2007年10 月电工技术学报Vol.22 No.10 第22卷第10期TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Oct. 2007基于二阶滑模的永磁直线同步电机的鲁棒速度控制孙宜标杨雪夏加宽（沈阳工业大学电气工程学院沈阳 110023）摘要针对受参数不确定性、端部效应和负载扰动影响的永磁直线同步电机的鲁棒速度控制问题，采用二阶滑模控制的超螺旋算法来设计速度控制器，并利用基于二阶滑模的鲁棒数字微分器来估计二阶滑模控制算法所需要的加速度信号。
该策略并没有将不连续控制作用在滑模量的一阶微分上，而是作用于其高阶微分上，理论上可消除抖振作用。
仿真和实验结果表明，该策略对负载和参数的变化具有很强的鲁棒性，同时有效地削弱了抖振现象。
关键词：永磁直线同步电机二阶滑模控制抖振超螺旋算法鲁棒数字微分器中图分类号：TP273；TM359.4Robust Speed Control of Permanent-Magnet Linear SynchronousMotor Based on the Second Order Sliding ModeSun Yibiao Yang Xue Xia Jiakuan（Shenyang University of Technology Shenyang 110023 China）Abstract Since the robust speed control of permanent-magnet linear synchronous motor is subjected to parameters uncertainties, end-effects and load disturbances, a speed controller is designed based on super-twisting algorithm which is one of the second order sling mode algorithms in this paper.And a robust digital differentiator is designed based on second order sliding mode to estimate the acceleration signal. In this strategy, the discontinuous control effects are acted on the higher order differential of the sliding mode in stead of the first order differential. Therefore the chattering phenomenon could be eliminated theoretically. The simulation and experiment results show that this strategy has very strong robustness against load disturbances and parameters varieties, and the chattering is attenuated availably.Keywords：Permanent-magnet linear synchronous motor, second order sliding mode control, chattering, super-twisting algorithm, robust digital differentiator1引言永磁直线同步电动机（PMLSM）直接驱动的伺服系统具有精度高、响应快的优点[1]，在数控机床中具有很大的应用潜力。
但其负载无机械缓冲地直接加在PMLSM的动子上，加之存在端部效应和模型非线性及参数的不确定性给控制带来难度[2]。
所以，要设计具有强鲁棒性的控制器来保证系统良好的动态性能，以减小各种不确定性对伺服系统的影响。
文献[3]采用精确反馈线性化方法来解决对象的非线性问题，但其对系统的参数具有很强的依赖性。
文献[4-5]采用H∞鲁棒控制理论进行控制器的设计可以使系统具有很强的鲁棒性，但具有一定的保守性。
滑模变结构控制[6-7]具有鲁棒性强、实现简单的优点，可以在电机参数变化及出现扰动时，仍然保证满意的性能。
然而由于其控制作用的不连续性所辽宁省自然科学基金（20052045）和辽宁省教育厅基金（2004F014）资助项目。
收稿日期 2006-02-15 改稿日期 2007-01-3036电 工 技 术 学 报 2007年10月引起的抖振现象，会导致被控系统的危险的高频振荡[8-9]。
为了削弱抖振，通常采用光滑近似来代替控制中不连续的符号函数，但这种方法会降低系统的精度和鲁棒性。
文献[10]使用状态观测器来估计滑模量，而观测器的精度对系统模型和参数有很强的依赖性，且设计算法比较复杂。
文献[11]采用边界层法，但这种方法仅能保证系统状态收敛到以滑动面为中心的边界层内，只能通过较窄的边界层来任意地接近滑模，不能使状态收敛到滑模。
最近国外学者提出了高阶滑模的方法[12-13]。
在此方法中，不连续控制并不作用在滑模变量的一阶微分上，而是作用在其高阶微分上。
这样不仅保留了一阶滑模控制（1-SMC ）的所有优点，还可以消除抖振现象。
本文采用二阶滑模控制中的超螺旋算法来设计永磁直线同步电动机伺服系统的速度控制器，它无需滑模变量一阶微分的信息，因而设计比较简单。
并采用基于二阶滑模控制方法的鲁棒数字微分器（加速度观测器）对加速度信号进行估计，它具有有限时间收敛及对测量噪声的鲁棒性的特点。
通过仿真和实验验证所提出的控制策略的有效性。
2 PMLSM 数学模型通过Park 变换，可得dq 坐标下PMLSM 的机械运动方程为v L d q d f qd d d [()] d sv tB F v p L L i i v t MM M φ⎧=⎪⎪⎨⎪=−+−−⎪⎩ （1） 式中 i d , i q ——d 、q 轴动子电流L d , L q ——d 、q 轴动子电感φf ——定子永磁体磁链 s ——动子的线位移 v ——动子线速度F L ——包括端部效应力在内的负载阻力 M ——动子和负载的总质量 B v ——粘滞摩擦系数 p ——极对数令状态x =[x 1 x 2]T =[s v ]T ，输入u =[u 1 u 2]T=[u d u q ]T ，并假设i d =0，则PMLSM 系统的数学模型可简化为12L 21q 22xx F x k i k x M =⎧⎪⎨=+−⎪⎩（2） 其中，k 1=f pM φ，v 2B k M=−。
目标是设计一个鲁棒速度控制器，保证在出现参数和阻力变化时，使动子速度能精确跟踪速度参考信号v *。
3 永磁直线同步电机的二阶滑模控制3.1 二阶滑模不失一般性，考虑单输入非线性系统()()()f g u y ,t σ=+⎧⎨=⎩ xx x x （3） 其中，n R χ∈⊂x 为状态变量，满足χ={x ∈n R │ x ∈n R ，│x i │≤x i MAX ，1≤i ≤n }，且u ∈U ⊂R 为输入，U ={u ∈R ‖u │≤u i MAX }。
σ (x , t )为输出函数，称为滑模变量。
f 、g 是光滑的不确定函数。
假设控制目标是迫使σ (x , t )趋于零，通过对σ 取两次导数，假设系统（3）对σ 的相关度为1，则有下面的关系[][][][][]()()()()f g u f g u u uσσσσσ∂⎧=+⎪⎪∂⎨∂∂⎪=++⎪∂∂⎩x x xx x x （4）定义1：已知滑模变量σ (x , t )，其“二阶滑模流形”定义为{}2(,)(,)0x x t x t χσσΣ=∈== n R χ⊂ （5）定义2：考虑非空的二阶滑模集合式（5），且假设它是Filippov 意义下的局部可积集合，即它由不连续动态系统的Filippov 轨迹组成。
满足式（5）的系统（3）的相应的行为被称为滑模变量σ(x , t )的“二阶滑模”。
定义2意味着，如果系统（3）的轨迹位于状态空间流形σ (x , t )=0和(,)0t σ= x 的交集上，则系统（3）满足与σ (x , t )相关的二阶滑模。
为保证严密性，假设下面的条件：（1）u 有界且连续。
如果u (t )连续且u (t )∈U ∀t ，对于所有的t ，式（3）的解良定。
（2）2()f x 和2()g x 有界且(,)t uσ∂∂ x ＞0。
令[](,)()()a t f g u σ∂=+∂ x x x x，且(,)b t u σ∂=∂ x 。
当满足假使条件（1）和（2），存在正常数值C 、K m 和K M ，使得u U ∀∈且u χ∀∈，有0＜K m ＜b (x , u , t )＜K M , a (x , u , t )≤C （6） 考虑局部坐标T T 12[][]ξξσσ= ，则在上述的第22卷第10期孙宜标等 基于二阶滑模的永磁直线同步电机的鲁棒速度控制 37定义和条件基础上，针对下面的不确定二阶系统，二阶滑模问题可描述为有限时间稳定问题[12]。
122(,,)(,,)a u t b u t v ξξξ⎧=⎪⎨=+⎪⎩x x （7） 其中，ξ2可能不可测，但其符号已知。
由上可知，实际控制量不是u ，而是v u= ，而被作为增加原状态空间维数的一个附加坐标。
3.2 滑模变量设计设跟踪误差为*v 22()()()e t x t x t =− （8）采用跟踪误差及其时间导数的适当的线性组合来定义滑模变量v v d()()d e t ce t tσ=+ c ＞0 （9）增加常数c 可以任意地加快收敛速率。
根据滑模控制的设计要求，控制必须能保证滑模变量σ 收敛到零点。
1q 2q 324L 5L 6A i A i A x A F A F A σ=+++++ （10） 其中，A i （i =1，…，6）是取决于电机不确定参数的适当的常数，分别为A 1=k 1；A 2=(k 2+c )k 1；A 3=(k 2+c )k 2； 41/A M =−；52()/A k c M =−+；**622A x cx =−− 。
如果考虑一条充分光滑的参考速度曲线，且满足│v (t )│≤V , │i q (t )│≤q I , │A i │≤i A i =1, …, 6 │F L (t )│≤L F ，│L ()F t │≤L1F ，│L ()F t │≤L2F （11） 则可计算出正常数1Φ使得d d tσ≤1Φ （12） 其中，V 、q I 、i A 、L F 、L1F 、L2F 是已知的正常数。
