4.5圆轴扭转时的强度和刚度条件

第五节圆轴的扭转变形与刚度条件一、圆周的扭转变形圆轴受扭转时，除了考虑强度条件外，有时还要满足刚度条件。

例如机床的主轴，若扭转变形太大，就会引起剧烈的振动，影响加工工件的质量。

因此还需对轴的扭转变形有所限制。

轴受扭转作用时所产生的变形，是用两横截面之间的相对扭转角ϕ表示的，如下图所示。

由于γ角与ϕ角对应同一段弧长，故有ϕ·R = γ·l (a)式中的R是轴的半径，由剪切虎克定律，τ=G·γ，所以可得ϕ=τ·l/ (G·γ)(b)式中τ=M·R/ Jρ，代入(b)得：ϕ=M·l/ (G·Jρ)(1-46)公式(1-46)是截面A、B之间的相对扭转角计算公式，ϕ的单位是rad。

两截面间的相对扭转角与两截面间的距离l成正比，为了便于比较，工程上一般都用单位轴长上的扭转角θ表示扭转变形的大小：θ=ϕ/ l=M/ (G·Jρ)(1-47)θ的单位是rad/m。

如果扭矩的单位是N·m，G的单位MP a，Jρ的单位m4。

但是工程实际中规定的许用单位扭转角[θ]是以°/m 为单位的，则公式(1-47)可改写为：(1-48)式中G·Jρ称为轴的抗扭刚度，取决于轴的材料与截面的形状与尺寸。

轴的G·Jρ值越大，则扭转角θ越小，表明抗扭转变形的能力越强。

二、扭转的刚度条件圆轴受扭转时如果变形过大，就会影响轴的正常工作。

轴的扭转变形用许用扭转角[θ]来加以限制，其单位为°/m，其数值的大小根据载荷性质、工作条件等确定。

在一般传动和搅拌轴的计算中，可选取[θ]=0.5°/m～10°/m。

由此得出轴的扭转刚度条件：θ=M/ (G·Jρ)·(180/ π)≤[θ](1-49)圆轴设计时，一般要求既满足强度条件(1-45)，又要满足刚度条件(1-49)。

圆轴扭转时的强度条件刚度条件圆轴的设计计算1. 等截面圆轴：2. 阶梯形圆轴：[]maxPT W ττ=≤[]max max P T W ττ=≤[]max max P()T W ττ=≤扭转强度条件分析单位长度扭转角 扭转刚度条件 许可单位扭转角 PTl GI ϕ='Prad/m T l GI ϕϕ=='P 180°/m πT GI ϕ=⨯'ϕ⎡⎤⎣⎦''max P 180°/m []πT GI ϕϕ=⨯≤精密机械传动轴 '[](0.250.5)()/m°ϕ=一般传动轴 '[](0.51)()/m °ϕ=精密要求不高的轴 '[](1 2.5)()/m °ϕ=式 （1）扭转强度条件扭转刚度条件• 已知T 、D 和[τ]，校核强度 • 已知T 和[τ]，设计截面最小D• 已知D 和[τ]，确定许可载荷T • 已知T 、D 和[φ’]，校核刚度 • 已知T 和[φ’]，设计截面最小D• 已知D 和[φ’]，确定许可载荷T []max P T W ττ=≤3P 1π16W D =''max P 180T GI ϕϕπ⎡⎤=⨯≤⎣⎦4P 1π32I D =例1 某传动轴所承受的扭矩T =200N·m ，轴的直径d =40mm 。

材料的[τ]=40MPa ，切变模量G =80GPa ，单位长度许可扭转角。

试校核轴的强度和刚度。

'[]1/m °ϕ=解： （1）校核轴的强度。

max P T W τ=316πT d =[]-3316200=15.92MPa<π4010τ⨯=⨯⨯（）（2）校核轴的刚度。

'max P 180πT GI ϕ=⨯432180ππT G d =⨯'9-3432200180=0.57/m<[]8010π4010π°ϕ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（）传动满足强度和刚度要求。

圆轴扭转时的强度条件
圆轴扭转时的强度条件可以通过研究轴材料的变形和破坏来确定。

以下是圆轴扭转时的强度条件：
1. 扭转强度：圆轴在扭转时会受到扭矩的作用，扭矩会产生剪应力。

扭转强度是指材料在扭转作用下能够承受的最大剪应力。

扭转强度与材料弹性模量、截面形状和尺寸有关。

2. 疲劳强度：圆轴在长时间的扭转作用下可能会发生疲劳破坏。

疲劳强度是指材料在循环载荷作用下能够承受的最大应力范围，它与材料的疲劳寿命有关。

3. 断裂强度：圆轴在扭转超过其承受能力时可能会发生断裂破坏。

断裂强度是指材料在正常使用条件下能够承受的最大应力，它与材料的断裂特性有关。

为了满足圆轴的强度条件，一般采取以下措施：
1. 选择合适的轴材料，保证其扭转强度和断裂强度满足工程要求。

2. 根据应力分布的特点，设计合理的截面形状和尺寸，以提高扭转强度和疲劳强度。

3. 对于长期扭转作用下的轴，可以采取热处理等工艺措施来提高其强度和耐疲劳性能。

需要注意的是，圆轴的强度条件与其几何形状、材料特性、工作条件等因素密切相关，因此在具体设计时需要进行详细的力学计算和强度分析。

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算基础篇之四第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受⼤⼩相等、⽅向相反、作⽤平⾯垂直于杆件轴线的两个⼒偶，杆的任意两横截⾯将绕轴线相对转动，这种受⼒与变形形式称为扭转（torsion ）。

本章主要分析圆轴扭转时横截⾯上的剪应⼒以及两相邻横截⾯的相对扭转⾓，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计⽅法。

4－1 外加扭⼒矩、扭矩与扭矩图作⽤于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。

在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭⼒矩M e 可⽤下式计算：[][]e kw 9549[N m]r /min P M n =?其中P 为功率，单位为千⽡（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。

如功率P 单位⽤马⼒（1马⼒=735.5 N ?m/s ），则e []7024[N m][r /min]P M n =?马⼒外加扭⼒矩M e 确定后，应⽤截⾯法可以确定横截⾯上的内⼒—扭矩，圆轴两端受外加扭⼒矩M e 作⽤时，横截⾯上将产⽣分布剪应⼒，这些剪应⼒将组成对横截⾯中⼼的合⼒矩,称为扭矩（twist moment ），⽤M x 表⽰。

图4－1 受扭转的圆轴⽤假想截⾯m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有M x －M e = 0由此得到图4－3 剪应⼒互等M x = M e与轴⼒正负号约定相似，圆轴上同⼀处两侧横截⾯上的扭矩必须具有相同的正负号。

因此约定为：按右⼿定则确定扭矩⽮量，如果横截⾯上的扭矩⽮量⽅向与截⾯的外法线⽅向⼀致，则扭矩为正；相反为负。

据此，图4－1b 和c 中的同⼀横截⾯上的扭矩均为正。

当圆轴上作⽤有多个外加集中⼒矩或分布⼒矩时，进⾏强度计算时需要知道何处扭矩最⼤，因⽽有必要⽤图形描述横截⾯上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。

绘制扭矩图的⽅法与过程与轴⼒图类似，故不赘述。

【例题4－1】变截⾯传动轴承受外加扭⼒矩作⽤，如图4－2a 所⽰。

圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转是指在机械装置或结构中，圆轴在扭转或转动时所受到的力的作用。

在工程设计中，为了确保圆轴的强度和稳定性，需要根据受力情况和材料特性来确定圆轴的尺寸和材料的选用。

圆轴扭转时的强度条件对于保证机械装置的稳定运行和避免损坏起着至关重要的作用。

圆轴扭转时的强度条件首先需要考虑到扭转力的大小。

扭转力是指圆轴在扭转过程中所受到的力的大小。

根据受力情况，可以确定圆轴的最大扭转力。

在设计过程中，需要根据最大扭转力来选择合适的材料和适当的圆轴尺寸，以确保圆轴的强度满足要求。

其次，圆轴的直径和长度对于扭转强度也有重要的影响。

圆轴的直径越大，其扭转强度越高。

因此，在设计过程中需要综合考虑受力大小和圆轴尺寸，以确定合适的直径。

此外，圆轴的长度也会影响其扭转强度，较长的圆轴会导致更大的扭转弯曲应变，因此，在设计中需要控制圆轴的长度，以保证强度条件的满足。

另外，材料的选择也是圆轴扭转时强度条件的重要因素。

不同材料具有不同的力学性能，包括强度、韧性和硬度等。

在选择材料时，需要考虑到扭转力、圆轴尺寸以及使用环境等因素。

常用的圆轴材料包括钢、铝合金和钛合金等，根据具体情况选取合适的材料以满足强度条件。

此外，还需要考虑到表面的处理和润滑等因素。

尽管圆轴在扭转时的主要受力区域位于其内部，但表面的处理和润滑仍然会对其扭转强度产生影响。

表面的处理可以提高圆轴的耐磨性和耐腐蚀性，而润滑则可以降低扭转时的摩擦和磨损，从而延长圆轴的使用寿命。

最后，在设计过程中还需要进行强度计算和验证。

根据受力情况和圆轴的尺寸，可以利用数学模型和力学原理进行强度计算，以确定圆轴是否满足强度条件。

同时，还可以进行实验验证，通过施加扭转力和观察圆轴的受力情况来验证所设计的圆轴是否满足强度要求。

总之，圆轴扭转时的强度条件是确保机械装置或结构可靠运行和避免损坏的重要因素。

在设计中，需要综合考虑扭转力、圆轴尺寸、材料特性以及表面处理和润滑等因素，以确保圆轴的强度满足要求。