2013动点最值问题解法探析1

2013年中考数学复习专题讲座十二动点型问题（二）（双动点问题、考点四：因动点产生的最值问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点三：双动点问题动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.（一）以双动点为载体，探求函数图象问题例1（2012•荆门）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（填序号）．思路分析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB===4，∴cos∠ABE==，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB==，∴PF=PBsin∠PBF=t，∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，PQ=CD﹣PD=4﹣=，∵=，==，∴=，又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．（二）以双动点为载体，探求结论开放性问题例2（2012•广元）如图，在矩形ABCD中，AO=3，tan∠ACB=．以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒）（1）求直线AC的解析式；（2）用含t的代数式表示点D的坐标；（3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．思路分析：（1）在Rt△AOC中，已知AO的长以及∠ACB的正弦值，能求出OC的长，即可确定点C的坐标，利用待定系数法能求出直线AC的解析式．（2）过D作AO、OC的垂线，通过构建相似三角形来求出点D的坐标．（3）用t表示出OD、DE、OE的长，若△ODE为直角三角形，那么三边符合勾股定理，据此列方程求出对应的t的值．（4）根据（3）的结论能得到t的值，△ODE中，当OD⊥x轴或DE垂直x轴时，都不能确定“一条对称轴平行于y轴的抛物线”，余下的情况都是符合要求的，首先得D、E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式．解：（1）根据题意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，则A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：4k+3=0，k=﹣∴直线AC：y=﹣x+3．（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F、H，则有△ADF∽△DCH∽△ACO∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，DH=3﹣，HC=4﹣，∴D（，3﹣）．（3）CE=t，E（4﹣t，0），OE=OC﹣CE=4﹣t，HE=|CH﹣CE|=|（4﹣）﹣t|=|4﹣|则OD2=DH2+OH2=（3﹣）2+（）2=9t2﹣t+9，DE2=DH2+HE2=（3﹣）2+（4﹣）2=t2﹣38t+25，当△ODE为Rt△时，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，则（9t2﹣t+9）+（t2﹣38t+25）=（4﹣t）2①，或（9t2﹣t+9）+（4﹣t）2=t2﹣38t+25②，或（t2﹣38t+25）+（4﹣t）2=9t2﹣t+9③，上述三个方程在0≤t≤内的所有实数解为：t1=，t2=1，t3=0，t4=．（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即t3=0和t4=时，以Rt△ODE的三个顶点不能确定对称轴平行于y轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线．当t2=1时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0），所以设所求抛物线为y=ax2+bx，将点D、E坐标代入，求得a=﹣，b=，∴所求抛物线为：y=﹣x2+x（当t1=时，所求抛物线为y=﹣x2+x）．点评：本题主要考查了二次函数的应用、相似三角形的性质、勾股定理等重要知识；后面两问的难度较大，注意分类进行讨论．（三）以双动点为载体，探求存在性问题例3（2012•沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=﹣x2+mx+n 的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE 交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形外角性质，易证∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解；（4）本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标，要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比．如图④所示，首先证明点E为DF的中点，然后作x轴的平行线FN，则△EDG≌△EFN，从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE：NE；过点P作x轴垂线，可依次求出线段PT、PM的长度，从而求得点P的纵坐标；最后解一元二次方程，确定点P 的坐标．解：（1）如图①，∵A（﹣2，0）B（0，2）∴OA=OB=2，∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2，∵OC=AB∴OC=2，即C（0，2）又∵抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过A、C两点则可得，解得．∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2．（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，∴∠BEF=∠AOE．（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°在△EOF中，∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE=180°﹣45°﹣45°=90°又∵∠AOB=90°则此时点E于点A重合，不符合题意，此种情况不成立．②如图2，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°在△EOF中，∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF=180°﹣45°﹣45°=90°∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO，∴∠BEF=∠BAO=45°又∵由（2）可知，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO，∴BF=EF，EF=BF=OB=×2=1∴E（﹣1，1）③如图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H在△AOE和△BEF中，∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF∴△AOE≌△BEF，∴BE=AO=2∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，∴∠AOB=∠EHB∴EH∥AO，∴∠BEH=∠BAO=45°在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°∴EH=BH=BEcos45°=2×=∴OH=OB﹣BH=2﹣∴E（﹣，2﹣）综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（﹣1，1）或E（﹣，2﹣）．（4）假设存在这样的点P．当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（﹣，2﹣）．如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2﹣．由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF，过点F作FN∥x轴，交PG于点N．易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN =S△EDG，依题意，可得S△EPF =（2+1）S△EDG=（2+1）S△EFN，∴PE：NE=2+1．过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2﹣．∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=2+1，∴PT=（2+1）•ST=（2+1）（2﹣）=3﹣2；∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2，∴﹣x2﹣x+2=2，解得x1=0，x2=﹣1，∴P点坐标为（0，2）或（﹣1，2）．综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍；点P的坐标为（0，2）或（﹣1，2）．点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形、直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质等重要的知识点，难度较大．第（2）问注意分类讨论思想的应用，注意不要漏解；第（3）问中，将三角形面积之比转化为线段之比，这是解题的重要技巧，这是本题的难点．（四）以双动点为载体，探求函数最值问题例4（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=2．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x 轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．解：（1）令y=0，即﹣x2+x+2=0；解得x1=﹣，x2=2．∴C（﹣，0）、A（2，0）．令x=0，即y=2，∴B（0，2）．综上，A（2，0）、B（0，2）．（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2，0）在直线上，∴0=k1•2+2∴k1=﹣∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，∴OD=OA=2∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）．因为y=过点D，∴3=，∴k=3．（4）∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=2﹣t；=•（2﹣t）•t=﹣（t﹣2）2+；∴S△OPQ依题意有，解得0＜t≤4．∴当t=2时，S有最大值为．点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．考点四：因动点产生的最值问题因动点产生的最值问题与一般最值问题一样，一般都归于两类基本模型：1．归于函数模型 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性 确定某范围内函数的最大或最小值2．归于几何模型 这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中 线段最短”。

动点最值题精讲动点最值问题是数学中一个非常重要的问题，它表示了在动态变化中，某个参数随时间而变化时可能取到的最大或最小值。

在这个过程中，我们需要找到这个参数随时间变化的规律，并且计算出这个参数的最大最小值，这需要我们掌握动点最值问题的方法和技巧。

在本文中，我们将更深入地探讨这个问题，并提供几个常见的例子和解决方案。

1. 动点最值问题的基本原理动点最值问题在数学中的表现形式是，一个点 P 在过程中不断变化，变化规律可以表示为：X=f(t), Y=g(t)。

其中 X，Y 分别表示点 P 的横坐标和纵坐标，t 表示时间。

我们需要确定 t 的范围，然后求出 X 和 Y 的最小值和最大值。

解决这个问题的基本方法是通过求导数，在函数的关键点处判断函数的值。

由于我们要求的是最大最小值，所以我们需要找到 f(t) 和 g(t) 的导数。

求导可能比较复杂，但是十分必要。

我们将在下文中讨论如何求解动点最值问题的各个方面。

2. 解决动点最值问题的技巧我们将解决动点最值问题分为以下几个步骤。

第一步，使用物理学的方法。

从物理学（运动学）的角度分析问题，求出变化过程中的速度和加速度等参数。

这种方法适用于解决一个物体在直线或平面上运动的问题。

我们可以将问题抽象为一个物理学问题，然后使用速度和加速度的公式来解决问题。

第二步，使用数学方法。

这是更为常见的方法，也是本文的核心部分。

在这种情况下，我们需要找到一个函数来表示参数的变化过程，然后对该函数求导，找到关键点，最终确定最大最小值。

第三步，使用计算机方法。

现代计算机很擅长解决动点最值问题，因为它们能够计算复杂的函数和大量的数据。

我们可以使用计算机做出模拟，然后找到最大或最小点。

这种方法往往需要程序员或科学家具备一定的计算机技能。

第四步，使用统计学方法。

在某些情况下，使用统计学方法可能更好。

例如，当我们面对大量数据时，我们可以用统计方法来确定数据变化的趋势。

在这种情况下，我们可能使用回归方法或其他统计学方法来找到变化过程的规律，最终决定最大最小值。

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A 1+BC ．55 D ．52【答案】A 。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE====，∴OD 1。

故选A 。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM。

在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM ， ∴△BME≌△BMN（SAS ）。

中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。

④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。

①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

动点问题求最小值的做法思路
1、化动为静：将动点问题转化为静态的几何问题，简化问题，使解题过程更加直观和易于操作。

这种方法适用于多种动点问题，包括但不限于求最值问题。

2、构造比例线段：在某些特定的动点问题中，通过构造比例线段来求解是最直接有效的方法。

这种方法在解决阿氏圆最值模型等题目时尤为常见。

3、利用轴对称性质：初中数学中，利用轴对称的性质可以实现“搬点移线”，从而求解几何图形中的最值问题。

这种方法依赖于基本定理，如两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边等。

4、寻找线段的“替身”或“等比替身”：在解决双动点线段问题时，找到一个与原线段长度相等或成比例的线段作为替代，是解题的关键。

这种方法有助于简化问题，找到解决问题的突破口。

5、分类讨论：当动点问题存在多种可能性时，需要进行分类讨论，以确保不遗漏任何可能的情况。

这种方法适用于那些情况复杂、可能存在多种解法的问题。

6、建立直角三角形模型：在某些情况下，通过建立直角三角形模型并利用其性质（如勾股定理）来求解是最有效的策略之一。

这种方法特别适用于涉及圆和直线的问题。

7、动态规划：虽然动态规划主要用于解决算法问题，但其思想也可以应用于某些特定的动点最值问题中。

通过定义状态、计算转移方程和确定终止条件，可以有效地求解这类问题。

有限制条件的动点最值问题(一)有限制条件的动点最值问题1. 问题定义动点最值问题是指在一定的限制条件下，寻找函数在某个区间内的最大值或最小值。

有限制条件的动点最值问题则是在问题定义中增加了特定的限制条件，进一步限制了解的范围。

2. 相关问题线性约束下的动点最值问题在问题解决过程中，需要考虑线性约束条件给解的空间带来的限制。

例如，给定一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续, 在区间的两个端点上的函数值已知，求函数在该区间上的最大值或最小值。

非线性约束下的动点最值问题如果约束条件是非线性的，即给定的限制条件与 x 的关系不满足线性关系，代表了更加复杂的约束条件。

解决这类问题通常需要运用较为复杂的数学方法，如拉格朗日乘子法等。

多约束条件下的动点最值问题多约束条件下的动点最值问题通常指同时满足多个限制条件下的最优值。

这类问题的解决需要将多个约束条件转化为一个综合条件，从而求出最优解。

动点最大/最小值问题的实际应用动点最值问题在实际生活中有广泛的应用。

例如，在生产过程中确定某种材料的最佳用量，以达到最大效益；在投资过程中找到最佳的投资组合，以最大化收益等。

3. 解决方法解决有限制条件的动点最值问题通常需要采用数学方法进行求解，具体方法根据问题的特点选择。

其中，常见的解决方法包括但不限于：- 求导法：对给定的函数进行求导，寻找函数的极值点，从而得到最大/最小值。

- 极值判定法：通过判定函数在区间内各个端点处的值以及在极值点处的值来确定最值。

- 条件转化法：将给定的约束条件进行转化，使其成为易于计算的形式，再寻求最值。

4. 总结有限制条件的动点最值问题是求解函数在给定约束条件下的最大值或最小值。

针对不同的约束条件，采用不同的数学方法可以解决这类问题。

在实际应用中，有限制条件的动点最值问题能够辅助我们做出更优的决策，提高效益。

初中数学动点产生的最值问题专项讲解一、如图1,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图2,连接A、B与l的交点即为所求.图1 图2 图3 图4二、如图3,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图4,做点B关于直线l 的对称点B/,连接AB/与l的交点即为点P.因为A、B两点是固定的,所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小时,做法也是一样的.三、如图5,在直线l上找到两点EF(点E在点F的左侧),EF的距离是定值,使得AE+EF+FB最小.做法如图6,过A做AA'∥l且AA'=EF,做B关于直线l的对称点B′,连接A'B'与直线l的交点即为F,过A做A'F的平行线与直线l的交点即为点E 同样地,因为AB两点是固定的,所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时,也是用同样的方法图5 图6 图7 图8四、如图7,直线a与直线b平行,在直线a上找到一点A,过点A作直线b的垂线交于点B,如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短.做法如图8,做PD垂直直线b交直线a于点C,交直线b于点D,在PD上截取PECD,连接EQ,EQ与直线b的交点即为点B,过点B做直线a的垂线,交点即为点A,连接PA即可.这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题.五、如图9,在直线l上找到一点M,使得|MA-MB|最小;直线l上找到一点N,使|NA-NB|最大.做法如图10,做AB 的中垂线与直线l 相交,交点即为M 、此时|MA-MB|有最小值0.如图11,延长BA 与直线l 相交,交点即为N 、此时|NA-NB|有最大值为AB.图9 图10 图11六、如图12,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、OB 上找到一点N 使三角形PMN 的周长最小.做法如图13,分别作点P 关于QA 、OB 的对称点P1、P2,连接P1P2、与OA 的交点即为M,与OB 的交点即为N.此时,三角形PMN 的周长最短.图12 图13 图14 图15七、如图14,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、过点M 作AMN 垂直OB 交OB 于点N,使得PM+MN 的最小.做法如图15,作点P 关于OA 的对称点Q,做QN 垂直OB 于N 、则QN 与OA 的交点为M.八、如图16,在三角形ABC 中找到一点P,使得PA+PB+PC 最小.做法如图17,分别以AB 、BC 、AC 为边向外做等边三角形,连接AD 、BE 、CF 的交点就是符合条件的点P.lABlP2OOO图16 图17 图18 图19九、如图18,三角形ABC 是等腰直角三角形,C 是直角顶点、以C 为圆心,21AB 长为半径作圆,在⊙C 上找到一点P,使得PA+22PB 最短. 做法如图19,取BC 的中点D,连接AD,则AD 与⊙C 的交点即为P. 注:在⊙C 上任取一点P,连接PC,PB,∵CP CD =CB CP =22,且∠PCD=∠BCP ∴△PCD ∽△BCP ， ∴PD =22PB学思路铺垫已知:二次函数y=-2x 2+3x-23与直线y=x 交于A 、B 两点,点A 在点B 的左侧. (1)A 、B 两点的坐标分别是__________、(2)在y 轴上找到一点C,使得三角形ABC 的周长最小,则点C 的的坐标为_______ (3)若以M 为圆心的圆经过AB 两点,且圆心角AMB 是直角,请写出M 的坐标_____;若以M 为圆心,以2为半径作圆,在此圆上找到一个点P,使PA+22PB 最小,则此最小值为_____________，_____________ 思路：①两定点在定直线同侧,作对称；②先转化22PB,取MB 的中点Q,连接AQ, 则AQ 的长度即为所求. 压轴题(山东滨州中考)如图2-4-20,已知直线y=kx+b(k 、b 为常数)分别与x 轴、y 轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x 2+2x+1与y 轴交于点C. (1)求直线y=kx+b 的函数解析式；(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x 2+2x+1上的任意一点,设点P 到直线AB 的距离为d,求d 关于x 的函数解析式,并求d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=-x 2+2x+1的对称轴上移动,点F 在直线AB 上移动,求CE+EF 的最小值提能力1.(山东烟合中考)如图2-4-21,抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,AB=4,矩形OBDC 的边CD=1,延长DC 交抛物线于点E (1)抛物线的解析式为________;(2)如图2-4-22,点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点,过点P 作y 轴的平行线交直EO 于点G,作PH ⊥EO,垂足为H.设PH 的长为l,点P 的横坐标为m,求L 与m 的函解析式(不必写出m 的取值范围),并求出l 的最大值.2.(山东东营中考)如图2-4-23,直线y=33x+3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点,点A 在x 轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax 2+bx+3经过A,B 两点.(1)A 、B 两点的坐标分别为_____________;抛物线的解析式为____________ (2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点,过点M 作MH ⊥BC 于点H,作MD ∥y 轴交BC 于点D,求△DMH 周长的最大值.3.(湖南岳阳中考)如图2-4-24,抛物线y=32x 2+bx+c 经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-32x-32交y 轴于点E,且与抛物线交于A,D 两点,P 为抛物线上一动点(不与A,D 重合.(1)抛物线的解析式为________;(2)当点P 在直线l 下方时,过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M,PN ∥y 轴交l 于点N,求PM+PN 的最大值4.(天津中考)已知抛物线y= x 2+bx-3(b 是常数)经过点A(-1,0). (1)该抛物线的解析式和顶点坐标分别为________;(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P 关于原点的对称点为P /.当点P /落在第二象限内,并且P /A 2取得最小值时,求m 的值.5.(湖南怀化中考)如图2-4-25,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax 2+bx-5与x 轴交于点A(-1,0),B(5,0),与y 轴交于点C. (1)抛物线的函数表达式为________;(2)若点K 为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x 轴,y 轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM 的周长最小,求出点P,Q 的坐标6.(甘肃兰州中考)如图2-4-26,抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-21x-6交y 轴于点C.点E 是直线AB 上的动点,过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F,交抛物线于点G.(1)抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式为________;(2)已知E(-2,0),H(0,-1)以点E 为圆心,EH 长为半径作圆,点M 为⊙E 上一动点,求21AM+CM 的最小值.。

动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。

这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。

二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。

2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。

3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。

4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。

三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。

篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。

这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。

二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。

2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。

3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。

4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。

三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。

篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。

动点最值问题解法探析一、问题原型：（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。

解这类问题二、基本解法：对称共线法。

利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。

三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

1.两个定点+一个动点。

如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。

例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。

解析：与关于直线对称，连结，则。

连结,在中，，，则故的最小值为例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。

（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。

解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。

根据、、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。

设直线解析式为：。

把、代入得，。

当时，，则2.两个定点+两个动点。

两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。

用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

例3如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。

动点产生的几何最值问题大全
动点产生的几何最值问题是数学中一类比较有挑战性的问题，通常涉及到几何图形中的动点以及与之相关的最值情况。

以下是一些常见的动点产生的几何最值问题类型：
1. 最短路径问题：在给定的几何图形中，寻找动点到某个点或线段的最短路径。

这可以涉及到直线、圆、多边形等图形。

2. 最大面积问题：确定动点在几何图形中移动时，如何使形成的图形面积最大。

例如，求动点构成的三角形、矩形等的最大面积。

3. 最长线段问题：找到在特定条件下，动点所形成的最长线段。

4. 最短时间问题：考虑动点在移动过程中，如何以最短时间到达目标点。

5. 最优位置问题：确定动点在几何图形中的最优位置，使得某个目标函数达到最大或最小值。

6. 角度最值问题：探究动点在运动过程中，相关角度的最大或最小值。

7. 对称问题：利用对称性质来解决与动点相关的最值问题。

这些只是一些常见的类型，实际问题可能更加复杂和多样化。

解决动点产生的几何最值问题通常需要结合几何学的知识、定理和方法，以及对运动轨迹和约束条件的分析。

具体的解决方法会根据问题的具体情况而有所不同。

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A1．5 2【答案】A【考点】【分析】三点共线时，点∴OD1。

故选A。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲ 。

【答案】4。

新 -课-标-第-一-网【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D在△AME 与△AMN ∴△BME≌△BMN（SAS ）又∵CM+MN 有最小值，∴当CE 是点C 到直线∵BC=的最小值为∴CM+MN 的最小值是4。

例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 ▲ cm 。

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A 1+BC 5D ．52【答案】A 。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE====，∴OD 1。

故选A 。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM。

在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM ， ∴△BME≌△BMN（SAS ）。

动点求最值方法总结一、引言动点求最值是一类经典数学问题，在各个学科领域中都有广泛的应用。

它可以通过将问题转化为数学模型，通过解析方法或数值计算方法求解。

本文将对动点求最值的方法进行总结和探讨，深入探究这类问题的解决思路和技巧。

二、常见的动点求最值问题2.1 直线上的动点问题在一条直线上，给定两个固定点A和B，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值或最大值。

这类问题可以通过求解P点的坐标来实现。

2.2 平面内的动点问题在平面内，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。

这类问题涉及到平面几何和三角函数的运用。

2.3 空间内的动点问题在三维空间中，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。

这类问题需要运用空间几何和向量的知识。

三、解决动点求最值问题的方法3.1 几何解法几何解法是通过绘制几何图形，利用几何性质和定理来解决问题。

在直线上的动点问题中，可以通过绘制线段和圆等图形来分析，确定最值点的位置。

在平面内和空间内的动点问题中，可以借助几何图形的相似性和对称性来求解。

3.2 代数解法代数解法是通过建立方程或运用代数方法来求解问题。

在直线上的动点问题中，可以通过设定P点的坐标，利用距离公式建立相应的方程，并通过求导或配方法求解。

在平面内和空间内的动点问题中，可以利用向量运算和三角函数关系建立方程，然后通过求解方程组来得到最值点的坐标。

3.3 数值计算方法如果问题比较复杂，无法通过几何或代数的方法得到解析解，可以使用数值计算方法进行近似求解。

常用的数值计算方法包括最优化算法、数值优化算法和遗传算法等。

这些方法通过迭代计算，逐步逼近最值点的位置。

四、案例分析4.1 直线上的动点问题案例假设直线上有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值。

通过建立P点的坐标(x, y)，利用距离公式可得：d=√(x−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(y−4)2通过求导可以得到最小值点的坐标：∂d=0∂x∂d=0∂y解得最小值点为P(2, 3)。

GFD ABCEA'MCDABNPCB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点得最值，动点在圆上或直线上，就就是点到圆得最近距离，与点到直线得最近距离；三角形两边之与大于第三边得问题，当两边成一直线最大；几条线段之与构成一条线段最小；还有就就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆得最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质就是圆外一点到圆得最大或最小距离，就就是定点与圆心所在直线与圆得交点得两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变得特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边得值。

1．如图，△ABC 、△EFG 均就是边长为2得等边三角形，点D 就是边BC 、EF 得中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长得最小值就是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径得圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 得边长为2，E 就是边BC 上得动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动得路径长为π；④CG 得最小值为﹣1．其中正确得说法就是 ②③ ．（把您认为正确得说法得序号都填上）提示：G 在以AB 为直径得圆上：正确答案就是：②④3、如图，正方形ABCD 得边长为4cm,正方形AEFG 得边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间得最小距离为 4、如图，在边长为2得菱形ABCD 中，∠A=60°,M 就是AD 边得中点，N 就是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度得最小值就是5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转、CABAAA GDDA E（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明、PBC=∠AB 上，6、如图，△ABC 与△ADE °,AD=1，，F 为BE 中点、（1）求CF 得长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动得路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 得范围、提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 得半径为1，点P 得等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC AOC 中，AE-CE ≤AC AE ∥BC 交⊙O 于E ADE9、AB=4，E 为形外一点，且∠点，求BF 连AC,取DC 中点中点H ，则△FGH ∽△∴12GH AD ==∠DEA=90°，∴点F 在以GH 小距离。

两条线段求最值PA+K*PB型1.PA+PB型1.1 两定一动（将军饮马）此类在学生学完对称后就可以适当进行讲解了出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧。

当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

引：如图在直线 l 上找一点 P 使 AP＋BP 最短。

解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接 AB 交直线 l 于点 P,则点 P 为所示作的点；（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情况。

证明：如下图所示，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 BD 的延长线上，取 B 关于河岸的对称点 B'，连结 AB'，与河岸线相交于 P，则 P 点就是所求作的点，只要从 A 出发，沿直线到 P,再由 P 沿直线走到 B，所走的路程就是最短的。

如果在河边的另外任一点 C, 则CB=CB’，但是，AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。

可见，在 P 点外任何一点 C，它与 A、B两点的距离和都比 AP＋PB 都长。

本质：两点之间，线段最短。

【牛刀小试】1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则PB＋PE 的最小值是____________．2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为__________．3．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN 弧的中点， P 是直径MN 上一动点，则 PA ＋ PB 的最小值为_________．4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB的中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN＝1，则△PMN 周长的最小值为________．5．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小值为____________．6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，点 D 是 BC 边上的点，CD＝1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是__________。

初中数学动点最值问题解法探析最值问题是初中数学中一个基本的概念，是用来求解某些特定的函数在连续的区间上的最大值或最小值的问题。

本文就初中数学动点最值问题解法进行探析。

一、初中数学动点最值问题涉及到的内容1、动点问题中涉及到的数学概念：动点最值问题是关于数学中的泰勒展开式、微分等概念的应用，它要求计算函数在给定范围内某一点处最大值或最小值。

2、动点问题中涉及到的方法：解动点问题时，要求用到微分求导、求极限、对函数的最值后进行判断等方法。

二、初中数学动点最值问题的解法1、根据设定的条件，计算函数的导数，再求函数的极限；2、将求极限的结果带入原函数，根据结果判断函数的最值，保存相应的数据（一般保存此处的极大值和极小值）；3、将原函数从一定的范围内，扩大或缩小至限定范围，重复上述操作；4、将所求出来在改变范围中找出的最大值和最小值整理到同一个表格中，最后判断函数最值的情况。

三、初中数学动点最值问题的解法案例以函数f(x) = x² + 3x - 4为例，求f(x)在区间[-2, 2]内的动点最值。

1、计算函数的导数：f'(x) = 2x + 3；2、求函数的极限：对f'(x)的极限进行计算，就可以求得函数f(x)的极限解；3、将求极限的结果带到原函数，得到函数f(x)在区间[-2, 2]内的最大值和最小值：f(-2) = -8，f(2) = 8；4、将得到的数据整理成表格：| f(x) | 区间 | 最值 ||:--------:|:------:|:----:|| f(-2) | [-2,2] | -8 || f(2) | [-2,2] | 8 |最后，可以得到函数f(x)在区间[-2, 2]内的最大值为f(2) = 8，最小值为f(-2) = -8。

综上所述，本文就初中数学动点最值问题解法的探析完成。

文中所述的解法，可以用来进行解答动点最值问题，让学生有办法针对动点最值问题给出算式解决方案，也能够去领会要解决动点最值问题之前要掌握的基础概念和技术，让学生在解决动点最值问题方面更有质的提高。

动点最值问题的常用解法动点最值问题是数学中一个很有趣的问题，它往往涉及到最大值或最小值的求解，难度并不小。

针对这种问题，数学家们提出了各种不同的解法，本文将介绍其中一些常用的方法。

一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种利用约束条件求函数的最值的方法。

其基本思路是利用不等式的等式条件，将约束条件和目标函数融合，建立拉格朗日函数，最后对其求导，解出最优解。

这种方法的优点是精度高，适用条件广。

但是，由于需要解方程组，所以计算量比较大。

举个例子，要求函数 $f(x,y)$ 在方程 $g(x,y) = 0$ 的限制下的最大值，我们可以建立拉格朗日函数：$$L(x,y,\lambda) = f(x,y)+\lambda g(x,y)$$其中 $\lambda$ 为拉格朗日乘数。

对拉格朗日函数分别对$x,y,\lambda$求偏导数，并使它们等于0，得到以下方程组：$$\begin{cases}\nabla f(x,y) + \lambda \nabla g(x,y) = 0\\g(x,y) = 0\end{cases}$$解出这个方程组，就可以得到函数 $f(x,y)$ 在 $g(x,y)=0$ 限制下的最优解了。

二、图像解法图像解法是一种简单直观的方法，适合于几何意义比较明显的问题。

它的基本思路是将问题转化为图像，然后利用图像来求解最值问题。

例如，要求函数 $f(x,y)$ 在直线 $y=kx$ 上的最大值，我们可以将其转化为函数 $g(x) = f(x,kx)$ 的最大值问题。

接下来，我们可以利用图像解法，通过观察函数$g(x)$ 在 $[a,b]$ 区间的图像，来确定它的最大值点。

显然，最大值点的横坐标为$x_0$，纵坐标为 $f(x_0,kx_0)$，即可得到函数 $f(x,y)$ 在 $y=kx$ 上的最大值。

三、证明解法证明解法也是一种常用的方法，它的基本思路是通过分析问题的性质，得到问题的最值解，并给出相应的证明过程。

动点与最值问题解题技巧
1. 确定问题类型：动点与最值问题是指在一定条件下，寻找某个动点的位置或数值达到最大或最小值的问题。

可以通过数学建模、图形分析、函数求导等方法解决。

2. 建立数学模型：根据问题的描述，将问题抽象为一个数学模型。

常见的方法包括建立函数关系式、约束条件和目标函数等。

3. 分析特殊情况：在解题过程中，可以通过分析极端情况或特殊情况来确定动点的位置或数值的最值。

这可以帮助我们更好地理解问题，并推导出一般情况下的解答方法。

4. 使用图形分析：如果问题涉及到几何图形，可以通过绘制图形来分析问题。

通过观察图形的形状、相交关系、对称性等特点，可以得出一些有用的信息，帮助解决动点与最值问题。

5. 求解最值：根据问题的具体要求，可以使用函数求导、代数方法、几何方法等多种方法求解最值问题。

通过求导可以找到函数的极值点，通过代数方法可以消去变量，通过几何方法可以利用几何性质得出最值。

6. 检查答案：在得到最值之后，需要对答案进行检查。

检查的方法可以是代入原问题进行验证，或者在图形上进行观察，是否符合题目的条件。

7. 总结归纳：在解决动点与最值问题时，可以总结出一些经验
和规律，并将其归纳为一般的解题技巧。

这样可以帮助我们更快地解答类似的问题，并提高解题的效率。

动点最值题精讲动点最值题是高中数学中比较重要的一类题型，考查学生对函数、解析几何、极值等知识点的掌握程度。

本文将为大家详细讲解动点最值题的解题技巧和注意事项。

一、基本概念动点最值题通常是给出一个动点的运动轨迹和一个函数式，要求求出函数在动点运动轨迹上取得的最大值或最小值。

这类题目需要考虑到动点的坐标和函数的取值之间的关系，以及动点的运动轨迹对函数取值的影响。

二、解题思路1、确定动点的运动轨迹首先需要明确动点的运动轨迹，一般通过给出的条件来确定。

常见的有直线、圆、抛物线等。

确定好动点的运动轨迹之后，可以利用运动轨迹的性质来简化求解过程。

2、确定函数的表达式根据题目给出的条件，确定函数的表达式。

函数的表达式一般与动点的坐标有关，可以通过利用动点的坐标和运动轨迹的性质来求解。

3、求解函数的最值利用函数的最值定理求解函数的最大值或最小值。

最值定理包括极值和最值。

极值包括极大值和极小值，是函数在数学上的特殊点；最值是函数在定义域上取得的最大值或最小值。

4、验证答案解答完毕后，需要将结果代入原题，并验证答案的正确性。

三、注意事项1、确定动点的运动轨迹时，需要考虑到动点的运动方向和速度。

这样才能正确地描述动点的运动状态。

2、确定函数的表达式时，需要注意函数的定义域和取值范围。

如果定义域存在限制条件，需要将限制条件考虑进去。

3、求解函数的最值时，需要判断极值和最值是否存在，以及最值是否在定义域内取得。

4、最后需要将结果代入原题进行验证，确保答案的正确性。

以上是动点最值题的精讲，希望对大家有所帮助。

在解题过程中，需要灵活运用数学知识和技巧，多进行思考和实践，才能提高解题能力。