【高中数学】2018最新高中数学苏教版课本回归：4 必修4课本题精选(教师版)

课本回归5 必修4课本题精选（二）江苏省太仓高级中学 陆丽一．填空题1．（必修4，P117第4题改编）设向量a =(cos α,-1)，b =(2,sin α)．若a ⊥b ，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【解析】因为a ⊥b ，所以a b =2cos α-sin α=0，即tan α=2，所以tan 11tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 2．（必修4，P23习题17）已知1sin(),64x π+=则25sin()sin ()63x x ππ-+-= ．【解析】225sin()sin ()sin sin 63626x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦211519sin cos 6641616x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3．（必修4，P23第11题改编）已知sin 2cos 0αα-=，则（1）sin cos sin cos αααα+=- ；（2）22sin sin cos 2cos αααα--= ． 【解析】sin 2cos 0αα-=，tan 2α∴=.sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++==--.22222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin sin cos 2cos 1sin cos tan 1ααααααααααααα------===-++. 4．（必修4，P89习题15）设a =(x ，3)，b =()2,1-，若a ，b 夹角为钝角，则x 的取值范围为 ． 【解析】由a b <0及a λ≠b ()0λ<得623-≠<x x 且． 5．（必修4，P73第16题改编）设,D E 分别是ABC ∆的边,AB BC 上的点，12AD AB =,23BE BC =,若12DE AB AC λλ=+(12,λλ 为实数)，则12λλ+的值为 ．【解析】1211233263DE AE AD AB AC AB AB AC ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭，12121632λλ∴+=-+=.6．(必修4，P97，第15题改编)在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ．【解析】由2B C B A A C A B C A CB ⋅+⋅=⋅得cos 2cos cos ac B bc A baC +=，由余弦定理可得2222222222222a c b b c a a b c a c b c b a a c b c a b +-+-+-⋅+⋅=⋅，化简得222a c =，即a =．所以sin sin A a C c==7．（必修4，P109第7题改编）若2tan 3tan8πα=，则tan()8πα-= ． 【解析】21tan tantan828tan()381tan tan 1tan 828ππαπαππα--==++ 22sincos882cos 3sin 88ππππ⋅=+1sin 2412(1cos )24ππ==+-=． 8．(必修4，P98习题20)设a ，b ，c 都是单位向量，且a b =0，则(c -a )(c -b )的最小值为 ．【解析】利用坐标法得：1二．解答题9．（必修4，P23第18题改编）已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α．（1）若A 点的坐标为(35，45)，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；（2）求|BC |2的取值范围．【解析】（1）由A 点的坐标为(35，45)，所以34cos ,sin 55αα==，所以4tan 3α=.所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α=222222sin 2sin cos tan 2tan cos cos sin 2tan ααααααααα++==+--20．（2）由题意得点B cos ,sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(1,0)C ， 得|BC |2=22cos 1sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=22cos 3πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．由(0,)2πα∈，得5(,)336πππα+∈，所以1cos ()32πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以|BC |2(1,2∈．10．（必修4，P117，习题2改编）已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210．（1）求cos 2α的值；（2）求2α－β的值．【解析】 (1) 因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α．又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15．所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35．(2) 因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2．又cos2α＝－35<0，故2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 得sin β＝210，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π．所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22．又2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4． 11．（必修4，P124第9题改编）已知sin(2)3sin αββ+=，设tan ,tan x y αβ==，记()y f x =．（1）求()f x 的解析式；（2）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数()f x 的值域． 【解析】（1）由sin(2)3sin αββ+=得()()sin[]3sin[]αβααβα++=+-， 则()()()()sin cos cos sin 3[sin cos cos sin ]αβααβααβααβα+++=+-+， 所以()()sin cos 2cos sin αβααβα+=+，所以()tan 2tan αβα+=. 即tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-⋅，即21x y x xy +=-，所以212x y x =+，即2()12xf x x =+. （2）因为角α是一个三角形的最小内角，所以03πα<≤，所以0x <≤而1()12f xx x=+，由0x <≤12x x +≥=x =时取等号）， 故()f x 的值域为. 12．（必修4，P71例题4改编）如图，在∆OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且2BP PA =． （1）若OP xOA yOB =+，求y x 、的值；（2）若6OB =且3AOB π∠=，求OP AB ⋅的最大值．【解析】（1）由2BP PA =,得2133OP OA OB =+,21,33x y ==．（2）OP AB ⋅()2133OA OB OB OA ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭22211333OA OB OA OB =-++⋅2222399123348OA OA OA ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当34OA=时，OP AB ⋅最大，最大值为998．。

第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.4 三角函数的应用A 级 基础巩固一、选择题1．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90 解析：因为T ＝2π160π＝180，所以f ＝1T ＝80.答案：C2．与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin|x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，只有选项C 满足．答案：C3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，则乙的位置移到丙处．答案：C4.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，所以T ＝2π|ω|＝2π2π＝1 s ，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.答案：D5．用作调频无线电信号的载波以y ＝a sin(1.83×108πt )为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为__________，频率为________．解析：T ＝2πω＝2π1.83×108π≈1.09×10－8(s)， f ＝1T＝9.17×107(Hz)．答案：1.09×10－8s 9.17×107Hz6．已知某种交变电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π t －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s 内往复运动的次数是________．解析：周期T ＝150s ，所以频率为每秒50次．所以0.5秒内往复运动的次数为25.答案：257.如图所示，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________________．解析：当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt ，则∠POx ＝ωx ＋φ，由任意角的三角函数定义知点P 的纵坐标y ＝r sin(ωt ＋φ)．答案：y ＝r sin(ωt ＋φ)8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，且直线y ＝－π3为其图象的一条对称轴，如果|φ|<π2，那么此函数的解析式为________________．解析：因为⎩⎨⎧y max ＝A ＋n ＝4，y min ＝－A ＋n ＝0，所以⎩⎨⎧A ＝2，n ＝2.又T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.所以y ＝2sin(4x ＋φ)＋2. 因为x ＝－π3为其图象的一条对称轴，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，所以φ＝k π＋116π(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝－π6.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋2.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋29．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4，16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解：(1)由于y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －54π＋20，x ∈[4，16]， 所以当x ＝6时，函数有最小值，即最低温度为10 ℃； 当x ＝14时，函数有最大值，即最高温度为30 ℃. 因此最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12， 而x ∈[4，16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为343－263＝83(小时)．10.如图所示，弹簧挂着的小球作上下运动，时间t (s )与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系是h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，H 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期闭区间的上简图；(2)小球开始振动的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自距离平衡位置的距离分别是多少？解：(1)画出h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4的简图(长度为一个周期)． ①列表：②描点．③连线：用平滑曲线依次连接各点即得h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4的简图，如图所示．(2)当t ＝0时，h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4＝ 2. 即小球开始振动时的位置为(0，2)． (3)当t ＝π8时，h ＝2；当t ＝5π8时，h ＝－2.即最高点位置为⎝⎛⎭⎪⎫π8，2，最低点位置为⎝⎛⎭⎪⎫5π8，－2；最高点、最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.B 级 能力提升11．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.答案：C12．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].在同一平面直角坐标系内画y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示． 由图可知，当y ＝f (x )与y ＝k 的图象有且仅有两个不同交点时，k 的取值范围为1＜k ＜3.答案：(1，3)13．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式P (t )＝115＋25sin (160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)．(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)函数p (t )的最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π160π＝180(min)．(2)此人每分钟心跳的次数即频率为：f ＝1T ＝80.(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ， p (t )min ＝115－25＝90 mmHg ，即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高． 14．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式(其中t 以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量．解：(1)设动物种群数量y 关于t 的解析式为 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎨⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12，所以ω＝2πT ＝π6.所以y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，所以900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·6＋φ＋800. 所以sin(π＋φ)＝1.所以sin φ＝－1. 所以取φ＝－π2.所以y ＝100sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6·2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.15．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？解：(1)因为f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．。

第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.1 任意角A级基础巩固1．下列命题中正确的是()A．终边与始边都相同的角一定相等B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．小于90°的角一定是锐角D．大于或等于0°且小于90°的角一定是锐角答案：B2．已知下列各角：①787°；②－957°；③－289°；④1 711°.其中在第一象限的角是()A．①②B．②③C．①③D．②④答案：C3．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．即是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D4．已知α是第三象限角，则－α所在的象限是()A．四B．三C．二D．一解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z.所以－α是第二象限角．答案：C5．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D6．时针走过了2小时40分钟，则分针转过的角度是______．答案：－960°7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四9．在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.解：(1)因为－120°＝240°－360°，所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；(2)因为660°＝300°＋360°，所以与660°终边相同的角是300°角，它是第四象限的角；(3)因为－950°08′＝129°52′－3×360°，所以与－950°08′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象限的角．10．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，求角α.解：与角α终边相同的角连同角α在内的角的集合可表示{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．因为锐角α的10倍的终边与其终边相同，所以10α＝α＋k·360°，k∈Z.解得：α＝k·40°，k∈Z.又α为锐角，所以α＝40°或80°.B级能力提升11．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β< 180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°} 解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C13．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°14.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．15．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.。

2019-2020学年度最新高中数学苏教版课本回归：1 必修1课本题精选（教师版）一、填空题1．（必修1 P10习题1. 2(7)）设U =R ，{}|1A x x =<,{}|B x x m =>若U A B ⊆ð，则实数m 的范围是 ．解析 [1,)U A =+∞ð，由U A B ⊆ð，得1m <. 2.（必修1 P13练习5）设{}{}(,)|46,(,)|53A x y y x B x y y x ==-+==-，则A B = ．解析 461532y x x y x y=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎩，故{}AB =(1,2)3．（必修1 P27 练习7（1））函数2(),{1,2,3}f x x x x =+∈的值域是 ．解析 由函数值域的定义可知该函数的值域是{}2,6,12. 4．（必修1 P31习题2.1(8)）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出:那么[(1)]f f = ．[(2)]f g = ．[(3)]g f = ． 解析 [(1)](2)3f f f ==;[(2)](1)2f g f ==;[(3)](4)3g f g ==.5. （必修1 P111.复习题（17））已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间+∞[0,）上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <，则x 的取值范围为_________.解析 因为()f x 为偶函数，所以(1)(|l g f f x <，又()f x 在区间+∞[0,）上是单调增函数，故1|l g |x <，解得x 的取值范围为110∞(0,)(10,+). 6．（必修1 P52复习题11（2））已知2(2)31f x x =+，则函数()f x 的解析式为 ． 解析 令2x t =，则2t x =，有223()3()1124t f t t =+=+，即23()14f x x =+. 7．（必修1 P 29习题2.1（5））已知函数))((b x a x f y ≤≤=，集合A ＝{))((|),(b x a x f y y x ≤≤=}, B ＝{}0|),(=x y x ，则AB 的元素个数为_______个.解析 根据函数定义，可知直线x ＝0和函数图象有一个交点或无交点，则集合的元素的个数为0或1个.8．（必修1 P45习题2.2(11)）已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，()1f x =，则函数1()2y f x x m =-+有两个零点的充要条件是 ． 解析 当0x <时，()()1f x f x =--=-； 当0x =时，(0)0f =.故1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩. 函数1()2y f x x m =-+有两个零点等价于方程1()2f x x m =-有两个不同的实数根，即函数()y f x =的图象与直线12y x m =-有两个不同的交点，易知11m -<-<且0m -≠，即(1,0)(0,1)m ∈-，所以函数1()2y f x x m =-+有两个零点的充要条件是(1,0)(0,1)m ∈-. 二、解答题9．（必修1 P 71习题3.1（2）13）已知函数1()41x f x a =++是奇函数. (1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 在[1,1]-上的值域； (3)设函数1()11()2g x f x =-+，对于任意的12,x x ∈R ，试比较12()()2g x g x +与12()2x x g +的大小. 解析 （1）1()41x f x a =++是奇函数且定义域为R，则(0)0f =，得12a =-，经检验，函数()f x 为奇函数.(2)由（1）知11()241x f x =-++，在R 上任取12x x <，则1111()241x f x =-++，2211()241x f x =-++ 有211212121144()()04141(41)(41)x x x x x x f x f x --=-=>++++的 所以函数()f x 在R 上为减函数.故()f x 在[1,1]-上的取值范围是[(1),(1)]f f -，即函数的值域是33[,]1010-(3) ()4xg x =，有1212()()4422x x g x g x ++=，12122()42x x x x g ++= 则121212121222212122()()4422222(22)()4022222x x x x x x x x x x g x g x x x g +++++-⨯⨯--=-==≥故有12()()2g x g x +≥12()2x xg +10．（必修1 P 100练习3）经市场调查，某商品在过去100天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元） 均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足1109()(1100,)33g t t t t =-+≤≤∈N .前40天价格为1()22(140,)4f t t t t =+≤≤∈N ，后60天价格为1()52(41100,)2f t t t t =-+≤≤∈N ，（1）试写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； （2）求出日销售量的最大值。

第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( ) A ．3，4 B ．3，π2 C.π2，4 D.π2，3解析：由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，所以振幅是3，周期是T ＝2ππ2＝4.答案：A2．(2015·山东卷)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得， 只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度．答案：B3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )答案：A4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π6B ．x ＝－512π C ．x ＝π2D ．x ＝π6答案：B5．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6B.π3C.2π3D.π12解析：函数f (x )的图象向左平移φ个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6的图象， 于是2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，取k ＝0，得φ的最小值为π6.答案：A6．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π6的频率是________，图象最高点的坐标是________．解析：由于T ＝8π，则频率f ＝1T ＝18π，当14x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝8k π＋8π3 (k ∈Z)时，函数取得最大值6.答案：18π ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k π＋8π3，6(k ∈Z) 7．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位长度，则所得图象的解析式为________________．解析：由题意y ＝sin x 的图象――――――――――――→各点横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变y ＝sin 2x的图象y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x .答案：y ＝cos 2x8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．解析：由题意得T2＝2π－34π，所以T ＝52π，ω＝45.由x ＝34时，y ＝－1，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ，又－2π5<35π＋φ<85π，所以35π＋φ＝32π.所以φ＝910π.答案：910π9．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4. (1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的． 解：(1)列表：描点、连线，将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z)个单位长度．得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． (2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象； ②把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． 10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z)．B 级 能力提升11．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω>0)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z)，故得ω的最小值是2. 答案：D12．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析：由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确． 答案：D13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则函数的解析式为f (x )＝__________．解析：由图象可知：34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，解得T ＝π，所以ω＝2.又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2. 所以5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z.因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 14．已知函数f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. (1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式f (x )－m <2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3.故当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )max ＝3；当2x －π3＝π6，即x ＝π4时，f (x )min ＝2.(2)由题设条件可知f (x )<m ＋2对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2恒成立，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )max ＝3. 所以m ＋2>3，即m >1，故m 的取值范围是(1，＋∞)．15.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π6，试判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 又|φ|<π2，所以φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝2cos 2x ， 因为g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝g (x )，故g (x )为偶函数．。

第3章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦A 级 基础巩固1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13 C.32 D.33 解析：原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.答案：A2．已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－210 B.210 C ．－25 D.25解析：因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.答案：B3.3sin π12＋cos π12的值为( )A.12B. 1C. 2D. 3 解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12＝2⎝ ⎛cos π3cos π12＋⎭⎪⎫sin π3sin π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos π4＝2×22＝ 2.答案：C4．已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，则cos (α－β )＝( )A ．－12B ．－32 C.12D ．1解析：由cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝1， 2(cos αcos β＋sin αsin β )＝－1. 所以cos(α－β )＝－12.答案：A5．cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 195°的值为________． 解析：原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°·cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.答案：06．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为___________．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18.所以cos α＋3sin α＝14. 答案：147．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜π2，则cos α＝______________． 解析：由于0＜α－π6＜π3，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝513.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝1213×32－513×12＝123－526. 答案：123－5268．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，求cos α的值．解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，所以π2＜α＋π4＜π.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210. 9．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值．解：因为0<α<π2，－π2<β<0，2所以π4<π4＋α<34π，π4<π4－β2<π2.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝ 13×33＋223×63＝539. 10．若12sin x ＋32cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3解析：对比公式特征知，cos φ＝32，sin φ＝－12，故只有－π6适合．答案：AB 级 能力提升11.cos 7°－cos 8°cos 15°cos 23°－cos 8°cos 15°的值为________． 解析：原式＝cos （15°－8°）－cos 8°cos 15°cos （8°＋15°）－cos 8°cos 15°＝cos 8°cos 15°＋sin 8°sin 15°－cos 8°cos 15°cos 8°cos 15°－sin 8°sin 15°－cos 8°cos 15°＝－1. 答案：－112．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos π4＝1.(2)因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－45.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2⎝ ⎛cos θcos π4＋⎭⎪⎫sin θsin π4＝－15.13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝32，其中π4＜α＜π2，π4＜β＜π2，求角α＋β的值． 解：因为π4＜α＜π2，所以－π4＜π4－α＜0.因为π4＜β ＜π2，所以π2＜π4＋β＜3π4.由已知可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－12，则cos(α＋β )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.因为π2＜α＋β ＜π.所以α＋β＝5π6.。

第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0.答案：D2．已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＝( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12是单位圆上一点，则cos α＝x ＝32. 答案：B3．若α是第四象限角，则sin α和tan α的大小的关系是( ) A ．sin α>tan α B ．sin α<tan α C ．sin α≥tan αD ．不确定解析：画出三角函数线即可判断出来，如图所示，sin α＝MP ，tan α＝AT ，又|MP |<|AT |，故sin α>tan α. 答案：A4．若sin θ·cos θ>0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第一或第四象限角 D ．第二或第四象限角 解析：因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ与cos θ同号， 由三角函数值在各象限内的符号知θ为第一或第三象限角． 答案：B 5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈Z C.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z 解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1. 又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A6．若α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－327．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．解析：由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－a4＝ 3.所以a ＝－4 3.答案：－438．已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 答案：AT >MP >OM9．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是_________________．解析：因为⎩⎨⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，所以⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z) 10．已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值．解：在射线y ＝2x (x ≥0)上任取一点P (a ，2a )(a >0)． 则r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a ，所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55.B 级 能力提升11．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2 解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：A12．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0. 所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：3513．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值范围是______． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，如图所示，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 14．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2，所以sin α＝y4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1. 又易知y <0，所以y ＝－1.所以r ＝ 5. 所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.15．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34.。

第3章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.2 两角和与差的正弦A 级 基础巩固1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋ cos 20°·sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：D2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：原式＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝12.答案：C3．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－55解析：由cos B ＝1010，且0＜B ＜π，得sin B ＝31010. 又A ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin π4cos B ＋cos π4sin B ＝22×1010＋22×31010＝255. 答案：A4．在△ABC 中，已知sin (A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定解析：因为sin(A －B )cos B ＋cos (A －B )sin B ＝sin A ≥1， 所以sin A ＝1.所以∠A ＝90°.所以△ABC 是直角三角形． 答案：C5．化简：sin 24°cos 6°－sin 66°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39°＝________．解析：sin 24°cos 6°－sin 66°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39°＝sin 24°cos 6°－cos 24°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39°＝sin （24°－6°）sin （21°－39°）＝sin 18°－sin 18°＝－1.答案：－16．已知0≤x ≤π2，若3sin x ＋cos x ＝m ，则m 的取值范围是____．解析：3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因为0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3.所以1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤2.所以1≤m ≤2. 答案：[1，2]7．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝513，求sin(α＋β )的值．解：因为π4＜α＜34π，所以π2 ＜π4＋α＜π.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.又因为0＜β ＜π4，34π＜34π＋β ＜π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3132＝－1213.所以sin(α＋β )＝－sin(π＋α＋β )＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝ －⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝ －⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.8．设方程12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．解：由题意知α＋β＝π12，故原式＝cos(α＋β )－3sin(α＋β )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－（α＋β ）＝2sin π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos π6－cos π4sin π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32－22×12＝6－22. B 级 能力提升9．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β )＝sin(α－β )，则角α的值为( )A.π4 B ．－π4C ．0D ．无法确定解析：由题意得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β )＝sin α(sin β＋cos β )，因为α，β均为锐角，所以sin β＋cos β ≠0，所以cos α＝sin α， 所以α＝π4.答案：A10．已知sin α－cos β＝12，cos α－sin β＝13，则sin(α＋β)＝______．解析：将条件等式两边平方相加得sin 2α＋cos 2β－2sin αcos β＋cos 2α＋sin 2β－2cos αsin β＝14＋19，即2－2·sin(α＋β)＝1336，所以sin(α＋β)＝5972.答案：597211．(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝2A 2＝322，可得A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3，则3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3，所以sin θ＝33. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝63，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.12．已知α，β为锐角，cos α＝1010，cos β＝55，求α＋β的值．解：法一：因为α，β是锐角，cos α＝1010，cos β＝55， 所以sin α＝1－cos 2α＝31010，sin β＝1－cos 2β＝255.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝31010×55＋1010×255＝22.因为0<α<π2，cos α＝1010<22＝cos π4，所以由余弦函数性质可知π4<α<π2.同理，π4<β<π2，所以π2<α＋β<π.所以α＋β＝3π4.法二：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1010×55－31010×255＝－22. 因为α，β是锐角，所以0<α＋β<π.所以α＋β＝3π4.13．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值． 解：(1)f (x )＝(1＋3tan x )·cos x ＝cos x ＋3·sin xcos x·cos x ＝cos x＋3sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos x ＋cos π6sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (2)因为0≤x <π2，所以π6≤x ＋π6<2πx ，由x ＋π6≤π2，得x ≤π3.所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是单调增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上是单调减函数．所以当x ＝π3时，f (x )有最大值为2.。

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．72°＝________rad.解析：72°＝72·π180 rad ＝2π5.答案：2π52.若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________．解析：由三角函数定义得tan α＝－21＝－2.答案：－23.若c os(2π－α)＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝________．解析：cos(2π－α)＝cos α＝53，又α∈(－π2，0)，∴sin α＝－23，∴sin(π－α)＝sin α＝－23.答案：－234.某扇形的面积为1 cm ，它的弧长为2 cm ，那么该扇形圆心角弧度数为________．解析：由⎩⎨⎧12lr ＝1，|α|＝l r，得α＝2.答案：25.设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，有下列图象：其中，函数d ＝f (l )的图象大致是________．解析：令AP ︵所对的圆心角为θ，由OA ＝1，知l ＝θ，sin θ2＝d 2，所以d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)．结合四个图象可知填③.答案：③6.函数y ＝tan(x －π6)的定义域是________．解析：由x －π6≠π2＋k π(k ∈Z )，解得x≠2π3＋k π(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠k π＋2π3，k ∈Z7.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 答案：y ＝1＋cos 2x8.为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________．解析：由函数图象可知，要出现50次最大值，至少需要4914个周期．∴T ≤1－04914＝4197.∴ω＝2πT ≥2π4197＝197π2.答案：197π29.若0≤α≤2π，sin α>3cos α，则α的取值范围是________． 解析：∵sin α>3cos α，∴⎩⎨⎧cos α>0，tan α>3，或⎩⎨⎧cos α<0，tan α<3，或⎩⎨⎧cos α＝0，sin α>0.又∵0≤α≤2π，∴π3<α<π2或π2<α<4π3或x ＝π2，即x ∈(π3，4π3)．答案：(π3，4π3)10.已知函数f (x )＝3sin πxk的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期为________．解析：T ＝2π⎪⎪⎪⎪πk ＝2|k |.由题意知⎝⎛⎭⎫k 2，3在圆上， 得k 24＋3＝k 2， 所以|k |＝2，所以T ＝4. 答案：411.先将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，再变化各个点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的图象，则ω＝________，φ＝________．解析：因为函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2π3，所以ω＝3.又因为将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，可得函数y ＝sin(x －π3)的图象，故可判断函数y ＝sin(ωx ＋φ)中φ＝－π3. 答案：3 －π312.方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈[－3，2]． 作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3与y ＝1－2a 在[0，π]上的图象(图略)，当3≤1－2a <2时，原方程有两个不等的实根，故－12<a ≤1－32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32 13.函数f (x )＝2cos(x －π4)－1在区间(0，π)内的零点是________．解析：函数f (x )＝2cos(x －π4)－1的零点即方程2cos(x －π4)＝1的解，也就是方程cos(x －π4)＝12的解，∴x －π4＝2k π±π3(k ∈Z )，即x ＝2k π＋7π12或x ＝2k π－π12(k ∈Z )，∴在区间(0，π)内的解是x ＝7π12.答案：7π1214.函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C .①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是________．解析：①f (11π12)＝3sin(116π－π3)＝3sin 32π＝－3，∴直线x ＝1112π为对称轴，①对；②由－π12＜x ＜5π12⇒－π2＜2x －π3＜π2，由于函数y ＝3sin x 在(－π2，π2)内单调递增，故函数f (x )在(－π12，5π12)内单调递增，②对；③∵f (x )＝3sin 2(x －π6)，∴由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin2(x －π3)的图象，得不到图象C ，③错．答案：2二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝cos(2x ＋π3)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)用五点法作出函数f (x )在一个周期内的图象．解：(1)∵f (x )＝cos(2x ＋π3)，∴T ＝π.16.(本小题满分14分)已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求1cos 2x －sin 2x 的值．解：(1)法一：联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15， ①sin 2x ＋cos 2x ＝1. ②由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0. ∵－π2＜x ＜0，∴⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45.所以sin x －cos x ＝－75.法二：∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝(15)2，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925.③又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，∴sin x －cos x ＜0.④由③④可知sin x －cos x ＝－75.(2)由已知条件及(1)可知⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45.∴tan x ＝－34.∴1cos 2x －sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2xcos 2x cos 2x －sin 2xcos 2x＝tan 2x ＋11－tan 2x ＝（－34）2＋11－（－34）2＝257. 17.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由题意得2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)先把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x的图像，再把y ＝sin 2x 图象上所有点向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32的图象． 18.(本小题满分16分)(1)已知角α终边上一点P (－3，y )且sin α＝24y ，求cos α的值．(2)若f (x )＝sin πx6，试求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)的值．解：(1)由y 3＋y 2＝24y 解得y ＝±5或y ＝0；当y ＝±5时cos α＝－64； 当y ＝0时，x ＝－3，r ＝3＋y 2＝3，故cos α＝x r ＝－33＝－1，∴cos α＝－64或－1. (2)∵f (x )＝sin πx6的周期为T ＝12，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (12)， f (13)＋f (14)＋…f (24)，…，f (1 993)＋f (1 994)＋…＋f (2 004)是相等的，把它们看成一个个整体，则有： f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝167[f (1)＋f (2)＋…＋f (12)]＋f (2 005)＋…＋f (2 015)，∵f (1)＋f (2)＋…f (12)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋…＋sin 12π6＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝167×0＋f (2 004＋1)＋…＋f (2 004＋11)＝f (1)＋…＋f (11)＝0.19.(本小题满分16分)设函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋a －1，已知不等式1≤f (x )≤174对一切x∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝(1－sin 2x )＋sin x ＋a －1＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－(sin x －12)2＋a ＋14.∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时f (x )max ＝a ＋14；当sin x ＝－1时，f (x )min ＝a －2. ∵1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，∴f (x )max ≤174且f (x )min ≥1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174，a －2≥1，得3≤a ≤4，故a 的取值范围是[3，4]． 20.(本小题满分16分)求关于x 的函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值． 解：设cos x ＝t ，则函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)即为关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)(－1≤t ≤1)；该二次函数图象关于t ＝a2对称，故分三种情况讨论：(1)当a2≤－1即a ≤－2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，1]上为增函数，所以t ＝－1时y min ＝2＋2a －(2a ＋1)＝1；(2)当－1<a 2<1即－2<a <2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，a2]上为减函数、在区间[a 2，1]上为增函数，所以t ＝a 2时，y min ＝2×a 24－2a ×a 2－(2a ＋1)＝－a22－2a－1；(3)当a2≥1即a ≥2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，1]上为减函数，所以t ＝1时，y min ＝2－2a －(2a ＋1)＝1－4a ；综上知：原函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值y min＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤－2，－a22－2a －1，－2<a <2，1－4a ，a ≥2.。