24.2.2直线与圆的位置关系(第二课时)

将上页思考中的问题 反过来,如果L 反过来,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线 与直线L 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢? 是一定垂直呢?
一定垂直
.
O
L
切线的性质定理: 切线的性质定理: A 圆的切线垂直于过切点的半径
１、切线和圆只有一个公共点。 切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。 切线和圆心的距离等于半径。 ３、切线垂直于过切点的半径。 切线垂直于过切点的半径。 ４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
O D
B AC∥BD ∥
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的 、定义法： 切线。 切线。 2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆 、数量法（ ）：和圆心距离等于半径的直线是圆 ）： 的切线。 的切线。 3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直 、判定定理： 线是圆的切线。 线是圆的切线。 即：（1）若直线与圆的一个公共点已指明，则连接 ）若直线与圆的一个公共点已指明， 这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径； 这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径； （2）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直 ）若直线与圆的公共点未指明， 线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径． 线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．
课堂小结
• • • • 1、切线的判定方法； 切线的判定方法； 切线的作法； 2、切线的作法； 常见辅助线； 3、常见辅助线； 切线的性质。 4、切线的性质。
作业： 作业：
• 课本P
D O E
B
C
辅助线：无交点，作垂直，证等于半径. 辅助线：无交点，作垂直，证等于半径.
归纳分析
与例2的证法有何不同? 例1与例2的证法有何不同?
D O A A B E C O B
C
(1)如果已知直线经过圆上一点, (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 如果已知直线经过圆上一点 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点 如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：作垂直,证半径。 等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
练习： 练习：
1.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB,求证:AT 1.如图 如图,AB是 的直径, ABT=45°,AT=AB,求证 求证:AT 是⊙O的切线. 的切线.
B
证明： ABT=45°,AT=AB， 证明：∵∠ABT=45°,AT=AB，
∴∠T=45°, T=45° ∴∠BAT=90°, BAT=90°
1.圆和直线的位置关系。 圆和直线的位置关系。 圆和直线的位置关系
r o d l r o d l r o d l
（1）直线 和⊙O相离 ）直线l 相离 （2）直线 和⊙O相切 ）直线l 相切 （3）直线 和⊙O相交 ）直线l 相交
d>r d=r d<r
2.什么叫做切线？ 2.什么叫做切线？ 什么叫做切线 3.你已经学会了哪些判断一条直线是圆的切 3.你已经学会了哪些判断一条直线是圆的切 线的方法？ 线的方法？
直线与圆相切的判定定理： 直线与圆相切的判定定理：
经过半径的外端并且垂直 经过半径的外端并且垂直这条半径的 外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线。 直线是圆的切线。 对定理的理解： 对定理的理解：
切线需满足两条： 经过半径外端； 切线需满足两条： ①经过半径外端； 垂直于这条半径． ②垂直于这条半径．
O O O
图（１）
图（２）
图（３）
根据切线的定义可以判定一条直线是不是 圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我 圆的切线，但有时使用定义判定很不方便． 们从另一个侧面去观察， 们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位 置怎样时，直线也是圆的切线呢? 置怎样时，直线也是圆的切线呢?
请在⊙ 上任意取一点A 连接OA。 请在⊙O上任意取一点A，连接OA。过点 A作直线 l⊥OA。思考一下问题： OA。思考一下问题： 1. 圆心 O 到直线 l 的距离和圆的半径有什么 圆心O 到直线l 数量关系? 数量关系? 2. 二者位置有什么关系？为什么？ 二者位置有什么关系？为什么？ 3. 由此你发现了什么？ 由此你发现了什么？
O l r A O r l A O l r A
两个条件, 两个条件,缺一不可百度文库
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线 已知一个圆和圆上的一点 如何过这个点画出圆的切线? 如何过这个点画出圆的切线
〖例1〗已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， 已知：直线AB经过 经过⊙ 上的点C 并且OA=OB， CA=CB。 CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 的切线。 求证：直线AB是
定理的几何符号表达： 定理的几何符号表达：
如图所示 OA是半径 是半径， OA于 ∵ OA是半径， l ⊥ OA于A 的切线。 ∴ l是⊙O的切线。 l
O
r
A
问题：定理中的两个条件缺少一个行不行 问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 过半径的外端的直线是圆的切线（ 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 与半径垂直的的直线是圆的切线（ 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（
T A
O
∴AT ⊙O的切线。
练习： 练习：
2.求证：经过直径两端点的切线互相平行 求证： 求证
已知：如图， 的直径， 已知：如图，AB 是⊙O的直径， 的直径 AC、BD是⊙O的切线 的切线. 、 是 的切线 求证: 求证 AC∥BD ∥ 证明：如图， 证明：如图， AC、BD是⊙O的切线 、 是 的切线 AB 是⊙O的直径 的直径 AB⊥AC ⊥ AB⊥BD ⊥ A C
O
l
A
发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A； 经过半径OA的外端点A OA的外端点
垂直于半径0 (2)直线l垂直于半径0A． 直线 垂直于半径 直线l与 则:直线 与⊙O相切
O l A
这样我们就得到了从位置上来判定直线是 圆的切线的方法——切线的判定定理． 切线的判定定理． 圆的切线的方法 切线的判定定理
分析：由于AB AB过 上的点C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连 OC，只要证明AB⊥OC即可。 AB⊥OC即可 接OC，只要证明AB⊥OC即可。 证明：连结OC(如图) OC(如图 证明：连结OC(如图)。 OAB中 OA＝ CA＝ ∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CB, AB⊥OC。 ∴ AB⊥OC。 OC是 ∵ OC是⊙O的半径 AB是 的切线。 ∴ AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
辅助线：有点连圆心， 辅助线：有点连圆心，证垂直
〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点， 已知： BAC平分线上一点 平分线上一点，
OD⊥AB于D,以 为圆心，OD为半径作 OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作 ⊙O 。 A 求证： AC相切 相切。 求证：⊙O与AC相切。 证明： OE⊥AC于 证明：过O作OE⊥AC于E。 AO平分 BAC， 平分∠ ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB OE＝ ∴ OE＝OD 即圆心O到AC的距离 d = r 即圆心 到 的距离 AC是 切线。 ∴ AC是⊙O切线。
问题
1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向 1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向 是什么方向？ 是什么方向？ 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？ 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？ 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向
观察、提出问题、 观察、提出问题、分析发现 中直线l是 的切线， 图(2)中直线 是⊙O的切线，怎样判定？ 中直线 的切线 怎样判定？