第二章 控制系统的数学模型(2)

t⎯ ⎯→ ∞
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数学工具－拉普拉斯变换与反变换(续)
初值定理 Initial-Value Theorem
t⎯ ⎯→ 0
lim f (t ) = lim sF ( s )
s⎯ ⎯→ ∞
微分定理 Real Differentiation Theorem
df (t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0) dt
d B( s) B( s) r br −1 = { [ ( s + p1 ) r ]}s =− p1 br = [ ( s + p1 ) ] s = − p1 ds A( s ) A( s ) 1 d j B( s) 1 d r −1 B( s) r br − j = { j [ ( s + p1 ) ]}s =− p1 b1 = { r −1 [ ( s + p1 ) r ]}s = − p j ! ds A( s ) (r − 1)! ds A( s)
解：
对机械系统
U c ( s) X r ( s) U ( s) r
& & ( B1 + B2 ) X c + ( K1 + K 2 ) X c = B1 X r + K1 X r
( B1 + B2 ) sX c ( s ) + ( K1 + K 2 ) X c ( s ) = B1sX r ( s ) + K1 X r ( s )
a.
F(s)中具有不同的极点时，可展开为
an a1 a2 F (s) = + + ⋅⋅⋅ + s + p1 s + p 2 s + pn
B( s) ak = [ ( s + p k )] s = − pk A( s )
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
a3 an a1 s + a 2 F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + ( s + p1 )(s + p 2 ) s + p3 s + pn
[a1 s + a 2 ] s = − p1 = [ B( s) ( s + p1 )( s + p 2 )] s = − p1 A( s )
c.F(s)含有多重(r重)极点时，可展开为
F ( s) = an br br −1 b1 a r +1 + + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + ( s + p1 ) r ( s + p1 ) r −1 ( s + p1 ) ( s + p r +1 ) (s + pn )
解 根据补例2-1得到的微分方程
d 2U 2 dU 2 R1 R2 C1C 2 + ( R1C1 + R1C 2 + R2 C 2 ) + U 2 = U1 2 dt dt
R1 R2C1C2 s 2U 2 ( s ) + ( R1C1 + R1C2 + R2C2 ) sU 2 ( s ) + U 2 ( s ) = U1 ( s ) =
于是，由定义得系统传递函数为：
C ( s ) b0 s m + b1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 s + bm M ( s ) G (s) = = = n n −1 R ( s ) a 0 s + a1 s + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 s + a n N (s)
M ( s ) = b0 s m + b1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 s + bm
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其余各极点的留数确定方法与上同。
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用Matlab进行部分分式分解
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2.3 控制系统的复域数学模型
2.3.1 传递函数 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中 引申出来的概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数 学模型，在给定外作用和初始条件下，解微 分方程可以得到系统的输出响应。 But 系统结构和参数变化时分析较麻烦。
N ( s ) = a 0 s n + a1 s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 s + a n
df (t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0) dt
d 2 f (t ) ] = s 2 F ( s ) − sf (0) − f ' (0) L[ dt 2
微分定理 积分定理
U 2 (s) = 1 s[ R1 R2C1C2 s 2 + ( R1C1 + R1C2 + R2C2 ) s + 1]
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=
R1
1 s 1
s (1.2 × 10 − 4 s 2 + 0.462 s + 1)
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& + ( 1 + 1 )U = RU + 1 U & ( R1 + R2 )U c c 1 r r C1 C2 C1
对电路系统
性质1
传递函数的性质
传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且具有复变量函数的所有性质。
性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输 入量的形式（幅度与大小）无关。
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传递函数的性质 性质6 传递函数与微分方程之间有关系。 C ( s) G (s) = R( s) d 置换 传递函数 ⇔ 微分方程 如果将 s ⇔
dt
性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位 脉冲输入时的输出响应。
L[a1 f1 (t ) + a 2 f 2 (t )] = a1 F1 ( s) + a 2 F2 ( s)
L[e − at f (t )] = F ( s + a )
L[ f (t − τ )] = e −τs F ( s )
lim f (t ) = lim sF ( s )
s⎯ ⎯→ 0
终值定理 Final-value Theorem
解 根据例2-1得到的微分方程
LC d 2 u o (t ) dt 2
ui (t ) du o (t ) + RC + u o (t ) = ui (t ) dt
L
R C
uo (t )
在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换。 令：Uo(s) ＝L[uo(t)]， Ui(s) ＝L[ui(t)]
得：(LCs2+RCs +1)Uo(s)= Ui(s)
U o (s) 1 G(s) = = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1
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R 例2-8 在补例2-1中，设当1 = 20KΩ, R2 = 3KΩ, C1 = 0.1μF , C 2 = 20μF
输入为U1(t)单位阶跃函数,即U1(t)=1(t)时,求输出U2(t)。
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设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n −1 d a0 n c(t ) + a1 n −1 c(t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + an −1 c(t ) + an c(t ) dt dt dt dm d m −1 d = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，
用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到控制系 统在复数域的数学模型－传递函数。
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定义： 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条 件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉 氏变换之比。
输出信号的拉氏变换 传递函数 = 输入信号的拉氏变换 C (s) = R(s)
零初始条件
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F ( s ) f −1 (0) F ( s ) f −1 (0) f −2 (0) + L[ ∫ f (t )dt ] = L[ ∫∫ f (t )(dt ) 2 ] = 2 + + 2 s s s s s 13 2008-09-25
补例2-5 求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 X c (s)
R(s) G(s) C(s)
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但
它不提供任何该系统的物理结构。因为许多 不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
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传递函数的性质
性质4
如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入 信号作用下的输出响应。
性质5
如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输 入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立 G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它 物理描述不同。 传递函数数学模型是（表示）输出变量和输入 变量微分方程的运算模型（operational mode）
控制系统的复域数学模型
程向红
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上讲回顾
模型的概念 建立模型的基本方法？ 建立系统微分方程模型 实例：电枢控制直流伺服电动机模型
1. 电枢回路电压平衡方程 2. 电磁转矩方程 3. 电动机轴上的转矩平衡方程
分析法 试验法
非线性系统的线性化 —— 泰勒级数展开法
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