教学设计-椭圆的简单几何性质

高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。

2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。

三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。

2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。

四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。

五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。

教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。

同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。

§2.1.2椭圆的简单几何性质3
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。

另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。

【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。

②强化求轨迹方程的方法、步骤。

③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。

2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。

3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。

【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案
【教学过程设计】：。

椭圆的简单几何性质第五课时（一）教学目标理解直线与椭圆的位置关系，能判定直线与椭圆的位置关系，会求直线截椭圆所得的弦长，处理与弦长、弦的中点有关的问题．（二）教学过程 【情境设置】问题一：直线与圆的位置关系有几种？（相交、相切、相离），那么直线与椭圆的位置关系有几种？（仍是相交、相切、相离）问题二：如何判断直线与圆的位置关系？又怎样判定直线与椭圆的位置关系呢？（直线与圆位置关系有两种判定方法：一是根据圆心到直线的距离与圆的半径比较当r d <时相交，当r d =时相切，当r d >时相离，另一种判别方法是直线与圆联立方程组，转化为一元二次方程根的判别式来解决，当0>∆时，直线与圆相离直线与椭圆的位置关系应用一元二次方程根的判别式来解决．）【探索研究】1．练习：已知直线和椭圆的方程如下，求它们的交点坐标并说明位置关系．（1）025103=-+y x ，142522=+y x （2）023=+-y x ，141622=+y x 答案：（1）⎪⎭⎫⎝⎛583， 相切 （2）()20，，⎪⎭⎫⎝⎛--37703748，，相交． 2．例题分析例1 中心在原点，一个焦点为()5001，F 的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程． 由于学生接触类似的问题不多，可教师讲解．解：设所求的椭圆方程为12222=+by a x ，()0>>b a由()5001，F 得5022=-b a ① 把直线方程23-=x y 代入椭圆方程，整理得()()0412*******=-+-+a b x b x b a设弦的两个端点为()11y x A ，，()22y x B ，，则由根与系数关系得22221912b a b x x +=+．又AB 中点的横坐标为21． ∴2196222221=+=+b a b x x ．得223b a = ② 解①，②得752=a ，252=b ．故所求椭圆的方程为1257522=+x y ． 例 2 过椭圆141622=+y x 内一点()12，M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程．分析：本例与例1有相似之征，可让一位学生板演，再提问学生是否有不同的解法，然后教师归纳出以下三种解法：解法一：设所求直线的方程为()21-=-x k y ，代入椭圆方程并整理，得()()()0161242142222=--+--+k x k k x k．设直线与椭圆的交点为()11y x A ，、()22y x B ，，则2x ，2y 是上述方程的两根，于是()14282222+-=+k kk y x ． 又M 为AB 的中点∴()2142422221=+-=+k kk x x ． 解得21-=k ．故所求直线的方程为042=-+y x ．解法二：设直线与椭圆的交点为()11y x A ，、()22y x B ，．∵()12，M 为AB 的中点 ∴421=+x x ，221=+y y ． 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得()()0422212221=-++y y x x于是()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ．∴()()21244421212121-=⨯-=-+-=--y y x x x x y y即21-=AB k 故所求直线的方程为042=-+y x ．解法三 设所求直线与椭圆的一个交点为()y x A ，，由于中点为()12，M ，则另一个交点为()y x B --24，．∵A 、B 两点都在椭圆上． ∴16422=+y x ． ①()()1624422=-+-y x ②①－②得042=-+y x ．由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线的方程为042=-+y x ．例3 椭圆122=+ny mx ，与直线1=+y x 相交于A 、B 两点，C 是AB 的中点．若22=AB ，斜率为22（O 为原点），试确定椭圆的方程．（如图） 分析：注意利用弦长公式2121x x k AB -+=，因为计算比较复杂，可由教师讲解． 解法一：由方程组⎩⎨⎧=+=+1122y x ny mx 得()0122=-+-+n nx x n m 设()11y x A ，、()22y x B ，、()00y x C ，，则n m n x x +=+221 nm n x x +-=121 ()nm nn m n x x y y +=+-=+-=+22222121．∴n m n x x x +=+=2210，n m ny y y +=+=2210 由题设得22=n m ① 又()2122121422x x x x x x AB -+=-=()n m n n m n +--⎪⎭⎫⎝⎛+=142222222=+-+⋅=nm mnn m ②解①、②得31=m ，32=n ．∴椭圆方程为132322=+y x ．解法二：由22=OC k 得OC 的方程为x y 22=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y 解得()1222--，C ． 又由⎩⎨⎧=+=+1122ny mx y x 得()()0122=-+-+n nx x n m ．所以22221-=+=+nm nx x 即m n 2= ①． 又因为()[]()22112212=--+=x x AB 得()12=+-+n m mnn m ②， 由①、②求出31=m ，32=n 故所求椭圆方程为1323122=+y x ．解法三：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y 得()1222--，C ．因为1-=AB k ，所以直线的l 的倾斜角为135°． 又知C 是AB 的中点，22=AB ，所以2==BC AC ．即()221，-A 同理求出点()2223--，B ． 将A 、B 坐标代入椭圆方程122=+ny mx ，得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-1222312212222n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3231n m ．所以所求椭圆方程为1323122=+y x ． 点拨：椭圆的两种形式的标准方程可统一写成()b a b a by ax ≠>>=+，，00122，强以避免对焦点位置的讨论，且使运算过程简化，而弦中点问题常使用韦达定理来解决．（三）随堂练习1．如果椭圆193622=+y x 的弦被点()24，平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．01232=-+y x D ．082=-+y x2．已知直线m x y l +=2：，椭圆1422=+y x C ：（1）当m 为何值时，l 与C 有两个不同的交点？没有交点？ （2）当m 为何值时，直线l 被椭圆C 所截的弦长为1720？ 答案：1．D 2．（1）1717<<-m ，17>m 或17-<m （2）32±m （四）总结提炼1．直线与椭圆的位置关系，一般是通过方程组转化为一元二次方程，运用一元二次方程的知识（如求根、判别式、根与系数关系）求得．2．要注意二次曲线与二次方程，二次函数三个二次之间的关系． （五）布置作业1．过点()02，-M 的直线l 与椭圆1222=+y x 交于1P 、2P 两点，线段1P 2P 的中点为P ，设直线l 的斜率为()011≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．21- 2．直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．()10， B ．()50， C ．[)()∞+，，551 D ．()∞+，13．已知椭圆C 的方程为()0116222>=+m m y x ，如果直线x y 22=与椭圆的一个交点P 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（ ）A ．2B ．22C ．32D ．84．求与椭圆14922=+y x 相交于A 、B 两点，并且线段AB 的中点为()11，M 的直线方程．5．已知椭圆204522y x +的焦点分别是1F 、2F ，过中心O 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若要使2ABF ∆的面积是20，求该直线方程．答案：1．D 2．C 3．B4．设A 、B 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ， ∵点A 、B 都在椭圆上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②149①14922222121y x y x①－②得()()04921212121=-++++y y y y x x x x ∵AB 的中点为()11，M ∴221=+x x ，221=+y y∴942121-=--x x y y ，即直线AB 的斜率为94-．∴所求直线方程为()1194+--=x y 即01394=-+y x 5．易求得()052，F ，设直线AB 方程为my x =，代入椭圆方程得：()900452022=+y my 即()0900452022=-+y m∴452060221+=-m y y ．∴45201502122122+=-⋅=∆m y y OF S ABF ． 由2045201502=+m 得43±=m ，∴直线AB 的方程为y x 43±=即034=±y x ． （六）板书设计。

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本几何性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本参数的计算方法；3. 能够应用椭圆的性质解决实际问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及基本几何性质；2. 椭圆的基本参数的计算方法。

教学难点：1. 椭圆的性质在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 椭圆模型或图片；3. 直尺、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本几何性质，如圆的半径、直径等；2. 提问：同学们知道吗，还有一种曲线也和圆有关系，叫做椭圆。

椭圆有哪些基本性质呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹；2. 讲解椭圆的基本几何性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 讲解椭圆的基本参数的计算方法：长轴长度、短轴长度、焦距等。

三、例题解析（10分钟）1. 给出例题，让学生独立解答，进行讲解；2. 通过例题，让学生加深对椭圆性质的理解。

四、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 对学生的练习进行点评，解答学生的疑问。

五、课堂小结（5分钟）2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。

教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义、基本几何性质和计算方法，让学生掌握了椭圆的基本知识。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对椭圆的知识有了更深入的理解。

但在实际问题中的应用方面，学生还需加强练习和思考。

在今后的教学中，应更多地提供实际问题，让学生运用椭圆的知识解决问题，提高学生的应用能力。

六、椭圆的标准方程（10分钟）1. 引入椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a>b>0)；2. 讲解椭圆标准方程的来源及意义；3. 讲解如何由椭圆的标准方程求解椭圆的参数。

七、椭圆的焦点与焦距（10分钟）1. 讲解椭圆的焦点定义及性质；2. 讲解焦距的概念及计算方法；3. 引导学生掌握焦点与焦距的关系。

椭圆的简单几何性质第四课时（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题． （二）教学过程 【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）． 2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值． 【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例 1 求证：椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上任一点()00y x P ，与焦点所连两条线段的长分别为0ex a ±．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为()01，c F -．()02，c F ，则 ()()2222202201a x a b c x y c x PF -⋅++=++= 2020222a cx x ac ++= 0x ac a += ∵a x a ≤≤-0， ∴00>-≥+c a x aca ． ∴01ex a PF +=． 又a PF PF 221=+，∴()0022ex a ex a a PF -=+-= 故得证．证法二：设P 到左右准线的距离分别为1d ，2d ，由椭圆的第二定义有e d PF =11，又c a x c a x d 20201+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，∴02011ex a c a x a c ed PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==． 又a PF PF 221=+，∴022ex a PF -=． 故得证．说明：1PF 、2PF 叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵01ex a PF +=，a x a ≤≤-0， ∴c a a a c a PF +=⋅+≤1，()c a a aca PF -=-+≥1． ∴c a PF c a +≤≤-1．即椭圆上焦点的距离最大值为c a +，最小值为c a -，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它们近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一条直线上，地球半径约6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）．因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的方程为12222=+by a x ()0>>b a则6810439637122=+==-=-A F OF OA c a87552384637122=+==-=+B F OF OB c a解得5.7782=a 5.972=c ∴()()77228755681022≈⨯=-+=-=c a ca c ab ．因此，卫星的轨道方程是1772277832222=+y x ． 点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点P 在圆()1422=-+y x C ：上移动，点Q 在椭圆1422=+y x 上移动，求PQ 的最大值．分析：要求PQ 的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点()y x Q ，，又()40，C ，于是 ()()()222224144-+-=-+=y y y x QC20832++-=y y3763432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=y ．而11≤≤-y∴当1-=y 时，QC 有最大值5． 故PQ 的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆12222=+by a x ()0>>b a 与x 轴的正半轴交于点A ，O 是原点．若椭圆上存在一点M ，使MO MA ⊥，求椭圆离心率e 的取值范围．分析：依题意M 点的横坐标a x <<0，找到x 与a 、b 的关系式．教师讲解为好．解：设M 的坐标为()y x ，，由OM AM ⊥，有22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x于是下面方程组的解为M 的坐标⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-.022222222b a y a x b y ax x 消去y 整理得()0223222=+-+b a x a x b a．解得a x = 或 22c ab x =．a x =即为椭圆的右顶点∴ a cab <<220 即22c b <．即22>e ，而1<e ， 故122<<e ． （三）随堂练习1．如图在AFB ∆中，150=∠AFB ，32-=∆AFB S ，则以F 为焦点，A 、B 分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆12922=+y x 上动点()y x P ，到定点()0，a A ()30<<a 的距离AP 最小值为1，求a 的值．答案：1．12822=+y x 2．2=a （四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是23，则长半轴长的取值范围是___________． 2．若椭圆两焦点为()041，-F ，()042，F ，P 在椭圆上，且21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知F 是椭圆222222ba y a xb =+()0>>b a 的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，记22b a c -=，则PQF ∆面积的最大值是（ ）A ．ab 21B ．abC ．acD ．bc 4．已知()00y x M ，是椭圆1162522=+y x 上的任意一点，以过M 的一条焦半径为直径作圆1O ，以椭圆长轴为直径作圆2O ，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．内切B ．内含C ．相交D ．相离5．设P 是椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上的任一点，求P 点到椭圆两焦点1F 、2F 距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时P 点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．答案：1．(]21，2．192522=+y x 3．D 4．A 5．设()00y x P ，则01ex a PF +=，02ex a PF -=()()20220021x e a ex a ex a PF PF -=-+=⋅ ∵a x a ≤≤-0 ∴2200a x ≤≤当00=x 即()b P ，0或()b -，0时，21PF PF ⋅最大，最大值为2a ．当220a x =即()0，a P 或()0，a -时，21PF PF ⋅最小，最小值为222b c a =-．6．设所求椭圆方程是12222=+by a x ()0>>b a依题意可得342132322222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b y y x d ，其中b y b ≤≤-如果210<<b ，则当b y -=时，2d 有最大值，即()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ．由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d 有最大值，即()34722+=b．由此得1=b ，2=a ，故所求椭圆方程为1422=+y x ． 由21-=y 代入椭圆方程得点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，和⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点P 的距离都是7．注：本题也可设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，πθ20<≤，利用三角函数求解．。

椭圆的简单几何性质优秀教案引言本教案旨在介绍椭圆的简单几何性质，以帮助学生理解椭圆的特点和特性。

通过研究本教案，学生将能够掌握椭圆的定义、主要性质和相关计算方法。

椭圆的定义椭圆是平面上一条固定点F（称焦点）和一条固定线段L（称为准线段）之间的点的轨迹，使得从F到点P的距离与准线段L上的点P到L的距离之和为常数2a。

如下所示：椭圆的性质1. 椭圆的长轴是焦点F之间的线段，短轴是准线段L的垂直平分线段。

长轴和短轴的长度之比为a:b。

2. 椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c是焦点F到椭圆中心的距离。

3. 椭圆的离心率范围为0 < e < 1。

当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一条直线段。

4. 椭圆的准线段L和长轴之间的夹角称为偏心角，偏心角的大小取决于离心率e的大小。

5. 椭圆的焦距为2ae，其中e是离心率。

相关计算方法1. 椭圆的周长计算公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是第二椭圆积分，需要使用数值积分方法计算。

2. 椭圆的面积计算公式为A = πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

教学活动1. 使用白板或黑板绘制椭圆的定义和性质的图示，并解释相关概念。

2. 分组让学生自己计算给定的椭圆的周长和面积，并与同组同学讨论和比较结果。

3. 设计一些练题，让学生运用所学概念计算椭圆的相关信息。

4. 使用多媒体展示椭圆的实际应用场景，如行星轨道、卫星轨道等，以加深学生对椭圆的理解和感受。

总结本教案通过简洁明了的语言和图示介绍了椭圆的几何性质和相关计算方法。

通过对椭圆的定义、性质和计算的学习，学生能够更好地理解椭圆的特点和特性，并能够应用所学知识解决实际问题。

教师可以根据学生的实际水平和兴趣选择适当的教学方法和活动，提高学生的学习效果和兴趣。

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。

2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。

3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。

2. 椭圆几何参数的计算方法。

教学难点：1. 椭圆性质的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。

二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。

b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。

c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。

3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。

三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。

2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。

四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。

2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。

五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。

通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义；2. 掌握椭圆的几何性质。

教学准备：1. 黑板、白板或投影仪；2. 教学素材：椭圆的定义、几何性质介绍。

教学步骤：步骤一：引入椭圆的概念1. 提问：你知道什么是椭圆吗？它有什么特点？2. 引导学生回忆：距离两个定点之和等于定长的点的集合。

3. 通过例子说明：如何用一个平面上的点集来定义椭圆。

步骤二：椭圆的基本定义1. 教师以图形的形式呈现椭圆的定义。

2. 教师解释：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。

3. 引导学生回忆：两个定点称为焦点，定长称为焦距。

步骤三：椭圆的几何性质1. 教师介绍椭圆的几何性质，并逐个进行解释。

a. 椭圆的中心：定点连线的中点。

b. 半长轴和半短轴：焦点到椭圆上最远和最近的点所在的线段。

c. 焦距：两个焦点之间的距离。

d. 长轴和短轴：与半长轴和半短轴垂直的，通过中心的线段。

e. 弦：连接椭圆上两点的线段。

f. 离心率：焦距与长轴之比。

2. 引导学生观察图形，并回答相关问题。

步骤四：椭圆的推导与应用1. 教师给出一道例题，通过推导来解决问题。

2. 学生进行讨论，尝试解答问题。

3. 教师引导学生总结解题方法和思路。

步骤五：练习与拓展1. 学生个体或小组进行练习题，加深对椭圆性质的理解和应用。

2. 拓展问题：椭圆的方程和参数方程。

步骤六：总结与反思1. 教师与学生共同总结椭圆的简单几何性质。

2. 学生反思：通过本课学到了哪些知识，还有哪些困惑。

教学评价：1. 教师根据学生在课堂上的表现进行评价；2. 学生完成课后作业，教师批改并提供反馈；3. 课堂小测验或期末考试。

3.1.3 椭圆的简单几何性质（教学设计）（水涛）-高中数学新教材选择性必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）教学目标：1. 理解椭圆在平面直角坐标系中的定义；2. 掌握椭圆的标准方程与一般方程的相互转化；3. 理解椭圆的离心率与几何性质；4. 能够应用椭圆的几何性质解决初步问题。

教学重点：1. 理解椭圆的定义和性质；2. 掌握椭圆的标准方程和一般方程的相互转化。

教学难点：1. 掌握椭圆参数（长轴、短轴、离心率等）之间的关系；2. 理解椭圆的离心率对椭圆形状的影响。

教学方法：1. 讲授法：介绍椭圆定义、标准方程和一般方程的推导过程；2. 演示法：通过图示演示椭圆的参数关系，解决问题；3. 经验法：引导学生通过多次的实例反复演练，掌握椭圆的相关特性。

教学过程：Step 1 导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，询问学生对椭圆的认识；2. 介绍椭圆的历史背景和应用。

Step 2 讲解（35分钟）1. 推导椭圆的标准方程；2. 解释椭圆参数之间的关系；3. 推导椭圆的一般方程；4. 介绍椭圆的离心率与椭圆形状的关系。

Step 3 演示（20分钟）1. 在平面直角坐标系中演示椭圆的图形，让学生观察椭圆的特性；2. 基于图示解决椭圆相关问题；3. 演示离心率对椭圆形状的影响。

Step 4 练习（30分钟）1. 将学生分成小组，让小组内的学生互相讨论探究椭圆的各项特性；2. 布置练习题，让学生个人或团队完成。

Step 5 总结（10分钟）1. 总结本节课的重点和难点，询问学生对本节课的掌握情况；2. 强调椭圆相关特性，并指出椭圆在实际应用中的重要性。

教学资源：1. PowerPoint讲义；2. 图表等实物物品；3. 椭圆的模拟练习题。

教学评价：采用多元化的教学方法，重视学生实践操作能力的培养，通过多次的实际操作演练，可以提高学生对椭圆的理解和应用，发扬人民教师的创新精神，提高学生的学习兴趣。

如果有必要，可以邀请相关领域的专家来给予指导和点评，提高教育质量。

椭圆的简单几何性质教学教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，理解椭圆的基本几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等概念；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现并证明椭圆的几何性质；3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。

2. 椭圆的基本几何性质：a. 焦点：椭圆的焦点距离为2c，其中c为半焦距，c^2=a^2-b^2；b. 半长轴：椭圆的半长轴为a，表示椭圆的长轴的一半；c. 半短轴：椭圆的半短轴为b，表示椭圆的短轴的一半；d. 椭圆的面积：S=πab。

三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其基本几何性质；2. 教学难点：椭圆的焦点、半长轴、半短轴等概念的理解与应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法发现椭圆的几何性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解椭圆的定义及其几何性质；3. 运用实例讲解法，让学生掌握椭圆在实际问题中的应用。

五、教学过程1. 导入新课：通过介绍椭圆的起源和发展，激发学生的学习兴趣；2. 讲解椭圆的定义：结合图形，解释椭圆的定义，让学生理解椭圆的概念；3. 探索椭圆的基本几何性质：引导学生观察椭圆的图形，发现焦点、半长轴、半短轴等性质；4. 证明椭圆的几何性质：引导学生运用数学方法证明椭圆的基本几何性质；5. 应用实例：让学生运用椭圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。

本教案为椭圆的简单几何性质教学教案的第一部分，后续章节将陆续呈现。

希望能对您的教学有所帮助！六、教学练习1. 基本概念练习：a. 定义椭圆的焦点；b. 解释椭圆的半长轴和半短轴；c. 计算椭圆的面积。

2. 应用题练习：a. 已知椭圆的半长轴为5cm，半短轴为3cm，求椭圆的焦点距离；b. 已知椭圆的面积为36πcm²，半长轴为6cm，求椭圆的半短轴；c. 一个椭圆的焦点在x轴上，半长轴为4cm，半短轴为3cm，求椭圆的标准方程。

椭圆的简单几何性质教学设计一、引言椭圆是几何中重要的曲线之一，具有多种性质和应用。

通过对椭圆的简单几何性质的教学，可以帮助学生深入理解和掌握椭圆的特点和应用，并培养他们的几何思维和问题解决能力。

本教学设计旨在通过生动的教学方法，让学生对椭圆的性质有深入的了解。

二、教学目标1. 了解椭圆的定义及其与圆的区别；2. 掌握椭圆的几何性质，如焦点、长轴、短轴等；3. 学会应用椭圆的性质解决几何问题；4. 培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。

三、教学内容和步骤1. 椭圆的定义a. 通过讲解椭圆的定义来引出椭圆的性质；b. 展示椭圆的示意图，让学生形象地理解椭圆的形状。

2. 椭圆的焦点和离心率a. 引导学生观察和思考，通过讨论椭圆的两个焦点的性质；b. 解释椭圆的离心率及其与焦点位置的关系；c. 带领学生实践，使用绳子和两个钉子构造椭圆，加深对焦点和离心率的理解。

3. 椭圆的长轴和短轴a. 讲解椭圆的长轴和短轴的定义和性质；b. 教学示范，通过展示多个椭圆的长轴和短轴的关系加深学生的理解。

4. 椭圆的对称性质a. 引导学生思考和发现椭圆的对称性质；b. 讲解椭圆的关于长轴和短轴的对称轴；c. 结合实例，帮助学生理解对称性质对椭圆的影响。

5. 椭圆的应用a. 介绍椭圆在科学、工程等领域的应用；b. 设计一些实际问题，让学生运用所学椭圆性质解决问题。

四、教学评估1. 在课堂上设计一些小练习，检查学生对椭圆性质的理解程度；2. 分组进行小组活动，让学生运用椭圆的性质解决问题；3. 结合实际情况，布置作业让学生独立完成，检查他们对椭圆性质的掌握和应用能力。

五、教学资源1. 椭圆的示意图和图片；2. 教学展示板或投影仪；3. 绳子、钉子等辅助教学工具。

六、教学反思椭圆的简单几何性质是几何学中的重要内容。

通过本教学设计，学生通过观察、实践和思考，逐渐掌握了椭圆的定义、焦点、离心率、长轴、短轴和对称性质等基本知识，并能应用于实际问题中。

椭圆的简单几何性质【教学目标】1．了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义。

2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系。

并能相互转化。

提高综合运用能力。

【教学重难点】教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导。

教学难点：深入理解推导方程的过程。

灵活运用方程求解问题。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。

2．标准方程：2222 1 x y a b +=，2222 1 y x a b += （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程2222 1 x y a b+=(0>>b a )（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中。

（2）对称性：图像关于y 轴对称。

图像关于x 轴对称。

图像关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。

21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。

长分别为b a 2,2，b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率： c e a =⇒e =，10<<e 。

椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。

,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。

椭圆的简单几何性质教案教案标题：椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义和特点。

2. 掌握椭圆的几何性质，如长轴、短轴、焦点、离心率等。

3. 能够应用椭圆的性质解决相关几何问题。

教学重点：1. 椭圆的定义和性质。

2. 椭圆的几何性质的应用。

教学准备：1. 教材：提供相关椭圆的定义和性质的教材。

2. 工具：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，通过问题启发学生思考：什么是椭圆？它有什么特点和性质？2. 学生回答后，教师简要介绍椭圆的定义和特点。

二、椭圆的定义和性质（15分钟）1. 教师在黑板上绘制一个椭圆，并解释椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

2. 教师解释椭圆的几何性质：a. 长轴：通过两个焦点且垂直于短轴的直线段。

b. 短轴：通过两个焦点且垂直于长轴的直线段。

c. 焦点：椭圆上到两个焦点的距离之和等于常数。

d. 离心率：离心率是一个衡量椭圆形状的参数，定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴的比值。

三、椭圆的简单几何性质应用（20分钟）1. 教师通过例题演示椭圆的性质应用：a. 例题1：已知椭圆的长轴长度为10cm，短轴长度为6cm，求其焦点坐标。

b. 例题2：已知椭圆的长轴长度为12cm，离心率为0.8，求其焦点距离。

2. 学生进行个别或小组练习，解决类似的椭圆性质应用问题。

3. 学生上台展示解题思路和答案，并进行讨论。

四、总结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调椭圆的定义和几何性质。

2. 教师提供一些拓展问题，让学生进一步思考和探索椭圆的性质。

五、课堂作业（5分钟）布置课后作业：完成教材上的相关练习题，并提醒学生复习本节课的内容。

教学反思：在教学过程中，教师应该注重激发学生的兴趣，通过问题启发和实例演示帮助学生理解椭圆的定义和性质。

在巩固阶段，教师可以设计一些拓展问题，激发学生思考和探索椭圆的更多性质。

一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。

2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。

3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。

2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。

（2）椭圆的短轴长度为2b。

（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。

（4）椭圆的面积S=πab。

3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。

引导学生运用椭圆的性质解决问题。

4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。

三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。

2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。

3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。

四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。

五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。

六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。

椭圆的简单几何性质教学设计导语：椭圆是几何学中一个重要的概念，理解椭圆的性质对于数学学科的学习具有重要意义。

因此，本文将设计一个针对椭圆的简单几何性质的教学内容，旨在帮助学生更好地理解和掌握椭圆的基本特点。

一、引入在教学开始之前，可以通过引入椭圆的概念来激发学生对该主题的兴趣。

可以让学生观察并描述一些椭圆的实例，例如椭圆形的轮胎、篮球等，进而引出椭圆的定义和性质。

二、椭圆的定义在引入概念之后，需要给出椭圆的严格定义。

椭圆可以定义为平面上到两个定点之和等于一定值的点的集合。

这个定义可以通过几何图形的展示和实例的校验来让学生更好地理解。

三、椭圆的性质1. 椭圆的焦点性质：椭圆的焦点是与椭圆的定义密切相关的内容。

可以通过推导和演示来给出焦点的定义和特点，包括焦点在椭圆的几何中心线上、到椭圆边界上任意一点的距离之和等于定值等。

2. 椭圆的长轴和短轴：椭圆还有两条重要的中垂线，分别为长轴和短轴。

可以通过给出椭圆的参数方程，并引导学生通过参数方程来推导出椭圆的长轴和短轴的关系。

3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是衡量椭圆形状的重要参数，可以通过定义和计算公式来介绍离心率的概念，并让学生通过计算椭圆形状不同的例子的离心率来理解其意义和特点。

4. 椭圆的切线性质：椭圆切线是垂直于椭圆边界的直线。

可以通过直角三角形的性质以及切线与半径的关系来推导出椭圆的切线性质，并通过具体的几何图形和实例来应用这一性质。

5. 椭圆的对称性：椭圆具有许多对称轴，其中包括两条主轴和许多副轴。

可以通过示意图和实例来介绍和验证椭圆的对称性，以及对称轴的特点。

四、椭圆的应用在学习了椭圆的基本性质之后，可以引导学生思考椭圆在实际问题中的应用。

例如，椭圆的形状适用于人造卫星轨道、搭桥拱形等各种实际问题。

可以通过展示实际案例、进行讨论和解决具体问题的方式，让学生将椭圆的性质与实际应用相联系。

五、教学扩展对于那些对椭圆性质有较好掌握的学生，可以引导他们进行更深入的探究和研究。

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。

作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。

因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。

重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点；法二：由已知可设2F B n =，则通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，则x 1＋x 2＝3，∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65. 五、课时练的统一性。

2.2.2 椭圆的简单几何性质x 2≤a 2且y 2≤b 2,则有｜x ｜≤a,｜y ｜≤b, 所以-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b 。

2．对称性的发现与证明师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。

） 学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。

师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。

师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。

不妨建立焦点在x 轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是22a x +22by =1。

师：这节课就以焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。

这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y 轴对称。

为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）师：在第一册学过，曲线关于y 轴对称是指什么呢？生：曲线上的每一点关于y 轴的对称点仍在曲线上。

师：要证曲线上每一点关于y 轴的对称点仍在曲线上，只要证明-----生：曲线上任意一点关于y 轴的对称点仍在曲线上。

在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。

师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x 换成-x 时，方程不变，则椭圆关于y 轴对称”。

请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。

教师对学生的证明进行评价。

师：用类似的方法可以证明椭圆关于x 轴对称,关于原点对称。

课件展示对称性并总结：方程22a x +22by =1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。

椭圆的简单几何性质教学设计（复习课）
一．教学目标：
1.深入了解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。

2.掌握a、b、c几何意义以及a、b、c、e 的相互关系。

3.能利用椭圆的有关知识解释实际问题。

4.贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质。

二．教学重、难点：
重点：椭圆的简单几何性质。

难点：运用椭圆的几何性质解决有关椭圆的综合问题。

三．学情
我教的是高二、9班的学生，该班学生从思维特点和认知结构看，对椭圆的定义和标准方程已经有了深入的了解，对椭圆的简单几何性质做了初步的掌握。

本节课是对椭圆几何性质的复习，所要求的推理能力较强，思维的深刻性更高。

对高二上学期的学生而言，虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

本节主要是巩固强化学生对知识点的掌握，并列出一些拓展例题，提高学生的推理能力。

四．教学过程：。