春八年级数学下册2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习(新版)浙教版【含解析】

2.4一元二次方程根与系数的关系一、选择题1. (2014 四川省宜宾市) 若关于x 的一元二次方程的两根为x 1=1，x 2 =2则这个方程是 A ．x 2+3x –2=0 B ．x 2–3x +2=0 C ．x 2–2x +3=0 D ．x 2+3x +2=02. (2014 四川省甘孜州) 一元二次方程x 2＋px －2＝0的一个根为2，则p 的值为 A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－23. (2014 四川省攀枝花市)若方程x2+x ﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ． α+β=﹣1 B ． αβ=﹣1 C ． α2+β2=3 D ．+=﹣14. (2014 山东省烟台市) 关于x 的方程的022=+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是 A ． －1或5 B ． 1 C ． 5 D ． －15. (2014 广西玉林市) x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2–mx + m - 2 = 0的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ ） A ．m = 0 时成立 B ．m = 2 时成立 C ．m = 0 或2时成立 D ． 不存在二、填空题6. (2014 湖南省常德市) 一元二次方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是________________.7. (2014 山东省德州市) 方程x 2＋2kx ＋k 2－2k ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足42221=+x x ，则k 的值为 ．8. (2014 山东省莱芜市) 若关于x 的方程22(2)0x k x k +-+=的两根互为相反数.则k ＝ .9. (2014 江西省) 若α，β是方程x 2－2x －3＝0的两个实数根，则α2＋β2______．10. (2014 广西桂林市) 已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2-2=0的两根x 1和x 2，且（x 1-2）（x 1-x 2）=0，则k 的值是＿＿。

浙教版八年级下 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习一．选择题1．（2021•三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．52．（2021秋•硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,则x1•x2＝（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣13．（2021秋•江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2,则p的值以及另一个根为（）A．1,﹣1 B．1,1 C．﹣1,﹣1 D．﹣1,14．（2020•遵义）已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根,则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．135．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,则原方程的另一个解是（）A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或76．（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1,x2．且x1,x2满足x12+x22﹣x1x2＝16,则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣17．（2021•济宁）已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．（2021秋•霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根9．（2021秋•安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣1510．（2020秋•六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2,则m等于（）A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣D．2或﹣2二．填空题11．（2021秋•滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,则x1+x2＝,x1•x2＝．12．（2021秋•十堰期末）若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2＝．13．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是．14．（2021•孝南区二模）已知a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,则a2b+ab2的值是．15．（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2＝x1x2,则k的值是．16．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1＝1,x2＝2；小刚看错了常数项c,得到的解为x1＝3,x2＝4．请你写出正确的一元二次方程．三．解答题17．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．18．（2021秋•章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1,x2满足,求实数m的值．19．（2021秋•梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时,求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．20．（2021秋•荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．（1）求证：对于任意实数t,方程都有实数根；（2）若方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,求整数t的值．21．（2021秋•南安市期中）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1,x2则新方程的根为2x1,2x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣1,所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数．答案与解析一．选择题1．（2021•三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5【解析】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为﹣＝﹣＝6,故选：B．2．（2021秋•硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,则x1•x2＝（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,∴x1x2＝﹣1．故选：D．3．（2021秋•江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2,则p的值以及另一个根为（）A．1,﹣1 B．1,1 C．﹣1,﹣1 D．﹣1,1【解析】解：设方程的另一个根为t,根据题意得2+t＝﹣p,2t＝﹣2,解得t＝﹣1,p＝﹣1．故选：C．4．（2020•遵义）已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根,则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．13【解析】解：根据题意得x1+x2＝3,x1x2＝﹣2,所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．故选：D．5．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,则原方程的另一个解是（）A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或7【解析】解：∵关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,∴4a2﹣14a+6a＝0,解得a＝0或a＝2,∴当a＝0时,方程为x2﹣7x＝0,∵x1＝0,∴x2＝7；当a＝2时,x2﹣7x+12＝0,∵x1＝4,∴x2＝7﹣4＝3,故选：C．6．（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1,x2．且x1,x2满足x12+x22﹣x1x2＝16,则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1【解析】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0,解得a＜3,根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1）,x1x2＝a2﹣a﹣2,∵x12+x22﹣x1x2＝16,∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16,即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16,整理得a2﹣5a﹣6＝0,解得a1＝﹣1,a2＝6,而a＜3,∴a的值为﹣1．故选：B．7．（2021•济宁）已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【解析】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根,∴m2+m﹣2021＝0,∴m2+m＝2021,∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n,∵m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,∴m+n＝﹣1,∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．故选：B．8．（2021秋•霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,∴,∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时,有a﹣b+1＝0,此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时,有a+b+1＝0,此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0,∴a+1≠﹣（a+1）,∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：D．9．（2021秋•安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15【解析】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,∴α2+3α＝6,由根系数的关系可知：α+β＝﹣3,∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15故选：B．10．（2020秋•六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2,则m等于（）A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣D．2或﹣2【解析】解：设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为a、b,根据根与系数的关系得a+b＝m,ab＝1,而|a﹣b|＝2,∴（a﹣b）2＝4,∴（a+b）2﹣4ab＝4,∴m2﹣4×1＝4,解得m＝±2,∵Δ＝m2﹣4＞0,∴m的值为2或﹣2．故选：D．二．填空题11．（2021秋•滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,则x1+x2＝2,x1•x2＝﹣．【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,∴a＝2,b＝﹣4,c＝﹣5,∴x1+x2＝﹣＝﹣＝2,x1•x2＝＝﹣,故答案为：2,﹣．12．（2021秋•十堰期末）若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2＝2．【解析】解：根据题意得x1+x2＝3,x1x2＝1,所以x1+x2﹣x1•x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．13．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是4．【解析】解：∵关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,设另一根为a,∴﹣1+a＝3,解得：a＝4,则另一根为4．故答案为：4．14．（2021•孝南区二模）已知a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,则a2b+ab2的值是3．【解析】解：∵a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3,ab＝﹣1,∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3,故答案为：3．15．（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2＝x1x2,则k的值是﹣2或﹣．【解析】解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2,x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0,x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0,（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0,∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．①如果x1﹣2＝0,那么x1＝2,将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0,得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0,整理,得k2+4k+4＝0,解得k＝﹣2；②如果x1﹣x2＝0,则Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．解得：k＝﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．16．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1＝1,x2＝2；小刚看错了常数项c,得到的解为x1＝3,x2＝4．请你写出正确的一元二次方程x2﹣7x+2＝0．【解析】解：∵小明看错了一次项系数b,∴c＝x1•x2＝1×2＝2；∵小刚看错了常数项c,∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7,∴b＝﹣7．∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．故答案为：x2﹣7x+2＝0．三．解答题17．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．【解析】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,∴m+n＝,mn＝﹣,∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．18．（2021秋•章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1,x2满足,求实数m的值．【解析】解（1）证明：△＝（m+2）2﹣4×1⋅m＝m2+4,∵无论m为何值时m2≥0,∴m2+4≥4＞0,即Δ＞0,所以无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个实数根x1,x2∴x1+x2＝m+2,x1x2＝m．∵,∴（m+2）2﹣2m＝16+m,即m2+m﹣12＝0,解得：m＝﹣4或m＝3∴实数m的值为﹣4或3．19．（2021秋•梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时,求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．【解析】解：（1）由题意△≥0,∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0,∴m≤2；（2）当m＝1时,方程为x2+x﹣1＝0,则x1+x2＝﹣1,x1x2＝﹣1,x12+x1＝1,x22﹣1＝﹣x2,∴（x12+2x1）（x22﹣2）＝（1+x1）（﹣x2﹣1）＝﹣x1x2﹣1﹣x1﹣x2＝1﹣1﹣（﹣1）＝1．20．（2021秋•荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．（1）求证：对于任意实数t,方程都有实数根；（2）若方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,求整数t的值．【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×（t﹣2）＝（t﹣3）2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根；（2）解：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0,（x﹣t+2）（x﹣1）＝0,解得x1＝t﹣2,x2＝1,∵方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,∴t﹣2＝3×1,解得t＝5；或3（t﹣2）＝1,解得t＝（舍去）．故整数t的值为5．21．（2021秋•南安市期中）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1,x2则新方程的根为2x1,2x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣1,所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为x2﹣x﹣2＝0．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数．【解析】解：（1）设原方程的根为x 1,x2,则新方程的根为﹣x1,﹣x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣2,所以﹣x1+（﹣x2）＝﹣（x1+x2）＝﹣1×（﹣1）＝1．（﹣x1）•（﹣x2）＝x1x2＝﹣2,所以所求新方程为x2﹣x﹣2＝0；故答案为x2﹣x﹣2＝0；（2）设原方程的根为x1,x2,则新方程的根为,,因为x1+x2＝,x1•x2＝﹣,所以+＝＝＝﹣3,•＝＝＝﹣2,所以所求新方程为x2+3x﹣2＝0．。

第2讲 韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D ) A ．k ＜12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．－12≤k ＜12 D ．－12≤k ＜12且k ≠0 (2)若关于x 的一元二次方程12x 2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m (m －1)的值为 72． 命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m ，n 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则m 2＋2m ＋n 的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x 2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x 1，x 2，且x 1x 2>x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是( D )A ．m >－53B ．m ≤12C ．m ＜－53D ．－53＜m ≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x 的方程ax 2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜1＜x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1＜a ＜0B ．a ＜－1C ．－18＜a ＜0D ．a ＜－18例6已知关于x 的方程x 2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x 2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x 2＋ax －4＝0，① x 2＋ax ＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a 2＋16≥0，Δ2＝a 2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 .命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为 3 ． 例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B ) A.59 B.95 C.6703D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ． 命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝ －2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k ，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k .② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1. 课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 0114．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≤－2 B ．a ≥4 C ．a ≤－2或a ≥4 D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a 2的值为 11 ． 9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2. 解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7， ∴m 2－4m －5＝0.∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根， ∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3－3x 2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x 1－x 21＋x 22＋x 23的值为( A )A ．5B ．6C ．7 D.814．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式x (x ＋1)2的最大值． 解：设k ＝x (x ＋1)2. 整理，得kx 2＋(2k －1)x ＋k ＝0.由Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，得k ≤14， 即分式x (x ＋1)2的最大值为14.。

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教案一. 教材分析《一元二次方程根与系数的关系》是浙教版数学八年级下册第2.4节的内容。

本节主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，并能运用这一关系解决一些实际问题。

教材通过引入二次方程的求根公式，引导学生探究根与系数之间的关系，进而得出结论。

本节内容是学生学习二次方程的重要基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二次方程的求解方法，对二次方程有一定的了解。

但学生对于根与系数之间的关系可能存在一定的困惑，需要通过实例和引导来帮助他们理解和掌握。

同时，学生对于数学概念的理解和证明能力还有待提高，需要教师在教学中给予充分的引导和帮助。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.能运用根与系数的关系解决一些实际问题。

3.培养学生的数学思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解和证明根与系数之间的关系。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主探究根与系数之间的关系。

2.实例法：通过具体的例子，让学生理解和掌握根与系数之间的关系。

3.讨论法：让学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次方程的求根公式和根与系数之间的关系。

2.实例：准备一些具体的例子，用于引导学生探究和证明根与系数之间的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的求根公式，引导学生回顾二次方程的解法。

然后提出问题：二次方程的根与系数之间有什么关系呢？2.呈现（10分钟）展示一些具体的例子，让学生观察和分析根与系数之间的关系。

引导学生发现，无论二次方程的系数如何变化，其根与系数之间都存在一种固定关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试证明根与系数之间的关系。

八年级数学下2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)同步练习(浙教版含答案和解释)浙教版八年级下册第2章 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习一、单选题（共15题；共30分） 1、已知x1、x2是一元二次方程x2�4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（） A、-4 B、-1 C、1 D、4 2、△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2�6x+m=0的两根，则m的取值范围是（） A、m＞ B、＜m≤9 C、≤m≤9 D、m≤ 3、已知x1、x2是方程x2�（k�2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（） A、19 B、18 C、15 D、13 4、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=�1，那么p，q的值分别是（） A、1，�2 B、�1，�2 C、�1.2 D、1，2 5、若一元二次方程�3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（） A、x2=�1 B、x2=�3 C、x2=�5 D、x2=5 6、已知一元二次方程x2�3x�3=0的两根为α与β，则的值为（） A、-1 B、1 C、-2 D、2 7、方程x2�2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（） A、�2012 B、0 C、2012 D、2013 8、已知3m2�2m�5=0，5n2+2n�3=0，其中m，n为实数，则|m� |=（） A、0 B、 C、D、0或 9、如果关于x的方程x2�ax+a2�3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（） A、�2＜a＜2 B、 C、 D、 10、设x1、x2是一元二次方程x2+x�3=0的两根，则x13�4x22+15等于（）A、-4 B、8 C、6 D、0 11、若α，β是方程x2�2x�2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A、10 B、9 C、8 D、7 12、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m�2=0有两个实数根x1、x2 ，则x1（x2+x1）+ 的最小值为（） A、1 B、2 C、 D、 13、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（） A、x2+3x�2=0 B、x2�3x+2=0 C、x2�2x+3=0 D、x2+3x+2=0 14、若α，β是方程x2+2x�2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（） A、2005 B、2003 C、�2005 D、4010 15、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（） A、x2+3x+4=0 B、x2+4x�3=0 C、x2�4x+3=0 D、x2+3x�4=0 二、填空题（共5题；共6分） 16、已知x1 ， x2是一元二次方程4x2�（3m�5）x�6m2=0的两个实数根，且，则________． 17、已知a，b是方程x2�x�3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为________ ． 18、等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2�10x+m=0的根，则m的值等于________． 19、从�4、- 、0、、4这五个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x的一元二次方程2ax2�6x�1=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在�1和1之间（包括�1和1），则取到满足条件的a值的概率为________． 20、已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=________；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有________个．三、解答题（共3题；共15分） 21、已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值． 22、已知x1 ，x2是方程x2�（k�2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1 ， x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值． 23、已知：关于x的方程x2+2x�k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？四、综合题（共3题；共35分） 24、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2�（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5． (1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长． 25、已知：关于x的一元二次方程mx2�3（m�1）x+2m�3=0（m＞3）． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为x1 ， x2（用含m的代数式表示）；①求方程的两个实数根x1 ，x2（用含m的代数式表示）；②若mx1＜8�4x2 ，直接写出m的取值范围． 26、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1 ， x2 ，那么x1+x2=�p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题： (1)若p=�4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根． (2)已知实数a、b满足a2�15a�5=0，b2�15b�5=0，求 + 的值； (3)已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．答案解析部分一、单选题 1、【答案】D 【考点】根与系数的关系【解【解答】解：∵方程x2�4x+1=0的两个根是x1 ， x2 ，∴x1+x2=�析】（�4）=4．故选D．【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可． 2、【答案】B 【考点】根与系数的关系，三角形三边关系【解析】【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（�6）2�4m≥0，解得m≤9， a+b=6，ab=m，∵a ＜b+5，即a�b＜5，∴（a�b）2＜25，∴（a+b）2�4ab＜25，即36�4m＜25，∴m＞，∴m的取值范围是＜m≤9．故选B．【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a�b）2＜25，所以（a+b）2�4ab＜25，即36�4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9． 3、【答案】B 【考点】根与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k�2）2�4（k2+3k+5）≥0 所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0 解得�4≤k≤�．又由x1+x2=k�2，x1•x2=k2+3k+5，得 x12+x22=（x1+x2）2�2x1x2=（k�2）2�2（k2+3k+5）=�k2�10k�6=19�（k+5）2 ，当k=�4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【分析】根据x1、x2是方程x2�（k�2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可． 4、【答案】B 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得2+（�1）=�p，2×（�1）=q，所以p=�1，q=�2．故选：B．【分析】根据根与系数的关系得2+（�1）=�p，2×（�1）=q，然后解方程即可． 5、【答案】A 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=� =2，解得x2=�1．故选A．【分析】设方程的另一个解为x2 ，根据根与系数的关系得到3+x2=� =2，然后解一次方程即可． 6、【答案】A 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=�3，所以 = = =�1．故选A．【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=�3，再通分得到 = ，然后利用整体代入的方法计算． 7、【答案】B 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2�2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为�2012，所以方程x2�2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2�2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和． 8、【答案】D 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：由3m2�2m�5=0得m1=�1，m2= ；由5n2+2n�3=0得 n1= ， n2=�1． = ，①当m=�1，n= 时，原式= ；②当m=�1，n=�1时，原式=0；③当m= ， n= 时，原式=0；④当m= ， n=�1时，原式= ．综上所述， =0或．故答案为0或．【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解． 9、【答案】C 【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵△=a2�4（a2�3）=12�3a2 （1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2�2x+1=0的根x=1符合条件，若a=�2，此时方程x2+2x+1=0的根x=�1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得�2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2�3≤0，解可得�≤a≤ ，而a=�时不合题意，舍去．所以�＜a≤ 符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得 a＞，综上可得，�＜a≤2．故选C．【分析】根据方程x2�ax+a2�3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2�ax+a2�3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求． 10、【答案】A 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x�3=0的两根，∴x1+x2=�1，x1x2=�3，∵x13=x1x12=x1（3�x1）=3x1�x12 ，∴x13�4x22+15=3x1�x12�4x22+15=3x1�x12�x22�3x22+15=3（x1+x2）�（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13�4x22+15=�3�1�6+6=�4，故选：A．【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13�4x22+15转化为3（x1+x2）�（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可． 11、【答案】C 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=�2，所以α2+β2=（α+β）2�2αβ=22�2×（�2）=8．故选C．【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=�2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2�2αβ，然后利用整体代入的方法计算． 12、【答案】D 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得△=4m2�4（m2+3m�2）≥0，解得m≤ x1+x2=�2m，x1x2=m2+3m�2， x1（x2+x1）+ =（x2+x1）2�x1x2 =4m2�（m2+3m�2） =3m2�3m+2 =3（m�）2+ ，所以m= 时，x1（x2+x1）+ 有最小值，最小值为．故选D．【分析】根据判别式的意义得到m≤ ，再利用根与系数的关系得到x1+x2=�2m，x1x2=m2+3m�2，所以x1（x2+x1）+ =（x2+x1）2�x1x2=3m2�3m+2，利用配方法得到原式=3（m�）2+ ，然后利用非负数的性质可判断x1（x2+x1）+ 的最小值为． 13、【答案】B 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2． A、两根之和等于�3，两根之积等于�2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于�3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可． 14、【答案】B 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x�2005=0的两个实数根，则有α+β=�2．α是方程x2+2x�2005=0的根，得α2+2α�2005=0，即：α2+2α=2005．所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α�2=2005�2=2003．故选B．【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1 ， x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解． 15、【答案】C 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1，则x1+x2=�p=3+1=4，x1x2=q=3 ∴p=�4，q=3，∴原方程为x2�4x+3=0．故选C．【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．二、填空题 16、【答案】m=1或m=5 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知：，∵ ，而由知，x1 ， x2异号．故 =�，令x1=3k，x2=�2k，则得：，从上面两式消去k，得：，即：m2�6m+5=0，解之得：m1=1，m2=5．故答案为：1或5．【分析】x1 ， x2是一元二次方程4x2�（3m�5）x�6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答． 17、【答案】7 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2�x�3=0的根，∴a2�a�3=0，∴a2=a+3，∴a2+b+3=a+3+b+3 =a+b+6，∵a，b是方程x2�x�3=0的两个根，∴a+b=1，∴a2+b+3=1+6=7．故答案为7．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2�a�3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可． 18、【答案】25或16 【考点】根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64�80+m=0，解得m=16，此时方程为x2�10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．故答案为25或16．【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25． 19、【答案】【考点】根的判别式，根与系数的关系，概率公式【解析】【解答】解：∵当a=�4时，原方程可化为�8x2�6x�1=0，解得x1=�，x2=�，符合题意；当a=�时，原方程可化为�7x2�6x�1=0，解得x1=�，x2=�，符合题意；当a=0时，原方程可化为�6x�1=0，解得x1=�，不符合题意；当a= 时，原方程可化为7x2�6x�1=0，解得x1=1，x2=�，符合题意；当a=4时，原方程可化为8x2�6x�1=0，解得x1=�，x2= ，符合题意．∴取到满足条件的a值的概率= ．故答案为：．【分析】分别把这5个数代入关于x的一元二次方程2ax2�6x�1=0，求出x的值，再根据概率公式即可得出结论． 20、【答案】6；2 【考点】分式有意义的条件，根与系数的关系【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，∴分母=x2�5x+a=22�5×2+a=�6+a=0，∴a=6；当x2�5x+a=0时，△=52�4a=25�4a，∵a＜6，∴△=25�4a＞0，故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，即使分式无意义的x的值共有2个．故答案为6，2．【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．三、解答题 21、【答案】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=�2 ，常数项c=2，∴b2�4ac=（�2 ）2�4×1×2=4，∴x= = = ±1，∴m= +1，n= �1；∴ + = = = =4．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】根据根与系数的关系求得一元二次方程的根，然后将其代入所求的代数式求值． 22、【答案】（1）证明：∵△=（k�2）2�4（k2+3k+5）≥0，∴�4≤k≤�，∵x1+x2=k�2，x1x2=k2+3k+5，∴x1+x2=k�2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，∴方程的两根都小于0；（2）解：x12+x22=（x1+x2）2�2x1x2=（k�2）2�2（k2+3k+5）=�k2�10k�6=�（k+5）2+19，∵�4≤k≤�，∴k=�4时，x12+x22有最大值，最大值为�（�4+5）2+19=18．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k�2）2�4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到�4≤k≤�，再由根与系数的关系得x1+x2=k�2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k�2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2�2x1x2=（k�2）2�2（k2+3k+5）=�（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解． 23、【答案】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0 ∴k＞�1 （2）由根与系数关系可知α+β=�2，αβ=�k，∴ = ，（3）由（1）可知，k＞�1时，的值与k无关．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）由方程x2+2x�k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．四、综合题 24、【答案】（1）解：根据题意得 [x�（k+1）][x�（k+2）]=0，解得，x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52 ，解得k1=2，k2=�5（不合题意舍去），∴k=2 （2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2�4（k2+3k+2）=0 4k2+12k+9�4k2�12k�8=1≠0，不可能是等腰三角形．②如果AB=5，或者AC=5 x1=5，52�（2k+3）×5+k2+3k+2=0 k2�7k+12=0 （k�4）（k�3）=0 k=4或者k=3（都符合题意） k=4时： x2�11x+30=0 （x�5）（x�6）=0，∴AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16， k=3时： x2�9x+20=0 （x�4）（x�5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14 【考点】根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52 ，易求k，结合实际意义可求k的值；（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长． 25、【答案】（1）证明：∵mx2�3（m�1）x+2m�3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，∴△=[（�3（m�1）]2�4m（2m�3）=m2�6m+9=（m�3）2 ，∵m＞3，∴（m�3）2＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根（2）①由求根公式得x= ，∴x=1，或x= ，∵m＞3，∴ ＞3，当x1＜x2 ，∴x1=1，x2=2�；当x1＞x2 ，这种情况不存在；∴x1=1，x2=2�；②∵mx1＜8�4x2 ，∴m＜8�4（2�），解得：3＜m＜2 ．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m�3）2 ，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到结论；②根据mx1＜8�4x2 ，即可得到结果． 26、【答案】（1）解：当p=�4，q=3，则方程为x2�4x+3=0，解得：x1=3，x2=1 （2）解：∵a、b满足a2�15a�5=0，b2�15b�5=0，∴a、b 是x2�15x�5=0的解，当a≠b时，a+b=15，a�b=�5， + = = = =�47；当a=b时，原式=2 （3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1 ， x2 ，则 + = =�，• = = ，则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据p=�4，q=3，得出方程x2�4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2�15a�5=0，b2�15b�5=0，得出a，b是x2�15x�5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1 ， x2 ，得出 + =�，• = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．。

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿一. 教材分析浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》这一节的内容，是在学生已经掌握了求解一元二次方程的多种方法，以及能够熟练运用因式分解法解一元二次方程的基础上进行教学的。

通过这一节的内容，让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，进一步加深学生对一元二次方程的理解，为后续学习一元二次方程的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节的内容时，已经有了一定的数学基础，能够理解和运用一元二次方程的基本概念和求解方法。

但是，对于一元二次方程根与系数之间的关系，可能还比较陌生，需要通过实例分析和练习来逐步理解和掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一元二次方程根与系数之间的关系，能够运用这一关系来求解一元二次方程。

2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根与系数之间的关系。

2.教学难点：如何运用根与系数之间的关系来求解一元二次方程。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过实例分析和练习来探索和发现一元二次方程根与系数之间的关系。

2.教学手段：利用多媒体课件，进行图示和动画演示，帮助学生直观地理解一元二次方程根与系数之间的关系。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个具体的一元二次方程实例，引导学生思考如何求解这个方程。

2.探索规律：让学生分组讨论，尝试找出一元二次方程根与系数之间的关系。

3.讲解演示：根据学生的探索结果，进行讲解和演示，明确一元二次方程根与系数之间的关系。

4.练习巩固：让学生进行一些相关的练习题，巩固对一元二次方程根与系数之间关系的理解和掌握。

5.总结提升：对本节的内容进行总结，引导学生思考如何运用一元二次方程根与系数之间的关系来解决实际问题。

2022—2023年学年度（浙教版）八年级数学下册章节练习2.4一元二次方程根与系数之间的关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共30分)1．(本题3分)已知2230x x --=的两个根为12x x ，，则12x x +的值为（ ） A ．2-B ．2C ．5-D ．52．(本题3分)若1x ，2x 是一元二次方程2350x x +-=的两个实根，则2212x x +的值是（ ）A ．1B ．11C ．19D ．293．(本题3分)若m ，n 是一元二次方程2490x x +-=的两个根，则25m m n ++的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．124．(本题3分)设α、β是方程2201920x x +-=的两根，则()()222022120221ααββ+-+-的值为（ ） A ．6076 B ．－6074 C ．6040D ．－60405．(本题3分)已知αβ、是一元二次方程2520x x --=的两个不相等的实数根，则αβαβ++的值为（ ）A ．1-B ．5C ．3D ．2-6．(本题3分)若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <7．(本题3分)已知1x ，2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论正确的是（ ） A ．12=2x x +-B ．120x x ⋅=C ．120x x +=D ．12=2x x ⋅-8．(本题3分)若关于x 的一元二次方程()2220x k x k +++=的两根互为倒数，则k =（ ）A ．3B ．1C ．1-D ．1±9．(本题3分)已知m ，n 是方程210x +=的两个根.记11111S m n=+++，2221111S m n =+++，…，1111tt tS m n =+++（t 为正整数）．若21256t S S S t +++=-，则t 的值为（ ）10．(本题3分)已知a ，b 是方程210x x --=的两根，则代数式3325331a a b b ++++的值是（ ） A ．19B ．20C ．14D ．15二、填空题(共32分)11．(本题4分)已知关于x 的方程230x x a +-=有一个根是11x =，则方程的另一个根2x =_____．12．(本题4分)已知12x x ，是一元二次方程2240x x --＝的两个根，则121222x x x x +-的值为______．13．(本题4分)已知1x 、2x 是关于x 的方程250x x m -+=的两个实数根，且12123x x x x --=-，则m =_____．14．(本题4分)260x -=的两个实数根分别为12,x x ，且12x x 的值为菱形ABCD 的棱长，则菱形ABCD 的周长为______．15．(本题4分)已知1x ，2x 为方程2310x x --=的两根．则()()1222x x ++=_____________．16．(本题4分)已知实数a 、b （a b ），且2310a a -+=，2310b b -+=；则221111a b +++的值是___________；17．(本题4分)已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，下列说法： ①若0a b c ++=，则2-4>0b ac ； ①若方程两根为-1和2，则20a c +=；①若方程2+=0ax c 有两个不相等的实数根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根；①若2b a c =+，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的有______．（填序号）18．(本题4分)若关于x 的一元二次方程2220x x m m +--= (0)m >，当1,2,3,,2022m =时，相应的一元二次方程的两根分别记为112220222022,;,;;,,αβαβαβ则112220222022111111αβαβαβ+++++的值为________________________．三、解答题(共58分)19．(本题8分)已知关于x 的一元二次方程()23260x m x +--=的两根互为相反数，求m的值20．(本题8分)已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=． (1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若12x x ，是原方程的两根，且12x x -=m 的值．21．(本题8分)已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个实数根． (1)求实数m 的取值范围：(2)若1x ，2x 是该方程的两个根，且满足212126x x x x m ++=+，求m 的值． 22．(本题10分)若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x ，则12b x x a+=-，12cx x a⋅=，我们把这个命题叫做韦达定理．设m ，n 是方程2520x x -+=的两根，请根据韦达定理求下列各式的值： (1)m n += ；mn = ； (2)(1)(1)m n ++； (3)235m mn n -+．23．(本题12分)阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为1x ，2x ，则12bx x a+=-，12c x x a=． 材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值． 解：①一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，①1m n +=，1mn =-，则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程22310x x --=的两个根为12,x x ，则1212x x x x --=___________；(2)类比应用：已知一元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，求n mm n+的值． (3)思维拓展：已知实数s 、t 满足22310s s -=-，22310t t -=-，且s t ≠，求11s t-的值．24．(本题12分)观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：2320x x -+=，方程的两个根分别是11x =，22x =；第2个方程：2560x x -+=，方程的两个根分别是12x =，23x =； 第3个方程：27120x x -+=；方程的两个根分别是13x =，24x =；第4个方程：29200x x -+=；方程的两个根分别是14x =，25x =； ……(1)请按照此规律写出两个根分别是18x =，29x =的一元二次方程 ．(2)如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程210x +=是否是“邻根方程”；(3)已知关于x 的方程()2330x m x m -++=（m 是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．参考答案：1．B2．C3．B4．B5．C6．B7．B8．B9．B10．D 11．4- 12．8 13．2 14．4 15．9 16．1 17．①①①． 18． 4044=202319．解：①关于x 的一元二次方程()23260x m x +--=的两根互为相反数，①120x x +=， 即()320m --= 解得：23m =20．（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，2(3)10x m x m ++++=中1a =，3b m =+，1c m =+，①2224(3)41(1)25b ac m m m m ∆=-=+-⨯⨯+=++， ①()2Δ140m =++>，①无论m 取何值，原方程的判别式恒大于零， ①无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：2(3)10x m x m ++++=中1a =，3b m =+，1c m =+，且12x x ，是原方程的两根，12x x -= ①12(3)bx x m a +=-=-+，121c x x m a•==+， ①2222121122()2(3)x x x x x x m +=++=+，则22212(3)2(1)x x m m +=+-+，①12x x -=(2212()x x -=， ①221212220x x x x +-=，①2(3)2(1)2(1)20m m m +-+-+=， 整理得，22150m m +-=， 解方程得，13m =，25m =-， ①m 的值3或5-．21．（1）解：①方程有两个实数根， ①()()2441250m --⨯⨯-+≥， ①12m ≥； （2）①1x ，2x 是该方程的两个根， ①124x x +=，1225x x m =-+， ①212126x x x x m ++=+， ①22546m m -++=+， 解得：3m =-或1m =， ①12m ≥， ①1m =． 22．（1）解：m ，n 是方程2520x x -+=的两根，5m n ∴+=，2mn =， 故答案为：5，2； （2）解：(1)(1)m n ++()1mn m n =+++251=++8=；（3）解：m ，n 是方程2520x x -+=的两根，2520m m ∴-+=，得252m m =-，235m mn n ∴-+5235m mn n =--+5()32m n mn =+--55322=⨯-⨯-2562=--17=．23．（1）解：一元二次方程22310x x --=的两个根为12,x x ，123322x x -∴+=-=，121122x x -==-， ()1212121213222x x x x x x x x ∴--=-+=--=-，故答案为：2-；（2）解：一元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，32m n ∴+=，12mn =-， ∴n m m n+ 22n m mn+=2()2m n mnmn+-=231()2()2212-⨯-=- 132=-； （3）解：实数s 、t 满足22310s s -=-，22310t t -=-， s ∴与t 看作是方程22310x x --=的两个实数根，32s t ∴+=，12st =-， 22()()4s t s t st ∴-=+-，2231()()4()22s t -=-⨯-，217()4s t -=，s t ∴-=∴11s t- t sst-=()s t st --=212=-=24．（1）由题意可知： ①方程的一次项系数为：891b +=-， ①17b =-，①方程的常数项为：891c ⨯=，①72c =，所以18x =，29x =对应的一元二次方程为：217720x x -+=． （2）①210x +=①1x =，2x =①121x x -==①210x +=是“邻根方程”． （3）①2(3)30x m x m -++=， ①(3)()0x x m --=， ①13x =，2x m =，①关于x 的方程2(3)30x m x m -++=（m 是常数）是“邻根方程”， ①31m -=或31m -=， ①解得：m =2或4，又①方程两根为直角三角形的两条边， 当方程两根为2和3时：若2和3=若2为直角边，3=；当方程两根为3和4时：若3和45；若3为直角边，4；5．。

同步测验一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−42.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是（）A.−1B.1C.−2D.23.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为（）A.1B.−2C.−1D.24.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−35.已知a、b是方程x2−4x+2=0的两个根，则a2−2a+2b的值为（）A.−4B.6C.−8D.86.若x1、x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.54B.94C.114D.77.已知x1，x2是关于x的元二次方程x2−(5m−6)x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A.2B.3C.2或3D.−2或−38.x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是（）A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为（）A.1B.2C.3D.410.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．17.已知m，n是方程x2−2017x+2018＝0的两根，则(n2−2018n+2 019)(m2−2018m+2019)＝________．18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．19.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________；c=________．20.关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．同步测验学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________ 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−4【解答】解：∵x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，∴{x1+x2=4，x1x2=−m2，∴则m2(1x1+1x2)=m2⋅x1+x2x1x2=m2⋅4−m2=−4．故选D.2.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是()A.−1B.1C.−2D.2【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，则3t=−6，解得t=−2．故选C．3.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为()A.1B.−2C.−1D.2【解答】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，∴x1+x2=2．故选D．4.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−3【解答】解：x 1⋅x 2=−3． 故选D ．5.已知a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根，则a 2−2a +2b 的值为（ ） A.−4 B.6 C.−8 D.8【解答】解：∵a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根， ∴a 2−4a +2=0，a +b =4， ∴a 2−4a =−2，2a +2b =8， ∴a 2−4a +2a +2b =6， ∴a 2−2a +2b =6， 故选B ．6.若x 1、x 2是一元二次方程2x 2−3x +1=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ）A.54 B.94C.114D.7【解答】 解：由题意知，x 1x 2=12，x 1+x 2=32，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(32)2−2×12=54．故选A ．7.已知x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根，且满足x 1+x 2＝m 2，则m 的值是（ ） A.2 B.3 C.2或3 D.−2或−3【解答】∵x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根， ∴x 1+x 2＝5m −6，△＝[−(5m −6)]2−4m 2>0， 解得m <67或m >2， ∵x 1+x 2＝m 2， ∴5m −6＝m 2，解得m ＝2（舍）或m ＝3，8.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −2=0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1+1x 2=0成立？则正确的结论是()A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：∵关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=k+3，x1⋅x2=3k，∵1x1+1x2=23，∴x1+x2x1⋅x2=23，即k+33k =23，解得k=3.经检验k=3符合题意.故选C.10.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0【解答】解：设两根是−2和−3的方程为：x2+ax+b=0，根据根与系数的关系，∴(−2)+(−3)=−a=5，(−2)×(−3)=b=6，故方程为：x2+5x+6=0．故选D．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，∴x12=1+2x1，x1x2=−1,x1+x2=2，∴x12+2x2−2x1x2=1+2(x1+x2)−2x1x2=1+4+2=7．故答案为：7.12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．【解答】，解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−32)=7．所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2)2−2×(−32故答案为7．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．【解答】解：设方程的另一根为x2，根据题意得1⋅x2=3，则x2=3；∵1+x2=2a，∴1+3=2a，∴a=2；故答案为3，2．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2−√5=4，得x1=2+√5．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．【解答】解：∵一元二次方程x2−x−6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=−1，又∵x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，∴根据韦达定理，知x 1+x 2=−b a =−−11=1；故答案是：1．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________． 【解答】解：例如，x 2−4=0．（答案不唯一）．17.已知m ，n 是方程x 2−2017x +2018＝0的两根，则(n 2−2018n +2 019)(m 2−2018m +2019)＝________． 【解答】∵m 、n 是方程x 2−2 017x +2 018＝0的两根，∴m 2−2017m ＝−2018，n 2−2017n ＝−2018，m +n ＝2017，mn ＝2018， ∴原式＝(−n +1)(−m +1)＝mn −(m +n)+1＝2018−2017+1＝2． 18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________． 【解答】解：根据根与系数的关系可知：在二次项系数为1时，一次项系数等于两根之和的相反数即−(−3+4)=−1，常数项等于两根之积即−3×4=−12， 故以−3，4为解的一元二次方程为：x 2−x +12=0， 故答案为：x 2−x +12=0．19.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2，则b =________；c =________． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2， ∴1+2=−b ，1×2=c ， ∴b =−3，c =2， 故答案为：−3，2．20.关于x 的方程x 2−2√3x +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2+x2x 1=________．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=2√3，x 1x 2=1， 所以原式=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=(2√3)2−2×11=10．故答案为10．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．【解答】解：根据题意得a+b=2，ab=−15，原式=(a+b)2−4ab+4ab−4b2+4b2=(a+b)2，所以原式=22=4．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．【解答】解：(1)由题意知：Δ=[−2(k−1)]2−4(k2−1)=−8k+8，∵方程有两个不相等的实数根，∴−8k+8>0，解得：k<1.故k的取值范围是k<1.(2)由韦达定理可知：x1x2=k2−1，x1+x2=2(k−1)，∵|x1+x2|=2x1x2，∴|2(k−1)|=2k2−2，∵k<1，∴2−2k=2k2−2，整理得：k2+k−2=0，解得：k=1(舍去)或k=−2.故k的值为−2.23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，(x−1)2=2，x−1=±√2，∴x=√2+1或x=1−√2(2)由根与系数的关系可知，α+β=−2,αβ=−3,∴α2β+αβ2=αβ(α+β)=−3×(−2)=6..24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．【解答】解：(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即42−4(m−1)>0，解得m<5，∴m的最大正整数为m=4.(2)由(1)得x1x2=3，x1+x2=−4，则−x1−x2+x1x2=−(x1+x2)+x1x2=−(−4)+3=7．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．【解答】解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−2，所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−2)2−2×(−2)−2=−4．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．【解答】解：（1）x1+x2=−3，x1x2=1；（2）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−3)2−2×1=7．11。

一元二次方程根与系数之间的关系一 、选择题（本大题共2小题）1.已知方程260x kx ++=的两个实数根是1x 、2x ，同时方程260x kx -+=的两实数根是15x +，25x +，则k 的值等于（ ）A.5B.5-C.7D.7-2.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（）A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-二 、填空题（本大题共8小题）3.若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=4.以3-和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________5.已知m 、n 是一元二次方程2310x x -+=的两根，那么代数式222461999m n n +-+的值为6.若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于 ，p 等于7.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是 ，______b =8.方程2380x x m -+=的两个根之比为3:1，则_______m =9.已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=10.如果方程22430x x k ++=的两个根的平方和等于7，那么_______k =三 、解答题（本大题共12小题）11.不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积12.已知2240x x k -+=的一个根，求另一个根和k 的值13.设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -14.已知实数1x 和2x 满足211620x x -+=和222620x x -+=，求2112x x x x +的值15.已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x⑴求k 的取值范围。

一元二次方程根与系数的关系1．[2012·烟台]下列一元二次方程两实数根的和为－4的是 ( D )A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝02．[2013·雅安]已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＝0的两根，则x 1＋x 2的值是 ( B )A ．0B ．2C ．－2D ．43．已知方程3x 2－5x －7＝0的两根为x 1，x 2则下列各式中正确的是 ( C ) A ．x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝7 B ．x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－7 C ．x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝－73D ．x 1＋x 2＝－53，x 1·x 2＝－734．[2013·泸州]设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B ) A ．5 B ．－5C ．1D ．－15．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为 ( A ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．6【解析】 ∵一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－1，∴x 12x 2＋x 1x 22＝x 1x 2·(x 1＋x 2)＝－1×3＝－3.6．[2012·张家界]已知m 和n 是方程2x 2－5x －3＝0的两根，则1m ＋1n ＝__－53__．【解析】 ∵m 和n 是方程2x 2－5x －3＝0的两根， ∴m ＋n ＝－－52＝52，m ·n ＝－32，∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝52－32＝－53. 7．[2012·枣庄]已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是__－3__．【解析】 方法一：(根与系数的关系法)∵方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，设另一个根为x 1，则2x 1＝－6，解得x 1＝－3，则方程的另一个根是－3.方法二：(根代入法)把x ＝2代入原方程，得22＋2m －6＝0，解得m ＝1，把m ＝1代入原方程，得x 2＋x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3.8．已知2－5是关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，求方程的另一个根． 解：设方程的另一个根为x 1，由x 1＋2－5＝4，得x 1＝2＋ 5.9．已知关于x 的方程x 2－mx －3＝0的两实数根为x 1，x 2，若x 1＋x 2＝2，求x 1，x 2的值．解：解法一：已知关于x 的方程x 2－mx －3＝0的两实数根为x 1，x 2， 由根与系数的关系可得x 1·x 2＝－3， 又∵x 1＋x 2＝2， ∴x 1(2－x 1)＝－3，解得x 1＝3，x 2＝－1或x 1＝－1，x 2＝3. 解法二：∵x 1＋x 2＝2， ∴m ＝2.∴原方程为x 2－2x －3＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝－1或x 1＝－1，x 2＝3.10．[2012·莱芜]已知m ，n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为 ( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5【解析】 ∵m ，n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根， ∴m ＋n ＝－22，mn ＝1，∴m 2＋n 2＋3mn ＝（m ＋n ）2＋mn ＝（－2 2）2＋1＝9＝3.故选C.11．[2012·南通]设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．【解析】 因为α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，∴α2＋4α＋β＝4.12．[2013·呼和浩特]已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m 的值．解：根据条件知：α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2， ∴1α＋1β＝β＋ααβ＝－（2m ＋3）m2＝－1， 即m 2－2m －3＝0，所以，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，（2m ＋3）2－4m 2>0. 解得m ＝3.13．[2012·南充]关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)若2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，求m 的值． 解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝9－4(m －1)≥0，解得m ≤134.(2)由韦达定理，得x 1＋x 2＝－3，x 1·x 2＝m －1， ∴2×(－3)＋(m －1)＋10＝0，解得m ＝－3.14．[2013·荆门改编]设x 1，x 2是方程x 2－x －2 013＝0的两实数根，求x 13＋2 014x 2－2 013.解：∵x 2－x －2 013＝0，∴x 2＝x ＋2 013，x ＝x 2－2 013，又∵x 1，x 2是方程x 2－x －2 013＝0的两实数根， ∴x 1＋x 2＝1，∴x 13＋2 014x 2－2 013＝x 1·x 12＋2 013x 2＋x 2－2 013＝x 1·(x 1＋2 013)＋2 013x 2＋x 2－2 013＝(x 1＋2 013)＋2 013x 1＋2 013x 2＋x 2－2 013 ＝x 1＋x 2＋2 013(x 1＋x 2)＋2 013－2 013 ＝1＋2 013 ＝2 014.15．[2013·南充]关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0. (1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解：(1)根据题意得m ≠1，Δ＝(－2m )2－4(m －1)(m ＋1)＝4， ∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝2m －22（m －1）＝1.(2)由(1)知x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1， ∵方程的两个根都是正整数， ∴2m －1是正整数， 又∵m －1是整数， ∴m －1＝1或2， ∴m ＝2或3.。

一元二次方程根与系数的关系班级：___________姓名：___________得分：__________一． 选择题（每小题5分，20分）1．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）32．一元二次方程x2－5x ＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－63．一元二次方程x2＋x －2＝0的两根之积是( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．24．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0二、填空题（每小题5分，20分）1、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =_____，这时方程的另一个根是____；若两根之和为－35 ，则m =_______，这时方程的 两个根为_________________.2、阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．3、如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x ∙等于_________4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝_______。

三、解答题（每小题15分，60分）1、不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+= (2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=2、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3、阅读下面的例题：解方程022=--x x解：当x ≥0时，原方程化为x 2– x –2=0，解得：x 1=2,x 2= - 1（不合题意，舍去）当x ＜0时，原方程化为x 2+ x –2=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2∴原方程的根是x 1=2, x 2= - 2请参照例题解方程0112=---x x4、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) )32)(32(21--x x ； (2)321231x x x x +参考答案 一． 选择题、 1、C【解析】21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-= 2. A【解析】x1＋x2＝－b a ＝－－51＝5.3. B ．【解析】x1·x2＝c a ＝－21＝－2.4. B【解析】，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y 322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴y 2+5y ＋6=0二、填空题1、7;1;9-;15821=-=x x ，【解析】07)3(10)1(2=-++-m x m x 设方程解： ，则：、设原方程两根为b a )2( ，则：另一根为1x 107103-=+=+m ab m b a ，10301+=+m x ① 53-原方程两根之和为10701-=∙m x ② 53103-=+=+m b a 由②，得：7=m 9-=∴m代入将7=m ①，得： 08352=-+∴x x 原方程可化为：11=x 0)1)(85(=-+∴x x0171时，方程一根为，==∴x m 158=-=∴x x 或2、10【解析】∵x1、x2是x2＋6x ＋3＝0的两实数根，∴x1＋x2＝－6，x1x2＝3，∴x2x1＋x1x2＝x1＋x22－2x1x2x1x2＝62－2×33＝10.3、-1【解析】1212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程，121-=∴x x4、3-【解析】，则：，解：设方程两根为21x x 3±=∴m2122221221-=--=+m x x m m x x ， 0)2(4)]2([322<----=∆=m m m 时，当 方程两根互为倒数 0)2(4)]2([322>----=∆-=m m m 时，当121221=-=m x x 3-=∴m 122=-∴m三、解答题1. 解：(1) 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：241290y y -+=2(12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．2、解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====3、阅读下面的例题：解方程022=--x x解：当x ≥0时，原方程化为x 2– x –2=0，解得：x 1=2,x 2= - 1（不合题意，舍去）当x ＜0时，原方程化为x 2+ x –2=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2 ∴原方程的根是x 1=2, x 2= - 2 请参照例题解方程0112=---x x解：当x ≥1时，原方程化为x 2 – (x-1) -1=0，解得：x 1=1,x 2= 0（不合题意，舍去）当x ＜1时，原方程化为x 2+( x-1 )–1=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2 ∴原方程的根是x 1=1, x 2= - 24、是一元二次方程，解：21x x 169)9(2=+---= 的两根01322=-+x x 16=21232121-=-=+∴x x x x ， (2)321231x x x x +(1) )32)(32(21--x x )(222121x x x x +=96642121+--=x x x x ]2)[(2122121x x x x x x -+=9)(642121++-=x x x x )]21(2)23[(212-⨯---=9)23(6)21(4+-⨯--⨯= 813-=。

2.4 一元二次方程根与系数的关系同步测试题班级：_____________姓名：_____________一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 如果3是方程2x2−c=0的一个根，则方程的另一个根是()A.12B.−12C.3D.−32. 关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的一个根是1，则另一个根是()A.5B.−5C.−6D.−73. 下列一元二次方程中，两实数根的积为4的是（）A.2x2−5x+4=0B.3x2−5x+4=0C.x2+2x+4=0D.x2−5x+4=04. 方程2x2+4x−3=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值为()A.2B.−2C.32D.−325. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若(m−1)(n−1)=−6，则a的值为()A.−10B.4C.−4D.106. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=−2，x2=4，则b+c的值是()A.−10B.10C.−6D.−17. 已知关于x的一元二次方程x2−bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝−2，则b与c的值分别为（）A.b＝−1，c＝2B.b＝1，c＝−2C.b＝1，c＝2D.b＝−1，c＝−28. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根是另一个根的14，则a、b、c的关系正确的是（）A.5ac=4b2B.25b2=25acC.4b2=25acD.4b2=−25ac二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）9. 设x1，x2是方程x2−4x=3两根，则x1x2的值为________.10. 已知矩形两边长分别是方程x2−50x+35=0的两根，则矩形的面积为________．11. 设x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2=________．12. 一元二次方程x2+3x−1=0与x2−3x−1=0的所有实数根的和等于________.13. 若方程3x2−mx−6=0的一个根是2，则另一个根是________．14. 若方程2x2−4x−3=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=________.15. 已知a2+a−1=0，b2+b−1=0(a≠b)，则a2b+ab2=________．16. 关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．17. 已知x1，x2是方程x2−73x+13=0的两根，若实数a满足a+x1+x2−x1x2＝2018，则a＝________．18. 若x1，x2方程x2−3x−1=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为________．三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）19. 已知关于x的方程x2+5x−c=0一根为2，求另一根及c的值．20. 已知一元二次方程：x2−3x−1=0的两个根分别是x1、x2，求x12x2+x1x22的値．21. 已知a，b是一元二次方程x2−2x−1=0的两个根，求a2−a+b+3ab的值．22. 已知−3x2+mx−6＝0的一个根是1，求m及另一个根．23. 已知：关于x的一元二次方程2x2−4x−3=0有两个根x1，x2．求：(1)(x1−1)(x2−1)（2）x2x1+x1x2．24. 在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与−3；小王看错了q，解得方程的根为4与−2．（1）求p和q的值；（2）设α，β是方程x2+px+q=0的两实数根，不解方程求α2+2β2+pβ的值．25. 阅读材料：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，求nm +mn的值．解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数关系得m+n=1，mn=−1，所以nm +mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3.根据上述材料解决以下问题：(1)一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_______，x1x2=_______；(2)类比探究：已知m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，求m2n+mn2的值；(3)思维拓展：已知p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，求p2+9q2的值．。

2020-2021年浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程根与系数关系》同步训练（附答案）1．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（）A．10B．6C．8D．﹣22．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A．7B．6C．﹣2D．03．设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（）A．9B．﹣9C．1D．﹣14．已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（）A．4B．4C．5D．55．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20226．设a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（）A．2018B．2020C．2021D．20247．已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（）A．﹣4B．8C．﹣4或﹣8D．4或﹣88．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．2020B．﹣2021C．﹣2019D．20229．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（）A．0B．2020C．4040D．404210．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（）A．2020B．2019C．2029D．202811．已知α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为．12．若x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣2020＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值是．13．α是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，α+β＝2，则β2﹣2β的值是．14．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则代数式（m﹣n）2+5mn的值为．15．设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为．16．已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则+的值是．17．已知α、β为方程x2+4x+2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝．18．已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子的值为．19．已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2﹣5n+2020＝．20．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，则α2+4α+β＝．21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若1是方程的一个根，求k的值及方程的另一个根．22．关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0．（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．24．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．（1）已知k＝2，求x1+x2+x1x2．（2）若x1＝3x2，试求k值．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．27．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2＝﹣，x1x2＝可得利用上述结论来解答下列问题：（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝，mn＝；（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．参考答案1．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝8，解得t＝6，即方程的另一个根是6．故选：B．2．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2,α2＝α+2，∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7,故选：A．3．解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，所以原式＝x1x2（x1+x2）＝﹣3×（﹣3）＝9．故选：A．4．解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故选：C．5．解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019．故选：A．6．解：∵a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+3a＝2021，a+b＝﹣3，∴a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）＝2021﹣3＝2018．故选：A．7．解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，∴a+b＝6．又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．故选：C．8．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2021﹣（﹣1）+1＝﹣2019，故选：C．9．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．故选：D．10．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028．故选：D．11．解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，∴α2﹣3α﹣2＝0，αβ＝﹣2，∴α2﹣3α＝2，∴α2﹣3α﹣αβ＝（α2﹣3α）﹣αβ＝2﹣2＝0，故答案为0．12．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣2020＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣2020，则x1+x2﹣x1x2＝﹣4﹣（﹣2020）＝2016，故答案为2016．13．解：设一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的另一个根是x2，∴α+x2＝2，∵α+β＝2，∴方程的另一个根是β，∴β2﹣2β﹣4＝0，∴β2﹣2β＝4，故答案为4．14．解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，∴m+n＝4，mn＝﹣3，则原式＝m2﹣2mn+n2+5mn＝m2+2mn+n2+mn＝（m+n）2+mn＝42﹣3＝16﹣3＝13，故答案为：13．15．解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，＝4x1﹣1，∴＝4﹣x1，∴原式＝4﹣x1+4+x1﹣1＝4（+）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，故答案为：5516．解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，∴a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴+＝＝＝7．故答案为7．17．解：∵α、β是x2+4x+2＝0的二实根．∴α+β＝﹣4．α2+4α+2＝0．α2＝﹣4α﹣2．α3＝﹣4α2﹣2α＝﹣4（﹣4α﹣2）﹣2α＝14α+8．∴α3+14β+2069＝14α+8+14β+2069＝14（α+β）+2077＝14×（﹣4）+2077＝﹣56+2077＝2021．故答案为：2021．18．解：∵a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，∴a+b＝﹣，a•b＝，∴a＜0，b＜0，∴＝+＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．19．解：∵m为方程x2+5x+1＝0的根，∴m2+5m+1＝0，∴m2+5m+1＝0，∴m2﹣5n+2020＝﹣5m﹣1﹣5n+2020＝﹣5（m+n）+2019，∵m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，∴m+n＝﹣5，∴m2﹣5n+2020＝﹣5×（﹣5）+2019＝2044．故答案为2044．20．解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣2020＝0，∴α2+3α＝2020，∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝2020﹣3＝2017，故答案为：2017．21．解：（1）根据题意得△＝22+4k＞0，解得k＞﹣1；（2）把x＝1代入方程可得1+2﹣k＝0，解得k＝3，∴方程为x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，即方程的另一根为﹣3．22．（1）证明：∵△＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：不存在，理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0的两个同号的实数根，∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2＞0，∴x12+x22+m（x1+x2）＝（x1+x2）2﹣2x1•x2+m（x1+x2）＝m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝﹣2（m ﹣2）＜0，∵m2+1＞0，∴不存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立．23．（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的两根分别为m、n，∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a，由题意可得（a﹣3）2+2a＝21，解得a＝6或a＝﹣2．24．解：（1）∵方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，∴x1+x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝4﹣1＝3．（2）∵x1+x2＝4，x1＝3x2，∴x1＝3，x2＝1，∴k＝x1x2+3＝6．25．解：（1）∵方程有实数根，∴△＝25﹣4m≥0，解得，m≤；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得，x2＝2，把x＝2代入原方程得，m＝6．26．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝6，∵x1+2x2＝14，∴x2＝8，x1＝﹣2．将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，解得：k＝±4．答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．27．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，∴m+n＝，mn＝﹣．故答案为：；﹣．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，整理，得：k2﹣4k+3＝0，∴k＝，∴k1＝3，k2＝1．当k＝3时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，∴k＝3符合题意；当k＝1时，原方程为x2+1＝0，∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴k＝1不符合题意，舍去．∴k的值为3．。