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家谈高中数学新课改要用数学本身的魅力来吸引学生专家谈高中数学新课改●要防止“去数学化”现象●要用数学本身的魅力去吸引学生●社会应对新课改多些包容今年是我省高中全面进入新课改的第一年。
新课改的走向如何，学生应如何面对今后的高考？11月4日，借第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动的东风，记者采访了北京人民教育出版社数学室主任章建跃和浙江省教研室数学教研员张金良，他们站在全国、全省数学教研的角度，重点谈了高中数学学科的课改动向和高考评价。
关于数学新课改—要防止“去数学化”现象据人教社的章主任介绍，今秋，全国共有十个省、市、区高中进入新课改，浙江省是其中之一。
明年起，新课程改革将由“申报进入”改为“规划进入”，这意味着新课改近两年在全国全面推进已是大势所趋。
对于数学学科来说，新课程关注的核心是如何适应国家发展的需要和如何适应人的发展需要。
“这就是说高中数学教育要与实践联系，与学生的学习兴趣、学习能力联系，我特别强调与实践联系但不是生活，因为高中数学不同于义务教育阶段，它有一定的抽象性，生活化数学要适度，这是高中数学老师特别要注意的问题。
”章主任如是说。
在观摩了几十节来自全国的高中青年数学教师优秀课后，结合前段时间高中新课改中出现的一些问题，两位高中数学教研人员不约而同地提到一个观点：高中数学教学要防止“去数学化”现象，即在上课中，数学本质、内涵的东西少了，所谓的情景、生活化的游戏多了，片面强调探究、合作，让学生追求教学的外在表现，而不是对数学概念、内容的深层思考。
课堂虽然热闹了，但学生参与的思维深度不够。
他们认为，数学本身是有魅力的，要用数学的本质吸引学生保持长久的兴趣。
省教研员张金良老师告诉记者，我省今秋高中全面进入新课改，面对新课程，老师手头可用资源非常有限。
为此，省教研室组织专家，编写了介于教材与课标之间的各学科教学指导意见，包括教学中的每个章节、每个模块；同时，编写了新课程的同步使用作业本。
浙江省高中数学新课程骨干教师省级培训方案依照教育部《关于2006年推动一般高中新课程实验工作的通知》（教基厅[2005]19号）的要求，我省一般高中自2006年秋季一年级开始进入新课程实验。
为切实做好第一时期的实验工作（指2006年秋季入学到2020年毕业学生的一般高中新课程实验），保证我省一般高中数学课程改革的顺利实施，依照省教育厅、省课程改革领导小组有关要求，特制定本培训方案。
一、工作思路1．教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量，是新一轮一般高中新课程改革的主力军。
各级教育局、教研机构、师范院校应一起协作确保全部实验教师在同意通识培训的基础上开展相关学科的培训。
培训工作“到边到底”，每所一般高级中学均有人参加省级培训。
2．创新培训方式，提高培训成效。
踊跃探讨“专家指导+行政领导+学校实施+学科骨干探讨+教师实践”的数学课改组织支持系统。
数学培训提倡参与互动和基于课堂案例的培训，围绕教师迫切需要解决的问题，深切探讨，讲求实效；通过聚焦课堂，把课程理念转化为课堂教学行为，探讨以课堂为平台的培训模式。
3．比较研究新老教材的转变和不同版本教材的优化，把握教材的编写思路和体系，探讨各模块教学的实施策略和有效教学方式。
二、培训目标1．了解高中新课程实验的意义，深切领会高中新课程改革方案的精神，树立与新课程相适应的课程观、教学观、学生观、学习观、评判观，提高课程改革实验责任感。
2．通过对高中新课程标准的解读与学习，使实验教师了解高中数学新课程的特点、转变及进展趋势，进一步把握高中数学新课程的性质、大体理念、课程目标、课程内容、评估标准等内容。
3．通过学习和研究《浙江省高中数学科实施意见》、《浙江省高中数学科教学指导意见》，使实验教师明确高中数学教学目标定位，领会浙江省新一轮高中数学课改的用意和要求。
4．通过对高中数学实验教材培训和案例分析，使实验教师领会实验学科教材的体系结构、编写用意、教学要求、模块分派和教法特点，改良教学方式，实现高中数学教学的高效率与高质量。
浙江省教育厅关于印发《浙江省普通高中新课程实验第一阶段工作方案》的通知文章属性•【制定机关】浙江省教育厅•【公布日期】2006.04.05•【字号】浙教基〔2006〕60号•【施行日期】2006.04.05•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】教育正文浙江省教育厅关于印发《浙江省普通高中新课程实验第一阶段工作方案》的通知浙教基〔2006〕60号各市、县（市、区）教育局：按照教育部部署,我省将从2006年9月起进行普通高中新课程实验。
为切实做好第一阶段的新课程实验工作，保证课程改革顺利实施，根据教育部《基础教育课程改革纲要(试行)》、《普通高中课程方案(实验)》等文件精神，结合我省实际，我厅制定了《浙江省普通高中新课程实验第一阶段工作方案》（以下简称《工作方案》）。
现将《工作方案》印发给你们，并提出以下意见，请一并贯彻落实。
一、高度重视，提高认识。
普通高中课程改革是基础教育的一次深刻变革，涉及面广，任务重。
各地各校要高度重视，组织广大教育行政干部、教学研究人员、教育科研人员和普通高中校长、教师深入学习《工作方案》，进一步提高对普通高中课程改革目的、意义的认识，增强参与高中课改的主动性和自觉性。
明确高中新课程的目标、内容和结构，正确把握新课程实验的实施程序和管理要求，为启动高中新课程实验工作做好充分准备。
二、积极稳妥，务实创新。
各地要坚定改革方向，因地制宜，有序推进。
要调动各方面的积极性，努力创造各具特色的实践经验。
要加强研究新课程实验中出现的新情况和新问题，积极探求做好实验工作的有效方法，保持正常教学秩序，努力减轻学生课业负担。
要加强师资培训，坚持“全员培训”和“先培训、后上岗；不培训、不上岗”的原则，认真完成每一位教师的岗前培训任务。
三、加强领导，保障落实。
各地要加强对普通高中新课程实验工作的领导，统筹组织协调做好本地区新课程实验工作。
要积极争取当地政府的重视和支持，进一步改善办学条件，充实完善图书、仪器、设备和用房，根据需要设立普通高中新课程实验工作专项经费，保障普通高中新课程实验工作顺利进行。
怎样才能学好高中数学张金良要想取得学习上的成功，理想、勤奋、毅力、方法四个条件缺一不可。
理想是力量的源泉，勤奋是取得成功的前提，毅力是克服困难的关键，方法是学习的金钥匙。
方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。
下面笔者结合自己多年来的教学实践和体会，谈谈数学学习的若干方法。
一、循序渐进，打好基础著名数学家陈景润说：“我觉得在学习上没有捷径好走，也无‘秘诀’可言，要说有，那就是刻苦钻研，扎扎实实打好基础，练好基本功……，要打好基础，循序渐进。
”前头没有弄懂，则无法前进，这犹如登塔，只有一步一上，才能到达光辉的顶点。
在数学学习过程中，不断抽象是数学学科的特点之一，学习时，会不断碰到新的抽象概念，因此学习数学首先要弄清楚一个个概念，否则脑子里难免是一盆浆糊，结果越学越糊涂，无法进行后续学习。
数学知识一般是从一些基本的概念出发，按照一定的逻辑顺序展开的，学习当前所讨论的内容，需要有先前知识为基础，现在学习的内容，又是后续学习知识的基础，前面学得扎实，后面就能顺畅，否则知识链就会断裂。
数学的系统性和连贯性规定了数学学习必须循序渐进，打好基础。
那么怎样循序渐进，打好基础呢？1、必须重视数学基本概念、基本定理（公式、法则）的学习。
要在理解上下功夫。
数学概念是数学学习的核心，数学的判断、推理都是建立在概念的基础上的，数学定理揭示的是几个概念之间的关系。
数学概念和定理是我们解决数学问题的出发点和依据，所以打好基础，首先在概念上下功夫，如何“下功夫”呢？关键在“理解”二字。
对概念的理解必须准确地掌握它的内涵、外延，能脱离课本用自己的语言准确地叙述它。
能否用自己的语言来归纳出概念要点、能否对抽象概念用具体例子来阐明其确切含义，是检验我们是否真正掌握概念的标准。
例如函数的奇偶性定义、周期函数概念、椭圆、双曲线定义等等，许多同学觉得听得懂、看得懂，但脱离了书本，再复述一下就不那么自如了，甚至漏洞百出。
对定理学习，要懂得它的含义、成立的条件和使用的范围，能理出定理证明的思路，能抓住证明的关键。
浙江省教育厅办公室印发省课改领导小组办公室关于普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见的通知文章属性•【制定机关】浙江省教育厅办公室•【公布日期】2008.05.09•【字号】浙教办基〔2008〕79号•【施行日期】2008.05.09•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】教育正文浙江省教育厅办公室印发省课改领导小组办公室关于普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见的通知浙教办基〔2008〕79号各市、县（市、区）教育局：为进一步做好我省普通高中新课程实验第一阶段工作，省课改领导小组办公室制订了《普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见》。
现予以印发，请研究执行。
浙江省教育厅办公室二〇〇八年五月九日普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见一、关于课程设置与实施（一）各地各学校在执行《浙江省普通高中新课程实验第一阶段课程设置意见》时，要适当减少高一年级并开科目，严格控制周课时，高三年级上学期仍应以新课教学为主，不得过早结束新课；要保证所有学生每学年在体育与健康、艺术、综合实践活动等学习领域和选修Ⅱ中都获得一定学分；要注意课程设置与会考、高考方案的衔接。
（二）从2008级开始，全省普通高中人文与社会学习领域中的一门学科调整到高二开始开课，高一的周课时不超过31课时（含选修Ⅱ1课时）；高二的周课时不超过34课时（含选修Ⅱ1课时）。
具体调整方案由各市、县（市、区）教育行政部门在征求学校意见后制定。
（三）学校可以在征得主管教育行政部门同意后，自行调整信息技术和通用技术学科的开课顺序，自行确定选修IA、IB模块的开课时间和顺序。
学校要积极创造条件，逐步加大选课、走班的力度，选修IB模块必须充分尊重学生的选择，高二年级和高三年级上学期学生“走班”每周不少于两个单位时间。
要积极探索学生跨校选修或在社会教育机构中学习的组织形式。
（四）各学科的“教学指导意见”是把握教学要求、评价学业水平以及高考命题的重要依据，各地各学校要认真研究执行，以进一步规范教学行为，努力减轻学生的课业负担。
坚持教材主线灵活选取素材湖州市吴兴高级中学严惠峰背景：省教研员张金良老师在《中学教研（数学）》（2007．5）的论文《领会教材内涵教活课标教材》中提到我们人教A版教材特色鲜明，十分注重数学思想方法的渗透、注重普遍联系、实际应用．实验后得到了广大实验教师的认可．在教学时要对照《课标》、《省教学指导意见》，要树立用教材教数学，而不是教教材的理念，进行边教边研究，实现创造性的使用教材．事实确实如此，教师应该是“用教材教而不是教教材”．一方面，我们既不能对教材大刀阔斧的改，把教材提供的素材抛到一边而另行设计，因为教材毕竟是在国家课程标准目标指导下经过一些资深的教育专家编写出来的，反映国家对培养人才规格的要求，具有很强的科学性，是实施教学活动很好的载体．同时，也不能照本宣科的教，要在深入分析教材、了解编写意图的基础上创造性地使用教材．我们知道，再好的教材也会有不够完善的地方，也有需要改进、调整、重组的地方．要结合社会、学校、学生等方面的情况进行创造性地使用教材．下面是笔者在使用教材的过程中对教学素材的一些处理与大家分享，不妥之处请指正．一、选取素材的原则1．含有一定的数学信息和数学价值所含着的数学信息与本节课教学目标密切关联，有助于本节课教学目标的落实．2．具有一定的时代信息和生活实践价值这是新课程理念赋予素材新的要求,数学新课程的基本理念之一“人人学有价值的数学”,所谓“有价值”就是对解决现实生活中的问题有作用．素材的选择要让学生体会到这种价值，享受这种价值．所以所选择的素材应该是社会生活中常见的具有一定代表性的事例．这样的事例要能让学生在处理富有现实意义的问题中学会用数学的思维去思考现实生活中的问题，用数学的方法解决现实生活中的问题，进而形成勇于探索，勇于创新的科学精神，获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、必要的应用技能和实践经验．3．含有一定的思想教育信息和思想教育价值数学是一门科学，也是文化．是文化就有它的教育功能，所以数学课堂教学在让学生发现数学知识，形成数学技能的同时，也要受到思想熏陶，帮助学生形成正确的价值观、人生观．二、选取素材的途径1．巧用教材素材，使教学内容更精彩人教A版教材中素材的选取，充分考虑学生的心理特征和认知水平。
把握数学问题本质提高课堂教学立意张金良【摘要】通过鲜活的典型案例，从深刻领会数学问题所内隐的数学概念等五个不同的角度阐述了如何把握数学问题本质，提高课堂教学立意，期待着广大一线教师能深度理解数学问题，看清问题的本质，高观点地开展数学课堂教学，从而实现数学教学的轻负担、高质量。
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》【年(卷),期】2016(000)006【总页数】4页(P2-4,16)【关键词】问题本质;教学立意;教学质量【作者】张金良【作者单位】浙江省教育厅教研室【正文语种】中文众所周知，数学教学无论采取何种教学方式，教学时都力求深入浅出，尽可能将问题的本质揭示给学生，使学生看清本质，深刻领会，达到深度理解.然而，在现实的课堂教学中，部分教师对数学的理解不到位，以致于面对复杂的数学问题，无法透过现象看清本质，不能将问题所蕴涵的数学思想方法及内在的知识关联进行有效的揭示，从而在课堂教学时出现了浅入浅出、效率低下的现象.俗话说，教师跪着教，学生就爬着学，教师的高度，影响着学生的高度.为了让教师站到应有的高度去教，本文通过鲜活的典型案例从五个不同的角度阐述了如何把握数学问题的本质，提高课堂教学立意，从而高观点地开展数学课堂教学，实现数学教学的轻负担、高质量.一个好的数学问题常常有着丰富的内涵，尤其内隐着深刻的基本数学概念，教学时要抓住问题的本质，揭示数学概念.例1 存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（）.（A） f（sin2x）=sinx（B） f（sin2x）=x2+x（C） f（x2+1）=|x+1|（D） f（x2+2x）=|x+1|此题是浙江省2015年高考题，学生的答题普遍采取以下方法.解：令x=0，可知 f（sin0）=sin0， f（0）=0.再令可知 f（0）=1，矛盾，所以选项A错误.同理可知，选项B错误.再取x=1，则f（2）=2，取x=-1，则f（2）=0，矛盾，所以选项C错误.令t=|x+1|（t≥0），所以 f（t2-1）=t（t≥0）.所以符合题意.所以选择选项D.该解法通过赋值判断，获得正确选项，其解答当然是正确的，但从高观点的角度来看，解法还没有优化，解题的立意尚可提升.稍作观察，可发现此题的四个选项均为复合函数，而两个函数复合时，其周期性、奇偶性具有一定的不变性，当里层函数为周期函数时，复合函数也为周期函数且周期保持不变，这样同时排除了选项A和选项B；当里层函数为偶函数时，复合函数也为偶函数这样排除了选项C，于是答案选择选项D.这样解题把握了题目的本质，也揭示了题目的真面目，很显然该解法更胜一筹，这样的案例举不胜举，教师要善于发现.例2 在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上异于点A的两个点，现沿EF将△AEF折起，记AC与平面BCD所成的角为θ1，AC与EF所成的角为θ2，试比较θ1与θ2的大小.此题矩形等条件是非本质的，根据线面角定义时的最小性，显然有θ1小于θ2.许多数学问题通常从某一几何关系出发编拟而成，教学时理应将最本质、最核心的几何关系呈现给学生，使学生一目了然.例3 如图1，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点M的轨迹是（）.（A）一条线段（B）一段圆弧（C）抛物线的一部分（D）一个平行四边形此题是浙江省2015年学业水平考试题，难度系数为0.2，也是浙江省课堂教学评比时教师说题题目，从教师现场说的解法看，大多数人这样证明.证明：如图2，过点E作AB的平行线交BC于点G，连接EG，GF，取GF中点N，EF中点M，连接MN，得为定值.由平面几何知识，得点N是在过点B的直线上运动，因此线段EF中点M的轨迹是一条线段.此为一个不错的解法，只可惜教师无法刻画此题的本质.事实上大家细心观察后，就会发现该题设的四棱锥、底面为平行四边形、AE=2BF是非本质的，抽象后的核心问题是点E，F分别是异面直线AD，BP上的动点，且AE=λBF线段EF中点M 的轨迹为一直线，证明方法相同.证明：如图3，过点B作BG平行AD，过点E作EG平行AB交BG于点G，连接GF，取GF中点N，连接MN，得为定值.因为在平面BPC上，BG=λBF，所以由平面几何知识，得点N是在过点B的直线上运动，因此线段EF中点M的轨迹是一条直线.例4 已知a≥b≥c＞0，a+b+c≤1，求证：a2+ 3b2+5c2≤1.此题是一个代数不等式，证明有一定的难度，其中的一种证法如下.证明：由题意（a+b+c）2≤1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤1.因为a≥b≥c＞0，所以ab≥b2，bc≥c2，ca≥c2.所以a2+3b2+5c2≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤1.若教师教学时仅仅给出证法了事，就难免遗憾.事实上深入分析，就会发现问题的本质是在边长为a+b+c的正方形的边上，分别截取长度为a，b，c的九个矩形中，切出九个如图4的正方形，依据图中的面积关系显然有：a2+3b2+5c2≤（a+b+c）2，因为0＜a+b+c≤1，所以a2+3b2+5c2≤（a+b+c）2≤1.高等数学与中学数学是承接关系，是共同发展的关系，许多初等数学无法解释的问题都能在高等数学中找到答案.因此，高等数学思想的渗透能更好地解释许多中学数学问题.目前，以高等数学背景编拟的问题层出不穷，教师在教学时应高屋建瓴，力争注意挖掘问题的高等数学背景，阐明高等数学与初等数学之间的联系，刻画出问题的本质.例5 已知函数设正实数k，使得对任意的x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．此题是北京市2015年高考题，也是浙江省课堂教学评比说题题目，一半的教师通过构造函数然后求导分情况讨论，最后求得k的最大值为2，但说题教师却不知2的来历，也不知道题目所隐含的泰勒展开公式.事实上，当x∈（0，1）时，例6 已知 f（x）=x2+px+q，求证：|f（3）|至少有一个不小于这是一道广为流传的经典试题，常见证法将f（1），f（2），f（3）用p，q来表示，消去p，q，得 f（1）+f（3）-2f（2）=2，最后两边取绝对值后用反证法完成证明.然而，上述处理是一种反表示或消参法，若将题目推广成一元三次函数或更高次函数我们就不那么容易处理.观察 f（1）+f（3）-2f（2）=2，在等式两边同除以2并整理，得试问 f（1），f（2），f（3）的系数有何规律？要回答这一问题，我们必须达到一定的高度.现在我们从高等代数的角度来俯视该题，容易发现拉格朗日插值公式可以解开我们的疑惑.记由拉格朗日插值公式，得比较等式两边x2项系数，得所以很显然，利用拉格朗日插值公式，已不难发现问题的本质，对一般的 f （x）=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an情形，仍可用拉格朗日插值公式，可证得至少有一个不小于波利亚十分强调做完题目后要反思回顾，若教学时经常反思回顾就能看清题目的来龙去脉，分辨出题目的“源”与“流”，从而把握问题的本质.例7 如图5，已知点P（1，3），Q（1，2）.设过点P的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为点C，D.记直线AB，CD的斜率分别为k1，k2.当k1≠2时，是否为定值？若是，求出该定值.此题是浙江省2015年学业水平考试题，有一定的难度，学生做后并不清楚题目的“源”，事实上此题由以下的一个典型结论演变而成.命题：已知点P（a，0），Q（b，0）.设过点P的动直线与抛物线x2=y交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为点C，D．记直线AB，CD的斜率分别为k1，k2.则的定值.研究了该题的“源”后，还可进一步探究题目的“流”.例如，将抛物线换成椭圆是否有类似结论等.数学知识常常是一环扣一环，紧密相连，教学时切忌就事论事，囫囵吞枣，要充分揭示知识间的普遍联系，达到“做一题、通一片”的效果.例8 如图6，正方形ABCD的边长为动圆Q的半径为1，圆心在线段CB（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，设向量（m，n为实数），求m+n 的最大值与最小值？这是一道典型的平面向量基本定理应用题，也是基向量应用题，点P的可行域为两个半圆与一个矩形组成，求解方法既可以建立直角坐标系，利用线性规划破题，也可以运用平面向量基本定理，借助几何意义直接破解，还可以转化为（点O为正方形ABCD的中心）数量积后简化破题，下面给出较为常见的等值线法.当点P在直线BD上时，由得 m+n=1.由此，过点P作BD的平行线l，当l向上平移时，m+n增大；向下平移时，m+n减少，当点Q与点C重合，且点P为圆Q与AC延长线交点时，m+n最大值为3.同理，当点Q与点B重合时，直线l与圆Q相切且过点A时，最小值为0.等值线揭示了平面直角坐标系中线性规划问题在斜坐标系中的推广，教学中可类比直角坐标系揭示此题所内隐的知识链.例如，如图7，设（x，y为实数），l1∥l2∥l3∥l4∥l，则当点P在l1上时，x+y＞1；当点P在l2上时，0＜x+y＜1；当点P在l3上时，x+y=0；当点P在l4上时，x+y＜0.甚至可进一步揭示点P在其他区域内变化时x+y的取值范围，以及ax+by型的取值范围，只有这样学生对所学的知识才能融会贯通，深度理解，最终实现轻负担、高质量的教学目标.【相关文献】［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.。
核心素养观下的高中数学课堂教学变革——记浙江省名师工作室首期“名师面对面”线上直播活动为了更好地理解数学核心素养，交流数学核心素养如何在高中数学课堂中落地生根，进一步提升工作室成员的水平甚至浙江省数学教师的水平，“张金良名师网络工作室”于2017年4月15日举行以“核心素养观下的高中数学课堂教学变革”为主题的“名师面对面”第一期线上直播活动。
此次活动邀请了首都师范大学教授博士生导师教育部《高中数学课程标准》研制组副组长王尚志、浙江省高中数学教研员特级教师“张金良名师网络工作室”主持人张金良老师、杭州市数学教研员杭州市学科带头人“张金良名师网络工作室”指导老师王红权老师等三位特聘专家，由工作室成员江琦老师主持。
本活动在有如芝兰之室的杭州市下城区百井坊巷95号漫书咖进行，现场与会代表有21人包括幸运嘉宾5人，线下收看直播并参与互动的达到上百人。
本次活动就四个话题：数学核心素养的缘起、“核心素养”与“双基”“三维目标”之间的关系、如何理解数学核心素养、如何培养学生的数学核心素养，展开交流讨论并直播。
这其中既有专家的解读、分析和指导，又有专家与现场代表、网络代表之间的“面对面”交流讨论、甚至还有三位特聘专家之间的“面对面”交流与碰撞，让现场教师和网上收看的教师解开了心中的疑惑，得到了如何在高中数学课堂中落实及提升核心素养的方式方法的启迪。
首先简明扼要地介绍了各方面各教育专家对数学核心素养的定义及理解。
一起回顾了近代我国数学教学理论的发展过程：从注重“双基”（基本知识和基本技能）的教学，发展到注重“四基”教学（在“双基”的基础上增加基本思想方法和基本活动经验）。
在这新一轮基础教育课程改革实施中，新的思潮和观点不断涌现，其中影响较大的，一是素质教育的口号，二是情感态度价值观的培养（三维目标）。
然而，素质教育和情感态度价值观是较为宏观的概念，如何使其落到实处，便于操作，易于实施呢？学科核心素养的提出很好地解决了这个问题。
2019年第11期故事故学11-1解密数学运算，探求教学策略张金良(浙江省教育厅教研室，浙江杭州310012)数学运算是我国数学教学的传统目标之一，与逻辑推理能力、空间想象能力一起被称为“三大能力新课标修订稿依然重视学生运算能力这一目标，确立了数学运算是六大数学核心素养之一，这是传承中国数学教育传统的具体体现.然而，在当前的数学教学中，人们对数学运算的重视程度远不如从前，总觉得“思想方法”比较高大上，认为计算方法、计算能力可用计算机（器）替代，从而削弱这方面的教学要求，学生如此，老师也如此.根据笔者十多年参与高考数学浙江卷阅卷时所掌握的情况看，目前我省学生的数学运算能力依然偏弱，对大多数同学而言，如何快速、准确地得到运算结果依然有困难，“会而不对”的问题尤为明显.究其原因是多方面的，既有“外部环境”的因素，也有自身的因素.从学生学习的社会环境来看：(1)初中课改削弱了运算要求（十字相乘 法、因式分解等代数恒等变形、韦达定理、平面几何等）；(2)计算器的广泛运用削弱了运算意识；(3)教师抓运算的意识淡薄，教学力度不 够，缺乏示范.从学生自身的学习来看：(1)概念模糊不清导致运算失误；(2)定理、公式、法则记忆不准确,使用的限制范围不清楚；(3)代数恒等变形不熟练,运算过程缺少 依据；(4)算法意识缺乏，算理不清，对运算缺乏检验、反思；(5)数学语言不过关，导致阅读能力差，运算无从下手；(6)读图、识图能力差，大数据处理能力差；(7)学习习惯差，审题不仔细，书写不规范，表达能力弱•所以，在提倡培养学生“核心素养”的今天，重提“数学运算”非常有现实意义.1数学运算的内涵及其意义运算是根据数学法则对量（或数）进行代换或变换求出表达式结果的过程.数学运算则是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.具体地讲，数学运算包括数字的计算、估计和近似计算，对式子的组合与分解变形，对几何图形中各几何量的计算求解等.常见的运算有实数运算、指（对）数运算、复数运算、集合运算、初等函数运算、向量运算、极限运算、微分运算、积分运算，概率统计运算及方程与不等式的同解变形、变换等.每一种运算都遵循各自的运算律，如结合律、交换律，分配律等.数学运算本质是集合间的一个映射，数学运算素养是“运算能力”基础上的继承和发展，是开展其他数学学习的基础.从心理学的角度来看，数学运算是学生在有目的的运算过程中，能够正确的、合理的、灵活的完成运算并影响运算效果的个性心理特征.运算能力作为素养的重要表现形式主要在这三个方面体现：一是在分析运算对象、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能中国教育学会“十三五”教育科研重点立项课题《基于高中数学核心素养的教学设计和测评》，编号1711140639A .11-2故学故学2019年第11期力上;二是理解运算的算理并快速准确地进行运算；三是对运算的结果能够做出分析判断，并对问题进行推理和探求.简言之，运算能力体现在运算的合理性、准确性、熟练性、简捷性 上.其中运算的合理性表现在运算要符合算理、符合运算目标、符合简便的途径，是运算能力的核心;运算的准确性是要求学生依据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算.在运算过程中使用的概念、公式、法则 要准确无误，表达结果准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误.运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求.换个角度看运算能力应具有层次性、综合 性、思想性.所谓层次性是指：不同类别的运算 是由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级逐步形成和发展起来的，比如实数运算是有 理数运算发展而成；不掌握整式的运算，就不 可能掌握分式的运算；不掌握有限运算，就不 可能掌握无限运算；没有具体运算的基础，抽 象运算就难以实现.因此对运算的认识和掌握是拾阶而上的.所谓综合性是指：运算能力既不能离开具体的数学知识孤立存在，也不能离 开其他能力独立发展，运算能力是和记忆能力、观察能力、思维能力等数学能力相依存•所 谓思想性,数学运算是在一定的思想基础上产生的，数学运算的背后隐藏着量化思想、程序 化思想.2数学运算水平层次与评价要素《高中数学课程标准》围绕理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路和形成程序化思维这四个方面对数学运算素养的水平划分为三个水平.水平1:在熟悉的数学情境中能够了解运算法则及其适用范围，正确进行运算；该水平侧重于理解运算法则，并能正确运用，属于基本操作的运算技能层面.水平2:能够在关联情境中确定运算对象，提出运算问题.能够针对运算问题,合理选 择运算方法,设计运算程序，解决问题.该水平侧重于探究运算思路，并能正确实施，属于演 绎推理的运算能力层面.水平3:能够在综合情境中把问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运 算方向.该水平在前两个水平的基础上，更强 调对程序化思想的理解以及在解决问题中对通性通法的使用[2].在现实的教学中，可从计算技能与推理两方面去评价数学运算素养.其中计算技能方面的评价要素可设为：①是否记住数学计算公式、计算法则，并能准确地运用公式和法则进行计算;②能否应用概念、性质、定理进行有关 的计算；③在进行各种数学计算时，包括数、式、方程、函数、指数、对数、三角函数、不等式、复数等结果是否准确，速度是否迅速，过程是否合理;④能否进行各种查表和使用计算器计算.推理方面的评价要素可设为：①是否合理的使用公式、法则；②运算方法和运算过程是否简捷;③能否对自己的运算结果进行检查和判断;④能否自我改正运算中的各类错误;⑤能否简化运算过程,进行“跳步”计算;⑥心算、速算、估算能力如何;⑦是否会推理计算.3培养学生数学运算能力的途径和策略3.1明晰算理、重视优化培养学生数学运算素养，必须重视数学运 算背后的算理教学，要处理好算理和算法间的关系，要让学生明白运算法则解决了“算什么”以及“怎么算”的问题，而算理则回答了“为什 么要这样算”“怎样算得好”的问题.在实际教学中应让学生经历完整的运算过程，明晰算 理，理解运算法则，在感悟“知其然，且知其所以然”中积累经验.以2019年高考数学浙江卷第20题为例谈谈具体的做法：例1设等差数列1\!的前n项和为S…，a3二4，a4二S3.数列| 6…|满足：对任意《e N*, S…+6…，S…+1+/)…，S…+2+6… 成等比数列. 求数列U…i，丨6…丨的通项公式.第一步，明确运算对象，即S...，S...+1，S (2)bn；第二步，确定运算目标，即用n来表示6… ;第三步，分析运算条件5… +6…，S…+l +6…, S…+2 + 成等比数列，S…是等差数列| a…丨前n 项和；第四步，探究运算方向，即寻找目标、对象2019年第11期 故学故学11—3和条件之间的联系，由题意知（S…+1+ 6…)2 = (5…+6…)(5…+2+6…)，下一步运算方向是将5… =^ ~n,s…+i+ r e,5n+2=n2 +3n +2^(；Sn = (n - l)n,Sn+i =n(n + l),S…+2 =( n + 1) (n+ 2)代入展开，或者是展开化简后再代入运算，两种方法难易度相差较大，若按第一种方法处理面对的是三项式平方或积，容易陷入困境，按第二种方法处理优于前者但需花费一番周折，理想的方法是第二种；第五步，确定运算方法，即比较各种运算方向，定其一种进行求解.由上分析，选择方法 二得（S…+2 + - 2S…+,)=史+1 - S…S…+2，此时是否要将S…，S…+1，S…+2三个表达式择优代人 呢？回答是否定的.这里应对的系数进行先简化 S…+2 + S… - 2S…+1 = a…+2 - a…+1 = <再运算得出乂 =4(S〖+1 -S人+2)再代人，这说明实施a运算时每一步变形都需要尽可能优化；第六步，求得运算结果并回顾检验，令n =1验证结果的正确性，许多问题可取特殊情况进行验证.上述运算中的“理”并不复杂，但操作时还 是千差万别，这里有整体思想、对称思想在起作用•又如2017高考浙江卷第17题：“已知a e R,函数/(a〇= % +----<2| + 〇在区间[1，4]上的最大值是5,求a的取值范围”，利用整体思想设x1f e[4, 5]，将问题转化成X“已知max(I f - a丨+ a)= 5.求a的取值范围”，若再利用I« - a I的几何意义可大幅降低运算 难度•3.2加强示范，讲练结合教学调研时,常常看到教师对解题思路分析得细致人微，但书写表达一笔带过，有的教师甚至一节课讲了七八个例题，既没有一个完 整的答案，也没有一个完整的板书.教师缺少示范，学生不能用数学语言进行规范书写表达•曾有椭圆与双曲线标准方程推导教学的两 节公开课，开课教师将推导过程制作在ppt上，放电影式地将推导化简过程播放一遍，转人怎 样求标准方程的例题教学之中，在笔者眼里这样的教学就错失了一次运算素养培养的良好机会，如果一些重要的定理、公式推导均采取同样方法对待，久而久之学生数学运算素养就得不到培养.事实上教材上采取移项后平方，变形后再平方这是一种通法，教学时可追问：“若直接两次平方能解吗？运算合理吗？”继续 推导椭圆标准方程的运算目标是去根号，而 V(x + c)2 + y2+ y(a: _ c)2 + y2= 2a隐含了 7(x + c)2 + y2 ,a,J{x - c)2+ y2构成等差数列，于是设+C)2 +y2= a- d,■J{x - c)2+ y2=a + (/，平方相减得c?回a代得- C)2 + y2= a - 化简得标准方a程.若学生基础较好的话，还可让学生尝试用余弦定理、勾股定理来推导.当然日常教学时仅仅示范教材例题是不够的，可选一些高考真题或好的模拟题进行训练，解析几何题是培养学生数学运算素养的好素材,下面就是一例例2已知点F(-2, 0)是椭圆f+/ = 1的左焦点，点/?(1, 〇)，过F的直线交橢圆于4、S两点，连接A/?、分别交椭圆于C、Z)两点，记直线45、CZ)的斜率分别为/c,、fc2,求证: & _ 2V2~J'本题对运算求解素养要求较大，许多学生 半途而废.常规处理是设4U,，h), 6U2, y2)，运算目标是将点C用力，y i表示，/)用 h表示，然后&用表示.解决问题时学生遇到的第一个难点是如何将C点横坐标^用h表示，许多学生列出的直线方程y =^7卜-1),并代入^+/=1，变形得（（〜-%! - 1J1)2 + 5;^)x2 - 10y b + -万卜，-1)2=0,由于不知隐含条件打丨=5 - 4,学生容易半途而 废，此时教师应介人提示学生化简成（3 -x,)a:2 -(5 -x丨+ 5；^ - 3a:丨=0,对于如何求该方程 学生可能又会产生疑惑，有经验的老师会让学生用求根公式或因式分解尝试，学生尝“苦头”11-4故学艮学2019年第11期后教师可让学生反观假设，发现^已是方程的根，于是借助韦达定理可得&代人y = y, 10 _ 1)可得 yc = v •同理％ =突破第一难点，学生遇到i - x2J - %2的第二个难点是如何化简hyc ~yD/2y,2y2);/- 3a;, 5 - 3x2x\3 - %, 3 -x j /^ 3 —%, 3 —%2，该式是一个繁分式化简，直接通分必然陷人繁难演算而失败，教师像前面那样让学生试一试，然 后对分子分母各个击破,分母用分离思想变形5 — 3^j 5 - 3x23 —x2，分子用统一思想与分离思想得；J2>i—-5 - xx j ~ x22kl(x2 + 2) 2kl(xl+ 2) ,1)，于是得丨2 =因此，教师对一些精彩的好题，要舍得进行运算示范，给学生充分的时间，对比不同解法，让学生完整地经历数学运算过程,让学生领略到“云开日出”的成就感，领略到“豁然开 朗”的意境.3.3掌握通性，学点“巧法”数学中的一些概念、性质、法则、公式是进 行运算的依据，而一些典型结论和一些常用数据又能提高运算的速度，因此教学时应让学生准确理解并牢固掌握各种运算所需的概念、性质、公式、法则及使用条件，限制范围，避免出现类似于复合函数求导=,:等低级错误.必要的结论与一些常用2v2jt — 1数据需要熟记或会推导，比如1至20内的平方 数，1至10内的立方数;3、4、5, 6、8、10, 5、12、13三组勾股数；立方和（差）公式;l g2 «/5" - 1 0.3010, lg 3 «0.4771, sin 18° =—丄—,sin 15° 正方体内（外)切（接）球环4半径，正四面体的高和体积，正三角形的面积，向量中的极化恒等式，椭圆的焦半径公式，椭圆的通径长，椭圆的垂径定理（若B是椭圆22^+&=l(a>6>0)上关于原点对称的两个a〇点是椭圆上任一点，则直线/m，的斜率之积为-\)等.对学习基础好的学生可作更a高的要求，如三角形面积海伦公式，三倍角正 弦公式，正（余）弦函数的图像对称轴方程，对 称中心等.数学解题技巧是解题灵活性的表现，也直 接影响着运算的快捷程度，因此学习过程中掌 握一点小窍门、小技巧是应该的.如配方法，平 方、开方技巧，两边同除（乘）、两边取同一函数，倒数代换，1的代换，整体代换，三角代换等 应熟练使用.看到求递推数列①《…+1= + __ 1(n + \)anA+T，a' = 1，②〜=1，前者应想到先配方，再两边开方，后者倒数代换;看到求函数;y I X - 2 I值域，应想到换元或两边平方.3.4厚实功底，强化思维数学运算素养是一种综合素养的表现，与 其他素养息息相关，运算能力是数学运算素养的具体体现，其中的思维品质包括：思维的敏 捷性、灵活性、深刻性、独创性.实践早已表明：知识靠传递、技能靠训练、素养靠积淀，因此要 提升学生的数学运算素养，首先夯实基础，厚 实数学功底，再者要在运算过程中渗透函数方程思想、化归转化思想、数形结合思想及演绎推理，最后要精选一些典型的试题进行教学干预提高学生运算思维的品质.例如“已知函数/(x) = - fcc2有四个x + 2不同零点，求实数&的取值范围？”是培养学生合理变形的好素材，调研表明有的学生一上手试图通过解方程求根来确定&的取值范围；2019年第11期故事故学11-5激发数学教学兴趣的实践途径-------个教师教学成长的心路历程张昆(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000)兴趣是最好的老师，数学教学兴趣也是数学教师教学成长与专业发展的最为重要的心理内驱力.数学教学兴趣表现于一个数学教师在自己的教学实践中，对于自己的数学教学活动各方面产生积极心理倾向，一心思考着某个 数学知识点应该如何教学，产生设想,并急于将这种设想拿到班级上进行实施，由此而出现 痴迷的状态.数学教师形成了自己的数学教学兴趣，他就会沉迷于探究教学活动中，乐此不疲，充满热情.这是保证出色地完成教学任务的前提，也是数学教师教学成长与专业发展的基础.这里结合笔者自己三十余年的数学教学体验，阐述激发数学教学兴趣的实践途径.1兴趣的萌芽：某_个知识点的教学略胜他人一筹杜威说兴趣是生长中的能力的信号与象征.我相信，兴趣显示最初出现的能力，因r w/•有的学生试图画函数y, =^和72=心2图像观察交点个数来确定的取值范围；有的学生 试图变形成I d -^^(尤+ 2) = 0考察方程有四 个根，进一步画函数y,=丨％丨和y2=紜2U + 1) 的图像观察交点个数来确定A的取值范围，大多数学生不能将问题转化成“+= I剡U + 2)K有三个除零外的不同实根，求实数的取值范围”，从而两函数y,=+，h =丨d U + 2)图k像交点一目了然，解得a> i.这是一个浅显的 案例，但学生破题就存在这样那样的困难，因此学生运算素养的养成需要全面提升学生的思维品质和综合能力.此,经常细心地观察儿童的兴趣，对于教育者是重要的.”[1]对于数学教师的数学教学活动何尝不是如此呢？推动一个人去全身心地投入到自己的学习和工作中去的心理内驱力，没有比在这项事业中展示自己的能力更为强烈的了，许多行业中的佼佼者在叙述他所取得的成就或成功的经历时，都倾向于说明在这个方面他可能比别人更有能力.笔者对此有着切身的体验，那是在1985年，笔者（ 1965年出生，1983年中师毕业，教学了两年小学语文）第一次站在初中数学教学的讲台上，第一次在乡级教学技能竞赛中，抽签得到的课题是“单项式除法法则”，通过一个小时的准备，笔者设计了如下的课堂教学活动流程：师：（板书）15a W + 3a V =?……①生:...师:这不仅是一道数学习题，更为重要的是，当下我们要做的是，继续强化“数学运算”技能的训练;教师需更多地关注“技能”背后的 “算理”，“算理”背后的“思维”；要需有意识地引导学生养成良好的运算习惯，力求使学生在运算的“合理性、准确性、熟练性、简洁性”上寻求突破.只有引导学生在明晰算理的前提下，不断地优化算法、不断地经历完整的运算过程、不断地进行有效反思，才能真正提升学生的数学运算素养.参考文献[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.[2]张金良.名师面对面之核心素养谈[M]•杭州：浙江教育出版社，2018.。
对浙江省高中数学新课程实验的调查与思考
张金良; 朱成万
【期刊名称】《《教学月刊（中学版）》》
【年(卷),期】2007(000)006
【摘要】浙江省全面实施新课程已有半年，半年来在积极稳妥、逐步推进的方针指引下，高中课程改革正在稳步推进，部分预设目标正在达成。
为了全面了解浙江省高中数学课程改革以及《普通高中数学课程标准实验教科书·数学》（以下简称“课标教材”）的实验情况，更好改进实验工作，我们以人教社关于《高中课程标准实验教科书·数学（人教版）实验调查表》为基础制定了《浙江省高中数学新课程实验情况调查问卷》。
【总页数】6页(P5-10)
【作者】张金良; 朱成万
【作者单位】浙江省教育厅教研室浙江杭州 310012; 杭州长征中学浙江杭州310014
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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