王家映-非线性反演方法1

Wf
(a, b)


f
,a,b
|
1
a| 2

f
(t ) ( t
b)dt a
为其小波变换。
(5.102)
其逆变换为
f
(t )

c1
Wf

(a,
b)a,b
(t)
dadb a2
(5.103)
式中：
f
,a,b

为内积； ( t
b) a
与 (t b)
阶。 以此类推:
直至最小的尺度，即最大采样率是的反演问题，这是 问题的解为最终解 。这里 N 为模型参数个数。
反演对比结果分析
MSI和GI反演的比较 理论模型 初始模型 方法 迭代次数
理论
初始
MSI
17
模型1
模型1
GI
21
X2
3.85 92.87
初始
MSI
理论
模型2
GI
模型2
初始
MSI
模型3
GI
13
zk
)
E(, zk1) E(, zk ) i0 k E(, zk )
连分式模型
根据定义：
Ck 1 ( )

C(,
zk 1)


E(, zk1) E(, zk1)
假设 E(, zk ) E(, zk1)
将上式代入有：
Ck 1 ( )

hk
将在无穷大处衰减得充分快的任意函数 f (t) 分解为：

f (t)
f ,ji ji (t)
j i
(i, j) Z
(5.106)
若设：

D2 j
f ,ji ji (t)
i
则分解等式可以写成：

n j1

f (t) D2n
主要内容
9.1尺度 尺度与分辨率 多尺度反演过程
9.2小波与尺度分析 小波与二进制小波 多尺度分析
9.3多尺度反演法 三个基本算子 三种实现方法
9.1 尺度
尺度：当我们以离散方式描述某一空间或时 间的函数时，均匀离散点之间的距离。
分辨率：单位距离内离散点的个数。
尺度越大，分辨率越低；尺度越小，分辨率越高。
则对K层有：E(, zk1) E(, zk ) (zk1 zk )E(, zk )
E(, zk1) E(, zk ) i0 k E(, zk )
由一维介质中电磁波满足Helmholtz方程知：
E
带入上式得到：
(
,
zk
)

i0
(
z
)
E
(
,
全纯函数是最简单的半纯函数，也称解析函数， 就是说它没有任何极点。 根据刘维尔定理，在紧致流 形上， 全纯函数只能是常值函数。
任何有理函数（即通过多项式加减乘除得到的函数） 都是半纯函数。
留数(又称残数residue ) ，复变函数论中一个重要的概 念。解析函数 ƒ(z)在孤立奇点z =α处的洛朗展开式 (见 洛朗级数)中，(z－α)-1项的系数с-1称为ƒ(z)在z =α处的 留数,记作或Resƒ(α)。它等于，式中Г是以α为中心的充 分小的圆周。 留数的概念最早由 A.-L.柯西于1825年提出。由于 对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项(z-α)-1,因 此称为留数。它在很多问题上都有重要应用，如定积分 计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为 部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近
1
i01
h2
1 1
i0 2
1 hM 1
步 骤： 1 建立实测大地响应函数 C()
2 利用最小方差原理求得其部分分式

M j 1

C( j

)

(a0

k n1
n
an
i
)

2
（或者求C(j) 之极点和函数）
3 将部分分式展开成连分式，求得各微层厚度和电导率

i0 k
1
1
Ck ()
可以得到如下连分式：
C() h1 i01
h2
1
1 1
i0 2
1
CM ()
当 M
C() h1
1
i01
h2
i0 2
1
1

1
hM
1

1 i0
M
1
当M 0
C() h1
多尺度分解反演实现方法：
设地球物理线性反演问题的数据方程为： G m= d M N N 1 M 1
第一种方法
WGm Wd
第二种方法
Wd WGW TWm (W (WG)T )T Wm
第三种方法 d GW TWm (WGT )T Wm
加密插值：大尺度上的解作用于小尺度模型时，解的样点要进行加 密，主要方法有样点复制或线性插值法。
a
是共轭，且

c | () |2| |1 d
(5.104)
定义三： 在实际应用中，常用其离散形式，若令 a 2 j ,b 2 j.i 则(5.101)式为二进制小波，可以表达为：
ij (t) 2 j/2(2 j t i)
(5.105)
二进制小波构成 L2(R) 的一个正交基，利用 ij 可以
常规傅氏变换不能提取频域的局部特征，窗口傅氏变换 实现了时域局部化，但一旦函数 g(t-b) 选定，不能满足 高频和低频信号对窗口大小的不同要求。
定义一：称满足条件

| () |2| |1 d

的函数 (t) L2 (R) 为小波函数或母小波。
是 (t) 的傅氏变换。
若分辨率为 2 j( j Z ) ，则所对应的尺度为 2 j。
大尺度 （低波数）
优点
缺点
分得散，搜索极值 极值点少，“全局
点容易
极小点”不一定是
真正全局极小点
小尺度 （大波数）
极值点多，全局极 无上一尺度的搜索
小点离真正全局极 结果指导则直接搜
小点较近
索较困难
多尺度反演：是把目标函数分解成不同尺度的分量，根 据不同尺度上目标函数的特征逐步搜索全局极小。
谢谢
(5.100) 式中 ()
连续小波 a,b (t) 是基于仿射群 at b ，通过母小
波
(t b)
a
变换而得。 其表达式为：
a,b
(t)
|
a
1
|2
(t
b) a
(5.101)
a, b 的含义如下
a
b
尺度伸缩变量
位置平移变量
1 是归一化因子
|a| 2
物理空间的实际位置
定义二：对于任一 f (t) L2 (R) 的函数，有
(5.109) Vj-1 =Vj Wj Vj+1 Wj+1 Wj
示意图：如右
9.3 多尺度反演法
反演基本算子操作过程：
第一个算子：反演问题分解（从小到大）为各尺度上的反 问题。
第二个算子：求取各尺度上反问题的解。
第三个算子：将稍大尺度上的解嵌入稍小尺度，并作为其 反问题求解的起始点。
估计等。
设函数ƒ(z)以z =α为n级极点，则
当n=1时，就有 特别地，当式中φ(z)和ψ(z)都在 z=α处解析，ψ(z)
以z =α为一级零点，φ(α)≠0，则
微层划分
反演问题的关键：将实测的 C() 展成上面所示的连分 式形式。
微层划分原则：可以近似的把每层中的 E(, z)和 E(, z) 看为随深度变化的线性函数。
反演过程：根据上一级搜索到的背景“全局极小点”为起 点，在其附近搜索下一级尺度的“全局极小点”；不 断迭代缩小尺度至原始尺度，提高分辨率，找到真 正全局极小点。
优点：反演稳定，反演结果不受初始模型的影响；反 演不受局部极小困扰，收敛速度加快。
多尺度反演过程示意图：
Df ( f )
大尺度（总体背景）全局极小
Df 1( f )
中尺度（背景）全局极小 小尺度（背景）全局极小
Pj1
f
Pj
f
Pj1
f
Df 2( Pj2 fBiblioteka Baidu
f
)
Df k (

Pjk
f
f
)
最小尺度（原始尺度）总体极小
9.2 小波与多尺度分析
小波产生的背景：
反演过程分析
采样点数 M 2 j，对应于尺度 2 j 。
当 j 1 时 ，M 2，为 反演2个数据（此时可以用线性反 演方法）的初始模型， G 为 2 N 阶。
当 j 2 时 ， 反演4个数据的初始模型， G 为 4 N
阶。
当 j 3 时 ， 反演8个数据的初始模型， G 为 8 N
7.58
15
29.53
22
0.28
35
5500.00
R.Parker法不仅适用于电磁感应资料反演，而 且也适用于某些频域地球物理资料反演，其非线 性反演原理—以大地电磁为给以例说明。
响应函数
响应函数—阻抗 定义为：
Z () E() H ()
或导出：
C() E() 1 Z () E() i0
为一半纯型函数
所以有部分分式结构：
C()

a0

k n1
an
n i
写其成连分式为：
C()

h1

i01

h2

1 1
i0 2
1
h3
1
半纯函数
半纯函数是一种复变函数--即自变量和因变量都取 值复数， 也称亚纯函数。 半纯函数在定义域中的某些 点上没有定义，我们称这些点为极点。 函数在这些极 点附近的幂级数展开可写为(以单变量为例)罗朗展开式： f(z)=c_m/（z-a)^m+...+c_2/(z-a)^2+c_1/(z-a)+ c_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+......, 这里c_i和a_j都是常系 数， z=a是极点。
D2n
D2n
n
n
n j
(5.107) (5.108)
(5.108)第一项大尺度对应平滑部分，第二项小尺度对 应细节部分。
基于(5.108)式的分析方法称为尺度分析方法。
多尺度分解方法原理：数学显微镜，逐层求解 符号表达： 设光滑部分近似属于V j 空间，细节部分近似属于Wj 空间，若在基于上，则两空间正交互补。