通用版八年级数学上册阶段综合训练一勾股定理及其逆定理测试范围1.1-1.2习题讲评课件北师大版

华东师大版数学八年级上册第14章勾股定理勾股定理及其逆定理的综合应用专题检测题1．下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是()A．9，12，15 B.54，1，34C．0.2，0.3，0.4 D．40，41，92．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为()A．1 B. 2 C. 3 D．23．如图所示的正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D ．以上答案都不对4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)为()A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m 5．为了求出湖两岸的A，B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，如图，通过测量得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是()A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m6．下列说法中，错误的是()A．在△ABC中，∠C＝∠A－∠B，则△ABC为直角三角形B．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC直角三角形C．在△ABC中，a＝35c，b＝45c，则△ABC为直角三角形D．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶3∶4，则△ABC为直角三角形7．某小区有一块草坪如图所示，已知AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，DA＝26米，且AB⊥BC，则这块草坪的面积是()A．96平方米B．144平方米C．120平方米D．288平方米8．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大半圆面积，则这个三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，在AB边上取一点D，使BD＝BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC＝8，BC＝6.求DE的长．10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是()A．5 B．25C．10＋5 D．3511．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE翻折，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为________．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，且a＋b＝7，c＝5，求Rt△ABC的面积．13．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点，且CE＝CB，求证：AF⊥FE.14．如图，公路AB和公路CD在点P处交会，且∠APC＝45°，点Q处有一所小学，PQ＝120 m，假设拖拉机行驶时，周围130 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36 km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？答案：1---8 CCADC DBB9. 连接BE ，可证Rt △BCE ≌Rt △BDE(H.L.)，得CE ＝DE ，由勾股定理得AB ＝10，设DE ＝x ，则CE ＝x ，AE ＝8－x ，AD ＝4，在Rt △ADE 中，由勾股定理可求得x ＝3，所以DE ＝310. B11. 10312. ∵a 2＋b 2＝25，又a ＋b ＝7.∴(a ＋b)2＝49，即a 2＋b 2＋2ab ＝49.∴12ab ＝6，Rt △ABC 的面积为613. 连接AE ，设AB ＝4a ，则DF ＝CF ＝2a ，CE ＝a ，BE ＝3a ，由勾股定理得：AF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a 2，EF 2＝(2a)2＋a 2＝5a 2，AE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a 2.∵AF 2＋EF 2＝AE 2，∴△AFE 是直角三角形，∴∠AFE ＝90°，即AF ⊥FE14.过Q作QH⊥PA于H，∵∠APC＝45°，∴∠HQP＝45°.∴△PHQ为等腰直角三角形.∵PQ＝120 2 m，∵PH2＋HQ2＝PQ2，∴PH＝HQ＝120 m<130 m.故学校会受到噪声的影响.设拖拉机[HJ2.1mm]行至E处开始影响学校，在F处结束影响，则QE＝QF＝130 m，由勾股定理可得：EH＝FH＝1302－1202＝50(m).∴EF＝100 m，又∵V拖＝36 km/h＝36000 m3600 s＝10 m/s，∴学校受影响的时间为100÷10＝10(s)。

一、选择题1．如图，在22⨯的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A 为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D．则CD的长为（）A．12B．13C．23-D．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2 B．52C．4 D．63．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1 条B．2条C．3条D．4条4．在下列四组数中，属于勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．123 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（）A ．103B ．256C ．203D ．1546．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC的值为（ ）A ．352 B ．51- C ．5﹣1 D ．51+ 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意可列方程（ ）A ．222(6)10x x ++=B ．222(6)10x x -+=C ．222(6)10x x +-=D ．222610x +=8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（ ）A ．4.2尺B ．4.3尺C ．4.4尺D ．4.5尺 9．一个直角三角形的两条边分别是9和40，则第三边的平方是（ ）A ．1681B ．1781C ．1519或1681D ．1519 10．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（ ）A ．52613B ．102613C ．13137D ．7131311．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）A ．3B ．5C ．31+或31-D ．51+或51- 12．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ︒∠==，点M 为射线AE 上一点，连接CM ，点N 为三角形ABC 外右侧一点，连接CN ，连接NB 交射线AE 于点D ，已知,,15CN CM CN CM EAC ︒⊥=∠= ，6260,2ACM BD ︒+∠==，则线段DN 长为________．14．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．15．如图，在ABC 中，90C =∠，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若5AB =，3AC =，则ACD △的周长为__________．16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________17．如图，两个正方形的面积分别是118S =，212S =，则第三个正方形的面积3S =_________．18．若直角三角形的两直角边长为a 、b 21025a a -+b ﹣12|＝0，则该直角三角形的斜边长为_____．19．现有两根木棒，长度分别为5dm 和12dm ，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需的第三根木棒的长度可以是________dm ．20．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________．三、解答题21．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线与外角∠ACD 的角平分线相交于点E ． （1）设∠A ＝α，用含α的代数式表示∠E 的度数；（2）若EC ∥AB ，AC ＝4，求线段CE 的长；（3）在（2）的条件下，过点C 作∠ACB 的角平分线交BE 于点F ，若CF ＝3，求边AB 的长．22．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9.求AB 的长.23．如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D 到地面的垂直距离DE=32米．求点B 到地面的垂直距离BC ．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．25．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．（1）求证：ADE BEC ≌△△．（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．26．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AC 上一点，点E 、点F 是BC 上的点，且∠CDF =∠CEA ，CF =CA ．（1）如图1，若AE 平分∠BAC ，∠DFC =25°，求∠B 的度数；（2）如图2，若过点F 作FG ⊥AB 于点G ，连结GC ，求证：AG +GF =2GC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】解：连接AD ，如图所示：∵AD =AB =2，∴DE =2221-=3，∴CD =23-，故选：C ．本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．2．D解析：D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝，即可求解．【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴AB=，AC=，BC=，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，∴1（a+c）（c﹣a）＝9，2∴c2﹣a2＝18，∴b2＝18，∴b＝∴AC=＝6，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．3．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵=，=d=2，=5∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．4．B解析：B根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．【详解】A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；D ．1、2、3，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．5．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．6．B解析：B【分析】先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴==∵BD=BC=1，∴1-，∴AE AC =， 故选B ．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 7．A解析：A【分析】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据勾股定理解答．【详解】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据题意可列方程222(6)10x x ++=，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键． 8．A解析：A【分析】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺， ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，∴2224(10)x x +=-，解得：x=4.2，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 9．C解析：C【分析】由题意可分当第三边为直角边时和当第三边为斜边时，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：当第三边是直角边时，第三边的平方是402﹣92＝1519；当第三边是斜边时，第三边的平方是402+92＝1681；故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用割补法可得△ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：AC=∵S△ABC＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC•BD＝72，∴＝7，∴BD故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．11．C解析：C【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q在CB延长线上时，在Rt△ACQ中，CQ===∴1；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 的长为31+或31-．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．12．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．二、填空题13．【分析】根据题意可求证延长CM 交AB 与点G 过G 作GK 垂直于BC 于点K 根据角相等判断边相等AG=AM 列出方程求出AG 的长从而求出AM 的长从而求出BN 的长DN=BN-BD 即可求解【详解】∵∴∵CN=CM【分析】根据题意可求证ACM BCN ≅，延长CM 交AB 与点G ，过G 作GK 垂直于BC 于点K ，根据角相等判断边相等，AG=AM ，列出方程求出AG 的长，从而求出AM 的长，从而求出BN 的长，DN=BN-BD 即可求解．【详解】∵60ACM ︒∠=，90M B N A C C ︒=∠∠=，∴60ACM BCN ︒∠=∠=，∵AC BC =，CN=CM∴ACM BCN ≅，∴15CAM CBN ︒∠=∠=，延长CM 交AB 与点G ，过G 作GK 垂直于BC 于点K ，∵90,ACB AC BC ︒∠==，60ACM ︒∠=∴45ABC ︒∠=，45CAB ︒∠=，30GCB ∠=︒，∴60ABD ︒∠=，30BAD ︒∠=，75AGC ∠=︒，75AMG ∠=︒∴90ADB ︒∠=，AM=AG ，∵BD = ∴AB =∴12AC BC ===，设BK=a ，则GK=a ，CK =， ∴1a +=，∴a=1，∴1BK KG ==， ∴BG =∴AG =AM =∴6BN =， ∴622DN BN BD -=-=， 故答案为：62-．【点睛】本题主要考查的是三角形全等的性质及判定，正确做出辅助线，熟练掌握三角形全等的性质及判定是解答本题的关键．14．11cm12cm 【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大h 最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大=24﹣12=12（cm ）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，此时，在杯子内的长度22512+=13（cm ），故h =24﹣13=11（cm ）．故h 的取值范围是11≤h ≤12cm ．故答案为：11cm ；12cm ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 15．7【分析】先根据勾股定理求出BC 的长再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD 即AD+CD=BC 再由AC=6即可求出答案【详解】解：∵△ABC 中∠C=90°AB=5AC=3∴BC==4∵DE 是线段AB 的解析：7【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=2222-=-=4，53AB AC∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=3+4=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出AD+CD=BC是解题的关键．16．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A的面积为1由勾股定理得正方形B的面积+正方形C的面积=1∴解析：2021【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．17．6【分析】根据题意和图形可以得到AB2和AC2再根据△ABC是直角三角形和勾股定理可以得到BC2【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18S2=12∴AB2=18AC2=12∵△ABC是直角三角解析：6【分析】根据题意和图形，可以得到AB2和AC2，再根据△ABC是直角三角形和勾股定理，可以得到BC2．【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18，S2=12，∴AB2=18，AC2=12，∵△ABC是直角三角形，∴BC2=AB2-AC2=18-12=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．13【分析】根据非负数的性质得到ab的值然后结合勾股定理求得斜边的长度即可【详解】解：∵∴∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0∴a＝5b＝12∴该直角三角形的斜边长为：故答案是：13【点睛】本题考查了勾股解析：13【分析】根据非负数的性质得到a、b的值，然后结合勾股定理求得斜边的长度即可．【详解】解：∵|12|0b-=，∴|12|0b-=∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0，∴a＝5，b＝12，∴13=．故答案是：13．【点睛】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．19．13或【分析】分情况讨论当的木棒为直角边时以及当的木棒为斜边时利用勾股定理解答即可【详解】解：当的木棒为直角边时第三根木棒的长度为；当的木棒为斜边时第三根木棒的长度为；故答案为：13或【点睛】本题考解析：13【分析】分情况讨论当12dm的木棒为直角边时以及当12dm的木棒为斜边时，利用勾股定理解答即可．【详解】解：当12dm13dm；当12dm=；故答案为：13【点睛】本题考查勾股定理的应用，分情况讨论是解题的关键．20．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直解析：【分析】直接根据勾股定理求解可得．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．三、解答题21．（1）12α；（2）4；（3）5625【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可．（2）证明CA＝CB＝CE，可得结论．（3）如图，连接AF，过点C作CT⊥BE于T．解直角三角形求出EF，BE，BF，再利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则有22y x Ay x E=+∠⎧⎨=+∠⎩，可得∠E ＝12∠A ＝12α． （2）∵EC ∥AB ，∴∠ABE ＝∠E ，∵∠ABC ＝2∠ABE ，∠A ＝2∠E ，∴∠A ＝∠ABC ，∠E ＝∠CBE ，∴CA ＝CB ＝4，CE ＝CB ＝4.（3）如图，连接AF ，过点C 作CT ⊥BE 于T ，延长CF 交AB 于R ．∵CF 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠FCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝90°， ∵CF ＝3，CE ＝4，∴EF5，∵S △CEF ＝12•EC•CF ＝12•EF•CT ， ∴CT ＝125， 在Rt △BCT 中，BT＝165， ∵CB ＝CE ，CT ⊥BE ，∴BT ＝TE ，∴BE ＝2BT ＝325， ∴BF ＝BE ﹣EF ＝325﹣5＝75， ∵CA ＝CB ，CF 平分∠ACB ，∴CR ⊥AB ，BR ＝AR ，设BR ＝x ，RF ＝y ， 则有2222227()5(3)4x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩， 解得2825215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（不符合题意的解已经舍弃）． ∴AB ＝2BR ＝5625．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，平行线的性质，勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，题目有一定的难度．22．【分析】由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长，再利用勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．【详解】∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，∴CD2+92=152∴CD=12；在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25．23．33【分析】在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．【详解】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，2．∴AD2=AE2+DE2=（2）2+（2）2=36，∴AD=6，即梯子的总长为6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=1AB=3，2∴BC2=AB2-AC2=62-32=27，∴BC=27=33m，∴点B到地面的垂直距离BC=33m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．24．25 4【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，再由勾股定理可得方程（8−x）2＋62＝x2，求解后即可得出答案．【详解】解：连接BE，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴AC2＋BC2＝AB2．即82＋BC2＝102，解得：BC＝6．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE．设AE＝BE＝x，则EC＝8−x，∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，∴（8−x）2＋62＝x2，解得：x＝254，∴AE＝254．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．25．（1）证明见详解；（2）26【分析】（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．【详解】（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠A =∠B =90°，∵∠1=∠2，∴DE =CE ．∵AD =BE ，在Rt △ADE 与Rt △BEC 中AD BE DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．∴∠DEC =90°．在Rt △ADE 中又∵30,3AED AE ∠=︒=设AD =x ，则DE =2x,由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x +=解得x =∴在Rt △CDE 中由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2∴CD【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是解题关键．26．（1）∠B=40°；（2）见解析．【分析】（1）先利用SAS 证明△AEC ≌△FDC ，得出∠EAC=∠DFC=25°，从而得出∠BAC=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论（2）过点C 作GC 的垂线交GF 的延长线于点P ，根据同角的余角得出∠PCF =∠GCA ，再根据ASA 得出△AGC ≌△FPC ，从而得出△GCP 是等腰直角三角形，即可得出答案【详解】（1）在△AEC 和△FDC 中，∵∠CDF=∠CEA CE=CD ∠C=∠C，∴△AEC≌△FDC，∴∠EAC=∠DFC=25°∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC=50°∵∠C=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°－∠BAC=40°．（2）如答图，过点C作GC的垂线交GF的延长线于点P∴∠GCP = 90°∴∠GCF＋∠PCF = 90°，∵∠ACB = 90°∴∠GCF＋∠GCA = 90°，∴∠PCF =∠GCA．∵∠ACB=90°，GF⊥AB∴∠B＋∠BAC=∠B＋∠BFG= 90°，∴∠BAC=∠BFG．又∵∠PFC=∠BFG∴∠GAC=∠PFC．由（1）知，△AEC≌△FDC，∴CA=CF，∴△AGC≌△FPC，∴GC=PC，AG=FP．又∵PC⊥GC，∴△GCP是等腰直角三角形，∴GF＋2GC，∴AG＋2GC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

18.2 勾股定理的逆定理 达标训练一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4 图18－2－5 图18－2－63.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.图18－2－89.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－910.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC 是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；②错误的原因是______________ ；③本题的正确结论是_________ _.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18－2－10参考答案一、基础·巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.由A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选D.2.解：过D 点作DE ∥AB 交BC 于E,则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°. 又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022=- cm.∴AB=3551022=- cm.3.思路分析：因为△ABC 是Rt △，所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3，所以S 3=12，因为S 3=AB 2,所以AB=32123==S .4.思路分析：分别计算EF 、CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解：∵E 为AB 中点，∴BE=2.∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25.∵CE 2+EF 2=CF 2,∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形.5.思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ABD 中，AB 2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以△ABD 为直角三角形，∠A =90°. 在△BDC 中,BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=132=BC 2.所以△BDC 是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵k 2+1>k 2－1,k 2+1－2k=(k －1)2>0,即k 2+1>2k ，∴k 2+1是最长边.∵(k 2－1)2+(2k )2=k 4－2k 2+1+4k 2=k 4+2k 2+1=(k 2+1)2,∴△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵AC 2=AD 2+CD 2，BC 2=CD 2+BD 2，∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD·BD+BD 2=（AD+BD ）2=AB 2.∴△ABC 是直角三角形.9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA 、AB 、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB 是否是直角三角形即可.解：∵ OA 2=OA 12+A 1A 2=32+12=10, OB 2=OB 12+B 1B 2=22+42=20,AB 2=AC 2+BC 2=12+32=10, ∴OA 2+AB 2=O B 2.∴△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形.10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a 有可能等于b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：①(B) ②没有考虑a=b 这种可能，当a=b 时△ABC 是等腰三角形；③△ABC 是等腰三角形或直角三角形.11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a 2－10a+25+b 2－24b+144+c 2－26c+169=0,配方并化简得,(a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0.∵(a －5)2≥0,(b －12)2≥0,(c －13)2≥0.∴a －5=0,b －12=0,c －13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a 2+b 2=169=c 2,∴△ABC 是直角三角形.12.思路分析：（1）作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在△DEC 中，3、4、5为勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）,∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形.又∵EC=EB=3,∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,∴△BDA 是直角三角形.它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC =21×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.。

初二数学勾股定理的逆定理试题1.已知甲、乙两人从同一处出发，甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距千米．【答案】5【解析】因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离．如图，∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，∴，则这时甲、乙两人相距5千米．【考点】本题考查的是勾股定理的应用点评：善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2.在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________【答案】5【解析】根据BD，AD，AB的长度可以判定△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，又D为BC的中点，可以判定△ABC为等腰三角形，从而求得结果．在△ABD中，已知AB=5，AD=4，BD=3，满足AB2=AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，即AD⊥BC，又∵D为BC的中点，∴△ABC为等腰三角形，且AB=AC，∴AC=5．【考点】本题考查的是直角三角形的判定，等腰三角形的性质点评：本题中首先要根据勾股定理的逆定理来判定直角三角形，求证△ABC是等腰三角形是解题的关键．3.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是A．第三边一定为10B．三角形的周长为25C．三角形的面积为48D．第三边可能为10【答案】D【解析】分情况讨论：主要看两个数中较大的数的情况，8是斜边和8不是斜边两种情况求解．①当8是斜边时，根据勾股定理得第三边是；②当8是直角边时，第三边是；故选D．【考点】本题考查的是勾股定理点评：此类题重点注意哪一条边是斜边不确定，所以要分两种情况考虑．4.直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为A．27cm B．30cm C． 40cm D．48cm【答案】D【解析】可根据一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，得出两直角边为3x，4x，再利用勾股定理，直接代入即可求得结果．∵一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，∴设两条直角边长的长是 3x，4x，∴（3x）2+（4x）2=202，解得：x=4或-4（不合题意舍去）∴3x=12，4x=16，∴这个三角形的周长是：12+16+20=48cm．故选D.【考点】本题考查的是勾股定理的应用点评：利用两直角边的比值表示出两直角边的长是解题关键．5.下列命题中是假命题的是A．△ABC中，若∠B=∠C－∠A，则△ABC是直角三角形.B．△ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则△ABC是直角三角形.C．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形.D．△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形.【答案】C【解析】若一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理，依次分析各项即可。

单元测试(四) 勾股定理(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D D D B B B C1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B)A.2，3，4B.3，4，5C.4，6，7D.5，11，122.已知△A BC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为(A)A.30B.60C.78D.不能确定3.用反证法证明：a，b至少有一个为0，应该假设(A)A.a，b都不为0B.a，b只有一个为0C.a，b至多一个为0D.a，b都为04.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)A.1B.2C.3D.45.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为(D)A.4B.8C.16D.646.如图，在4×4的方格纸中，有一个格点三角形ABC，关于它的描述正确的是(D)A.三边长都是有理数B.是等腰三角形C.是直角三角形D.有一条边长为57.将一根长度为16 cm 自然伸直的弹性皮筋AB 两端固定在水平的桌面上，然后把中点C 竖直向上拉升6 cm 至D 点(如图)，则该弹性皮筋被拉长了(B)A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm 8.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，两直角边AB ＝7，BC ＝24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是(B)A.1B.3C.6D. 39.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，△BCD 与△BC′D 关于直线BD 对称，BC ＝6，CD ＝3，点C 与点C′对应，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为(B)A.3B.154C.5D.15210.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(C)图1 图2A.51B.49C.76D.无法确定二、填空题(每小题3分，共15分)11.某直角三角形三条边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为20.12.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30 cm，40 cm和50 cm，则这个教具合格(填“合格”或“不合格”).13.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连结OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7.14.如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形，若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是8 3.15.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.求问题中葛藤的最短长度是25尺.提示：如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，另一条直角边长5×3＝15(尺)，因此葛藤长152＋202＝25(尺).三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(6分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.用反证法证明：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明：假设∠A，∠B ，∠C 都小于60°， 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°， 则∠A＋∠B＋∠C<180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立. 因此，∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角大于或等于60°.17.(8分)如图，AC ＝BC ＝BD ＝1，AD ＝3，求△ABD 的面积.解：在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝ 2. ∵在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝3，BD ＝1， ∴AB 2＋BD 2＝AD 2.∴△ABD 为直角三角形，且∠ABD＝90°. ∴S △ABD ＝12AB·BD＝12×2×1＝22.18.(9分)已知a ，b ，c 满足(a －3)2＋b －3＋|c －6|＝0. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试问以a ，b ，c 为边能否构成直角三角形？请说明理由. 解：(1)∵(a－3)2＋b －3＋|c －6|＝0， ∴a －3＝0，b －3＝0，c －6＝0. ∴a ＝3，b ＝3，c ＝ 6.(2)能构成直角三角形，理由如下： ∵a 2＋c 2＝3＋6＝9，b 2＝9，∴a 2＋c 2＝b 2. ∴能构成直角三角形.19.(8分)如图，AD 是△ABC 中BC 边上的高，P 是AD 上任意一点.当P 从A 向D 移动时，线段PB ，PC 的长都在变化，试探索PB 2－PC 2的值如何变化？解：PB 2－PC 2的值不变，理由： ∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.根据勾股定理，得PB 2＝BD 2＋PD 2，PC 2＝CD 2＋PD 2. ∴PB 2－PC 2＝BD 2＋PD 2－(CD 2＋PD 2)＝BD 2－CD 2. ∴PB 2－PC 2的值不变.20.(10分)如图，在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，D 是BC 的中点，求AD 的长和△ABD 的面积.解：∵在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13， 132＝52＋122， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.∴△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°. ∵D 是BC 的中点， ∴CD ＝BD ＝6.∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2＋CD 2＝52＋62＝61， S △ABD ＝12BD·AC＝12×6×5＝15.21.(12分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图. (1)画一个直角三角形，使它的面积为3；(2)画一个正方形，使它的面积为10； (3)画一个等腰直角三角形，使它的面积为8.解：(1)(2)(3)如图(其中(1)的答案不唯一).22.(10分)如图，某工厂C 前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC ，BC 可以从工厂C 到达公路，经测量AC ＝600 m ，BC ＝800 m ，AB ＝1 000 m ，现需要新建一条路，使工厂C 到公路的距离最短.请你帮工厂C 设计一种方案，并求出新建的路的长.解：过点A 作CD⊥AB，垂足为D ， ∵6002＋8002＝1 0002， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2. ∴∠ACB ＝90°.∴S △ACB ＝12AB·CD＝12AC ·BC ，即12×600×800＝12×1 000×CD， 解得CD ＝480.∴新建的路CD 的长为480 m.23.(12分)如图，圆柱形杯子高为9 cm ，底面周长为18 cm ，在杯口点B 处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外底部与蜂蜜相对的点A 处.(1)求蚂蚁从A 爬行到B 处杯壁吃到蜂蜜的最短距离；(2)若蚂蚁出发时发现有蜂蜜正以每秒1 cm 的速度沿杯内壁下滑，蚂蚁出发后3秒吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？解：(1)如图所示，∵圆柱形杯子高9为 cm，底面周长为18 cm，∴AD＝9 cm.∴AB＝AD2＋BD2＝92＋92＝92(cm).答：蚂蚁从A爬行到B处杯壁吃到蜂蜜的最短距离为9 2 cm.(2)∵AD＝9 cm，∴蚂蚁所走的路程为92＋（9＋3）2＝15(cm). ∴15÷3＝5(cm/s).答：蚂蚁的平均速度至少是5 cm/s.。

八年级上勾股定理的逆定理同步练习含答案一．选择题（共7小题）1．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，72．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：63．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形4．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形5．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（）A．b2=（a+c）（a﹣c）B．a：b：c=1：2：C．a=32，b=42，c=52D．a=6，b=8，c=106．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形7．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c=C．（b+a）（b﹣a）=c2D．∠A：∠B：∠C=5：3：2二．填空题（共7小题）8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为______．9．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是______．10．如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=______度．11．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是______（只填数，不填等式）12．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为______cm2．13．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为______．14．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和______组成一组勾股数．三．解答题（共8小题）15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．17．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．18．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c19．在△ABC中，c为最长边．当a+b=c时，△ABC是直角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形；当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．若a=2，b=4，试判断△ABC 的形状（按角分），并求出对应的c的取值范围．20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为______三角形．（2）猜想，当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．21．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？22．张老师在一次“（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=______，b=______，c=______；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．参考答案一．选择题（共7小题）1．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形【分析】先把等式化为a2﹣b2=c2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=c2，∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】对原式进行化简，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C．【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．5．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（）A．b2=（a+c）（a﹣c）B．a：b：c=1：2：C．a=32，b=42，c=52D．a=6，b=8，c=10【分析】根据选项中的数据，由勾股定理的逆定理可以判断a、b、c三边组成的三角形是否为直角三角形．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、∵b2=（a+c）（a﹣c），∴b2=a2﹣c2，∴b2+c2=a2，∴能构成直角三角形，故选项A错误；B、∵a：b：c=1：2：，∴设a=x，则b=2x，c=x，∵x2+（x）2=（2x）2，∴能构成直角三角形，故选项B错误；C、∵a=32，b=42，c=52，∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，∴不能构成直角三角形，故选项C正确；D、∵a=6，b=8，c=10，62+82=36+64=100=102，∴能构成直角三角形，故选项D错误；故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理时，可用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解答】解：如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c=C．（b+a）（b﹣a）=c2D．∠A：∠B：∠C=5：3：2【分析】由三角形内角和定理得出条件A和B是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出条件C是直角三角形，B不是；即可得出结果．【解答】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；B、设a=20k，则b=15k，c=12k，∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，故不能判定是直角三角形；C、∵（b+a）（b﹣a）=c2，∴b2﹣a2=c2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确；D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，∴∠A=×180°=90°，故是直角三角形，正确．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法．二．填空题（共7小题）8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为 4.8．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵三角形三边的长分别为6、8和10，62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h，∴6×8=10h，解得，h=4.8．【点评】本题考查的是直角三角形的判定定理及三角形的面积公式，比较简单．9．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是480．【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长即可求得x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．【解答】解：设三边的长是5x，12x，13x，则5x+12x+13x=120，解得：x=4，则三边长是20，48，52．∵202+482=522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是×20×48=480．故答案是：480．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，正确判断三角形是直角三角形是关键．10．如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=90度．【分析】根据面积得出AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵S1=3，S2=2，S3=1，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，故答案为：90．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理的应用，能根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°是解此题的关键．11．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是15，112，113（只填数，不填等式）【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113．【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．12．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．13．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为等腰直角三角形．【分析】由于（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，利用非负数的性质可得a=b，且a2+b2=c2，根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理可得以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．【解答】解：∵（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，∴a﹣b=0，且a2+b2﹣c2=0，∴a=b，且a2+b2=c2，∴以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质．14．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．【分析】根据勾股数的定义可得要求的数是852﹣842，再进行计算即可．【解答】解：∵852﹣842=132，∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．故答案为：13．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．三．解答题（共8小题）15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．【解答】解：∵42+32=52，52+122=132，即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，同理，∠ACD=90°∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC 的面积可得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）连接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×=2，∴四边形ABCD的面积为：AD•EB+DB•CD=×4×+×4×8=4+16．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．17．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．【解答】（1）证明：连接CE，如图，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE=BE…（2分）∵BE2﹣EA2=AC2，∴CE2﹣EA2=AC2，∴EA2+AC2=CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；（2）解：∵DE=3，BD=4，∴BE==5=CE，∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，∵BC=2BD=8，∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．18．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．【解答】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．【点评】本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理；解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．19．在△ABC中，c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形；当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．若a=2，b=4，试判断△ABC 的形状（按角分），并求出对应的c的取值范围．【分析】分三种情况：①△ABC是直角三角形；②△ABC是钝角三角形；③△ABC是锐角三角形．【解答】解：∵a=2，b=4，∴a2+b2=22+42=20．分三种情况：①△ABC是直角三角形时，a2+b2=c2，c2=20，c=2；②△ABC是钝角三角形时，a2+b2＜c2，且a+b＞c，即20＜c2，且6＞c，解得2＜c＜6；③△ABC是锐角三角形时，a2+b2＞c2，且b﹣a＜c，即20＞c2，解得﹣2＜c＜2，∵c为最长边，∴c≥4．故4≤c＜2．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形形状的判断及学生的阅读理解能力．20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形．（2）猜想，当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．【分析】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据（1）中的计算作出判断即可；（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：＞；＜；（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．21．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【解答】解：由题意得，OB=12×1.5=18海里，OA=16×1.5=24海里，又∵AB=30海里，∵182+242=302，即OB2+OA2=AB2∴∠AOB=90°，∵∠DOA=40°，∴∠BOD=50°，则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．n（n＞1）的代数式表示：a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．【分析】（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．【解答】解：（1）由题意有：n2﹣1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a=n2﹣1，b=2n；c=n2+1∴a2+b2=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．【点评】本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．。

第一章勾股定理综合测评（本试卷满分100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，则下列结论正确的是（）A．AB＝AC+BC B．AB＝AC•BCC．AB2＝AC2+BC2D．AC2＝AB2+BC2图1 图2 图3 图4 图52.下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，93.如图2，分别标有“放”“鸡”“岛”的三个正方形围成一个直角三角形，标有“放”、“鸡”的正方形的面积分别为18，50，则图中标有“岛”字的正方形的面积是( )A.34B.32C.30D.284．已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝2：3：4C．a2＝b2﹣c2D．a＝，b＝，c＝15.如图3，有一块长方形空地ABCD，如果AB=300米，AD=400米，要从A走到C，至少要走（）A．300米B．400米C．500米D．700米6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（）A．3 B．4 C．15 D．7.27.如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（）A．100π-24 B．100π-48 C．25π-24 D．25π-488.如图5，已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（）A.8B.10C.12D.169.如图6，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7 m，梯子的顶端B到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′等于（）A.3 m B．4 m C．5 m D．6 m图6 图710.如图7，在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点F处，则BE的长为（）A.263B.9C.38D.37二、填空题（每小题3分，共18分）11.已知一直角三角形的两条直角边长分别是20，15，斜边长为x，则x=_____.12.有一组勾股数，如果其中的两个数分别是17和8，那么第三个数是_____.13.图8所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH都是正方形，如果EF=4，AH=12，那么AB的长为_____.图814.在△ABC中，三边长a，b，c满足a:b:c=9:40:41，周长为90，则△ABC的面积为_____.15.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为．16. 勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为________________．三、解答题（共52分）17.（6分）如图9，在△ABC 中，AB=25，AC=17，边BC 上的高AD=15，求BC 的长．18.（6分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，如果a=215，b=225，c=10，这个三角形是直角三角形吗？请说明理由. 小康的解答如下：解：这个三角形不是直角三角形.理由如下： 因为a 2+b 2=（215）2+（225）2=2425，c 2=100，所以a 2+b 2≠c 2. 所以△ABC 不是直角三角形.请问：小康的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.19.（8分）如图10，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船向南偏东55°的方向航行．2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C ，B 两船相距40海里，问：乙船的航行速度是每小时多少海里？20.(10分）某游乐场计划修建一个图11所示的游泳池供游客休闲娱乐，泳池底部如图所示.已知∠DAB=90°，AB 的长为40 m ，AD 的长为30 m ，BC 的长为120 m ，CD 的长为130 m.求该泳池的占地面积.21.（10分）图12是小明家的一块直角三角形绿地，量得两条直角边的长分别为BC=18米和AC=24米，现要将该直角三角形绿地扩充成一个等腰三角形，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，请你求出扩充后的等腰三角形绿地的面积.22.（12分）如图13，在△ABC中，已知AB=1，AC=2，CB＇⊥BC，且CB＇=CB，△A＇B＇C≌△ABC，连接AB＇，AA＇.（1）判断△ACA＇的形状，并说明理由；（2）若AB＇=3，求∠B＇A＇C的度数.附加题（20分，不计入总分）23.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小东以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图15-①或图15-②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小东利用图14-①验证勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图14-①所示摆放，其中∠DAB=90°，试说明：a2+b2=c2.解：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．因为S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，又S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b-a），所以12b2+12ab=12c2+12a（b-a）.所以a2+b2=c2.解决问题：请参照上述方法，利用图15-②完成下面的验证：将两个全等的直角三角形按图15-②所示摆放，其中∠DAB=90°．试说明：a2+b2=c2．第一章 勾股定理综合测评一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.B10. A 提示：在Rt △ABD 中，由勾股定理求得BD=13.根据折叠的性质，得EF=AE ，∠DFE=∠A=90º，DF=DA=5.设AE=x ，则EF=x.在Rt △BEF 中，FB=13-5=8，BE=12-x ，根据勾股定理，得FE 2+FB 2=EB 2，即x 2+82=(12-x)2，解得x=310.所以BE=12-310=263. 二、11.25 12. 15 13.20 14.180 15.（x ﹣3）2+64＝x 2 16. （11，60，61）三、17.解：在Rt △ADC 中，由勾股定理，得DC 2=AC 2-AD 2=172-152=64，所以DC=8.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=252-152=400，所以BD=20.所以BC=BD+DC=20+8=28. 18.解：小康的解答不正确.正确的解答过程如下：这个三角形是直角三角形.理由：因为21510225>>，所以b 是这个三角形的最长边. 因为a 2+c 2=（215）2+102=4625，b 2=(4625)2252=，所以a 2+c 2=b 2.所以△ABC 是直角三角形.19. 解：由题意，得AC=12×2=24（海里）． 因为∠EAC=35°，∠FAB=55°，所以∠CAB=90°．因为BC=40海里，AC=24海里，在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2-AB 2=402-242=1024，所以AB=32海里． 因为乙船也行驶了2小时，所以乙船的航行速度是32÷2=16（海里/时）． 20.解：连接BD.因为∠DAB=90°，AB=40 m ，AD=30 m ，所以BD=50 m.因为BC=120 m ，CD=130 m ，所以BD 2+BC 2=CD 2.所以△BCD 是直角三角形.所以∠DBC=90°. 所以S 四边形ABCD =S △DAB +S △BCD =12AB·AD+12BC·BD=12×40×30+12×120×50=3600（m 2）. 答：该泳池的占地面积为3600 m 2.21.解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=24米，BC=18米，由勾股定理可得AB=30米.应分以下三种情况：①如图2，当AB=BD=30米时，S △ABD =21AC·BD=21×24×30=360（平方米）.②如图3，当AD=AB 时，因为 AD=30米，AC=24米，由勾股定理可得DC=18米.因为AC ⊥BD ，所以BD=2DC=36米.所以S △ABD =21AC·BD=21×24×36=432（平方米）. ③如图4，当AD=BD 时，设AD=BD=x 米，则CD=(x-18)米.在Rt △ACD 中，DC 2+AC 2=AD 2，即 (x-18)2+242=x 2，解得x=25，所以S △ABD =21AC·BD=21×24×25=300（平方米）. 综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的面积为360平方米或432平方米或300平方米. 22.解：（1）△ACA ＇是等腰直角三角形.理由：因为CB ＇⊥BC ，所以∠BCA+∠ACB ＇=90º.因为△A ＇B ＇C ≌△ABC ，所以∠BCA=∠B ＇CA ＇，AC=A ＇C.所以∠ACB ＇+∠B ＇CA ＇=90º，即∠ACA ＇=90º.所以△ACA ＇是等腰直角三角形.（2）因为△ACA ＇是等腰直角三角形，所以∠AA ＇C=45º.在Rt △ACA ＇中，根据勾股定理，得AA ＇2=AC 2+ A ＇C 2=22+22=8.因为A ＇B ＇=AB=1，所以AA ＇2+A ＇B ＇2=8+1=9，AB ＇2=9.所以AA ＇2+A ＇B ＇2= AB ＇2.所以△A ＇AB ＇是直角三角形，且∠AA ＇B ＇=90º.所以∠B ＇A ＇C=45º+90º=135º. 23.解：如图5，连接BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，可得BF=b-a.因为S 五边形ACBED =S △ACB +S △ABE +S △ADE =12ab+12b 2+12ab ，又S 五边形ACBED =S △ACB +S △ABD +S △BDE =12ab+12c 2+12a （b-a ）， 所以12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b-a ），整理，得a 2+b 2=c 2．。

⼋年级数学上册勾股定理单元测试卷 勾股定理是三⾓形图形学习的最基础的知识点，也是解题的必备知识点，下⾯是⼩编给⼤家带来的⼋年级数学上册《第1章勾股定理》单元测试卷，希望能够帮助到⼤家! ⼋年级数学上册《第1章勾股定理》单元测试卷 ⼀、选择题 1.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是( ) A.如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直⾓三⾓形 B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直⾓三⾓形，且∠C=90° C.如果(c+a)(c﹣a)=b2，则△ABC是直⾓三⾓形 D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直⾓三⾓形 2.下列各组数的三个数，可作为三边长构成直⾓三⾓形的是( )A.1，2，3B.32，42，52C. ，，D.0.3，0.4，0.5 3.勾股定理是⼏何中的⼀个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的⼩正⽅形和直⾓三⾓形构成的，可以⽤其⾯积关系验证勾股定理.图2是由图1放⼊矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的⾯积为( )A.90B.100C.110D.121 4.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为( )A.18B.9C.6D.⽆法计算 5.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是( )A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.b2+c2=a2D.以上关系都有可能 6.△ABC中，AB=15，AC=13，⾼AD=12，则△ABC的周长为( )A.42B.32C.42或32D.37或33 ⼆.填空题 7.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直⾓边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= . 8.⼩强在操场上向东⾛200m后，⼜⾛了150m，再⾛250m回到原地，⼩强在操场上向东⾛了200m 后，⼜⾛150m的⽅向是 . 9.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，⾯积分别记为S1、S2，则S1+S2等于 . 三.解答题 10.如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC. 11.如图，有⼀个长⽅形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直⽴着⼀根电线杆，在电线杆上距地⾯8m的E处有⼀盏电灯.点D到灯E的距离是多少? 12.如图是⼀束平⾏的阳光从教室窗户射⼊的平⾯⽰意图，⼩强同学测量出BC=1m， NC= m，BN= m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长. 13.如图，长⽅体的长为15，宽为10，⾼为20，点B离点C的距离是5，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点A爬到点B，需要爬⾏的最短距离是多少? 14.如图，在长⽅形纸⽚ABCD中，AB=18，把长⽅形纸⽚沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=13，求AD的长. 15.如图，对任意符合条件的直⾓三⾓形BAC，绕其锐⾓顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是⼀个正⽅形，它的⾯积和四边形ABFE⾯积相等，⽽四边形ABFE⾯积等于Rt△BAE和Rt△BFE的⾯积之和，根据图形写出⼀种证明勾股定理的⽅法. 北师⼤新版⼋年级数学上册《第1章勾股定理》2016年单元测试卷 参考答案与试题解析 ⼀、选择题 1.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是( ) A.如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直⾓三⾓形 B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直⾓三⾓形，且∠C=90° C.如果(c+a)(c﹣a)=b2，则△ABC是直⾓三⾓形 D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直⾓三⾓形 【考点】KS：勾股定理的逆定理;K7：三⾓形内⾓和定理. 【分析】直⾓三⾓形的判定⽅法有：①求得⼀个⾓为90°，②利⽤勾股定理的逆定理. 【解答】解：A、根据三⾓形内⾓和定理，可求出⾓C为90度，故正确; B、解得应为∠B=90度，故错误; C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直⾓三⾓形，故正确; D、设三⾓分别为5x，3x，2x，根据三⾓形内⾓和定理可求得三外⾓分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直⾓三⾓形，故正确. 故选B. 【点评】本题考查了直⾓三⾓形的判定. 2.下列各组数的三个数，可作为三边长构成直⾓三⾓形的是( )A.1，2，3B.32，42，52C. ，，D.0.3，0.4，0.5 【考点】KS：勾股定理的逆定理. 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断. 【解答】解：∵0.32+0.42=0.25，0.52=0.25， ∴0.32+0.42=0.52， ∴0.3，0.4，0.5能构成直⾓三⾓形的三边. 故选D. 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是记住勾股定理的逆定理的解题格式，属于中考常考题型. 3.勾股定理是⼏何中的⼀个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的⼩正⽅形和直⾓三⾓形构成的，可以⽤其⾯积关系验证勾股定理.图2是由图1放⼊矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的⾯积为( )A.90B.100C.110D.121 【考点】KR：勾股定理的证明. 【专题】1 ：常规题型;16 ：压轴题. 【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正⽅形，然后求出正⽅形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的⾯积公式列式计算即可得解. 【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以四边形AOLP是正⽅形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形KLMJ的⾯积为10×11=110. 故选：C. 【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正⽅形是解题的关键. 4.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为( )A.18B.9C.6D.⽆法计算 【考点】KQ：勾股定理. 【分析】利⽤勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值. 【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边， ∴AB2+AC2=BC2， ∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18. 故选A. 【点评】本题考查了勾股定理.正确判断直⾓三⾓形的直⾓边、斜边，利⽤勾股定理得出等式是解题的关键. 5.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是( )A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.b2+c2=a2D.以上关系都有可能 【考点】KQ：勾股定理. 【分析】根据勾股定理，分∠C是直⾓，∠B是直⾓，∠A是直⾓，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系. 【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长， ∠C是直⾓，则有a2+b2=c2; ∠B是直⾓，则有a2+c2=b2; ∠A是直⾓，则有b2+c2=a2. 故选：D. 【点评】考查了勾股定理：在任何⼀个直⾓三⾓形中，两条直⾓边长的平⽅之和⼀定等于斜边长的平⽅. 6.△ABC中，AB=15，AC=13，⾼AD=12，则△ABC的周长为( )A.42B.32C.42或32D.37或33 【考点】KQ：勾股定理. 【分析】本题应分两种情况进⾏讨论： (1)当△ABC为锐⾓三⾓形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运⽤勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从⽽可将△ABC的周长求出; (2)当△ABC为钝⾓三⾓形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运⽤勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从⽽可将△ABC的周长求出. 【解答】解：此题应分两种情况说明： (1)当△ABC为锐⾓三⾓形时，在Rt△ABD中， BD= = =9， 在Rt△ACD中， CD= = =5 ∴BC=5+9=14 ∴△ABC的周长为：15+13+14=42; (2)当△ABC为钝⾓三⾓形时， 在Rt△ABD中，BD= = =9， 在Rt△ACD中，CD= = =5， ∴BC=9﹣5=4. ∴△ABC的周长为：15+13+4=32 ∴当△ABC为锐⾓三⾓形时，△ABC的周长为42;当△ABC为钝⾓三⾓形时，△ABC的周长为32. 故选C. 【点评】此题考查了勾股定理及解直⾓三⾓形的知识，在解本题时应分两种情况进⾏讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题⼀定要全⾯，有⼀定难度. ⼆.填空题 7.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直⾓边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC=　24　. 【考点】KQ：勾股定理;K3：三⾓形的⾯积. 【分析】直接利⽤勾股定理结合已知得出关于b的等式，进⽽求出答案. 【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直⾓边长和斜边长，且a+b=14，c=10， ∴a=14﹣b，则(14﹣b)2+b2=c2， 故(14﹣b)2+b2=102， 解得：b1=6，b2=8， 则a1=8，a2=6， 即S△ABC= ab= ×6×8=24. 故答案为：24. 【点评】此题主要考查了勾股定理以及三⾓形⾯积求法，正确得出直⾓边长是解题关键. 8.⼩强在操场上向东⾛200m后，⼜⾛了150m，再⾛250m回到原地，⼩强在操场上向东⾛了200m 后，⼜⾛150m的⽅向是　北或南　. 【考点】KU：勾股定理的应⽤. 【分析】据题意作出图形，利⽤勾股定理的逆定理判定直⾓三⾓形即可确定答案. 【解答】解：解：如图，AB=200⽶，BC=BD=150⽶，AC=AD=250⽶， 根据2002+1502=2502得：∠ABC=∠ABD=90°， ∴⼩强在操场上向东⾛了200m后，⼜⾛150m的⽅向是向北或向南， 故答案为：向北或向南. 故答案为北或南 【点评】本题考查了勾股定理的应⽤，解题的关键是根据题意作出图形，难度中等. 9.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，⾯积分别记为S1、S2，则S1+S2等于　2π　. 【考点】KQ：勾股定理. 【专题】11 ：计算题. 【分析】根据半圆⾯积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆⾯积. 【解答】解：S1= π( )2= πAC2，S2= πBC2， 所以S1+S2= π(AC2+BC2)= πAB2=2π. 故答案为：2π. 【点评】此题根据半圆的⾯积公式以及勾股定理证明：以直⾓三⾓形的两条直⾓边为直径的半圆⾯积和等于以斜边为直径的半圆⾯积，重在验证勾股定理. 三.解答题 10.如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC. 【考点】KQ：勾股定理. 【分析】由已知可以利⽤勾股定理求得EC的长，从⽽可得到CD的长，再根据勾股定理求得AC的长即可. 【解答】解：∵AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7， ∴EC= =12， ∵DE=7， ∴CD=5， ∴AC= =12. 【点评】此题考查学⽣对直⾓三⾓形的性质及勾股定理的运⽤. 11.如图，有⼀个长⽅形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直⽴着⼀根电线杆，在电线杆上距地⾯8m的E处有⼀盏电灯.点D到灯E的距离是多少? 【考点】KU：勾股定理的应⽤. 【分析】在Rt△ABD中求出BD，然后在Rt△EBD中利⽤勾股定理即可得出DE的长度. 【解答】解：在Rt△BAD中，∠BAD=90°，⽶， 在Rt△EBD中，∠EBD=90°，⽶. 故点D到灯E的距离是17⽶. 【点评】本题考查了勾股定理的应⽤，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式. 12.如图是⼀束平⾏的阳光从教室窗户射⼊的平⾯⽰意图，⼩强同学测量出BC=1m， NC= m，BN= m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长. 【考点】KU：勾股定理的应⽤. 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论. 【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN= m， ∴BC2=1，NC2= ，BN2= ， ∴BC2+NC2=BN2， ∴AC⊥MC. 在Rt△ACM中， ∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25， ∴MA=7.5 m. 【点评】本题考查的是勾股定理的应⽤，先根据题意判断出AC⊥MC是解答此题的关键. 13.如图，长⽅体的长为15，宽为10，⾼为20，点B离点C的距离是5，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点A爬到点B，需要爬⾏的最短距离是多少? 【考点】KV：平⾯展开﹣最短路径问题. 【分析】要求长⽅体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长⽅体侧⾯展开，然后利⽤两点之间线段最短解答. 【解答】解：只要把长⽅体的右侧表⾯剪开与前⾯这个侧⾯所在的平⾯形成⼀个长⽅形，如第1个图： ∵长⽅体的宽为10，⾼为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20， 在直⾓三⾓形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB= = =25; 只要把长⽅体的右侧表⾯剪开与上⾯这个侧⾯所在的平⾯形成⼀个长⽅形，如第2个图： ∵长⽅体的宽为10，⾼为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10， 在直⾓三⾓形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB= = =5 ; 只要把长⽅体的上表⾯剪开与后⾯这个侧⾯所在的平⾯形成⼀个长⽅形，如第3个图： ∵长⽅体的宽为10，⾼为20，点B离点C的距离是5， ∴AC=CD+AD=20+10=30， 在直⾓三⾓形ABC中，根据勾股定理得： ∴AB= = =5 ; ∵25<5 ， ∴蚂蚁爬⾏的最短距离是25. 【点评】本题主要考查两点之间线段最短. 14.如图，在长⽅形纸⽚ABCD中，AB=18，把长⽅形纸⽚沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=13，求AD的长. 【考点】PB：翻折变换(折叠问题). 【分析】由折叠得：∠EAC=∠BAC，AE=AB=18，根据平⾏线性质得：AF=FC=13，再求出EF=5，利⽤勾股定理求出EC的长，即AD的长. 【解答】解：由折叠得：∠EAC=∠BAC，AE=AB=18， ∵四边形ABCD为长⽅形， ∴DC∥AB， ∴∠DCA=∠BAC， ∴∠EAC=∠DCA， ∴FC=AF=13， ∵AB=18，AF=13， ∴EF=18﹣13=5， ∵∠E=∠B=90°， ∴EC= =12， ∵AD=BC=EC， ∴AD=12. 【点评】本题是折叠问题，考查了长⽅形、折叠的性质，难度不⼤;属于常考题型，熟练掌握折叠前后的两个对应⾓相等;与平⾏线的内错⾓相等得出等腰三⾓形，根据等⾓对等边，求出边的长，利⽤勾股定理解决问题. 15.如图，对任意符合条件的直⾓三⾓形BAC，绕其锐⾓顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是⼀个正⽅形，它的⾯积和四边形ABFE⾯积相等，⽽四边形ABFE⾯积等于Rt△BAE和Rt△BFE的⾯积之和，根据图形写出⼀种证明勾股定理的⽅法. 【考点】KR：勾股定理的证明. 【分析】证明勾股定理时，⽤⼏个全等的直⾓三⾓形拼成⼀个规则的图形，然后利⽤四边形ABFE ⾯积等于Rt△BAE和Rt△BFE的⾯积之和，化简整理得到勾股定理. 【解答】解：由图可得： 正⽅形ACFD的⾯积=四边形ABFE的⾯积=Rt△BAE和Rt△BFE的⾯积之和， 即S正⽅形ACFD=S△BAE+S△BFE， ∴b2= c2+ ， 整理得：a2+b2=c2. 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明⽅法有很多种，⼀般采⽤拼图的⽅法证明.在解题时注意：先利⽤拼图的⽅法拼图，然后再利⽤⾯积相等，证明勾股定理.。

第一章勾股定理1、勾股定理及其逆定理一、填空题1．△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c=__________。

2．△ABC，AC=6，BC=8，当AB=__________时，∠C=90°。

3．等边三角形的边长为6 cm，则它的高为__________。

4．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB=__________。

79101415积，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形三、解答题16、在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=10 k m，请根据上述数据，求出隧道BC的长。

17、如图，要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米长的拉线，求地面拉线固定点A到电线杆底部B的距离。

18、如图,校园内有两棵树,相距BC=12米,一棵树高AB 为13米,另一棵树高CD 为8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多远?19、如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B 到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A 沿墙下移0.4米到A ′处，问梯子底部B将外移多少米？2、用勾股定理解古代趣题 一、古代趣题1、12世纪印度着名数学家婆什迦罗给出了一个歌谣式的问题：波平如镜一湖面，3尺高处出红莲。

亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一湖水2、4尺远。

34尺。

1丈5A678、若△（1）a 2（2）a 3A．(7)7=--= B112= C332244=+= D0.5=± 2、下列说法正确的是（ ）A ．5是25的算术平方根B ．4±是16的算术平方根C ．6-是2(6)-的算术平方根D ．0.01是0.1的算术平方根B A D3、36的算术平方根是（ ）A ．6±B ．6C ．D ．64、一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ）A ．2m +B ．m ．22+m D ．2+m5、当1＜x ＜4时，化简221x x +-－1682+-x x 结果是（ ）A ．－3B ．3C ．25x -D ．5 6、下列各数中没有平方根的数是（ ）A ．7①(③A.1 8 A. S 9、27-A.7110、9A.7 14．已知03x ≤≤，化简2x +2)3(-x =__________。

1．下列不能构成直角三角形三边长的是 （ ）A ．1、2、3B ．6、8、10C ．3、4、5D ．5、12、132．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）A ．6，8，8B ．6，8，10C ．6，8，12D ．6，8，143．在Rt ABC △中，90C Ð=°，12AC =，9BC =，则正方形ABDE 的面积为（ ）A ．81B ．144C ．225D ．1694．在Rt ABC △中，90C Ð=°，若6cm 10cm BC AB ==，，则ABC V 的面积是（ ）A ．24cm²B ．36cm²C ．48cm²D ．60cm²5．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）．A ．3米B ．4米C ．5米D ．7米6．如图，在33´的正方形网格中标出了1Ð和2Ð，则12Ð+Ð=（ ）A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°7．如图，一根竖直生长的竹子，原高一丈（一丈＝10尺），折断后，其竹稍恰好抵地（地面水平），抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）A ．8尺B ．345尺C ．165尺D ．8．分别以Rt ABC △的三条边向外作三个正方形，连接EC ，BG ，若设1EBC S S =△，2BCG S S =△，3BCIH S S =正方形，则1S ，2S ，3S 之间的关系为( )A ．12322S S S +=B ．12333S S S +=C ．123S S S +=D ．123223S S S +=9．如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A 到顶点B 镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为5cm ,底面边长为2cm ,则这圈金属丝的长度至少为（ ）A ．8cmB ．13cmC ．12cmD ．15cm10．下列各组数据的三个数，是勾股数的有（ ）①23，24，25 ②6，8，10 ③7，24，25 ④13，14，15⑤1.5，2，2.5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，90ABC Ð=°，3CB =，5AC =，则阴影部分的面积是 ．12．如图，在四边形ABCD 中，90A Ð=°，4cm AB =，2cm AD =，BC CD =，E 是AB 上的一点．若沿CE 折叠，使B ，D 两点重合，则AED △的面积为 ．13．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若3a =，1b =，则长方形的面积为 .14．如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量3m AC =，4m AB =，计算仅仅少走了 步．(假设1米为2步)15．如图，一根长16cm 的牙刷置于底面直径为6cm 、高8cm 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是 ．16．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两基地前去拦截,6分钟后同时到达C 地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东 °17．如图，在直线l 上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是1234,,,S S S S ，则1234S S S S +++= ．18．如图，ABC V 的顶点都在边长为1的正方形网格上．BD AC ^于点D ，则BD = ．19．如图，在ΔABC 中，50cm AB =，30cm BC =，90C Ð=°，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，则几秒后，PCB D 的面积等于2450cm ？20．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，5cm AB =，3cm BC =，D 为AC 上的一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 恰好落在AB 上的点E 处．(1)求AC 的长．(2)求AD 的长．21．如图，90ACB Ð=°，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，5BE CD ==，13AC =．(1)求ABC Ð的度数；(2)求线段DE 的长度．22．如图，两条公路1l 、2l 交于点O ，在公路2l 旁有一学校A ，与O 点的距离为170m ，点A （学校）到公路1l 的距离AM 为80m ．一大货车从O 点出发，行驶在公路1l 上，汽车周围100m 范围内有噪音影响．（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？（2）若汽车速度为180/km h ，则学校受噪音影响多少秒钟？23．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．(1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；(2)问题解决：p，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的如图2，圆柱的底面半径为40cm，高为30cm最短路程是多少厘米？（结果保留π）1．A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A 、222123+¹，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合题意；B 、2226810+=，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；C 、222345+=，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；D 、22251213+=，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意．故选：A ．2．A【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长边进行比较作出判断即可．【详解】解：A 、108=＞，688+＞，∴能组成锐角三角形；B 、10=是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；C 1012=＜，6812+＞，∴不能组成锐角三角形；D 、∵6814+=，∴不能组成三角形．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．3．C【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出2AB 的值是解题关键．【详解】解：因为90,12,9C AC BC Ð=°==，所以正方形ABDE 的面积为22222912225AB BC AC =+=+=，故选C ．4．A【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出AC 的长，再代入直角三角形的面积公式即可．【详解】解：由勾股定理得，8(cm)AC ==，Rt ABC \V 的面积为2118624(cm )22AC BC ´´=´´=，故选：A5．D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度4==（米），Q 地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，\地毯的长度至少是347+=（米）．故选：D ．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．6．A【分析】连接，CD DE ，先根据勾股定理的逆定理证明CDE V 是直角三角形，再根据CD DE ==45DCE DEC Ð=Ð=°，进而可得1345Ð+Ð=°，然后利用平行线的性质可得23ÐÐ=，再利用等量代换即可解答．【详解】解：如图：连接，CD DE ，由题意得：222125CD =+=，2221310CE =+=，222125ED =+=，∴222CD DE CE +=，∴CDE V 是直角三角形，∵CD DE ==∴45DCE DEC Ð=Ð=°，∴139045DCE Ð+Ð=°-Ð=°，∵AB CD ∥，∴23ÐÐ=，∴1245Ð+Ð=°．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．C【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：x 2+62=（10-x ）2．解得165x =∴折断处离地面的高度为165尺．故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．8．A【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得222AB AC BC +=，再由正方形、三角形面积公式可得2ABED S AB =正方形，2ACGF S AC =正方形，23BCIH S S BC ==正方形，212AB S =，222AC S = ，即可得出答案．【详解】解：如图，过点A 作AK ⊥HI 于点K ，交BC 于点J ，Q Rt ABC △中，90BAC Ð=°，\222AB AC BC +=，Q 四边形ABED 、四边形ACGF 、四边形BCIH 均为正方形，\2223ABED ACGF BCIH S AB S AC S S BC ====正方形正方形正方形，，，Q 正方形ABED 与EBC V 同底等高，\122EBC ABED S S S ==正方形V ，\212AB S =，Q 正方形ACGF 与EBC V 同底等高，\222BCG ACGF S S S ==正方形V ，\222AC S =，Q 3BCIH S S =正方形，\12322S S S +=，故选：A ．9．B【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径问题，将六棱柱侧面展开，运用勾股定理求解即可【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为AB 的长，由勾股定理得，()13cm AB ==，故选：B ．10．B【分析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可．【详解】解：①()()()222222345+¹，所以①不是勾股数；②2226810+=，所以②是勾股数；③22272462525+==，所以③是勾股数；④222111345æöæöæö+¹ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以④不是勾股数；⑤2221.52 6.25 2.5+==，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数.综上所述②③是勾股数，共2个.故选：B.【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．11．2π【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积的计算；由勾股定理求得AB 的长度，由扇形面积公式即可计算．【详解】解：90ABC Ð=°Q ，3CB =，5AC =，4AB \==，即半圆的半径为422¸=；则阴影部分面积为：21π22π2´=．故答案为：2π．12．23cm 2【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，勾股定理，设cm AE x =，由折叠的性质得到4DE BE x ==-，根据勾股定理列方程求得32AE =，于是得到AED △的面积．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【详解】解：设cm AE x =，由折叠的性质得到4DE BE x ==-，∵90A Ð=°，∴222AE AD DE +=，即()222x 24x +=-，解得：32x =，∴32AE =，∴AED △的面积()211332cm 2222AD AE =×=´´=故答案为：23cm 2．13．12【分析】欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，进而可求出该矩形的面积．【详解】解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x ，∵3a =，∴AB=x+3，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，即（1+x ）2+（1+3）2=(x+3)2，整理得，x=2，∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x ）=4×3=12故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x 的方程是解题的关键．14．4【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求出路长，即三角形的斜边长，再求两直角边的和与斜边的差即可求解．正确应用勾股定理是解题的关键．【详解】解：根据题意知：90BAC Ð=°，3AC =，4AB =，∴()5m BC ===，∴少走的距离是：()3452m +-=，∵1米为2步，∴2米为4步，∴仅仅少走了4步．故答案为：4．15．6≤h≤8．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣8＝8cm．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB10==cm，故h＝16﹣10＝6cm．故h的取值范围是6≤h≤8．故答案是：6≤h≤8．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．50【分析】先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解．【详解】根据题意，如图所示∵AC=120×660=12（海里），BC=50×660=5（海里），AB=13海里，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．∵∠CBA=90°-40°=50°，∴∠CAB=40°，∴甲的航向为北偏东50°．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC 为直角三角形是解题的关键．17．12【分析】如图，易证△CDE ≌△ABC ，得AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2，同理FG 2+LK 2=HL 2，S 1+S 2+S 3+S 4=4+8=12．【详解】解：如图，∵EDC CBA ACE 90ÐÐÐ===°，EC CA =，ECD ACB ACB CAB 90ÐÐÐÐ+=+=°，∴ECD ACB ÐÐ=，∵在△CDE 和△ABC 中，EDC CBA ECD CAB EC CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△CDE ≌△ABC （AAS ），∴AB=CD ，BC=DE ，∴AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2=8，同理可证FG 2+LK 2=HL 2=4，∴S 1+S 2+S 3+S 4=CE 2+HL 2=4+8=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2是解题的关键．18．3【分析】正方形边长为1，则5AC ===, 5BC =，AE 为3，等面积法A B C A B C S S =V V , 1122AC BD BC AE ´=´即可求得BD．【详解】如图所示，过A 作AE BC ^，因为ABC V 的顶点都在边长为1的正方形网格上，所以5AC ===，5BC =，3AE =,因为A B C A B C S S =V V ，所以1122AC BD BC AE ´=´，即5335BC AE BD AC ´´===，故答案为：3【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC 的长，以及运用等面积法列式．19．5秒后，PCB D 的面积等于2450cm .【分析】设经过ts 后，PCB D 的面积等于2450cm .在Rt ABC D 中，根据勾股定理，得40cm AC =，根据面积公式可求出t.【详解】解：设经过ts 后，PCB D 的面积等于2450cm .在Rt ABC D 中，根据勾股定理，得40cm AC =，所以()402cm PC t =-.所以()1304024502PCB S t D =´´-=.解得5t =.故5秒后，PCB D 的面积等于2450cm .【点睛】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.根据勾股定理求出AC 是解题关键.20．(1)AC 的长为4cm ；(2)AD 的长为2.5cm【分析】（1）直接根据勾股定理求出AC 的长即可；（2）根据折叠的性质和勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：在Rt ACB △中，90C Ð=°，5cm AB =，3cm BC =．由勾股定理得()4cm AC ===，∴AC 的长为4cm ；（2）解：∵3cm BC =，90C Ð=°，由折叠可知3cm BE BC ==，ED DC =，90DEB C Ð=Ð=°，∵5cm AB =，∴2cm AE AB BE =-=．设cm AD x =，∵4cm AC =，∴()4cm ED DC AC AD x ==-=-．在Rt AED V 中，90AED Ð=°，由勾股定理得222AE ED AD +=，∴()22224x x +-=，解得 2.5x =，∴AD 的长为2.5cm ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．21．(1)45°(2)7【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据条件可以得出ACD CBE Ð=Ð，进而运用ASA 得出ABC DEF ≌△△，就可以得出AC BC =即可得到结论；（2）利用（1）中结论，先运用勾股定理求出AD 长，然后根据全等三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）∵AD CE ^，BE CE ^，∴ADC CEB Ð=Ð，∵90ACB Ð=°，∴90ACD BCE Ð+Ð=°，∵90CBE BCE Ð+Ð=°，∴ACD CBE Ð=Ð，在ADC V 和CEB V 中，ADC CEB CD BEACD CBE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ADC CEB V V ≌，∴AC BC =，∵90ACB Ð=°，∴=45ABC а（2）∵90ADC Ð=°，5CD =，13AC =.∴12AD ===，∵ADC CEB V V ≌，∴12CE AD ==，∴1257DE CE CD =-=-=．22．（1）货车开过时，学校会受噪音影响，证明见解析． （2）学校受噪音影响2.4s ．【分析】（1）根据80100AM m m =<，即可判断货车开过学校会受噪音影响．（2）以点A 为圆心，半径为100m 画圆，与直线1l 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ，根据勾股定理求出CM 、BM 的长，即可得到BC 的长，即可求解学校受噪音影响的时间．【详解】（1）∵80100AM m m=<∴货车开过学校会受噪音影响．（2）以点A 为圆心，半径为100m 画圆，与直线1l 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ．∵AM MO^∴90AMO AMB ==°∠∠∴60CM m ===，60BM m ===∴6060120BC CM BM m=+=+=∵180000180//50/3600km h m s m s ==∴12050 2.4s¸=故若汽车速度为180/km h ，则学校受噪音影响2.4s ．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的性质以及解法是解题的关键．23．(1)见解析(2)从点A 爬到点B 的最短路程是50p 厘米【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积4-直角三角形面积额即可得答案；（2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．【详解】（1）Q 阴影部分的面积=大正方形面积4-直角三角形面积，221()42b ac ab \-=-´，22222a ab b c ab \-+=-，222a b c \+=；（2）画出圆柱侧面展开图：根据圆柱底面半径为40cm ，得出24040(cm)2AC p p ´==，Q 高为30cm p ，50(cm)AB p \==，\从点A 爬到点B 的最短路程是50p 厘米．【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键．。

八年级上数学专题训练一《勾股定理》典型题练习答案解析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 )常用勾股数口诀记忆常见勾股数3，4，5 ：勾三股四弦五5，12，13 ： 我要爱一生 6，8，10： 连续的偶数 7，24，25 ： 企鹅是二百五 8，15，17 ： 八月十五在一起 特殊勾股数连续的勾股数只有3，4，5 连续的偶数勾股数只有6，8，104、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A.S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1S 3S 2S 1【类型题总结】（a）如图（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示 S1、S2、S3则它们有S2+S3=S1关系．（b）如图（2）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正方形，其面积表示S1、S2、S3．则它们有S2+S3=S1关系．（c）如图（3）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，面积表示S1、S2、S3，则它们有S2+S3=S1关系．并选择其中一个命题证明．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：（a）分别用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；（b）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；（c）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．解答：解：（1）S3=81πAC2，S2=81πBC2S1=81AB2∴S2+S3=S1．（2）S2+S3=S1…（4分）由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，…（8分）∵三角形ABC是直角三角形，又∵AC2+BC2=AB2…（10分）∴S2+S3=S1．（3）S1=43AB2S2=43BC2 S3=43AC2∴S2+S3=S1．点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

八年级上册勾股定理八年级数学上册第14章勾股定理反证法试卷及答案用心的做八年级数学单元试卷题，对我们有好处，真是功夫不负有心人!下面是小编为大家精心推荐的八年级数学上册第14章勾股定理反证法试卷，希望能够对您有所帮助。

八年级数学上册第14章勾股定理反证法试题1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.当用反证法证明时，第一步应假设( )A.AB≠ACB.∠B≠∠CC.∠A+∠B+∠C≠180°D.ABC不是一个三角形2.用反证法证明“a>b”时，应假设( )3.用反证法证明：“三角形三个内角中最多有一个直角”的第一步应假设：________________________.4.用反证法证明命题时，用假设进行推理得出的结论应该与____________________________相矛盾，才能推翻假设.5.完成下面的证明，用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”.已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1≠∠2.求证：直线a不平行于直线b.证明：假设________，那么∠1=∠2( )，∴假设________不成立，∴直线a与直线b不平行6.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°7.已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，用反证法证明：c与b也相交.8.反证法证明：如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0.9.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )A.a不垂直于cB.a，b都不垂直于cC.a⊥bD.a与b相交10.用反证法证明“如果ab≠0，那么a与b都不等于0”时，要假设__________________________________.11.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补.已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截.求证：∠1+∠2=180°.∵l1∥l2( )，∴∠1________∠3( )∵∠1+∠2________180°，∴∠3+∠2≠180°，这与________________________矛盾，∴假设∠1+∠2________180°不成立，即∠1+∠2=180°.12.如图，求证在同一平面内过直线l外一点A，只能作一条直线垂直于l.证明：假设过直线l外一点A，可以作直线AB，AC垂直于l，垂足分别为点B，C，那么∠A+∠ABC+∠ACB________180°，这与________________________矛盾，∴__________________，∴结论成立.13.用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角.14.用反证法证明：两直线相交有且只有一个交点.已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P.15.用反证法证明：在一个三角形中，至少有两个内角是锐角.16.(用反证法证明)已知：a八年级数学上册第14章勾股定理反证法试卷参考答案1. B2. D3. 三角形中有两个或三个直角4. 已知、基本事实、定理、定义等5. a∥b两直线平行，同位角相等∠1≠∠2a∥b6. C7. 假设c∥b;∵a∥b，∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立，所以c 与b也相交8. 假设如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a≠0且b≠0，∵a≠0，b≠0，∴a2>0，b2>0，∴a2+b2>0，∴与a2+b2=0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确9. D11. ≠已知= 两直线平行，同位角相等≠邻补角之和等于180°≠12. >假设不成立13. 假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°.则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立.所以等腰三角形的底角是锐角14. 证明：假设a，b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P′，则点P和点P′在直线a上又在直线b上，那么经过P和P′的直线就有两条，这与“两点决定一条直线”相矛盾，因此假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点15. ①假设△ABC中只有一个角是锐角，不妨设∠A180°，这与三角形内角和定理相矛盾;②假设△ABC中没有一个角是锐角，不妨设∠A≥90°，∠B≥90°，∠C≥90°;于是，∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾.所以假设不成立，则原结论是正确的16. 假设a不是负数，那么a为零或正数.(1)如果a为零，那么a=|a|，这与题论a(2)如果a是正数，那么a=|a|，这与a综合(1)，(2)知a不可能是零和正数，所以a必为负数看了“八年级数学上册第14章勾股定理反证法试卷”的人还看了：1.八年级上册数学第14章整式的乘除与因式分解考试卷2.八年级上14.2勾股定理的应用练习卷3.八年级上册数学课本习题参考答案4.八年级数学上册知识点总结第14章5.八年级数学上册期末试卷及答案。

卜人入州八九几市潮王学校勾股定理综合程度测试张海春〕072550一、相信你的选择〔每一小题3分一共24分〕 1、直角三角形中一直角边长是32cm ，斜边长为34cm ，那么另一条直角边的长是〔〕A.4cmB.34cmC.6cmD.36cm2、以以下各组数据为直角三角形三边，能构成直角三角形的是〔〕 A.4cm ，8cm ，7cmB.2cm ，2cm ，2cm C.2cm ，2cm ，4cmD.13cm ，12cm ，5cm3、如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，那么x 的值是〔〕A ．2B ．-2C ．2D ．-24、△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，以下说法错误的选项是〔〕A ．假设∠C －∠B=∠A ，那么△ABC 是直角三角形。

B ．假设c 2=b 2—a 2，那么△ABC 是直角三角形，且∠C=90°。

C ．假设〔c ＋a 〕〔c －a 〕=b 2，那么△ABC 是直角三角形。

D ．假设∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，那么△ABC 是直角三角形。

5、如图，在中，，，点为的中点，于点，那么等于〔〕 A ．B ．C ．D ．6、(2021年)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．假设正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，那么最大正方形E 的面积是〔〕AB CM N5题图〔第3题〕1A 0-1-21A ．13B ．26C ．47D ．947、．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 等于〔〕．A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm8、一艘轮船以16海里/时的速度分开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度分开A 港向西南方向航行，经过小时后它们相距()BA ．25海里B ．30海里C ．40海里D ．32海里二、试试你的身手〔每一小题3分一共24分〕9、假设一个直角三角形的三条边长是三个自然数，其中有两边的长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。

八年级数学§ 18.2同步测试题天津市葛沽第三中学李玉强 （300352）一、选择题1 •下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A • 2, 3, 4B • 5, 7, 9C • 8, 15, 17D • 200, 300, 4002•五根小木棒，其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25，现将他们摆成两个直角三角形,A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 4 •下列结论错误的是（）A. 三个角度之比为1 : 2 : 3的三角形是直角三角形；B. 三条边长之比为 3 : 4 : 5的三角形是直角三角形；C. 三个角度之比为1 : 1 : 2的三角形是直角三角形；D. 三条边长之比为 8 ： 16 ： 17的三角形是直角三角形. 5.在同一平面上把三边 BC = 3、AC = 4、AB = 5的三角形沿最长边 AB 翻折后得到△ ABC ；贝U CC 的长等于（）.12 13 5 24 A. B. C. —D.——55656•小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走 50米，小丽走直线用了 10分钟，小芳先去家拿了钱在去图书馆，小芳到家用了 6分钟，从家到图书馆用了 8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（）角.A •锐角B ・直角C .钝角D •不能确定7.下列各组线段中的三个长度① 9、12、15;②7、24、25;③32、42、52;④3a 、2 2 2 24a 、5a （a > 0）；⑤ m -n 、2mn 、m+n （m 、n 为正整数，且 m >n ）其中可以构成 直角三角形其中正确的是（ )1k加11 151525ABCD3.三角形的三边长a 、b 、c ,满足（a b ）2 =c 2 2ab ,则这个三角形是（A • 121 B. 120 C. 90 D .不能确定的有（）A • 5组B • 4组C • 3组D • 2组&直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）二、填空题2 2 21. 在厶ABC 中，若AB +BC =AC ,则/ A +Z C= _____________ 度.2. 若一个三角形的三边之比为5: 12: 13,且周长为60cm，则它的面积为3. 已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为段能组成一个直角三角形4. 如图1,在四边形ABCD 中，AD 丄DC , AD = 8, DC = 6, CB = 24,AB = 26.则四边形ABCD的面积为_______________ .5. 如图2所示，一架5米长的消防梯子斜靠在一竖直的墙AC上，梯足（点B）离墙底端（C点）的距离为3米，如果梯足内移1.6 米至点B1处，则梯子顶端沿墙垂直上移_______ 米.6. 直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为____________ .7. 如图3 所示的一块地，已知AD = 4m, CD = 3m, AD丄DC , AB= 13m, BC = 12m, 则这块地的面积是____________ m2.8•将勾股数3, 4, 5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20;…，则我们把3, 4, 5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数：三、解答题1. 一个零件的形状如图3所示，按规定这个零件中/ A和/ DBC都应为直角•工人师傅量得这个零件各边尺寸如图求CD的长及△ ABC的面积;cm时，这三条线2. 已知：如BC = 3 cm, AC = 4cm, CD 丄AB 于D ,图1 图24所示，这个零件符合要求吗?图32 2 2 22.已知△ ABC 的三边为 m • n , m -n , 2mn（1 ）当m=2, n=1时，△ ABC 是否为直角三角形？并说明理由. （2） 当m=3, n=2时，△ ABC 是否为直角三角形？并说明理由.（3） 对于m 、n 为任何正整数时（m > n ）,你能说明厶ABC 为直角三角形吗?3. 如图5，已知正方形 ABCD 中，F 是DC 的中点，E 为BC 的上一点，且EC = 1 BC .求1. 如图1，正方形网格中的△ ABC ，若小方格边长为1,则厶ABC 是（）A •直角三角形B .锐角三角形 2.已知，如图 2,在长方形 ABCD 中，证: EF 丄 AF .、选择题（每小题3分，共15 分）1£— —z图1C .钝角三角形D .以上答案都不对AB= 3cm, AD = 9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ ABE的面积为（）.2 2 2 2A . 6cmB . 8cm C. 10cm D . 12cm二、填空题（每题3分，共15分） 1.如图4,是20XX 年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成•如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 三、解答题1.如图5,三个村庄 A 、B 、C 之间的距离分别为 AB=5km, BC=12km, AC=13km.要从 B 修一条公路BD 直达AC.已知公路的造价为 26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多 少？2 •如图6,甲乙两船从港口 A 同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50。