中北大学概率统计习题册第八章完整答案(详解)
- 格式:doc
- 大小:276.00 KB
- 文档页数:4
第八章 假设检验【主要内容】一、显著性检验的基本思想为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断,首先对它们提出一个假设0H ,然后在0H 为真的条件下,通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件,若在一次试验中,小概率事件居然发生了,就完全有理由拒绝0H 的正确性,否则没有充分理由拒绝0H 的正确性,从而接受0H ,这就是显著性检验的基本思想。
二、假设检验的基本步骤1.由实际问题提出原假设0H (备选假设1H );2.选取适当的统计量,并在0H 为真的条件下确定该统计量的分布;3.根据问题的要求确定显著性水平α(一般题目中会给定),从而得到拒绝域;4.由样本观测值计算统计量的观测值,看是否属于拒绝域,从而对0H 作出判断。
三、两类错误当0H 本来是正确的,但检验后作出了拒绝0H 的判断,这种错误称为第一类错误,也称拒真错误;当0H 本来是不正确的,但检验后作出了接受0H 的判断,这种错误称为第二类错误,也称纳伪错误。
注:只对第一类错误加以控制,而不考虑第二类错误的假设检验,称为显著性检验。
四、单个正态总体的假设检验 1.μ的假设检验:设总体),(~2σμN X ,),,,(21n X X X 为来自X 的一个样本,显著性水平为α。
① 2σ已知时,对μ的假设检验:)1,0(~0N n X U σμ-=,(a )0100:,:μμμμ≠=H H ,(双边检验)0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>;(b )0010:,:H H μμμμ≤>,(单边检验)0H 的拒绝域为1{}W U u α-=>;(c )0010:,:H H μμμμ≥<,(单边检验)0H 的拒绝域为1{}W U u α-=<-。
②2σ未知时,对μ的假设检验:)1(~0--=n t n SX T μ,(a )0100:,:μμμμ≠=H H ,(双边检验)0H 的拒绝域为1/2{(1)}W T t n α-=>-;(b )0010:,:H H μμμμ≤>,(单边检验)0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=>-;(c )0010:,:H H μμμμ≥<,(单边检验)0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=<--。
第八章 假 设 检 验三、解答题1. 某种零件的长度服从正态分布,方差σ2 = 1.21,随机抽取6件,记录其长度(毫米)分别为32.46,31.54,30.10,29.76,31.67,31.23在显著性水平α = 0.01下,能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米? 解:这是单个正态总体均值比较的问题,若设该种零件的长度),(~2σμN X ,则需要检验的是:00:μμ=H 01:μμ≠H由于2σ已知,选取nX Z σμ0-=为检验统计量,在显著水平α = 0.01下,0H 的拒绝域为:}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α查表得 2.575829005.0=Z ,现由n =6, 31.1266711∑===ni i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ计算得:3.0581561.132.5-31.126670==-=nX z σμ005.0Z z >可知,z 落入拒绝域中,故在0.01的显著水平下应拒绝0H ,不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。
EXCEL 实验结果:2. 正常人的脉搏平均每分钟72次,某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下:54,67,68,78,70,66,67,65,69,70已知人的脉搏次数服从正态分布,问在显著水平α = 0.05下,“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异?解:这是单个正态总体均值比较的问题,若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数),(~2σμN X ,则需要检验的是:00:μμ=H 01:μμ≠H由于方差未知,选取ns X T 0μ-=为检验统计量,在显著水平α = 0.05下,0H 的拒绝域为:)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α查表得 2.26215716)9(025.0=t ,现由n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.155555611122∑==--=n i i x x n s , 计算得2.45335761035.1555556724.670=-=-=nsX t μ)9(025.0t t >可知,t 落入拒绝域中,故在0.05的显著水平下应拒绝0H ,“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。
第八章 假设检验【主要内容】一、显著性检验的基本思想为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断,首先对它们提出一个假设0H ,然后在0H 为真的条件下,通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件,若在一次试验中,小概率事件居然发生了,就完全有理由拒绝0H 的正确性,否则没有充分理由拒绝0H 的正确性,从而接受0H ,这就是显著性检验的基本思想。
二、假设检验的基本步骤1.由实际问题提出原假设0H (备选假设1H );2.选取适当的统计量,并在0H 为真的条件下确定该统计量的分布;3.根据问题的要求确定显著性水平α(一般题目中会给定),从而得到拒绝域;4.由样本观测值计算统计量的观测值,看是否属于拒绝域,从而对0H 作出判断。
三、两类错误当0H 本来是正确的,但检验后作出了拒绝0H 的判断,这种错误称为第一类错误,也称拒真错误;当0H 本来是不正确的,但检验后作出了接受0H 的判断,这种错误称为第二类错误,也称纳伪错误。
注:只对第一类错误加以控制,而不考虑第二类错误的假设检验,称为显著性检验。
四、单个正态总体的假设检验 1.μ的假设检验:设总体),(~2σμN X ,),,,(21n X X X Λ为来自X 的一个样本,显著性水平为α。
① 2σ已知时,对μ的假设检验:)1,0(~0N n X U σμ-=,(a )0100:,:μμμμ≠=H H ,(双边检验)0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>;(b )0010:,:H H μμμμ≤>,(单边检验)0H 的拒绝域为1{}W U u α-=>;(c )0010:,:H H μμμμ≥<,(单边检验)0H 的拒绝域为1{}W U u α-=<-。
②2σ未知时,对μ的假设检验:)1(~0--=n t n SX T μ,(a )0100:,:μμμμ≠=H H ,(双边检验)0H 的拒绝域为1/2{(1)}W T t n α-=>-;(b )0010:,:H H μμμμ≤>,(单边检验)0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=>-;(c )0010:,:H H μμμμ≥<,(单边检验)0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=<--。
第13次1在总体N (U 「2)中抽取样本 X !,X 2,X 3 (」已知,二2未知),指出X ! X 2 X 3,解 X 1 X 2 X 3 , X 2 2h , max(X 1 ,X 2,X 3) , |X 1—'X 31 是统计量2给定样本观测值92,94,103,105,106求样本均值和方差1解 X =丄(9294 103 105 106) =100 521 2 2 2 2 2S[(92 -100)(94 -100) (103-100)(105 -100) (106 -100)]5 -1=42.53在总体X ~ N(12,22)中随机抽取容量为 5的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率 2解 注意到 X~N (叫——)n - (2 丫有 X ~ N(12,)& 5丿13 _ 12 11 _ 12P{| X -12 | 1} =1 - P{11 :: X :: 13} =1 -[门( )一 门( 2 )]、5. 5=1一:门( )亠叫一 )=1一门()1一门()=0.26282 2 2 24 已知 X ~t(8),求(1)P{X 2.306},P{X <1.3968}(2)若 P{X }=0.01 求’解 (1)P{X 2.306} =0.025,P{ X ::: 1.3968} = P{ X 1.3968} = 1 - 0.1 = 0.9(2)P{X } =0.01= • - 2.89655 已知 X ~2(8),求(1)P{X 2.18},P{X :: 20.09}(2)若 P{X 「} =0.025求,(3)若 P{X :: } =0.95 求■ 解(1)P{X 2.18} =0.975,P{X :: 20.09} =1-P{X 20.09} = 1 -0.01 = 0.99(2) P{X •} =0.025 二,-17.534X 2 2」,max(X ,,X 2,X 3)|X i -X 3 I 哪些是统计量?2 2X iX 2 X2 3(3) P{X }=0.95 P{X . •} =0.05 二,-15.5076设总体X ~ N (3.2,62 3 4), X ,,X 2,...,X n 是X 的样本,则容量n 应取多大,才能使得P{1.2 :: X :: 5.2} _0.95P{1.2 :::X ::5.2}二仁5^尹)一讥违竺)凡(亍)一讥一亍)n= :.:,( □)_:「( 0) =2+(」)_1 _0.9533 3y' n Tn ::」()_ 0.975 1.96 n_ 34.5 7 4433所以n 最小为35第14次1从某正态总体 X 取得样本观测值:14.7,15.1,14.8,15.0, 15.2,14.6,用矩法估计总体均值」和方差c 2 解」-X =1(14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6) =14.96A —1-X21 n--------------------------- 2 1 2 2 2 匚 (X i -X) [(14.7—14.9)(15.1—14.9)(14.8—14.9)n i 总 6(15.0-14.9)2 (15.2 -14.9)2 (14.6 -14.9)2] =0.28X 乞1 2总体x 的密度为p(x) =1 飞,样本为X 1,X 2 ,...X n 求二的矩法估计量归 ex 〉11 3总体x 的密度为p (x )=1。
第八章试题一、单项选择题(本大题共l0小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设总体X 服从正态分布N (μ,1),x 1,x 2,…,x n 为来自该总体的样本,x为样本均值,s 为样本标准差,欲检验假设H 0∶μ=μ0,H 1∶μ≠μ0,则检验用的统计量是( ) A.n/s x 0μ- B.)(0μ-x n C.10-μ-n /s xD.)(10μ--x n答案:B2.设总体X~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X n 为来自该总体的一个样本,X为样本均值,S 2为样本方差.对假设检验问题:H 0:μ=μ0↔H 1:μ≠μ0,在σ2未知的情况下,应该选用的检验统计量为( ) A .nX σμ0- B .1--n X σμ C .nSX 0μ-D .1--n SX μ答案:C3.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是( ) A .在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率B .在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率C .在H 0成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率D .在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 答案:C4.设总体X~N (μ,σ2),σ2未知,X为样本均值,S n 2=n1∑=-n1i iXX()2,S 2=1n 1-∑=-n1i iXX()2,检验假设H 0:μ=μ0时采用的统计量是( ) A .Z=n/X 0σμ- B .T=n/S X n 0μ- C .T=n/S X 0μ-D .T=n/X 0σμ-答案:C4. .对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受H0:μ=μ0,那么在显著水平0.01下,下列结论中正确的是( )A.必接受H0B.可能接受H0,也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.不接受,也不拒绝H0答案:A二、填空题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
第八章 假设检验部分习题解答2~(32.05,1.1)6cm 32.5629.6631.6430.0031.8731.0332.050.050.01.N ξαα==已知某种零件的长度,现从中抽查件,测得它们的长度(单位:)为:,,,,,试问这批零件的平均长度是否就是厘米?检查使用两个不同的显著性水平:,0011:32.05.~(0,1)1,.6,31.03)31.127.H N n U u µµξα==<−=+=解:()提出假设,),计算将以上数据代入得观察值/20.02510/20.005102.056.(5)0.05 1.96,|| 2.056 1.96,0.05;0.01 2.58,|| 2.58,0.01u u u H u u u H αααααα=−====>====<=作出判断。
当时,因而时,拒绝当时,因而时,接受。
0(,1)100 5.32:50.01N H µξµα===从正态总体中抽取个样品,计算得,试检验是否成立(显著性水平)?00/2/201/20.01: 5.(2)(3),(||)1.(4) 5.32.3.250.01H u P U u U u u u αααµµξαµα==<=−=======解:()提出假设,使求观察值。
已知将以上数据代入得观察值()作出判断。
当时,0510 2.58,|| 2.58,0.01u H α=>=因而时,拒绝。
26.~(100,1.2)999.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5.0.05(1)2N g ξα=某公司用自动灌装机灌装营养液,设自动灌装机的正常灌装量,现测量支灌装样品的灌装量(单位:)为,,,,,,,,问在显著性水平下,灌装量是否符合标准?()灌装精度是否在标准范围内?001/20.0251():100.()~(0,1)()1,.()9,0.05.0.05 1.i H ii N iii iv n u v u u αµµξααα==−<−==−===解:()提出假设,)()作出判断。
《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本,假设X服从参数为兄的指数分布,⼏未知,给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵",使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F": (2/1)) => (/2 > /; (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z;(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶):,,,,,。
设零件尺⼨服从正态分布,问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设:“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘,即不能认为平均尺⼨是亳⽶。
3. 设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本,计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下,能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。
解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100⼀叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件,要求其使⽤寿命不低于1000⼩时,现在从这批元件中任取25件,测得其寿命平均值为950⼩时,已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布,问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“,IO。
习题8-11.填空题(1) 假设检验易犯的两类错误分别是____________和__________.解第一类错误(弃真错误); 第二类错误(取伪错误).(2) 犯第一类错误的概率越大, 则右侧检验的临界值(点)越_____, 同时犯第二类错误的概率越_____.解小, 小.2. 已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布(,1)Nμ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm. 求:(1) 取显著性水平α=0.05时, 均值μ的双侧假设检验的拒绝域;(2) μ的置信水平为0.95的置信区间;(3) 问题(1)和(2)的结果有什么关系.解(1) 计算得到拒绝域为(-∞, 39.51)∪(40.49, +∞).(2) 已知x=40, σ =1,α = 0.05, 查表可得0.02521.96,z zα==所求置信区间为22()(40 1.96,40 1.96),x z x zαα+=-(39.51,40.49).=(3) 对于显著性水平α=0.05, μ的双侧假设检验的接受域恰为μ的置信水平为0.95的置信区间.习题8-21.填空题(1) 设总体2~(,)X Nμσ,12,,,nX X X是来自总体X的样本. 对于检验假设H:μμ=(μμ≥或μμ≤), 当2σ未知时的检验统计量是,H为真时该检验统计量服从分布; 给定显著性水平为α, 关于μ的双侧检验的拒绝域为, 左侧检验的拒绝域为, 右侧检验的拒绝域为__________.解Xt=; 自由度为n-1的t分布;2t tα…;t tα-…;t tα….2. 统计资料表明某市人均年收入服从2150μ=元的正态分布. 对该市从事某种职业的职工调查30人, 算得人均年收入为2280x=元, 样本标准差476s=元. 取显著性水平0.1, 试检验该种职业家庭人均年收入是否高于该市人均年收入?解由于总体方差未知, 故提出假设H0:μ≤μ0=2150; H1:μ>μ0.对于α=0.1,选取检验统计量X t =拒绝域为t >)1(-n t α=t 0.1(29)=1.3114.代入数据n =30, x =2280, s =476, 得到4959.130476215022800=-=-=n s x t μ>1.3114.所以拒绝原假设, 可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入.3. 从某种试验物中取出24个样品,测量其发热量, 算得平均值11958, 样本标准差316s =.设发热量服从正态分布. 取显著性水平α=0.05, 问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100?解 提出假设 H 0: μ=μ0=12100; H 1:μ≠μ0 .对于α=0.05,选取检验统计量X t =, 拒绝域为|t |>)1(2-n t α=t 0.025(23)=2.0687代入数据n =24, x =11958, s =316, 得到|| 2.20144x t ===>2.0687.所以拒绝原假设, 不能认为该试验物发热量的期望值为12100.4.从某锌矿的东西两支矿脉中, 各抽取容量分别为9和8的样品, 计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别为:东支: 0.230,x =2110.1337,9;n s ==西支: 0.269,y =2220.1736,8s n ==.假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布. 取显著性水平0.05α=, 问能否认为两支矿脉的含锌量相同?解 提出假设 H 0:μ1-μ2=0 ; H 1: μ1-μ2≠0.已知α=0.05, 210.230,0.1337x s ==, 220.269,0.1736y s ==,129,8,n n ==选取检验统计量X Y t =, 22112212(1)(1)2w n S n S S n n -+-=+-,拒绝域为|t |>120.0252(2)(15) 2.1315.t n n t α+-==因为2222112212(1)(1)(91)0.1337(81)0.17360.392982wn s n s s n n -+--⨯+-⨯===+-+-,||0.2058x y t ===<2.1315,所以不能拒绝原假设, 可以认为两支矿脉的含锌量相同.习题8-3一、 填空题1. 设总体2~(,)X N μσ, 12,,,n X X X 是来自总体X 的样本, 则检验假设0H :220σσ=(220σσ≥或220σσ≤), 当μ未知时的检验统计量是 , 0H 为真时该检验统计量服从 分布; 给定显著性水平α, 关于σ2的双侧检验的拒绝域为 , 左侧检验的拒绝域为 , 右侧检验的拒绝域为__________.解 2220(1)n S χσ-=; 2(1)n χ-; 2212(1)n αχχ--≤或222(1)n αχχ-≥;221(1)n αχχ--≤;22(1)n αχχ-≥. 2. 为测定某种溶液中的水分, 由它的10个测定值算出样本标准差的观察值0.037s =%. 设测定值总体服从正态分布, 2σ为总体方差, 2σ未知. 试在0.05α=下检验假设0:0.04H σ≥%; 1:0.04H σ<%.解 只需考虑假设 022:0.04)%H ≥(σ; 122:(0.04)%H <σ . 对于α=0.05, 选取检验统计量2220(1)n S χσ-=, 拒绝域为22210.95(1)(9) 3.325n αχχχ--==≤.代入数据10=n ,220(0.04%)=σ, s 2=(0.037%)2, 计算得到222220(1)(101)(0.037%)(0.04%)n S --⨯==χσ=7.701>3.325,不落在拒绝域内,所以在水平α=0.05下接受H 0, 即认为σ≥0.04%.3. 有容量为100的样本, 其样本均值观察值 2.7x =, 而10021225()i i x -x ==∑.试以0.01α=检验假设H 0: σ2=2.5.解 提出假设 2201: 2.5;: 2.5.H H σσ=≠对于α=0.01, 选取检验统计量2220(1)n S χσ-=, 拒绝域为22220.9950.995121(1)(99)(2n z αχχχ--=≈+≤=65.67,或22220.0050.00521(1)(99)(2n z αχχχ-=≈≥=137.96.代入数据n =100, 2(1)225,n s -=得到2220(1)2252.5n s χσ-===90.因为65.67<90<137.96, 即χ2的观察值不落在拒绝域内, 所以在水平α=0.01下接受H 0, 即认为σ2=2.5.习题8-41..试在显著性水平α=0.025下检验H 0: X 的概率密度2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它解 因为22/4(1)/41(1){}2,4416i i i i i i i p P X x x ----=<==⎰≤d i =1, 2, 3, 4.待检假设 02,01,:()0,.x x H X f x <<⎧=⎨⎩ 其它列计算表如表8-1所示, 算得2421() 1.83.i i i if np npχ=-==∑表8-1 第1题数据处理查表知20.025(3)9.348,χ= 经比较知220.0251.83(3)9.348,χχ=<=故接受H 0, 认为X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它2. 在显著性水平α=0.05下, 检验这枚骰子是否均匀.解 用X 表示骰子掷出的点数, P {X =i }=p i , i =1, 2, …, 6. 如果骰子是均匀的, 则p i =16, i =1, 2, …, 6. 因此待检假设01:6i H p =, i =1, 2, …, 6. 计算检验统计量221()ni i i if np np χ=-=∑的值, 得2222222100100100[(13)(14)(20)666100100100100(17)(15)(21)]66663.2.χ=-+-+-+-+-+-÷=查表知20.05(61)11.071,χ-= 经比较知220.053.2(5)11.071,χχ=<= 故接受H 0, 认为骰子是均匀的.。
第八章试题答案概率论与数理统计第八章试题一、单项选择题(本大题共l0小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设总体X 服从正态分布N (μ,1),x 1,x 2,…,x n 为来自该总体的样本,x为样本均值,s 为样本标准差,欲检验假设H 0∶μ=μ0,H 1∶μ≠μ0,则检验用的统计量是()A.n/s x 0μ- B.)(0μ-x n C.10-μ-n /s xD.)(10μ--x n答案:B2.设总体X~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X n 为来自该总体的一个样本,X为样本均值,S 2为样本方差.对假设检验问题:H 0:μ=μ0?H 1:μ≠μ0,在σ2未知的情况下,应该选用的检验统计量为() A .nμ0- B .1--n X σμ C .nSX 0μ-D .1--n SX μ答案:C3.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是() A .在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率B .在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率C .在H 0成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率D .在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率答案:C4.设总体X~N (μ,σ2),σ2未知,X为样本均值,S n 2=n1∑=-ni iXX()2,S 2=1n 1-∑=-n1i iXX()2,检验假设H 0:μ=μ0时采用的统计量是() A .Z=n/X 0σμ- B .T=n/S X n 0μ- C .T=n/S X 0μ-D .T=n/X 0σμ-答案:C4. .对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受H0:μ=μ0,那么在显著水平0.01下,下列结论中正确的是( )A.必接受H0B.可能接受H0,也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.不接受,也不拒绝H0答案:A二、填空题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水,其含碳量(%)分别为问若标准差不改变,总体平均值有无显著性变化(α=)【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0,认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量(%)经测定为:设含镍量服从正态分布,问在α=下能否接收假设:这批矿砂的含镍量为.【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0,认为这批矿砂的含镍量为.3. 在正常状态下,某种牌子的香烟一支平均1.1克,若从这种香烟堆中任取36支作为样本;测得样本均值为(克),样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟(支)的重量(克)近似服从正态分布(取α=).【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35) 2.0301.H H n t n t n x s x t t t αμμμμα==≠===-=========<=所以接受H 0,认为这堆香烟(支)的重要(克)正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时,标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池,得到它们的寿命(以小时计)为19,18,20,22,16,25,问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地服从正态分布(取α=).【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5) 1.267,2.91.65.H H n z x x z z z μμμασ≥<======-===->-=- 所以接受H 0,认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分,从它的10个测定值得出x =(%),s =(%).设测定值总体为正态,μ为总体均值,σ为总体标准差,试在水平α=下检验.(1) H 0:μ=(%);H 1:μ<(%).(2)0:H σ' =(%);1:H σ'<(%). 【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5) 4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n t x s x t t t αμα===-====-===-<-=-所以拒绝H 0,接受H 1.(2)2222010.95222220220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).n x s n s ασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H 0,拒绝H 1.6.某种导线的电阻服从正态分布N (μ,).今从新生产的一批导线中抽取9根,测其电阻,得s =欧.对于α=,能否认为这批导线电阻的标准差仍为【解】00102222/20.0251/20.975222220.025220:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H H n s n s αασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===> 故应拒绝H 0,不能认为这批导线的电阻标准差仍为.7.有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:第一批棉纱样本:n 1=200,x =0.532kg, s 1=0.218kg ;第二批棉纱样本:n 2=200,y =0.57kg, s 2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布,方差未知但相等,两批强度均值有无显著差异(α=【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0,认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ,B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析,得到样本方差分别为(%2)与(%2).若A ,B 所得的测定值的总体都是正态分布,其方差分别为σA 2,σB 2,试在水平α=下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠ 【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0,拒绝H 1.9~12. 略。
第一章 随机事件与概率1、〔1〕{3,4,,18}Ω=,{4,6,,18}A =;〔2〕Ω={〔正,反〕,〔正,正〕,〔反,正〕,〔反,反〕},B ={〔正,反〕,〔正,正〕}。
2、〔1〕表示三门炮中至少有一门炮击中目标 〔2〕表示三门炮中至少有两门炮击中目标 〔3〕表示三门炮都击不中目标〔4〕表示三门炮中至少有一门击不中目标 或表示三门炮中至多有两门炮击中目标 〔5〕ABC ABC ABC ++ 〔6〕ABC ABC ABC ++ 〔7〕ABC〔8〕A B C ++ 3、〔1〕18〔2〕16 〔3〕724〔4〕344、m n5、〔1〕0.00539〔2〕0.037956、⑴1221146252212P C C C C C C ==3316 〔2〕33177、8541999n n nn n n --+8、172510、〔1〕0.2; 〔2〕0.4; 〔3〕0.8; 〔4〕0.7。
12、178013、2112mm M m m C C C C -+或222mM M mC C C -- 14、〔1〕22p p +;〔2〕21p p +;〔3〕2322p p -15、(1) 512〔2〕82517、设A =“甲机床需要看管〞;B =“乙机床需要看管〞;C =“丙机床需要看管〞;A B C 、、相互独立, 〔1〕0.003;18、独立 19、20、 (1) D ; (2) D ; (3) C ; (4) B 21、(提示:先求出击不沉的概率)1283/1296 22、150010.9980.95-≈第二章 随机变量与其概率分布2、〔1〕17C =;〔2〕67。
3、〔1〕0,11/3,14()1/2,465/6,6101,10x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2){26}P X <≤12=;{4}P X <13=;{15}P X ≤<12=。
《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1.设12,,,n X X X L 是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布,λ未知,给定00λ>和显著性水平(01)αα<<,试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域.解 00:H λλ≥ 选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑%则22~(2)n χχ%,对于给定的显著性水平α,查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ,使22((2))P n αχχα≥=% 因 22χχ>%,所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥%,从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥% 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2.某种零件的尺寸方差为21.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):, , , , , 。
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是毫米(0.05α=).解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =,因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ,即不能认为平均尺寸是毫米。
3.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=,今抽了一个容量为26的样本,计算平均值1580,问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。
解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-,其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ,即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600.4.一种元件,要求其使用寿命不低于1000小时,现在从这批元件中任取25件,测得其寿命平均值为950小时,已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布,问这批元件是否合格(0.05α=)解 设元件寿命为X ,则2~(,100)X N μ,问题是检验假设0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-,其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格.5.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=解 问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<= 所以接受0H ,即可以认为这批矿砂的镍含量为.6.糖厂用自动打包机打包,每包标准重量为100公斤,每天开工后要检验一次打包机工作是否正常,某日开工后测得9包重量(单位:公斤)如下:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05α=;已知包重服从正态分布)解 99.98X =,92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑, 1.21S =,问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ,即该日打包机工作正常.7.按照规定,每100克罐头番茄汁中,维生素C 的含量不得少于21毫克,现从某厂生产的一批罐头中抽取17个,测得维生素C 的含量(单位:毫克)如下22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1.设12,,,n X X X 是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布,λ未知,给定00λ>和显著性水平(01)αα<<,试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑则22~(2)n χχ,对于给定的显著性水平α,查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ,使22((2))P n αχχα≥=因 22χχ>,所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥,从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥ 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2.某种零件的尺寸方差为21.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05α=).解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =,因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ,即不能认为平均尺寸是32.5毫米。
3.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=,今抽了一个容量为26的样本,计算平均值1580,问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。
解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-,其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ,即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600.4.一种元件,要求其使用寿命不低于1000小时,现在从这批元件中任取25件,测得其寿命平均值为950小时,已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布,问这批元件是否合格?(0.05α=)解 设元件寿命为X ,则2~(,100)X N μ,问题是检验假设0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-,其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格.5.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=?解 问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=所以接受0H ,即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.6.糖厂用自动打包机打包,每包标准重量为100公斤,每天开工后要检验一次打包机工作是否正常,某日开工后测得9包重量(单位:公斤)如下: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05α=;已知包重服从正态分布)?解 99.98X =,92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑, 1.21S =,问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ,即该日打包机工作正常.7.按照规定,每100克罐头番茄汁中,维生素C 的含量不得少于21毫克,现从某厂生产的一批罐头中抽取17个,测得维生素C 的含量(单位:毫克)如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案1.设某产品指标服从正态分布,它的均方差σ已知为150h ,今从一批产品中随机抽查26个,测得指标的平均值为1637h .问在5%的显著性水平,能否认为这批产品的指标为1600h ?解:总体X ~)150,(2μN ,检验假设为0H :1600=μ,1H :1600≠μ.采用U 检验法,选取统计量nX U /00σμ-=,当0H 成立时,U ~)1,0(N ,由已知,有1637=x ,26=n ,05.0=α,查正态分布表得96.1025.0=u ,该检验法的拒绝域为}96.1{>u .将观测值代入检验统计量得2577.142.293726/150********==-=u ,显然96.12577.1<=u ,故接受0H ,即可认为这批产品的指标为1600h .2.正常人的脉搏平均为72次/min ,现某医生从铅中毒患者中抽取10个人,测得其脉搏(单位:次/min)如下:54,67,68,78,70,66,67,70,65,69设脉搏服从正态分布,问在显著性水平05.0=α下,铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异?解:本题是在未知方差2σ的条件下,检验总体均值72=μ.取检验统计量为nS X T /0μ-=,检验假设为0H :720==μμ,1H :72≠μ.当0H 成立时,T ~)1(-n t ,由已知,有4.67=x ,93.5=s ,05.0=α,查t 分布表得262.2)9(025.0=t ,将观测值代入检验统计量得45.288.16.410/93.5724.67/0-=-=-=-=n s x t μ,显然)9(262.2447.2025.0t t =>=,故拒绝0H ,即铅中毒患者与正常人的脉搏有显著性差异.3.测定某溶液中的水分,得到10个测定值,经统计%452.0=x ,22037.0=s ,该溶液中的水分含量X ~),(2σμN ,μ与2σ未知,试问在显著性水平05.0=α下该溶液水分含量均值μ是否超过5%?解:这是在总体方差2σ未知的情况下,关于均值μ的单侧检验.检验假设为0H :%5.0≤μ,1H :%5.0>μ.此假设等价于检验假设0H :%5.0=μ,1H :%5.0>μ.由于2σ未知,取检验统计量为nS X T /0μ-=.当0H 成立时,T ~)1(-n t ,拒绝域为)}1(/{0-≤-n t n s x αμ,将观测值代入检验统计量得709.1)5.052.0(10/0=-=-=ns x t μ,由05.0=α,查t 分布表得833.1)9(05.0=t ,显然)9(833.1709.105.0t t =<=,所以接受0H ,即该溶液水分含量均值μ是否超过5%.4.甲、乙两个品种作物,分别用10块地试种,产量结果97.30=x ,79.21=y ,7.2621=s ,1.1222=s .设甲、乙品种产量分别服从正态分布),(21σμN 和),(22σμN ,试问在01.0=α下,这两种品种的产量是否有显著性差异?解:这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题.检验假设为0H :21μμ=,1H :21μμ≠.由题可知,22221σσσ==未知,因此取检验统计量nm n m mn S n S m YX T +-+-+--=)2()1()1(2221,当0H 为真时,T ~)2(-+n m t ,该检验法的拒绝域为)}2({2/-+>n m t t α.由题设,10==n m ,97.30=x ,79.21=y ,7.2621=s ,1.1222=s .将其代入检验统计量得n m n m mn S n S m yx t +-+-+--=)2()1()1(222166.4201810101.1297.26979.2197.30=⨯⨯⨯+⨯-=,由01.0=α,查t 分布表得878.2)18()2(005.02/==-+t n m t α.显然)18(878.266.4005.0t t t =>=,因此,拒绝0H ,即这两种品种的产量有显著性差异.5.某纯净水生产厂用自动灌装机装纯净水,该自动灌装机正常罐装量X ~)4.0,18(2N ,现测量某厂9个罐装样品的灌装量(单位:L)如下:0.18,6.17,3.17,2.18,1.18,5.18,9.17,1.18,3.18在显著性水平05.0=α下,试问:(1)该天罐装是否合格?(2)罐装量精度是否在标准范围内?解:(1)检验罐装是否合格,即检验均值是否为18,故提出假设0H :18=μ,1H :18≠μ,由于方差224.0=σ已知,取检验统计量为nX U /00σμ-=,当0H 为真时,U ~)1,0(N ,该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≥.由题可知,9=n ,18=x ,将其代入检验统计量得09/4.01818/00=-=-=n x u σμ,由05.0=α,查标准正态分布表得96.1025.0=u ,显然,025.096.10u u =<=,故接受0H ,即该天罐装合格.(2)检验罐装量精度是否在标准范围内,即检验假设0H :224.0≤σ,1H :224.0>σ,此假设等价于0H :224.0=σ,1H :224.0>σ.由于18=μ已知,选取检验统计量为∑=-=n i i X12202)18(1σχ,当0H 为真时,2χ~)(2n χ,该检验法的拒绝域为)}({22n αχχ≥.由已知计算得625.6)18(112202=-=∑=n i i x σχ,查2χ分布表得307.18)10(205.0=χ,由此知)10(307.18625.6205.02χχ=<=,故接受0H ,即罐装量精度在标准范围内.6.某厂生产某型号电池,其寿命长期以来服从方差221600h =σ的正态分布,现从中抽取25只进行测量,得222500h s =,问在显著性水平05.0=α下,这批电池的波动性较以往有无显著变化?解:这是在均值未知的条件下,对正态总体方差的检验问题.检验假设为0H :202σσ=,1H :202σσ≠,其中160020=σ,取检验统计量为222)1(σχS n -=.当0H 为真时,2χ~)(2n χ,对于给定的显著性水平,该检验法的拒绝域为)}1({22/12-≤-n αχχ或)}1({22/2-≥n αχχ.将观测值25002=s 代入检验统计量得5.371600250024)1(222=⨯=-=σχs n .对于05.0=α,查2χ分布表得401.12)24()1(2975.022/1==--χχαn ,364.39)24()1(2025.022/==-χχαn ,由于)24(364.395.37401.12)24(2025.022975.0χχχ=<=<=,故接受0H ,即这批电池的波动性较以往无显著变化.7.某工厂生产一批保险丝,从中任取10根试验熔化时间,得60=x ,8.1202=s ,设熔化时间服从正态分布),(2σμN ,在01.0=α下,试问熔化时间的方差是否大于100?解:本题是在均值未知的条件下,检验2σ是否大于100,是关于2σ的单侧检验问题.检验假设为0H :1002≥σ,1H :1002<σ,此假设等价于0H :1002=σ,1H :1002<σ,这是左侧检验问题,取检验统计量为2022)1(σχS n -=,当0H 为真时,2χ~)(2n χ,该检验法的拒绝域为)}1({212-≤-n αχχ.将10=n ,10020=σ,8.1202=s ,代入上述统计量得87.101008.1209)1(2022=⨯=-=σχs n .对于01.0=α,查2χ分布表得0879.2)9(299.0=χ,显然)9(0879.287.10299.02χχ=>=,接受0H ,即熔化时间的方差大于100.本题如果将检验假设设为0H :1002≤σ,1H :1002>σ,即进行右侧检验,统计量得选取如上,则该检验法的拒绝域为)}1({22-≥n αχχ.对于01.0=α,查2χ分布表得666.21)9(201.0=χ,显然)9(666.2187.10201.02χχ=<=,接受0H ,即熔化时间的方差不大于100.注:若选取的显著性水平为3.0=α,用MATLAB 计算得6564.10)9(23.0=χ,从而有)9(6564.1087.1023.02χχ=<=,则应拒绝原假设,即熔化时间的方差大于100.上述结果说明了在观测值接近临界值时,原假设不同的取法会导致检验结果的不一样,如果用-p 值检验法则可避免上述矛盾.8.设有两个来自不同正态总体的样本,4=m ,5=n ,60.0=x ,25.2=y ,07.1521=s ,81.1022=s .在显著性水平05.0=α下,试检验两个样本是否来自相同方差的总体?解:记两正态总体为),(211σμN 和),(222σμN ,其中1μ和2μ未知.检验假设为0H :2221σσ=,1H :2221σσ≠.取检验统计量为2221S S F =,当0H 为真时,F ~)1,1(--n m F ,该检验法的拒绝域为)}1,1({2/1--≤-n m F F α或)}1,1({2/--≥n m F F α.由题可知,05.0=α,4=m ,5=n ,将观测值代入检验统计量得39.181.1007.152221===s s F ,查F 分布表得98.9)4,3()1,1(025.02/1==---F n m F α,066.010.151)3,4(1)4,3()1,1(025.0975.02/====--F F n m F α.由此知)4,3(98.939.1066.0)4,3(025.0975.0F F =<<=,观测值没有落入拒绝域内,接受0H ,即两个样本来自相同方差的总体.9.某厂的生产管理员认为该厂第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的平均等待时间超过90min .现对100件产品的随机抽样结果的平均等待时间为96min ,样本标准差为30min .问抽样的结果是否支持该管理员的看法?(05.0=α).解:这是非正态总体均值的检验问题,用X 表示第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的等待时间,设其均值为μ,依题意,检验假设为0H :90≤μ,1H :90>μ.由于100=n 为大样本,故用U 检验法.总体标准差σ未知,用样本标准差S 代替.取检验统计量为100/90S X U -=,当0H 为真时,近似地有U ~)1,0(N ,该检验法的拒绝域为}{αu u >.由题可知,96=x ,30=s ,100=n .对于05.0=α,查标准正态分布表得645.105.0==u u α.将观测值代入检验统计量得2100/309096100/90=-=-=s x u ,显然,05.0645.12u u =>=,故拒绝0H ,即平均等待时间超过90分钟,也即支持该管理员的看法.10.一位中学校长在报纸上看到这样的报道:“这一城市的初中学生平均每周看8h 电视.”她认为她所领导的学校,学生看电视时间明显小于该数字.为此,她向学校的100名初中学生作了调查,得知平均每周看电视的时间5.6=x h ,样本标准差为2=s h ,问是否可以认为校长的看法是对的?(05.0=α)解:初中生每周看电视的时间不服从正态分布,这是非正态总体均值的假设检验问题.检验假设为0H :8=μ,1H :8<μ.由于100=n 为大样本,故用U 检验法,取检验统计量为nS X U /μ-=,当0H 为真时,近似地有U ~)1,0(N ,该检验法的拒绝域为}{αu u -<.由题可知,5.6=x ,2=s ,100=n .对于05.0=α,查标准正态分布表得645.105.0==u u α.将观测值代入检验算统计量得5.7100/285.6-=-=u ,显然,05.0645.15.7u u -=-<-=,故拒绝0H ,即初中生平均每周看电视的时间少于8小时,这位校长的看法是对的.11.已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布)(λE .抽查100个元件,得样本均值950=x h .能否认为参数001.0=λ?(05.0=α)解:X ~)(λE ,λ1)(=X E ,21)(λ=X D ,由中心极限定理知,当n 充分大时,近似地有n X n X U )1(/1/1-=-=λλλ~)1,0(N .由题可知001.00=λ,检验假设可设为0H :0λλ=,1H :0λλ≠.取检验统计量为n X n X U )1(/1/1000-=-=λλλ,当0H 为真时,近似地有U ~)1,0(N ,该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≤.由题知,100=n ,950=x ,05.0=α,查标准正态分布表知96.1025.02/==u u α.将观测值代入检验统计量得5.0-=u ,显然,025.096.15.0u u =<=,故接受0H ,即可以认为参数001.0=λ.12.某地区主管工业的负责人收到一份报告,该报告中说他主管的工厂中执行环境保护条例的厂家不足60%,这位负责人认为应不低于60%,于是他在该地区众多的工厂中随机抽查了60个厂家,结果发现有33家执行了环境保护条例,那么由他本人的调查结果能否证明那份报告中的说法有问题?(05.0=α)解:设执行环境保护条例的厂家所占的比率为p ,则检验假设为0H :6.0≥p ,1H :6.0<p ,上述假设等价于0H :6.0=p ,1H :6.0<p .引入随机变量⎩⎨⎧=.,0,,1条例抽到的厂家为执行环保例抽到的厂家执行环保条X 则X ~),1(p B ,p X E =)(,)1()(p p X D -=,由中心极限定理,当0H 为真时,统计量60/)6.01(6.06.0/)1(000--=--=X n p p p X U 近似地服从)1,0(N .对于显著性水平05.0=α,查标准正态分布表得645.105.0==u u α,由此可知05.0}645.160/)6.01(6.06.0{≈-<--X P .以U 作为检验统计量,该检验法的拒绝域为}645.1{05.0-=-<u u .将55.06033==x 代入上述检验统计量,得791.060/)6.01(6.06.055.0/)1(000-=--=--=n p p p x u ,显然,05.0645.1791.0u u -=->-=,故接受0H ,即执行环保条例的厂家不低于60%,也即由他本人的调查结果证明那份报告中的说法有问题.13.从选取A 中抽取300名选民的选票,从选取B 中抽取200名选民的选票,在这两组选票中,分别有168票和96票支持所选候选人,试在显著性水平05.0=α下,检验两个选区之间对候选人的支持是否存在差异.解:这是检验两个比率是否相等的问题,检验假设为0H :21p p =,1H :21p p ≠.取检验统计量为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m n p p p pU 11)ˆ1(ˆˆˆ21,其中)(1ˆ2121m n Y Y Y X X X mn p ++++++++= 是21p p p ==的点估计.当0H 为真时,近似地有U ~)1,0(N .由题可知300=n ,168=n μ,200=m ,96=m μ,又56.0300168ˆ1==p ,48.020096ˆ2==p ,528.0500264ˆ==++=m n p m n μμ.由此得统计量的观测值为755.11201472.0528.048.056.0=⨯⨯-=u ,由05.0)96.1(==>αU P ,得拒绝域为}96.1{>u ,因为96.1755.1<=u ,故接受0H ,即两个选区之间对候选人的支持无显著性差异.。
习题解答习题5.11.设样本值如下:15, 20, 32, 26, 37, 18, 19, 43计算样本均值、样本方差、2阶样本矩及2阶样本中心矩.解 由样本均值的计算公式,有()8111152032263718194326.2588i i x x ===⨯+++++++=∑由样本方差的计算公式,有()28211102.2181i i s x x==-=-∑由2阶样本矩的计算公式,有82211778.58i i a x ===∑由2阶样本中心矩的计算公式,有()2821189.448i i b x x==-=∑2. 设总体~(12,4)X N ,125(,,,)X X X 是来自总体X 的样本,求概率12345{max(,,,,)12}P X X X X X >.解 12345{m a x (,,,,)12}P X X X X X > []551311(0) 1()232=-Φ=-=3. 设总体X ~ P (λ),X 是容量为n 的样本的均值,求 ()E X 和 ()D X . 解 因总体X ~ P (λ),故有(),()E X D X λλ==,于是()()E X E X λ==()()D X D X n nλ== 4. 某保险公司记录的6n =起火灾事故的损失数据如下(单位:万元):1.86, 0.75, 3.21,2.45, 1.98, 4.12. 求该样本的经验分布函数.解 将样本观测值排序可得:0.75 1.86 1.98 2.45 3.21 4.12<<<<< 则经验分布函数为60, 0.751, 0.75 1.8661, 1.86 1.9831(), 1.98 2.4522, 2.45 3.2135, 3.21 4.1261, 4.12x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩5.求标准正态分布的上侧0.01分位数和上侧0.48分位数 .解 由题知,X ~ (0,1)N ,求X 的上侧α分位数. 即求u α使满足{}P X u αα>=得{}1P X u αα≤=-即()1u ααΦ=-取0.01α=,查标准正态分布表得上侧0.01分位数为0.01 2.33u u α==取0.48α=,查标准正态分布表得上侧0.48分位数为0.480.05u u α==习题5.21.设总体~(8,36)X N ,129(,,,)X X X 是取自总体X 的样本,X 是样本均值,求{|7|2}P X -< .解 因~(8,36)X N ,且样本容量9n =,故36~(8,), ~(8,4)9X N X N 即 ,于是 9858{|7|2}{59}()()22P X P X ---<=<<=Φ-Φ (0.5)( 1.5)(0.5)(1.5)10.69150.933210.6247=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2.设 2~(9)X χ ,求λ使其满足()0.95P X λ<=解 由()0.95P X λ<=,得()0.05P X λ≥=,因为2~(9)X χ,所以查表可得20.05(9)16.919λχ==3. 设总体~(0,1X N ,1210(,,,)X X X 是取自总体X 的样本,求2221210()E X X X+++及2221210()D X X X +++.解 由总体~(0,1)X N 可知~(0,1) (1,2,,10)i X N i =,且1210,,,X X X 相互独立,于是22221210()~(10)X X X χ+++故有2221210()10E X X X +++=2221210()21020D X X X +++=⨯=4. 设总体X ~ N (20 ,3),从中独立地抽取容量分别为10和15的两个样本,求它们的样本均值之差的绝对值大于0.3的概率.解 设这两个样本分别为1210,,,X X X 和1215,,,Y Y Y , 则对样本均值有101110i i X X ==∑ ~15131(20,),1015i i N Y Y ==∑~3(20,)15N依定理 X Y -~1(0,)2N ,所以{}0.3P X Y P ⎫->=>1P ⎫=-≤1=-ΦΦ(1210.6744⎡⎤=-Φ-=⎢⎥⎣⎦(查标准正态分布表可得)5.设X ~ t (12) ,(1) 求 a 使得()0.05P X a <=;(2)求 b 使得()0.99P X b >= 解 (1)由()0.05P X a <=利用t 分布的对称性可得()0.05P X a >-=,查表可得0.05(12) 1.7823 1.7823a t a -==⇒=-(2)由()0.99P X b >=得()0.01P X b ≤=,又由t 分布的对称性可得()0.01P X b >-=于是0.01(12) 2.6810 2.6810b t b -==⇒=-6.设~(8,12)X F ,求 λ 使得()0.01P X λ<=.解 由()0.01P X λ<= 得 ()0.99P X λ>=,于是查表可得0.990.0111(8,12)0.176(12,8) 5.67f f λ====习题5.31.设总体X ~ N (μ ,4),(X 1 ,X 2 ,… ,X 16)为其样本,2S 为样本方差,求: (1) P ()666.62<S ; (2) P ()865.4279.22<<S . 解 因为()221n S σ-~()21n χ-所以本题中2154S ~()215χ 则 (1) {}(){}22215156.666 6.6661524.997544P S P S P χ⎧⎫<=<⨯=<⎨⎬⎩⎭(){}211524.997510.050.95P χ=-≥=-=(2) {}221515152.279 4.865 2.279 4.865444P S P S ⎧⎫<<=⨯<<⨯⎨⎬⎩⎭(){}28.546251518.24375P χ=<<(){}(){}22158.546251518.24375P P χχ=>-≥0.900.250.65=-=2. 总体2~(0,)X N σ,1225(,,,)X X X 是总体X 的样本,2X S 和分别是样本均值和样本方差,求λ,使5()0.99XP Sλ<=. 解 根据抽样分布定理知5~(24)Xt S = 又由5()0.99XP Sλ<=得 5()0.01XP Sλ>= 故查表可得0.01(24) 2.4922t λ==3.设总体X ~ N (30 ,64),为使样本均值大于28的概率不小于0.9 ,样本容量n 至少应是多少?解 因为X ~(30,64)N , 所以样本均值X .~64(30,)N n因此X ()0,1N , 故{}{}28128P X P X >=-≤1X P ⎧⎫=-≤1⎛=-Φ ⎝0.9=Φ≥1.29,解得 27n ≥,所以n 至少应取27.*4.设总体X ~ N )16(1,μ 与总体Y ~ N )36(2,μ 相互独立,(X 1 ,X 2 ,… ,X 13)和(Y 1 ,Y 2 ,… ,Y 10)分别为来自总体X 和总体Y 的样本.试求两总体样本方差之比落入区间(0.159 ,1.058)内的概率.解 因为()221n S σ-~()21n χ-,所以本题中211216S ~()222912,36S χ~()29χ又因为21212222121291694936S S F S S ==~()12,9F 从而221122229990.159 1.0580.159 1.058444S S P P S S ⎧⎫⎧⎫<<=⨯<<⨯⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭(){}0.3577512,9 2.3805P F =<<0.85=(查F 分布表*5. 设从两个正态总体~(4,1)~(6,1)X N Y N 和中分别独立地抽取两个样本1219(,,,)X X X 和1216(,,,)Y Y Y ,样本方差分别为2212S S 和.求λ,使2122()0.5S P S λ<=.解 根据抽样分布定理可知2122~(18,15)S F S又由2122()0.05S P S λ<=可得2122()0.95S P S λ>=,于是查表可得0.950.0511(18,15)0.44(15,18) 2.27f f λ====*6.设总体X 与总体Y 相互独立,且都服从正态分布N (0 ,9),(X 1 ,X 2 ,… ,X 9)和(Y 1 ,Y 2 ,… ,Y 9)分别为来自总体X 和Y 的样本.试证明统计量T =∑∑==91291i ii iYX服从自由度为9的t 分布.证明 由正态分布的性质及样本的独立性知91ii X=∑~2(0,9)N得9119i i X =∑~(0,1)N 又因为i Y ~(0,9) (1,2,,9)N i =所以()22222291212913339Y Y Y Y Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭~()29χ由于两个总体X 和Y 是相互独立的,所以其相应的样本也是相互独立的,故 9119i i X =∑与92119i i Y =∑也相互独立,于是由t 分布的定义知991ii XX T ==∑∑ ~ ()9t综合练习五一、填空题1.设总体X 的一组样本观测值为1.4 ,2.3 ,1.8 ,3.4 ,2.7则样本均值 x= ( 2.32 ) ,样本方差 2s = ( 0.607 ) .2.设总体X 服从正态分布N (2 ,5),(X 1 ,X 2 ,… ,X 10)为其样本,则样本均值X 的分布为 ( 122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ).3.设总体X 服从具有n 个自由度的2χ 分布,(X 1 ,X 2 ,… ,X n )为其样本,X为样本均值,则有 ()( )E X n = ,()( 2 )D X = .4.设总体X ~ N (μ ,2σ),(X 1 ,X 2 ,… ,X n )为其样本,X 、2S 分别为样本均值和样本方差,则有 X ~( 2N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭,),22)1(σS n - ~(2(1)n χ- ),nSX μ- ~( t (n - 1) ).5.设总体X ~ N (1 ,4),(X 1 ,X 2 ,… ,X 5)为其样本,令T = 2543221)2()(X X X b X X a --+-则当a = (81 ) 、1()24b =时有T ~ 2χ(2) . 二、选择题1.设总体X ~ N (μ ,1),其中 μ 为未知参数,若(X 1 ,X 2 ,… ,X n )为来自总体X 的样本,则下列样本函数中( (b ) ) 不是统计量.(a )∑=ni i X1;(b )∑=-ni iX12)(μ ;(c) X 1 X 2 … X n ; (d )∑=ni i X12.2.设总体X ~ N (2 ,4),(X 1 ,X 2 ,… ,X 9)为其样本,X 为样本均值,则下列统计量中服从标准正态分布的是( (c ) ).(a ) X ; (b))2(43-X ; (c ))2(23-X ; (d ) )2(29-X . 3.设总体X ~ N (0 ,1),(X 1 ,X 2 ,… ,X 5)为其样本,令T = 2543221)(2)(3X X X X X +++则有T ~ ( (b ) ) .(a ) t (5) ; (b ) F (1 ,1) ; (c ) F (2 ,3) ; (d ) F (3 ,2) . 4.设总体X ~ N ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410,,(X 1 ,X 2 ,… ,X 5)为其样本,令T=则有T ~( (d ) ).(a ) t (1) ; (b ) t (2) ; (c ) t (3) ; (d ) t (4) . 5.设总体X ~ N (0 ,1),(X 1 ,X 2 ,… ,X n )为其样本,X 、2S 分别是样本均值和样本标准差,则 ( (c ) ) .(a ) n X ~ N (0 ,1): (b ) X ~ N (0 ,1); (c )∑=ni i X 12 ~ 2χ(n ) ; (d )SX~ t (n - 1) . 6.设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布,则 ( (c ) ) .(a ) Y X + 服从正态分布; (b ) 22Y X + 服从 2χ 分布;(c ) 2X 和 2Y 都服从 2χ 分布; (d )22Y X 服从F 分布.三、解答题1.设总体~(2,16)X N ,12(,,,)n X X X 是总体X 的样本,令2211n i i A X n ==∑,求2A 的数学期望2()E A .解 因为~(2,16)X N ,所以~(2,16) (1,2,,)i X N i n =,则有22()()()16420i i i E X D X E X =+=+= 于是22111()()2020n i i E A E X n n n===⨯⨯=∑2.设总体~(15,9),X N ,129(,,,)X X X 是总体X 的样本,X 是样本均值,.求常数c ,使()0.95.P X c ≤=解 根据抽样分布定理可知~(15,1)X N 又由()0.95P X c ≤=可得15()()0.951c P X c -≤=Φ= 查表可得15 1.645c -=,于是得16.645c =3.设一组数据20.5,15.5,30.2,20.5,18.6, 21.3,18.6,23.4来自于总体,X 求经验分布函数.解 将样本观测值排序可得:15.518.618.620.520.521.323.430.2<=<=<<< 则由定义可得经验分布函数为80, 15.51, 15.518.683, 18.620.585(), 20.521.386, 21.323.487, 23.430.081, 30.2x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩4.设总体X ~ N (0 ,4),(X 1 ,X 2 ,… ,X 9)为其样本.求系数a 、b 、c ,使得T = 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a ++++++++服从 2χ 分布,并求其自由度.解 由于129,,,X X X 相互独立且来自总体X ~(0,4)N ,则由正态分布的线性运算性质有12X X +~(0,8)N ,345X X X ++~(0,12)N ,6789X X X X +++~(0,16)N于是,由2χ分布与正态分布的关系,有()()()22212345678981216X X X X X X X X X T ++++++=++服从2χ(3)分布,因此111,,81216a b c ===,自由度为3。
第八章 假设检验
【主要内容】
一、显著性检验的基本思想
为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断,首先对它们提出一个假设0H ,然后在0H 为真的条件下,通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件,若在一次试验中,小概率事件居然发生了,就完全有理由拒绝0H 的正确性,否则没有充分理由拒绝0H 的正确性,从而接受0H ,这就是显著性检验的基本思想。
二、假设检验的基本步骤
1.由实际问题提出原假设0H (备选假设1H );
2.选取适当的统计量,并在0H 为真的条件下确定该统计量的分布;
3.根据问题的要求确定显著性水平α(一般题目中会给定),从而得到拒绝域;
4.由样本观测值计算统计量的观测值,看是否属于拒绝域,从而对0H 作出判断。
三、两类错误
当0H 本来是正确的,但检验后作出了拒绝
0H 的判断,这种错误称为第一类错误,也称
拒真错误;
当0H 本来是不正确的,但检验后作出了接受0H 的判断,这种错误称为第二类错误,也称纳伪错误。
注:只对第一类错误加以控制,而不考虑第二
类错误的假设检验,称为显著性检验。
四、单个正态总体的假设检验 1.μ的假设检验:
设总体),(~2
σμN X ,),,,(21n X X X 为来自X 的一个样本,显著性水平为α。
① 2
σ已知时,对μ的假设检验:
)1,0(~0
N n X U σμ-=
,
(a )0100:,:μμμμ≠=H H ,(双边检验)
0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>;
(b )0010:,:H H μμμμ≤>,(单边检验)
0H 的拒绝域为1{}W U u α-=>;
(c )0010:,:H H μμμμ≥<,(单边检验)
0H 的拒绝域为1{}W U u α-=<-。
②2
σ未知时,对μ的假设检验:
)1(~0
--=
n t n S
X T μ,
(a )0100:,:μμμμ≠=H H ,(双边检验)
0H 的拒绝域为1/2{(1)}W T t n α-=>-;
(b )0010:,:H H μμμμ≤>,(单边检验)
0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=>-;
(c )0010:,:H H μμμμ≥<,(单边检验)
0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=<--。
2.2
σ的假设检验:
①μ已知时,对2σ的假设检验:
∑=-=n
i i n X 1
220
2
)(~)(
χσμχ,
2
0212020:;:σσσσ≠=H H ,
0H 的拒绝域为
22
/21/2{()()}W n n ααχχχχ-=<>或。
②μ未知时,对2
σ的假设检验:
2
221
(
)~(1)n
i i X X
n χχσ=-=-∑,
2
0212020:;:σσσσ≠=H H ,
0H 的拒绝域为
2
2
/21/2{(1)(1)}W n n ααχχχχ-=<->-或;
五、两个正态总体的假设检验
设总体22
1122~(,),~(,)X N Y N μσμσ,
112(,,
)n X X X ,212(,,)n Y Y Y 分别为从总
体Y X ,中抽取的简单样本,且Y X ,相互独立,,显著性水平为α。
1.12μμ-的假设检验:
①当2
22
1,σσ已知时,对12μμ-的检验假设:
)1,0(~2
2
2121N n n Y
X U σσ+-=
211210:,:μμμμ≠=H H ,
0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>。
②当2
22
1,σσ未知,但2
22
1σ=σ时,对
12μμ
-的检验假设:
T =
12~(2)t n n +-
其中1
2
21
1
11()1n i i S X X n ==--∑, 2
2
221
21()1n i i S Y Y n ==--∑。
211210:;:μμμμ≠=H H ,
0H 的拒绝域为
1/212{(2)}W T t n n α-=>+-。
2.2
122
σσ的假设检验 ①当21,μμ均已知时,对2
122
σσ的假设检验:
2
101222
~(,)S F F n n S =,
其中1
221
11
11()n i i S X n μ==-∑,
2
2
2221
21()n i i S Y n μ==-∑。
2
221122210:;:σσσσ≠=H H ,
0H 的拒绝域为
0/21201/212{(,)(,)}W f F n n f F n n αα-=<>或;
②当21,μμ均未知时,对2
122
σσ的假设检验:
)1,1(~2122
2
10--=n n F S S
F ,
其中1
2
21
1
11()1n i i S X X n ==--∑, 2
2
221
21()1n i i S Y Y n ==--∑。
0H 的拒绝域为/212{(1,1)W f F n n α=<--
1/212(1,1)}f F n n α->--或。
【典型例题】
1.只对 加以控制,而不考虑 的检验,称为显著性检验。
2. 在假设检验中,当 时,会犯第一类错误; 当 时,会犯第二类错误。
3.要使得犯两类错误的概率同时减小,只有 。
4.从总体()2
σμ,N ~X 取一容量为100的样本,
测得72.x =,()225100
1
2=-∑=i i x x ,因为μ,2σ均
未知,在050.=α下,检验下列假设: (1)30=μ:H ;
(2)5.2:20=σH 。
5. 某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%)3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24 设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在01.0=α下能否接受假设:这批矿砂的镍含量的均值为3.25。
6. 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布)052.0,40.4(N ,现在测定了5炉铁水,其含
碳量为4.34 4.40 4.42 4.30 4.35
如果估计期望没有变化,可否认为现在生产之铁水含碳量方差为0.052(050.=α)?
7.一种燃料中的辛烷等级服从正态分布,其平均等级为98,标准差为0.8,今从一批新燃料中随机抽取25桶,算得样本的平均值为97.7,假定标准差与原来一样,问:新燃料油的辛烷平均等级是否比原燃料辛烷平均等级偏低(050.=α)?
8、设罐头番茄汁中VC(维生素C)含量服从正态分布,按照规定,VC 的平均含量不得少于21毫克。
现从一批罐头中随机地抽取了16罐,算得23=x ,2293.S =,问:这批罐头的VC 含量是否合格(050.=α)?
9.某林场采用两种方案作杨树育苗实验。
已知两种方案下苗高均服从正态分布。
标准差分别为182021=σ=σ,,现各抽取60颗树苗作样本,测得苗高34591.x =厘米,16492.x =厘米,试以95%的可靠性估计两种方案对杨树苗的高度有无影响?
10.两台机床加工同一种零件,分别取6个和9个零件测量其长度(单位:毫米),计算得
357034502
221.S ,.S ==,假定零件长度服从正态
分布,是否可以认为两台机床加工的零件尺寸的方差无显著差异(050.=α)?。