是一个重要的部分，特别是涉及到线面垂直、线面平行、点面面面的证明。

这些知识点是我们理解几何学的基础，掌握了这些知识点，可以更好地应用几何学的相关定理解决问题。

下面我们来总结一下关于这些知识点的证明方法。

首先是线面垂直的证明，线面垂直是指一条直线与一个平面相交成直角。

在证明线面垂直的过程中，常常使用垂直于平面的直线与这条直线的夹角为90度，并结合相关的几何定理来进行证明。

在证明直线与平面的垂直时，可以利用平行线的性质来证明。

其次是线面平行的证明，线面平行是指一条直线与一个平面平行。

在证明线面平行的过程中，常常使用有平行性质的几何图形，比如平行线、平行四边形等。

通过利用这些性质，可以简单明了地证明线面平行的关系。

在证明这些知识点的时候，我们需要注意一些技巧和方法。

首先要善于利用已知条件，根据题目中给出的条件来进行推理。

其次要善于利用几何图形的性质，结合相关定理来进行推理。

最后要善于应用代数方法，通过代数运算来证明一些几何关系。

证明几何是高中数学中非常重要的内容，能够帮助我们更好地理解几何学的相关定理和性质。

通过掌握线面垂直、线面平行、点面面面的证明方法，我们可以更好地解决各种几何问题，并提高数学解题能力。

希望以上总结对大家有所帮助，让我们共同努力，提高数学水平！第二篇示例：在高中数学中，证明几何是一个非常重要的部分，它不仅考察了学生对数学知识的掌握程度，还培养了学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

线面垂直、线面平行、点面、面面等几何关系的证明是学习数学证明的一个重要内容。

下面我们就来看一下关于这些几何关系的证明的知识点总结。

我们来介绍线面垂直的证明。

在线面垂直的证明中，一般需要用到的有以下几个重要的定理：1. 垂直平分线定理：在一个平面内，若一条线段垂直于一条线段的中点，那么这条线段垂直于这条线段。

高中数学证明直线与平面垂直的方法高中数学中，证明直线与平面垂直是一个重要而基础的概念。

垂直关系在几何学中占有核心地位，因为它决定了物体的形状、大小和位置。

证明直线与平面垂直不仅需要运用基础的几何知识，还需要严谨的逻辑推理。

下面将详细介绍证明直线与平面垂直的几种方法。

方法一：定义法根据直线与平面垂直的定义，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

在实际证明中，我们通常需要选择平面内的一条特殊直线（如平面的法线或已知与直线垂直的直线）来进行证明。

方法二：向量法向量法是证明直线与平面垂直的一种常用方法。

首先，我们需要确定直线和平面的向量表示。

如果直线的方向向量与平面的法向量平行（即它们的外积为零），则直线与平面垂直。

这种方法需要一定的向量知识和运算能力。

方法三：几何性质法通过利用几何图形的性质来证明直线与平面垂直也是一种常见方法。

例如，如果一条直线同时垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线与这个平面垂直。

这种方法依赖于对几何图形的深入理解和灵活运用。

方法四：反证法反证法是一种常用的逻辑推理方法，也可以用于证明直线与平面垂直。

假设直线与平面不垂直，然后根据已知条件和几何性质推导出矛盾，从而证明原假设不成立，即直线与平面垂直。

这种方法需要较强的逻辑推理能力。

方法五：综合法综合法是将以上几种方法综合运用，根据具体情况选择合适的方法进行证明。

在实际应用中，我们可能需要结合定义法、向量法、几何性质法和反证法等多种方法来完成证明。

注意事项在证明直线与平面垂直时，需要注意以下几点：理解定义：首先要清楚直线与平面垂直的定义，这是进行证明的基础。

选择适当的方法：根据题目的具体条件和已知信息，选择最合适的方法进行证明。

逻辑推理：在证明过程中，要保持清晰的逻辑思路，每一步都要有充分的理由和依据。

严谨性：几何证明需要严谨的态度和精确的表达，不能随意跳过关键步骤或忽略重要细节。

通过以上方法的学习和实践，我们可以更好地理解和掌握直线与平面垂直的概念，提高我们的几何证明能力和逻辑推理能力。

高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。

本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。

一、线面垂直的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。

2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。

3.证明方法：（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。

（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。

二、线面平行的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。

2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。

3.证明方法：（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。

三、点面关系的证明1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。

2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。

3.证明方法：（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。

四、面面关系的证明1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。

2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。

3.证明方法：（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。

通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

高中数学证明直线与平面垂直的方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学是学生学习生活中不可或缺的一部分，其中数学证明是需要花费一定时间和精力的部分，而证明直线与平面垂直的方法也是一项重要的内容。

在数学中，我们经常需要判断直线与平面是否垂直，这个问题在几何学中是非常重要的，因为垂直关系直接影响到几何图形的性质和性质。

在这篇文章中，我将介绍一些关于证明直线与平面垂直的方法，希望能帮助大家更好地理解这一概念。

我们需要了解什么是直线和平面。

直线是由无限多个点连在一起形成的一条直线，而平面是由无限多个点连在一起形成的一个平面。

在空间中，直线和平面是两种不同的几何对象，它们之间有很多不同的性质和关系。

在数学中，我们通常用直线上的一点和平面上的一个点来判断直线和平面之间的关系。

证明直线与平面垂直的方法有很多种，其中比较常用的方法包括投影法、距离法和点法。

下面我们将分别介绍这三种方法。

首先是投影法。

在数学中，我们常常利用几何图形之间的投影关系来判断它们之间的垂直关系。

对于一条直线和一个平面，我们可以利用它们的投影关系来判断它们是否垂直。

具体来说，我们可以在直线上选取一个点，然后在该点处作出直线在平面上的垂直投影，如果这个投影与平面是垂直的，那么我们就可以得出直线与平面垂直的结论。

其次是距离法。

距离法是另一种常用的证明直线与平面垂直的方法。

在这种方法中，我们需要计算直线上某一点到平面的距离，然后再计算这个点在平面上的垂直投影点到平面的距离，如果这两个距离相等，那么我们就可以得出直线与平面垂直的结论。

证明直线与平面垂直的方法有很多种，投影法、距离法和点法是比较常用的方法。

通过学习这些方法，我们可以更好地理解直线与平面之间的垂直关系，提高数学证明的能力。

希望这篇文章能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

第二篇示例：高中数学证明直线与平面垂直的方法在高中数学学习中，我们经常会遇到需要证明直线与平面垂直的问题。

（一）教学流程本节课由引入——定义的建构——定理的探究——定理的应用——总结反思——布置作业这六个环节构成，分别依照以下步骤逐一展开：（二）教学过程1.引入问题1：空间一条直线与平面有哪几种位置关系？问题2：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？通过复习引入、类比式启发，寻找知识的最近发展区，让学生明确这节课将“研究什么”及“怎样研究”。

2.线面垂直定义的建构（1）创设情境—感知概念首先展示这两张图片，让学生观察。

这种联系现实世界引入概念的方式有助于学生将客观现实材料和数学知识融为一体，实现“概念的数学化”（2）观察归纳—形成概念：问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？通过这样直观的、具体的变式引入概念，借助学生已有的具体的直观经验，帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系，实现从具体到抽象的过渡。

（3）为深化概念进行辨析讨论：从“关键词”及充分必要条件两个方面对定义进行辨析，加深学生对定义内涵的理解。

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？3.直线与平面垂直的判定定理的探究观察实例：学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系设计意图：增强教学直观性，激发学生学习兴趣。

通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。

让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面实质上是将空间问题转化为平面问题，垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。

高中数学空间直线、平面垂直的判定及其性质解析！一、直线和平面垂直的判定和性质1、证明直线和平面垂直的常用方法：① 利用判定定理；② 利用平行线垂直于平面的传递性（a∥b , a⊥α，则b⊥α .）;③ 利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β , 则a⊥β .）;④ 利用面面垂直的性质 .注：当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任何一条直线，常用来证明线线垂直 .【例题1】如图所示，已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，点 M , N 分别是 AB , PC 的中点，若∠PDA = 45°，求证：MN⊥平面 PCD .例题1图【解析】思路：点 M , N 是中点，取 PD 中点 E，则MN∥AE ,AE⊥平面 PCD，则MN⊥平面 PCD .解答：证明：如下图所示，取 PD 的中点 E，连接 AE , NE .∵ 点 E , N 分别为 PD , PC 的中点，∴ EN∥且= 1/2 CD , (三角形中位线定理)又∵ 点 M 是 AB 的中点，四边形 ABCD 为矩形，∴ AM ∥且= 1/2 CD ,∴ EN ∥且= AM，∴ 四边形 AMNE 为平行四边形 .∴ MN ∥且= AE ,又∵ PA⊥平面 ABCD，∠PDA = 45°，∴ △PAD 为等腰直角三角形，∴ AE⊥PD .又∵ CD⊥AD，CD⊥PA，∴ CD⊥平面 PAD , 而 AEㄷ平面 PAD ,∴ CD⊥AE .又∵ CD∩PD = D ,∴ AE⊥平面 PCD ，∴MN⊥平面 PCD .二、平面与平面垂直的判定1、证明面面垂直的常用方法：① 利用判定定理；（判断垂线常用等腰三角形“三线合一”、“勾股定理”等结论 .）② 利用定义证明；（判断两平面所成的二面角是直二面角 .）③ 利用常用结论；（若α∥β，α⊥γ，则有β⊥γ .）【例题2】如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB = BC , 点 D 是 AB 的中点 .(1) 求证：BC1∥平面 CA1D ;(2) 求证：平面CA1D⊥平面 AA1B1B .例题2图【解析】思路：(1) 连接 AC1 交 A1C 于点 E，连接 DE，则 E 为中点，则DE∥BC1 , 所以BC1∥平面 CA1D ; （DE 是△ABC1 的中位线）(2) AC = BC , 则AB⊥CD（等腰三角形中“三线合一”），A1A⊥平面 ABC 则A1A⊥CD , 则CD⊥平面 A1ABB1 ,所以平面CA1D⊥平面 AA1B1B .解答：(1)证明：如下图所示，连接 AC1 交 A1C 于点 E，连接 DE ，∵ 四边形 AA1C1C 为矩形，∴ 点 E 为对角线 AC1 的中点，又∵ 点 D 是 AB 的中点，∴ DE 为△ABC1 的中位线，∴ DE∥BC1，又∵ DEㄷ平面 CA1D , BC1 不ㄷ平面 CA1D，∴ BC1∥平面 CA1D .(2) 证明：∵ AC = BC , 点 D 为 AB 的中点，∴ CD⊥AB，又∵ A1A⊥平面 ABC，CDㄷ平面 ABC，∴ A1A⊥CD，∵ A1A∩AB = A，∴ CD⊥平面 A1ABC1 ,又∵ CDㄷ平面 CA1D ,∴ 平面CA1D⊥平面 AA1B1B .三、平面与平面垂直性质的应用① 当两个平面垂直时，把面面垂直转化为线面垂直，从而在证明线线垂直 .常作的辅助线是在其中一个平面内作两平面交线的垂线 .② 已知面面垂直，通过作辅助线转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用 .通过证线面垂直来证线线垂直是空间中证明两直线垂直最常用的方法 .【例题3】如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD 是等边三角形，已知 BD = 2AD = 8 , AB = 2CD = 4√5 .(1) 设 M 是 PC 上的一点，证明：平面MBD⊥平面 PAD；(2) 求四棱锥 P-ABCD 的体积 .例题3图思路：(1) 因为两平面垂直与点 M 的位置无关，所以在平面 MBD 中，一定有直线垂直于平面 PAD，猜想来证明BD⊥平面 PAD .(2) 四棱锥底面 ABCD 为一梯形，高为点 P 到平面 ABCD 的距离 .解答：(1) 证明：在△ABD 中，∵ AD = 4 , BD = 8 , AB = 4√5 ,∴ AD^2 + BD^2 = AB^2 ,∴ AD⊥BD，又∵ 平面PAD⊥平面 ABCD，平面PAD∩平面 ABCD = AD，∴ BD⊥平面 PAD，又∵ BDㄷ平面 BDM，∴ 平面MBD⊥平面 PAD .(2)过点 P 作PO⊥AD，∵ 平面PAD⊥平面 ABCD，∴ PO⊥平面 ABCD，∴ PO 为四棱锥底面 ABCD 的高，又∵ △PAD 是边长为 4 的等边三角形，由 (1) 可知△ABD 是直角三角形，斜边 AB 上的高为：∴ 梯形的面积为：∴ 四棱锥 P-ABCD 的体积为：。

【知识要点】一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.方法一（几何法）：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想.方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 其中向量,a b 是直线,a b 的方向向量，且111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==向量,m n 是平面,αβ的法向量，且333444(,,),(,,)m x y z n x y z ==1200(,1212z z a b a b a b x x y y a b a b +⊥⇔⊥⇔=⇔+=直线直线其中分别为直线，的方向向量）,,31313(1x y y z z a a m x a a m λλλαα===⊥⇔⇔直线平面其中为直线的方向向量,为平面的法向量）3400(3434z z m n m n x x y y m αβαβ+⊥⇔⊥⇔=⇔+=平面平面其中,n 分别为平面，的法向量） 二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直. 【方法讲评】【例1】【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC平面BDE DE =，所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【点评】（1）本题的第1问证明PA ⊥BD ，转化成证明PA ⊥平面ABC ，第2问证明平面BDE ⊥平面PAC 转化成证明BD ⊥平面PAC .（2）空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.转化成哪一条线垂直哪一条线，哪一条线垂直哪一个平面，哪一个平面垂直哪一个平面，这取决于你的观察和分析，主要关注已知条件中的有垂直关系的线和面.【例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．（Ⅲ）ACDPE⊥的关键是证明CD垂直AE所在的平面PCD.(2)证明PD⊥平面ABE的【点评】（1）证明CD AEPC CD关键是证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线,.【反馈检测1】【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.【例3】如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点. （1）证明：1AG ⊥面EFD ；（2）求二面角E DF C --的余弦值.(2)由(1)知1(2,1,2)AG =--为面EFD 的法向量 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE =为面CFD 的法向量 设1AG 与CE 夹角为θ，则11cos AG CE AG CE θ⋅==⋅231-⋅23=-由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ-∴二面角E DF C --的余弦值为23. 【点评】本题由于是正方体，所以方便建立空间直角坐标系，所以选择向量的方法比较直接. 当然，也可以选择几何法.【反馈检测2】如图，已知多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AE ⊥平面ABCD ，,1,AE CF AB AE AF BE ==⊥．（1）求证：AF ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第60讲： 空间直线、平面垂直位置关系的证明参考答案【反馈检测1答案】(1)证明略；（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得12E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故()()11,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.【反馈检测2答案】（1）见解析;(2 【反馈检测2详细解析】（1）设AC BD O ⋂=以O 为空间直角坐标系原点，以OB 为x +轴，以OC 为y+轴，以过O 点平行于AE 的射线为z +轴建立空间直角坐标系xOy ∵1AB AE ==，且菱形ABCD 中60ABC ∠=︒∴1110,,0,,0,,0,,0,,1222A B C D E ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∵AECF 且()0,0,1AE =，∴设()()0,0,0CF λλ=>∴10,,2F λ⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵AF BE ⊥∴102AF BE λ⋅=-+=，∴12λ=，∴110,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵()10,1,02AF BD ⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭∴AF BD ⊥，又AF BE ⊥且BDBE B = ∴AF ⊥平面BDE（2）设⊥m 平面BEF ，(),,x y z =m∴()11,,,1022BE x y z x y z ⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭m设所求二面角为θ，则有cosθ=。

第60讲空间直线平面垂直位置关系的证明-高中数学常见题型解法归纳反馈训练【知识要点】一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.方法一（几何法）：线线垂直线面垂直面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想.方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.其中向量,ab是直线,ab的方向向量，且111222(,,),(,,)a某yzb某yz==向量,mn是平面,αβ的法向量，且333444(,,),(,,)m某yzn某yz==1200(,1212zzababab某某yyabab+⊥⊥=+=直线直线其中分别为直线，的方向向量）,,31313(1某yyzzaam某aamλλλαα===⊥直线平面其中为直线的方向向量,为平面的法向量）3400(3434zzmnmn某某yymαβαβ+⊥⊥=+=平面平面其中,n分别为平面，的法向量）二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直.【方法讲评】【例1】【2022北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．（III）因为PA∥平面BDE，平面PAC平面BDEDE=，所以PADE∥.因为D为AC的中点，所以由（I）知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面PAC.所以三棱锥EBCD-的体积【点评】（1）本题的第1问证明PA⊥BD，转化成证明PA⊥平面ABC，第2问证明平面BDE⊥平面PAC转化成证明BD⊥平面PAC.（2）空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.转化成哪一条线垂直哪一条线，哪一条线垂直哪一个平面，哪一个平面垂直哪一个平面，这取决于你的观察和分析，主要关注已知条件中的有垂直关系的线和面.【例2】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角的大小．（Ⅲ）ACDPEACDPEM【点评】（1）证明的关键是证明CD垂直AE所在的平面PCD.(2)证明平面的PCCD关键是证明PD垂直平面内的两条相交直线,.【反馈检测1】【2022课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC 是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.【例3】如图，已知正方体1AC棱长为2，E、F、G分别是1CC、BC 和CD的中点.（1）证明：1AG⊥面EFD；（2）求二面角EDFC--的余弦值.(2)由(1)知1(2,1,2)AG=--为面EFD的法向量∵CE⊥面CFD，(0,0,1)CE=为面CFD 的法向量设1AG与CE夹角为θ，则由图可知二面角EDFC--的平面角为πθ-∴二面角EDFC--的余弦值为【点评】本题由于是正方体，所以方便建立空间直角坐标系，所以选择向量的方法比较直接.当然，。

第八章第五节空间直线、平面的垂直关系一、学习目标【课标解读】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中直线、平面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.【衍生考点】1.与线、面垂直(平行)相关命题的判断2.线面垂直的判定及性质3.面面垂直的判定及性质4.平行、垂直关系的综合应用二、相关知识回顾1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.“任意”与“所有”是同义的,但与“无数”不同如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么a⋂b“相交”条件至关重要该直线与此平面垂直微点拨定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.微思考1当直线m与平面α不垂直时,在α内是否一定存在无数条直线与m垂直?微思考2若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的所成的叫作这条直线和这个平面所成的角.(2)线面角的范围:.微点拨一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.加上斜线与平面所成的角,故线面角范围是[0°,90°].3.二面角(1)定义:从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角;(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作的两条射线,这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的范围:[0°,180°].微点拨二面角的平面角定义中有三个关键词:一是“棱上一点”,二是“在两个半平面内”,三是“作棱的垂线”.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理定理文字语言图形表示符号表示名称 判定 定理如果一个平面经过另一个平面的一条 ,那么这两个平面互相垂直}⇒α⊥β性质 定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直一是“在面内”,二是“垂直于交线”}⇒l ⊥α微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l ,若直线m ⊥l ,则m 与平面β一定垂直吗?常用结论1.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 2.三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 三、考点精讲精练考点一 与直线、平面垂直(平行)相关命题的判断 典例突破例1.(1)(2021四川凉山州三模)已知三条不重合的直线m ,n ,l ,三个不重合的平面α,β,γ,下列命题中正确的是( )A.{m ⊥l ,n ⊥l ⇒m ∥nB.{m ⊥α,m ⊥β⇒α∥β C.{α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β D.{l ⊥α,l ⊥n⇒n ∥α (2)(2021山西太原二模)如图所示,在三棱锥P-ABC 中,P A ⊥BC 且P A=BC=1,PB=AC=√2,PC=√3,则下列命题不正确的是( ) A.平面P AB ⊥平面PBC B.平面P AB ⊥平面ABC C.平面P AC ⊥平面PBC D.平面P AC ⊥平面ABC对点训练1(1)(2021山东青岛高三期末)设α,β是两个不同的平面,l 是一条直线,以下结论正确的是( ) A.若l ⊥α,α∥β,则l ⊥β B.若l ∥α,l ∥β,则α∥β C.若l ⊥α,α⊥β,则l ⫋β D.若l ∥α,α⊥β,则l ⊥β突破技巧判断与空间平行、垂直关系有关的命题真假的方法 (1)借助几何图形来说明线面关系.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明.(2)(2021湖南师大附中高三月考)若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊥α,n⫋β,则“m∥n”是“α⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件考点二直线、平面垂直的判定及性质(多考向探究)考向1.直线与平面垂直的判定典例突破例2.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2√2,P A=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.对点训练2如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF.考向2.直线与平面垂直的性质典例突破例3.如图,P A⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,P A=AB=1,AD=2,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.(1)求三棱锥E-P AD的体积;(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.对点训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为底面ABCD的中心,求证:B1O⊥AP.考点三平面与平面垂直的判定及性质典例突破例4.(2021新高考Ⅰ,20)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.对点训练4(2021陕西咸阳模拟)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ADEF为正方形,DE=BD=1,CE=√2,点G为AD的中点,点H为DE的中点.(1)求证:平面ADEF⊥平面ABCD且FH⊥BE;(2)求三棱锥B-CEG的体积.考点四平行、垂直关系的综合应用典例突破例5.在多面体ABCDEF中,BC∥EF,BF=√6,△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDF是菱形,∠F AC=60°,M,N分别是AB,DF的中点.(1)求证:MN∥平面AEF;(2)求证:平面ABC⊥平面ACDF.对点训练5(2021西南交大附中高三月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AB=AD=PD=12CD,PD⊥平面ABCD.规律方法用几何法证明空间中的平行与垂直关系,关键是灵活运用各种平行(垂直)关系的转化:(1)证明:平面PBD⊥平面PBC;(2)是否存在一点E,使得P A∥平面BDE?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.。