2017届重庆一中高三5月月考理科数学试题及答案

2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B． C．4 D．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁R B）=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A． B．πC．2πD．4π4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2 B．4 C．8 D．165．设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．129 C．178 D．2097．若随机变量X～N（u，σ2）（σ＞0），则有如下结论（）P（u﹣σ＜X≤u+σ）=0.6826，P（u﹣2σ＜X≤u+2σ）=0.9544P（u﹣3σ＜X≤u+3σ）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6 B．7 C．8 D．98．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9 B．7 C．5 D．39．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A． B． C． D．10．（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30 B．120 C．240 D．42011．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C． D．x2=﹣y﹣112．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1]D．二、填空题△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，则a2017=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．19．（12分）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B． C．4 D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=4，∴z（1+i）（1﹣i）=4（1﹣i），∴z=2﹣2i，则复数z在复平面上对应的点（2，﹣2）与点（1，0）间的距离==．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁R B）=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用不等式的解法、集合的运算性质即可得出．【解答】解：由1，化为：＞0，解得x＜1．可得B（﹣∞，1）．∴∁R B=[1，+∞）．集合A∩（∁R B）=[1，2）．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A． B．πC．2πD．4π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出y=f（x）的解析式，即可求出y=f（x）的最小正周期．【解答】解：y=sinx+cosx=sin（x+），横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）=sin （2x+），T==π，故选B．【点评】本题考查y=f（x）的最小正周期，考查图象变换，确定函数的解析式是关键．4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和渐近线方程，以及点到直线的距离公式，结合a，b，c的关系式，解方程可得a的值，即可得到实轴长．【解答】解：由题意可得e==，a2+b2=c2，渐近线方程为y=±x，点P（，0）到其渐近线的距离为8，即有P（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为8，可得=8，即有b=8，则a2+64=c2，可得a=4，c=4，则C的实轴长为8．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查点到直线的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．5．设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数的运算法则及其函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=＞1，1＞b=log43===，c=log85===，可得b＞c．∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则及其函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．129 C．178 D．209【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=8，b=5，S=13满足条件S≤85，a=5，b=13，S=18，满足条件S≤85，a=13，b=18，S=31，满足条件S≤85，a=18，b=31，S=49，满足条件S≤85，a=31，b=49，S=80，满足条件S≤85，a=49，b=80，S=129不满足条件S≤85，输出S的值为129．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．7．若随机变量X～N（u，σ2）（σ＞0），则有如下结论（）P（u﹣σ＜X≤u+σ）=0.6826，P（u﹣2σ＜X≤u+2σ）=0.9544P（u﹣3σ＜X≤u+3σ）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=110对称，利用P（100＜x＜120）=0.6826，P （90＜x＜130）=0.9544，得即可到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（110，102），∴P（100＜x＜120）=0.6826，P（90＜x＜130）=0.9544，根据正态曲线的对称性知：位于120分到130分的概率为=0.1359∴理论上说在120分到130分的人数0.1359×60≈8．故选：C．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3σ原则．8．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9 B．7 C．5 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，f（2+x）+f（2﹣x）=2，即可求出f（6）．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，∴f（2+x）+f（2﹣x）=2，∴f（2）=1∴f（6）+f（﹣2）=2，∴f（6）=3，故选D．【点评】本题考查函数的对称性，考查学生的计算能力，利用f（2+x）+f（2﹣x）=2是关键．9．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A． B． C． D．【考点】排列、组合的实际应用；条件概率与独立事件．【分析】根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有44=256种不同的放法，若没有空盒，有A44=24种放法，有1个空盒的放法有C41C42A33=144种，有3个空盒的放法有C41=4种，则至少一个盒子为空的放法有256﹣24=232种，故“至少一个盒子为空”的概率P1=，恰好有两个盒子为空的放法有256﹣24﹣144﹣4=84种，故“恰好有两个盒子为空”的概率P2=，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p==；故选：A．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．10．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30 B．120 C．240 D．420【考点】二项式定理的应用．=（2y）6﹣r（x+z）r=26﹣r y6﹣r（x+z）【分析】（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T r+1r，（x+z）r的展开式的通项公式：T=x r﹣k z k．可得两个通项公式相乘可得展开式k+1的通项形式：26﹣r y6﹣r•x r﹣k z k．通过分类讨论即可得出．=（2y）6﹣r（x+z）r=26﹣r y6﹣r 【解答】解：（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T r+1（x+z）r，=x r﹣k z k．（x+z）r的展开式的通项公式：T k+1可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：26﹣r y6﹣r•x r﹣k z k．令r﹣k+1=2，6﹣r=3，k=2，或r﹣k=2，6﹣r+1=3，k=2．解得k=2，r=3．或k=2，r=4．∴x2y3z2的系数为﹣=120．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C． D．x2=﹣y﹣1【考点】轨迹方程．【分析】设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点M（x0，y0），则x02+y02=1，过M 点的圆的切线方程为x0x+y0y=1．联立抛物线方程后，根据△＞0，可得y0的范围，进而结合﹣1≤y0≤1且y0＜0，可得y0的范围．设出A，B的坐标，由韦达定理可得x1+x2的关系式①，x1x2的关系式②．求出AP，BP的方程，进而可得M的坐标，代入圆的方程可得P点轨迹方程；【解答】解：设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点M（x0，y0），则x02+y02=1，过M点的圆的切线方程为x0x+y0y=1．由得y0x2+x0x﹣1=0．（*）由△=x02+2y0=﹣y02+2y0+1＞0，得1﹣＜y0＜1+．又∵﹣1≤y0≤1且y0＜0，∴1﹣＜y0≤0．令A（x1，x12），B（x2，x22），知x1、x2是方程（*）的两个实根，由根与系数的关系，得x1+x2=﹣①，x1x2=﹣②．过A点的抛物线的切线AP的方程为y﹣x12=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12．③同理，BP的方程为y=x2x﹣x22．④联立①②③④，解得，∴，代入x02+y02=1得（）2+（﹣）2=1，整理，得y2﹣x2=1（x∈R，﹣1≤y＜0），这就是点P的轨迹方程．故选：A．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，综合性强，运算量大，转化困难，难度较大，属于难题．﹣12．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1]D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x．设g′（x0）=0，利用单调性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02）．由f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，可得+（a﹣1）+a≤0，a≤2﹣1=h（t），t ∈[1，g（x0）]，即可得出．【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x设g′（x0）=0，则函数在[0，x0]上单调递增，在[x0，1]上单调递减，g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02＜2）．∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，∴f（t）≤0，即+（a﹣1）+a≤0，a≤=2﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，则h（t）的最小值=2×﹣1=﹣1．∴a≤﹣1．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（2016秋•沙坪坝区校级月考）△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则计算即可．【解答】解：△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=（+）•=2+•=×22=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合目标函数的几何意义求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（3，4），z=的几何意义是可行域内的点与（0，﹣1）连线的斜率的一半，由题意可知可行域的A与（0，﹣1）连线的斜率最大．∴z=的最大值是：，故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．【考点】余弦定理．【分析】由且，可得cosC==，C∈（0，π），解得C=．可得tanAtan2B=tan•tan2B=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由且，∴cosC==，C∈（0，π），解得C=．则tanAtan2B=tan•tan2B=×=，令tanB=t∈（0，1），则≤=，等号不成立．∴∈（0，），故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，则a2017=．【考点】数列的概念及简单表示法．}成等差数列，首项为，公差为3．即【分析】由于：，经过计算可得：数列{a2k﹣1可得出．【解答】解：满足：，∴a2=1+=2+．a3=2+=3+=4+（﹣1），a4=4+=5+，a5=5+=6+=7+（﹣1）．a6=7+=8+，a7=8+=9+=10+（﹣1），…，}成等差数列，首项为，公差为3．可得：数列{a2k﹣1则a2017=+3×（1009﹣1）=3024+．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；二项式系数的性质．【分析】（1）由二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，可得a n，b n；（2）求得a n b n=n•2n+1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：（1）（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．可得a n=2n，b n=2=2n；（2）a n b n=n•2n+1，则前n项和S n=1•22+2•23+…+n•2n+1，2S n=1•23+2•24+…+n•2n+2，两式相减可得，﹣S n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2，=﹣n•2n+2，化简可得S n=（n﹣1）•2n+2+4．【点评】本题考查二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．【考点】正弦定理；等比数列的通项公式．【分析】（1）+=，由余弦定理可得： +=，化简即可证明．（2）4sin（C﹣）cosC=1，C为锐角，利用积化和差可得：=1，C∈（0，），∈．解得C=．利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．【解答】（1）证明：∵ +=，由余弦定理可得： +=，化为c2=ab，∴a，c，b成等比数列．（2）解：4sin（C﹣）cosC=1，∴C为锐角，2=1，化为：=1，C∈（0，），∈．∴2C﹣=，解得C=．∴a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，∴（a﹣b）2=0，解得a=b．∴△ABC的周长=3a==9．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，由此能求出ξ的分布列和数学期望．②由题意分别求出甲型号节排器的利润的平均值和乙型号节排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号节排器的平均利润率较大．【解答】解：（1）至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，所以，，所以ξ的分布列为所以数学期望（或）．②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，乙型号节排器的利润的平均值，，又，所以投资乙型号节排器的平均利润率较大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．（12分）（2017春•都匀市校级月考）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆及抛物线的性质，列方程组求得a，b和c的值，即可求得C1和C2的方程；（2）设直线方程，代入抛物线和椭圆方程，求得丨AB丨，则AB与CD间的距离为，利用椭圆的对称性及函数单调性即可求得四边形AF1F2C的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：抛物线的准线方程x=﹣，c=，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4，，得，∴C1和C2的方程分别为．（2）由题意，AB的斜率不为0，设AB：x=ty﹣2，由，得y2﹣8ty+16=0，△=64t2﹣64≤0，得t2≤1，由，得（t2+1）y2﹣4ty﹣4=0，，AB与CD间的距离为，由椭圆的对称性，ABDC为平行四边形，，设，．即为四边形AF1F2C的面积的取值范围．【点评】本题考查椭圆及抛物线的方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x ﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1），设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），又切线为y=x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x0，a．（2）令，所以，可得其单调性．g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．【解答】（1）解：，设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），即，又切线为y=x﹣1，所以，消a，得，设，易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x0=1，a=1（2）证明：令，所以，当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增；当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减；所以g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以，①因为1＜x＜2，所以，所以，即，②①+②得：，故当1＜x＜2时，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）在直角坐标系xOy中，直线l：（t 为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l：（t为参数，α∈（0，））可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，）．圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4展开可得：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，利用互化公式可得极坐标方程．（2）直线l：（t为参数，α∈（0，）代入上述圆的方程可得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+1=0．利用=即可得出．【解答】解：（1）直线l：（t为参数，α∈（0，））化为普通方程：y=xtanα．α∈（0，）．可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4展开可得：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1=0．（2）直线l：（t为参数，α∈（0，）代入上述圆的方程可得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+1=0．∴t1+t2=2cosα+4sinα，t1•t2=1．∴==2cosα+4sinα=2sin（α+φ）≤2，φ=arctan．∴的最大值为2．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标互化公式、直线的参数方程的应用、直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•沙坪坝区校级月考）设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，利用函数的单调性求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，，当且仅当时，取等号．（2）x∈[1，2]时，，所以0＜a＜6．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．。

2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B．C．4 D．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁R B）=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2 B．4 C．8 D．165．设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．129 C．178 D．2097．若随机变量X～N（u，ς2）（ς＞0），则有如下结论（）P（u﹣ς＜X≤u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X≤u+2ς）=0.9544P（u﹣3ς＜X≤u+3ς）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6 B．7 C．8 D．98．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9 B．7 C．5 D．39．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A．B．C．D．10．（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30 B．120 C．240 D．42011．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C．D．x2=﹣y﹣112．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．二、填空题△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，则a2017=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．19．（12分）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B．C．4 D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=4，∴z（1+i）（1﹣i）=4（1﹣i），∴z=2﹣2i，则复数z在复平面上对应的点（2，﹣2）与点（1，0）间的距离==．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁R B）=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用不等式的解法、集合的运算性质即可得出．【解答】解：由1，化为：＞0，解得x＜1．可得B（﹣∞，1）．∴∁R B=[1，+∞）．集合A∩（∁R B）=[1，2）．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出y=f（x）的解析式，即可求出y=f（x）的最小正周期．【解答】解：y=sinx+cosx=sin（x+），横坐标缩短到原来的倍，得到y=f （x）=sin（2x+），T==π，故选B．【点评】本题考查y=f（x）的最小正周期，考查图象变换，确定函数的解析式是关键．4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和渐近线方程，以及点到直线的距离公式，结合a，b，c的关系式，解方程可得a的值，即可得到实轴长．【解答】解：由题意可得e==，a2+b2=c2，渐近线方程为y=±x，点P（，0）到其渐近线的距离为8，即有P（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为8，可得=8，即有b=8，则a2+64=c2，可得a=4，c=4，则C的实轴长为8．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查点到直线的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．5．设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数的运算法则及其函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=＞1，1＞b=log43===，c=log85===，可得b＞c．∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则及其函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．129 C．178 D．209【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=8，b=5，S=13满足条件S≤85，a=5，b=13，S=18，满足条件S≤85，a=13，b=18，S=31，满足条件S≤85，a=18，b=31，S=49，满足条件S≤85，a=31，b=49，S=80，满足条件S≤85，a=49，b=80，S=129不满足条件S≤85，输出S的值为129．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．7．若随机变量X～N（u，ς2）（ς＞0），则有如下结论（）P（u﹣ς＜X≤u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X≤u+2ς）=0.9544P（u﹣3ς＜X≤u+3ς）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=110对称，利用P（100＜x＜120）=0.6826，P （90＜x＜130）=0.9544，得即可到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（110，102），∴P（100＜x＜120）=0.6826，P（90＜x＜130）=0.9544，根据正态曲线的对称性知：位于120分到130分的概率为=0.1359∴理论上说在120分到130分的人数0.1359×60≈8．故选：C．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3ς原则．8．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9 B．7 C．5 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，f（2+x）+f（2﹣x）=2，即可求出f（6）．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，∴f（2+x）+f（2﹣x）=2，∴f（2）=1∴f（6）+f（﹣2）=2，∴f（6）=3，故选D．【点评】本题考查函数的对称性，考查学生的计算能力，利用f（2+x）+f（2﹣x）=2是关键．9．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用；条件概率与独立事件．【分析】根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有44=256种不同的放法，若没有空盒，有A44=24种放法，有1个空盒的放法有C41C42A33=144种，有3个空盒的放法有C41=4种，则至少一个盒子为空的放法有256﹣24=232种，故“至少一个盒子为空”的概率P1=，恰好有两个盒子为空的放法有256﹣24﹣144﹣4=84种，故“恰好有两个盒子为空”的概率P2=，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p==；故选：A．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．10．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30 B．120 C．240 D．420【考点】二项式定理的应用．=（2y）6﹣r（x+z）r=26﹣r y6﹣r 【分析】（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T r+1=x r﹣k z k．可得两个通项公式相乘（x+z）r，（x+z）r的展开式的通项公式：T k+1可得展开式的通项形式：26﹣r y6﹣r•x r﹣k z k．通过分类讨论即可得出．=（2y）6﹣r（x+z）r=26﹣r 【解答】解：（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T r+1y6﹣r（x+z）r，=x r﹣k z k．（x+z）r的展开式的通项公式：T k+1可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：26﹣r y6﹣r•x r﹣k z k．令r﹣k+1=2，6﹣r=3，k=2，或r﹣k=2，6﹣r+1=3，k=2．解得k=2，r=3．或k=2，r=4．∴x2y3z2的系数为﹣=120．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C．D．x2=﹣y﹣1【考点】轨迹方程．【分析】设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点M（x0，y0），则x02+y02=1，过M 点的圆的切线方程为x0x+y0y=1．联立抛物线方程后，根据△＞0，可得y0的范围，进而结合﹣1≤y0≤1且y0＜0，可得y0的范围．设出A，B的坐标，由韦达定理可得x1+x2的关系式①，x1x2的关系式②．求出AP，BP的方程，进而可得M的坐标，代入圆的方程可得P点轨迹方程；【解答】解：设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点M（x0，y0），则x02+y02=1，过M点的圆的切线方程为x0x+y0y=1．由得y0x2+x0x﹣1=0．（*）由△=x02+2y0=﹣y02+2y0+1＞0，得1﹣＜y0＜1+．又∵﹣1≤y0≤1且y0＜0，∴1﹣＜y0≤0．令A（x1，x12），B（x2，x22），知x1、x2是方程（*）的两个实根，由根与系数的关系，得x1+x2=﹣①，x1x2=﹣②．过A点的抛物线的切线AP的方程为y﹣x12=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12．③同理，BP的方程为y=x2x﹣x22．④联立①②③④，解得，∴，代入x02+y02=1得（）2+（﹣）2=1，整理，得y2﹣x2=1（x∈R，﹣1≤y＜0），这就是点P的轨迹方程．故选：A．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，综合性强，运算量大，转化困难，难度较大，属于难题．﹣12．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x．设g′（x0）=0，利用单调性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02）．由f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，可得+（a﹣1）+a≤0，a≤2﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，即可得出．【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x设g′（x0）=0，则函数在[0，x0]上单调递增，在[x0，1]上单调递减，g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02＜2）．∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，∴f（t）≤0，即+（a﹣1）+a≤0，a≤=2﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，则h（t）的最小值=2×﹣1=﹣1．∴a≤﹣1．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（2016秋•沙坪坝区校级月考）△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则计算即可．【解答】解：△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=（+）•=2+•=×22=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合目标函数的几何意义求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（3，4），z=的几何意义是可行域内的点与（0，﹣1）连线的斜率的一半，由题意可知可行域的A与（0，﹣1）连线的斜率最大．∴z=的最大值是：，故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．【考点】余弦定理．【分析】由且，可得cosC==，C∈（0，π），解得C=．可得tanAtan2B=tan•tan2B=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由且，∴cosC==，C∈（0，π），解得C=．则tanAtan2B=tan•tan2B=×=，令tanB=t∈（0，1），则≤=，等号不成立．∴∈（0，），故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，则a2017=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由于：，经过计算可得：数列{a2k}成等差数列，首项为，公差为3．即可得出．﹣1【解答】解：满足：，∴a2=1+=2+．a3=2+=3+=4+（﹣1），a4=4+=5+，a5=5+=6+=7+（﹣1）．a6=7+=8+，a7=8+=9+=10+（﹣1），…，}成等差数列，首项为，公差为3．可得：数列{a2k﹣1则a2017=+3×（1009﹣1）=3024+．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；二项式系数的性质．【分析】（1）由二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，可得a n，b n；（2）求得a n b n=n•2n+1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：（1）（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．可得a n=2n，b n=2=2n；（2）a n b n=n•2n+1，则前n项和S n=1•22+2•23+…+n•2n+1，2S n=1•23+2•24+…+n•2n+2，两式相减可得，﹣S n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2，=﹣n•2n+2，化简可得S n=（n﹣1）•2n+2+4．【点评】本题考查二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．【考点】正弦定理；等比数列的通项公式．【分析】（1）+=，由余弦定理可得： +=，化简即可证明．（2）4sin（C﹣）cosC=1，C为锐角，利用积化和差可得：=1，C∈（0，），∈．解得C=．利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．【解答】（1）证明：∵ +=，由余弦定理可得：+=，化为c2=ab，∴a，c，b成等比数列．（2）解：4sin（C﹣）cosC=1，∴C为锐角，2=1，化为：=1，C∈（0，），∈．∴2C﹣=，解得C=．∴a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，∴（a﹣b）2=0，解得a=b．∴△ABC的周长=3a==9．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，由此能求出ξ的分布列和数学期望．②由题意分别求出甲型号节排器的利润的平均值和乙型号节排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号节排器的平均利润率较大．【解答】解：（1）至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，所以，，所以ξ的分布列为所以数学期望（或）．②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，乙型号节排器的利润的平均值，，又，所以投资乙型号节排器的平均利润率较大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．（12分）（2017春•都匀市校级月考）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆及抛物线的性质，列方程组求得a，b和c的值，即可求得C1和C2的方程；（2）设直线方程，代入抛物线和椭圆方程，求得丨AB丨，则AB与CD间的距离为，利用椭圆的对称性及函数单调性即可求得四边形AF1F2C的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：抛物线的准线方程x=﹣，c=，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4，，得，∴C1和C2的方程分别为．（2）由题意，AB的斜率不为0，设AB：x=ty﹣2，由，得y2﹣8ty+16=0，△=64t2﹣64≤0，得t2≤1，由，得（t2+1）y2﹣4ty﹣4=0，，AB与CD间的距离为，由椭圆的对称性，ABDC为平行四边形，，设，．即为四边形AF1F2C的面积的取值范围．【点评】本题考查椭圆及抛物线的方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x ﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1），设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），又切线为y=x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x0，a．（2）令，所以，可得其单调性．g （x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．【解答】（1）解：，设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），即，又切线为y=x﹣1，所以，消a，得，设，易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x0=1，a=1（2）证明：令，所以，当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增；当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减；所以g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以，①因为1＜x＜2，所以，所以，即，②①+②得：，故当1＜x＜2时，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l：（t为参数，α∈（0，））可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，）．圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4展开可得：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，利用互化公式可得极坐标方程．（2）直线l：（t为参数，α∈（0，）代入上述圆的方程可得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+1=0．利用=即可得出．【解答】解：（1）直线l：（t为参数，α∈（0，））化为普通方程：y=xtanα．α∈（0，）．可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4展开可得：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1=0．（2）直线l：（t为参数，α∈（0，）代入上述圆的方程可得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+1=0．∴t1+t2=2cosα+4sinα，t1•t2=1．∴==2cosα+4sinα=2sin（α+φ）≤2，φ=arctan．∴的最大值为2．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标互化公式、直线的参数方程的应用、直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•沙坪坝区校级月考）设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，利用函数的单调性求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，，当且仅当时，取等号．（2）x∈[1，2]时，，所以0＜a＜6．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．。

2016-2017学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π2．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．5 B．C．4D．3．已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+2y的最大值为（）A．1 B．C．D．24．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺B．尺C．尺D．尺5．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=6．已知函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（）A．ln2 B．2ln2 C．2 D．7．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[﹣2，3]D．λ=38．若函数f（x）=﹣x+λ在[﹣1，1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（）A．[1，）B．（﹣，）C．（﹣，﹣1]D．[﹣1，1]9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．1510．已知函数f（x）=+满足条件f（log a（+1））=1，其中a＞1，则f（log a（﹣1））=（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知x∈（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（）A．[1，2）B．[，+∞）C．（1，]D．[1，+∞）12．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为．14．已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）=．15．设正实数x，y满足x+y=1，则x2+y2+的取值范围为．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1，cosBcosC=﹣，则△ABC的周长为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．已知等比数列{a n}单调递增，记数列{a n}的前n项之和为S n，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n﹣2n，求数列{b n}的前n项之和T n．18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；（2）该电子商务平台将年在[30，50）之间的人群定为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=，AA1⊥平面ABCD，AA1=1，设E为CD中点（1）求证：D1E⊥平面BEC1（2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1，求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且=，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=ln（ax+）+．（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．2016-2017学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数f （x ）=sinxcosx 的最小正周期为（ ） A ．3π B ．π C ．2π D ．4π【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法． 【分析】先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，函数f （x ）=sinxcosx=sin2x∴故选B ．2．已知向量=（1，2），=（x ，﹣2），且⊥，则|+|=（ ）A ．5B ．C ．4D ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x 的值，再求模长．【解答】解：向量=（1，2），=（x ，﹣2），且⊥，∴x +2×（﹣2）=0， 解得x=4；∴+=（5，0），∴|+|=5． 故选：A ．3．已知x ，y 均为非负实数，且满足，则z=x +2y 的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】简单线性规划．【分析】由已知画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式方程，利用其在y 在轴的截距最大求z 的最大值．【解答】解：由已知得到可行域如图：则z=x +2y 变形为y=﹣x ，当此直线经过图中的C 时，在y 轴的截距最大， 且c （0，1），所以z 的最大值为0+2×1=2； 故选D ．4．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果．【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，解得d=．故该女子织布每天增加尺．故选：B．5．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=g（x）=2sin（4x+），再利用正弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x）=2sin（4x+）．令4x+=kπ+，k∈Z，可解得函数对称轴方程为：x=kπ+，k∈Z，当k=0时，x=是函数的一条对称轴．故选：D．6．已知函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（）A．ln2 B．2ln2 C．2 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由偶函数的定义可得f（﹣x）=f（x），可得a=1，求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．【解答】解：函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），即e﹣x+ae x=e x+ae﹣x，即（e x﹣e﹣x）（a﹣1）=0，可得a=1，即f（x）=e x+e﹣x，导数为f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（m，n），则e m﹣e﹣m=，解得m=ln2，故选：A．7．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[﹣2，3]D．λ=3【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出x∈[，2]时，2x+的最值，可得实数λ的取值范围．【解答】解：若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，由x∈[，2]，当x=时，函数取最小值2，故实数λ的取值范围为（﹣∞，2]，故选：A8．若函数f（x）=﹣x+λ在[﹣1，1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（）A．[1，）B．（﹣，）C．（﹣，﹣1]D．[﹣1，1]【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数函数f（x）=﹣x+λ在[﹣1，1]上有两个不同的零点，转化为直线y=x﹣λ与y=有2个交点，画出图象判断即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x+λ在[﹣1，1]上有两个不同的零点，∴直线y=x﹣λ与y=有2个交点，即1∴λ≤﹣1故选：C9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，•=9，即||•||cosθ=9，16=||2+||2﹣2||•||cosθ=（||+||）2﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=64﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=16，∴|PF1|•|PF2|=15，故选：D．10．已知函数f（x）=+满足条件f（log a（+1））=1，其中a＞1，则f（log a（﹣1））=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】化简可得f（x）+f（﹣x）=+++=3，从而求得．【解答】解：∵f（x）=+，∴f（﹣x）=+=+，∴f（x）+f（﹣x）=+++=3，∵log a（+1）=﹣log a（﹣1），∴f（log a（+1））+f（log a（﹣1））=3，∴f（log a（﹣1））=2，故选：B．11．已知x∈（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（）A．[1，2）B．[，+∞）C．（1，]D．[1，+∞）【考点】三角函数的最值．【分析】化简函数f（x），用换元法令sinx+cosx=t，表示出sinxcosx，t∈（1，]；把f（x）化为f（t），利用导数判断单调性，求出它的最值，即可得出f（x）的值域．【解答】解：x∈（0，）时，函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx=+===；令sinx+cosx=t，则t=sin（x+），sinxcosx=；∵x∈（0，），∴sin（x+）∈（，1]，t∈（1，]；∴f（x）可化为f（t）==，∴f′（t）=＜0，∴t∈（1，]时，函数f（t）是单调减函数；当t=时，函数f（t）取得最小值f（）==，且无最大值；∴函数f（x）的值域是[，+∞）．故选：B．12．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB．【解答】解：设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，∴当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP ⊥AB，∵圆心到直线的距离为=，OD==，∴|+|的最小值为2（﹣）=．故选D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为（﹣1，﹣1）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论．【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由，解得a=﹣1，b=﹣1，故答案为（﹣1，﹣1）．14．已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，利用二倍角公式求得tan2α的值，再利用两角和差的正切公式求得tan（2α+）的值．【解答】解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan2α==﹣，则tan（2α+）==﹣，故答案为：﹣．15．设正实数x，y满足x+y=1，则x2+y2+的取值范围为．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足x+y=1，可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，﹣2xy+=﹣2+，即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足x+y=1，∴1，可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，∵﹣2xy+=﹣2+∈．故x2+y2+的取值范围为．故答案为：．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1，cosBcosC=﹣，则△ABC的周长为+．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理求出角A，利用两角和的余弦公式求出sinBsinC的值，结合正弦定理求出△ABC外接圆的半径R与边长a，再求出b+c即可．【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2=bc=1，∴cosA===，∴A=，∴B+C=，即cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣；又cosBcosC=﹣，∴sinBsinC=cosBcosC+=﹣+=，∴bc=4R2sinBsinC=4R2×=1，解得R=，其中R为△ABC的外接圆的半径；∴a=2RsinA=2××sin=，∴b2+c2﹣2=1，解得b2+c2=3，∴（b+c）2=b2+c2+2bc=3+2×1=5，∴b+c=，∴△ABC的周长为a+b+c=+．故答案为： +．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．已知等比数列{a n}单调递增，记数列{a n}的前n项之和为S n，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n﹣2n，求数列{b n}的前n项之和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设单调递增的等比数列{a n}的公比为q≠1，由a2=6，S3=26．可得a1q=6，=26，解得a1，q，再利用单调性夹角得出．（2）b n=a n﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设单调递增的等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a2=6，S3=26．∴a1q=6，=26，解得a1=18，q=，或a1=2，q=3．当a1=18，q=，等比数列{a n}单调递减，舍去．∴a1=2，q=3．∴a n=2×3n﹣1．（2）b n=a n﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，∴数列{b n}的前n项之和T n=﹣2×=3n﹣1﹣n2﹣n．18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；（2）该电子商务平台将年在[30，50）之间的人群定为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a﹣b=b﹣0.015，联立解出即可得出．（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0.6，潜在消费人群的比例为0.4．由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人．随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为：240，210，180，150．再利用“超几分布列”的概率计算公式及其数学期望即可得出．【解答】解：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a﹣b=b﹣0.015联立解出a=0.035，b=0.025（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0.6，潜在消费人群的比例为0.4，由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人，随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为：240，210，180，150．；；数学期望19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=，AA1⊥平面ABCD，AA1=1，设E为CD中点（1）求证：D1E⊥平面BEC1（2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1，求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BE⊥D1E，D1E⊥C1E，由此能证明D1E⊥平面BEC1．（2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形知DG⊥AB，从而DG⊥DC，以DC，DG，DD1为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．【解答】证明：（1）由已知该四棱柱为直四棱柱，且△BCD为等边三角，BE⊥CD所以BE⊥平面CDD1C1，而D1E⊆平面CDD1C1，故BE⊥D1E因为△C1D1E的三边长分别为，故△C1D1E为等腰直角三角形所以D1E⊥C1E，结合D1E⊥BE知：D1E⊥平面BEC1解：（2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形知DG⊥AB，从而DG⊥DC以DC，DG，DD1为坐标轴，建立如图所示的坐标系此时，，设由上面的讨论知平面BEC1的法向量为由于AF⊄平面BEC1，故AF∥平面BEC1故（λ+1，0，1）•（1，0，﹣1）=（λ+1）﹣1=0⇒λ=0，故设平面ADF的法向量为，由知，取，故设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ，则即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且=，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：e=知，即a=c，由b==c，设，其中λ＞0，将代入，即可求得λ的值，求得椭圆C的标准方程；（2）由题意可知=，即（x1，y1）=2（x0﹣x2，y0﹣y2），由于A，B，P均在椭圆x2+2y2=8上，故有：，整理可得：x1x2+2y1y2=﹣2，设直线l方为x=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理可知代入：，解得，即可求得故直线l的斜率为．【解答】解：（1）由椭圆C： +=1（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，由e=知，即a=c，由b==c，可设，其中λ＞0由已知，代入椭圆中得：，即，解得，从而，故椭圆方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），=（x1，y1），=（x0﹣x2，y0﹣y2），由=，∴（x1，y1）=2（x0﹣x2，y0﹣y2）从而，由于A，B，P均在椭圆x2+2y2=8上，故有：第三个式子变形为：，将第一，二个式子带入得：x1x2+2y1y2=﹣2（*）分析知直线l的斜率不为零，故可设直线l方为x=my+2，，整理得：（m2+2）y2+4my﹣4=0，由韦达定理，将（*）变形为：（my1+2）（my2+2）+2y1y2=﹣2，即（m2+2）y1y2+2m（y1+y2）+6=0，将韦达定理带入上式得：，解得，∵直线的斜率，故直线l的斜率为．21．已知函数f （x ）=ln （ax +）+．（1）若a ＞0，且f （x ）在（0，+∞）上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）首先对f （x ）求导，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x ）在x ＞0上恒有f'（x ）≥0；利用分离参数法求出a 的范围；（2）利用反证法假设a 存在，则f （x ）≥1在x ＞0上恒成立可得a ＞；利用导数判断出函数f （x ）min =1时，可求出参数a 的值；【解答】解：（1）对f （x ）求导：f'（x ）=﹣；∵f （x ）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x ）在x ＞0上恒有f'（x ）≥0；即：≥；∵a ＞0，x ＞0；∴⇒≤x 2+；故x 2+ 在x ＞0上最小值为；所以：≤；解得：a ≥2．（2）假设存在这样的实数a ，则f （x ）≥1在x ＞0上恒成立，即ln （a +）+≥1；⇒ln （a +）≥＞0=ln1，解得a ＞；从而这样的实数a 必须为正实数，当a ≥2时，由上面的讨论知f （x ）在（0，+∞）上递增． f （x ）＞f （0）=2﹣ln2＞1，此时不合题意，故这样的a 必须满足0＜a ＜2；此时：f'（x ）＞0得f （x ）的增区间为（）；令f'（x ）＜0得f （x ）的减区间为（0，）；故f （x ）min =f （）=ln （a •+）+=1；整理即：ln （）﹣=0；⇒ln（）﹣=0；设t=∈（，1]；则上式即为lnt﹣=0，构造g（t）=lnt﹣，则等价于g（t）=0；由于y=lnt为增函数，y=为减函数，故g（t）为增函数；观察知g（1）=0，故g（t）=0等价于t=1，与之对应的a=1，综上符合条件的实数a是存在的，即a=1．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）把参数方程中的x，y平方相加即可得普通方程；（2）把直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，然后根据弦长公式计算即可．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），x，y平方相加可得：x2+y2=2，①（2）直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，②由②得：y=x+1，③把③带入①得：2x2+2x﹣1=0，∴，∴|AB|=|x1﹣x2|===[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．【分析】（1）去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．（2）利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．【解答】解：（1）|4x﹣1|≤|2x+1|⇔16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1⇔12x2﹣12x≤0，解得x∈[0，1]，故原不等式的解集为[0，1]．（2）f（a2）+f（b2）=|2a2﹣1|+|2b2﹣1|≥|2（a2+b2）﹣2|，由柯西不等式：2（a2+b2）=（12+12）（a2+b2）≥（a+b）2=4．从而2（a2+b2）﹣2≥2，即f（a2）+f（b2）≥2，取等条件为a=b=1．故f（a2）+f（b2）的最小值为2．2016年12月21日。

2018年重庆一中高2018级高三下期五月月考数学试题卷（理科）数学试题卷共5页，考试时间为120分钟，满分150分一、单选题（共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={x|-4≤x≤4}，B={x|x2+2x-3＞0},则A∩B=（）A.（-3,1）B.（-1,3）C. [-4,3) ∪ (1,4]D. [-4,-1) ∪ (3,4]2.已知i为虚数单位，则复数21ii-+对应的平面上的点在第（）象限A.一B.二C.三D.四3.已知平面向量||||2a b==，且(2)a b+⊥b，则向量,a b的夹角为（）A.56πB.23πC.3πD.6π4.已知S n为等差数列{a n}的前n项之和，若S5=30，则a2+a4=（）A.3B.6C.9 D125.若函数1()cos22f x x=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A.,012π⎛⎫⎪⎝⎭ B.,06π⎛⎫⎪⎝⎭ C.,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭6.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.5B.132 C.7 D.1527.已知a=1.90.4，，b=log0.41.9，c=0.41.9，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞b8.在∆ABC中，点D为边BC的中点，点E为边AC上任意一点，则∆ABC的面积不大于∆CDE的面积的6倍的概率为（）A .16 B .13 C.23 D.569.有甲、乙、丙、丁四位参赛歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”，在以上问题中只有一人回答正确，获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁10.我国南宋时期的数学家秦九韶（先四川省安岳县）人，秦九韶在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下：多项式可用如图所示的程序框图来求某多项式的值，若输入a 0=1，a 1=4，a 2=6，a 3=4，a 4=1及x 0，，运行程序可以输出16，则x 0的值为（）A.-3B.1或-3C.1D.2或-211.如图，F 为抛物线想x 2=2y 的焦点，直线y=kx+3（k ＞0）与抛物线相交于A 、B 两点，若四边形AOFB 的面积为7，则k=（） A.12B. C.2930D.12.已知关于x 的方程为2222(3)12(3)x xx e m x e --=--（其中m ∈R ），则次方程实根的个数为（）A.2B.2或3C.3D.3或4 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

重庆市第⼀中学2017届⾼三下学期第⼀次⽉考理数试题及答案重庆市第⼀中学2017届⾼三下学期第⼀次⽉考数学（理）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.若复数z 满⾜232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --2.已知U R =，{|12}M x x =-≤≤，{|3}N x x =≤，则()U C M N = （）A ．{|123}x x x <-<≤或B ．{|23}x x <≤C ．{|123}x x x ≤-≤≤或D ．{|23}x x ≤<3.下列说法正确的是（）A ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件 C ．命题“x R ?∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ?∈，2230x x ++>”D ．命题:",sin cos p x R x x ?∈+≤，则p ?是真命题4.已知函数()sin()(0,||)2f x x πω?ω?=+><的最⼩正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（）A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C.关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 5.如图是⼀个空间⼏何体的三视图，则该⼏何体的表⾯三⾓形中为直⾓三⾓形的个数为（）A ．2B ． 3 C. 4 D ．56.在如图所⽰的程序框图中，若输出的值是3，则输⼊x 的取值范围是（）A ．(4,10]B ．(2,)+∞ C. (2,4] D ．(4,)+∞7.《算术书》⽵简于上世纪⼋⼗年代在湖北省江陵县张家⼭出⼟，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，⼜以⾼乘之，三⼗六成⼀，该术相当于给出了有圆锥的底⾯周长L 与⾼，计算其体积V 的近似公式2148V L h =，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式2175V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．256B ．258 C. 253 D ．2548.（原创）等⽐数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =--- ，若'()y f x =是()y f x =的导函数，则'(0)f =（）A ．1B ．92 C. 122 D ．1529.甲、⼄、丙、丁、戊五位同学站成⼀排照相留念，则在甲⼄相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A ． 110B ．23 C. 13 D ．1410.已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>，左右焦点分别是12,F F ，焦距为y x =与椭圆交于M 点，满⾜122112MF F MF F ∠=∠，则离⼼率是（）A ．2B 1 C. 12 D ．211.点M 为棱长是1111ABCD A BC D -的内切球O 球⾯上的动点，点N 为11B C 的中点，若满⾜DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为（）A B ． D12.（原创）已知函数())f x x R =∈，若关于x 的⽅程211()()1022f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则m 的取值范围是（）A ．2)B ．1)+ C. 1)+ D ．2) ⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.5(ax 的展开式中3x 项的系数为20，则实数a =．14.（原创）已知a R ∈，则函数2()1sin ()cos()sin()f x x x x ααα=-++++的最⼤值为．15.（原创）⼀般把数字出现的规律满⾜如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1⾏；数字2,3出现在第2⾏；数字6,5,4（从左⾄右）出现在第3⾏；数字7,8,9,10出现在第4⾏，依此类推，则第21⾏从左⾄右的第4个数字应是．16.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满⾜1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中正确的序号为．（1）DMN ?可能为直⾓三⾓形；（2）三棱锥1A DMN -的体积为定值；（3）平⾯DMN ⊥平⾯11BCC B ；（4）平⾯DMN 与平⾯ABC 所成的锐⼆⾯⾓范围为(0,]4π.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ?中，,,a b c 分别是⾓,,A B C 的对边，cos 2cos C a c B b-=，且2a c +=．（1）求⾓B ；（2）求边长b 的最⼩值．18. （原创）某校⾼三（5）班的⼀次数学⼩测试成绩的茎叶图和频率分布直⽅图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班⼈数，并计算频率分布直⽅图中[80,90]间的矩形的⾼；（2）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任选三份来分析学⽣失分情况，其中u 表⽰分数在[80,90]之间被选上的⼈数，v 表⽰分数在[90,100]之间被选上的⼈数，记变量u v ξ=-，求ξ的分布列和期望．19. 如图，正⽅形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平⾯ABF 与棱,PD PC 分别交于,G H ．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底⾯ABCDE ，且PA AE =，求平⾯PCD 与平⾯ABF 所成⾓（锐⾓）的余弦值，并求线段PH 的长．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>左焦点(1,0)F -，过点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于,M N 两点，且||3MN =．（1）求椭圆C 的⽅程；（2）过点(1,0)F -的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，记GFD ?的⾯积为1S ，OED ?的⾯积为2S ，若12S S λ=，求λ的取值范围．21. 已知函数2()2ln ()f x c x x c R =-∈．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若1c =，设函数()()g x f x mx =-的图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且120x x <<，⼜'()y g x =是()y g x =的导函数，若正常数,a b 满⾜1a b +=，b a ≥，证明：'12()0g ax bx +<．请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.22.选修4-4：坐标系与参数⽅程已知曲线1C 的极坐标⽅程：sin )a ρθθ-=，曲线2C 的参数⽅程：sin cos 1sin 2x y θθθ=+??=+?（θ为参数），且1C 与2C 有两个不同的交点．（1）写出曲线1C 和曲线2C 的直⾓坐标⽅程；（2）求实数a 的取值范围．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+．（1）解不等式()|2|2g x x <-+；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成⽴，求实数a 的取值范围．试卷答案⼀、选择题1-5: BAACC 6-10: ADCDB 11、12：DA⼆、填空题13.4 14. 1215. 228 16.（2）（3）（4）三、解答题17.（1）由已知cos 2sin sin cos sin C A C B B-=，即cos sin (2sin sin )cos C B A C B =-， sin()2sin cos B C A B +=，sin 2sin cos A A B =.ABC ?中，sin 0A ≠，故1cos 2B =，3B π=. （2）由（1）3B π=，因此222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，由已知22()343b a c ac ac =+-=-，243()4312a c +≥-=-= 故b 的最⼩值为1.18.（1）由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008100.08?=，全班⼈数为2250.08=，所以分数在[80,90)之间的频数为25271024----=，频率分布直⽅图中[80,90)间的矩形的⾼为4100.01625÷=. （2）3,03u v ξ==?=，34361(3)5C P C ξ===，2,11u v ξ==?=，3142363(1)5C C P C ξ===， 1,21u v ξ==?=-，1242361(1)5C C P C ξ=-==，期望131()(1)131555E ξ=-?+?+?=. 19.（1）在正⽅形中AMDE ，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ，因为AB ?平⾯PDE ，所以//AB 平⾯PDE ，⼜因为AB ?平⾯ABF ，且⾯ABF ⾯PDE FG =，所以//AB FG .（2）因为PA ⊥底⾯ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，故以A 为原点，分别以,,AM AE AP 为,,x y z 的正半轴建⽴空间直⾓坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,1,1)A B C D P F ，设平⾯ABF 的法向量为1111(,,)n x y z = ，则1100n AB n AF ??==?? ，即11100x y z =??+=?，令11z =，11y =-，所以1(0,1,1)n =- ，设平⾯PCD 的法向量为2222(,,)n x y z = ，则2200n PC n PD ??==?? ，即22200y x z =??-=?，所以2(1,0,1)n = ，设平⾯PCD 与平⾯ABF 所成的锐⾓为θ，1212121cos |cos ,|||2||||n n n n n n θ?=<>== . 设点(,,)H u v w ，因为点H 在棱PC 上，再设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-，故2u λ=，v λ=，22w λ=-，⼜因为平⾯ABF 的法向量为1(0,1,1)n =- ，故1203n AH λ?=?= ，所以点H 坐标为422(,,)333，2PH ==.。

2017-2018学年重庆一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．cosxdx=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．22．已知集合M={x|x2﹣3＞0}，N={n|1≤2n≤13且n∈Z}，则N∩M=（）A．{2，3}B．{3}C．[0，）D．[2，+∞）3．已知函数f（x）=e|x﹣1|在区间[a，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣14．已知f（x）=x3+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）内．A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）5．若f（x）=1﹣2x，g[f（x）]=2x+x，则g（﹣1）的值为（）A．1 B．3 C．﹣D．66．△ABC的内角A、B、C所对的边是a、b、c．若b=a•cosC+c•sinA，则内角A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．下列说法中错误的是（）A．“|x|＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．B．若命题p：∀x∈R，2x＜3．则￢p：∃x∈R，2x≥3．C．若p∧q为假命题，则p∨q也为假命题．D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是真命题8．某正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的正视图和俯视图如图所示．若它的体积为2，则它的侧视图面积为（）A．2B．3 C．2 D．49．sin（﹣10°）cos160°﹣sin80°sin=（）A．﹣B．C．﹣D．10．在区间（0，1）内随机抽取两个数x和y，恰好满足y≥2x的概率是（）A．B．C．D．11．在直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以线段AB为直径的圆C与直线x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．π12．已知函数，若对任意三个实数a、b、c，均存在一个以f（a）、f（b）、f（c）为三边之长的三角形，则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜4 B．C．﹣2＜k≤1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知2a=5b=，则+=．14．已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则sin2α=．15．△ABC的内角为A、B、C，其中A=，cosC=，BC=．点D是边AC的中点，则中线BD的长为．16．定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：（1）f（x﹣2）+f（﹣x）=0；（2）f（2﹣x）=f（x）；（3）在（﹣1，1]上的表达式为f（x）=．已知函数g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，3]内共有个解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求实数a的值；（2）求出f（x）的所有极值．某市环保局从一年天的市区监测数据中，随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）用样本数据来估计全年大概有多少天空气质量超标？（2）求样本数据的中位数；（3）从样本数据中任取2天的数据，记ξ为这2天里空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望．19．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A A1中，点B、C在线段AA′上，点B1、C1在线段A1A1′上，且有CC1∥BB1∥AA1，AB=3，BC=4．连结对角线AA1′，分别交BB1和CC1于点P和点Q．现将该正方形沿BB1和CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1，连结AQ．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线A1Q与面APQ所成角的正弦值．20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R），函数g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx．（1）求出f（x）的单调区间；（2）若x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答。

2017届高三数学下第一次月段考试题（重庆市理科含答案)2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题分，共60分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1若复数满足，其中为虚数单位，则A B D2已知，则A BD3下列说法正确的是A 是的必要不充分条B “ ”为真命题是“ 为真命题”的必要不充分条命题,使得的否定是,D命题，则是真命题4已知函数的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数的图象A 关于直线对称B 关于直线对称关于点对称D 关于点对称如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为A 2 B 3 4 D6 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是A B D7《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高，计算其体积V的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为4，那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为A B D8等比数列中，，函数，若的导函数为，则A B D9甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的情况下，甲丙也相邻的概率为A B D10已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆交于点,满足，则离心率是A B D11点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点N为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为A B D12已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实根，则的取值范围是A B D二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分13 的展开式中项的系数为20，则实数14 已知，则函数的最大值为1 一般吧数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行，数字2,3出现在第2行；数字6,,4（从左到右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，以此类推，第21行从左到右的第4个数字应是16 如图，正三棱柱的各棱长均相等，为的中点，分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中正确的序号为①可能是直角三角形；②三棱锥的体积为定值；③平面平面；④平面与平面所成的锐二面角范围为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的字说明或推理、验算过程17（本题满分12分）在中，分别是的对边，且，且（1）求角B;（2）求边长的最小值18（本题满分12分）某校高三（）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的试卷中任选三份分析学生失分情况，其中表示分数在之间被选上的人数，表示分数在之间被选上的人数，记变量，求的分布列和期望19（本题满分12分）如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于两点（1）求证：；（2）若平面，且，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值，并求线段的长20（本题满分12分）已知椭圆的左焦点，过点作与轴垂直的直线与椭圆交于,N两点，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于A,B两点，线段AB的中为G,AB的中垂线与轴和轴分别交于两点，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围21（本题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）若，设函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数，若正常数满足，证明：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分22（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），且与有两个不同的交点（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）求实数的取值范围23（本题满分10分）选修4-：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围。

秘密★启用前2017年重庆一中高三下期5月月考数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）1．复数31ii++等于( )A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．已知2{|4}M x x =≤，2{|1}1N x x =≥-，则M N = ( )A ．{|12}x x <≤B ．{|21}x x -≤≤C ．{|12}x x ≤≤D ．{|2}x x <3．已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知锐角α的终边上一点P （sin 40︒，1cos 40+︒），则α等于（ ） A ．10︒B ．20︒C ． 70︒D ．80︒5．函数1()12x y =+的图象关于直线y x =对称的图象像大致是( )6．设点O 是边长为1的正△ABC 的中心（如图所示），则()()OA OB OA OC +⋅+＝( )A ． 19B ．19-C ．16-D ．16AB CO7．已知函数()f x 在R 上可导，且2()2'(2)f x x x f =+ ，则(1)f -与(1)f 的大小关系为( )A ．(1)(1)f f -=B ．(1)(1)f f ->C ．(1)(1)f f -<D ．不确定8．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为( )A ．46πB ．36πC ．26πD ．6π9.函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称。

重庆南开中学 2017届高三5月月考数 学 试 题（理）满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{|lg ,1},{2,1,1,2}A y y x x B ==>=--，全集U 、R ，则下列结论正确的是（ ） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)U C A B =-∞C ．(0,)A B =+∞D ．(){2,1}U C A B =--3．若点P 分有向线段AB 所成的比为13-，则点B 分有向线段PA 所成的比为（ ）A ．3B ．12C ．12-D ．32-4．已知角α的终边与角β的终边关于直线y x =-对称，则sin α=（ ）A ．sin β-B ．cos β-C ．sin βD ．cos β 5．“||0aa +=”是“0a <”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 的通项为21,n n a n S =-为数列{}n a 的前n 项和，令1n n b S n=+，则数列{}n b 的前n 项和的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1(,1)2C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知函数'()y xf x =的图象如右图所示，（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则函数()y f x =的大致图象是下图中的 （ ）8．某班有9名学生，按三行三列正方形座次表随机安排他们的座位，学生张明和李智是好朋友，则他们相邻而坐（一个位置的前后左右位置叫这个座位的邻座）的概率为 （ ）A ．23B ．12C ．13D ．149．在平面直角坐标系xOy 中，点A （5，0），对于某个正实数k ，存在函数2()(0)f x ax a =>，使得()||||OA OQOP OA OQ λ=⋅+（λ为常数），这里点P 、Q 的坐标分别为(1,(1)),(,())P f Q k f k ，则k 的取值范围为（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,)+∞C ．[)4,+∞D ．[)8,+∞10．如图，已知A （-2，0），B （2，0），等腰梯形ABCD 满足|AB|=-2|CD|，E 为AC 上一点，且AE EC λ=。

重庆一中2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={0，1，m}，B={x|0＜x＜2}，若A∩B={1，m}，则m的取值范围是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，2）3．设有算法如图所示，如果输入A=144，B=39，则输出的结果是( )A．144 B．3 C．0 D．124．下列错误的是( )A．若P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0B．若p∨q为真，则p∧q为真C．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同D．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=+x中，若=2，=1，=3，则=15．在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，则的值为( ) A．B．C．D．6．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣7．若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）8．数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，10），则满足该条件的不同数列的个数为( )A．100 B．120 C．140 D．1609．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，若2x1x2=﹣1，则2m的值是( )A．3 B．4 C．5 D．610．sin410°+sin450°+sin470°=( )A．1 B．C．D．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分）11．已知随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜1）=，P（ξ＞2）=0.4，则P（0＜ξ＜1）=__________．12．设F1，F2为双曲线﹣=1的左右焦点，以F1F2为直径作圆与双曲线左支交于A，B两点，且∠AF1B=120°．则双曲线的离心率为__________．13．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为__________．三、考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积S=AD•AE，则∠BAC=__________15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线（t为参数）与曲线ρ=2asinθ（θ为参数且a＞0）相切，则a=__________．16．若不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集不为∅，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3=．若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=处取得最大值，且最大值为a3．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若f（）=1，α∈（，π），求sin（a+）的值．18．现有3所重点高校A，B，C可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的．现某班有4位同学提出申请，求：（1）恰有2人申请A高校的概率；（2）4人申请的学校个数ξ的分布列和期望．19．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．20．已知函数f（x）=ln（x+1）++ax﹣2（其中a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈[0，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C中心为坐标原点，焦点在y轴上，过点M（，﹣1），离心率为．（1）求椭圆C的方程．（2）若A，B为椭圆C上的动点，且⊥（其中O为坐标原点）．求证：直线AB与定圆相切．并求该圆的方程与△OAB面积的最小值．22．已知数列{a n}的前n项之积T n满足条件：①{}为首项为2的等差数列；②T2﹣T5=．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{b n}满足b n=﹣a n，其前n项和为S n．求证：对任意正整数n，有0＜S n ＜．重庆一中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，即可得到复数在复平面内对应的点所在象限．解答：解：复数z===3﹣i，复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点（3，﹣1）．在第四象限．故选：D．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，基本知识的考查．2．已知集合A={0，1，m}，B={x|0＜x＜2}，若A∩B={1，m}，则m的取值范围是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解．解答：解：∵A={0，1，m}，∴m≠0且m≠1，∵A∩B={1，m}，∴0＜m＜2，综上0＜m＜2且m≠1，故m的取值范围是（0，1）∪（1，2），故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，根据集合元素的互易进行检验是解决本题的关键．3．设有算法如图所示，如果输入A=144，B=39，则输出的结果是( )A．144 B．3 C．0 D．12考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图，是一个利用循环，求最大公约数的程序，模拟程序的运行结果，即可得到．解答：解：（1）A=144，B=39，C=27，继续循环；（2）A=39，B=27，C=12，继续循环；（3）A=27，B=12，C=3，继续循环；（4）A=12，B=3，C=0，退出循环．此时A=3．故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．下列错误的是( )A．若P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0B．若p∨q为真，则p∧q为真C．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同D．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=+x中，若=2，=1，=3，则=1考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据存在性的否定方法，可判断A；根据复合真假判断的真值表，可判断B；计算出数据的平均数、众数、中位数，可判断C；根据回归直线必要样本数据中心点，可判断D．解答：解：若P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0，故A正确；若p∨q为真，则p，q中存在真，但可能一真一假，此时p∧q为假，故B错误；数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数均为3，故C正确；回归直线必要样本数据中心点，当=2，=1，=3，则=1，故D正确；故选：B点评：本题以的真假判断与应用为载体考查了存在性的否定方法，复合真假判断的真值表，平均数、众数、中位数的计算，回归直线的性质等知识点，难度不大，属于基础题．5．在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，则的值为( ) A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，解答：解：∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，∴=（）•（）=||2﹣||2•=×4﹣×4×2×2×（﹣）=﹣．故选：A点评：本题考查了向量运算，数量积的运算，属于计算题．6．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由log220∈（4，5），可得4﹣log220∈（﹣1，0），结合定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），可得：f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），再由x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，可得答案．解答：解：∵log220∈（4，5），∴log220﹣4∈（0，1），∴4﹣log220∈（﹣1，0），又∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（4﹣log220）=+=+=16÷20+=1，故f（log220）=﹣1，故选：C点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：欲使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，则只要方程有3个不同的实数解，，结合函数g（x）=的图象可求．解答：解：要使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，所以只要方程有3个不同的实数解，变形得=，设函数g（x）=，如图所以只要0＜＜4即可，所以k＞；故选C．点评：本题考查了函数的图象的交点与方程根的关系，考查了数形结合解决方程根的个数问题，关键是准确构造函数，准确画出图象，经常考查，属于中档题．8．数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，10），则满足该条件的不同数列的个数为( )A．100 B．120 C．140 D．160考点：数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：根据题意，先确定数列中1的个数，再利用组合知识，即可得到结论．解答：解：∵|a k+1﹣a k|=1，∴a k+1﹣a k=1或a k+1﹣a k=﹣1设有x个1，则有10﹣x个﹣1∴a11﹣a1=（a11﹣a10）+（a10﹣a9）+…+（a2﹣a1）∴4=x+（10﹣x）•（﹣1）∴x=7∴这样的数列个数有=120．故选：B．点评：本题考查数列知识，考查组合知识的运用，确定数列中1的个数是关键．9．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，若2x1x2=﹣1，则2m的值是( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得，y1=2x12，y2=2x22，变形得到x1+x2 =﹣，代入2m=（y1+y2）﹣（x1+x2）进行运算．解答：解：由，以及y1=2x12，y2=2x22可得，=，故选：A．点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，两点关于某直线对称的性质，式子的变形是解题的难点，属于中档题．10．sin410°+sin450°+sin470°=( )A．1 B．C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：原式各项利用诱导公式化简将正弦变形为余弦，利用二倍角的余弦函数公式化简，利用完全平方公式整理后，利用和差化积公式及诱导公式化简，计算即可得到结果．解答：解：sin410°+sin450°+sin470°=cos480°+cos440°+cos420°=cos420+cos440°+cos480°=（）2+（）2+（）2=+（cos40°+cos80°+cos160°）+（cos240°+cos280°+cos2160°）=+（2cos60°cos20°﹣cos20°）+（++）=+0+（3+cos80°﹣cos20°+cos40°）=+（3﹣2sin50°sin30°+sin50°）=+=．故选：B．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及和差化积公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分）11．已知随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜1）=，P（ξ＞2）=0.4，则P（0＜ξ＜1）=0.1．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：确定曲线关于x=1对称，利用P（ξ＞2）=0.4，可求P（0＜ξ＜1）．解答：解：∵随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜1）=，∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＞2）=0.4，∴P（0＜ξ＜1）=0.1．故答案为：0.1．点评：本题考查正态分布曲线的特点，解题的关键是理解正态分布曲线的对称性的特征．12．设F1，F2为双曲线﹣=1的左右焦点，以F1F2为直径作圆与双曲线左支交于A，B两点，且∠AF1B=120°．则双曲线的离心率为+1．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，可得△OF1A 是等边三角形，再利用双曲线的定义，即可求得离心率．解答：解：∵以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，∴△OF1A是等边三角形∴|AF1|=c，|AF2|==c，∴2a=|AF2|﹣|AF1|=（﹣1）c，∴e===+1．故答案为：+1．点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．13．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为y=sin2x．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；简单线性规划．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的图象变换问题，求出结果．解答：解：设x、y的线性约束条件解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2即：a+b=2所以：则：则y=sin（2x+）的图象向右平移后的表达式为：y=sin2x故答案为：y=sin2x点评：本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的图象变换问题，属于基础题型．三、考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积S=AD•AE，则∠BAC=90°考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由题设条件推导出△ABE∽△ADC，从而得到AB•AC=AD•AE，再由S=，且S=，能求出sin∠BAC=1，由此能求出∠BAC．解答：解：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E，∴∠BAE=∠CAD，∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，∴∠AEB=∠ACD，∴△ABE∽△ADC，∴，即AB•AC=AD•AE，∵S=，且S=，∴AB•AC•sin∠BAC=AD•AE，∴sin∠BAC=1，又∵∠BAC是三角形内角，∴∠BAC=90°．故答案为：90°．点评：本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和三角形面积公式的合理运用．15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线（t为参数）与曲线ρ=2asinθ（θ为参数且a＞0）相切，则a=1．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出．解答：解：直线（t为参数），化为=0，曲线ρ=2asinθ（θ为参数且a＞0）即ρ2=2aρsinθ，化为x2+y2﹣2ay=0，配方为x2+（y﹣a）2=a2，可得圆心C（0，a），半径r=a．∵直线与圆相切，∴=a，化为=±2a，a＞0，解得a=1．故答案为：1．点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．16．若不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集不为∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式．分析：令f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|可求得f（x）min，依题意，a2+a+1≥f（x）min，解之即可．解答：解：令f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，由绝对值的几何意义：数轴上的点到1，3的结论之和，可知函数f（x）的最小值为：1，即f（x）min=1．∵不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集不为∅，∴a2+a+1≥f（x）min=1，∴a2+a≥0．解得：a≥0或a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式，考查构造函数思想与方程思想，考查理解题意与推理运算的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3=．若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=处取得最大值，且最大值为a3．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若f（）=1，α∈（，π），求sin（a+）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；等比数列的通项公式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据等比数列，结合三角函数的最值性质求出A 和φ的值，即可求函数f（x）的解析式．（2）若f（）=1，α∈（，π），根据两角和差的正弦公式即可求sin（a+）的值．解答：解：（1）由得，∴由已知有A=3，，∴．∴∴（2），∴．∵∴α+∴∴．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及两角和差的正弦公式的应用，考查学生的计算能力．18．现有3所重点高校A，B，C可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的．现某班有4位同学提出申请，求：（1）恰有2人申请A高校的概率；（2）4人申请的学校个数ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有种，根据等可能事件的概率公式能求出恰有2人申请A高校的概率．（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出4人申请的学校个数ξ的分布列和期望．解答：解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有种，∴根据等可能事件的概率公式得到恰有2人申请A高校的概率P==．（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列是：ξ 1 2 3P∴Eξ==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．19．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=．由，可得单调递增区间．（2）由得．又，则可求得，由AB=AD 可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由，可得．故可得周长最大值．解答：解：（1）===．由，得（k∈Z）．∴单调递增区间为，k∈Z（2）由得．又，则，从而，∴．由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD，∴AD+DC=BD+DC=BC，在△ABC中，由正弦定理，得，即BC=8sin∠BAC．∵D是BC边上一点，∴，∴，知．当时，AD+CD取得最大值8，周长最大值为．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题．20．已知函数f（x）=ln（x+1）++ax﹣2（其中a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈[0，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先由函数的解析式求出定义域，再利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值．（2）分a=1、a＞1、0＜a＜1三种情况，分别检验条件是否成立，从而得出a的范围．解答：解：（1）由函数f（x）=ln（x+1）++ax﹣2（其中a＞0），可得x+1＞0，即x ＞﹣1，故f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a=1时，，令=0，求得x=0，且f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴此时f（x）的最小值为f （0）=0．（2）由（1）知当a=1时，f（x）≥0恒成立，即恒成立；所以当a＞1，x∈[0，2]时，，满足条件，故a≥1符合要求．当0＜a＜1时，，由于方程ax2+（2a+1）x+a﹣1=0的△=8a+1＞0，所以该方程有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2．由知，x1＜0＜x2 ，∴f（x）在（0，x2）上单调递减．若0＜x2＜2，则f（x2）＜f（0）=0，矛盾；若x2≥2，则f（2）＜f（0）=0，也与条件矛盾．综上可知，a的取值范围为[1，+∞）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的极值，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．21．已知椭圆C中心为坐标原点，焦点在y轴上，过点M（，﹣1），离心率为．（1）求椭圆C的方程．（2）若A，B为椭圆C上的动点，且⊥（其中O为坐标原点）．求证：直线AB与定圆相切．并求该圆的方程与△OAB面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出方程，利用椭圆过点M（，﹣1），离心率为，求出a，b，即可求椭圆C的方程．（2）设出A，B的坐标，代入椭圆方程，两式相加，可得AB边上的高，即可证明直线AB 与定圆相切．利用基本不等式求出△OAB面积的最小值．解答：解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆过点M（，﹣1），离心率为，∴，=，∴a=2，b=1，∴椭圆方程：（2）可由⊥，设A（|OA|cosα，|OA|sinα），，即B（﹣|OB|sinα，|OB|cosα）．将A，B代入椭圆方程后可得：两式相加可得：=，∴AB边上的高为=，∴AB与定圆相切同时：，∴，∴，当且仅当|OA|=|OB|时取等，即△OAB面积的最小值为．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定椭圆的方程是关键．22．已知数列{a n}的前n项之积T n满足条件：①{}为首项为2的等差数列；②T2﹣T5=．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{b n}满足b n=﹣a n，其前n项和为S n．求证：对任意正整数n，有0＜S n ＜．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列的通项公式和题意求出数列公差d，再由等差数列的通项公式求出，即可求出T n，由题意可得当n≥2时，，代入化简并验证n=1时是否成立即可；（2）把a n代入b n=﹣a n利用分子有理化进行化简，判断出b n＞0再得S n＞0，再利用对b n放大：，利用裂项相消法可得到S n＜．解答：解：（1）设数列公差为d，因为数列首项为2，所以，由方程可得=，解得d=1，所以，即，因为数列{a n}的前n项之积T n，所以当n≥2时，，当n=1时，符合，所以，证明：（2）由（1）得，，所以数列{b n}前n项和S n＞0，同由上面可知：，，所以，综上可得，0＜S n＜．点评：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，利用放缩法证明数列与不等式的问题，考查灵活变形、化简能力，属于难题．。