微积分第一章.ppt

有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
(,) {x x }
2.邻域(neighborhood): 设a与是两个实数 , 且 0.数集{x x a }称为点a的 邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
记作 U(a, ) {x a xa }.
y
f (x)
g( x)
o
x
2x 1, x 0
(4)
f
(
x)
x2
1,
x0
y x2 1
y 2x 1
例3:将下列函数表示成分段函数. (1) y 1 1 2x
(2) y min(2x, x2 ), x [0,4]
四、函数的几何特性
1．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D,
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
(2)若f(x)以T为周期, 则f(ax)(a>0)以T/a为周 期
a
a
a x
0
点 a 的去心 邻域 记作U(a, ).
0
U(a, ) {x 0 x a }.
把开区间 (a , a) 称为a 的左δ邻域， 把开区间 (a , a ) 称为a 的右δ邻域，
a
a
a x
二、映射
1. 映射的概念 例
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
定义1. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
例2 整数集合Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
2. 集合之间的关系及运算
定义2 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
直积 A B (x , y) x A, y B
特例: R R 记 R 2
为平面上的全体点集
B AB A
3. 区间和邻域 (1)区间
a,b R,且a b.
开区间(a,b)= {x a x b} 闭区间[a,b]= {x a x b}
半开区间: 无限区间
[a,b) {x a x b} (a,b] {x a x b}
第一章 函数
• 一、集合与映射 • 二、函数的定义及表示法 • 三、函数的几何特征 • 四、反函数、复合函数、初等函数 • 五、建立简单的函数关系 • 重点:函数的定义;反函数;复合函数;初等函
数;分段函数.
一、集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
若f (x) f (x) 称 f ( x)为偶函数; 若f (x) f (x) 称 f ( x)为奇函数;
偶函数关于y轴对称, 奇函数关于原点对称
在R内既是奇函数,又是偶函数的函数是__f_(_x_)=_0____
例4 判断下列函数的奇偶性
(1) y xe x 1 e x x 0
(2)g( x) ex 1 x 0 (3)F( x) f ( x) f ( x) (4) y ln( x 1 x2 )
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例如 ,
,
,
显然有下列关系 :
5/58

定义3 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BIc I \ B (其中I表示全集)
B ABAc
函数的两要素: 定义域与对应法则.
例1 : 判断下列函数是否为相同的函数.
x
(1) y1
1, y2
; x
(2) y1 x, y2 x2 ;
(3) y1
tan
x,
y2
sin cos
x x
;
（相同）
分段函数举例: (1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
Rf f ( X ) { y y f ( x), x D f } .
2.函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取 的一切实数值.
例如， y 1 x2
例如， y 1 1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 .
2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
三、函数的概念
1. 定义：设数集 D R ，则称映射 f : D R
为定义在 D 上的函数 ,记为
y f (x)
因变量
自变量
D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D . 函数值的全体构成的数集称为值域，记为：
奇函数
奇函数 奇函数
2．函数的周期性:
设y f ( x),正数T ,使f ( x) f ( x T ),x D( f ) 则称f ( x)为周期函数, 使上式成立的最小正数T称为f (x)的周期(基本周期).
3T
T
T
3T
2
2
2
2
注意: (1) 若f(x+l)=f(x-l),则f(x)的周期为2l
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例1
有限集合
A a1 , a2
, , an
a
i
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n,
(2) 描述法：M x x 所具有的特征