高中数学第三章不等式3.1基本不等式学案北师大版必修5

3.1

2

a b +≤ 一．学习目标：

1.学会推导并掌握基本不等式

2.理解基本不等式的几何意义

3.掌握基本不等式中的“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等

二．学习重点：

2

a b +的证明，理解基本不等式成立时的限制条件

三．学习难点：

2a b +≤

等号成立的条件 四．学习过程：

（一）情景感知

2

a b +≤的几何背景——探究：课本97页的“探究” 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

（二）学习新知

1．探究图形中的相等关系与不等关系（提示：从面积的关系去找相等关系或不等关系）。

2．重要不等式

（1）重要不等式：一般的，如果R ,∈b a ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当 时，等号成立）。

（2）证明：

3．基本不等式

（1

2a b +

（2

2a b +≤

证明：

（3

2

a b +的几何意义——探究：课本98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB

的弦

DE ，连接AD 、BD.2a b +≤

的几何解释吗？

2a b +≤

几何意义是“半径 半弦” 说明：①如果把2

b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. ②在数学中，我们称

2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.基本不等式还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

（4）关于对基本不等式的理解

（5）基本不等式的变形

（三）典型例题

例1. 已知x>0，当x 取什么值，1y x x =+

的值最小？最小值是多少？

变式1.已知X>1,当x 取什么值时，11y x x =+

-的值最小，最小值是多少？

变式2.已知x<0，当x 取什么值时， 1y x x

=+有最大值？是多少？

例2.已知0

（四）实战演练

1．若x>0, 12

()3f x x x =+的最小值为________；

2．已知5x >，则函数1

()15f x x x =-+-的最小值为________；

已知5x <，则函数1

()15f x x x =-+-的最大值为________

3．已知x+y=3,且x 、y 都是正数，xy 的最大值为________

4．已知x ,,134y x y R +∈+=且满足，则xy 的最大值为________

5．已知xy=3，且x>0，y>0, 2x+5y 的最小值为________

（五）自我回顾

本节课学习了哪些内容？

（六）课后实践

1．下列不等式的证明过程正确的是（ ） A.22,,=⋅≥+∈b a

a b

b a

a b

R b a 则

B.若2cos 1

cos 2cos 1

cos =⋅≥+∈+x x x x R x 则

C 、若4424=⋅≤+∈-x

x x x R x 则 D 、若2))((2)]()[(0,,-=---≤-+--=+<∈b a a b a b b a a b b a ab R b a 则

且 2．若x>6，函数y=x+6

1-x 当x= 时，函数有 （最大或最小）值，是 ； 若x ＜6，函数y=x+6

1-x 当x= 时，函数有 （最大或最小）值，是 ．

3．若2x+5y=20,且x,y 都是正数，求lgx+lgy 的最大值.

4．若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b

的最小值是________

选做思考题：若正数a,b 满足ab=a+b+3,求ab 的最小值.