苏教版八年级下册数学[《分式》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】【403995 分式的加减运算 知识讲解】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【403995 分式的加减运算 例1（5）（6）】1、计算：（1）22222333a b a b a b a b a b a b+--+-； （2）222422x x x x x +-+--； （3）2111x x x-+--； （4）222222222a ab b a b b a a b ++--- 【答案与解析】解：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222222333a b a b a b a a b a b ab++--+===； （2）222224242222x x x x x x x x x x +-+-+=----- ()222224222x x x x x x -+--===-- （3）2121213111111x x x x x x x x x x ---+-+=-==-------； （4）222222222222222222a ab b a ab b a b b a a b a b a b a b++=-+------ 2()()()a b a b a b a b a b--==+-+. 【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简． 举一反三：【变式】（2016春·广州校级月考）化简：2221122a a a a a a--+-- 【答案】解：原式=2221122a a a a a a----- =()()12a a a a -- =12a a -- 类型二、异分母分式的加减2、计算：（1）21132a ab +；（2）2312224x x x x+-+--；（3）211a a a ---． 【思路点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为26a b ；（2）题是异分母分式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因式分解；（3）题是分式21a a -与(1)a --即(1)a -+的和，可将整式部分当成一个整体，且分母为1，使运算简化．【答案与解析】解：（1）原式2222323666b a b a a b a b a b +=+=； （2）原式2312224x x x x =-++--31222(2)(2)x x x x x =-++--+ 3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x --++-===-+-++； （3）原式222222211(1)111111111a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------． 【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．举一反三：【变式】计算：（1）212293m m ---；（2）112323x y x y ++-. 【答案】解：（1）212293m m ---122(3)(3)(3)(3)(3)m m m m m +=-+--+ 12262(3)2(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m ---===-+-+-+． （2）()()()()112323232323232323x y x y x y x y x y x y x y x y -++=++-+-+- ()()2223234232349x y x y x x y x y x y -++==+--. 类型三、分式的加减运算的应用3、（白云区期末）设A 、B 两地的距离为s ，甲、乙两人同时从A 地步行到B 地，甲的速度为v ，乙用v 的速度行走了一半的距离，再用v 的速度走完另一半的距离，那么谁先到达B 地，说明理由．【思路点拨】分别求出甲乙两人走完全程的时间，比较即可．【答案与解析】 解：甲走完全程的时间为，乙走完全程的时间为+=+=2524•， ∵2524•＞， ∴甲先到达B 地．【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数是变大了，还是变小了？请先举例发现其中的规律，再设法说明理由．【答案与解析】解：应选择不同特点的分数来试验探索．1112122132+=>+:；5527544264+=<+:； 2224233253+--=-<-+:；882823323+--=->-+:；… 我们发现：对于正的真分数，分子、分母都加相同的正数时分数变大；对于正的假分数，分子、分母都加相同的正数时分数变小；对于负分数，结论与上两条恰好相反．说明：（1）对于b a（a ，b 均为正整数，且a b >），分子、分母同时加上正数m ，则变成b m a m++．因为()()()()b m b a b m b a m a m a a a m a a m +++-=-+++()0()()am bm m a b a a m a a m --==>++，所以b m b a m a+>+．① （2）对于b a （a ，b 均为正数，且a b <），分子、分母同时加上正数m ，则变成了b m a m ++，因为()0()b m b m a b a m a a a m +--=<++，所以b m b a m a+<+．② （3）对于负分数的情形，只要将①、②两式两边同乘－1即得结论．【总结升华】通过特例发现问题，得出一般结论，并去证明，是我们常用研究、探索问题的手段．。

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】【分式全章复习与巩固知识要点】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在m a y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况.举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+--22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2016•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得 3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解． 类型四、分式方程的应用5、（2015•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ．根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。

初二分式所有知识点总结和常考题知识点：1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考题：一．选择题（共14小题）1．在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．不变D．缩小2倍4．把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）=1 B．1+（1﹣x）=1 C．1﹣（1﹣x）=x﹣2 D．1+（1﹣x）=x﹣25．化简÷（1+）的结果是（）A．B． C．D．6．计算的结果为（）A．B． C． D．7．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠38．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=69．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．10．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．11．如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C．D．12．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．B．C．+4=9 D．13．计算的结果为（）A．1 B．x+1 C． D．14．若分式（A，B为常数），则A，B的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共13小题）15．计算：=．16．若分式有意义，则实数x的取值范围是．17．分式方程的解x=．18．若代数式的值为零，则x=．19．化简的结果是．20．化简：=．21．计算÷（1﹣）的结果是．22．若关于x的方程=+1无解，则a的值是．23．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是．24．a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P Q（填“＞”、“＜”或“=”）．25．如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式的值为．26．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产台机器．27．杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为．三．解答题（共13小题）28．先化简，再求值：，其中．29．先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．30．已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．31．解方程：．32．先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．33．先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．34．解分式方程：+=1．35．已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．36．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？37．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？38．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．39．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？40．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2012春•潜江期末）在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：、、9x+这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：B．【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．2．（2014•南通）化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．【解答】解：=﹣===x，故选：D．【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．3．（2012•岳麓区校级自主招生）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．不变D．缩小2倍【分析】把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：==2•，即分式的值扩大2倍．故选：B．【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．4．（2005•扬州）把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）=1 B．1+（1﹣x）=1 C．1﹣（1﹣x）=x﹣2 D．1+（1﹣x）=x﹣2【分析】分母中x﹣2与2﹣x互为相反数，那么最简公分母为（x﹣2），乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）=x﹣2．故选：D．【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为﹣1．5．（2013•临沂）化简÷（1+）的结果是（）A．B． C．D．【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．【解答】解：原式=÷=•=．故选A．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．6．（2008•黄冈）计算的结果为（）A．B． C． D．【分析】先算小括号里的，再把除法统一成乘法，约分化为最简．【解答】解：==，故选A．【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．7．（2014•黑龙江）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．8．（2009•潍坊）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=6【分析】幂运算的性质：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；②一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数，算术平方根的概念：一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，0的算术平方根是0．绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误；B、（）﹣1=2，故B错误；C、=4，故C错误；D、根据负数的绝对值等于它的相反数，故D正确．故选D．【点评】本题涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．9．（2013•本溪）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．方程可表示为：．故选：B．【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．10．（2014•黔南州）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．【解答】解：根据题意，得．故选：C．【点评】理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．11．（2013•杭州）如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C．D．【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．【解答】解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），则k====1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，∴1＜+1＜2，∴1＜k＜2故选B．【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．12．（2016•本溪一模）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B 地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．B．C．+4=9 D．【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：．所列方程为：+=9．故选A．【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．13．（2005•武汉）计算的结果为（）A．1 B．x+1 C． D．【分析】先算括号里的通分，再进行因式分解，将除号换为乘号，最后再进行分式间的约分化简．【解答】解：===，故选C．【点评】注意：当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算．14．（2004•十堰）若分式（A，B为常数），则A，B的值为（）A．B．C．D．【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．【解答】解：．所以，解得．故选B．【点评】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算．二．填空题（共13小题）15．（2014•陕西）计算：=9．【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式===9．故答案为：9．【点评】本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于该数对应的正整数指数幂的倒数．16．（2014•衢州）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5．【分析】由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，即x≠5．故答案为：x≠5．【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．17．（2013•梅州）分式方程的解x=1．【分析】本题的最简公分母是x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1≠0．∴x=1是原方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．18．（2013•临夏州）若代数式的值为零，则x=3．【分析】由题意得=0，解分式方程即可得出答案．【解答】解：由题意得，=0，解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．故答案为：3．【点评】此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．19．（2013•凉山州）化简的结果是m．【分析】本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．【解答】解：=（m+1）﹣1=m故答案为：m．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键．20．（2013•衢州）化简：=．【分析】先将x2﹣4分解为（x+2）（x﹣2），然后通分，再进行计算．【解答】解：===．【点评】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．21．（2015•黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=•=，故答案为：．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2013•绥化）若关于x的方程=+1无解，则a的值是2或1．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．23．（2013•德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是m ．＞﹣6且m≠﹣4【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．【解答】解：解关于x的方程得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x 的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．24．（2009•枣庄）a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P =Q（填“＞”、“＜”或“=”）．【分析】将两式分别化简，然后将ab=1代入其中，再进行比较，即可得出结论．【解答】解：∵P==，把ab=1代入得：=1；Q==，把ab=1代入得：=1；∴P=Q．【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可．25．（2013•达州）如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式的值为5．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数x满足x2+2x ﹣3=0求出x2+2x的值，代入原式进行计算即可．【解答】解：原式=×（x+1）=x2+2x+2，∵实数x满足x2+2x﹣3=0，∴x2+2x=3，∴原式=3+2=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．26．（2013•呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产200台机器．【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．【解答】解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．依题意得：=．解得：x=200．检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．∴x=200是原分式方程的解．∴现在平均每天生产200台机器．故答案为：200．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．27．（2013•舟山）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为﹣=3．【分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，即可列出方程．【解答】解：根据题意得：﹣=3；故答案为：﹣=3．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系并列出方程．三．解答题（共13小题）28．（2013•眉山）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．【解答】解：原式=+（x﹣2）（3分）=x（x﹣1）+（x﹣2）=x2﹣2；（2分）当x=时，则原式的值为﹣2=4．（2分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．29．（2005•徐州）先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．【分析】本题考查的化简与计算的综合运算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．此题要注意的是a≠1．【解答】解：原式===，∵a﹣1≠0，∴a≠1，当a=2时，原式=2．【点评】此题考查了分式的化简求值，取合适的值代入原式求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．30．（2015•甘南州）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．【解答】解：=（2分）=；（4分）当x﹣3y=0时，x=3y；（6分）原式=．（8分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．31．（2013•普洱）解方程：．【分析】观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3，解得x=1，检验：x=1时，x﹣2≠0，∴x=1是原分式方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母时有常数项的不要漏乘常数项．32．（2013•重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．【分析】首先把分式进行化简，再解出不等式，确定出x的值，然后再代入化简后的分式即可．【解答】解：原式=[﹣]×，=×，=×，=，3x+7＞1，3x＞﹣6，x＞﹣2，∵x是不等式3x+7＞1的负整数解，∴x=﹣1，把x=﹣1代入中得：=3．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，以及不等式的整数解，关键是正确把分式进行化简．33．（2013•巴中）先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•+=+=，当a=2（a≠﹣1，a≠1）时，原式==5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．34．（2013•陕西）解分式方程：+=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x2﹣4，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．35．（2015•广州）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x 的值代入化简后的A式进行计算即可．【解答】解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．【点评】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．36．（2013•哈尔滨）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；（2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴x+10=30（天）答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意，得，解得：a≥3．答：甲队至少再单独施工3天．【点评】本题是一道工程问题的运用，考查了工作时间×工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方．37．（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10=，解得x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x=3×120=360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．38．（2014•广州）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可；【解答】解：（1）根据题意得：400×1.3=520（千米），答：普通列车的行驶路程是520千米；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：﹣=3，解得：x=120，。

复习要点1. 分式的概念是中考考点之一，分式的性质是分式进行恒等变形的理论基础，通分、约分是分式性质的一种运用。

2. 分式运算是本章的重点内容之一，也是中考的考点之一，它必须在熟练运用法则的前提下，按正确的运算顺序进行运算。

3. 解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程，验根是解分式方程必不可少的步骤。

分式方程又是解决实际问题的工具之一。

一.选择题1. 当x 为任意实数时，下列分式中一定有意义的是 （ ） A.||1x x - B.1||1-+x x C.1||1+-x x D.21+-x x 2. 要使x x --442与xx --54的值互为倒数，则x 的值是 （ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．21 3. 如果3553=-+-mA m ，那么A=（ ） A 8-mB m -2C m 318-D 123-m4. 在下列各式中正确的是 （ ） A.22a b a b = B.b a ba b a +=++22 C.y x y y x y +=+22 D.xy y x xy y x 23613121-=- 5. 如果32=b a 且2≠a ，那么51-++-b a b a 等于 （ ） A.0 B.51 C.51- D.没有意义 6. 计算11--+a a a 的结果是（ ） A 、11-a B 、11--a C 、112---a a a D 、1-a 7. y x x y m -=，yx x y n +=，那么22n m -等于 （ ）A.4B.-4C.0D.222xy 8. 第二十届电视剧飞天奖今年有a 部作品参赛，比去年增加了40%还多2部，设去年参赛作品有b 部，则b 的值是 （ ） A.%4012++a B.()2%401++a C.%4012+-a D.()2%401-+a 9. 甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用天数相等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出的方程是 （ ） A.x x 70580=- B.57080+=x x C.x x 70580=+ D.57080-=x x 二.填空题10. 当x 时，分式44--x x 的值为零；11. 若当x=2时，分式 m x x 22- 没有意义，则当 x=3时，分式mx mx +的值= ； 12. 若把分式22yx y x -+中的字母x 和y 同时变为原来的3倍，分式的值 ； 13. 若分式1232-a a 的值为负，则a 的取值范围为__________； 14. 已知分式方程xk x --=+-22321有增根，则______=k ； 15. 当________=a 时，关于x 的方程4532=-+x a ax 的根是2； 16.若52=+x x ，则________422=+x x ； 17. 已知：()()5252223--+=-+-x b x a x x x ，则_______=+b a ； 18、已知2-=x 时，分式ax b x +-无意义，4=x 时，分式的值为零，则____=+b a 。

第十章 中心对称图形——平行四边形一、知识结构梳理二、重点专题解析专题1 分式有意义的条件与分式的值例1：当x 时，分式xx112-有意义。

例2：若分式)3)(2(2-+-x x x的值为0,则x 的值为 专题2 分式的基本性质与化简 例3：化简：222n m mnn m n n m m --+--例4：如图①、图②，设图②中阴影部分的面积图①中阴影部分的面积=k 0＞＞b a ，则有（ ）A.k ＞2B.1＜k ＜2C.121＜＜k D.210＜＜k专题3 分式方程与增根 例5：已知关于x 的分式方程112=++x a 的解是非正数。

则a 的取值范围是专题4 运用整体思想化繁为简 例6:设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则mnn m 22-的值为例7：如图实数满足x2+2x-3=0,那么代数式11)2`1(2+÷++x x x 的值为专题5 数学建模类型例8：甲乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？三、中考能力达标1.下列运算正确的是( )A.x 10÷x 5=x 2B.x -4·x=x -3C.x 3·x 2=x 6D.(2x -2)-3=-8x 62. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A.11a b + B.1ab C.1a b + D.aba b+ 3.化简a b a b a b --+等于( )A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +- 4.若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是( )A.2或-2 B.2 C.-2 D.45.不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y -+ D.121546x yx y-+6.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.计算4222xx x x x x⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的结果是( )A. -12x + B. 12x + C.-1 D.1 8.若关于x 的方程x a cb x d-=- 有解,则必须满足条件( ) A. a ≠b ，c ≠d B. a ≠b ，c ≠-d C.a ≠-b , c ≠d C.a ≠-b , c ≠-d9.若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )A.a<3 B.a>3 C.a ≥3 D.a ≤3 10.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=111.把下列有理式中是分式的代号填在横线上 ．(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7)－π-12m ； (8)5.023+m .12.当a 时，分式321+-a a 有意义． 13.若x=2-1,则x+x -1=__________. 14.某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务,如果要提前a 天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.15.计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________.16.已知u=121s s t -- (u ≠0),则t=___________. 17.当m=______时,方程233x mx x =---会产生增根. 18.用科学记数法表示:12.5毫克=________吨. 19.当x 时，分式xx--23的值为负数． 20.计算(x+y)·2222x y x y y x+-- =____________.2123651x x x x x+----; 22.2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+.23、（1）x x x x --=-+222； （2）41)1(31122=+++++x x x x（3）1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x （4）3124122=---x x x x24、已知方程11122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（ ）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数） 【答案】B ；【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程2、 解分式方程（1）10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-． 【答案与解析】解：（1）10522112x x+=--， 将方程两边同乘(21)x -，得10(5)2(21)x +-=-． 解方程，得74x =． 检验：将74x =代入21x -，得52102x -=≠． ∴ 74x =是原方程的解． （2）225103x x x x-=+-， 方程两边同乘以(3)(1)x x x +-，得5(1)(3)0x x --+=．解这个方程，得2x =．检验：把2x =代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．∴ 原方程的解是2x =．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．举一反三： 【变式】解方程：21233x x x -=---． 【答案】 解：21233x x x-=---， 方程两边都乘3x -，得212(3)x x -=---，解这个方程，得3x =，检验：当3x =时，30x -=，∴ 3x =是增根，∴ 原方程无解．类型三、分式方程的增根3、（2015春•安岳县期中）若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值．【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【答案与解析】解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得2（x+2）+mx=3（x ﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x ﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．举一反三： 【变式】如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是________． 【答案】2x =；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20x -=或20x -=可得2x =．所以增根是2x =．类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．【答案与解析】解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种()2x+棵树．由题意可得60662x x=+，解这个方程，得20x=．经检验20x=是原方程的根且符合题意．所以222x+=(棵)．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．举一反三：【变式】（2016•淮安）王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？【答案】解：设原计划每小时检修管道x米．由题意，得60060021.2x x-=．解得50x=．经检验，50x=是原方程的解．且符合题意．答：原计划每小时检修管道50米．。

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习分式的乘除（提高）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】【402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成nn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】 类型一、分式的乘法1、（2016北京•门头沟一模）已知x －3y =0，求()2222x yx y x xy y +⋅--+的值．【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x =3y 代入可求分式的值．【答案与解析】 解：原式=()()22x yx y x y +⋅--=2x yx y+- ∵ x －3y=0，∴ x=3y ．∴当x=3y 时，原式=2377322y y y y y y ⨯+==-． 【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式的值． 举一反三：【变式】已知分式2|2|(3)0a b a b -+-=+，计算22222a aba abb a b +--的值．【答案】解：22222222()()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b +-+-==-+-．∵2|2|(3)0a b a b-+-=+， ∴ 2|2|(3)0a b -+-=，且0a b +≠，即20a -=且30b -=，解得2a =，3b =，此时50a b +=≠．∴ 原式222439==．类型二、分式的除法2、上，李老师给同学们出了这样一道题：当3x =，5-，7时，求代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的x 的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母x 的取值无关． 【答案与解析】解： 2222122(1)1111(1)(1)2(1)2x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--．所以无论x 取何值，代数式的值均为12，即代数式的值与x 的取值无关．所以当3x =，5-7+时，代数式的值都是12．【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质． 举一反三：【变式】已知20a b +=，其中a 不为0，求22222ba ab a bab a --÷+的值.【答案】解：原式＝()()()()2a a b a b a b b a a b ++-⋅- ＝()22b b a +. ∵ 20a b +=， ∴ a b 2-=.∴ 原式＝22224)2()(aa a a =--. ∵ a 不为0， ∴ 原式＝41.类型三、分式的乘方3、 （2015春•泉州校级期中）计算：．【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣•=﹣．【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方． 类型四、分式的乘除法、乘方混合运算 【402545分式的乘除运算 例2（4）】4、 若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．【答案与解析】解：22232442().()422m m m m m m m +++÷--- ()()()()()()()22322222282282m m m m m m m m m m +-=-⨯⨯+-+-=-+∵m 等于它的倒数，∴1,m m=解得1m =± ∴1m =时，原式＝124；1m =-时，原式＝38-.【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 举一反三：【变式】（2014春•安县校级月考）化简：．【答案】 解：原式=﹣••=﹣．。

分式分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母；（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况；（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果。

（判断一个数是分数还是整数，要化简）分式有意义，无意义或等于零的条件：1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，避免分母的值为零；（2）遇到没有特殊说明的分式，都是有意义的，要注意隐含条件分式中的分母的值不等于零；（3）求分式的值，必须在分式有意义的前提下。

分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）.注意：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件；（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.分式的变号法则：对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.分式的约分，最简分式:与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习分式的加减（提高）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】【403995 分式的加减运算 知识讲解】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【403995 分式的加减运算 例1】1、计算：（1）22256343333a b b a a b a bc ba c cba +-++-；（2）2222()()a b a b b a ---； （3）22m n n m n m m n n m ++----； （4）33()()x y x y y x ---． 【答案与解析】解：（1）原式2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=225634323a b b a a b a bc a c ++---==． （2）2222()()a b a b b a ---222222()2()()()a b a b a b a b a b a b-=-==----； （3）22m n n m n m m n n m++---- 22221m n n m m n n m n m n m n m n m n m n m++---=--===-----； （4）33()()x y x y y x ---333()()()x y x y x y x y x y +=+=---． 【总结升华】根据乘法交换律有222333a bc ba c cba ==，所以本题是三个同分母分式的加减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再加减．仔细观察分母中2()a b -与2()b a -，()n m -与()m n -、3()x y -与3()y x -的互相转化中符号的变化． 类型二、异分母分式的加减2、（新罗区校级月考）计算：．【答案与解析】解：原式=． 【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三：【变式】计算（1）（2016·十堰）222442242x x x x x x-+-++-+； （2）222()()()()()()a b c b c a c b a a b a c b c b a c b c a ------++------． 【答案】 解：（1）222442242x x x x x x-+-++-+ ()()()()2222222x x x x x x --=+++-+()22222x x x x x--=++++ ()()()()()2222222x x x x x x x x x x x -+-=+++++ ()2222242x x x x x x x -+-++=+()23322x x x x +-=+； （2）原式111111a c a b b a b c c a c b=+++++------ 1111110a c a c a b a b b c b c =-+-+-=------．3、 化简222236523256x x x x x x x x ++++-++++ 【答案与解析】 解：原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 22443256x x x x =+++++ 44(1)(2)(2)(3)x x x x =+++++ 4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)x x x x x x x x ++=+++++++ 816(1)(2)(3)x x x x +=+++ 8(1)(3)x x =++． 【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察分式的特点，然后选择合适的计算方法．举一反三：【变式】某商场文具专柜以每支a （a 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399a ＋805)元．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元?【答案】解：设文具专柜共购进了钢笔y 支， 则39980539979877399222a a y a a a +++===++++． 因为a 为正整数，y 也为正整数，所以a ＋2是7的正约数，所以a ＋2＝7或a ＋2＝1．所以a ＝5或a ＝－1(不合题意，舍去)．所以当a ＝5时，y ＝400． 即文具专柜共购进了400支钢笔，每支进价为5元．类型三、分式的加减运算的应用4、 已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，求整式A ，B ． 【思路点拨】首先对等式的右边进行通分，可得(2)(1)(1)(2)A x B x x x -+---．已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即34()(2)x A B x A B -=+-+．多项式恒等即对应项的系数相等，由待定系数法可得3,(2)4,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩可求得A ，B ． 【答案与解析】 解法一：由已知得34(2)(1)(1)(2)(1)(2)x A x B x x x x x --+-=----， 即34()(2)(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -+-+=----． 所以3,24,A B A B +=⎧⎨+=⎩ 所以1,2.A B =⎧⎨=⎩解法二：等式两边同时乘以(1)(2)x x --，得34(2)(1)x A x B x -=-+-，令1x =，则A ＝1．令2x =，则B ＝2．所以A ＝１，B ＝2．【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A ，B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与x 取值无关，故令x ＝1，x ＝2简化式子，求出A ，B 的值．举一反三：【变式】（2015春•东台市校级期中）已知计算结果是，求常数A、B的值．解：因为===所以，解得，所以常数A的值是1，B的值是2．。

?分式?章节复习总结、复习目标与要求1 .本章主要学习了分式的根本概念和性质,分式的加减法和乘除法、含有字母系数的一元一次方程和分式方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程及其应用.2 .应当注意理解分式、有理式的概念,会求分式有意义的条件.应注意掌握分式的根本性质,能用它将分式变形,并能熟练进行通分和约分,掌握分式加减、乘除的运算法那么,进行分式的运算.3 .掌握含有字母系数的一元一次方程的解法,会进行简单的公式变形,深入理解分式方程的概念,掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,并能判定分式方程的增根,掌握可化为一元一次方程的分式方程的应用题的解法.4 .在进行分式加减运算时要注意通分,在进行分式的乘除运算中,注意对结果的约分化简.5 .在解含有字母系数的一元一次方程时,用含有字母的式子去乘或除方程的两边时,这个式子的 值不能为零,如果无法判断是否为零,那么应当进行讨论.定义；含字母系数的一元一衩方程 可化为一元一次方程的分式方程的解法 列方式方程就应用题1 .分式及分式的根本性质2 .分式的运算(1)约分：①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.②分式约分的依据：分式的根本性质. ③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的6.解分式方程时,由于可能会产生增根,因而一定要进行检验.分式定义 二、知识结构梳理概念有关耦念 ,有理式 最荷分式 最简公分母分式分式的根本性僦A JxM ¥ = BxM 4 =学皆M 是不等于零的整式) ,oB TM加演法分式的运直 除法中4ab d be分式方程三、重点知识梳理乘方乘.一了就公因式.④约分的结果：最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)(2)分式的乘法：乘法法测：-£ =变.b d bd(3)分式的除法：除法法那么：-^- = - .9=史b d bc bc(4)分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(自)：■,bn...... ............. ................. ............................... a a分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表不为：(一)n=F(n为正整数)b b n3.分式方程及其应用(1)分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程注意：它和整式方程的区别就在于分母中是否含未知数(2)分式方程的解法①方程两边都乘以最简公分母,去分母,化为整式方程；②解这个整式方程；③验根(3)分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出分式方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要验是否符合题意；⑦答：写出答案四、易混、易错,问题辨析1.符号错误a b例1.不改变分式的值,使分式 a b的分子、分母第一项的符号为正.一a 一b诊断：约分的根据是分式的根本性质,将分子、分母的公因式约去,假设分子、分母是多项式,须先分解因式,再约去公因式.错解:一a b a b -a -ba -b诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号.正解:-a b -(a -b) a -b -a -b - (a b) a b2 .运算顺序错误2a - 4 a - 2 例 2.计算：22a 4 a-^ .(a 3)a 4a 3 a 3 错解：原式=2(a -2)+ (a -2) = i-2 ---------------------------- .a 4a 3 a 4a 3诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算,运算顺序应从左至右.正解: 原式2a -4 a 3 2(a ： ~2 ------------ ■ ------- .(a 3)= -------------- a 4a 3 a-2 a-13 .错用分式根本性质3.2a - 一 b 例3.不改变分式的值,把分式 ——2一的分子、分母各项系数都化为整数.-a b3(2a --b) 2错解：原式=22------(2 a b) 3 34a -3b2a 3b诊断：应用分式的根本性质时, 分式的分子、分母必须同乘以同一个不为 0的整式,分式的值不变,而此题分子乘以2,分母乘以3,分式的值改变了.(2a --b) 6 正解：原式= ------------- 2 ---------(2a b) 6 312a -9b4a 6b4 .约分中的错误例4.约分:a 2 ab ~22a 2ab b 错解：原式1 1 12 b 23 b 2诊断：此题错误在于添加分数线时,忽略了分数线的括号作用.丘gqx 3 x 2 x 1x 3(x - 1)(x 2 x 1)x 3 x 3 -1 1正解：原式=—— ------- ----------- =—— -(----------- ------------ ) = —————x -11 x -1x -1x - 1 x - 1 x - 1五、典型问题梳理例1.判断以下各代数式中,哪些是分式?a(a b)正斛：原式= ----------- 2(a b)5 .结果不是最简分式例5.计算：力 x -yx 2y 2x - 3y ~22 + ―2 2 ,x 7 x 「y错解:原式=(x 3y )-(x 2y ) (2x -3y ) 2x -2y诊断：分式运算的结果必须化为最简分式,而上面所得结果中分子、分母还有公因式,必须进一步约分化简.正解：原式(x 3y) -(x 2y) (2x -3y) 2x -2y 2(x- y) 222二—2 2 二 IT 二x -yx —y (x y)(x-y) x y6 .误用分配律…、— m 2m 2 例 6.计算： ------------- 〒(m + 2 -------- ).2m -4 m - 21 J 3 -m 2(m -2)2 - 2(m -2)- m 2错解：原式=m --(m - 2) 2(m -2)2(m -2) m -2 诊断：乘法对加法有分配律,而除法对加法没有分配律.正解：原式_2___,m 2 , m -m -6 m 2 m -2 1--------- ~ -------------- = --------- - ----------------- - ------------2(m -2) m -22(m -2) (m 2)(m -3) 2(m -3)7 .忽略分数线的括号作用3例 7.计算：——— x 2 -x -1 .x -1x 3 (x -1)(x 2 - x -1)x -1 x -12x 2 -1 x -1错解:2x - x -11(1) 1+- (2) x (3) x —3x a5解：如果式子分母中含有字母,那么叫做分式,因此(1) (2)是分式,(3)不是分式.例2.使分式(x +7)(x -2)有意义的条件是什么?使分式的值为零的条件是什么？ |x|-7解：使分式有意义的条件是分母的值为零,所以当 |x|—7W0,即XW 土时,分式有意义；使分式值为零的条件是分式分子的值不能为零,分母的值不等于零,所以当 x+7=0或x — 2=0且xw±j 即x=2时,分式的值为零.2m -3m- 29 -m2〃 m -3m m(m -3) m解： -------- 厂二 --- --------------- 二 -- ------9 -m (m 3)(m -3) m 3说明：①当分式的分子、分母为多项式时,先要进行因式分解,才能够依据分式的根本性质进行约 分.②注意对分子、分母符号的处理. 一 x x 4x例5.先化简,再求值：( --------------------- )+——,其中x=2005x -2 x 2 x -2j -r V 14例6.斛方程 --------- --2 ------- =1 .y -1 y -1解：两边同乘以(y+1)(y —1),去分母,得(y+1)2-4=y 2- 1, y 2+2y+1 — 4=y 2—1, y=1检验：把y=1代入最简公分母：(y+1)(y —1)=(1+1)(1 — 1)=0,,y=1是增根.所以,原方程无解...、一一2x 3 -m例7.关于x 的万程 ----------- + ------- =3有增根,求 m 的值.x 122r x解：方程两边都乘以(x-2),得2x-(3-m)=3(x- 2),把x=2代入上面得到的整式方程,得 4-3+m=0.所以 m= — 1.说明：假设分式方程有增根,那么增根一定是使最简公分母等于零的未知数的值 ；反过来,使最简公分母 等于零的未知数的值不一定是方程的增根.例8.某自来水公司水费计算方法如下：假设每户每月用水不超过5 m 3,那么每立方米收费1.5元；假设每户每月用水超过5 m 3,那么超出局部每立方米收取较高的定额费用 .1月份,张家用水量是李家用水量的 3 , 张家当月水费是17.5元,李家当例4.解：原式=x 2 2x -x 2 2x (x 2)(x -2)x -2 1 14x - x 2 - 2007月水费是27.5元.超出5 m3的局部每立方米收费多少元？解：设超出5 m3局部的水,每立方米收费设为x元,根据等量关系,得17.5 -1.5 5 27.5 —1.5 5 2 加、人士加 /曰n------------------ +5= ( ----------------------- +5) X-.解这个万程,得x=2.经检验x=2是所列方程的根.答：超出 5 m3局部的水,每立方米收费2元.六、链接中考x —2 4x 1例9.有一道题先化简,再求值：( ----- 十^——)得———,其中x = -J3. 小玲做题时把x 2 x —4 x —4'x = -J3〞错抄成了‘x =百〞,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？2x -八5 / x.2 4x 、 1 x .4x 4 4x , 2 ,、 2解：先化间：( ----------- 十二----- )〒二----- = --------- 2 ---------- ^(x — 4) = x +4, 由于x = J3 或x 2 x -4 x -4 x -4x=-石,x2的值均为3,原式的计算结果都是7,所以把‘x = -J3〞错抄成‘x = J3〞,计算结果也是正确的.例9.如图,小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为 3 km,王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗非典〞第一线,为了使他能按时到校,王老师每天骑自行车接小明上学.王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20分钟,问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？// •学校解：分析题目中的等量关系：王老师骑车速度=王老师步行速度M；厂.王老师家王老师从家出发骑车接小明所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟. /设王老师步彳T速度为x km/h,那么骑自行车的速度为3xkm/h.依题意,得2父3+0.5 ="+型,解得x=5,经检验x=5是原方程的根,•小明家3x x 60这日3 3x=15.答：王老师步行速度为 5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h..例11我市受14号台风云娜〞的影响后,局部街道路面积水比拟严重.为了改善这一状况,市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.假设甲、乙两队合做需12天完成此项工程；假设甲队先做了8天后,剩下的由乙队单独做还需18天才能完工.问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又甲队每施工一天需要费用2万元,乙队每施工一天需要费用1万元,要使完成该工程所需费用不超过35万元,那么乙工程队至少要施工多少天？解：设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天,y天.1 1 1——+ —=---- 『依题意得I工y12 解之得「二20,8 18 i y = 30.—+——=1・1「1 y经检验知它们适合方程组和题意.那么甲队每天施工1200及0=60m,乙队每天施工1200 T0=40m.设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a天,b天.依题意得J 解之得b>35[2a+i<35.答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天,30天；要使完成该工程所需费用不超过35万元, 那么乙工程队至少要施工15天.。

《分式》知识要点回顾《分式》一章的主要内容是分式的概念、分式的基本性质及其运算、可化为一元一次方程的分式方程和列简单的分式方程解应用题．这些知识都是学习数学的基础内容，为了帮助同学们能够不够好地掌握这些知识，现将这一章的重点再来一次回顾．一、知识要点回顾1、分式的概念：形如AB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B•叫做分式的分母．整式和分式统称有理数，即有理式⎧⎨⎩整式,分式.2、分式的基本性质：分式的这一基本性质可类比分数的基本性质而得到，但又区别于分数的基本性质．3、约分：约分是根据分式的基本性质，分子、分母都同除以最大公约式，化成最简分式．约分后，分子与分母不再有公因式．我们把这样的分式称为最简分式．公因式：①系数取最大公约数；②字母取相同字母；③相同字母取最低次幂．4、通分：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式．通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂作为公分母，叫做最简公分母．最简公分母：①系数取最小公倍数；②字母取所有字母；③取所有字母的最高次幂．特别强调：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式．5、分式的乘除：类似分数乘除法法则即可得出分式乘除法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除数相乘．6、同分母的分式的加减法法则：同分母的分式的加减法，只要把分子相加减，而分母不变．异分母的分式的加减法法则异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减．分式的混合运算类似分数的混合运算法则．7、分式方程：含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．解分式方程，类似于解一元一次方程的去分母，把分式方程两边同时乘以最简公分母，约去分母得到整式方程，解这个整式方程．8、关于增根：①增根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的解（或根），这种根通常称为增根．②解分式方程时必须进行检验．③为什么会产生增根呢？对于原分式方程来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但方程变形后得到的整式方程则没有这个要求，如果所得整式方程的某个根使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式的值为零，这就不适合原方程，即是原方程的增根．④分式方程怎样检验？将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根．9、可化为一元一次方程的分式方程的应用同整式方程的应用一样，首先分析题意，假设一个未知量x，根据题意列出分式方程，并解出这个分式方程，检验是不是原方程的根且是否符合题意，并答．步骤如下：①审清题意；②设未知数；③根据题意中数量关系列出式子，找出相等关系列出分式方程；④解分式方程，并验根；⑤看方程的解是否符合题意；⑥写出答案。