2017年普通高考数学终极押题卷理科(PDF)

2017年高考终极押题卷（试卷）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{|A x y ==，{|21}x B y y ==+，则A B =A ．(1,2]B ．(0,1]C ．[1,2]D ．[0,2]2．命题,e 10x x x ∀∈--≥R 的否定是 A ．,e 10x x x ∀∈--≤RB ．000,e 10xx x ∀∈--≥R C ．000,e 10xx x ∃∈--≤RD ．000,e 10xx x ∃∈--<R3．若复数z 满足(2i)32i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．从两盆不同的菊花和三盆不同的兰花中拿出两盆摆在会议桌上，则拿出的两盆花均为兰花的概率是 A ．25B ．35C ．710D ．3105．若抛物线22x my =的准线过椭圆2212516x y +=的上顶点，则抛物线的方程为A ．216x y =-B ．216x y =C ．220x y =-D ．220x y =6．若3sin 4cos 5αα-=，则πtan()4+=α A ．17-B ．17C ．7-D ．77．一空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为A ．4B ．5C ．6D ．78．如图所示的程序框图中的算符源于我国古代的“中国剩余定理”，用(mod )N n m ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如：71(mod3)≡，执行该程序框图，则输出的n 的值为A ．19B ．20C ．21D ．229．函数2()(1)xf x x =-的图象可能是10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（ππ0,0,22A >>-<<ωϕ）的部分图象如下图所示，则函数()(21)g x f x =-的单调递增区间是A ．[41,41]()k k k -+∈ZB ．[41,43]()k k k ++∈ZC ．[82,82]()k k k -+∈ZD ．[82,86]()k k k ++∈Z11．已知实数,x y 满足约束条件210100,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则321x y x +-+的取值范围是A ．[2,3]-B ．[0,3]C ．[2,2]-D ．[1,3]-12．如图，三棱锥P ABC -中，,PAB PBC △△均为正三角形，ABC △为直角三角形，斜边为AC ，M 为PB 的中点，则直线,AM PC 所成角的余弦值为A． BCD ．13第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知ABC △中，10,6,8AB AC BC ===，M 为AB 边上的中点，则CM CA CM CB ⋅+⋅=_____________．14．已知半径为2的圆C 经过点(2,1)M 且圆心不在坐标轴上，直线:10l x y ++=与圆C 交于,A B 两点，ABC △为等腰直角三角形，则圆C 的标准方程为_____________． 15．在ABC △中，::::sin sin sin 332A B C =．若ABC △的面积为ABC △的内切圆的半径为_____________．16．已知函数2()ln x f x a x x a =+-，对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式12|()()|1f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的取值范围为_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均不为零，n S 为其前n 项和，12a =，14n n n S a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记21n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某商场销售某种产品，随着销售价格x （x 为正整数）的不同，日销量y 也不同，经过一段时间的销售，得到如下的统计数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）在（1）的条件下，如果该产品的进价为每吨2万元， ①如何确定销售价格，可使得日利润最大，并求出最大利润；②该商场在保证日利润不低于15万元的前提下，尽量降低产品价格保证销量，则产品的最低价格为每吨多少万元？参考公式：回归方程ˆˆˆy bx a =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-． 19．（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体ABCDEFG 中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，四边形,CDEG ADEF 均为平行四边形，AEC △为正三角形，2DE ==． （1）求证：平面BFG ∥平面ACE ；（2）求点D 到平面BFG 的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆C 上一点(2,1)P 作x 轴的垂线，垂足为Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且3QA QB +=0，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax ax =-+． （1）证明：当1a =时，()0f x ≤；（2）证明：当1a <时，存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)M 的直线l 与曲线C 交于点,A B ，若2AM MB =，求直线l 的参数方程．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||23|f x x x =+-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若函数()y f x a =-的图象与x 轴围成的封闭图形为四边形，且其面积不小于212，求实数a 的取值范围．2017年高考终极押题卷（全解全析）1．【参考答案】A【详解详析】因为[0,2],(1,)A B ==+∞，所以(1,2]A B =．故选A ．2．【参考答案】D【详解详析】全称命题的否定是特称命题，把全称量词改为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D ． 3．【参考答案】D【详解详析】由(2i)32i z +=-，得32i (32i)(2i)47i2i (2i)(2i)5z ----===++-，其对应的点的坐标为47(,)55-，位于第四象限．故选D ． 4．【参考答案】D【详解详析】记两盆菊花为12,J J ，三盆兰花为123,,L L L ，基本事件为1211121321,,,,,,J J J L J L J L J L J L23121323,,,J L L L L L L L ，共10个，其中两盆花均为兰花的基本事件有3个，故所求的概率为310．故选D ． 5．【参考答案】A【详解详析】易知抛物线22x my =的准线方程为2m y =-，椭圆2212516x y +=的上顶点为(0,4)，故42m-=，8m =-，所以抛物线的方程为216x y =-．故选A ． 6．【参考答案】B【详解详析】由3sin 4cos 5αα-=，得5sin()5αϕ-=，其中34cos ,sin 55ϕϕ==，由5sin()5αϕ-=，得s i n ()1αϕ-=，不妨取π2-=αϕ，则π2=+αϕ，所以πsin()sin cos 32tan πcos sin 4cos()2+====--+ϕαϕααϕϕ，所以31π14tan()34714-++==+α．故选B ．7．【参考答案】C【详解详析】由三视图可得该空间几何体如图所示，为正方体被切割掉了四分之一，故其体积为33264⨯=．故选C ．8．【参考答案】D【详解详析】执行程序框图：16n =，除以3余2，否，除以5余2，否；17n =，除以3余2，是；18n =，除以3余2，否，除以5余2，否； 19n =，除以3余2，否，除以5余2，否；20n =，除以3余2，是；21n =，除以3余2，否，除以5余2，否；22n =，除以3余2，否，除以5余2，是，则输出22，故选D ．9．【参考答案】C【详解详析】由函数()f x 的解析式可得0x >且1x ≠时，()0f x >，故排除选项A ，B;当1x >时，211()1(1)f x x x =+--，且()f x 随x 的增大而减小，故排除D ，选C ． 10．【参考答案】A【详解详析】显然3A =，7342T =-=，得π4=ω，所以π()3sin()4f x x =+ϕ，又5π(5)3sin()34f =+=-ϕ，ππ22-<<ϕ，所以π4=ϕ，所以ππ()3sin()44f x x =+，所以πππ()3s i n [(21)]3s442xg x x =-+=，由不等式πππ2π2π()222x k k k -≤≤+∈Z ，解得4141()k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()g x 的单调递增区间为[41,41]()k k k -+∈Z ．故选A ． 11．【参考答案】A【详解详析】画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，3211311x y y x x +--=+⨯++，设11y z x -=+，其几何意义是阴影部分内的点(,)x y 与点(1,1)P -连线的斜率，故z 的最小值为直线OP 的斜率1-，z 的最大值为直线PA 的斜率，因为(2,3)A ，所以直线PA 的斜率为312213-=+，所以321x y x +-+的取值范围为[2,3]-．故选A ．12．【参考答案】B【详解详析】如图，取BC 的中点N ，连接,MN AN ，易得MN ∥PC ，则,M N A M所成的角即为直线,AM PC 所成的角．设2AB =，则AN ，1MN =，AM =AMN △中，由余弦定理，得cosAMN ∠==，所以直线,AM PC B ．13．【参考答案】50【详解详析】方法一：显然ABC △是直角三角形，且90C =︒，以点C 为坐标原点，射线,C A C B 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则(6,0),(0,8)A B ，(3,4)M ，所以()C M C A C M C B C⋅+⋅=⋅+=． 方法二：由题易得ABC △是直角三角形，且90C =︒，2CA CB CM +=，1||||52CM AB ==，故C ⋅+⋅2()CMC ⋅+=． 14．【参考答案】22(2)(1)4x y -++=【详解详析】设圆C 的圆心坐标为(,)a b ，其中0ab ≠，则其标准方程为22()()4x a y b -+-=，所以22(2)(1)4a b -+-= ①．因为ABC △为等腰直角三角形，所以圆心到直线l ，即=，所以12a b ++=，所以1a b +=或3a b +=-．若1a b +=，则1b a =-，代入①，得22(2)4a a -+=，解得0a =（舍去）或2a =，则1b =-；若3a b +=-，则3b a =--，代入①，得22(2)(4)4a a -++=，即2280a a ++=，该方程无解．所以所求圆的标准方程为22(2)(1)4x y -++=．15【详解详析】由::::sin sin sin 332A B C =以及正弦定理可得::::332a b c =，令3a t =，则3,2b t c t ==，所以222(3)(3)(2)7cos 2339t t t C t t +-==⨯⨯，所以2s i n (C ==所以213329ABC S t t =⨯⨯⨯==△1t =． 设ABC △的内切圆的半径为r，则1()2a b c r ++=r = 16．【参考答案】[e,)+∞【详解详析】由题意可得，在[0,1]上max min ()()1f x f x a -≤-，且1a >，由于()ln 2ln (1)ln x x f x a a x a a a =+-=-'2x +，所以当0x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在[0,1]上单调递增，则max ()(1)1ln f x f a a ==+-，min ()(0)1f x f ==，所以max min ()()ln f x f x a a -=-，故1ln ln 1a a a a -≥-⇒≥，即e a ≥，故填[e,)+∞． 17．【详解详析】（1）由14n n n S a a +=，得1124n n n S a a +++=，上述两式相减，得11214n n n n n a a a a a ++++=-，所以24n n a a +-=，所以该数列的奇数项和偶数项分别是公差为4的等差数列．（3分） 易知24a =，所以该数列为2,4,6,8,，即数列{}n a 是首项为2、公差为2的等差数列，所以2(1)22n a n n =+-⨯=．（6分） （2）211111()4(2)82n n n b a a n n n n +===-++，（8分）所以12n n T b b b =+++11111111[(1)()()()]8324112n n n n =-+-++-+--++21111132335[(1)()]()821282(1)(2)16(1)(2)n n n n n n n n n ++=+-+=-=++++++．（12分） 18．【详解详析】（1）由表中数据计算得7654355x ++++==，58121416115y ++++==，521135i i x ==∑，51247i i i x y ==∑．则5152215247275ˆ 2.81351255i ii i i x y x ybx x==--===---∑∑，ˆˆ11(2.8)525a y bx =-=--⨯=，（5分） 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ25 2.8yx =-．（6分） （2）①设日利润为()l x ，则2()(25 2.8)(2) 2.830.650l x x x x x =--=-+-， 该函数图象的对称轴方程为30.65.462 2.8x =≈⨯，因为x 为正整数，所以当5x =时，()l x 取得最大值，且最大值为(5)33l =（万元）．（8分）②由题意知2() 2.830.65015l x x x =-+-≥，即22.830.6650x x -+≤， 设方程22.830.6650x x -+=的两根为12,x x ，且12x x <， 则不等式22.830.6650x x -+≤的解为12x x x ≤≤．构造函数2() 2.830.665f x x x =-+，该函数图象的对称轴方程为30.65.462 2.8x =≈⨯．易知该函数在[1,5]上单调递减，且(2)150f =>，(3) 1.6f =-，所以123x <<， 因为x 为正整数，12x x x ≤≤，则x 的最小值为3，即产品的最低价格为每吨3万元．（12分）19．【详解详析】（1）因为四边形,CDEG ADEF 均为平行四边形，所以AF CG ∥且AF CG =，所以四边形ACGF 也是平行四边形，所以GF ∥AC ，所以GF ∥平面ACE ．（2分） 因为四边形ADEF 为平行四边形，四边形ABCD 为菱形，所以EF BC =且EF ∥BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以BF ∥CE ，所以BF ∥平面ACE ．（5分） 因为GFBF F =，所以平面BFG ∥平面ACE ．（6分）（2）因为60BAD ∠=︒，AD =，所以AC =，因为AEC △为正三角形，所以AE EC AC ===在ADE △中，,,2A E A D E ==，所以222AE AD DE =+，所以D E A D⊥． 同理可得DE DC ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ．（7分）因为四边形ADEF 为平行四边形，所以AD ∥EF ，所以EF ∥平面ABCD ． 同理可得EG ∥平面ABC D ，所以平面EFG ∥平面ABC D ，所以DE ⊥平面EFG ．（8分）如图，连接BD ，与AC 交于点O ，取FG 的中点H ，连接,,,DH BH OH EH ， 则四边形DEHO 为平行四边形，所以EH ∥DO ，即EH ∥BD ， 所以,,,B D E H 四点共面，所以平面BDEH平面BFG BH =．（9分）因为EF EG =，H 为FG 的中点，所以FG EH ⊥，因为DE ⊥平面EFG ，所以FG DE ⊥，又EH D E E =，所以FG ⊥平面BDEH ，所以平面BFG ⊥平面BDEH ．（10分）过点D 作DM BH ⊥于点M ，则DM ⊥平面BFG ， 线段DM 的长度即为点D 到平面BFG 的距离．（11分）在BDH △中，2BD HO ==且HO BD ⊥，所以其面积为122⨯2BH =，所以122DM ⨯=，所以43DM =，即点D 到平面BFG 的距离为43．（12分）20．【详解详析】（1）设椭圆C 的方程为222a b c =+，解得2226,3a b c ===，（3分） 故椭圆C 的方程为22163x y +=．（4分）（2）由题意得点()2,0Q ，当直线l 的倾斜角为0时，不符合题意．（6分） 设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，点()()1122,,,A x y B x y ，则()()11222,,2,QA x y QB x y =-=-，由3QA QB +=0，得1230y y +=， 于是21211212,3y y y y y y +=-=-，得到8分）将直线()20x ty t =+≠的方程代入椭圆C 的方程22163x y +=中，得到()222420t yty ++-=，10分） 所以直线l 的方程为12分） 21．【详解详析】（1）当1a =时，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x-+++-'=-+==-．（2分）因为0x >，所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以1x =是函数()f x 在(0,)+∞上唯一的极大值点，也是最大值点， 所以()(1)0f x f ≤=，所以()0f x ≤．（6分）（2）方法一：2121()2ax ax f x ax a x x--'=-+=-．令2()21g x ax ax =--．若0a ≤，则1x >时，()(21)10g x ax x =--<，所以()0f x '>， 即()f x 在(1,)+∞上单调递增，对任意(1,)x ∈+∞均有()(1)0f x f >=，故存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >成立．（8分） 当01a <<时，令()0g x =，解得10ax =<，2x ==，因为81189a+>+=，所以21x >． 所以当21x x <<时，()0g x <，此时()0f x '>；当2x x >时，()0g x >，此时()0f x '<，所以()f x 在2(1,)x 上单调递增，在2(,)x +∞上单调递减，所以当02(1,)x x ∈时，0()(1)0f x f >=，故存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >成立．（11分）综上可知，当1a <时，存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >．（12分）方法二：由题易得(1)0f =，则原问题等价于()0f x '≥在(1,)+∞上有解，（8分）因为2121()2ax ax f x ax a x x--'=-+=-，令2()21g x ax ax =--，所以()0g x ≤在(1,)+∞上有解，当0a ≤且1x >时，()(21)10g x ax x =--<恒成立；（9分） 当01a <<时，由于(1)2110g a a a =--=-<，结合二次函数的图象易得()0g x ≤在(1,)+∞上有解．（11分） 综上可知，当1a <时，存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >．（12分）22．【详解详析】（1）由2853c o s 2ρθ=-，得2(53c o s 2)8ρθ-=，即22(43cos )4ρθ-=， 所以2224434x y x +-=，即2244x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（5分） （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t =+⎧⎨=⎩αα（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），代入曲线C 的直角坐标方程，得22(13sin )(2cos )30t t αα++-=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1222cos 13sin t t αα+=-+ ①，122313sin t t α=-+ ②．（7分）因为2AM MB =，所以122t t -= ③．由①③解得12224cos 2cos ,13sin 13sin t t αααα=-=++，代入②得228cos 313sin αα=+，化简得25sin 17α=， 因为0π≤<α，所以sin α=cos α=． 所以直线l的参数方程为117x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．（10分）23．【详解详析】（1）33,03()3,02333,2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩．当0x ≤时，由339x -+≤，解得20x -≤≤； 当302x <≤时，由39x -+≤，解得302x <≤； 当32x >时，由339x -≤，解得342x <≤． 所以不等式()9f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤．（5分）（2）由题可得，函数()y f x a =-的图象与x 轴围成的封闭图形是如图所示的四边形ABCD ，易得33(,)22A a -，3(,0)3aB +，3(,0)3aC -，(0,3)D a -，(2,3)E a -． 则ADE △的面积为133(20)[(3)()]222a a ⨯-⨯---=，梯形B C D E 的面积为223(3)2aa +⨯-，所以223213(3)222aa++⨯-≥，所以223(3)92aa+⨯-≥，即236a≥，解得6a≥，故实数a的取值范围是[6,)+∞．。

2017高考理数预测密卷二本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设,A B 是两个非空集合，定义集合{|A B x x A -=∈且}x B ∉，若{}|05A x Z x =∈≤≤，{}2|7100B x x x =-+<，则A B -的真子集个数为（ ）A.3B.4C.7D. 15 2．命题“0x ∀>，使得210x x ++>”的否定是 （ ）A.00x ∃≤，使得20010x x ++≤ B. 0x ∀≤，使得210x x ++>.C. 0x ∀>，使得210x x ++>D. 00x ∃>，使得210x x ++≤3．已知p ：1a =±，q ：函数22()ln()f x x a x =++为奇函数，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数z x y =+（ ）A. 有最大值32，最小值-3 B.有最大值1，最小值-3 C.有最小值1，无最大值 D.有最大值1，无最小值 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的2k =,则输出的k 为（ ）A.6B.7C.8D. 9 6．已知()sin(2)3f x x π=+，'()2()()g x f x f x =+，在区间 , 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个实数x ，则()g x 的值不小于6的概率为（ ）A.16 B.38 C.14 D.18 7．我国古代著名的数学专著《九章算术》中有一个“竹九节”问题为“一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，则这根竹子的总容积为（ ）A.476升 B. 172升 C. 20122升 D. 30933升 8．函数12017()()cos 12017xxf x x -=+的图象大致为（ ） A.B.C. D.9. 若5(1)x ay --的展开式中2x y 的系数为-150，则展开式中各项的系数和为（ ） A ．55- B. 55 C. 53 D. 54 10.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是正方形，两条虚线互相垂直， 若该几何体的体积是1603，则该几何体的表面积为（ ）A. 96162+B. 80162+C.80D. 112 11．已知M 、N 是等轴双曲线222(0)x y a a -=>上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线,PM PN 的斜率分别为1212,,0k k k k ≠，则12k k +的最小值为（ ）A ．2B ．1 C. 12D 12.已知函数2()2f x x x a =++，1()g x x=-，若存在两点11(,())A x f x ，22(,())B x g x ，12(0,0)x x <>，使得直线AB 与函数()y f x =和()y g x =的图象均相切，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(1,)8-B. (1,)+∞C. 1(,1)(,)8-∞-+∞UD. 1(,)8-∞第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-23为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

绝密★启封前2017全国卷Ⅲ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．设集合M={2|230,x x x x Z --<∈}，则集合M 的真子集个数为 A ．8 B ．7 C ． 4 D ．32.若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（） A.)1,2(- B.)1,2(- C.)1,2( D )1,2(--3.若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

DA 错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

4．在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等（） A ．13 B.23 C ．12 D ．145．已知点A （1，2），B （3，4），C （—2，0），D （—3，3），则向量在向量上的投影为（）A ．5102 B ．5102- C ．510- D ．5106.函数2()(1)cos 1xf x x e =-+图象的大致形状是( )7．设12,F F 是双曲线22:19x y C m-=的两个焦点，点P 在C 上，且120PF PF ⋅=，若抛物线216y x =的准线经过双曲线C 的一个焦点，则12||||PF PF ⋅的值等于（）A ．B ．6C ．14D ．168．若[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面的程序框图运行之后输出的结果为（） A ．48920B ．49660C ．49800D ．518679. 定义在R 上的函数()f x 满足()2log (4),0(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则()3f 的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2（10）榫卯（sŭn măo ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其体积为（A ）21 （B ）22.5 （C ）23.5 （D ）2511.已知抛物线22y x =上有两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线x y m +=对称，且1212y y =-，则m 的值等于（） A ．34 B ．54 C. 74 D ．9412．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2-()B ln 2)-()C 1ln2+()D ln 2)+第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

北京市2017高考押题金卷理科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R ，A={x|x 2﹣4x+3≤0}，B={x|log 3x ≥1}，则A ∩B=（ ）A ．{3}B ．{x|＜x ≤1}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ＜1}2. 已知数列{a n }为等差数列，且满足a 1+a 5=90．若（1﹣x ）m 展开式中x 2项的系数等于数列{a n }的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．103已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．4.设x R ∈，则“x>21”是“0122>-+x x ”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．B．C．D．46.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是A. B. C. D.7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8.已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2] D．[e﹣1，2）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是．10若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．11采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B 的人数为．12.直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．13.已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为．14.若函数,,则不等式的解集是______.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题满分13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.16. （本小题满分13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17.（本小题满分13分）如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，60,2,DAB AB AD CD ∠===o 侧面PAD ⊥ABCD 底面，且PAD V为等腰直角三角形，90APD ∠=o . （Ⅰ）求证：;AD PB ⊥（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数()()2=-33x f x x x e +的定义域为[]-2t ，，设()-2=f m ，()f t n =.（Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]-2t ，上为单调函数；（Ⅱ）求证：m n <； （Ⅲ）若不等式()()()72ln 1xf x x k x x k e +->-为正整数对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明14ln.9x<（解答过程可参考使用以下数据ln7 1.95ln8 2.08≈≈，）19.(本题满分14分)已知椭圆E：的离心率为，其右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．20.（本小题满分 14 分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k ≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．试卷答案1A【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log3x≥1}={x|x≥3}，则A∩B={3}，故选：A2D【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，可得=45，即可求出m．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴=45，∴m=10，故选D．3D【分析】设单位向量，的夹角为θ，根据，得•（+2）=0，代入数据求出cosθ的值．【解答】解：设单位向量，的夹角为θ，∵，∴•（+2）=+2=0，即12+2×1×1×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴与夹角的余弦值为﹣．故选：D．4.A 5B【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD==．故选：B．6D【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能力.,因为曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，所以有两个不同的解，令,,由得x>2，由得x<2,所以当x=2时，函数取得极小值，所以a>7A【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，那么：sinC=，cosC==，解得b=2．由，可得sinB=，那么△ABC的面积=故选A8A【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A9. 【gkstk答案】（﹣4，2）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k 的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．10.6【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得A=1，S=1满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．故答案为：6．11.10【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．12.±【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．13.或【分析】设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F′，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，设|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n，根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n，∴|AC|=2n，在直角三角形ABC中，tan∠BAC==，∴k AB=k AF=．∴直线l 的倾斜角为．根据对称性，直线l 的倾斜角为，满足题意．故答案为或．14. 【gkstk 答案】(1,2)15. 【gkstk 答案】(1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0， 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.16.解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a ）×2=1，解得a=0.0375， 因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为．所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）． （2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，，，．所以随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P．17. 解：（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、．PA PD =Q ，PG AD ∴⊥……………………………2分AB AD =Q ，且60DAB ∠=︒， ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥,又PG BG G =I ,AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………………5分（Ⅱ） ∵侧面PAD⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥Q ，PG ∴⊥底面ABCD ． PG BG ∴⊥．∴直线GA GB GP 、、两两互相垂直， 故以G 为原点,直线GA GB GP 、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,),(,0,0),P a A a 3,0)B a ，(,0,0)D a -，)0,23,23(a a C -．…………………………………………………7分3(,,0)2BC a ∴=-u u u r．,)PB a ∴=-u u u r设000(,,)n x y z =r是平面PBC 的法向量，则0n BC ⋅=r u u u r 且0n PB ⋅=r u u u r ．000030,20.ax az ⎧--=⎪∴⎨-=0000,.x y z ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩取0y =(n =-r． …………………………………………9分又Q 平面PAD的法向量1,0)n GB ==u r u u u r，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则11cos 13n n n n θ⋅===⋅r u r r u r , 所以平面PAD 与平面PBC．……………………13分 18. 解：（Ⅰ）因为xxxe x x e x e x x xf ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2………………1分 令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x <<所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减………………………………3分 要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤所以t 的取值范围为(2,0]- …………………………………………………4分 （Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减， 所以()f x 在1x =处取得极小值e 又213(2)f e e-=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -………………………6分 从而当2t >-时，)()2(t f f <-，即m n < ………………………………………8分 （Ⅲ）()72(ln 1)xf x x k x x e+->-等价于241(ln 1)x x k x x ++>-即14ln 0k x k x x+++->………………………………………9分 记1()4ln k g x x k x x+=++-，则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x++--'=--=， 由()0g x '=，得1x k =+，所以()g x 在(0,1)k +上单调递减，在(1,)k ++∞上单调递增， 所以()(1)6ln(1)g x g k k k ≥+=+-+()0g x >对任意正实数x 恒成立，等价于6ln(1)0k k +-+>，即61ln(1)0k k+-+>………………………………11分 记6()1ln(1)h k k k =+-+， 则261()01h x x x =--<+，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减， 又(6)2ln 70h =->，13(7)ln807h =-<， 所以k 的最大值为6………………………………………12分 当6k =时，由2416(ln 1)x x x x ++>-令3x =，则14ln 39<………………………………………13分19解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b 2=a 2﹣c 2=1， 故椭圆方程为；…（4分）（2）如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （1，0），且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），则PQ的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x1=，x1x2=，则丨PQ丨=•，于是，…（7分）同理：．则S=丨PQ丨丨MN丨=，令t=k2+，T≥2，S=丨PQ丨丨MN丨==2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值．当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2．20.解：（1）由S n=2a n﹣2，得S n+1=2a n+1﹣2两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n∴a n+1=2a n数列{a n}为等比数列，公比q=2又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴（2），方法一当n≤5时，≥0因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…∴对任意n∈N*均有T4=T5≥T n，故k=4或5．方法二（两式相减，得，=（6﹣n）•2n+1﹣12，，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n（3）∵∴=∵对任意n∈N*均有成立，∴，所以λ的最小值为．。

绝密★启用前2017年高考冲刺押题卷理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合(){}2log 2A x y x ==-，{}2|320B x x x =-+<，则A B =ð（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2．在复平面内，复数23i32iz -++对应的点的坐标为()2,2-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．函数4lg ||||x x y x =的图象大致是（ ）4．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )若任取，则满足的概率是( ) A ．2eB ．1eC ．e 2e - D．e 1e- 6．已知ABC △中，sin 2sin cos 0A BC +=c =，则tan A 的值是( ) A B CD 7．若(),z f x y =称为二元函数，已知(),f x y ax by =+，()()()1,2501,1403,1100f f f --≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则()1,1z f =-的最大值等于( )A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且焦点与椭圆221362x y +=的焦点相同，离心率为e =，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点2F 的距离为18，N 为2MF 的中点，O 为坐标原点，则NO 等于（ ） A ．23B ．1C ．2D ．49．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为10082017，则判断框内可以填（ ）A ．2016?k >B ．2016?k ≥C ．2017?k ≥D ．2017?k >10．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2=AB ，1=AC ，ο60=∠BAC ，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．20πC ．8πD ．16π 11．已知函数()22sin 22cos 148f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()g x 的图象，若12,x x 是()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两根，则12sin()x x +的值为（ ）A 25B 5C ．5-D ．2512．若对0x ∀>，不等式()()22ln 112x x ax x a x +++-+>∈+R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+?B ．()1,+?C ．[)2,+?D ．()2,+?第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知132⎛= ⎝⎭a ，()2cos ,2sin αα=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2-=a b ____________．14．“MN 是经过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.”类比椭圆的性质，可得“MN 是经过双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则 .”15．若点()00,P x y 为抛物线24y x =上一点，过点P 作两条直线,PM PN ，分别与抛物线相交于点M 和点N ，连接MN ，若直线PM ，PN ，MN 的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123111k k k +-= ． 16．以下四个命题中：①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布2(100,)N σ，已知40.0)10080(=≤<ξP ，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15份；②已知命题:,sin 1p x x ∀∈≤R ，则p ⌝：,sin 1x x ∃∈>R ；③在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()22f x x =++在R 上有零点的概率为37； ④设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->”的充要条件. 其中真命题的序号为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中,公差0d ≠, 735S =，且2511,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，且存在n *∈N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， BC AD //，AD CD ⊥，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2==PD PA ，121==AD BC ，3=CD，PB =（1）求证：平面⊥PAD 底面ABCD ；（2）设tMC PM =，若二面角C BQ M --的平面角的大小为ο03，试确定t 的值. 19．（本小题满分12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．问： （1）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40）的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40）的人数X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别是12,B B ，点C 是12B F 的中点，若11122B F B F ⋅=u u u u r u u u u r，且112CFB F ⊥.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A D 、，求1F AD △的面积的最大值. 21．（本小题满分12分）已知函数()2ln 2f x ax x =++．（1）若a ∈R ，讨论函数()f x 的单调性；（2）曲线()()2g x f x ax =-与直线l 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中12x x <，若直线l 斜率为k ，求证：121x x k<<． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）将曲线2C 经过伸缩变换2x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线3C ，若,M N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求||MN 的最小值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()|2||3|f x x x =--+. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若不等式()3f x a <+对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.理科数学参考答案。

2017年高考原创押题卷（三）数学(理科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x }，N ＝{x |x 2＋y 2＝1}，则M ∩N ＝( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫22，22 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－22，－22，⎝⎛⎭⎫22，22 C.()－1，1 D ．[－1，1]2．若定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪i z －1z ＝－2的复数z 是( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1＋iD ．－1－i 3．下列函数中，既是奇函数又零点个数最多的是( )A ．y ＝－x 3－1，x ∈RB ．y ＝x ＋1x ，x ∈R ，且x ≠0C ．y ＝－x 3－x ，x ∈RD ．y ＝－x 3(x 2－1)，x ∈R ，且x ≠0图3­14．如图3­1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1的侧棱长和底边各边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为( ) A. 3 B ．23 C. 2 D ．2 2 5．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：个观测数据的平均数)，则输出S 的值是( )图3­2A ．7B ．9C ．11D ．136．如果n 为正奇数，那么7n ＋C 1n ·7n －1＋…＋C n －1n ·7被3除所得的余数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定7．在平面直角坐标系内，区域M 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，0≤y ≤1，区域N 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，0≤y ≤sin x ，则向区域M 内投一点，落在区域N 内的概率是( )A.2πB.π4 C ．2－2π D ．2－π48．已知空间四面体ABCD 的体积是V ，点O 是该四面体内的一点，且满足OA →＋(2－1)OB →＋sin αOC →＋cos αOD →＝0，其中变量α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则下列判断正确的是( )A ．V O ­ACD 的最大值为2－24VB ．V O ­ABD 和V O ­ABC 的最大值均为V4C ．V O ­ABD ＋V O ­ABC 的最大值为12V D ．V O ­BCD 的最大值为24V9．已知方程(m －1)x 2＋(3－m )y 2＝(m －1)(3－m )表示焦距为8的双曲线，则m 的值为( ) A ．－30 B ．10 C ．－6或10 D ．－30或34 10．如果sin 3θ＋sin θ≥cos 3θ＋cos θ，且θ∈(0，2π)，那么角θ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫π4，5π411．已知点A ⎝⎛⎭⎫32，－1在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线l 上，过点A 向抛物线C 引切线AT ，切点为T ，点P 是抛物线C 上的动点，则点P 到直线l 和直线AT 的距离之和的最小值是( ) A. 5 B.52 C.32 5 D.52或 512．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．数学家陶哲轩与林格合作证明了一个有关素数的结论：存在任意长度的素数等差数列．例如：数列3，5，7是包含有3个素数的公差为2的等差数列，则公差为6的素数等差数列中最小的素数是________．14．当θ为任意角时，动直线x cos θ＋y sin θ＝1所围成区域的面积是________． 15．有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生入座，要求师生相间，则不同的坐法种数是________．16．设△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin A (sin B ＋sin C )＝sin B sin C ，则sin A 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和；(2)设b n ＝S nn ，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．18．(本小题满分12分)某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”，且在开幕式当天举办大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示，其中有34的社长是高中学生，14的社长是初中学生，高中学生社长中有13是高一学生，初中学生社长中有23是初二学生．(1)若校园电视台记者随机采访3名社长，求恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生的概率；(2)若校园电视台记者随机采访3名初中学生社长，设初二学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．19．(本小题满分12分)如图3­3，在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，且AC ⊥BC ，M 是AB 1与A 1B 的交点，N 是线段B 1C 1的中点． (1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求平面AA 1B 与平面A 1BC 所成锐二面角的正弦值．图3­320.(本小题满分12分)已知平面内定点F (1，0)，定直线l ：x ＝4，P 为平面内一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且|PQ →|＝2|PF →|. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若过点F 且与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点R ，试判断|FR ||AB |是否为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝x e 1－x ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，求a 的最小值； (2)若对任意给定的x 0∈(]0，e ，在(]0，e 上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 (1)设a 和b 是实数，求证：|a －b |＋|a ＋b |≥2|a |；(2)若对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．参考答案·数学(理科)2017年高考原创押题卷（三）1．D [解析] 因为M ＝{y |y ＝x }＝R ，N ＝{x |x 2＋y 2＝1}＝[－1，1]，所以M ∩N ＝[－1，1]． 2．C [解析] 依题意，得()i ＋1z ＝－2，即(1＋i)(1－i)z ＝－2()1－i ，得z ＝－1＋i. 3．D [解析] 显然，函数y ＝－x 3(x 2－1)在()－∞，0∪()0，＋∞上是奇函数，且零点有2个．4．B [解析] 因为侧视图是一个矩形，两邻边的长分别为2和3，所以其面积为2 3. 5．A [解析] 该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数a ＝40＋0＋1＋3＋3＋4＋6＋7＋88＝44，所以，方差为2×16＋2×9＋2×1＋48＝7，故输出S 的值为7.6．B [解析] 原式＝(1＋7)n －1＝(9－1)n －1＝C 0n ·9n －C 1n ·9n －1＋…＋C n －1n ·9·(－1)n －1＋(－1)n －1＝9M －2＝3(3M －1)＋1，其中M ∈N *，所以余数为1.7．A [解析] 因为区域M 的面积是π，区域N 的面积为⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝2，所以，所求概率是2π.8．C [解析] 由OA →＋(2－1)OB →＋sin αOC →＋cos αOD →＝0，得AO →＝2－12＋sin α＋cos αAB →＋sin α2＋sin α＋cos αAC →＋cos α2＋sin α＋cos αAD →.V O ­ACD ＝2－12＋sin α＋cos αV ≥2－24V ，A 错；V O ­ABD ＝sin α2＋sin α＋cos αV<(2－1)V ，V O ­ABC ＝cos α2＋sin α＋cos αV<(2－1)V ，B 错；V O ­ABD ＋V O ­ABC ＝sin α＋cos α2＋sin α＋cos αV ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π41＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4V ≤12V ，C 正确；同理可求，V O ­BCD ＝12＋sin α＋cos αV ≥24V ，D 错．故选C .9．C [解析] 依题意，双曲线的方程为x 23－m ＋y 2m －1＝1.当双曲线的焦点在x 轴上时，得x 23－m －y 21－m ＝1(m<1)，由焦距为8，得(3－m)＋(1－m)＝16，m ＝－6；当双曲线的焦点在y 轴上时，得y 2m －1－x 2m －3＝1(m>3)，由焦距为8，得(m －1)＋(m －3)＝16，m ＝10.10．B [解析] 注意到不等式sin 3θ＋sin θ≥cos 3θ＋cos θ的结构，构造函数f(x)＝x 3＋x.显然f(x)是R 上的增函数，所以由不等式f (sin θ)≥f (cos θ)，得sin θ≥cos θ，又由θ∈()0，2π，得π4≤θ≤5π4.11．D [解析] 依题意，易知p ＝2，抛物线C 的焦点为F (0，1)，设切点T ⎝⎛⎭⎫t ，14t 2.y ′＝12x ，以点T 为切点的抛物线的切线方程为y －14t 2＝t2(x －t )，将⎝⎛⎭⎫32，－1代入，整理得t 2－3t －4＝0，解得t ＝－1或t ＝4，即切点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14或(4，4)，即直线AT 的方程为2x ＋4y ＋1＝0或2x －y －4＝0.过点F 作直线AT 的垂线FH ，设垂足为H ，当点P 为线段FH 与抛物线C 的交点时，所求距离之和最小．因此，点P 到直线l 和直线AT 的距离之和的最小值为||2×0＋4×1＋122＋42＝52或||2×0－1×1－422＋()－12＝5，故选D. 12．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝sin x ＋x2x 2＋cos x ，则g (x )有最大值M －1和最小值m －1.易知g (x )在R 上为奇函数，于是M －1＋m －1＝0，即M ＋m ＝2. 13．5 [解析] 易知满足题意的最小素数是5.14．π [解析] 因为动直线x cos θ＋y sin θ＝1是单位圆x 2＋y 2＝1上任意一点(cos θ，sin θ)处的切线，所以动直线x cos θ＋y sin θ＝1所围成区域的面积为单位圆x 2＋y 2＝1的面积，即π.15．72 [解析] 先排3个学生有A 33种排法，再将2个教师插入中间两空，有A 23种排法，最后将剩下的1个教师安排在两边有A 12种排法，故不同排法的种数是A 33A 23A 12＝72.16.158 [解析] 由题意及正弦定理，得ab ＋ac ＝bc ，所以a ＝bc b ＋c ≤bc 2bc ＝12bc ，即a 2bc ≤14.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －a 22bc ＝1－a 22bc ≥1－18＝78，所以sin A ＝1－cos 2A ≤1－⎝⎛⎭⎫782＝158.17．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，2分故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).6分 (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，8分则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾，∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 12分18．解：(1)由题意得，高中学生社长有27名，其中高一学生有9名；初中学生社长有9名，其中初二学生有6名．设事件A 为“采访的3名社长中，恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生”，则P (A )＝C 19C 19C 118C 336＋C 19C 29C 336＝2971190.6分 (2)X 的可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (X ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (X ＝3)＝C 36C 39＝521，9分所以X 的分布列为E (X )＝0×184＋1×314＋2×1528＋3×521＝2.12分19．解：(1)证明：以C 为原点，分别以CC 1，CB ，CA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A 1(2，0，2)，B 1(2，2，0), B (0，2，0)，C 1(2，0，0)， ∴M (1，1，1)，N (2，1，0)，∴A 1B →＝(－2，2，－2)，CB →＝(0，2，0)，MN →＝(1，0，－1)，3分 ∴MN →·A 1B →＝－2×1＋0×2－2×()－1＝0， MN →·CB →＝0×1＋0×2＋0×()－1＝0， ∴MN ⊥A 1B ，MN ⊥CB .又∵A 1B ∩CB ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BC .6分(2)过C 点作CH ⊥AB 于H 点，∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，∴CH ⊥平面A 1BA, 故平面A 1BA 的一个法向量为CH →＝(0，1，1)．由(1)知平面A 1BC 的一个法向量为MN →＝(1，0，－1).8分 设θ为所求两平面所成锐二面角，则cos θ＝||cos 〈CH →，MN →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CH →·MN →||CH →·||MN →＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1×12×2＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝32.11分 故平面AA 1B 与平面A 1BC 所成锐二面角的正弦值为32.12分 20．解：(1)设P (x ，y )，则Q (4，y )，∵|PQ →|＝2|PF →|， ∴PQ →2＝4PF →2，∴(4－x )2＝4[(1－x )2＋y 2]， 化简整理，得 x 24＋y 23＝1.4分(2)依题意，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，5分 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.8分设AB 的中点为D (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－3k 3＋4k 2. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为 y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2，令y ＝0，得x R ＝k 23＋4k 2，∴|FR |＝1－k 23＋4k 2＝3（1＋k 2）3＋4k 2.10分∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）3＋4k 2，∴|FR ||AB |＝14为定值.12分 21．解：(1)因为f (x )<0在区间⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立不可能， 所以要使函数f (x )在⎝⎛⎫0，12上无零点， 只要对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，f (x )>0恒成立， 即对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 2分令l (x )＝2－2ln xx －1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则l ′(x )＝－2x （x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x －2（x －1）2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）x 2<0，故m (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，所以l (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为增函数， 所以l (x )<l ⎝⎛⎭⎫12＝2－4ln 2.所以要使a >2－2ln x x －1在⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2.5分 (2)g ′(x )＝e 1－x －x e 1－x ＝(1－x )e 1－x .当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x ∈(1，e]时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．又因为g (0)＝0，g (1)＝1，g (e)＝e ·e 1－e >0，所以函数g (x )在(0，e]上的值域为(0，1].6分 易知当a ＝2时，不合题意．当a ≠2时，f ′(x )＝2－a －2x ＝（2－a ）x －2x ＝（2－a ）⎝⎛⎭⎫x －22－a x ，当x ＝22－a时，f ′(x )＝0.由题意得，f (x )在(]0，e 上不单调，故0<22－a<e ，即a <2－2e ①. 此时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：f ⎝⎛⎭⎫22－a ＝a －2ln 22－a，f (e)＝(2－a )(e －1)－2， 所以，若对任意给定的x 0∈(]0，e ，在(]0，e 上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)， 使得f (x i )＝g (x 0)成立，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫22－a ≤0，f （e ）≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2ln 22－a ≤0②，（2－a ）（e －1）－2≥1③.9分 令h (a )＝a －2ln 22－a，a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2－2e ， 则h ′(a )＝1－2[ln 2－ln(2－a )]′＝1－22－a ＝a a －2，令h ′(a )＝0，得a ＝0， 故当a ∈(－∞，0)时，h ′(a )>0，函数h (a )单调递增；当a ∈⎝⎛⎭⎫0，2－2e 时，h ′(a )<0，函数h (a )单调递减． 所以，对任意a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2－2e ，有h (a )≤h (0)＝0， 即②式对任意a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2－2e 恒成立． 由③式解得a ≤2－3e －1④.11分 综合①④可知，当a ∈－∞，2－3e －1时，对任意给定的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使f (x i )＝g (x 0)成立.12分22．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数).4分(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)化为普通方程得x 29＋y 24＝1，5分 把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 代入x 29＋y 24＝1， 得4⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋9⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝36， 即21t 2＋4(43＋9)t －92＝0，所以t 1t 2＝－9221， 9分则点P 到A ，B 两点的距离之积为9221.10分 23．解：(1)证明：利用绝对值不等式，得|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b ) ≥0时取等号.4分(2)由题知|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |恒成立，即|x －1|＋|x －2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值．由(1)知|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2， 所以x 的取值范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解.7分当x ≤1时，1－x ＋2－x ≤2，即x ≥12，此时12≤x ≤1； 当1<x ≤2时，x －1＋2－x ≤2，即1≤2成立，此时1<x ≤2；当x >2时，x －1＋x －2≤2，即x ≤52，此时2<x ≤52.综上，得12≤x ≤52.10分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则= （）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，，则故本题答案选．2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．3.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇偶性可知,是非奇非偶函数,是奇函数,故排除A、C;在内,是减函数,故排除B,因此答案为D.4.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知．则两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同．故本题答案选，5.在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由韦达定理可得a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，得a4和a12均为负值，由等比数列的性质可得．【详解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，∴a4和a12均为负值，由等比数列的性质可知a8为负值，且a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a8＝±1”的充分不必要条件.故选：A．【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．6.执行如图的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由程序框图则，由规律知输出．故本题答案选．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为．三棱锥的底面是两直角边分别为的直角三角形，高为．则几何体的体积．故本题答案选．8.已知函数的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心可能为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由图可知,，，当时，，该对称中心为时，，当时，，所以对称中点为，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.9.《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的名学生中选派名学生参加，要求甲、乙、丙这名同学中至少有人参加，且当这名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知结果有三种情况．甲、乙、丙三名同学全参加，有种情况，其中甲、乙相邻的有种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有种情况，故本题答案选11.焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A.或 B.C.或 D.【答案】A【解析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．12.定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故本题答案选．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为______.【答案】【解析】,由向量与共线，得，解得，则，故答案为.14.已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=_____．【答案】【解析】作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．15.在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为__________．【答案】【解析】由正弦定理，原等式可化为，进一步化为，则，即．在三角形中．由面积公式，可知，由余弦定理，代入可得．故本题应填．点睛：本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时，要以已知角的为主．16.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．【答案】【解析】如图,设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D,OD,O1E，OE，则，在Rt△OO1D中,R2=3+(3−R)2，解得R=2，∵BD=3BE，∴DE=2△DEO1中,，∴，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由二项展开式可知各项中的系数，求和后可得，利用与间的关系可得数列的通项公式；（2）由的通项公式可求得的通项公式，对进行裂项，用裂项法可求得，利用放缩法可证明不等式． 试题解析：（1）的展开式中的系数为，即，所以当时，；当时，也适合上式，所以数列的通项公式为.（2）证明：，所以，所以.18.如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）延长交于点，由重心性质及中位线性质可得，再结合圆的性质得，由已知，可证平面，进一步可得平面平面（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面=，所以平面.即平面，又平面，所以平面平面.（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.在中，由，得，则，.所以，.所以.设二面角的大小为，则.点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算.【解析】试题分析：（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择．试题解析：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为.（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0，600，700，1000.，，，，故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.已知椭圆的长轴长为，且椭圆与圆的公共弦长为（1）求椭圆的方程. （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设，的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以，.因为，所以，即，所以.当时，，所以；当时，，所以.综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知，又是的零点，代入相减化简得，对求导，.令，求得函数.不等式得证．试题解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时，恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增.（2）由（1）知，，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，，.又因为，为的零点，所以，，两式相减得，得.而，所以.令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.所以.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点．求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；动点P在圆C上不与A，B重合，试求的面积的最大值．【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)先根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入圆方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦的长；(2)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据点到直线距离公式得点到直线的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.详解：（1）由得所以，所以圆的直角坐标方程为将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得所以直线被圆截得的弦长为.（2）直线的普通方程为 .圆的参数方程为（为参数），可设圆上的动点，则点到直线的距离当时，取最大值，且的最大值为所以即的面积的最大值为.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，.所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.。

河北衡水中学2017年高考数学（理科）押题卷必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()()13lg 21|,|132x M x f x N x x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，则集合M N 等于（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（ ） A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于 （ ） A ．1213B ．41C ．1193D ．24194. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（ ） A ．23 B ．22 C. 6 D ．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（ ）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是233，则其底面周长为（ ）A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（ ）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（ ）A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111nn n aa a a a a n aa +++++= 对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++的值为（ ） A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ）A ．32 B ．2 C. 52 D ．15212.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示： 价格x8.5 9 9.5 10 10.5销售量y 12 11976由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，则ˆa= ． 14.将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ．15.已知两平行平面αβ、间的距离为23，点A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足23,3OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知ABC ∆关于AC 边的对称图形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.（1）求BC 边的长； （2）求cos ACB ∠的值.18.如图，已知圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.（1）求证：平面ABD ⊥平面ODE ； （2）求二面角B AD O --的正弦值．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．20.如图，已知6,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率； （2）若23AB =，求PQ ．21. 已知函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．（参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， ）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． （1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； （2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=． （1）求a b -的取值范围； （2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：（1）因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=．因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-= ， 所以42BE =，又75BC AB CE AE ==，所以723BC =． （2）由（1）知42BE =，所以2224932252cos 222742AB BE AE B AB BE +-+-===⨯⨯ ， 所以2sin 2B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以525sin ,cos 55BAC BAC ∠=∠=， 所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+2522510sin sin cos cos 252510B BAC B BAC =∠-∠=⨯-⨯=-． 18.解：（1）依题易知，圆锥的高为()225255h =-=，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()()22222222222 6.455526.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B = ，所以DE ⊥平面ABD ． 又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．（2）如图，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．则()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===，设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，则()12,41,15u =- ．可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =，所以4182cos ,10582u v u v u v ===， 所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． （2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：X 2 3 4 5P29 1327 2281 281所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）依题知2222611,5,04a b a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E 的离心率22232233a b e a --===； （2）依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,23r AB ==，所以原点到直线AB 的距离为2222232122AB d r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为点P 坐标为6,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ．所以直线AB 的方程为612y k x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，即6102kx y k --+=， 所以261211k d k-==+，解得0k =或26k =．①当0k =时，此时直线PQ 的方程为62x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当26k =时，直线PQ 的方程为161226y x ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234106210x x --=， 设Q 点坐标为()11,x y ，所以16106234x +=，解得17634x =-， 所以211630121726PQ x ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭．21.解：（1）因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <， 所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增． （2）因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e--++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++． 令12x x t e e -=+，则有10t e b t-++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，则121t t = ， 所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x xt e t e e e --=+=+ 的根． 由（1）知12x xt e e -=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如图，依据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -， 当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-，即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=． （2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。

2017年高考原创押题卷（三）数学(理科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝}，N ＝{|2＋y 2＝1}，则M ∩N ＝( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫22，22 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22 C.()－1，1 D ．[－1，1]2．若定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪i z －1z ＝－2的复数是( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1＋iD ．－1－i 3．下列函数中，既是奇函数又零点个数最多的是( )A ．y ＝－3－1，∈R B ．y ＝＋1x，∈R ，且≠0C ．y ＝－3－，∈RD ．y ＝－3(2－1)，∈R ，且≠0图3­14．如图3­1所示，三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1的侧棱长和底边各边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为( ) A. 3 B ．23 C. 2 D ．2 2 5．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：8个观测数据的平均数)，则输出S 的值是()图3­2A ．7B ．9C ．11D ．136．如果n 为正奇数，那么7n ＋C 1n ·7n －1＋…＋C n －1n ·7被3除所得的余数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定7．在平面直角坐标系内，区域M 满足⎩⎨⎧0≤x ≤π，0≤y ≤1，区域N 满足⎩⎨⎧0≤x ≤π，0≤y ≤sin x ，则向区域M内投一点，落在区域N 内的概率是( )A.2πB.π4 C ．2－2π D ．2－π4 8．已知空间四面体ABCD 的体积是V ，点O 是该四面体内的一点，且满足OA →＋(2－1)OB →＋sin αOC →＋cos αOD →＝0，其中变量α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列判断正确的是( )A ．V O ­ACD 的最大值为2－24VB ．V O ­ABD 和V O ­ABC 的最大值均为V4C ．V O ­ABD ＋V O ­ABC 的最大值为12V D ．V O ­BCD 的最大值为24V9．已知方程(m －1)2＋(3－m )y 2＝(m －1)(3－m )表示焦距为8的双曲线，则m 的值为( )A ．－30B ．10C ．－6或10D ．－30或3410．如果sin 3θ＋sin θ≥cos 3θ＋cos θ，且θ∈(0，2π)，那么角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 11．已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1在抛物线C ：2＝2py (p >0)的准线l 上，过点A 向抛物线C 引切线AT ，切点为T ，点P 是抛物线C 上的动点，则点P 到直线l 和直线AT 的距离之和的最小值是( )A. 5B.52C.325 D.52或512．已知函数f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x 2x 2＋cos x的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．数学家陶哲轩与林格合作证明了一个有关素数的结论：存在任意长度的素数等差数列．例如：数列3，5，7是包含有3个素数的公差为2的等差数列，则公差为6的素数等差数列中最小的素数是________．14．当θ为任意角时，动直线cos θ＋y sin θ＝1所围成区域的面积是________． 15．有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生入座，要求师生相间，则不同的坐法种数是________．16．设△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin A (sin B ＋sin C )＝sin B sin C ，则sin A 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和；(2)设b n ＝S nn，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．18．(本小题满分12分)某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”，且在开幕式当天举办大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示，其中有34的社长是高中学生，14的社长是初中学生，高中学生社长中有13是高一学生，初中学生社长中有23是初二学生．(1)若校园电视台记者随机采访3名社长，求恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生的概率；(2)若校园电视台记者随机采访3名初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望E ()．19．(本小题满分12分)如图3­3，在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，且AC ⊥BC ，M 是AB 1与A 1B 的交点，N 是线段B 1C 1的中点． (1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求平面AA 1B 与平面A 1BC 所成锐二面角的正弦值．图3­320.(本小题满分12分)已知平面内定点F (1，0)，定直线l ：＝4，P 为平面内一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且|PQ →|＝2|PF →|. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若过点F 且与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交轴于点R ，试判断|FR ||AB |是否为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f ()＝(2－a )(－1)－2ln ，g ()＝e 1－，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若函数f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值；(2)若对任意给定的0∈(]0，e ，在(]0，e 上总存在两个不同的i (i ＝1，2)，使得f (i )＝g (0)成立，求a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲 (1)设a 和b 是实数，求证：|a －b |＋|a ＋b |≥2|a |；(2)若对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|－1|＋|－2|)恒成立，试求实数的取值范围．参考答案·数学(理科)2017年高考原创押题卷（三）1．D [解析] 因为M ＝{y |y ＝}＝R ，N ＝{|2＋y 2＝1}＝[－1，1]，所以M ∩N ＝[－1，1]． 2．C [解析] 依题意，得()i ＋1＝－2，即(1＋i)(1－i)＝－2()1－i ，得＝－1＋i.3．D [解析] 显然，函数y ＝－3(2－1)在()－∞，0∪()0，＋∞上是奇函数，且零点有2个．4．B [解析] 因为侧视图是一个矩形，两邻边的长分别为2和3，所以其面积为2 3. 5．A [解析] 该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数a ＝40＋0＋1＋3＋3＋4＋6＋7＋88＝44，所以，方差为2×16＋2×9＋2×1＋48＝7，故输出S的值为7.6．B [解析] 原式＝(1＋7)n －1＝(9－1)n －1＝C 0n ·9n －C 1n ·9n －1＋…＋C n －1n ·9·(－1)n －1＋(－1)n －1＝9M －2＝3(3M －1)＋1，其中M ∈N *，所以余数为1.7．A [解析] 因为区域M 的面积是π，区域N 的面积为⎠⎛0πsin d ＝－cos π0＝2，所以，所求概率是2π.8．C [解析] 由OA →＋(2－1)OB →＋sin αOC →＋cos αOD →＝0，得AO →＝2－12＋sin α＋cos αAB→＋sin α2＋sin α＋cos αAC →＋cos α2＋sin α＋cos αAD →.V O ­ACD ＝2－12＋sin α＋cos αV ≥2－24V ，A错；V O ­ABD ＝sin α2＋sin α＋cos αV<(2－1)V ，V O ­ABC ＝cos α2＋sin α＋cos αV<(2－1)V ，B错；V O ­ABD ＋V O ­ABC ＝sin α＋cos α2＋sin α＋cos αV ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π41＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4V ≤12V ，C 正确；同理可求，V O ­BCD ＝12＋sin α＋cos αV ≥24V ，D 错．故选C .9．C [解析] 依题意，双曲线的方程为x 23－m ＋y 2m －1＝1.当双曲线的焦点在轴上时，得x 23－m －y 21－m＝1(m<1)，由焦距为8，得(3－m)＋(1－m)＝16，m ＝－6；当双曲线的焦点在y 轴上时，得y 2m －1－x 2m －3＝1(m>3)，由焦距为8，得(m －1)＋(m －3)＝16，m ＝10.10．B [解析] 注意到不等式sin 3θ＋sin θ≥cos 3θ＋cos θ的结构，构造函数f()＝3＋.显然f()是R 上的增函数，所以由不等式f (sin θ)≥f (cos θ)，得sin θ≥cos θ，又由θ∈()0，2π，得π4≤θ≤5π4. 11．D [解析] 依题意，易知p ＝2，抛物线C 的焦点为F (0，1)，设切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2.y ′＝12，以点T 为切点的抛物线的切线方程为y －14t 2＝t 2(－t )，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1代入，整理得t 2－3t －4＝0，解得t ＝－1或t ＝4，即切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14或(4，4)，即直线AT 的方程为2＋4y ＋1＝0或2－y －4＝0.过点F 作直线AT 的垂线FH ，设垂足为H ，当点P 为线段FH 与抛物线C 的交点时，所求距离之和最小．因此，点P 到直线l 和直线AT 的距离之和的最小值为||2×0＋4×1＋122＋42＝52或||2×0－1×1－422＋()－12＝5，故选D. 12．B [解析] 令g ()＝f ()－1＝sin x ＋x2x 2＋cos x ，则g ()有最大值M －1和最小值m －1.易知g ()在R 上为奇函数，于是M －1＋m －1＝0，即M ＋m ＝2. 13．5 [解析] 易知满足题意的最小素数是5.14．π [解析] 因为动直线cos θ＋y sin θ＝1是单位圆2＋y 2＝1上任意一点(cos θ，sin θ)处的切线，所以动直线cos θ＋y sin θ＝1所围成区域的面积为单位圆2＋y 2＝1的面积，即π.15．72 [解析] 先排3个学生有A 33种排法，再将2个教师插入中间两空，有A 23种排法，最后将剩下的1个教师安排在两边有A 12种排法，故不同排法的种数是A 33A 23A 12＝72.16.158 [解析] 由题意及正弦定理，得ab ＋ac ＝bc ，所以a ＝bc b ＋c ≤bc 2bc ＝12bc ，即a 2bc≤14.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －a 22bc ＝1－a 22bc ≥1－18＝78，所以sin A ＝1－cos 2A ≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.17．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，2分故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).6分(2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，8分则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾，∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 12分18．解：(1)由题意得，高中学生社长有27名，其中高一学生有9名；初中学生社长有9名，其中初二学生有6名．设事件A 为“采访的3名社长中，恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生”，则P (A )＝C 19C 19C 118C 336＋C 19C 29C 336＝2971190.6分 (2)的可能取值为0，1，2，3，则P (＝0)＝C 33C 39＝184，P (＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (＝3)＝C 36C 39＝521，9分所以的分布列为E ()＝0×84＋1×14＋2×28＋3×21＝2.12分19．解：(1)证明：以C 为原点，分别以CC 1，CB ，CA 所在直线为，y ，轴建立如图所示空间直角坐标系，则A 1(2，0，2)，B 1(2，2，0), B (0，2，0)，C 1(2，0，0)，∴M (1，1，1)，N (2，1，0)，∴A 1B →＝(－2，2，－2)，CB →＝(0，2，0)，MN →＝(1，0，－1)，3分 ∴MN →·A 1B →＝－2×1＋0×2－2×()－1＝0，MN →·CB →＝0×1＋0×2＋0×()－1＝0，∴MN ⊥A 1B ，MN ⊥CB .又∵A 1B ∩CB ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BC .6分(2)过C 点作CH ⊥AB 于H 点，∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，∴CH ⊥平面A 1BA, 故平面A 1BA 的一个法向量为CH →＝(0，1，1)．由(1)知平面A 1BC 的一个法向量为MN →＝(1，0，－1).8分 设θ为所求两平面所成锐二面角，则cos θ＝||cos 〈CH →，MN →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CH →·MN →||CH →·||MN →＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1×12×2＝12，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝32.11分故平面AA 1B 与平面A 1BC 所成锐二面角的正弦值为32.12分20．解：(1)设P (，y )，则Q (4，y )，∵|PQ →|＝2|PF →|，∴PQ →2＝4PF →2，∴(4－)2＝4[(1－)2＋y 2]，化简整理，得 x 24＋y 23＝1.4分 (2)依题意，可设直线AB 的方程为y ＝(－1)(≠0)，5分 联立⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋42)2－82＋42－12＝0，6分设A (1，y 1)，B (2，y 2)，则1＋2＝8k 23＋4k 2，12＝4k 2－123＋4k 2.8分 设AB 的中点为D (0，y 0)，则0＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 0＝(0－1)＝－3k 3＋4k 2. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2， 令y ＝0，得R ＝k 23＋4k 2，∴|FR |＝1－k 23＋4k 2＝3（1＋k 2）3＋4k 2.10分 ∵|AB |＝1＋k 2|1－2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）3＋4k 2， ∴|FR ||AB |＝14为定值.12分 21．解：(1)因为f ()<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能， 所以要使函数f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点， 只要对任意的∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f ()>0恒成立， 即对任意的∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 2分令l ()＝2－2ln x x －1，∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则l ′()＝－2x（x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x－2（x －1）2，∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 再令m ()＝2ln ＋2x －2，∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′()＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）x 2<0， 故m ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m ()>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′()>0，所以l ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数， 所以l ()<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2. 所以要使a >2－2ln x x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)， 综上，若函数f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2.5分 (2)g ′()＝e 1－－e 1－＝(1－)e 1－.当∈(0，1)时，g ′()>0，函数g ()单调递增；当∈(1，e]时，g ′()<0，函数g ()单调递减．又因为g (0)＝0，g (1)＝1，g (e)＝e ·e 1－e >0， 所以函数g ()在(0，e]上的值域为(0，1].6分易知当a ＝2时，不合题意．当a ≠2时，f ′()＝2－a －2x ＝（2－a ）x －2x ＝（2－a ）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22－a x， 当＝22－a时，f ′()＝0. 由题意得，f ()在(]0，e 上不单调，故0<22－a <e ，即a <2－2e①. 此时，当变化时，f ′()，f ()的变化情况如下：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－a ＝a －2ln 22－a ，f (e)＝(2－a )(e －1)－2， 所以，若对任意给定的0∈(]0，e ，在(]0，e 上总存在两个不同的i (i ＝1，2)， 使得f (i )＝g (0)成立，则a 满足⎩⎨⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－a ≤0，f （e ）≥1，即⎩⎨⎧a －2ln 22－a ≤0②，（2－a ）（e －1）－2≥1③.9分 令h (a )＝a －2ln 22－a ，a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2－2e ， 则h ′(a )＝1－2[ln 2－ln(2－a )]′＝1－22－a ＝a a －2，令h ′(a )＝0，得a ＝0， 故当a ∈(－∞，0)时，h ′(a )>0，函数h (a )单调递增；当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2e 时，h ′(a )<0，函数h (a )单调递减． 所以，对任意a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2－2e ，有h (a )≤h (0)＝0， 即②式对任意a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2－2e 恒成立． 由③式解得a ≤2－3e －1④.11分 综合①④可知，当a ∈－∞，2－3e －1时，对任意给定的0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的i (i ＝1，2)，使f (i )＝g (0)成立.12分22．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数).4分(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程得x 29＋y 24＝1，5分 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 代入x 29＋y 24＝1， 得4⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝36， 即21t 2＋4(43＋9)t －92＝0，所以t 1t 2＝－9221， 9分则点P 到A ，B 两点的距离之积为9221.10分 23．解：(1)证明：利用绝对值不等式，得|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b ) ≥0时取等号.4分(2)由题知|－1|＋|－2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |恒成立，即|－1|＋|－2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值．由(1)知|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2， 所以的取值范围即为不等式|－1|＋|－2|≤2的解.7分当≤1时，1－＋2－≤2，即≥12，此时12≤≤1； 当1<≤2时，－1＋2－≤2，即1≤2成立，此时1<≤2；当>2时，－1＋－2≤2，即≤52，此时2<≤52.综上，得12≤≤52.10分。

2017高考理数预测密卷一本试卷分为第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设集合M Z =，{}220N x x x =--<，则M N =（ ）A ．{}0 1，B ．{}1 0-，C ．{}1 2，D ．{}1 2-，2．已知i 是虚数单位，复数()220172i +的共轭复数为（ )A ．34i -B ．34i +C ．54i -D ．54i +3．已知等比数列{}n a 的公比q =2，316,a =则其前2017项和2017S =（ ） A ．201924- B ．201822- C ．201824- D ．201922-4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输出的2a =,则输入的,a b 可能是（ ）A 。

15，18 B.14,18 C 。

12，18 D.9,185.若实数,x y 满足不等式组102200x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2291241z x xy y =+++的最小值为( ) A ．2 B ．5 C ．26 D ．376。

在ABC ∆中,,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++-1+有极值点，πA 。

0B 。

32-C 。

32 D. -17．某学校需要把6名实习老师安排到A ，B ，C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师,已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有( ）A ．24B ．36C ．48D ．728．如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点,过1(7,0)F -的直线l 与双曲线分别交于点,AB ，若2ABF ∆为等边三角形,则双曲线的方程为（ ）A ．22551728x y -=B ．2216x y -=C ．2216y x -= D ．22551287x y -=9．函数2()(1)cos()12x f x ex =-+的图象的大致形状是( )10．在三棱锥BCD A -中，△ABC 与△BCD 都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为π1520，则△ABC 边长为( ）A.332364363。

绝密★启封前2017全国卷Ⅱ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.设集合{}{}2220,2,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈，则A B =（）A ．[]0,2B ．[]1,2-C ．(,2]-∞D ．[0,)+∞ 2．复数()20173z i i i =-+（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为( )A.57. B .67 C 38 D.584．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)的夹角为π，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5)5.已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈10,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π46.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸7．已知MOD 函数是一个求余函数，记MOD()m n ，表示m 除以n 的余数，例如MOD(83)2=，．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为48时，则输出的值为 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 118．已知由不等式0,0,2,40x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，则的值（）A ．-1或3B ．1-C ．3-D ．39.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y =P ，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A. 12B. 522C. 312D. 3210.设B A ,在圆122=+y x 上运动，且3=AB ，点P 在直线01243=-+y x上运动，则+的最小值为 A ． B ．517 C ．519D ． 11已知球错误！未找到引用源。

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考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

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第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.设集合{}{}2220,2,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈，则A B =（）A ．[]0,2B ．[]1,2-C ．(,2]-∞D ．[0,)+∞2．复数)2017i i i -+（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为( )A.57.B.67C 38D.584．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)的夹角为π，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5)5.已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈10,2π)，则θ的值为( ) A.π4B.3π4C.5π4D.7π46.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸7．已知MOD 函数是一个求余函数，记MOD()m n ，表示m 除以n 的余数，例如MOD(83)2=，．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为48时，则输出的值为 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 118．已知由不等式0,0,2,40x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，则的值（）A ．-1或3B ．1-C ．3-D ．39.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y =P，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A.B.C. D. 3210.设B A ,在圆122=+y x 上运动，且3=AB ，点P在直线01243=-+y x+的最小值为A ．B ．517C ．519D ． 11已知球O 表面上有三个点A 、B 、C 满足3AB BC CA ===，球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的一半，则球O 的表面积为(A)4π (B)8π (C)12π (D)16π12．关于函数2()ln f x x x =+，下列说法错误的是（）（A ）2x =是()f x 的极小值点( B ) 函数()y f x x =-有且只有1个零点 (C)存在正实数，使得()f x kx >恒成立 (D)对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

理 科 数 学（二）本试题卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B＝（ ） A ．{}1,2 B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2．已知复数满足11i 12z z -=+，则复数在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =径为13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61 4．已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则满足题意的ω的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．1D ．25．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2aB 2C 2D ．26．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ） A ．328B ．128C ．37D ．13287．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝π2，AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅=（ ）A ．－2B ．12-C ．0 D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ） A ．80B ．20C ．180D ．1669．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ）A ．96种B ．100种C ．124种D ．150种10．已知函数cos y x x =+，有以下命题： ①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +； ②()f x 的值域是R ； ③()f x 是奇函数；④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2， 其中推断正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF PO-的取值范围（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛⎝⎭D ．⎛⎝⎭12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A B C D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） A ．HF //BEB ．BM =C ．∠MBN 的余弦值为65D ．五边形FBEGH第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年高考原创押题卷（二）数学(理科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{∈N |y ＝5－x }，A ＝{∈N *|－4<0}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B ＝( )A ．{2}B ．{4}C ．{2，4，5}D ．{0，2，4，5} 2．已知i 是虚数单位，直线2＋y ＋2＝0在轴、y 轴上的截距分别为复数(1－i)的实部与虚部，则复数的共轭复数为( )A.12－32iB.12＋32i C ．－12－32i D ．－12＋32i 3．若双曲线E ：x 22m －2－y 2m＝1(m >1)的焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±54B ．y ＝±916C ．y ＝±34D ．y ＝±434．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝126，a 4＋a 10＝40，则2S n ＋30n的最小值为( )A ．610＋1B ．20 C.412D ．195．在《九章算术》中有这样一个问题：某员外有小米一囤，该囤的三视图如图2­1所示(单位：尺)，已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.1，则该囤所储小米斛数约为( )图2­1A ．459B ．138C ．115D ．103 6．已知某班某个小组8人的期末考试物理成绩的茎叶图如图2­2所示，并用图2­3所示的程序框图对成绩进行分析(其中框图中的a 表示小组成员的物理成绩)，则输出的A ，B 值分别为( )图2­2图2­3A ．76，37.5%B ．75.5，37.5%C ．76，62.5%D ．75.5，62.5% 7．已知在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝23，∠ACB ＝120°，AA 1＝4，则该三棱柱外接球的体积为( )A.162π3 B ．642π C ．32π D.642π38．p ：∃0∈R ＋，0ln 0＋20－a 0＋2<0为假命题的一个充分不必要条件为( )A ．a ∈(0，3)B ．a ∈(－∞，3]C ．a ∈(3，＋∞)D ．a ∈[3，＋∞) 9．已知a ＝2π⎠⎛24x －x 2d ，实数，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －4≤0，则＝2＋y 2＋ay 的取值范围为()A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤254，8B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤315，2129C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤8，2129D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤315，810．若函数f()对定义域内任意，都有f()＋f(－)＝0，且对定义域内任意1，2，且1≠2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则称函数f()为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是( )A ．f()＝⎩⎨⎧e x ＋11－e x ，x ≠0，0，x ＝0B ．f()＝ln (3＋9x 2＋1)C ．f()＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x>0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋1，x<0D ．f()＝tan11．已知函数f()＝A sin (ω＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2­4所示，则关于函数g()＝－2A sin 2(ωx 2＋φ2＋A)，下列说法正确的是( )图2­4A ．g()的单调递增区间为（2k π3，2k π3＋2π9，∈） B ．直线＝－5π18是曲线y ＝g ()的一条对称轴C ．将函数f ()图像上所有的点向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝g ()的图像D ．若函数g (＋m )为偶函数，则m ＝π＋π3，∈12．已知函数y ＝(－2)e ＋1＋2－2＋a 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2＋1] B ．(－∞，e 2＋1) C ．(e 2＋1，＋∞) D ．(e 2，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式(a ＋1)7展开式的各项系数和为128，(a ＋1)7＝a 0＋a 1(a ＋3)＋a 2(a ＋3)2＋…＋a 7(a ＋3)7，则a 4＝________．14．已知在△DEF 中，DE ＝2，EF ＝3，∠DEF ＝60°，M 是DF 的中点，N 在EF 上，且DN ⊥ME ，则DN →·DF →＝________．15．已知直线2＋y －2＝0与轴的交点是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C 的焦点F ，P 是抛物线C 上一点，以P 为圆心，|PF |为半径的圆截轴所得的弦长为2，则圆P 的方程为________________．16．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前40项和为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bc＝sin C －sin B －sin A cos Bsin A cos C －sin B .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，△ABC 是锐角三角形，求4S △ABCc＋3c 的取值范围．18．(本小题满分12分)中国某文化研究机构为了解国人对中国传统戏剧的态度，随机抽取了68人进行调查，相关的数据如下表所示：(1)求2×2(2)从喜爱传统戏剧的16人中随机抽取3人，设3人中五十岁以下(不含五十岁)的人数为，求的分布列与数学期望． 附：公式： 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．19．(本小题满分12分)在如图2­5所示的四棱锥P ­ ABCD 中，△PAB 是边长为4的正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，BC ＝2，∠ADC ＝60°，E 是CD 的中点．(1)求证：BE ⊥PC ；(2)求二面角A ­PD ­C 的正弦值．图2­520．(本小题满分12分)已知A ，B 分别是离心率为32的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点与右顶点，右焦点F 2到直线AB 的距离为25－155.(1)求椭圆E 的方程；(2)过M (0，2)作直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求△OPQ 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)函数f ()＝a (－1)ln(－1)＋(b ＋1)(－1)＋a ＋1(a ，b ∈R )． (1)若函数f ()的图像在点(2，f (2))处的切线方程为－y ＋1＝0，求实数a ，b 的值； (2)已知b ＝1，当>2时，f ()＞0，求实数a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系Oy 和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与轴非负半轴重合，直线l 过点(1，1)，倾斜角α的正切值为－34，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 与曲线C 的位置关系，若直线l 与曲线C 相交，求直线l 被曲线C 截得的弦长．23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲 已知函数f ()＝|－1|－|2－3|.(1)若f ()≥m 对0≤≤3恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若f ()的最大值为M ，a ，b ∈R ＋，a ＋2b ＝Mab ，求a ＋2b 的最小值．参考答案·数学(理科)2017年高考原创押题卷（二）1．D [解析] 由题知U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，∴∁U A ＝{0，4，5}，∴(∁U A )∪B ＝{0，2，4，5}，故选D.2．B [解析] 由题知，直线2＋y ＋2＝0在轴、y 轴上的截距分别为－1，－2，所以(1－i)＝－1－2i ，所以＝－1＋2i 1－i ＝－（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12－32i ，故复数的共轭复数为12＋32i ，故选B.3．C [解析] 由题知a 2＝2m －2，b 2＝m ，c ＝5，所以c 2＝2m －2＋m ＝25，解得m ＝9，所以a ＝4，b ＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±34，故选C.4．B [解析] 设公差为d ，由题知126＝S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5，解得a 5＝14，由2a 7＝a 4＋a 10＝40，得a 7＝20，所以d ＝a 7－a 52＝3，所以a 1＝a 5－4d ＝2，所以S n ＝32n 2＋12n ，所以2S n ＋30n＝3⎝⎛⎭⎪⎫n ＋10n ＋1.令y ＝＋10x，该函数在(0，10)上单调递减，在(10，＋∞)上单调递增，所以当n ＝3时，2S n ＋30n ＝20，当n ＝4时，2S n ＋30n ＝412，故2S n ＋30n 的最小值为20，故选B.5．C [解析] 由三视图知，该粮囤是由一个底面半径为3、高为6的圆柱和一个等底、高为2的圆锥组成的组合体，其体积为3.1×32×6＋13×3.1×32×2＝186(立方尺)，所以该囤所储小米斛数约为186÷1.62≈115，故选C.6．A [解析] 由程序框图，知输出的A 表示本小组物理成绩的平均值，B 表示本小组物理成绩大于或等于80分的人数占小组总人数的百分比，故A ＝55＋63＋68＋74＋77＋85＋88＋988＝76，B ＝38×100%＝37.5%，故选A.7．D [解析] 设该三棱柱的外接球的半径为R ，底面所在截面圆的半径为r ，由正弦定理，知2r ＝ABsin 120°＝2332＝4，所以r ＝2，所以R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 122＝22＋22＝22，所以该三棱柱外接球的体积V ＝4πR 33＝4π×（22）33＝642π3，故选D.8．A [解析] 由题知綈p ：∀∈R ＋，ln ＋2－a ＋2≥0是真命题，即a ≤ln ＋＋2x对∈R ＋恒成立．设f ()＝ln ＋＋2x (>0)，∴f ′()＝1x ＋1－2x 2＝（x ＋2）（x －1）x2，当0<<1时，f ′()＜0，当>1时，f ′()＞0，∴f ()在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f ()min ＝f (1)＝3，∴a ≤3，故选A.9．B [解析] 令y ＝4x －x 2＝4－（x －2）2，∴(－2)2＋y 2＝4(y ≥0)，∴⎠⎛024－（x －2）2d 表示直线＝2，轴以及以(2，0)为圆心、2为半径的圆围成的14圆的面积，∴a ＝2π⎠⎛024－（x －2）2d ＝2，∴目标函数＝2＋y 2＋2y ＝2＋(y ＋1)2－1表示可行域内点(，y)与点M (0，－1)之间距离的平方减去1.作出可行域如图中阴影部分所示，M 作直线＋2y －4＝0的垂线，垂足为N ，由图知，N 在线段AB上，MN ＝|－2－4|12＋22＝65，∴min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652－1＝315.由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，2x －y －4＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，83，∴MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＋⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋12＝2213，∴ma ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22132－1＝2129，∴的取值范围为315，2129，故选B .10．B [解析] 依题意，“优美函数”是奇函数，且在定义域上是增函数．对选项A ，定义域为R ，∀∈R 且≠0，f (－)＝e －x ＋11－e －x ＝e x ＋1e x －1＝－f ()，∴f ()是奇函数，∵f (－1)＝e －1＋11－e －1>0＞f (1)＝e ＋11－e，∴f ()在定义域内不是增函数，故A 不是“优美函数”；对选项B ，∵92＋1>92，∴9x 2＋1>|3|，∴9x 2＋1＋3>|3|＋3≥0，∴f ()的定义域为R ，f ()＋f (－)＝ln(3＋9x 2＋1)＋ln[－3＋9（－x ）2＋1]＝ln[(3＋9x 2＋1)(－3＋9x 2＋1)]＝ln[92＋1－(3)2]＝ln 1＝0，∴该函数是奇函数，∵f ′()＝3＋18x29x 2＋13x ＋9x 2＋1＝39x 2＋1＞0，∴该函数在R 上是增函数，∴该函数是“优美函数”；对选项C ，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋1＝716＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×14－1＝－716，∴该函数在R 上不是增函数，故该函数不是“优美函数”；对选项D ，由y ＝tan 的图像知，该函数在定义域上不单调，故不是“优美函数”．故选B.11．C [解析] 由图知A ＝3，f (0)＝3sin φ＝332，∴sin φ＝32，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴ωπ18＋π3＝π2，∴ω＝3，∴f ()＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3.∵g ()＝－2A sin 2ωx 2＋φ2＋A ＝A cos(ω＋φ)＝3cos （3＋π3）.令2π－π≤3＋π3≤2π，∈，解得2k π3－4π9≤≤2k π3－π9，∈，∴g ()的单调递增区间为（2k π3－4π9），（2k π3－π9），∈，故A 错；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π18＝3cos3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π18＋π3＝0，∴直线＝－5π18不是曲线y ＝g ()的对称轴，故B 错；∵将f ()的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝3sin3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，故C 正确；∵g (＋m )＝3cos3(＋m )＋π3＝3cos3＋3m ＋π3为偶函数，∴3m ＋π3＝π，∈，∴m ＝k π3－π9，∈，故D 错．故选C.12．B [解析] 由题知，方程(－2)e ＋1＋2－2＋a ＝0有两个不同的解，即方程(－2)e ＋1＝－2＋2－a 恰有两个解．设g ()＝(－2)e ＋1，φ()＝－2＋2－a ，则函数y ＝g ()的图像与y ＝φ()的图像恰有两个交点．因为g ′()＝e ＋1(－1)，当<1时，g ′()＜0，当>1时，g ′()＞0，所以g ()在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以当＝1时，g ()取得最小值g (1)＝－e 2.因为φ()＝－2＋2－a ＝－(－1)2－a ＋1，所以当＝1时，φ()取得最大值φ(1)＝1－a ，则1－a >－e 2，所以a <1＋e 2，故选B.13．－280 [解析] 令＝1，得(a ＋1)7＝128，解得a ＝1，∴(a ＋1)7＝(＋1)7＝ [－2＋(＋3)]7，∴a 4＝C 47×(－2)3＝－280.14.92 [解析] 设EN →＝λEF →，∴DN →＝EN →－ED →＝λEF →－ED →.EM →＝12(ED →＋EF →)．∵DN ⊥ME ，∴DN →·EM →＝12(ED →＋EF →)·(λEF →－ED →)＝12[(λ－1)EF →·ED →＋λ|EF →|2－|ED →|2]＝12[(λ－1)×2×3×12＋λ×32－22]＝0，解得λ＝712，∴DN →·DF →＝712EF →－ED →·(EF →－ED →) ＝712|EF →|2－1912ED →·EF →＋|ED →|2 ＝712×32－1912×2×3×12＋22＝92.15．2＋y 2＝1或(－2)2＋(y ±22)2＝9 [解析] 由题知F (1，0)，故抛物线C 的焦点在轴上，设抛物线C 的方程为y 2＝2p (p >0)，则p2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4.设P (0，y 0)，则y 20＝40，根据抛物线的定义，知|PF |＝1＋0，圆心P 到轴的距离为|y 0|，由垂径定理，得(1＋0)2＝y 20＋12，即(1＋0)2＝40＋1，解得0＝0或0＝2.当0＝0时，y 0＝0，|PF |＝1，圆P 的方程为2＋y 2＝1；当0＝2时，y 0＝±22，|PF |＝3，圆P 的方程为(－2)2＋(y ±22)2＝9.16.7（240－1）15[解析] 由题设知a 2－a 1＝1①， a 3＋a 2＝2②， a 4－a 3＝22③，a 5＋a 4＝23，a 6－a 5＝24，a 7＋a 6＝25，a 8－a 7＝26，a 9＋a 8＝27，a 10－a 9＝28，a 11＋a 10＝29，a 12－a 11＝210，…，a 38－a 37＝236，a 39＋a 38＝237，a 40－a 39＝238，∴②－①得a 1＋a 3＝1，③＋②得a 4＋a 2＝3×2，同理可得a 5＋a 7＝24，a 6＋a 8＝3×25，a 9＋a 11＝28，a 10＋a 12＝3×29，…，a 37＋a 39＝236，a 38＋a 40＝3×237，∴a 1＋a 3，a 5＋a 7，a 9＋a 11，…，a 37＋a 39是首项为1，公比为24，项数为10的等比数列，a 2＋a 4，a 6＋a 8，a 10＋a 12，…，a 38＋a 40是首项为6，公比为24，项数为10的等比数列，∴数列{a n }的前40项和为1－16101－16＋6（1－1610）1－16＝7（240－1）15.17．解：(1)由b c ＝sin C －sin B －sin A cos B sin A cos C －sin B 及正弦定理，得b c ＝c －b －a cos Ba cos C －b，即c 2－bc －ac cos B ＝ab cos C －b 2，2分由余弦定理，得c 2－bc －ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab－b 2，整理得c 2＋b 2－a 2＝bc ，4分∴cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，5分∵0<A <π，∴A ＝π3.6分(2)由正弦定理，得2sin π3＝b sin B ＝csin C ，∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，8分 ∴4S △ABCc＋3c ＝4×12c bc sin π3＋3c ＝3(b ＋c )＝4(sin B ＋sin C )＝4sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝4sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝4332sin B ＋12cos B ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.10分由(1)知B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ＜π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴6<43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤43，∴4S △ABC c＋3c 的取值范围为(6，43].12分18．解：(1)由题知b ＝22－10＝12，c ＝52－10＝42. 由2×2列联表中的数据，得2＝68×（10×4－42×12）252×16×22×46≈17.388＞6.635，4分∴有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关． 5分(2)的可能取值为0，1，2，3，6分P (＝0)＝C 312C 316＝1128，P (＝1)＝C 212C 14C 316＝3370，P (＝2)＝C 112C 24C 316＝970，P (＝3)＝C 34C 316＝1140，9分∴的分布列为10分∴E ()＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.12分19．解：(1)证明：设AB 的中点为F ，连接PF ，EF ，BE ，FC ，设FC ∩BE ＝O ， ∵△PAB 是边长为4的正三角形，∴PF ⊥AB ，BF ＝2. ∵平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴PF ⊥BE .2分∵E 是CD 的中点，底面ABCD 是平行四边形，BC ＝2， ∴EF ∥BC ，AB ∥CD ，BF ＝BC ，∴四边形BCEF 是边长为2的菱形，∴BE ⊥FC . ∵FC ∩PF ＝F ，∴BE ⊥平面PFC . 又PC ⊂平面PFC ， ∴BE ⊥PC .5分(2)由(1)知，PF ＝23，PF ⊥平面ABCD ，四边形BCEF 是边长为2的菱形，∠FBC ＝60°，BE ⊥FC ，∴OB ＝OE ＝3，OC ＝OF ＝1.以O 为原点，过O 作PF 的平行线为轴，以OC ，OB 所在的直线分别为轴、y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C (1，0，0)，F (－1，0，0)，E (0，－3，0)，P (－1，0，23)，∴FA →＝CE →＝(－1，－3，0)，∴A (－2，－3，0)，CD →＝2CE →＝(－2，－23，0)，∴D (－1，－23，0)，∴AD →＝(1，－3，0)，DP →＝(0，23，23).7分设平面PAD 的法向量为m ＝(1，y 1，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝x 1－3y 1＝0，m ·DP →＝23y 1＋23z 1＝0， 令y 1＝1，则1＝3，1＝－1，∴m ＝(3，1，－1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(2，y 2，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝－2x 2－23y 2＝0，n ·DP →＝23y 2＋23z 2＝0，令y 2＝1，则2＝－3，2＝－1，∴n ＝(－3，1，－1)，9分 ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3×3＋1×1－1×（－1）（－3）2＋12＋（－1）2×（3）2＋12＋（－1）2＝－15，11分设二面角A ­PD ­C 的平面角为θ，则sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝265，∴二面角A ­PD ­C 的正弦值为265.12分20．解：(1)由题知，e ＝ca ＝32，∴c ＝32a ， ∴b ＝a 2－c 2＝12a ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，B (a ，0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，0，∴直线AB 的方程为＋2y －a ＝0，∴32a －a 12＋22＝25－155，解得a ＝2，∴b ＝1，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.4分 (2)设P (1，y 1)，Q (2，y 2)，显然直线l 的斜率一定存在，故设直线l 方程为y ＝＋2，代入椭圆方程2＋4y 2－4＝0，整理得(1＋42)2＋16＋12＝0， 由Δ＝(16)2－4×12(1＋42)>0，得2>34，1＋2＝－16k 1＋4k 2，12＝121＋4k 2，7分 ∴|PQ |＝1＋k 2|1－2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 22－4×121＋4k 2＝4（1＋k 2）（4k 2－3）（1＋4k 2）2，原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2，9分 ∴S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝44k 2－3（1＋4k 2）2，设t ＝4k 2－3，则42＝t 2＋3，t >0， ∴S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤42t ·4t＝1，当且仅当t ＝4t ，即＝±72时，取等号，11分∴△OPQ 的面积的最大值为1.12分21．解：(1)f ()的定义域为(1，＋∞)，f ′()＝a ln(－1)＋a ＋2b ＋1－b ，由题知⎩⎨⎧f （2）＝2b ＋1＋a ＋1＝3，f ′（2）＝a ＋4b ＋1－b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－1. 4分(2)当b ＝1时，f ()＝a (－1)ln(－1)＋(＋1)(－1)＋a ＋1， 当>2时，由f ()＞0，知f （x ）x －1＝a ln(－1)＋a ＋1x －1＋＋1＞0， 设g ()＝a ln(－1)＋a ＋1x －1＋＋1(>2)，∴g ′()＝ax －1－a ＋1（x －1）2＋1＝x 2＋（a －2）x －2a （x －1）2＝（x －2）（x ＋a ）（x －1）2.7分当a ≥－2时，－a ≤2，g ′()＞0，∴g ()在区间(2，＋∞)上是增函数， ∴g ()＞g (2)＝a ＋1＋2＋1≥0，解得a ≥－4， ∴a ≥－2；9分当a <－2时，－a >2，当2<<－a 时，g ′()＜0，当>－a 时，g ′ ()＞0， ∴g ()在区间(2，－a )上是减函数，在区间(－a ，＋∞)上是增函数，∴g ()min ＝g (－a )＝a ln(－a －1)＋a ＋1－a －1－a ＋1＝a ln(－a －1)－a ，由题知g ()min ＝a ln(－a －1)－a ＞0，即ln(－a －1)<1，即⎩⎨⎧a <－2，－a －1<e ，解得－e －1<a <－2.11分综上所述，实数a 的取值范围为(－e －1，＋∞)． 12分22．解：(1)由题知tan α＝－34＜0，0<α<π，∴π2<α<π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－34cos α2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－45，∴sin α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－45t ，y ＝1＋35t(t 为参数).3分由ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，由ρ2＝2＋y 2，ρcos θ＝，ρsin θ＝y ，得2＋y 2－4－4y ＝0， ∴曲线C 的直角坐标方程为2＋y 2－4－4y ＝0.5分(2)∵12＋12－4×1－4×1＝－6<0，∴点(1，1)在圆2＋y 2－4－4y ＝0内部， ∴直线l 与曲线C 相交.7分设直线l 与曲线C 的交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)代入2＋y 2－4－4y ＝0，整理得t 2＋25t －6＝0，∴t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－6，∴|MN |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252－4×（－6）＝21515，故直线l 被曲线C 截得的弦长为21515.10分23．解：(1)∵f ()＝|－1|－|2－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，3x －4，1<x <32，2－x ，x ≥32，∴f ()在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是增函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，∵f (0)＝－2，f (3)＝－1，∴当0≤≤3时，f ()min ＝f (0)＝－2，则m ≤－2. 5分(2)由(1)知，f ()ma ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12，∴a ＋2b ＝12ab ，∴2b ＋4a＝1，∴a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋4a ＝8＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋4b a ≥8＋2×2a b ×4ba＝16， 当且仅当4b a ＝ab，即a ＝2b ＝8时，a ＋2b 取得最小值16.10分。

理 科 数 学（一）本试题卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 是一元二次方程2220x x -+=的一个根，则z 的值为（ ）A ．1BC ．0D ．22．已知集合{}|14x x A =<<，集合{}|2,B y y x x A ==-∈，集合2|ln 1x C x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则集合B C =（ ）A ．{}|11x x -<<B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x -<≤3．已知等差数列{}n a ，36S =，9111360a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．66B ．42C ．169D ．1564．世界最大单口径射电望远镜FAST 于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年，FAST 选址从开始一万多个地方逐一审查．为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员．若分配给某个研究员8个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（ ）A ．328B ．1528C ．37D ．9145．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）A ．43B．7 C．5+D．7+（第5题图） （第6题图）6．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面BCD ，45ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，120BCD ∠=︒，40CD =，则AB =（ ）A ．10B ．20C ．30D ．407．已知函数()y f x =，满足()y f x =-和()2y f x =+是偶函数，且()π13f =，设()()F x f x=+()f x -，则(3)F =（ ） A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π38．已知抛物线()220y px p =>，过点()4,0C -作抛物线的两条切线CA ，CB ，A 、B 为切点，若直线AB 经过抛物线22y px =的焦点，CAB △的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =- C ．28y x =D ．28y x =-9．根据右边流程图输出的值是（ ） A ．11B ．31C ．51D ．7910．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a （第9题图）11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+π0,,02ωϕ⎛⎫⎡⎤>∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的周期为π，将函数()f x 的图像沿着y 轴向上平移一个单位得到函数()g x 图像．设()1g x <，对任意的ππ,312x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭恒成立，当ϕ取得最小值时，π4g ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ） A ．12B ．1C ．32D ．212．已知函数()2ln xf x x x=-，有下列四个命题； ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在()(),00,-∞+∞是单调函数；③当0x >时，函数()0f x >恒成立； ④当0x <时，函数()f x 有一个零点， 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。