高中数学第三章不等式3.1基本不等式学案北师大版必修5

不等式的性质及其应用不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据，不等式性质的应用也是历年高考的重点。

因此掌握不等式的性质及其应用是非常必要的，本文就不等式的性质及其应用加以探讨。

一、不等式最基本的性质对称性：a b b a >⇔<传递性：,a b b c a c >>⇔>加法性： ,a b c R a c b c >∈⇔+>+乘法性： 00a b ac bd c d >≥⎧⇒>⎨>≥⎩除法性： 110a b ab a b>⎧⇒<⎨>⎩乘方性： 0()n n a b a b n N *>≥⇒>∈ 开方性：0)a b n N *>≥⇒>∈ 倒数法则：011ab a ba b >⎧⇒<⎨>⎩ 二、不等式性质的应用（1）比较实数的大小因为“0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<”是比较两个实数大小的最基本的方法，通常用它得到这些大小关系。

例1、试比较1(1)log a a+与(1)log a a +(01)a a >≠且的大小 分析：对于1(1)log a a +和(1)log a a +这两个对数，由于式中含有参数a ，故我们不能直接确定它们之间的大小关系，于是可用上面的不等式的最基本的性质，让它们作差从而比较大小。

解：∵1111(1)(1)1log log log log 10aa a a a a a a a ++++-===-<，∴1(1)(1)log log a a a a ++<点评：通过让两个式子作差，并经过恒等变形，从而确定了两式差的符号，即确定了两式的大小。

例2、（2006年上海卷）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） A.11a b<< C.22a b < D.||||a b > 解：对于A ：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，由不等式的传递性知 11a b <，故选A 点评：在运用不等式性质时，不要忽略性质成立的条件（2）求范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，求解步骤：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”。

不等式的性质及其应用 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据，不等式性质的应用也是历年高考的重点。因此掌握不等式的性质及其应用是非常必要的，本文就不等式的性质及其应用加以探讨。 一、不等式最基本的性质 对称性：abba 传递性：,abbcac

加法性： ,abcRacbc

乘法性： 00abacbdcd

除法性： 110ababab 乘方性： 0()nnababnN 开方性： 0()nnababnN

倒数法则：011ababab 二、不等式性质的应用 （1）比较实数的大小 因为“0abab；0abab；0abab”是比较两个实数大小的最基本的方法，通常用它得到这些大小关系。

例1、试比较1(1)logaa与(1)logaa(01)aa且的大小 分析：对于1(1)logaa和(1)logaa这两个对数，由于式中含有参数a，故我们不能直接确定它们之间的大小关系，于是可用上面的不等式的最基本的性质，让它们作差从而比较大小。

解：∵1111(1)(1)1loglogloglog10aaaaaaaaa，∴1(1)(1)loglogaaaa 点评：通过让两个式子作差，并经过恒等变形，从而确定了两式差的符号，即确定了两式的大小。 例2、（2020年上海卷）如果0,0ab，那么，下列不等式中正确的是（ ） A.11ab B. ab C.22ab D.||||ab

解：对于A：如果0,0ab，那么110,0ab，由不等式的传递性知 11ab，故选A 点评：在运用不等式性质时，不要忽略性质成立的条件 （2）求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，求解步骤：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”。 例2、若二次函数)(xf图像关于y轴对称，且2)1(1f，4)2(3f，求)3(f