章末总结知识网络图示专题总结及应用知识技能专题专题1三角形三边关系运用【专题解读】三角形三边关系“三角形任何两边的和大于第三边”以及“三角形任何两边的差小于第三边”．它是判断三条线段能否组成三角形的依据，常作为隐含的限制条件，在进行有关三角形边的计算问题时，一定不要忽略其对三角形的三边制约..【例1】有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，你说第三根要多长呢？用长度为3cm 的木棒行吗？为什么？长度为14cm 的木棒呢？【分析】先求出第三边的取值范围，在取值范围内讨论第三根木棒的可能长度．【解取长度3cm 的木棒时，由于3＋5＝8，与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以不能摆成三角形；取长度为14cm 的木棒时，由于5＋8＜14，同样与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以也不能摆成三角形。
从上可知第三木棒的长度应该是大于3cm 且小于13cm.【解题策略】用三角形三边关系来判别专题2三角形内角、外角性质的综合运用【专题解读】三角形内角和定理的内容为：三角形的三个内角之和为180°；三角形的外角的性质的内容为：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形内角、外角是紧1. 不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,2.由三角形和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角3.在三角形中,一个内角平分线与它对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线;连接一个顶点与它对边中点的线段叫三角形的中线;从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.4.能够重合的两个图形称为全等形.5. 能够重合的两个三角形叫做全等三角形.1.三角形任何两边的和大于第三边.2.三角形三个内角的和等于180°.3.三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4.全等三角形对应边相等,对应角相等.5.角平分线上的点到角两边的距离相等6.垂直平分线上的点到线段两端点距离相等1.三角形分类: 锐角三角形、直角三角形、（15）三角形.2.判定三角形全等的条件: SSS,SAS,ASA,AAS, . 概念三角形 性质 方法画法 根据五种基本作图法来定义与命题 1、命题的结构2、命题的真假 ←命题的证明 证明的部分依据密联系又可以相互转化的，求一个角时，一定要结合图形观察角的关系，并运用其性质，结合角的和、差、倍、分探求解决的思路.【例2】(2012辽宁葫芦岛，12，3分)如图，CD ，BE 相交于点A ，若∠B ＝70°，∠DAE ＝60°，则∠C 等于 ° ．EDA B C【分析】由对顶角相等得∠BAC 的度数；在△ABC 中，由内角和定理求∠C 的度数．【解】∠BAC ＝∠DAE ＝60°．∠C ＝180°－(∠B ＋∠BAC )＝180°－(70°＋60°)＝50°．【解题策略】解题关键是三角形的内角和定理．【例3】如图，AD ⊥BD ，AE 平分∠BAC ，∠B=30°，∠ACD=70°.求∠AED 的度数.【分析】由垂直定义先求出∠ADC=90°.在△AB D 、△A DC 中运用内角和定理分别求出∠BAD 、∠CAD 的度数,它们的差就是∠BAC 的度数,运用角平分线性质求出∠BAE 的度数,而由外角的性质∠AED 是∠B 与∠BAE 的和.【解】∵AD ⊥BD∴∠ADC=90°∵∠B=30°，∠ACD=70°∴∠BAD=180°－∠ADC －∠B=180°―90°―30°=60°∠CAD=180°－∠ADC －∠ACD =180°―90°―70°=20°∴∠BAC=∠BAD －∠CAD=60°―20°=40°∵AE 平分∠BAC∴∠BAE=21∠BAC=21×40°= 20° ∴∠AED=∠B+∠BAE=30°+20°=50°.【规律·方法】在三角形中求角的度数时,通常要考虑运用三角形内角和定理,外角的性质,探求求角的方法,也要根据所给条件综合角平分线的性质、角的和差关系等来解决,我们在寻找解决方法时一定要仔细观察图形.专题3垂直平分线的性质的运用【专题解读】垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等. 垂直平分线的性质常作为证明两条线段相等的依据.【例4】如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△ABC的周长等于18cm，求AC的长.【分析】由于DE是AB的垂直平分线，可得EA=EB，可以把BE+EC转化为AC.【解】∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴AC=AE+EC=EB+EC.又∵△ABC的周长等于18cm∴EB+EC+BC=18，∵BC=8，∴EB+EC=18－8=10.∴AC=10.【规律·方法】垂直平分线实现线段的相等关系与另一组线段的相等关系的直接转化.专题4 角的平分线的性质的运用【专题解读】角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等.运用此性质判断两条线段相等时，一定要注意条件，不光只有角平分线，还有就是两条线段都垂直于角的两边. 【例5】如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD 于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CFF A BECD【分析】先用“SSS”证出△ABC≌△ADC,得出∠BAC=∠DAC,结合CE⊥AD，CF⊥AF直接运用角平分线的性质判断CE = CF.【解】在△ABC与△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC=∠DAC（全等三角形对应角相等）∵CE⊥AD于E，CF⊥AF∴CE = CF（在角平分线上的点到角两边的距离相等）【规律·方法】角平分线的性质实现角的相等关系与边的相等关系的直接转化.专题5 全等三角形判定与性质的运用【专题解读】在判定一般三角形全等的四种方法(SAS、ASA、AAS、SSS)中，每一种都有三个独立的条件．而在具体问题中，往往只有一两个条件在题设中直接给出(有时甚至一个也没有)，其余的条件往往隐含于题设或图形之中，找到这些的条件是解决问题的关键.【例6】（2012四川眉山，18，3分）在ΔABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，则AD的取值范围是 ．【分析】“倍长中线”构造全等三角形,再“两边之差<第三边<两边之和” 得不等式进行求解.【解】 EDCB A如图,延长AD 至点E 使DE=AD,连接CE.∵AD 是BC 边上的中线,∴BD=CD.在△ABD 和△ECD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ED AD EDC ADB CD BD∴△ABD ≌△ECD(SAS).∴EC=AB=5.在△ACE 中,EC-AC<AE<AC+EC.D CB A即5-3<2AD<3+5.∴1<AD<4.答案：1<AD<4.【规律·方法】解题关键是“倍长中线”构造三角形全等,将分散的条件转化到同一个三角形中. “倍长中线”是解三角形的中线有关的问题中的常用辅助线.【例7】如图，AB=CD ，AE=DF ，CE=BF.求证：AE DF ∥.【分析】运用“SSS ”先证出E AB △≌DCF △,得到AEB DFC ∠=∠,运用“等角的补角相等”证出AEF DFC ∠=∠,根据“内错角相等,两直线平行”判定AE DF ∥.【解】∵CE=BF ，∴CE-EF=BF-EF ，即CF=BE.在E AB △和DCF △中，,,,AE DF BE CF AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴E ()AB DCF SSS △≌△，∴AEB DFC ∠=∠（全等三角形对应角相等）∴AEF DFC ∠=∠,∴AE DF ∥.【解题策略】判定两个三角形全等时,要结合条件,选择适当的判定方法.专题6 命题与证明【专题解读】判断某一件事情的句子叫做命题．理解命题概念的关键是抓住“判断”、“句子”的含义．“判断”是人们对一件事做出的肯定或否定的思维形式，“句子”必须完整，即对某一件事情的前因后果必须交代完整．每个命题都是由条件和结论两部分组成的，将一个命题的条件和结论互换就得到这个命题的逆命题．命题都有真假之分，用推理的方法证实真命题的过程叫做证明；经过证明的真命题称为定理.已经证明的定理也可作为以后推理依据.几何证明有多种方法，通常使用两种思考方法——综合法、分析法和两头凑．【例8】指出命题“都与第三条直线垂直的两条直线平行”的条件和结论．并判断这个命题的真假，若是假命题请举反例说明．【分析】分清一个命题的条件和结论，并能想到空间中情况。
