2016年黑龙江省牡丹江一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

高三学年期中考试文科数学试题一、选择题（单选，每题5分，共60分） 1、已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 2、下列说法错误．．的是 （ ） A ．命题“若，则”的否命题是：“若，则”B ．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题．C ．若命题：，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D ． “”是“”的充分不必要条件； 3、设为等差数列的前n 项和，，，则（ ）A. B. C. D. 2 4、若平面向量，满足，，，则与的夹角是 （ ） A ． B ． C ． D ．5、设为两条不同的直线，为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ） A ．若与所成的角相等，则； B ．若，，则； C ．若，，则； D ．若，，则；6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．127、已知函数()()⎩⎨⎧>≤--=-7,7,336x a x x a x f x ，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ． 8、函数的图象是（ ）9、若函数0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（ ） A. B. C. D.10、已知定义在实数集R 的函数满足,且导函数，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知函数,分别为的内角所对的边，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．12、已知函数()224log ,021512,22x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数，，，，满足，其中，则的取值范围是 .A ．B ．C ．D ． 二、填空题（每题5分，共20分） 13、已知，则14、数列满足：，，表示前n 项之积，则15、给出下列命题： ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为； ②若为第一象限角，且，则； ③若，则存在实数，使得；④在中，内角所对的边分别为，若︒===25,20,40B b a ，则必有两解. ⑤函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）. 16、如图，在中，，，点D 在线段AC 上，且，，则 . 三、解答题(17题---21题每题各12分，选做题10分)17、若是公差不为0的等差数列的前n 项和，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立的最小正整数.18、等差数列中，，（），是数列的前n 项和.（1）求；（2）设数列满足1212112n n n b b b a a a +++=-（），求的前项和.19、已知函数()22cos 3sin cos 2f x x x x x =--+.（1）当时，求的值域；（2）若△ABC的内角A ，B ，C 的对边分别为，且满足，()()sin 222cos sin A C A C A+=++，求的值. 20、如图，四棱锥中，，四边形是边长为的正方形，若分别是线段的中点． （1）求证：∥底面；（2）若点为线段的中点，求三角形的面积. 21、已知． （1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数解,求实数的取值范围； （3）当时,求证：111()2231nf n n <++++-. 四、选做题：请考生在第22、23题两题中任选一题做答，如果多答，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

牡一中2016届高三九月月考理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1、下列函数中，值域为的是（）A：B：C：D：2、在下列结论中，正确的结论为（）①“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；②“且”为假是“或”为假的充分不必要条件；③“或”为真是“”为假的必要不充分条件；④“”为真是“且”为假的必要不充分条件；A：①②B：①③C：②④D：③④3、对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A：B：C：D：或4、设，若且，则的取值范围是（）A：B：C：D：5、若是上的减函数，且的图像过点，，则不等式的解集为，的值是（）A：B：C：D：6、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A：B：C：D：7、已知是的充要条件，是的充要条件，是的必要条件，是的必要条件，则是的（）A：充分不必要条件B：必要不充分条件C：充分条件D：既不充分也不必要条件8、设是偶函数，是奇函数，那么的值为（）A：B：C：D：9、已知函数在定义域上是增函数，且，则的单调情况一定是（）A：在上递增B：在上递减C：在上递减D：在上递增10、已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是（）A：B：C：D：11、若，定义，例如，，则函数的奇偶性是（）A：是偶函数不是奇函数B：是奇函数不是偶函数C：既是奇函数又是偶函数D：既不是奇函数也不是偶函数12、定义域和值域均为的函数和的图像如图所示，下列命题的是（）A：方程有且仅有三个根B：方程有且仅有三个根C：方程有且仅有两个根D：方程有且仅有两个根第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写答题卡的对应位置，写错不给分.17、（本小题满分10分）13、若方程有两个不相等的正实根，则实数的取值范围是；14、若函数满足：对于任意，都有，且成立。

2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁U M）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）2．（5分）抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2C．y=D．y=﹣23．（5分）已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99B．66C．144D．2975．（5分）已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件7．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称12．（5分）已知f（x）为偶函数，且f（x）=f（x﹣4），在区间[0，2]上，f（x）=，g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A．（2，）B．（2，3）C．（2，]D．（2，3]二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，a1+a2=，a4+a5=6，则S6=．14．（5分）椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，则椭圆C的标准方程为．15．（5分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．16．（5分）下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x 的图象．（5）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．正确的是（填序号）三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n项和公式S n；（3）证明：当n≥2时，S1+S2+S3+…+S n＜．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P﹣AD﹣M的大小为．21．（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，（1）求点P坐标；（2）求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）=（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ （O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁U M）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解答】解：∵全集U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}=[0，2]，∴C U M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵x2+3x＞0，解得x＞0或x＜﹣3∴集合N=（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）∴N∩（∁U M）=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）故选：C．2．（5分）抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2C．y=D．y=﹣2【解答】解：由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，∴=2，其准线方程是y=2．故选：B．3．（5分）已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线【解答】解：由题意，|MN|=3﹣1=2∵|PM|﹣|PN|=2∴|PM|﹣|PN|=|MN|∴点P的轨迹是射线NP故选：D．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99B．66C．144D．297【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，∴数列{a n}前9项的和S9====99故选：A．5．（5分）已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，∴cosα==，sin=，∴sin（β﹣α）=sinβcosα﹣cosβsinα=﹣=．故选：B．6．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件【解答】解：若a⊥b，∵b⊥β，∴a∥β或a⊂β，此时α∥β或α与β相交，即必要性不成立，若α∥β，∵b⊥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，即充分性成立，故α∥β是a⊥b的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选：B．8．（5分）已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则=，∵AB=BC=，AC=3，∴∠ABC=120°，S△ABC∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：B．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选：D．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【解答】解：由于函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），根据函数f（x）在x=处取得最小值，则f（）=a+b=﹣，∴a=b，∴f（x）=asinx﹣acosx=asin（x﹣），∴f（﹣x）=asin（﹣x﹣）=﹣asinx，故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．12．（5分）已知f（x）为偶函数，且f（x）=f（x﹣4），在区间[0，2]上，f（x）=，g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A．（2，）B．（2，3）C．（2，]D．（2，3]【解答】解：由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x﹣4），则f（x）=f（﹣x），函数的周期为4，则在区间[﹣2，0]上，有f（x）=，分别作出函数y=f（x）在[﹣2，2]的图象，并左右平移4个单位，8个单位，可得y=f（x）的图象，再作y=g（x）的图象，注意上下平移．当经过A（1，）时，a==2，经过B（3，）时，a=2，5﹣=．则平移可得2＜a＜时，图象共有4个交点，即f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，故选：A．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，a1+a2=，a4+a5=6，则S6=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：14．（5分）椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，则椭圆C的标准方程为．【解答】解：由题意设椭圆C的标准方程为，a＞b＞0，∵抛物线x2=8y的焦点为F（0，2），∴由已知得，解得a=4，b=2，∴椭圆C的标准方程为．故答案为：．15．（5分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．16．（5分）下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．（5）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．正确的是（2），（5）（填序号）【解答】解：对于（1），由，得sinB=．当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC唯一确定，故（1）错误；对于（2），点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则12+12+m﹣1+4＞0，即m＞﹣5，故（2）正确；对于（3），若曲线+=1表示双曲线，则（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，即k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）错误；对于（4），将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+）]=cos（2x+），故（4）错误；对于（5），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差得：，∴，∴k AB=2，此时直线方程为y﹣1=2（x﹣2），即y=2x﹣3，联立，得2x2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正确．∴正确命题的序号是（2），（5）．故答案为：（2），（5）．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（4分）（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．当且仅当sin（2x+）=1，即2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时取到．所以函数最大值为2时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．…（6分）（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=．∵A∈（0，π），∴2A+=，∴A=．在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc．由b+c=2，知bc≤1，即a2≥1．∴当b=c=1时，取等号．又由b+c＞a得a＜2．所以a的取值范围是[1，2 ）．…（12分）19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n项和公式S n；（3）证明：当n≥2时，S1+S2+S3+…+S n＜．【解答】证明：（1）∵数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=，（n≥2）﹣S n=2S n S n﹣1，∴当n≥2时，，S n﹣1∴当n≥2时，，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．解：（2）由（1）得=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴S n=．证明：（3）由（2）知：当n≥2时，==，∴S1+S2+S3+…+S n＜1+（1﹣）＜﹣＜．∴S1+S2+S3+…+S n＜．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P﹣AD﹣M的大小为．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：因为BD=AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=10，所以有AD2+BD2=AB2，即AD⊥BD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以PD⊥平面PAD，BD⊂平面BDM，故平面MBD⊥平面PAD．（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO 垂直于AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E，则有OE⊥AD，所以分别以OA、OE、OP为x，y，z轴，建空间直角坐标系所以点O（0，0，0），A（3，0，0），D（﹣3，0，0），B（﹣3，8，0），P（0，0，3），由于AB∥DC且AB=2DC，得到C（﹣6，4，0），设（0＜λ＜1），则有，因为由（1）的证明可知BD⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量可取：，设平面MAD的法向量为，则有，即有由由二面角P﹣AD﹣M的大小为．==，解得故当M满足：PM=PC时符合条件．21．（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，（1）求点P坐标；（2）求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．【解答】（1）解：F1，F2是椭圆=1的两焦点，则c==，即有F1（0，），F2（0，﹣），设P（x，y），（x＞0，y＞0），则由=1，得x2+y2=3，又=1，解得，x=1，y=．则有点P的坐标为；（2）证明：由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为，由于过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，则直线PA：y﹣=﹣k（x﹣1）．由，消去y，得，设A（x A，y A），B（x B，y B），由韦达定理，得1+x B=，即有，y B=同理可得，y A=，所以为定值．（3）解：由（2）可设直线AB的方程为，联立方程，得，消去y，得，由判别式8m2﹣16（m2﹣4）＞0，得，x1+x2=﹣m，x1x2=，|AB|==易知点P到直线AB的距离为，所以，当且仅当m=±2时取等号，满足，所以△PAB面积的最大值为．22．（12分）已知函数f（x）=（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ （O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？【解答】解：（1）∵f（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）递增，在（，1）递减，而f（）=，∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为，1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，综上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t +1）lnt ． （*），考察函数在h （x ）=（x +1）lnx （x ≥1）， 则h′（x ）=lnx ++1＞0，∴h （x ）在[1，+∞）上单调递增，∵t ＞1，∴h （t ）＞h （1）=0， 当t→+∞时，h （t ）→+∞，∴h （t ）的取值范围是（0，+∞）． ∴对于a ＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数a ，曲线y=f （x ）上总存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域(0,)+∞x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。

牡丹江市第一高级中学2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的） 1、设集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．2、下列四个函数中，在区间[]1,1-上是增函数的是（ ） A ．2xy =B ．2y x =C ．2log y x =D ．sin 2y x =3、已知点()3,5A 、()4,7B 、()1,C x -三点共线，则实数x 的值是（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．34、下列命题是假命题的是 （ ）A ．1,20x x R -∀∈>B ．*2,(1)0x N x ∀∈->C ．R ln 0x x ∃∈<，D ．,tan 2x R x ∃∈= 5、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则 αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 6、已知()tan 2πα-=-，则21cos 2cos αα=+（ ） A ．3- B ．25C ．3D ．52-7、各项均为正数的等差数列{}n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ）21{|},{|1}A x x x B x x=≤=≥A B =(,1]-∞[0,1](0,1](,0)(0,1]-∞A ．78B ．48C ．60D ．728、,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ⋅=（ ）A ．13B ．23C ．49D ．899、已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()2230x x f x '-->的解集为（ ） A ．()(),21,-∞-+∞B ．()(),21,2-∞-C ．()()(),11,02,-∞--+∞D ．()()(),11,13,-∞--+∞10、已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =（0a >且1a ≠），()()()()115112f f g g -+=-，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．911、已知函数()f x 的导函数()2sin f x x '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以4π为公差的等差数列，若234()()()3f a f a f a π++=，则20142a a =（ ） A ．2016B ．2015C ．2014D ．201312、已知函数2ln 0()41,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，若关于x 的方程 2()()0f x bf x c -+=(,b c R ∈）有8个不同的实数根，则由点(),b c 确定的平面区域的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、一个几何体的三视图如图，该几何体的各个顶点都在球O 的球面上，球O 的体积为 ；14、如图，AB 是圆O 的直径，,C D 是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为 ；15、数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项积为n T ，则2015T = ；16、已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列四个命题：①()30f =；②直线6x =-是函数()y f x =的一条对称轴；③函数()y f x =在区间[]9,6--上为增函数；④函数()y f x =在区间[]0,2014上有335个零点。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}216xy x A -==，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=0log 2log |22xxx B ，则A B = ( )A []4,1B [)4,1C []2,1D (]2,1 【答案】B考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.复数iiz -=22所对应的点位于复平面内（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 【答案】B 【解析】 试题分析：22(2+)242555i i i z i i -===+-对应的点为24(,)55-，位于第二象限，选B. 考点：复数几何意义3.定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的1212,(,0)()x x x x ∈-∞≠，都有1212()()0f x f x x x -<-.则下列结论正确的是 ( )A )5(log )2()3.0(23.02f f f <<B )3.0()2()5(log 23.02f f f <<C )2()3.0()5(log 3.022f f f << D )2()5(log )3.0(3.022f f f <<【答案】A考点：函数单调性及奇偶性 【思路点睛】1奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成对应几个数大小比较 4.设等比数列}{n a 的公比21=q ，前n 项和为n S ，则=33a S ( )A 5B 7C 8D 15 【答案】B 【解析】试题分析：=33a S 212311123111124714a a a a a q a qa a q ++++++===，选B.考点：等比数列通项与和项5.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若4=AF ，则AOF ∆的面积为（ ） A23 B334 C 3 D 32 【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线定义得143||A A A x AF x y +==⇒=⇒=，因此AOF ∆的面积为1||12A y ⨯⨯=选C.考点：抛物线定义 【思路点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．题中充分运用抛物线定义实施转化，化曲为直求范围．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 6.设命题:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；命题:q ,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b +=，以下说法正确的是（ ）A p ∨q 为真B p ∧q 为真C p 真q 假D p ，q 均假【答案】D考点：命题真假7.已知函数⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(x e x x f x ，则使函数m x x f x g -+=)()(有零点的实数m 的取值范围是（ ）A )1,0[B )1,(-∞C ),1(]0,(+∞⋃-∞D ),2(]1,(+∞⋃-∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当0x ≤时，0y =与y x m =-+有交点，即0m ≤；或当0x >时，x y e =与y x m =-+有交点，即1m >；因此实数m 的取值范围是),1(]0,(+∞⋃-∞，选C. 考点：函数零点 【方法点睛】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 8.下列四个命题：①样本相关系数r 越大，线性相关关系越强；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，若n m ,=⋂βα∥m ，且βα⊄⊄n n ,， 则n ∥α且n ∥β；④若直线m 不垂直于平面α，则直线m 不可能垂直于平面α内的无数条直线。

2016届高三上学期期中考试数学试卷（理工类）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数)1(log 11)(2++-=x x x f 的定义域是（ ） A ．]1,1[-B ．]1,1(-C ．）1,0()0,1(⋃-D ．]1,0()0,1(⋃-2． 已知i 为虚数单位，a R ∈，若()211a a i -++为纯虚数， 则复数()2z a a i =+- 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3，则α2cos 的值为（ ）A ．4．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ,则（ ）A ．命题q p ∨是假命题B ．命题q p ∧是真命题C ．命题)(q p ⌝∧是真命题D ．命题)(q p ⌝∨是假命题 6．若函数)6tan(πω+=x y 在]3,3[ππ-上单调递减，且在]3,3[ππ-上的最大值为3，则ω的值为（ ）A.21-B.21C.1-D.17．正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为 （ ）A ．3B C ．23D 8.已知m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有下列命题：① 若n m ,α⊂∥α，则m ∥n ② 若m ∥α，m ∥β，则α∥β③ 若m n ,=βα ∥n ，则m ∥α且m ∥β ④ 若βα⊥⊥m m ,，则α∥β其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.1510．已知O 在ABC ∆的内部，满足=++OC OB OA 40，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比为（ ） A ． 3:2B ． 2:3C ．4:5D ．5:411．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若首项01>a 且0156<<-a a ，有下列四个命题:0:1<d P ；0:1012<+a a P ；:3P 数列}{n a 的前5项和最大；:4P 使0>n S 的最大n 值为10；其中正确的命题个数为（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个 12.定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A.)2,1[ B.)2,34[C. )2,34(D. ]2,34[ 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上） 13.已知数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列为等差数列，则5a = . 14．已知),3(),1,2(λλ=+=b a ，若与夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 __.15.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，︒=60B ,ABC ∆的面积为23，那么=b _________. 16.已知函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，且f (y 2－2y ＋3)＋f (x 2－4x ＋1)≤0，则当y ≥1时，yx ＋1的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题10的最大值为1．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将()f x 的图象向左平移得到函数()g x 的图象，若方程()g x ＝m 在x上有解，求实数m 的取值范围．18.（本小题12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集U R =，集合2{|230}M x xx =--≤，N ={}2|31y y x =+，则U M C N ⋂=( )A .}11|{<≤-x xB 。

}11|{≤≤-x xC .}31|{≤≤x xD .}31|{≤<x x【答案】A考点:集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时,一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍．2。

将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()【答案】D【解析】试题分析:几何体的左视图为在右侧平面上的投影，为D.考点:三视图3。

阅读如右图所示的程序框图,则该算法的功能是()n-前5项的和A.计算数列{}12n-前5项的和B。

计算数列{}21n-前6项的和C.计算数列{}12n-前6项的和D.计算数列{}21【答案】C考点：循环结构流程图【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题①确定循环变量和初始值;②确定算法中反复执行的部分,即循环体； ③确定循环的终止条件．4。

若,x y 满足20200x y kx y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z yx =-的最小值为2-，则k 的值为( ) A 。

1 B .1- C .2 D 。

2-【答案】B【解析】试题分析：直线2y x -=-与0y =交于点(2,0)，因此直线20kx y -+=过点(2,0)，即1k =-,经验证满足条件，选B.考点：线性规划5.给出下列四个命题, 其中正确．．的命题有( )个。

高三学年十月月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}1{>=x x A ，}4,2,1,0{=B ，则B A C R )(=（ ） A.}1,0{ B.}0{ C.}4,2{ D.∅ 2．下列判断错误的是（ ）A ．若q p Λ为假命题，则p ，q 至少之一为假命题B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若∥且∥，则b a //是真命题D ．若 22bm am <，则a < b 否命题是假命题 3．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈)是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π34．设}3,21,1,1{-∈a ，则使函数a x y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为( ) A.1,3 B.1,1- C.3,1- D.3,1,1-5.已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝2sin(32x ＋π4)B ．f (x )＝2sin(32x ＋5π4)C ．f (x )＝2sin(43x ＋2π9)D ．f (x )＝2sin(43x ＋2518π)6．若函数f （x ）的导函数()f x '=x 2﹣4x+3，则使得函数(1)f x -单调递减的一个充分不必要条件是x ∈（ ）A. B. C. D.7．若函数cos 2y x =与函数)2sin(φ+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ） A ．6πB ．4πC ．43πD ．23π8．已知0a b >>，且1ab =，若01c <<，22log2c a b p +=，2log c q =，则,p q 的大小关系是( )A.q p >B.q p <C. q p =D. 无法确定 9．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 10.已知]2,2[,ππβα-∈，0sin sin >-ββαα，则下列不等式一定成立的是( ) A ．βα> B.βα< C.0>+βα D. 22βα>11.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时()()0f x f x x'+> 若11()22a f =，2(2)b f =--，11(ln )(ln )22c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b <<12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x=∈=<=，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在(x ∈内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(4,0]-；④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-. 其中真命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．已知Q P ,是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为54，Q 点的横坐标为135，则=∠POQ cos . 14．=+--⎰dx x x x )22122——（ .15． 给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为21的扇形面积为21②若βα,为锐角，31tan ,21)tan(==+ββα，则4542ππβα或=+ ③函数)32cos(π-=x y 的一条对称轴是32π=x ④已知()πα，0∈ ，52cos sin -=+αα，则1264tan =+）（πα 其中正确的命题是 . 16．若若方程()()1-=x k x f 有两个实根，则实数k的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin sin()2f x x x x π=+⋅+（0>ω）． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中, )cos ,(),cos ,2(B b C c a =-= 且∥ （1）求角B 的大小；（2）若1=b ，当ABC ∆面积取最大时，求ABC ∆内切圆的半径。

2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2≤x}，B={x|≥1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]2．（5分）下列四个函数中，在区间[﹣1，1]上是增函数的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=log2x D．y=sin2x3．（5分）已知点A（3，5）、B（4，7）、C（﹣1，x）三点共线，则实数x的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．34．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=25．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．（5分）已知tan（π﹣α）=﹣2，则=（）A．﹣3 B．C．3 D．7．（5分）各项均为正数的等差数列{a n}中，a4a9=36，则前12项和S12的最小值为（）A．78 B．48 C．60 D．728．（5分）AD，BE分别是△ABC的中线，若=||=1，且与的夹角为120°，则•=（）A．B．C．D．9．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）10．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{a n}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．101312．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）一个几何体的三视图如图，该几何体的各个顶点都在球O的球面上，球O的体积为；14．（5分）如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，，则x+y=．15．（5分）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2018=．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列四个命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）若，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=0，且sinB=2sinA，求a、b的值．18．（12分）已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求证：对任意x1、x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．（Ⅰ）求证：平面BDGH∥平面AEF；（Ⅱ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，a≥﹣2．（I）若a=0，求f（x）的单调区间；（II）讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）是否存在a，使得函数f（x）的图象在区间上与x轴相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．22．（10分）（Ⅰ）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（x，y，a，b∈R）；（Ⅱ）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2≤x}，B={x|≥1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]【解答】解：A=[0，1]，B=（0，1]；∴A∩B=（0，1]．故选：C．2．（5分）下列四个函数中，在区间[﹣1，1]上是增函数的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=log2x D．y=sin2x【解答】解：函数y=2x在区间[﹣1，1]上是增函数，满足条件；函数y=x2在区间[﹣1，0]上是减函数，不满足条件；函数y=log2x在区间[﹣1，0上是无意义，不满足条件；函数y=sin2x在区间[﹣，0]和[，2]上是减函数，不满足条件；故选：A．3．（5分）已知点A（3，5）、B（4，7）、C（﹣1，x）三点共线，则实数x的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【解答】解：根据三点共线，可以确定，解得x=﹣3，故选：C．4．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n 异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．6．（5分）已知tan（π﹣α）=﹣2，则=（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣2，∴tanα=2，∴====﹣，故选：D．7．（5分）各项均为正数的等差数列{a n}中，a4a9=36，则前12项和S12的最小值为（）A．78 B．48 C．60 D．72【解答】解：由题意，a 4+a9≥2=12，∴S12=（a1+a12）=6（a4+a9）≥72，故选：D．8．（5分）AD，BE分别是△ABC的中线，若=||=1，且与的夹角为120°，则•=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，∵=||=1，且与的夹角为120°，∴===﹣．∵AD，BE分别是△ABC的中线，∴，==．解得=，．∴====．故选：C．9．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：D．10．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{a n}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．1013【解答】解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设：f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，解得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵数列{a n}是以为公差的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）．∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2a2﹣cosa2+2a3﹣cosa3+2a4﹣cosa4=3π.2a2+2a3+2a4﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π．∴cosa2+cosa3+cosa4=0．即2a2+2a3+2a4=3π，可得：a2=，a3=，a4=．∴a2014=a2+1012×=1013×，则=1013．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得S=﹣×1×1=故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）一个几何体的三视图如图，该几何体的各个顶点都在球O的球面上，球O的体积为；【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的三棱锥，底面为等腰直角三角形，斜边为2，故底面外接圆半径r=1，高为2，故棱锥的高h=1，故球半径R==，故球的体积V==，故答案为：14．（5分）如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，，则x+y=．【解答】解：如图过C作CE⊥OB于E，因为AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°所以E为OB的中点，连结OD，则，∴=，===又，x+y==．故答案为：．15．（5分）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2018=﹣6．【解答】解：∵a n=，∴a n=，+1∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2018=4×504+2，∴T2018=﹣6．故答案为：﹣6．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列四个命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点．其中正确命题的序号为①②．【解答】解：对于①，∵f（x+6）=f（x）+f（3），∴f（﹣3+6）=f（﹣3）+f（3），又∵f（﹣3）=f（3），∴f（3）=f（3）+f（3），∴f（3）=0，①正确；对于②，由①知f（x+6）=f （x），∴f（x）的周期为6；又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+6）=f（﹣x）；而f（x）的周期为6，∴f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），∴f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x）；∴直线x=﹣6是y=f（x）图象的一条对称轴，②正确；对于③，x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，有，即y=f（x）在[0，3]上是增函数；∵f（x）是R上的偶函数，∴y=f（x）在[﹣3，0]上是减函数；又f（x）的周期为6，∴y=f（x）在[﹣9，﹣6]上是减函数，③错误；对于④，f（3）=0，且f（x）的周期为6，又y=f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，6]上为减函数，∴y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，又2014=335×6+3，∴y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336个零点，④错误．综上，以上正确的命题是①②．故答案为：①②．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）若，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x 的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=0，且sinB=2sinA，求a、b的值．【解答】解（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin（2x ﹣）﹣1…（3分）令，，∴f（t）=sint﹣1，∴当即时，f（x）max=0当即时，；…（6分）（Ⅱ）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1，…（7分）∵0＜C＜π，∴0＜2C＞2π，∴＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=…（9分）∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a ①…（10分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣ab=3 ②…（11分）由①②解得：a=1，b=2．…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求证：对任意x1、x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．【解答】解：（1）f′（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f′（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（2）由（1）知f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f′（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．（Ⅰ）求证：平面BDGH∥平面AEF；（Ⅱ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF．…（2分）设AC∩BD=O，连接OH，因为ABCD为菱形，所以O为AC中点在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF．又因为OH∩GH=H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF．…（6分）（Ⅱ）解：取EF的中点N，连接ON，因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ON∥ED，因为平面BDEF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD，因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．所以以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，所以B（1，0，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，3），F（1，0，3），，．所以，．设平面BDH的法向量为，则．令z=1，得．…（9分）由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为，则所以二面角H﹣BD﹣C的大小为60°．…（12分）注：用传统法找二面角并求解酌情给分．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．，【解答】解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1+n﹣1=a n（n≥2），得a1+a2+a3+…+a n﹣1=2a n+1，两式相减得a n+1+1=2（a n+1）（n≥2），变形为a n+1∵a1=0，∴a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），∴{a1+1}是以1为首项，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，T n）在直线上，∵点（T n+1∴，故是以为首项，为公差的等差数列，则，∴，当n≥2时，，∵b1=1满足该式，∴b n=n．∴不等式，即为，令，则，两式相减得，∴．由恒成立，即恒成立，又，故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；当n≥4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是．21．（12分）已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，a≥﹣2．（I）若a=0，求f（x）的单调区间；（II）讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）是否存在a，使得函数f（x）的图象在区间上与x轴相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=0时：f（x）=（xlnx+﹣1）e x，（x＞0）故f'（x）=（lnx+1+xlnx﹣1）e x=lnx（x+1）e x，当x=1时：f'（x）=0，当x＞1时：f'（x）＞0，当x＜1时：f'（x）＜0．故f（x）的减区间为：（0，1），增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）e x，令g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，故g'（x）=，g“（x）=﹣，显g''（1）=0，又当x＜1时：g''（x）＜0．当x＞1时：g''（x）＞0．故g'（x）min=g'（1）=2+a，∵a≥﹣2，∴g'（x）≥g'（x）min=2+a≥0．故g（x）在区间（）上单调递增，注意到：当x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在（）上的零点个数由g（）=（a﹣1）（a+1+）的符号决定．①当g（）≥0，即：﹣2或a≥1时：g（x）在区间（）上无零点，即f（x）无极值点．②当g（）＜0，即：﹣1﹣时：g（x）在区间（）上有唯一零点，即f（x）有唯一极值点．综上：当﹣2或a≥1时：f（x）在（）上无极值点．当：﹣1﹣时：f（x）在（）上有唯一极值点．（3）假设存在a，使得f（x）在区间（）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，由（2）可知：﹣1﹣时．不妨设极值点为x0，则有：…（*）同时成立．联立得：lnx0+a+1=0，即x代入（*）可得e﹣（a+1）+（a+1）﹣a2=0．令t=﹣（a+1），则t，h（t）=e t﹣t﹣（t+1）2，则h'（t）=e t﹣2t﹣3，h''（t）=e t﹣2，当t时，（∵）．故h'（t）在t上单调递减．又h'（﹣2）=e﹣2+1＞0，h'（）=．故h'（t）在t上存在唯一零点t0．即当t∈（﹣2，t0）时，h'（t）＞0，h（t）单调递增．当t时，h'（t ）＜0，h （t ）单调递减． 因为h （﹣2）=e ﹣2+1＞0，h'（）=．故h （t ）在t ∈（﹣2，t 0）上无零点，在t 上有唯一零点．由观察易得h （0）=0，故a +1=0，即：a=﹣1． 综上可得：存在唯一的a=﹣1使得f （x ）在区间（）上与x 轴相切．22．（10分）（Ⅰ）试证明柯西不等式：（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax +by ）2（x ，y ，a ，b ∈R ）；（Ⅱ）已知x 2+y 2=2，且|x |≠|y |，求的最小值．【解答】（Ⅰ）证明：左边=a 2x 2+a 2y 2+b 2x 2+b 2y 2，右边=a 2x 2+2abxy +b 2y 2， 左边﹣右边=a 2y 2+b 2x 2﹣2abxy=（ay ﹣bx ）2≥0，…（2分） ∴左边≥右边，命题得证．…（3分） （Ⅱ）解：令u=x +y ，v=x ﹣y ，则，∵x 2+y 2=2，∴（u +v ）2+（u ﹣v ）2=8，∴u 2+v 2=4，…（4分） 由柯西不等式得：，…（5分）当且仅当，即，或时…（6分）的最小值是1．…（7分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

黑龙江省牡丹江市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题. (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知全集 U=R，A={x|x＞﹣2}，B={x|x＞1}，则集合 A∩（∁UB）=（ ）A . {x|﹣2＜x＜1}B . {x|x≤1}C . {x|﹣2＜x≤1}D . {x|x＜﹣2}2. （2 分） (2016 高二上·船营期中) 下列命题错误的是（ ）A . 命题“若 x2+y2=0，则 x=y=0”的逆否命题为“若 x，y 中至少有一个不为 0，则 x2+y2≠0”B . 若命题 p：∃ x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀ x∈R，x2﹣x+1＞0 C . △ABC 中，sinA＞sinB 是 A＞B 的充要条件D . 若 p∧q 为假命题，则 p、q 均为假命题3. （2 分） 已知复数为纯虚数，其中 i 虚数单位，则实数 x 的值为（ ）A.－B. C.2 D.14. （2 分） (2017 高一下·景德镇期末) 为得到函数 y=cos（x+ ）的图象，只需将函数 y=sinx 的图象（ ）A . 向左平移 个长度单位B . 向右平移 个长度单位第 1 页 共 10 页C . 向左平移 个长度单位 D . 向右平移 个长度单位5. （2 分） (2017 高一下·承德期末) 已知数列{an}中，a1=2，当 n≥2 时， = 1，则 + +…+ 等于（ ）+n﹣1，设 bn= ﹣A.B.C. D.6. （2 分） (2018·山东模拟) 已知，A.B.C.D.,,则的大小关系为（ ）7. （2 分） 在中，若边长和内角满足， 则角 C 的值是（ ）A . 60B . 60 或 120C . 30D . 30 或 1508. （2 分） 在△ABC 中，若 a=7,b=3,c=8，则其面积等于（ ）A . 12第 2 页 共 10 页B. C . 28D.9. （2 分） 在中，若A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形,则是（ ）10. （2 分） (2020·鄂尔多斯模拟) 已知在平面直角坐标系中， 为坐标原点，，，若平面内点 满足，则 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.411. （2 分） 若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角的公差为（ ）A . 0°B . 15°C . 30°D . 45°12. （2 分） 函数的值域是（ ）A.第 3 页 共 10 页B.C. D.二、 填空题. (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高一下·枣庄期末) 已知平面向量，，若，则 的值为________．14. （1 分） (2018 高二上·济宁月考) 如果数列式________.的前 n 项和，则此数列的通项公15. （1 分） (2017 高二上·如东月考) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 ， 是一对相关曲线的焦点， 是它们在第一象限的交点，当 关曲线中椭圆的离心率是________．时，这一对相16. （1 分） (2016 高三上·枣阳期中) 已知函数 f（x）满足 f（5x）=x，则 f（2）=________．三、 简答题. (共 7 题；共 65 分)17. （15 分） (2017·抚顺模拟) 已知函数 f（x）=lnx﹣．（1） 若函数 f（x）在定义域内不单调，求实数 a 的取值范围；（2） 若函数 f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数 a 的取值范围；（3） 若 x1、x2∈R+，且 x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．18. （10 分） (2016 高一下·防城港期末) 已知向量 =（ f（x）= • ．sin ，1）， =（cos ，cos2 ），（1） 求函数 f（x）的解析式及其单调递增区间；（2） 将 f（x）的图象向右平移 成立，求实数 k 的取值范围．个单位长度得到 g（x）的图象，若 g（x）﹣k≤0 在区间[0，第 4 页 共 10 页]上恒19. （5 分） 已知数列 和 满足 a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*)，（n∈N*）. (1)求 与 bn ; (2）记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn ， 求 Tn. 20. （5 分） 已知向量 =（cosωx，sinωx）， =（cosωx， cosωx），其中 ω＞0，设函数 f（x）= • ． （1）若函数 f（x）的最小正周期是 π，求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若函数 f（x）的图象的一个对称中心的横坐标为 ， 求 ω 的最小值． 21. （10 分） (2016 高一上·闵行期中) 已知 a，b，c 都是正数， （1） 若 a+c=1，试比较 a3+a2c+ab2+b2c 与 a2b+abc 的大小；（2） 若 a2+b2+c2=1，求证：﹣≥3．22. （10 分） (2016 高三上·太原期中) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为（1） 求曲线 C1，C2 的直角坐标方程； （2） 已知点 P，Q 分别是线 C1，C2 的动点，求|PQ|的最小值．23. （10 分） (2017 高三上·辽宁期中) 已知函数，（1） 当时，求不等式的解集；（2） 若不等式的解集为空集，求实数 的取值范围.为 ．第 5 页 共 10 页一、 选择题. (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题. (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 6 页 共 10 页16-1、三、 简答题. (共 7 题；共 65 分)17-1、 17-2、17-3、第 7 页 共 10 页18-1、18-2、 19-1、20-1、第 8 页 共 10 页21-1、 21-2、22-1、 22-2、第 9 页 共 10 页23-1、 23-2、第 10 页 共 10 页。

高三学年上学期期中考试数学理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

） 1、314cosπ的值为（ ） A.21B. 21- C. 23 D. 23-2、 若函数⎩⎨⎧>≤+=1,lg 1,1)(2x x x x x f ，则=))10((f f （ ）A. 0B. 1C. 2D. 101lg 3、设集合{},,2)2(log 2N x x x A ∈<+=则集合A 的非空子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 34、已知平面向量,a b 满足3,2,a b a b ==与的夹角为60°，若(),a mb a -⊥则实数m 的值为（ ）. A.1B.32C. 2D. 3 5、在用数学归纳法证明等式)(212321*2N n n n n ∈-=-++++ 的第（ii ）步中，假设),1(*N k k k n ∈≥=时原等式成立，则当1+=k n 时需要证明的等式为（ ）A ．)1()1(22]1)1(2[)12(32122+-++-=-++-++++k k k k k kB ．)1()1(2]1)1(2[)12(3212+-+=-++-++++k k k kC ．)1()1(22]1)1(2[2)12(32122+-++-=-+++-++++k k k k k k kD ．)1()1(2]1)1(2[2)12(3212+-+=-+++-++++k k k k k6、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E O ,是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b BD a AC ==则AF =（ ） A.b a 2141+ B.b a 4121+ C. b a 3132+ D. b a 3231+7、已知数列{}n a 为等差数列，40,952==S a ，令na nb 2=，则当=n （ ）时，数列{}n b 的前n 项积最大.A. 10B. 10或11C. 11D. 11或12 8、已知函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的一条对称轴为直线12x π=，则要得到函数()f x 的图象（ ）A ．沿x 轴向左平移3πB ．沿x 轴向右平移3πC ．沿x 轴向左平移6πD ．沿x 轴向右平移6π倍 9、南北朝时，在466-484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给。

黑龙江省牡丹江市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是（）A . ｛1｝B . ｛｝C . ｛0，1｝D . ｛，0，1｝2. （2分）若a≠b，数列a，x1 ， x2 ， b和数列a，y1 ， y2 ， y3 ， b都是等差数列，则 =（）A .B .C . 1D .3. （2分） (2019高二上·拉萨期中) 如果，那么下列不等式中正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·南宁月考) 已知函数的图象在点处的切线斜率是，则此切线方程是（）A .B .C .D .5. （2分）把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为（）A . 4B .C .D . 26. （2分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得最小值时，点B 的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 无数个7. （2分）(2016·浙江文) 函数y=sinx2的图象是（）A .B .C .D .8. （2分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（1，3），C（2，2），对于△ABC（含边界）内的任意一点（x，y），z=ax+y的最小值为﹣2，则a=（）A . ﹣2B . -3C . -4D . -59. （2分） (2018高一下·河南月考) 已知 ,则（）A .B .C .D .10. （2分）在内，使的的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数,且函数y=f(x)-x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·湛江期中) 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）A . 或B . 或C . 或D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·汕头期中) 已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且 // ,则＝________14. （1分）已知，则当的值为________ 时取得最大值。

高三学年期中考试地理试题本卷共40小题。

1～30题每小题1分，31～40题每小题2分，共计50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

北京时间2015年11月15日9时50分牡丹江市第一高级中学高三地理学科期中考试正式开始。

监考教师在当天9时40分提前分发试卷,考试过程井然有序，据此完成1～3题。

1．监考老师在分发试卷时，西五区的时间为A．11月15日22时40分 B. 11月15日20时50分C．11月16日22时50分 D．11月14日20时40分2. 考试开始时，与牡丹江市地处同一天的日期范围约占全球的比例A．等于1/2 B．大于1/2 C．小于1/2 D．全球同在一天3.对进行地理学科期中考试当天的情况下面说法正确的是A.考试当天太阳直射点在南半球，并开始向北移动B. 74°S及其以南地区出现极昼现象C.我国舟山渔场进入墨鱼汛期D. 布宜诺斯艾利斯正值雨季右图是华北某地地形图，据图判断4～6题。

4．关于图示地区的说法正确的是A．气候四季分明，冬冷夏热B．耕地资源丰富C．是亚热带D．是湿润地区5．实际调查发现乙坡植物生长好于甲坡，其原因为乙坡的A．日照较强，辐射收入多B．蒸发较少，土壤水分条件较好C．气温较高，且日变化大 D．降水较多，水源充足6．若乙坡植被受破坏成为荒坡，则对其合理的开发整治措施是A．放牧山羊 B．种植喜阳的经济林木 C．修梯田，种植水稻 D．营造混交林名闻中外、品质优良的“响水大米”出产于宁安市渤海镇。

该水稻生长的土地为亿万年前形成的大面积玄武岩“石板地”。

石板上土壤的矿物质、有机质、微量元素含量极为丰富。

灌溉水源来自亚洲最大的高山堰塞湖——镜泊湖流出的牡丹江上游的优质水源。

由于“石板地”的石板在白天吸收了大量的热量，使“石板地”的地温、水温比一般稻田高出了2～3°c，在昼夜温差大的北方，形成了有利于水稻生长的自然环境，水稻吸收营养充分，成熟度极高。