湖南省娄底市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科)
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理科数学·第 1 页 共 4 页2015-2016学年第二学期期末质量检测高二数学(理科)本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器.5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数z 满足(1i)1i z -=+,则z =( )A .12B .1 CD .22.下列求导运算正确的是( ) A .()'11xx e e --= B .()'cos3sin 3x x =-C.'=D .()'ln 1ln x x x =+ 3.设()()221122,,,X N u Y N u s s ::,这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( )A .1212,μμσσ<<B .1212,μμσσ<>C .1212,μμσσ><D .1212,μμσσ>>4.“0>x ”是“0342>++x x ”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既非充分也非必要条件理科数学·第 2 页 共 4 页5.已知椭圆的中心在坐标原点,离心率为12,椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合,抛物线的准线与椭圆相交于,A B 两点,则AB =( ) A .3 B .6 C .9 D .126.在四面体OABC 中,点,M N 分别是,OA BC 的中点,记OA a =uu r r ,OB b =uu u r r ,OC c =u u u r r,则MN =uuu r( )A .311222a b c --r r rB .111222a b c --r r rC .111222a b c -++r r rD .111222a b c -+r r r7.先后掷骰子两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为,x y ,设事件A 为“x y +为) A .14 B .13C .12D .238.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时,由k n =的假设到证明1+=k n 时,等式左边应添加的式子是( ) A .222)1(k k ++B .22)1(k k ++C .2)1(+kD .]1)1(2)[1(312+++k k9.以下命题正确的个数为( )(1)命题“x R ∀∈,012>+-x x ” 的否定..为真命题; (2)命题“若b a >,则22b a >”的逆命题...为真命题; (3)命题“若A B =,则sin sin A B =”的否命题...为真命题; (4)命题“若0>>b a ,则ba 11<”的逆否命题....为真命题. A .1 B .2 C .3 D .410.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作一条渐近线的垂线,与C 右支交于点A ,若OF OA =,则C 的离心率为( ) AB .2CD .511.设S =,则S 的值等于理科数学·第 3 页 共 4 页A .120152015-B .120162015-C .120152016-D .120162016-12.若点P 在曲线21y x =+上,点Q在曲线y =PQ 最小值是( )AB.2 C.4 D.8二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分. 13.曲线2y x =与直线y x =围成的图形的面积是________.14.已知()()()21010012103111()x a a x a x a x +++⋯+=++++,则8a = . 15.将4本不同的书送给3名同学,每人至少1本,则不同的送法有________种.(用数字作答) 16.已知直线:l y x a =-经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,l 与C 交于A B 、两点.若6AB =,则p 的值为 .三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,34C π=, (Ⅰ)求证:()()1tan 1tan 2A B ++=;(Ⅱ)若b =,求证:3tan 2tan A B =.18.(本小题满分12分)已知函数()ln (,)f x a x bx a b R =+∈的图象过点))1(,1(f P ,且在点P 处的切线的方程为2y x =-. (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)求函数)(x f 的极值.19.(本小题满分12分)已知四棱锥中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是边长为2的菱形,120,2BAD PA ∠== . (Ⅰ)求证:平面PBD ⊥平面PAC ;(Ⅱ)若G 为PC 的中点,求二面角C BG D --的平面角的余弦值.CB理科数学·第 4 页 共 4 页20.(本小题满分12分)甲乙两支篮球队进行总决赛,比赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一. (Ⅰ)求甲队以4:1战胜乙队获得总决赛冠军的概率;(Ⅱ)据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入50万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.设总决赛中获得的门票总收入为X ,求X 的均值()E X .21.(本小题满分12分)已知圆(22:16M x y +=,动圆P 与圆M内切并且经过定点)N,圆心P的轨迹为曲线E . (Ⅰ)求曲线E 的方程;(Ⅱ)设过点()0,2-的直线l 与曲线E 相交于,A B 两点,当OAB ∆的面积最大时,求l 的方程.22.(本小题满分12分)已知a ∈R ,函数()()e 1xf x a x =-+的图象与x 轴相切.(Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ)若0x >时,2()f x mx >,求实数m 的取值范围.。
图12015-16高二下学期数学(理)期末调研试卷本试卷共4页,20小题,满分150分,测试用时120分钟。
不能使用计算器. 注意事项:1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.2. 做选择题时,必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式h S V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.⒈ i 是虚数单位,=+-i25A .i +2B .i +-2C .i -2D .i --2⒉已知点)0 , 4 , 3(A 和向量)1 , 2 , 1(-=a ,点) , , 0(n m B 在yOz 平面上,使向量//a ,则点B 的坐标为A .)3 , 10 , 0(-B .)3 , 10 , 0(-C .)3 , 2 , 0(-D .)3 , 2 , 0(- ⒊7)21(x -的展开式的第4项的系数为A .280B .560C .280-D .560-⒋某几何体的三视图如图1所示(图中标记的数据 为2或4),则该几何体的体积为 A .π88+ B .π816+ C .π168+ D .π1616+ ⒌“2πϕ=”是“函数)sin(ϕ+=x y 的图象关于y 轴对称”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .非充分非必要条件⒍双曲线12222=-by a x (0>a ,0>b )的顶点为1A 、2A ,焦点为1F 、2F ,若1A 、2A 是线段21F F 的三等分点,则双曲线的离心率=e A .23B .2C .25D .3⒎设R a ∈,若函数ax e y x +=+1(R x ∈)有大于0的极值点,则A .e a -<B .e a ->C .1-<aD .1->a⒏设n n n C B A ∆(*∈N n )三边的长分别为n a 、n b 、n c ,n n n C B A ∆的面积为n S ,若11c b >,1112a c b =+,n n a a =+1,21n n n c a b +=+,21nn n b a c +=+,则 A .{}n S 为递减数列 B .{}12-n S 为递增数列,{}n S 2为递减数列 C .{}n S 为递增数列 D .{}12-n S 为递减数列,{}n S 2为递增数列二、填空题:本大题共7小题,每小题6分,满分30分.㈠必做题(9~13题)⒐一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的 时间为5秒,绿灯的时间为40秒.一辆汽车到达 路口,看见红灯的概率是 . ⒑已知命题p :R x ∈∃0,0120>-x . 则命题p 的否定p ⌝: .⒒执行如图2所示的程序框图,输出S 的值为 . ⒓经过圆C :5)2()1(22=-++y x 上一点)1 , 1(P , 且与圆C 相切的直线的方程是 .⒔若]21, 0(∈∀x ,恒有x a x log 4<,则a 的取值范围是 .㈡选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)⒕(选做题)计算:31+-、531-+-、7531+-+-、……,根据计算结果找规律填空:=--+++-+-)12()1(7531n n . ⒖(选做题)如图3,M 是抛物线x y 42=上一点,F 是抛物线 的焦点,若0120=∠MFO ,则=MF .三、解答题:本大题共6小题,满分80和演算步骤.⒗(本小题满分12分)如图4,海中有一小岛P ,周围4海里内有暗礁.海轮由西向东航行,在A 处望见岛P 在北偏东075.航行10海里到达B 处,望见岛P 在北偏东060.如果海A BCDFG1A 1B 1C 1D⒘(本小题满分13分)已知数列{} n a 的前n 项和2310n n S n -=(*∈∀N n ). ⑴求n a ;⑵求集合{}*∈<N n a n n , 0|(用列举法表示).⒙(本小题满分14分)如图5,1111D C B A ABCD -是长方体,2==BC AB ,E 、F 分别是棱BC 、1BB 上一点,1==BF BE ,经过D 、E 、F 三点的平面与棱1AA 相交于G .⑴求AG ;⑵求二面角D FG A --的余弦值.⒚(本小题满分13分)为考察某种药物防治疾病的效果,对105只动物进行试验,得到如下的列联表:药物效果试验列联表⑴能否以%5.97的把握认为药物有效?为什么?⑵从上述30只患病动物中随机抽取3只作进一步的病理试验,求抽取的3只动物中服药动物数量ξ的分布列及其均值(即数学期望).参考公式与数据:))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=⒛(本小题满分14分)点M 与定点)0 , 2(F 的距离和它到直线8=x 的距离之比是2:1. ⑴求点M 的轨迹方程(写成标准方程形式);⑵设点M 的轨迹与x 轴相交于1A 、2A 两点,P 是直线8=x 上的动点,求21PA A ∠的最大值.21.(本小题满分14分)已知函数x ax x f ln 1)(-+=,其中R a ∈是常数.⑴若曲线2)]([x f y =在点))1( , 1(f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; ⑵求函数)(x f 的极值;⑶试讨论直线e x y +-=(e 为自然对数的底数)与曲线)(x f y =公共点的个数.评分参考一、选择题 DBCB ADAC二、填空题 ⒐52⒑R x ∈∀(2分),012≤-x (3分,其中,等号1分)⒒78 ⒓012=--y x ⒔)1 , 22((端点各2分,格式1分)⒕n n )1(- ⒖4三、解答题⒗(方法一)从小岛P 向海轮的航线AB 作垂线PC ,垂足为C ……1分设PC 长为x 海里,BC 长为y 海里,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=0015tan 1030tan y x y x ……7分消去变量y 得1015tan 30tan 00-=xx ……9分 解得515tan 30tan 30tan 15tan 100000=-=x ……11分 45>,所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分(方法二)从小岛P 向海轮的航线AB 作垂线PC ,垂足为C ……1分 在△PAB 中,∠PAB=900-750=150,∠PBA=900+600=1500,从而 ∠APB=1800-150-1500=150,∠PAB=∠APB ……6分(其中,求∠APB 给2分)PB=AB=10……8分,PC=PB×sin300=5……11分(其中,列式给2分)45>,所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分⒘⑴1=n 时,911-==S a ……1分1>n 时,1--=n n n S S a ……3分11233])1(10)1[(1022323+-=-----=n n n n n n ……5分1=n 时,9112332-=+-n n ……6分所以,*∈∀N n ,112332+-=n n a n ……7分 ⑵(方法一)由⑴得0112332<+-=n n a n ……8分 所以32397233239723⨯+<<⨯-n ……10分 因为*∈∀N n ,所以71≤≤n ……12分 (或“132397230<⨯-<,832397237<⨯+<……12分”)所求集合{}{}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0|=∈<*N n a n n ……13分(方法二)设2310)(x x x f -=,) , 1[∞+∈x ,则x x x f 203)(2/-=……10分由0203)(2/<-=x x x f ,得3200<<x ……11分 由32010<-<n ,*∈∀N n 得7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2=n ……12分,911<-==S a ,019788>=-=S S a ,所以{}{}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0|=∈<*N n an n……13分⒙⑴1111D C B A ABCD -是长方体,面//11B BCC 面11A ADD ……1分DEFG 在同一平面上,所以DG EF //……2分,ADG BEF ∠=∠……3分由已知得BEF ∆和ADG ∆都是等腰直角三角形,所以2==AD AG ……4分 ⑵(方法一)在平面11A ABB 内作FG AH ⊥,垂足为H ,连接DH ……5分⊥AD 面11A ABB ,所以FG AD ⊥……6分A AH AD = ,所以⊥FG 面ADH ……7分所以DH FG ⊥,AHD ∠是二面角D FG A --的平面角……8分 在AFG ∆中,5==FG AF ,2=AG ……9分 由余弦定理得53cos =∠AFG ……11分 54sin =∠AFG ,554sin =∠⨯=AFG AF AH ……12分 所以55622=+=AD AH DH ……13分,32cos ==∠DH AH AHD ……14分 (方法二)以B 为原点,BC 、BA 、1BB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……5分,则平面AFG 的一个法向量为)0 , 0 , 1( 1=n ……6分)0 , 2 , 2(D ,)0 , 0 , 1(E ,)1 , 0 , 0(F ……7分设平面D F G 即平面D E F 的一个法向量为) , , (2c b a n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n DE n ……9分,即⎩⎨⎧=+-=+02c a b a ……11分,b c a 2-==,不妨取)2 , 1 , 2(2-=n ……12分二面角D FG A --的余弦值32cos 2121=⋅=θ……14分 ⒚⑴024.51.675305055)45203010(105))()()(()(22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n k (3)分(其中,不论是否写公式,正确代入1分,近似计算1分,比较1分) 所以,能以%5.97的把握认为药物有效……4分 ⑵ξ服从超几何分布……5分其中30=N ,10=M ,3=n ,0=ξ,1,2,3……6分20357)0(330320010=⋅==C C C P ξ,20395)1(330220110=⋅==C C C P ξ, 20345)2(330120210=⋅==C C C P ξ,2036)3(33020310=⋅==C C C P ξ……10分 分布列为……11分ξ的均值(即数学期望)120363203452203951203570=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……13分⒛⑴设) , (y x M 是轨迹上任意一点……1分依题意,21|8|)2(22=-+-x y x ,即|8|)2(222-=+-x y x ……3分两边平方得,222)8()2(4-=+-x y x ……4分化简得点M 的轨迹方程为1121622=+y x ……6分(未化成标准方程扣1分) ⑵由⑴得)0 , 4(1-A 、)0 , 4(2A ……7分设直线8=x 交x 轴于Q ,根据椭圆的对称性,不妨设) , 8(m P (0>m ),则(方法一)m PQ A 12tan 1=∠,mPQ A 4tan 2=∠……9分 PQA PQ A PQA PQ A PQ A PQ A PA A 21212121tan tan 1tan tan )tan(tan ∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠……10分4882+=m m……11分0>m ,所以m m 38482≥+……12分,所以334882≤+m m ……13分 x tan 在区间)2 , 0(π单调递增,所以21PA A ∠的最大值为6π……14分(方法二)cos 212121PA A =∠……8分2222241248+⋅++=m m m ……10分,222264)48(48mm m +++=0>m ,所以m m 38482≥+……11分,222)48(3164+≤m m ……12分 所以233111cos 21=+≥∠PA A ……13分 x cos 在区间)2 , 0(π单调递减,所以21PA A ∠的最大值为6π……14分21.⑴)1)(ln 1(2)()(2//xa x ax x f x f y --+=⋅=……1分依题意,0)1)(1(2|1/=-+==a a y x ……2分,解得1±=a ……3分⑵xa x f 1)(/-=,0>x0≤a 时,0)(/<x f ,)(x f 单调递减,无极值……4分 0>a 时,由0)(/=x f 得ax 1=……5分 当a x 10<<时0)(/<x f ,当a x 1>时0)(/>x f ……6分,所以)(x f 在ax 1=处取得极小值,极小值为a af ln 2)1(+=……7分⑶记x e x a e x x f x g ln )1()1()()()(--++=+--=,则直线e x y +-=与曲线)(x f y =公共点的个数即函数)(x g 零点的个数.xa x g 1)1()(/-+= 1-≤a 时,0)(/<x g ,)(x g 单调递减,且值域为R ,有一个零点……8分 1->a 时,由0)(/=x g 得11+=a x ……9分 当110+<<a x 时0)(/<x g ,当11+>a x 时0)(/>x g ……10分,所以)(x f 在11+=a x 处取得极小值,极小值为)1ln()2()11(++-=+a e a g ……11分 当0)1ln()2()11(>++-=+a e a g ,即12->-e e a 时,)(x g 无零点……12分 当0)1ln()2()11(=++-=+a e a g ,即12-=-e e a 时,)(x g 有一个零点……13分当0)1ln()2()11(<++-=+a e a g ,即112-<<--e e a 时,)(x g 有两个零点. 综上所述,1-≤a 或12-=-e e a 时,直线e x y +-=与曲线)(x f y =有一个公共点;112-<<--e e a 时,有两个公共点;12->-e e a 时,无公共点……14分.。
2015—2016学年度高二下学期期末考试数学(理)试题本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分考试时间:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若(z a ai =+为纯虚数,其中7,1+∈+a i a R ai则=( )A .iB .1C .i -D .-12.与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭不表示同一点的极坐标是( ) A .72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C .112,6π⎛⎫--⎪⎝⎭ D .132,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ 3.如图,ABC ∆是圆的内接三角形,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F . 在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分CBF ∠;②2;FB FD FA =③;AE CE BE DE =④AF BD AB BF = .则所有正确结论的序号是( ) A .○1○2B .○3○4C .○1○2○3D .○1○2○44.已知命题:p “存在[)01,,x ∈+∞使得()02log 31x≥”,则下列说法正确的是( )A .p 是假命题;:p ⌝“任意[)1,x ∈+∞,都有()2log 31x<”B .p 是真命题;:p ⌝“不存在[)01,,x ∈+∞使得()02log 31x<”C .p 是真命题;:p ⌝“任意[)1,,x ∈+∞都有()2log 31x<” D .p 是假命题;:p ⌝“任意(),1,x ∈-∞都有()2log 31x<”5.设()f x 是定义在正整数集上的函数,且()f x 满足:“当()2f k k ≥成立时,总可推出()()211f k k +≥+成立”. 那么,下列命题总成立的是( ).A .若()39f ≥成立,则当1k ≥时,均有()2f k k ≥成立 B .若()525f ≥成立,则当5k ≤时,均有()2f k k ≥成立. C .若()749f <成立,则当8k ≥时,均有()2f k k <成立. D .若()425f =成立,则当4k ≥时,均有()2f k k ≥成立.6.已知下列四个命题:1:p 若直线l 和平面α内的无数条直线垂直,则l α⊥; 2:p 若()22,xxf x -=-则()(),x R f x f x ∀∈-=-;3:p 若()1,1f x x x =++则()()000,,1x f x ∃∈+∞=; 4:p 在ABC ∆中,若A B >,则sin sin A B >.其中真命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .47.在平面直角坐标系xOy 中,满足221,0,0x y x y +≤≥≥的点(),P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π;类似地,在空间直角坐标系O xyz -中,满足2221,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥的点(),,P x y z 的集合对应的空间几何体的体积为( ) A .8πB .6π C .4π D .3π 8.在正方体1111ABCD A BC D -中,P 为正方形1111A B C D 四边上的动点,O 为底面正方形ABCD 的中心,,M N 分别为,AB BC 的中点,点Q 为平面ABCD 内一点,线段1D Q 与OP 互相平分,则满足MQ MN λ=的实数λ的值有( ) A .0个 B .1个C .2个D .3个9.一物体在力()2325F x x x =-+(力单位:N ,位移单位:m )的作用下,沿与力()F x 相同的方向由5x m =直线运动到10x m =处做的功是( ) A .925J B .850JC .825JD .800J10.在同一直角坐标系中,函数22a y ax x =-+与()2322y a x ax x a a R =-++∈的图象不可能...的是( )A .B .C .D .11.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……,则第60个数对是( ) A .(5,7)B .(7,5)C .(2,10)D .(10,1)12.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象为一条连续不断的曲线,()()()11,1f x f x f a +=-=,且当01x <<时,()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '<,则()f x 在[]2015,2016上的最大值为( )A .aB .0C .a -D .2016二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答案卡中的横线上)13.如图,点D 在O 的弦AB 上移动,4,AB =连接OD ,过点D作OD 的垂线交O 与点C ,则CD 的最大值为____________. 14.若不等式2112222x x a a -++≥++对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围为____________.15.在正四棱锥P ABCD -中,,M N 分别为,PA PB 的中点,且侧面与底面所成二面角DM 与AN 所成角的余弦值为__________. 16.设函数()()21l n 12a fx x a x x a -=+->. 若对任意的()3,4a ∈和任意的[]12,1,2x x ∈,恒有()()2121ln 22a m f x f x -+>-成立,则实数m 的取值范围是_______.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图,AB 是圆O 的直径,AC 是圆O 的切线,BC 交圆O 于点E . (1)若D 为AC 的中点,求证:DE 是圆O 的切线; (2)若,OA =求ACB ∠的大小.18.已知函数()3f x x x a =---. (1)当2a =时,解不等式()1;2f x ≤-(2)若存在实数a ,使得不等式()f x a ≥成立,求实数a 的取值范围.19.已知直线l的参数方程为1,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)求圆C 的直角坐标方程; (2)若(),P x y 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭的公共点,y +的取值范围.20.如图,几何体E ABCD -是四棱锥,ABD ∆为正三角形,120BCD ∠=︒,1,CB CD CE ===AB AD AE ===且EC BD ⊥.(1)求证:平面BED ⊥平面AEC ;(2)若M 是棱AE 的中点,求证:DM 平面EBC ; (3)求二面角D BM C --的平面角的余弦值.21.设命题:p 关于x 的方程2220a x ax +-=在[]1,1-上有解,命题:q 关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实根. 若p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,求实数a的取值范围.22.已知函数()1ln f x a x x=--,其中a 为常数. (1)若()0f x =恰有一个解,求a 的值. (2)○1若函数()()()21ln x p g x a f x p x x p-=----+,其中p 为常数,试判断函数()g x 的单调性;○2若()f x 恰有两个零点12,,x x 且12x x <, 求证:1123 1.a x x e-+<-(e 为自然对数的底数)2015—2016学年度高二下学期期末考试高二数学(理)参考答案一、选择题(共60分,每小题5分)二、填空题(共20分)13.2 14.1[,0]2-15.1616.115m≥三、解答题(共70分)17.(10分)(1)证明:连接,AE OE.由已知,得,AE BC AC AB⊥⊥.在Rt AEC∆中,由已知得DE DC=,DEC DCE∴∠=∠.,90OBE OEB ACB ABC∠=∠∠+∠=,90DEC OEB∴∠+∠= ,90,OED DE∴∠=∴是圆O的切线.(2)解:设1,CE AE x==,由已知得AB BE==由射影定理可得:2AE CE BE= .2x∴=解得60x ACB=∴∠= .18.(12分)解:(1)当2a=时,1,2,()|3||2|52,23,1,3,xf x x x x xx≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩1()2f x∴≤-等价于2,112x≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或23,1522xx<<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩或3,11,2x≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩解得1134x≤<或3x≥,∴原不等式的解集为114x x⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭(2)由绝对值三角不等式可知()|3||||(3)()||3|f x x x a x x a a =---≤---=-. 若存在实数a ,使得不等式()f a a ≥成立,则|3|a a -≥,解得32a ≤, ∴实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19.(12分)解(1)因为圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以214sin 4cos 62πρρθρθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,所以222x y x +=-, 所以圆C的直角坐标方程为2220x y x ++-=. (2)设z y +.因为圆C的方程2220x y x ++-=可化为22(1)(4x y ++=, 所以圆C的圆心是(1-,半径是2.将112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入z y =+,得z t =-. 又直线l过(1C -,圆C 的半径是2,所以22t -≤≤,y +的取值范围是[2,2]-.20.(12分)(1)证明:连接AC ,交BD 于点O . ABD ∆ 为正三角形,120,1BCD CB CD CE ∠==== ,.AC BD ∴⊥又,EC BD EC AC C ⊥= ,BD ∴⊥平面ACE ,又BD ⊂平面BED ,∴平面BED ⊥平面AEC .(2)解:取AB 中点N ,连接,MN ND .M 是AE 的中点,MN ∴∥EB .MN 不在平面EBC 内,MN ∴∥平面EBC .,,DN AB BC AB DN ⊥⊥∴ ∥BC . DN 不在平面EBC 内,DN ∴∥平面EBC .又MN DN N = ,∴平面DMN ∥平面,EBC DM ∴∥平面EBC . (3)解:由(1)知AC BD ⊥,且13,22CO AO ==,连接,EO CM . 1,2CO CE EO AC CE AC ==∴⊥. 由(1)知BD ⊥平面,AEC EO BD ∴⊥. 如图建立空间直角坐标系,则3,0,0,2A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,10,,,0,02D C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3,4E M ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭. 315,,,,,0,4242244DM DB CB CM ⎛⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 设平面DBM 的一个法向量11(,,1)x y =m ,则由0,0,DB DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ m m得3⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭m . 同理,平面CBM的法向量1,155⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n .故二面角D BM C --的平面角的余弦值cos ||||θ==m n m n . 21.(12分)解:若P 正确,则由题意,0a ≠,则222(2)(1)0a x ax ax ax +-=+-=的解为1x a =或2x a=-. 原方程在[1,1]-上有解,只需111a -≤≤或211a-≤-≤. 解得:(][),11,a ∈-∞-+∞ 或(][),22,a ∈-∞-+∞ 综上P 真时,(][),11,a ∈-∞-+∞若q 正确,当0a =时,210x +=有一个负实根. 当0a ≠时,原方程有实根的充要条件为:440,1a a ∆=-≥∴≤.设两根为12,x x ,则121221,x x x x a a+=-= 当只有一个负实根时,1010a a a ≤⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩当有两个负实根时,1200110a a a a⎧⎪≤⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪⎪>⎪⎩.综上,q 真时,1a ≤.由p q ∨为真,p q ∧为假知,,p q 一真一假. 当p 真q 假时,111a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或 1a ∴>.当p 假q 真时,111a a -<<⎧⎨≤⎩11a ∴-<<.a ∴的取值范围为1a >或11a -<<.22.(12分)(1)解:由题意,得函数()f x 的定义域为21(0,),()xf x x-'+∞=,令()0f x '=,得1x =.当01x <<时,()0,()f x f x '>在(0,1)上单调递增; 当1x >时,()0,()f x f x '<在(1,)+∞上单调递减, 故max ()(1)1f x f a ==-.因为()0f x =恰有一个解,所以max ()10f x a =-=,即1a =.(2)①解:由12()()()ln x p g x a f x p x x p-=----+得, 2()()ln ln x p g x x p x p-=--+. 函数()g x 的定义域为(0,)+∞,且0p >. 因为22212()2()()()0()()x p x p x p g x x x p x x p +---'=-=≥++, 所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增.②证明:因为()0()1ln 0f x h x ax x x =⇔=--=, 故12,x x 也是()h x 的两个零点.由()1ln 0h x a x '=--=,得1a x e -=,不妨令1a p e -=. x p =是()h x 的唯一最大值点,故有12()0,.h p x p x >⎧⎨<<⎩ 由①得,2()()ln ln x p g x x p x p-=--+单调递增. 故当x p >时,()()0g x g p >=,当0x p <<时,()0g x <.由11111112()1ln ln x x p ax x x x p x p--=<++, 整理得211(2ln )(2ln 1)0p a x p ap p p x p +--+--+>,即21111(31)0a a x e x e ----+>;同理得:21122(31)0a a x e x e ----+<.故2112112211(31)(31)a a a a x e x e x e x e ------+<--+, 1122121()()(31)()a x x x x e x x -+-<--,于是1123 1.a x x e -+<- 综上,11231a x x e -+<-.。
2015-2016学年湖南省娄底市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(60分每题5分)1.(5分)若P={x|x<1},Q={x|x>1},则()A.P⊆Q B.Q⊆P C.∁R P⊆Q D.Q⊆∁R P2.(5分)△ABC中,已知AB=3,BC=5,B=,这个三角形的面积等于()A.B.15 C.D.3.(5分)在等差数列{a n}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前13项的和是()A.13 B.26 C.52 D.564.(5分)甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站中间的概率为()A.B.C.D.5.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和EF所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(5分)如图框图,当x1=6,x2=9,p=8.5时,x3等于()A.7 B.8 C.10 D.117.(5分)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,且一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为()A. B. C.4 D.88.(5分)已知x∈[﹣1,1],y∈[0,2],则点P(x,y)落在区域内的概率为()A.B.C.D.9.(5分)设函数f(x)=sin(x+θ)﹣cos(x+θ)(|θ|<),且其图象关于y轴对称,则函数y=f (x)的一个单调递减区间是()A.B.C.D.10.(5分)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(2,﹣1),B(﹣1,3),若点C满足=α+β,其中0≤α,β≤1,且α+β=1,则点C的轨迹方程为()A.2x+3y﹣4=0 B.(x﹣)2+(y﹣1)2=25C.4x+3y﹣5=0(﹣1≤x≤2)D.3x﹣y+8=0(﹣1≤x≤2)11.(5分)设点P是函数y=﹣图象上的任意一点,点Q(2a,a﹣3)(a∈R),则|PQ|的最小值为()A.﹣2 B.C.﹣2 D.﹣212.(5分)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2)时,f(x)=若x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≤﹣有解,则实数t的取值范围是()A.[﹣2,0)∪(0,1)B.[﹣2,0)∪[1,+∞)C.[﹣2,1]D.(﹣∞,﹣2]∪(0,1]二、填空题(20分每题5分)13.(5分)已知tan(α﹣)=,tan(β﹣)=﹣,则tan=.14.(5分)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为.15.(5分)设函数f(x)=,则满足f(x)≤2的x的取值范围是.16.(5分)数列{a n}的通项a n=n2(cos2﹣sin2),其前n项和为S n,则S30为.三、解答题(题型注释)17.(12分)设数列{a n}和{b n}满足:a1=,3a n+1=2a n(n∈N*),b1+(n∈N*)(1)求数列{a n}{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}前n项的和S n.18.(10分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分.19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AB,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:平面PDE⊥平面PEC.20.(12分)已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线l1过定点A(1,0)(1)若直线l1与圆相切,切点为B,求线段AB的长度;(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM•AN是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.21.(12分)已知,(Ⅰ)求tanx的值;(Ⅱ)求的值.22.(12分)设函数f(x)=ka x﹣a﹣x(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定义域为R上的奇函数.(1)求k的值,并证明当a>1时,函数f(x)是R上的增函数;(2)已知,函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣4f(x),x∈[1,2],求g(x)的值域;(3)若a=4,试问是否存在正整数λ,使得f(2x)≥λ•f(x)对恒成立?若存在,请求出所有的正整数λ;若不存在,请说明理由.2015-2016学年湖南省娄底市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案一、选择题(60分每题5分)1.解:∵P={x|x<1},∴C R P={x|x≥1},∵Q={x|x>1},∴Q⊆C R P,故选:D.2.解:∵AB=3,BC=5,B=,∴这个三角形的面积S===,故选:A.3.解:由等差数列的性质可得:a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,代入已知可得3×2a4+2×3a10=24,即a4+a10=4,故数列的前13项之和S13====26故选:B.4.解:所有的坐法共有A种,乙正好坐中间的坐法有A种,由此可得乙正好坐中间的概率为:故选:B.5.解:连接BC1,A1C1,A1B,如图所示:根据正方体的结构特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B,∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选:C.6.解:∵∴解得x3=8故选:B.7.解:一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,且一个内角为60°的菱形,所以菱形的边长为:1,由三视图可得,几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成,底面边长为1,侧棱长为:,所以几何体的表面积为:=4.故选:C.8.解:不等式组表示的区域如图所示,阴影部分的面积为,则所求概率为.故选:B.9.解:由题意得,f(x)=2[sin()﹣cos()]=2sin(﹣),∵图象关于y轴对称,∴θ﹣=kπ+,k∈Z,又∵|θ|<,∴当k=﹣1时,θ=满足题意,∴f(x)=2sin(﹣﹣)=2sin(﹣)=﹣2cos,由2kπ﹣π≤≤2kπ可得4kπ﹣2π≤x≤4kπ,∴函数f(x)的单调递增区间为[4kπ﹣2π,4kπ],k∈Z,当k=0时,函数f(x)的一个单调递增区间为[﹣2π,0],当k=1时,函数f(x)的一个单调递增区间为[2π,4π],所以A、B、D不正确;C正确,故选:C.10.解:设C(x,y),可得=(x,y)∵点A(2,﹣1)、B(﹣1,3),∴由=α+β,得,解得,又∵α+β=1,∴两式联解,消去α、β得4x+3y﹣5=0.∵0≤α≤1且0≤β≤1,∴0≤≤1,0≤≤1,解得1≤x≤2.由此可得点C的轨迹方程为4x+3y﹣5=0(﹣1≤x≤2).故选:C.11.解:由函数y=﹣得(x﹣1)2+y2=4,(y≤0),对应的曲线为圆心在C(1,0),半径为2的圆的下部分,∵点Q(2a,a﹣3),∴x=2a,y=a﹣3,消去a得x﹣2y﹣6=0,即Q(2a,a﹣3)在直线x﹣2y﹣6=0上,过圆心C作直线的垂线,垂足为A,则|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=﹣2,故选:A.12.解:当x∈[0,1)时,f(x)=x2﹣x∈[﹣,0]当x∈[1,2)时,f(x)=﹣(0.5)|x﹣1.5|∈[﹣1,]∴当x∈[0,2)时,f(x)的最小值为﹣1又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),∴f(x)=f(x+2),当x∈[﹣2,0)时,f(x)的最小值为﹣,当x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)的最小值为﹣,若x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≤﹣有解,∴即﹣≥f min(x)=﹣,即4t(t+2)(t﹣1)≥0且t≠0解得:t∈[﹣2,0)∪[1,+∞),故选:B.二、填空题(20分每题5分)13.解:tan(α﹣)=,tan(β﹣)=﹣,则tan=tan[(α﹣)+(β﹣)]===.故答案为:,14.解:∵P是BN上的一点,设,由,则=====∴m=1﹣λ,解得λ=,m=故答案为:15.解:由分段函数可知,若x≤1,由f(x)≤2得,21﹣x≤2,即1﹣x≤1,∴x≥0,此时0≤x≤1,若x>1,由f(x)≤2得1﹣log2x≤2,即log2x≥﹣1,即x,此时x>1,综上:x≥0,故答案为:[0,+∞).16.解:∵a n=n2(cos2﹣sin2)=n2cos∴+32cos2π+…+302cos20π=+…=[1+22﹣2×32)+(42+52﹣62×2)+…+(282+292﹣302×2)]=[(12﹣32)+(42﹣62)+…+(282﹣302)+(22﹣32)+(52﹣62)+…+(292﹣302)]=[﹣2(4+10+16…+58)﹣(5+11+17+…+59)]=[﹣2×]=470故答案为:470三、解答题(题型注释)17.解:(1)∵,∴,∴{a n}为首项为,公比为的等比数列,∴又∵①令令n≥2,②①﹣②得,=,∴(n≥2),当n=1时,满足此式.∴(n∈N*);(2)令b1+b2+b3+…+b n=S n,∴,相减得:,=,==,=,∴18.解:(1)依题意,根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005.∴图中a的值0.005.(2)这100名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分),19.证明:(1)取PD的中点G,连接AG,FG.∵F,G分别是PC,PD的中点,∴GF∥DC,GF=DC,又E是AB的中点,∴AE∥DC,且AE=DC,∴GF∥AE,且GF=AE,∴四边形AEFG是平行四边形,故EF∥AG.又EF⊄平面PAD,AG⊂平面PAD,∴EF∥平面PAD.(2)∵PD⊥底面ABCD,EC⊂底面ABCD,∴CE⊥PD.∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,∴DE=AD,CE=AD,CD=2AD,∴DE2+CE2=CD2,即CE⊥DE,又PD⊂平面PDE,DE⊂平面PDE,PD∩DE=D,∴CE⊥平面PDE.∵CE⊂平面PEC,∴平面PDE⊥平面PEC.20.解:(1)圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,圆心为(3,4),半径为2,直线l1过定点A(1,0);直线l1与圆C相切,切点为B,连接AB,BC与AC,则BC⊥AB,且BC=2,所以AC==2,AB===4,即线段AB的长度为4;(2)易知,若斜率不存在,则l1与圆相切,若斜率为0,则l1与圆相离,故直线的斜率存在,可设l1的方程:y=k(x﹣1),由,解得,再由CM⊥l1,解得,又直线CM⊥l1,所以,解得,所以为定值.…(12分)21.解:(1)由,,∴.(2)原式==,由(1)知cosx﹣sinx≠0,所以上式==cotx+1==.22.解:(1)∵f(x)=ka x﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数,∴f(0)=0,得k=1.此时,f(x)=a x﹣a﹣x,f(﹣x)=a﹣x﹣a x=﹣f(x),即f(x)是R上的奇函数.设x2>x1,则f(x2)﹣f(x1)=﹣﹣()=()(1+),∵a>1,x2>x1,∴>,∴f(x2)﹣f(x1)>0,∴f(x)在R上为增函数.(2)∵f(1)=,∴a﹣=,即2a2﹣3a﹣2=0,解得a=2或a=﹣(舍去),∴g(x)=22x+2﹣2x﹣4(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣4(2x﹣2﹣x)+2,令t=2x﹣2﹣x(1≤x≤2),由(1)知t=2x﹣2﹣x[1,2]上为增函数,∴t∈[],∴g(x)=Φ(t)=t2﹣4t+2=(t﹣2)2﹣2,当t=时,g(x)有最大值,当t=2时,g(x)有最小值﹣2,∴g(x)的值域[﹣2,].(3)f(2x)=42x﹣4﹣2x=(4x+4﹣x)•(4x﹣4﹣x),f(x)=4x﹣4﹣x,假设存在满足条件的正整数λ,则(4x+4﹣x)•(4x﹣4﹣x)≥λ•(4x﹣4﹣x),①当x=0时,λ∈R;②当x时,4x﹣4﹣x>0,则λ≤4x+4﹣x,令μ=4x,则μ∈(1,2],易证z=在(1,2]上是增函数,则λ≤z(1)=2;③当x时,4x﹣4﹣x<0,则,令μ=4x,则,易证z=在[,1)上是减函数,所以λ≥z()=,综上所述,知不存在正整数λ满足题意.。
2015-2016学年度第二学期期末考试(数学)1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(60分每题5分)1.若P={x|x<1},Q={x|x>1},则( )A. P Q ⊆ B .Q P ⊆ C .R C P Q ⊆ D .R Q C P ⊆ 2.ABC ∆中,已知3,5,3π===B BC AB ,这个三角形的面积等于( )A .4315 B .15 C .415 D .293.在等差数列{}n a 中,()()35710133224,a a a a a ++++=则该数列前13项的和是( ) A .13 B .26 C .52 D .1564.甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为( )A .21B .31C .41D .615.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点,则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A .30︒B .45︒C .60︒D .90︒ 6.如右框图,当126985x ,x ,p .=== 时,3x 等于( )A .7B .8C .10D .11760︒的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( )A.8 D. 48.已知实数[][]1,1,0,2x y ∈-∈,则点(),P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩,内的概率为( )A .34B .14C .18D .389.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且其图像关于y 轴对称,则函数()y f x =的一个单调递减区间是( )A .0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D .3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭10.平面直角坐标系中O 是坐标原点,已知两点A (2,-1),B(-1,3),若点C 满足OB OA OC β+∂=其中,10,10≤≤≤∂≤β且1=+∂β,则点C 的轨迹方程为A.0432=-+y xB.25)1()21(22=-+-y x C.)21(0534≤≤-=-+x y x D.)21(082≤≤-=+-x y x11.设点P 是函数2)1(4---=x y 图象上的任意一点,点)3,2(-a a Q (R ∈a ),则||PQ的最小值为A2 B2 D2-12.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=,当[)0,2x ∈时,()[)()[)21.5,0,10.5,x 1,2x x x x f x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩,若[)4,2x ∈--时,()142t f x t ≥-恒成立,则实数t 的取值范围是( ) A.[)()2,00,1- B.[)[)2,01,-+∞ C.[]2,1- D.(](],20,1-∞-第II 卷(非选择题)二、填空题(20分每题5分)13.已知,则 .14.如图,在ABC ∆中,31=,点P 是BN 上一点,若数m 的值为.15.设函数()f x =⎩⎨⎧≤,>,,,1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 .16.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S 为_______.三、解答题(题型注释)17.(12分)设数列{}n a 和{}n b 满足:112,32(*)3n n a a a n N +==∈,32112 (233)n n b b b b a n +++++=- (*)n N ∈ (1)求数列{}n a {}n b 的通项公式;(2)求数列{n b }前n 项的和n S 。
娄底市2014-2015年下期高一期末质量检测卷数 学本试卷分选择题和非选择题两部分,满分120分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名,考籍号填写在答题卡规定的位置上;2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦拭干净后,再选涂其他答案标号;3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上;4.所有题目必须在答题卡上做答,在试题卷上答题无效;5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分, 把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.已知α是第二象限角,5sin 13α=,则cos α=( ) A.513-B.1213-C.513D.1213 2.下列各组的两个向量共线的是( )A .)6,4(),3,2(=-=b aB .)14,7(),2,1(=-=b aC .)2,3(),3,2(==b aD .)4,6(),2,3(-=-=b a 3.下列说法正确的是( )A .某厂一批产品的次品率为110,则任意抽取其中10B .气象部门预报明天下雨的概率是90﹪,说明明天该地区10﹪的地方不会下雨C .某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈,第10个人就一定能治愈D .掷一枚硬币,连续出现5次正面向上,第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.54. 当7,3m n ==时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) A .7 B .42 C .210 D .845. 在△ABC 中,若CBA sin sin cos =,则△ABC 的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D . 钝角三角形 6.在△ABC 中,tan A +tan B +3=3tan A tan B ,则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π47.如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ,测得∠BDC =45°,则塔AB 的高是( )(单位:m ) A .10 B .10 C .10D .108. 用秦九韶算法计算多 项式当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( ) A. 6 , 6 B. 5 , 6 C. 5 , 5 D. 6 , 5 9. 已知平面向量,,满足||=,||=1,•=﹣1,且﹣与﹣的夹角为45°,则||的最大值等于( ) A . B .2C .D .110.设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B =14AB ,且对于边AB 上任一点P ,恒有PB →·PC→≥P 0B →·P 0C →,则( ) A .∠ABC =90° B .∠BAC =90°C.AB =AC D .AC =BC二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分,把答案填写在答题卡相应的位置上.11. 将函数sin y x =的图象向右平移三个单位长度得到图象1C ,再将图象1C 上的所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到图象2C ,则2C 的函数解析式为 。
娄底市下学期高二期末考试数学(理科)时量:120分钟 满分:150分一、选择题。
(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设i 是虚数单位,则复数12ii+=A .2-iB .-2-iC .-2+iD .2+i2.已知集合}3,2,1{},,1{==B a A ,则“3=a ”是“B A ⊆”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.当5n =时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为A.2B.4C.7D.11 4.若变量x ,y 满足约束条件,则z =2x +y 的最大值为A .— 4B .4C .2D .5 5.下列函数是奇函数,并且在定义域上是增函数的是A.xy 1-= B.C.sin y x =D.1,01,0x x y x x +>⎧=⎨-<⎩6.二项式41⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项是A .1B .2C .6D .12 7.要得到函数πcos(2)3y x =-的图象,只需将函数cos 2y x =的图象 A .向右平移3π个单位长度 B .向左平移3π个单位长度⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+10103y y x y x ln ||y x =(第3C .向右平移6π个单位长度68.某班有60名学生,一次考试后数学成绩ξ~N (110,102),若P (100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为A .10B .9C .8D .7 9.设四边形ABCD 为平行四边形,6AB =,4AD =,则AC DB ⋅=A .10B .15C .20D .25 10.利用一球体毛坯切削后得到一个几何体,该几何体的三视图如图 所示,若主视图和左视图都是直角边长为1的等腰直角三角形, 则毛坯球体的体积最小应为A B .43π C .D .二、填空题。
2015-2016学年湖南省五市十校教研共同体高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数(i是虚数单位)的虚部是()A.B.i C.﹣D.﹣i2.若集合A={x|x2﹣2x<0},函数f(x)=的定义域为集合B,则A∩B等于()A.(0,1)B.[0,1)C.(1,2)D.[1,2)3.设数列{a n}是单调递减的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为28,则a1=() A.1 B.4 C.7 D.1或74.将函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位,所得图象其中一条对称轴方程为()A.x=0 B.x=C.x=D.x=5.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆),则该几何体的体积为()A.80+10πB.80+20πC.92+14πD.120+10π6.已知函数f(x)=x2sinx+2xcosx,x∈(﹣2π,2π),则其导函数f′(x)的图象大致是()A.B.C.D.7.给出下列三个命题:①“若x2+2x﹣3≠0,则x≠﹣3”为假命题;②若p∨q为真命题,则p,q均为真命题;③命题p:∀x∈R,3x>0,则¬p:∃x0∈R,3≤0.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.38.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x﹣4),且在[0,2)上单调递增,则下列结论中正确的是()A.0<f(﹣1)<f(5)B.f(﹣1)<f(5)<0 C.f(5)<f(﹣1)<0 D.f(﹣1)<0<f(5)9.阅读如图所示的程序框图,若输入n=2017,则输出的S值是()A.B.C.D.10.点P是双曲线﹣=1(a>0,b>0)在第一象限的某点,F1、F2为双曲线的焦点.若P在以F1F2为直径的圆上且满足|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为()A.B.C. D.11.如图,设区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1,向区域内随机投一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落到由曲线y=与y=x2所围成阴影区域内的概率是()A.B.C.D.12.在平面直角坐标系中,A(﹣2,0),B(2,0),M(8,0),N(0,8),若•=5,=(﹣t)+(+t)(t为实数),则||的最小值是()A.4﹣3 B.4+3 C.4﹣1 D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.数列{a n}的前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n(n≥1),则S n=.14.某校高二成立3个社团,有4名同学,每人只选一个社团,恰有1个社团没有同学选,共有种不同参加方案(用数字作答)15.若实数x,y满足约束条件,则z=的最小值是16.将三项式(x2+x+1)n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:(x2+x+1)0=1(x2+x+1)1=x2+x+1(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的,缺少的数计为0)之和,第k行共有2k+1个数.若在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c,且角A、B、C成等差数列,a=2,线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点.(1)若△BCD的面积为,求线段CD的长;(2)若DE=,求角A的值.18.如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM(Ⅰ)求证:AD⊥BM(Ⅱ)若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,二面角E﹣AM﹣D的余弦值为.19.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年618期间,某购物平台的销售业绩高达516亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(Ⅰ)先完成关于商品和服务评价的2×2列联表,再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:①求对商品和服务全好评的次数X的分布列;②求X的数学期望和方差.附临界值表:P(K2≥0。
湖南省娄底地区高二下学期期末数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分)(2017·凉山模拟) 若复数z=(sinα﹣)+i(cosα﹣)是纯虚数(i是虚数单位),则tanα的值为()A .B . ﹣C . 2D . ﹣22. (2分)若C252x=C25x+4 ,则x的值为()A . 4B . 7C . 4或7D . 不存在3. (2分)如果函数的图像关于直线对称,则()A .B .C . 1D .4. (2分) (2019高二下·佛山月考) 已知,则的值为()A . 等于0B . 大于0C . 小于0D . 不确定5. (2分)“执果索因”是下列哪种证明方法的特点()A . 数学归纳法B . 反证法C . 分析法D . 综合法6. (2分)(2017·枣庄模拟) 为了解本市居民的生活成本,甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1 , x2 , x3 ,则它们的大小关系为()A . s1>s2>s3B . s1>s3>s2C . s3>s2>s1D . s3>s1>s27. (2分)(2017·鄂尔多斯模拟) 已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于()A . 15B . 30C . 45D . 608. (2分) (2017高二下·沈阳期末) 齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为()A .B .C .D .9. (2分) (2016高二下·芒市期中) 设复数z满足z(2﹣3i)=6+4i(i为虚数单位),则|z|=()A . 4B . 2C .D . 110. (2分) (2017高二下·景德镇期末) 现有金牌5枚,银牌3枚,铜牌2枚,从中任取2枚奖牌,试求在所取得的奖牌中发现有一枚是金牌,另一枚也是金牌的概率为()A .B .C .D .11. (2分) (2018高二下·黑龙江月考) 设函数,观察下列各式:,,,,…,,…,根据以上规律,若,则整数的最大值为()A .B . 8C . 9D . 1012. (2分)已知f1(x)=cosx , f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),f4(x)=f3′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),则f2015(x)等于()A . sinxB . -sinxC . cosxD . -cosx二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个题目选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________.14. (1分) (2015高二下·东台期中) 甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为0.2,甲、乙下和棋的概率为0.5,则乙获胜的概率为________.15. (1分) (2015高二下·霍邱期中) 函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.16. (1分) (2016高二下·天津期末) 将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师2名学生组成,不同的安排方案共有________种.三、解答题 (共6题;共80分)17. (15分)设a,b∈R,函数f(x)=ex﹣alnx﹣a,其中e是自然对数的底数,曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为(e﹣1)x﹣y+b=0.(1)求实数a,b的值;(2)求证:函数y=f(x)存在极小值;(3)若∃x∈[ ,+∞),使得不等式﹣lnx﹣≤0成立,求实数m的取值范围.18. (15分) (2017高二上·新余期末) 一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单(1)前4个节目中要有舞蹈,有多少种排法?(2) 3个舞蹈节目要排在一起,有多少种排法?(3) 3个舞蹈节目彼此要隔开,有多少种排法?19. (10分) (2017高二上·抚州期末) 已知数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N+).(1)计算a2,a3,a4,并猜测出{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜测.20. (15分) (2016高二下·惠阳期中) 有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于90分为优秀,90分以下为非优秀统计成绩后,得到如表的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30合计100已知在全部100人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成如表的列联表;(2)根据列联表的数据,有多大的把握认为“成绩与班级有关系“?(3)按分层抽样的方法,从优秀学生中抽出6名组成一个样本,再从样本中抽出2名学生,求恰好有1个学生在甲班的概率.参考公式和数据:K2= ,其中n=a+b+c+d.下面的临界值表供参考:p(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. (15分) (2018高三上·长春期中) 某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”,某市成为本年度城市最“幸福城”.随后,该市某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):(1)指出这组数据的众数和中位数;(2)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数学期望.22. (10分)如图,设A(2,4)是抛物线C:y=x2上的一点.(1)求该抛物线在点A处的切线l的方程;(2)求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共80分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
湖南省娄底地区数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分)已知复数满足,则复数的共轭复数为()A .B .C .D .2. (2分) (2018高二下·牡丹江月考) 随机变量服从二项分布 ,且 ,则等于A .B .C . 1D . 03. (2分)(2018·兰州模拟) 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,若曲线的方程为,则落入阴影部分的点的个数的估计为()A .B .C .D .4. (2分)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表广告费用x (万元)4235销售额y (万元)4926a54已知由表中4组数据求得回归直线方程=8x+14,则表中的a的值为()A . 37B . 38C . 39D . 405. (2分) (2019高三上·赤峰月考) 观察下列等式:,,,记 .根据上述规律,若,则正整数的值为()A . 8B . 7C . 6D . 56. (2分)甲、乙两人轮流投一枚均匀硬币,甲先投,谁先得到正面谁获胜,求投币不超过四次即决定胜负的概率()A .B .C .D .7. (2分) (2016高一上·佛山期末) 点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的正方形运动一周,记O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x为函数f(x),则y=f(x)的图象大致是()A .B .C .D .8. (2分) (2018高一上·湖州期中) 已知1是函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)的一个零点,若存在实数x0 .使得f(x0)<0.则f(x)的另一个零点可能是()A .B .C .D .9. (2分) (2017高二下·临淄期末) 若(3x﹣)n展开式中各项系数之和为32,则该展开式中含x3的项的系数为()A . ﹣5B . 5C . ﹣405D . 40510. (2分)(2017·石嘴山模拟) 上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口,若某一家庭有3个人检票进站,如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的进站方式,那么这个家庭3个人的不同进站方式有()种.A . 24B . 36C . 42D . 6011. (2分) (2020高三上·贵阳期末) 已知,则的值为()A .B .C . 2D . 412. (2分)(2020·厦门模拟) 已知函数,给出以下四个结论:⑴ 是偶函数;⑵ 的最大值为2;⑶当取到最小值时对应的;⑷ 在单调递增,在单调递减.正确的结论是()A . ⑴B . ⑴⑵⑷C . ⑴⑶D . ⑴⑷二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)(n,a∈N* ,且n>a)的展开式中,首末两项的系数之和为65,则展开式的中间项为________.14. (1分)(2017·自贡模拟) 设f'(x)是函数f(x)的导数,f''(x)是函数f'(x)的导数,若方程f''(x)=0有实数解x0 ,则称点(x0 , f(x0))为函数f(x)的拐点.某同学经过探究发现:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有拐点,任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心,设函数g(x)=x3﹣3x2+4x+2,利用上述探究结果计算: =________15. (1分) (2017高二下·桂林期末) 若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积S= (a+b+c)r,利用类比思想:若四面体内切球半径为R,四个面的面积为S1 , S2 , S3 , S4 ,则四面体的体积V=________.16. (1分) (2015高二下·永昌期中) (3x2﹣2x+1)dx=________.三、解答题: (共6题;共70分)17. (10分) (2017高二下·桂林期末) 计算:(1)已知A =6C ,求n的值;(2)求二项式(1﹣2x)4的展开式中第4项的系数.18. (10分) (2017高二下·新乡期末) 为了调查喜欢旅游是否与性别有关,调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题,在火车站分别随机调研了50名女性和50名男性,根据调研结果得到如图所示的等高条形图(1)完成下列2×2列联表:喜欢旅游不喜欢旅游合计女性男性合计(2)能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”附:P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)19. (10分) (2015高二下·沈丘期中) 数列{an}中,a1=1,Sn表示前n项和,且Sn , Sn+1 , 2S1成等差数列.(1)计算S1,S2,S3的值;(2)根据以上结果猜测Sn的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想.20. (15分) (2016高三上·遵义期中) 2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣.甲、乙两厂生产同一产品,为了解甲、乙两厂的产品质量,以确定这一产品最终的供货商,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件,测量产品中的微量元素的含量(单位:毫克).下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据:编号12345x169178166175180y7580777081(1)求乙厂生产的产品数量:(2)当产品中的微量元素x、y满足:x≥175,且y≥75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量:(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望.21. (20分)有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数:(1)排成前后两排,前排3人,后排4人;(2)全体排成一排,女生必须站在一起;(3)全体排成一排,男生互不相邻;(4)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人.22. (5分) (2016高二下·揭阳期中) 已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为﹣2,求a的取值范围;(Ⅲ)若对任意x1 ,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时有>0恒成立,求a的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题: (共6题;共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、。
2015-2016学年湖南省娄底市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(60分每题5分)1.若P={x|x<1},Q={x|x>1},则()A.P⊆Q B.Q⊆P C.∁R P⊆Q D.Q⊆∁R P2.△ABC中,已知AB=3,BC=5,B=,这个三角形的面积等于()A.B.15 C.D.3.在等差数列{a n}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前13项的和是()A.13 B.26 C.52 D.564.甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站中间的概率为()A.B.C.D.5.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和EF所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°6.如图框图,当x1=6,x2=9,p=8.5时,x3等于()A.7 B.8 C.10 D.11760°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为()B.C.4 D.8A.8.已知x∈[﹣1,1],y∈[0,2],则点P(x,y)落在区域内的概率为()A.B.C.D.9.设函数,且其图象关于y轴对称,则函数y=f(x)的一个单调递减区间是()A.B.C.D.10.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(2,﹣1),B(﹣1,3),若点C满足=α+β,其中0≤α,β≤1,且α+β=1,则点C的轨迹方程为()A.2x+3y﹣4=0 B.(x﹣)2+(y﹣1)2=25 C.4x+3y﹣5=0(﹣1≤x≤2)D.3x﹣y+8=0(﹣1≤x≤2)11.设点P是函数y=﹣图象上的任意一点,点Q(2a,a﹣3)(a∈R),则|PQ|的最小值为()A.﹣2 B.C.﹣2 D.﹣212.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2)时,f(x)=若x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≤﹣有解,则实数t的取值范围是()A.[﹣2,0)∪(0,1)B.[﹣2,0)∪[1,+∞)C.[﹣2,1] D.(﹣∞,﹣2]∪(0,1]二、填空题(20分每题5分)13.已知tan(α﹣)=,tan(β﹣)=﹣,则tan= .14.如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为.15.设函数,则f(x)≤2时x的取值范围是.16.数列{a n}的通项a n=n2(cos2﹣sin2),其前n项和为S n,则S30为.三、解答题(题型注释)17.设数列{a n}和{b n}满足:a1=,3a n+1=2a n(n∈N*),b1+(n∈N*)(1)求数列{a n}{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}前n项的和S n.18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分.19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AB,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:平面PDE⊥平面PEC.20.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线l1过定点A(1,0)(1)若直线l1与圆相切,切点为B,求线段AB的长度;(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM•AN是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.21.已知,(Ⅰ)求tanx的值;(Ⅱ)求的值.22.设函数f(x)=ka x﹣a﹣x(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定义域为R上的奇函数.(1)求k的值,并证明当a>1时,函数f(x)是R上的增函数;(2)已知,函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣4f(x),x∈[1,2],求g(x)的值域;(3)若a=4,试问是否存在正整数λ,使得f(2x)≥λ•f(x)对恒成立?若存在,请求出所有的正整数λ;若不存在,请说明理由.2015-2016学年湖南省娄底市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(60分每题5分)1.若P={x|x<1},Q={x|x>1},则()A.P⊆Q B.Q⊆P C.∁R P⊆Q D.Q⊆∁R P【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】利用集合的补集的定义求出P的补集;利用子集的定义判断出Q⊆C R P.【解答】解:∵P={x|x<1},∴C R P={x|x≥1},∵Q={x|x>1},∴Q⊆C R P,故选D.2.△ABC中,已知AB=3,BC=5,B=,这个三角形的面积等于()A.B.15 C.D.【考点】正弦定理.【分析】根据题意和三角形的面积公式直接求出这个三角形的面积.【解答】解:∵AB=3,BC=5,B=,∴这个三角形的面积S===,故选:A.3.在等差数列{a n}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前13项的和是()A.13 B.26 C.52 D.56【考点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.【分析】可得a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,代入已知可得a4+a10=4,而S13==,代入计算可得.【解答】解:由等差数列的性质可得:a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,代入已知可得3×2a4+2×3a10=24,即a4+a10=4,故数列的前13项之和S13====26,故选B4.甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站中间的概率为()A.B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】所有的坐法共有种,乙正好坐中间的坐法有种,由此可得乙正好坐中间的概率【解答】解:所有的坐法共有A种,乙正好坐中间的坐法有A种,由此可得乙正好坐中间的概率为:,故选B.5.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和EF所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【考点】异面直线及其所成的角.【分析】连接BC1,A1C1,A1B,根据正方体的几何特征,我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角,判断三角形A1C1B 的形状,即可得到异面直线AC和EF所成的角.【解答】解:连接BC1,A1C1,A1B,如图所示:根据正方体的结构特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B,∴△A1C1B为等边三角形,故∠A1C1B=60°,故选C6.如图框图,当x1=6,x2=9,p=8.5时,x3等于()A.7 B.8 C.10 D.11【考点】选择结构.【分析】从程序框图中得到求p的解析式;列出方程,求出x3的值.【解答】解:∵∴解得x3=8,故选B7.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,且一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为()A.B.C.4 D.8【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意求出菱形的边长,由三视图可得,几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成,求出正四棱锥侧面积,即可求解.【解答】解:一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,且一个内角为60°的菱形,所以菱形的边长为:1,由三视图可得,几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成,底面边长为1,侧棱长为:,所以几何体的表面积为:=4.故选C.8.已知x∈[﹣1,1],y∈[0,2],则点P(x,y)落在区域内的概率为()A.B.C.D.【考点】几何概型.【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出点P(x,y)对应图形的面积,及满足条件“内”的点对应的图形的面积,然后再结合几何概型的计算公式进行求解.【解答】解:不等式组表示的区域如图所示,阴影部分的面积为,则所求概率为.故选B.9.设函数,且其图象关于y轴对称,则函数y=f(x)的一个单调递减区间是()A.B.C.D.【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式,由题意和正弦函数的对称轴求出θ的值,代入解析式利用诱导公式化简,再由余弦函数的单调区间求出f(x)的单调增区间,结合答案项进行判断即可.【解答】解:由题意得,f(x)=2[sin()﹣cos()]=2sin(﹣),∵图象关于y轴对称,∴θ﹣=kπ+,k∈Z,又∵|θ|<,∴当k=﹣1时,θ=满足题意,∴f(x)=2sin(﹣﹣)=2sin(﹣)=﹣2cos,由2kπ﹣π≤≤2kπ可得4kπ﹣2π≤x≤4kπ,∴函数f(x)的单调递增区间为[4kπ﹣2π,4kπ],k∈Z,当k=0时,函数f(x)的一个单调递增区间为[﹣2π,0],当k=1时,函数f(x)的一个单调递增区间为[2π,4π],所以A、B、D不正确;C正确,故选:C.10.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(2,﹣1),B(﹣1,3),若点C满足=α+β,其中0≤α,β≤1,且α+β=1,则点C的轨迹方程为()A.2x+3y﹣4=0 B.(x﹣)2+(y﹣1)2=25 C.4x+3y﹣5=0(﹣1≤x≤2) D.3x﹣y+8=0(﹣1≤x≤2)【考点】轨迹方程.【分析】设C(x,y),根据题意得到用x、y表示α、β的方程组,结合α+β=1消去α、β得4x+3y﹣5=0.再由0≤α、β≤1,解出x的取值范围,可得点C的轨迹方程.【解答】解:设C(x,y),可得=(x,y)∵点A(2,﹣1)、B(﹣1,3),∴由=α+β,得,解得,又∵α+β=1,∴两式联解,消去α、β得4x+3y﹣5=0.∵0≤α≤1且0≤β≤1,∴0≤≤1,0≤≤1,解得1≤x≤2.由此可得点C的轨迹方程为4x+3y﹣5=0(﹣1≤x≤2).故选:C11.设点P是函数y=﹣图象上的任意一点,点Q(2a,a﹣3)(a∈R),则|PQ|的最小值为()A.﹣2 B.C.﹣2 D.﹣2【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】将函数进行化简,得到函数对应曲线的特点,利用直线和圆的性质,即可得到结论.【解答】解:由函数y=﹣得(x﹣1)2+y2=4,(y≤0),对应的曲线为圆心在C(1,0),半径为2的圆的下部分,∵点Q(2a,a﹣3),∴x=2a,y=a﹣3,消去a得x﹣2y﹣6=0,即Q(2a,a﹣3)在直线x﹣2y﹣6=0上,过圆心C作直线的垂线,垂足为A,则|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=﹣2,故选:C.12.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2)时,f(x)=若x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≤﹣有解,则实数t的取值范围是()A.[﹣2,0)∪(0,1) B.[﹣2,0)∪[1,+∞)C.[﹣2,1] D.(﹣∞,﹣2]∪(0,1]【考点】分段函数的应用.【分析】若若x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≤﹣有解,等价为﹣≥f min(x),根据条件求出f min(x),即可得到结论.【解答】解:当x∈[0,1)时,f(x)=x2﹣x∈[﹣,0]当x∈[1,2)时,f(x)=﹣(0.5)|x﹣1.5|∈[﹣1,]∴当x∈[0,2)时,f(x)的最小值为﹣1又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),∴f(x)=f(x+2),当x∈[﹣2,0)时,f(x)的最小值为﹣,当x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)的最小值为﹣,若x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≤﹣有解,∴即﹣≥f min(x)=﹣,即4t(t+2)(t﹣1)≥0且t≠0解得:t∈[﹣2,0)∪[1,+∞),故选:B.二、填空题(20分每题5分)13.已知tan (α﹣)=,tan (β﹣)=﹣,则tan=.【考点】两角和与差的正切函数.【分析】直接利用两角和与差的正切函数求解即可.【解答】解:tan (α﹣)=,tan (β﹣)=﹣,则tan =tan[(α﹣)+(β﹣)]===.故答案为:,14.如图,在△ABC 中, =,P 是BN 上的一点,若=m +,则实数m 的值为 .【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】由已知中△ABC 中,,P 是BN 上的一点,设后,我们易将表示为的形式,根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ,m 的方程组,解方程组后即可得到m 的值 【解答】解:∵P 是BN 上的一点,设,由,则=====∴m=1﹣λ,解得λ=,m=,故答案为:15.设函数,则f (x )≤2时x 的取值范围是 [0,+∞) .【考点】对数函数的单调性与特殊点;分段函数的应用.【分析】根据分段函数的表达式,解不等式即可,注意要对x 进行分类讨论. 【解答】解:由分段函数可知,若x ≤1, 由f (x )≤2得, 21﹣x ≤2,即1﹣x ≤1, ∴x ≥0,此时0≤x ≤1,若x >1,由f (x )≤2得1﹣log 2x ≤2,即log 2x ≥﹣1,即x ,此时x >1,综上:x ≥0,故答案为:[0,+∞).16.数列{a n }的通项a n =n 2(cos 2﹣sin 2),其前n 项和为S n ,则S 30为 470 .【考点】数列的求和.【分析】利用二倍角公式对已知化简可得,a n =n 2(cos 2﹣sin 2)=n 2cos,然后代入到求和公式中可得,+32cos2π+…+302cos20π,求出 特殊角的三角函数值之后,利用平方差公式分组求和可求解【解答】解:∵a n =n 2(cos 2﹣sin 2)=n 2cos∴+32cos2π+…+302cos20π=+…=[1+22﹣2×32)+(42+52﹣62×2)+…+]=[(12﹣32)+(42﹣62)+…++(22﹣32)+(52﹣62)+…+]=[﹣2(4+10+16…+58)﹣(5+11+17+…+59)]=[﹣2×]=470故答案为:470三、解答题(题型注释)17.设数列{a n}和{b n}满足:a1=,3a n+1=2a n(n∈N*),b1+(n∈N*)(1)求数列{a n}{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}前n项的和S n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)根据等比数列的定义即可求出,{a n}为首项为,公比为的等比数列,可得其通项公式,由①,②,两式相减即可得到{b n}的通项公式;(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:(1)∵,∴,∴{a n}为首项为,公比为的等比数列,∴又∵①令令n≥2,②①﹣②得,=,∴(n≥2),当n=1时,满足此式.∴(n∈N*);(2)令b1+b2+b3+…+b n=S n,∴,相减得:,=,==,=,∴18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分.【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图.【分析】(1)由频率分布直方图的性质可10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解方程即可得到a的值;(2)由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05,计算出结果既得.【解答】解:(1)依题意,根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005.∴图中a的值0.005.(2)这100名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分),19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AB,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:平面PDE⊥平面PEC.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】(1)取PD的中点G,连接AG,FG,则由中位线定理可知四边形AEFG是平行四边形,于是EF∥AG,从而得出EF∥平面PAD;(2)由PD⊥平面ABCD得出PD⊥CE,由勾股定理的逆定理得出CE⊥DE,于是CE⊥平面PDE,故而平面PDE⊥平面PEC.【解答】证明:(1)取PD的中点G,连接AG,FG.∵F,G分别是PC,PD的中点,∴GF∥DC,GF=DC,又E是AB的中点,∴AE∥DC,且AE=DC,∴GF∥AE,且GF=AE,∴四边形AEFG是平行四边形,故EF∥AG.又EF⊂平面PAD,AG⊄平面PAD,∴EF∥平面PAD.(2)∵PD⊥底面ABCD,EC⊂底面ABCD,∴CE⊥PD.∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,∴DE=AD,CE=AD,CD=2AD,∴DE2+CE2=CD2,即CE⊥DE,又PD⊂平面PDE,DE⊂平面PDE,PD∩DE=D,∴CE⊥平面PDE.∵CE⊂平面PEC,∴平面PDE⊥平面PEC.20.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线l1过定点A(1,0)(1)若直线l1与圆相切,切点为B,求线段AB的长度;(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM•AN是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)利用几何法,连接AB,BC与AC,则BC⊥AB,且BC=2,从而求出AC与AB的值;(2)讨论斜率不存在以及为0,l1与圆C的位置关系,设出正弦l1的方程,利用直线与直线以及直线与圆的位置关系列出方程求出点M、N的坐标,计算AM•AN的值即可.【解答】解:(1)圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,圆心为(3,4),半径为2,直线l1过定点A(1,0);直线l1与圆C相切,切点为B,连接AB,BC与AC,则BC⊥AB,且BC=2,所以AC==2,AB===4,即线段AB的长度为4;(2)易知,若斜率不存在,则l1与圆相切,若斜率为0,则l1与圆相离,故直线的斜率存在,可设l1的方程:y=k(x﹣1),由,解得,再由CM⊥l1,解得,又直线CM⊥l1,所以,解得,所以为定值.…21.已知, (Ⅰ)求tanx 的值;(Ⅱ)求的值.【考点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正切.【分析】(1)由可直接求出tan ,再由二倍角公式可得tanx 的值.(2)先对所求式子进行化简,再同时除以cosx 得到关于tanx 的关系式得到答案.【解答】解:(1)由,,∴.(2)原式==, 由(1)知cosx ﹣sinx ≠0,所以上式==cotx+1==.22.设函数f (x )=ka x ﹣a ﹣x (a >0且a ≠1,k ∈R ),f (x )是定义域为R 上的奇函数.(1)求k 的值,并证明当a >1时,函数f (x )是R 上的增函数;(2)已知,函数g (x )=a 2x +a ﹣2x ﹣4f (x ),x ∈[1,2],求g (x )的值域;(3)若a=4,试问是否存在正整数λ,使得f (2x )≥λ•f(x )对恒成立?若存在,请求出所有的正整数λ;若不存在,请说明理由.【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】(1)由f (x )为R 上的奇函数可得f (0)=0,解得k 值,然后进行检验,根据增函数的定义即可证明其单调性;(2)由f (1)=可求得a 值,则g (x )=)=(2x ﹣2﹣x )2﹣4(2x ﹣2﹣x )+2,令t=2x ﹣2﹣x (1≤x ≤2),由此g (x )可化为关于t 的二次函数,求出t 的范围,根据二次函数的性质即可求得g (x )的最小值、最大值,从而得其值域;(3)按照x=0,0<x ,﹣x <0三种情况,分离出参数λ后转化为函数最值解出λ相应范围,最后取其交集即可;【解答】解:(1)∵f (x )=ka x ﹣a ﹣x 是定义域为R 上的奇函数,∴f (0)=0,得k=1.此时,f (x )=a x ﹣a ﹣x ,f (﹣x )=a ﹣x ﹣a x =﹣f (x ),即f (x )是R 上的奇函数.设x 2>x 1,则f (x 2)﹣f (x 1)=﹣﹣()=()(1+),∵a >1,x 2>x 1,∴>, ∴f (x 2)﹣f (x 1)>0,∴f (x )在R 上为增函数.(2)∵f (1)=,∴a ﹣=,即2a 2﹣3a ﹣2=0, 解得a=2或a=﹣(舍去),∴g (x )=22x +2﹣2x ﹣4(2x ﹣2﹣x )=(2x ﹣2﹣x )2﹣4(2x ﹣2﹣x )+2,令t=2x ﹣2﹣x (1≤x ≤2),由(1)知t=2x﹣2﹣x[1,2]上为增函数,∴t∈[],∴g(x)=Φ(t)=t2﹣4t+2=(t﹣2)2﹣2,当t=时,g(x)有最大值,当t=2时,g(x)有最小值﹣2,∴g(x)的值域[﹣2,].(3)f(2x)=42x﹣4﹣2x=(4x+4﹣x)•(4x﹣4﹣x),f(x)=4x﹣4﹣x,假设存在满足条件的正整数λ,则(4x+4﹣x)•(4x﹣4﹣x)≥λ•(4x﹣4﹣x),①当x=0时,λ∈R;②当x时,4x﹣4﹣x>0,则λ≤4x+4﹣x,令μ=4x,则μ∈(1,2],易证z=在(1,2]上是增函数,则λ≤z(1)=2;③当x时,4x﹣4﹣x<0,则,令μ=4x,则,易证z=在[,1)上是减函数,所以λ≥z()=,综上所述,知不存在正整数λ满足题意.2016年7月31日。