课时训练(二十三)多边形与平行四边形(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2018·铜仁]如果一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数是()A.8B.9C.10D.112.[2018·大庆]一个正n边形的每一个外角都是36°,则n=()A.7B.8C.9D.103.[2018·宜宾]在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E,则△AED的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定4.[2018·宁波]如图K23-1,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE,若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为()图K23-1A.50°B.40°C.30°D.20°5.[2018·玉林]在四边形ABCD中,给出四个条件:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有()A.3种B.4种C.5种D.6种6.[2018·泸州]如图K23-2,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为()图K23-2A.20B.16C.12D.8AB,连接OE.7.[2018·通辽]如图K23-3,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,∠BCD=60°,AD=12下列结论:①S▱ABCD=AD·BD;②DB平分∠CDE;③AO=DE;④S△ADE=5S△OFE.其中正确的结论有()图K23-3A.1个B.2个C.3个D.4个8.[2018·天水]将平行四边形OABC放置在如图K23-4所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点.若点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(1,2),则点B的坐标为.图K23-49.[2018·衡阳]如图K23-5,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么▱ABCD的周长是.图K23-510.[2017·南京]如图K23-6,∠1是五边形ABCDE的一个外角,若∠1=65°,则∠A+∠B+∠C+∠D= .图K23-611.[2018·泰州]如图K23-7,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为.(用含α的式子表示)图K23-712.[2018·温州]如图K23-8,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B.(1)求证:△AED≌△EBC;(2)当AB=6时,求CD的长.图K23-813.[2018·黄冈]如图K23-9,在▱ABCD中,分别以边BC,CD为一边作等腰三角形BCF,等腰三角形CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.(1)求证:△ABF≌△EDA;(2)延长AB与CF相交于G,若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.图K23-9|拓展提升|14.[2018·哈尔滨]如图K23-10,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连接EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=√10,则线段BC的长为.图K23-1015.[2018·云南]如图K23-11,在▱ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上的点,AF=AD+FC.▱ABCD的面积为S,由A,E,F 三点确定的圆的周长为l.(1)若△ABE的面积为30,直接写出S的值;(2)求证:AE平分∠DAF;(3)若AE=BE,AB=4,AD=5,求l的值.图K23-11参考答案1.A2.D3.B4.B5.B [解析] 平行四边形判定一:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,选①②;平行四边形判定二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,选③④;平行四边形判定三:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,选①③或②④.共有4种选法,故选B .6.B [解析] ▱ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,所以O 为AC 的中点,又因为E 是AB 中点,所以EO 是△ABC 的中位线,AE=12AB ,EO=12BC.因为AE+EO=4,所以AB+BC=2(AE+EO )=8.因为▱ABCD 中,AD=BC ,AB=CD ,所以周长为2(AB+BC )=16. 7.B [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BCD=∠DAB=60°,又∵DE 平分∠ADC ,∴∠DAE=∠ADE=60°,∴△ADE 是等边三角形,∴AD=AE=DE ,∵AD=12AB ,∴AE=12AB ,即E 为AB 的中点,∴∠ADB=90°,∴S ▱ABCD =AD ·DB ,故①正确.∵DE 平分∠ADC 交AB 于点E ,∠ADC=120°,∴∠ADE=∠EDC=60°,由①知∠ADB=90°,∴∠CDB=30°,∴DB 平分∠CDE ,故②正确.∵AO=12AC ,DE=12AB ,AC>AB ,∴AO>DE ,故③错误.∵AE=BE ,DO=BO ,∴OE=12AD ,且EO ∥AD ,∴S △ADF =4S △OFE ,又S △AFE ≠S △OFE ,∴S △ADF +S △AFE ≠5S △OFE ,即S △ADE ≠5S △OFE ,故④错误.综上所述,选B . 8.(4,2)9.16 [解析] 在▱ABCD 中,AD=BC ,AB=CD ,∵点O 为AC 的中点,OM ⊥AC ,∴MO 为AC 的垂直平分线,∴MC=MA , ∴△CDM 的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8,∴平行四边形ABCD 的周长=2(AD+CD )=16. 10.425° [解析] 根据多边形内角和公式得五边形ABCDE 的内角和为(5-2)×180°=540°, ∵∠1=65°,∴∠AED=115°,∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°-115°=425°.11.270°-3α [解析] ∵∠ACD=90°,∴∠CAD=90°-∠D=90°-α.∵E ,F 分别为AC ,CD 的中点,∴EF ∥AD ,∴∠CEF=∠CAD=90°-α.∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC=∠CAD=90°-α.∵∠ABC=90°,E 为AC 的中点,∴AE=BE ,∴∠EBA=∠BAC=90°-α,∴∠BEC=180°-2α,∴∠BEF=270°-3α.12.解:(1)证明:∵AD ∥EC ,∴∠A=∠BEC. ∵E 是AB 的中点,∴AE=BE.又∵∠AED=∠B ,∴△AED ≌△EBC. (2)∵△AED ≌△EBC ,∴AD=EC ,又∵AD ∥EC ,∴四边形AECD 是平行四边形, ∴CD=AE.∵AB=6,∴CD=12AB=3.13.证明:(1)在▱ABCD 中,AB=DC ,BC=AD ,∠ABC=∠ADC ,AD ∥BC.因为BC=BF ,CD=DE ,所以AB=DE ,BF=AD ,又因为 ∠CBF=∠CDE ,∠ABF=360°-∠ABC-∠CBF ,∠EDA=360°-∠ADC-∠CDE ,所以∠ABF=∠EDA ,所以△ABF ≌△EDA.(2)因为△ABF ≌△EDA ,所以∠EAD=∠AFB.因为AD ∥BC ,所以∠DAG=∠CBG ,又∠FBG=∠AFB+∠BAF ,所以∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠BAF+∠DAG=∠EAF=90°,所以BF ⊥BC.14.4√2 [解析] 连接BE ,易证△BEC 是等腰直角三角形,EM 为高,运用“三线合一”,EF 是中位线,可证得△EFN ≌△MBN ,可得到BN=FN=√10,tan ∠NBM=12,进而求出BM=2√2,所以BC=4√2.15.[解析] (1)设AB ,CD 之间的距离为h ,则S ▱ABCD =AB ·h ,S △ABE =12AB ·h ,所以S ▱ABCD =2S △ABE =2×30=60.(2)延长AE 交BC 的延长线于点H ,由AD ∥BC 得∠DAE=∠H.证△ADE ≌△HCE ,结合AF=AD+FC ,得△AFH 是等腰三角形,于是有∠H=∠FAE ,所以∠DAE=∠FAE.(3)由(2)知AE=HE ,结合AE=BE 可得∠ABH=90°,所以AB 2+BF 2=AF 2=FH 2,即16+(5-FC )2=(FC+5)2,解得FC=45,所以AF=FH=45+5=295.由(2)知△AFH 是等腰三角形,点E 为AH 的中点,由“三线合一”定理知∠AEF=90°,所以AF 是△AEF 外接圆的直径,所以l=π·AF=295π. 解:(1)60.(2)证明:延长AE ,与BC 的延长线交于点H.∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴∠ADE=∠HCE,∠DAE=∠CHE.∵点E为CD的中点,∴ED=CE,∴△ADE≌△HCE,∴AD=HC,AE=HE,∴AD+FC=HC+FC.∵AF=AD+FC,FH=HC+FC,∴AF=FH,∴∠FAE=∠CHE.又∵∠DAE=∠CHE,∴∠DAE=∠FAE,∴AE平分∠DAF.(3)连接EF.∵AE=BE,AE=HE,∴AE=BE=HE,∴∠BAE=∠ABE,∠HBE=∠BHE.∵∠DAE=∠CHE,∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE,即∠DAB=∠CBA.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB+∠CBA=180°,∴∠CBA=90°,∴AF 2=AB 2+BF 2=16+(5-FC )2=(FC+CH )2=(FC+5)2,解得FC=45,∴AF=FC+CH=45+5=295.∵AE=HE ,AF=FH ,∴FE ⊥AH , ∴AF 是△AEF 的外接圆的直径, ∴△AEF 的外接圆的周长l=295π.。
