高等数学无穷级数上课习题与答案

无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。

第一次作业1.写出级数√x2+x2?4+x√x2?4?6+x22?4?6?8+?的一般项。

解：一般项为u n=(x12)n (2n)!!2.已知级数∑2n n! n n∞n=1收敛，试求极限limn→∞2n n!n n。

解：由级数收敛必要条件可知lim n→∞2n n!n=03.根据级数性质，判定级数∑(15n+2n)∞n=1的敛散性。

解：因为级数∑(1 5n )∞n=1收敛，级数∑(2n)发散，∞n=1所以由性质可推导出级数∑(15n+2n)发散。

∞n=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n−1−√n)的敛散性，∞n=1若收敛，求其和。

解：设u n=√n−1−√n ,S n=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n−1−√n=√n+1−1=n1+√n+1因为limn→∞S n=limn1+√n+1=∞ ,所以所求级数发散。

5.判定级数∑√n +1n∞n=1的敛散性。

解：因为lim n→∞u n =lim n→∞√n +1n=1≠0 ， 所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n=1发散 。

6.1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1的敛散性。

解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n∞n=1 第二次作业1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑2n +1()2()2∞n=1 的敛散性。

解：因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2n 3由∑1n3∞n=1是收敛的，所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞n=1收敛。

2.如果∑a n ∞n=1，∑b n ∞n=1为正项级数且收敛，试判定∑√a n b n ∞n=1的敛散性 。

解：因为√n b n ≤a n +b n2,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞n=1收敛。

3.根据极限审敛法，判别级数∑sin πn 的敛散性 。

高等数学无穷级数上课习题与答案标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]第一次作业1.写出级数√12+12?4+1√12?4?6+122?4?6?8+?的一般项 。

解：一般项为u 1=(112)1(21)!!2.已知级数∑2n n !nn ∞n =1收敛，试求极限lim n →∞2n n !n n 。

解：由级数收敛必要条件可知lim n →∞2n n !n=0 3.根据级数性质，判定级数∑(11+21)∞1=1的敛散性。

解：因为级数∑(15n )∞n =1收敛，级数∑(2n )发散，∞n =1所以由性质可推导出级数∑(151+21)发散。

∞1=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n −1−√n )的敛散性，∞n =1若收敛，求其和。

解：设u 1=√n −1−√n ,11=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n −1−√n =√1+1−1=1111因为lim 1→∞11=lim1→∞1111=∞ ,所以所求级数发散。

5.判定级数∑√n +1n∞n =1的敛散性。

解：因为lim1→∞11=lim1→∞√n+1n=1≠0，所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n+1 n∞n=1发散。

6.1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1的敛散性。

解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?11+?)=12∑11∞1=1第二次作业1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑21+1(1+1)2(1+2)2∞1=1的敛散性。

解：因为21+1(11)(12)<21+2(11)(12)<2(11)<21由∑1 1∞1=1是收敛的，所以∑21+1(11)(12)∞1=1收敛。

2.如果∑11∞1=1，∑11∞1=1为正项级数且收敛，试判定∑√1111∞1=1的敛散性。

解：因为√1111≤11+112,所以由比较审敛法知∑√a n b n∞n=1收敛。

第十一章 无穷级数A1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性1）()∑∞=-+11n n n2）...12)(12(1...751531311++-++⋅+⋅+⋅n n3）) (6)sin(...)62sin()6sin(πππn +++2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。

1） )2sin()2sin()2sin(32n πππ+++2）∑∞=+111n n a ()1>a3）∑∞=++1)4)(1(1n n n4） ...11 (3131212112)22n n +++++++++3、用比值审敛法判定级数收敛性1）∑∞=+112tan n n n π2）∑∞=123n n n3）∑∞=132n n n n4、用根值法判定级数收敛性1）n n n n ∑∞=+1)13(2）[]∑∞=+1)1ln(1n n n5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛 1）...4131211+-+-2）∑∞=--113)1(n n nn3）∑∞=⋅-1231)1(n nn6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。

1) ...)1(...21222nx x x n n -+++-2)∑∞=--122212n n n x n3)∑∞=-1!21)1(n n n nx n7、利用逐项求导或积分求级数的和函数. 1)∑∞=++11414n n n x2)∑∞=-11n n nx8、将函数展开成x 的 幂级数并求收敛区间.1）2xx e e shx --=2）x a3）x 2sinB1、判断积数收敛性 1) ∑∞=1!.2n n n n n2) ∑∞=-1!2)1(2n n n n2、利用逐项求导或积分求级数∑∞=+0212n nn x 的和函数.3、求幂级数∑∞=--1)5()1(n nn n x 的收敛域.4、将x cos 展开成3π+x 的幂级数.5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数.C1、求 ∑∞=-1n nx ne的收敛域. 2、求 ∑∞=+022!1n n n x n n 的和函数. 3、)(x f 是周期为2的周期函数，且在区间[]2,0上定义为：⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f 求傅里叶展开式. 4 利用3题结果证明用结果证明，∑∞==12261n n π第十一章 无穷级数答案习 题 答 案A1、1）发散 2) 收敛 3) 发散2、1) 收敛 2) 收敛 3）收敛 4)发散3、1) 收敛 2）收敛 3）收敛4、1) 收敛 2）收敛5、1） 条件收敛 2） 绝对收敛 3） 绝对收敛6、1) 收敛半径1=R ，收敛区间:[]1,1-2) 收敛半径2=R ，收敛区间为：()2,2- 3) 收敛半径∞=R , 收敛区间为：()∞∞-,7、1)∑∞=++11414n n n x x x x x --++=11ln 41arctan 21 )1(<x 2)211)1(1x nx n n -=∑∞=- )1(<x 8、1）∑∞=---=-=112)!12(2n n x x n x e e shx ()+∞∞-∈,x 2）n n n a x x x n a e a ∑∞===0ln !ln ()+∞∞-∈,x 3）x 2sin =)!2(4)1(21212cos 212120n x x n n nn ∑∞=--=- ()+∞∞-∈,x B1、1) 解：1111)1(2lim )1()!1(2!.2lim lim -∞→--∞→-∞→-=--=n n n n n n n n nn n n n n n n u u 12)11(lim 21.<=-+=---∞→e n n n n n 由比值法，级数∑∞=1!.2n n n nn 收敛2) 解： 12lim )!1(2!2lim lim 12)1(122>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n 由比值法，级数∑∞=-1!2)1(2n n nn 发散 2、解：dx x x n x x n x x n n n n n n ⎰∑∑∑∞=∞=+∞==+=+00201202112112 dx x x x ⎰-=02111 x x x -+=11ln 21 )1(<x3、解:11lim lim1=-==∞→-∞→n n a a n n n n ρ，收敛半径11==ρr 6=x 时级数()∑∞=-111n n n 为交错级数收敛4=x 时级数为∑∞=11n n 发散，所以:收敛域为:(]6,44、)3sin(3sin )3cos(3cos )33(cos cos ππππππ+++=-+=x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)!12()3()1(23)!2()3()1(21n n nn n n n x n x ππ 或者直接展开为：n n x n n )3(!)23cos(0πππ∑∞=++- 5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数 解：设4+=x t 则4-=t x1121341)24(1)(---=+--+-=t t t t x f t t -+--=112121∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t )2(<t 所以231)(2++=x x x f =∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t C1、解:x xn nx n n n n e e n ne u u ----∞→-∞→=-=)1(1)1(lim lim 当0>x 时1<-x e；0<x 时1>-x e ；0=x 时∑∑∞=∞=-=11n n nx n ne 发散所以:收敛域:()∞∈,0x2、解：令t x =2 ∑∑∑∞=∞=∞=+=+02002!!2!1n n n n n n n t n n n t x n n n n t t n n e ∑∞=-+-+=1)!1(11n n n n t t n t n e ∑∑∞=∞=-+-+=211)2(1)!1(1t t t e t te e 2++=)421(22x x e x++= 3、解2121)(00210200====⎰⎰x xdx dx x f a⎰⎰==2010c o s c o s )(x d x n x x d x n x f a n ππx d x n n x n x n x d x n xd n ⎰⎰-==101010sin 1sin 1sin 1ππππππ[]1)1()(1cos )(12102--==n n x n n πππ xdx n x xdx n x f b n ππsin sin )(1020⎰⎰==xdx n n x n x n xdx n xd n ⎰⎰+-=-=101010cos 1cos 1cos 1ππππππ 1102)1(1sin )(1)1(1+-=+--=n n n x n n n ππππ所以： []x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑ 当1=x 时：收敛于21 4、由⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f[]x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑（1≠x ）[]∑∞==--=120)12(1241)0(n n f π 8)12(1212π=-∑∞=n n ，记48)2(1)12(112121212s n n ns n n n +=+-==∑∑∑∞=∞=∞=π 所以：683412212ππ=⋅==∑∞=n n s。

高等数学无穷级数上课习题与答案集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]第一次作业1.写出级数√1+1?+1√1??+12???+?的一般项 。

解：一般项为u 1=(112)1(21)!!2.已知级数∑2n n !n∞n =1收敛，试求极限lim n →∞2n n !n 。

解：由级数收敛必要条件可知lim n →∞2n n !n n=0 3.根据级数性质，判定级数∑(151+21)∞1=1的敛散性。

解：因为级数∑(15n )∞n =1收敛，级数∑(2n )发散，∞n =1所以由性质可推导出级数∑(151+21)发散。

∞1=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n −1−√n )的敛散性，∞n =1若收敛，求其和。

解：设u 1=√n −1−√n ,11=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n −1−√n=√1+1−1=11+1+1因为lim 1→∞11=lim1→11+1+1=∞ ,所以所求级数发散。

5.判定级数∑√n +1n∞n =1的敛散性。

解：因为lim 1→∞11=lim 1→∞√n +1n=1≠0 ，所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n =1发散 。

6.根据级数性质判定级数1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1+?的敛散性。

解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?11+?)=12∑11∞1=1第二次作业1.根据P —级数的敛散性，判定级数∑21+1(1+1)2(1+2)2∞1=1的敛散性。

解：因为21+1(11)(12)<21+2(11)(12)<2(11)<2由∑113∞1=1是收敛的，所以∑21+1(1+1)2(1+2)2∞1=1收敛。

2.如果∑11∞1=1，∑11∞1=1为正项级数且收敛，试判定∑√1111∞1=1的敛散性 。

解：因为√1111≤11+112,所以由比较审敛法知∑√a n n ∞n =1收敛。

第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数an 1 q n收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )．(A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ．2.下列结论正确的是 ()．(A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛；n n 1 n n 1(C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ．n 1 n n 1 n3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )．n 1 n 1(A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1；n 1 n 1(C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) .n 1 n 1v n S24. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )．n 1(A) ( u n S) 收敛；(B) 1收敛；n 1 n 1 u n(C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) .n 1 n 15. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )．n 1 n 1(A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) .6. 若级数a n发散，b n收敛则( )．n 1 n 1(A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛；n 1 n 1(C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 设 a1 ，则( a)n.答： 1.n 01 a2. 级数 (ln 3)n 的和为．答：22n1 .n 0ln 33. 级数( n 2 2 n1 n) ，其和是．答： 12 .n 04.数项级数1的和为 . 答： 1.n 1 (2n1)(2n 1)25*. 级数2n 1 的和为.答： 3.n 02n 三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)8 82 83L( 1) 8n 答： 收敛 .9 29 39 n L9解：1 1 1 L1 答： 发散 .(2)6 9 L33n解：1 1 1L1L答： 发散 .(3)333 n3 3解：3 32 33 L3n L答： 发散 .(4)2223 2n2解：1 1 1 1 1 11 1 L 答： 收敛 .(5)3223223 33L3n2 2n解：§正项级数收敛判别法、 P — 级数一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足 0 u n v n , (n 1,2,L ) ，则 ()．n 1n 1(A) 若v n 发散 ,则 u n 发散； (B) 若u n 收敛 ,则 v n 收敛；n 1n 1n 1n 1(C) 若u n 收敛 ,则v n 发散； (D) 若u n 发散，则v n 发散 .答 (D) .n 1n 1n 1n12. 若 0a n 1, ( n 1,2, L ) ，则下列级数中肯定收敛的是()．n (A)a n ；(B)( a n 1 a n ) ；n1n1(C)a n2；(D)a n ．答 (C) .n 1n 13. 设级数 (1)2n nn!与 (2)3n n n! ，则 ( )．n 1nn 1 n(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛，级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散，级数 (2)收敛．答 (C) .4. 设级数 (1)1 与 (2) 10n , 则 ( ).n 1n nn 1 n!(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛 ,级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散 ,级数 (2)收敛．答 (D) .5. 下列级数中收敛的是 ()．(A)n1 ； (B)sin1；n 1 n( n 2) n 1n(C)( 1)nn ； (D)1． 答 (A) .n 13n 1n 1 2n 11 216*. 若级数，则级数().n 1 n 2 6 n 1 (2n1)22222(A);(B);(C);(D).答 (B) .4812167. 设 u n 与 v n 均为正项级数 ,若 lim u n1，则下列结论成立的是().n 1n 1nv n(A)u n 收敛 ,v n 发散；(B)u n 发散 ,v n 收敛；n 1n1n 1n 1(C)u n 与v n 都收敛 ,或 u n 与 v n 都发散 .(D) 不能判别 .答 (C) .n 1n1n 1n 18. 设正项级数u n 收敛，则 ().n 1(A) 极限 limun 11；(B)极限 limu n 1 1；nu nnu n(C) 极限 lim n u n1；(D) 无法判定 .答 (A)n9. 用比值法或根值法判定级数u n 发散，则u n ().n 1n 1(A) 可能发散； (B) 一定发散；(C) 可能收敛；(D) 不能判定 .答 (B)二、填空题1. 正项级数u n 收敛的充分必要条件是部分和 S n.答：有上界 .n 12. 设级数2n 1收敛，则 的范围是.n 1n3. 级数u n 的部分和 S n2n ，则 u n.n 1n 14. 级数2n1是收敛还是发散.n 02n3 答：．22答：.n( n 1)答：收敛 . 5. 若级数1收敛，则 p 的范围是.答： p 0 . n 1n p sinn6. 级数3n n! 是收敛还是发散.答：发散 .n 1n n三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1)1 n ；答：发散 . (2)1 ；答： 收敛 .n 1 1 n 2n 1 (n 1)(n 2)(3)sin n ；答：收敛 . (4)1 n (a 0) .答 a 1 收敛 ; a 1 发散 .a n 12 n 112. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1)3n ； 答：发散 .(2)n 2 ；答： 收敛 .n 1 n 2nn 1 3n解：(3)2n nn!；答： 收敛 .(4)n tan n 1．答： 收敛 .n 1 nn 12解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1)n 1解：(3)n1nn1；答： 收敛 .(2) ；答：收敛 .2n 1 n 1[ln( n 1)]n解：2n 1n； 答：收敛 .3n 1解：b n(4) 其中 a n a, (n ) ， a n , b, a 均为正数．a nn 1答：当 b a 时收敛，当 b a 时发散，当 b a 时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足u n v n , ( n 1,2, L ) ,则 ( )．n 1 n 1(A) 若v n 收敛 ,则u n 发散；(B) 若u n 发散 ,则v n 发散；n 1 n 1 n 1 n 1(C)若u n 收敛 ,则v n 发散；(D) 若v n 收敛 ,则u n 未必收敛．答(D) .2.下列结论正确的是 ()．(A)u n收敛，必条件收敛；(B)u n 收敛，必绝对收敛；n 1 n 1(C)u n 发散，则u n 必条件收敛；n 1 n 1(D)u n 收敛，则u n 收敛．答 (D) .n 1 n 12.下列级数中，绝对收敛的是 ()．(A) ( 1)n n; (B) ( 1)n 1 1 ；n 1 3n 1 n 1 n2(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1．答 (B) .n 1 ln( n 1) n 1 n3. 下列级数中，条件收敛的是 ( )．nn 2(A) ( 1)n 1 ；(B) ( 1)n 1 ；n 12n3 1 n 1 3(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1 ．答 (A) .n 1n2 n 1 n 2n4. 设为常数，则级数sin n 1( ).n2 nn 1(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与的取值有关．答 (C) .5. 设a n cos n ln(1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数( ).n(A) a n 与a n2 都收敛 . (B) a n与a n2 都发散 .n 1 n 1 n 1 n 1(C) a n 收敛，a n2发散. (D) a n发散，a n2 收敛 . 答 (C) .n 1 n 1 n 1 n 16.设0 a n 1(n 1,2,3, ) ,则下列级数中肯定收敛的是(). n(A) a n . (B) ( 1) n a n.(C) an . (D) a n2 ln n . 答 (D) .n 1 n 1 n 2ln n n 27.下列命题中正确的是( ).(A) 若u n2与v n2都收敛,则(u n v n)2收敛 .n 1 n 1 n 1(B) 若u n v n收敛,则u n2与v n2都收敛.n 1 n 1 n 1(C) u n 发散 ,则u n 1若正项级数.n 1 n(D) 若u n v n (n 1,2,3, ) ,且u n 发散 ,则v n 发散 . 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 级数( 1)n 1的取值范围是．答：1.绝对收敛，则n 1 n2. 级数1 sin n条件收敛， 则 的取值范围是 ．答： 01.n 1 n 23. 级数a n 2收敛，则( 1)nan是条件收敛还是绝对收敛．n 0n 0n答：绝对 收敛 .三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)( 1)n 11； n 1n解：(2)( 1)n 1 n；n 13n1解：sin n(3)n 1( n 1)2；解：(4)( 1)n 11；n 13 2n解：(5)( 1)n 11 ；n 1ln( n 1)解：(6)n 1 2n2( 1)n 1n!答： 条件收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 条件收敛 .答： 发散 .解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数x n 的收敛区间是 ( )．n 1 n(A) [ 1, 1] ；(B) ( 1, 1) ；(C) [ 1, 1) ； (D) ( 1, 1] ．答 (C) .2. 幂级数( 1)n (x 1)n 的收敛区间是 ( )．n 1n 2n(A) [ 2 , 2] ；(B) ( 2 , 2) ；(C) [ 2, 2) ； (D) ( 2, 2] ．答 (D) .3. 幂级数x 2 n的收敛半径是 ( ).1 n2 3nn(A) R 3 ；(B) R 3 ；(C) R 1(D)1答 (B) . ；R ．3 3（ A）(C)（ B）(D)4. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处 ( ).n 1(A) 发散； (B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (C) .5. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处( ).n 1(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (D) . 6．若幂级数a n (x 1)n在x 1处条件收敛，则级数a n( ).n 0 n 0(A) 条件收敛；(B) 绝对收敛；(C) 发散；(D) 敛散性不能确定. 答(B) .二、填空题1. 幂级数xn的收敛域是．答： [ 1,1]. n 1n22. 幂级数2n 3n n的收敛域是．答：1 1n n2 x3,. n 1 33. 幂级数( 1)n 1 x2 n 1的收敛半径 R ，和函数是．(2 n 1)!n 1答： R , sin x.4. 幂级数( 1)n x 2n，和函数是．(2 n)!的收敛半径 Rn 0答： R , cosx.5. 设a n x n的收敛半径为R，则a n x2 n的收敛半径为．答： R.n 0 n 06. 设幂级数a n x n 的收敛半径为 4 ，则a n x2n 1的收敛半径为．答： 2.n 0 n 07. 幂级数( 1)n 1 (2 x 3)n 的收敛域是. 答： (1, 2].n 0 2n 18. 幂级数a n ( x 1)2 n在处x 2 条件收敛，则其收敛域为.答：[ 0,2] .n 0一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1) nx n；答： ( 1,1). (2) ( 1)n 1 x n ；答： [ 1,1].n 1 n 1n2(3) x n ；答： [ 3, 3) ．(4) 2n x n；答： 1 , 1．n 1 n 3nn 1 n2 1 2 2(5) ( x 5)n ;答：[4, 6). (6) ( 1)n x2n 1 ．答： [ 1,1].n 1 n n 1 2n 12.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)nx n 1；答： S(x) 1 2 , x ( 1,1) ．n 1 (1 x)解：(2)x2n 1 1 1 x．2n．答： S(x)ln1, x ( 1,1)n 1 1 2 x解：3*. 求级数1的和．答： 2ln 2. n 1 n 2n解：§函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数f ( x) e x2 展开成 x 的幂级数是( )．(A) 1 x 2 x4 x6L ； (B) 1 x 2x4 x6；2! 3! 2!L3!(C) 1 x x2 x3L ； (D) 1 xx2 x3．答 (B) . 2! 3! 2!L3!2. 如果f ( x)的麦克劳林展开式为a n x2 n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) (0) ；(B) f (2 n ) (0) ；(C) f (2 n ) (0) ；(D) f ( n ) (0) ．答 (A) .n! n! (2 n)! (2 n)!3. 如果f ( x)在x x0的泰勒级数为a n ( x x0 ) n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) ( x0 ) ；(B) f (2 n ) ( x ) f (2 n ) ( x ) f ( n ) ( x )0； (C)n!0； (D) 0 ．答 (C) .n! n!4. 函数 f ( x)sin 2x 展开成 x 的幂级数是 ( )． (A)xx 3 x 5 x 7 ； (B) 1 22 x 2 24 x 4 26 x 6；3! 5! L 2! 4! L7! 6!(C) 2 x 23 x 325 x 527 x 7 L ； (D) 1x 2x 4x 6L ．答 (C) .3!5!7!4! 6!二、填空题1. 函数 f ( x) a x的麦克劳林展开式为x 12. 函数 f ( x) 3 2 的麦克劳林展开式为3. n 1x 2n 1幂级数( 1)(2n 的和函数是n 11)!4. 1 的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x5. 1的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x6. 函数 f ( x) ln(1 x) 的麦克劳林级数为7. 函数 f ( x) e x在 x 1 处的泰勒级数． 答：(ln n a) x n .n 0n!n． 答： 3ln 3 x n.n 02 n!．答： sin x .．答：n 0 x n .．答：( 1)n x n .n 0．答：(n 1x n1).n 1n． 答：e( x 1)n .n 0n!8. 函数 f ( x)1 在 x 1处的泰勒级数．答：( 1)n ( x 1)n .x 1n 02n 19. 函数 f ( x) 1 展开成 x 3 的幂级数为 ．答：( 1)n (x3)n .xn 03n 110. 函数 f ( x)21n22 n 1 x 2n.cos x 展开成 x 的幂级数为． 答：( 1)(2n)!2 n 011. 级数( 1)n 的和等于.答： cos1.n 0 (2n)!三、简答题1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) f ( x) ln( a x), ( a 0) ；解：答： ln(an 1x nn. x) ln a( 1)n an 1(2) f ( x) sin2 x ；解：答： sin2 x ( 1)n 1 (2 x) 2 n , ( , ).n 1 2(2n)!(3) f ( x) (1 x)ln(1 x) ；解：答： (1 x)ln(1( 1)n 1 x nx) x , ( 1, 1].n 2 n( n 1)(4*) f ( x) x ；1 x2 解：x ( 1)n 2(2 n)! x 2 n 1答：x , [ 1, 1].1 x2 n 1 ( n!) 2 2(5). f ( x) x ．2xx2 3解：x 1 1 ( 1)n 1 x n 2(2n)! x 2 n 1答：, ( 1, 1).x 2 2 x 3 4 n 1 3n ( n!) 2 22. 将函数 f ( x) cos x 展开成 x的幂级数．3解：2 n2 n 1 n答： cosx1 ( 1)n 1 x 33 x 3, ( ,).2 n 0(2n)!(2n 1)! 3*. 将函数 f ( x) ln(3 x x 2 ) 在 x 1 展开成幂级数．解：答： ln(3 xx 2 ) ln 2( 1)n 11 ( x 1)n , (0, 2].n 02n n4*. 将函数 f (x)1展开成 x 4 的幂级数 .2 3xx 2解：答：1 11n3x 2n 0 2n 13n 1 ( x 4) , ( 6, 2).x 2§2 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 1, cosx ,sin x ,cos 2x ,sin 2x, L ,cos nx ,sin nx,L ( ).(A) 在区间 [ , ] 上正交； (B) 在区间 [ , ] 上不正交；(C) 在区间 [0, ] 上正交； (D) 以上结论都不对．答 (A) .2. 函数系 1, sin x , sin 2x, L , sin nx ,L().(A) 在区间 [0,] 上正交；(B) 在区间 [0, ] 上不正交；(C) 不是周期函数；(D) 以上结论都不对．答 (B) .3. 下列结论不正确的是 ()．(A) cosnx cosmxdx 0, ( n m) ； (B) sin nxsin mxdx 0, (n m) ； (C)cosnx sin mxdx 0 ；(D)cosnx cosnxdx0 ． 答 (D) .4. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是奇函数时，其傅里叶系数为 ()．(A) a n 0, b n 1 f ( x)sin nxdx ； (B) a n 0, b n 1 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) a n 0, b n 20, b n2sin nxdx ．答 (C) .f ( x)sin nxdx ； (D) a n0 05. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A) b n 0, a n 1 f ( x)sin nxd x ； (B) b n 0, a n 2 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) b n 0, a n 10, a n2cosnxdx ．答 (B) .f (x)cos nxdx ； (D) b n0 0二、填空题1. f ( x) 是以 2 为周期的函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：a0 (a n cosnx b n sin nx). 其中2 n 1a n1f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,L , b n1f ( x)sin nxdx , n 1,2,L .2. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数， f ( x) 傅里叶级数为．答： a0 a n cosnx. 其中 a n 2 f ( x)cos nxdx , n 0,1,2, L .2 n 1 03. f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：b n sin nx.2f ( x)sin nxdx , n 1,2, L . 其中 b nn 1 04. 在 f ( x) x,( x ) 的傅里叶级数中，5. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，6. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2. sin 2x 的系数为．答： 1. cos2 x 的系数为．答：0.三、简答题1.下列函数 f ( x) 的周期为 2 ，试将其展开为傅里叶级数．(1) f ( x) 3x21, (x) ；解：答： f ( x) 2 1 12 ( 1)2 n cosnx , ( , ).n 1 nbx , x 0 (2) f ( x) 0 x ；ax ,解：答： f (x)(a b) [1 ( 1)n]( ba)cosnx ( 1)n 1 ( a b) sin nx ,4n 1n 2nx (2 k 1) .2. 将函数 f (x)xx) 展开为傅里叶级数．2sin (3解：答： f (x)18 3( 1)n 1n sin nx, ( , ).n 19n 213. 将函数 f ( x)x ,(x) 展开成傅里叶级数．cos2解：答： f (x)2 4 ( 1)n 11 cosnx, [ , ].n 14n 214. 将函数 f (x)x x) 展开成正弦级数．, (02解：答： f (x)sin nx , (0, ]. n 1n 5. 将函数 f ( x) 2x 2 , (0 x) 展开成正弦级数和余弦级数．解：41)n2 22答： f (x)( nsin nx, [0, ).n 1n 3n 3f ( x) 228 ( 1)n cosnx , [0,].3n 1n 2§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是 ( )．ln x m x(A) coscos dx 0, ( n m) ；ll l(B)lxsinm xd x 0, ( nm) ；sin nlll(C) ln x sinm xd x 0 ； (D) lx sin n xdx 0答 (D) . cos sin n．l l l ll l2. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，则 f (x) 的傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosn xb n n x ； (B) a 0a n cosnx b n n x ；n 1l l 2n 1l l(C) b n n x ；(D) a 0 a n cos nx ． 答 (B) .n 1l 2 n 1 l 3. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当 f (x) 是偶函数时，其傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosnx ；(B) a 0a n cosnx ；2n 1ln 1l(C)b n sinn x；(D) a 0a n sin nx ． 答 (A) .n 1l2 n 1 l4. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当f (x) 是奇函数时，其傅里叶级数为 ( )．(A) b 0b n sinnx ；(B) b 0b n cosnx2 n1ln 1l(C)b n sinn x；(D)b n cosnx ．答 (C) .n 1ln 1l二、填空题1. f ( x) 是以 2为周期的函数 , f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cos nx b n sinnx .2n 122其中 an 11f ( x)cosnxdx,n 0,1,2, , bn1 1f (x)sin nxdx , n 1,2, L .2 12L2 122. f ( x) 是以 2l 为周期的偶函数 ,f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cosnx. 其中 a n2 2 n 1lllnf ( x)cos xdx , n 0,1,2, L .3. f ( x) 是以 2l 为周期的奇函数， f (x) 的傅里叶级数为 .答：b n sinn x . 其中 b n2 0 f (x)sin nxdx , n 1,2, L .n 1 l l l4. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数，1 x , 1 x 0 f ( x) , 0x．又设 f ( x) 的傅里叶x 2 级数的和函数为 S( x) ，则 S(0)， S(3)．答： S(0)S(3) 1 .25. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数， 2 ,1x 0f ( x)0 x，则 f (x) 的傅里叶级数x 3 ,1在 x 1 处收敛于．答： 3.2x ,1 0 x6. 设f ( x)是以2为周期的函数， f ( x)2，又设 S( x) 是 f ( x) 的正0,1x 12弦级数的和函数，则7．S4答： S 71 .4 4三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为f (x) 1 x21x 1 ，试将其展开2 2为傅里叶级数．解：答：11 1 ( 1)n 1x) ( , ).f ( x) 2 cos(2n12 n 122. 设周期函数在一个周期内的表达式为 f ( x) 2x 1, 3 x 0，试将其展开1 , 0 x 3 为傅里叶级数．解：答：1 62 [1 ( n n n 1 6 nf (x)n 1 n 2 1) ]cos x ( 1) sinx , x 3(2 k 1).2 3 n 33*. 将函数f ( x) x2 , (0 x 2) 分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 28 ( 1)n 1 2 n nx n n3 2 [( 1) 1] sin 2 x, 0 x 2.n 1x 24 16 ( 1)n n0 x 2. 32n2 cos x,n 1 2。

第十一章 无穷级数§11.1 级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数1n n aq ∞=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C)1q <； (D)1q >． 答(D)．2. 下列结论正确的是( )．(A)若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1n n u ∞=∑收敛；(C)若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；(D)若1n n u ∞=∑发散，则lim 0n n u →∞≠. 答(C)．3. 若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．(A)121()nn n u v S S ∞=±=±∑； (B)11nn ku kS ∞==∑；(C)21nn kvkS ∞==∑； (D)112nn nu S vS ∞==∑． 答(D). 4. 若级数1n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．(A)1()n n u S ∞=-∑收敛； (B)11n nu ∞=∑收敛； (C)11n n u∞+=∑收敛； (D)n ∞=收敛. 答(C).5. 若级数1n n a ∞=∑收敛，其和0S ≠，则级数121()n n n n a a a ∞++=+-∑收敛于( )．(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).6. 若级数∑∞=1n na发散，∑∞=1n nb收敛则 ( )．(A)∑∞=+1)(n n nb a发散；(B)∑∞=+1)(n n nb a可能发散，也可能收敛；(C)∑∞=1n nn ba 发散； (D)∑∞=+122)(n n n b a发散. 答(A).二、填空题1. 设1a <，则().n n a ∞=-=∑答：11a +. 2. 级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为．答：21ln 3-.3. 级数0n ∞=∑，其和是 ． 答： 14.数项级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和为.答：12. 5*. 级数0212nn n ∞=-∑的和为. 答： 3.三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)23238888(1)9999nn -+-++-+答： 收敛.解： (2) 11113693n+++++ 答： 发散.解：(3)1133n++ 答： 发散.解：(4) 232333332222n n +++++ 答： 发散.解：(5) 22331111111123232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答： 收敛.解：§11.2 正项级数收敛判别法、P — 级数一、单项选择题1. 级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=，则( )．(A)若1n n v ∞=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑收敛； (C)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑发散；(D)若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑发散. 答(D).2. 若10,(1,2,)n a n n≤<=，则下列级数中肯定收敛的是( )．(A)1nn a ∞=∑； (B)11()n n n a a ∞+=+∑；(C)21n n a∞=∑； (D)n ∞=． 答(C).3. 设级数 (1)12!nn n n n ∞=∑与 (2) 13!nn n n n ∞=∑，则( )． (A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).4. 设级数(1) n ∞=与 (2) 110!nn n ∞=∑, 则( ).(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛,级数(2)发散； (D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D).5. 下列级数中收敛的是( )．(A)1n ∞= (B)11sin n n ∞=∑； (C)1(1)31nn n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞=-∑． 答(A).6*. 若级数22116n n π∞==∑，则级数211(21)n n ∞==-∑( ). (A)24π; (B)28π; (C)212π; (D)216π. 答(B).7. 设1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑均为正项级数,若1lim=∞→nnn v u ，则下列结论成立的是( ).(A)1nn u ∞=∑收敛, 1n n v ∞=∑发散； (B) 1n n u ∞=∑发散, 1n n v ∞=∑收敛；(C)1nn u∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛,或1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散. (D)不能判别. 答(C).8. 设正项级数∑∞=1n nu收敛，则( ).(A)极限1limn n n u u +→∞≤1； (B) 极限1lim n n nuu +→∞<1；(C)极限1n； (D)无法判定. 答(A)9. 用比值法或根值法判定级数1n n u ∞=∑发散，则∑∞=1n nu( ).(A)可能发散； (B)一定发散；(C)可能收敛； (D)不能判定. 答(B)二、填空题1. 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是部分和nS .答：有上界.2. 设级数1n n α∞=∑收敛，则α的范围是. 答：32α>． 3. 级数1n n u ∞=∑的部分和21n nS n =+，则n u =. 答：2(1)n n +. 4. 级数0212n n n ∞=+∑是收敛还是发散. 答：收敛.5. 若级数11sin p n n n π∞=∑收敛，则p 的范围是. 答：0p >.6. 级数13!n n n n n∞=∑是收敛还是发散 . 答：发散.三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1) 2111n nn ∞=++∑； 答：发散. (2) 11(1)(2)n n n ∞=++∑； 答： 收敛.(3) 1sin2nn π∞=∑； 答：收敛. (4)11(0)1n n a a∞=>+∑.答1a >收敛;1a ≤发散.2. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1) 132nnn n ∞=⋅∑； 答：发散. (2) 213n n n ∞=∑； 答： 收敛. 解：(3) 12!n n n n n ∞=⋅∑； 答： 收敛. (4)11tan2n n n π∞+=∑． 答： 收敛.解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性：(1) 121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； 答： 收敛. (2)11[ln(1)]nn n ∞=+∑； 答：收敛.解： 解：(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑； 答：收敛.解：(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑其中,()n a a n →→∞，,,n a b a 均为正数．答：当b a <时收敛，当b a >时发散，当b a =时不能判断．§11.3 一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑满足,(1,2,)n n u v n ≤=,则( )．(A) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑发散；(B) 若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散；(C) 若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑发散；(D) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑未必收敛．答(D).2. 下列结论正确的是( )．(A) 1nn u∞=∑收敛，必条件收敛； (B) 1nn u∞=∑收敛，必绝对收敛；(C) 1nn u ∞=∑发散，则1nn u ∞=∑必条件收敛；(D)1n n u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛． 答(D) .2. 下列级数中，绝对收敛的是( )．(A) 1(1)31nn n n ∞=--∑; (B) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (C) 111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑； (D) 111(1)n n n ∞-=-∑． 答(B) .3. 下列级数中，条件收敛的是( )．(A) 1(1)n n ∞-=-∑； (B) 112(1)3nn n ∞-=⎛⎫-⎪⎝⎭∑； (C) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (D) 111(1)2n n n n ∞-=-⋅∑． 答(A) . 4. 设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛- ⎝∑( ). (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；(C) 发散； (D)敛散性与α的取值有关． 答(C).5. 设),3,2,1()11ln(cos =+=n nn a n π，则级数( ).(A)∑∞=1n na与∑∞=12n na都收敛. (B)∑∞=1n na与∑∞=12n na都发散.(C)∑∞=1n na收敛，∑∞=12n na发散. (D)∑∞=1n na发散，∑∞=12n na收敛. 答(C).6.设),3,2,1(10 =<<n na n ,则下列级数中肯定收敛的是( ). (A)∑∞=1n n a . (B)∑∞=-1)1(n n na . (C) ∑∞=2ln n n n a . (D)∑∞=22ln n n n a . 答(D). 7.下列命题中正确的是( ).(A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则21)(n n nv u+∑∞=收敛.(B)若∑∞=1n nn v u收敛,则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛.(C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥. (D)若),3,2,1( =<n v u n n ,且∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nv发散. 答(A).二、填空题1. 级数11(1)n n n α-∞=-∑绝对收敛，则α的取值范围是 ． 答： 1.α> 2. 级数11sin 2n n nαπ∞=∑条件收敛，则α的取值范围是 ． 答：0 1.α<≤3. 级数2n n a ∞=∑收敛，则0(1)nn n a n ∞=-∑是条件收敛还是绝对收敛 ．答：绝对.收敛三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1) 1(1)n n ∞-=-∑ 答： .条件收敛解： (2)111(1)3n n n n∞--=-∑； 答： .绝对收敛 解： (3)21sin (1)n n n α∞=+∑； 答： .绝对收敛 解： (4)111(1)32n nn ∞-=-⋅∑； 答： .绝对收敛 解： (5)111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑； 答： .条件收敛 解：(6) 2112(1)!n n n n ∞+=-∑ 答： .发散 解：§11.4 幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间是( )．(A)[1,1]-； (B)(1,1)-； (C)[1,1)-； (D)(1,1]-． 答(C).2. 幂级数1(1)(1)2nnnn x n ∞=+-⋅∑的收敛区间是( )．(A)[2,2]-； (B)(2,2)-； (C)[2,2)-；(D)(2,2]-． 答(D).3. 幂级数2213nn n x n ∞=⋅∑的收敛半径是( ).(A)3R =； (B)R ； (C)13R =； (D)R = 答(B). （A ） (C)（B ）(D)4. 若级数∑∞=+1)2(n nnx C 在4x =处是收敛的，则此级数在1x =处( ).(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(C).5. 若级数∑∞=+1)2(n nnx C 在4x =-处是收敛的，则此级数在1x =处( ).(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(D).6．若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a ( ).(A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性不能确定. 答(B).二、填空题1. 幂级数21nn x n∞=∑的收敛域是 ． 答： [1,1].-2. 幂级数2123n n nn x nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛域是． 答： 11,.33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 幂级数1211(1)(21)!n n n x n --∞=--∑的收敛半径R = ，和函数是 ．答：,sin .R x =+∞4. 幂级数20(1)(2)!n nn x n ∞=-∑的收敛半径R = ，和函数是 ．答：,cos .R x =+∞5. 设0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ，则20n n n a x ∞=∑的收敛半径为 ．答：6. 设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为4，则210n n n a x ∞-=∑的收敛半径为 ．答：2.7. 幂级数1(23)(1)21nn n x n ∞-=---∑的收敛域是 . 答：(1,2].8. 幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 .答：]2,0[.一、简答题1. 求下列幂级数的收敛域． (1)1nn nx∞=∑； 答： (1,1).- (2)121(1)nn n x n ∞-=-∑； 答： [1,1].- (3) 13nnn x n ∞=⋅∑； 答：[3,3)-． (4) 2121n n n x n ∞=+∑； 答：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．(5) nn ∞= 答：[4,6). (6)211(1)21n nn x n +∞=-+∑． 答：[1,1].-2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)11n n nx∞-=∑； 答：21(),(1,1)(1)S x x x =∈--． 解：(2) 21121n n x n -∞=-∑． 答：11()ln ,(1,1)21xS x x x +=∈--．解：3*. 求级数112nn n ∞=⋅∑的和． 答：2ln 2. 解：§11.5 函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数是( )．(A) 46212!3!x x x ++++；(B) 46212!3!x x x -+-+；(C) 2312!3!x x x ++++ ； (D) 2312!3!x x x -+-+． 答(B).2. 如果()f x 的麦克劳林展开式为20n n n a x ∞=∑，则n a 是( )．()(0)(A)!n f n ；(2)(0)(B)!n f n ；(2)(0)(C)(2)!n f n ；()(0)(D)(2)!n f n ． 答(A). 3. 如果()f x 在0x x =的泰勒级数为00()n n n a x x ∞=-∑，则n a 是( )．()0(A)()n f x ；(2)0()(B)!n fx n ；(2)0()(C)!n f x n ；()0()(D)!n f x n ． 答(C). 4. 函数()sin 2f x x =展开成x 的幂级数是( )．357(A)3!5!7!x x x x -+-+； 224466222(B)12!4!6!x x x -+-+； 335577222(C)23!5!7!x x x x -+-+； 462(D)14!6!x x x -+-+． 答(C).二、填空题1. 函数()xf x a =的麦克劳林展开式为． 答： 0(ln ).!n nn a x n ∞=∑ 2. 函数12()3x f x +=的麦克劳林展开式为． 0ln 3.2!nn n xn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3. 幂级数2111(1)(21)!n n n x n -∞-=--∑的和函数是 ． 答：sin .x4. 函数1()1f x x =-的麦克劳林级数为． 答：0.n n x ∞=∑5. 函数1()1f x x=+的麦克劳林级数为． 答：0(1).n n n x ∞=-∑6. 函数()ln(1)f x x =+的麦克劳林级数为．答： 11(1).nn n x n∞-=-∑ 7. 函数()xf x e =在1x =处的泰勒级数． 答：0(1).!n n ex n ∞=-∑8. 函数1()1f x x =+在1x =处的泰勒级数．答： 10(1)(1).2nnn n x ∞+=--∑ 9. 函数1()f x x=展开成3x -的幂级数为． 答： 1(3)(1).3nnn n x ∞+=--∑ 10. 函数2()cos f x x =展开成x 的幂级数为． 答：212012(1).2(2)!n nn n x n -∞=+-∑ 11. 级数0(1)(2)!nn n ∞=-∑的和等于. 答：cos1.三、简答题1. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间． (1) ()ln(),(0)f x a x a =+>； 解：答：11ln()ln (1).nn nn x a x a n a ∞-=+=+-⋅∑ (2) 2()sin f x x =；解：答：2211(2)sin (1),(,).2(2)!nn n x x n ∞-==--∞+∞∑ (3) ()(1)ln(1)f x x x =++； 解：答：12(1)(1)ln(1),(1,1].(1)n nn x x x x n n -∞=-++=+--∑(4*) ()f x =；解：21212(2)!(1),[1,1].(!)2n nn n x x n +∞=⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∑(5). 2()23xf x x x =--．解：答：211221112(2)!(1),(1,1).2343(!)2n n nn n x n x x x x n +∞-=⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑2. 将函数()cos f x x =展开成3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的幂级数．解：答： 221011cos (1),(,).2(2)!33nn n nn x x x n ππ+∞=⎡⎤⎛⎫⎫=-+++-∞+∞⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑3*. 将函数2()ln(3)f x x x =-在1x =展开成幂级数． 解：答： 2101(1)ln(3)ln 2(1),(0,2].2n n n n x x x n ∞-=-⎡⎤-=+--⎢⎥⎣⎦∑ 4*. 将函数21()32f x x x =++展开成4x +的幂级数.解：答： 2110111(4),(6,2).3223n n n n x x x ∞++=⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭∑§11.6 2π为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系{}1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,().x x x x nx nx(A) 在区间[,]ππ-上正交； (B) 在区间[,]ππ-上不正交；(C) 在区间[0,]π上正交； (D) 以上结论都不对． 答(A).2. 函数系{}1,sin ,sin 2,,sin ,().x x nx(A) 在区间[0,]π上正交； (B) 在区间[0,]π上不正交；(C) 不是周期函数； (D) 以上结论都不对． 答(B).3. 下列结论不正确的是( )．(A)cos cos d 0,()nx mx x n m ππ-=≠⎰；(B)sin sin d 0,()nx mx x n m ππ-=≠⎰； (C)cos sin d 0nx mx x ππ-=⎰； (D)cos cos d 0nx nx x ππ-=⎰． 答(D).4. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．(A)010,()sin d n n a b f x nx x ππ==⎰；(B)010,()cos d n n a b f x nx x ππ==⎰； (C)020,()sin d n n a b f x nx x ππ==⎰；(D)020,sin d n n a b nx x ππ==⎰．答(C).5. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A)010,()sin d n n b a f x nx x ππ==⎰；(B)020,()cos d n n b a f x nx x ππ==⎰； (C)010,()cos d n n b a f x nx x ππ==⎰；(D)020,cos d n n b a nx x ππ==⎰． 答(B).二、填空题1. ()f x 是以2π为周期的函数，()f x 傅里叶级数为．答：01(cos sin ).2n n n a a nx b nx ∞=++∑其中1()cos d ,0,1,2,,n a f x nx x n πππ-==⎰1()sin d ,1,2,.n b f x nx x n πππ-==⎰2. ()f x 是以2π为周期的偶函数，()f x 傅里叶级数为．答：01cos .2n n a a nx ∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,.n a f x nx x n ππ==⎰其中3. ()f x 是以2π为周期的奇函数，()f x 傅里叶级数为．答：1sin .n n b nx ∞=∑ 02()sin d ,1,2,.n b f x nx x n ππ==⎰其中4. 在(),()f x x x πππ=--≤≤的傅里叶级数中，sin x 的系数为 ．答：2.5. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，sin 2x 的系数为 ．答： 1.-6. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，cos2x 的系数为 ．答：0.三、简答题1. 下列函数()f x 的周期为2π，试将其展开为傅里叶级数．(1) 2()31,()f x x x ππ=+-≤<；解：答： 221(1)()112cos ,(,).nn f x nx nπ∞=-=++-∞+∞∑(2) ,0(),0bx x f x ax x ππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩；解：答：121[1(1)]()(1)()()()cos sin ,4n n n b a a b fx a b nx nx n n ππ-∞=⎧⎫----+=-++⎨⎬⎩⎭∑ (21).x k π≠+2. 将函数()2sin ()3xf x x ππ=-≤≤展开为傅里叶级数．解：答：121()(1)sin ,(,).91n n n f x nx n ππ∞+==---3. 将函数()cos ,()2x f x x ππ=-≤≤展开成傅里叶级数． 解：答：121241()(1)cos ,[,].41n n f x nx n ππππ∞+==+---∑4. 将函数(),(0)2xf x x ππ-=≤≤展开成正弦级数．解：答：1sin (),(0,].n nxf x n π∞==∑ 5. 将函数2()2,(0)f x x x π=≤≤展开成正弦级数和余弦级数．解：答：2331422()(1)sin ,[0,).n n f x nx n n n πππ∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ 2212(1)()8cos ,[0,].3nn f x nx nππ∞=-=+∑§11.7 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是( )．(A)coscos d 0,()lln x m xx n m l l ππ-=≠⎰； (B)sin sin d 0,()l l n x m x x n m l l ππ-=≠⎰；(C)cos sin d 0l l n x m x x l l ππ-=⎰； (D)sin sin d 0l l n x n x x l lππ-=⎰． 答(D).2. ()f x 是以2l 为周期的函数，则()f x 的傅里叶级数为( )．(A)01cos n n n n x n x a a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑；(B)01cos 2n n n a n x n x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑； (C)1nn n xb l π∞=∑； (D)01cos 2n n a n x a l π∞=+∑． 答(B). 3. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶级数为( )．01(A)cos2n n a n x a l π∞=+∑； 01(B)cos n n n xa a l π∞=+∑； 1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 01(D)sin 2n n a n xa l π∞=+∑． 答(A). 4. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶级数为( )．01(A)sin 2n n b n x b l π∞=+∑； 01(B)cos n n n x b b l π∞=+∑1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 1(D)cos n n n xb l π∞=∑． 答(C).二、填空题1. ()f x 是以2为周期的函数, ()f x 的傅里叶级数为.答：01cossin .222n n n a n n a x b x ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ 111()cos d ,0,1,2,,22n n a f x x x n π-==⎰其中111()sin d ,1,2,.22n n b f x x x n π-==⎰2. ()f x 是以2l 为周期的偶函数, ()f x 的傅里叶级数为.答：01cos .2n n a n a x l π∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,.l n n a f x x x n l lπ==⎰其中3. ()f x 是以2l 为周期的奇函数，()f x 的傅里叶级数为.答：1sin.n n n b x l π∞=∑ 02()sin d ,1,2,.n n b f x x x n l l ππ==⎰其中4. 设()f x 是以3为周期的函数，1,10(),02x x f x x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩．又设()f x 的傅里叶级数的和函数为()S x ，则(0)S =，(3)S =．答：1(0)(3).2S S ==5. 设()f x 是以3为周期的函数，32,10(),01x f x x x -≤<⎧=⎨≤<⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =处收敛于．答：3.26. 设()f x 是以2为周期的函数，1,02()10,12x x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，又设()S x 是()f x 的正弦级数的和函数，则74S ⎛⎫= ⎪⎝⎭．答： 71.44S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为211()122f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭，试将其展开为傅里叶级数．解：答： 121111(1)()cos(2)(,).122n n f x n x ππ=∞=-=+-∞+∞∑2. 设周期函数在一个周期内的表达式为21,30()1,03x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩，试将其展开为傅里叶级数．解：答： 1221166()[1(1)]cos(1)sin ,3(21).233n n n n n f x x x x k n n ππππ∞+=⎧⎫=-+--+-≠+⎨⎬⎩⎭∑ 3*. 将函数2(),(02)f x x x =≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 123218(1)2[(1)1]sin ,0 2.2n n n n x x x n n πππ+∞=⎧⎫-=+--≤<⎨⎬⎩⎭∑ 2221416(1)cos ,0 2.32n n n x x x n ππ∞=-=+≤≤∑。

第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

第一次作业1.写出级数√x2+x2?4+x√x2?4?6+x22?4?6?8+?的一般项。

解：一般项为u n=(x12)n (2n)!!2.已知级数∑2n n! n n∞n=1收敛，试求极限limn→∞2n n!n n。

解：由级数收敛必要条件可知lim n→∞2n n!n=03.根据级数性质，判定级数∑(15n+2n)∞n=1的敛散性。

解：因为级数∑(1 5n )∞n=1收敛，级数∑(2n)发散，∞n=1所以由性质可推导出级数∑(15n+2n)发散。

∞n=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n−1−√n)的敛散性，∞n=1若收敛，求其和。

解：设u n=√n−1−√n ,S n=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n−1−√n=√n+1−1=n1+√n+1因为limn→∞S n=limn1+√n+1=∞ ,所以所求级数发散。

5.判定级数∑√n +1n∞n=1的敛散性。

解：因为lim n→∞u n =lim n→∞√n +1n=1≠0 ， 所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n=1发散 。

6.1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1的敛散性。

解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n∞n=1 第二次作业1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑2n +1()2()2∞n=1 的敛散性。

解：因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2n 3由∑1n3∞n=1是收敛的，所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞n=1收敛。

2.如果∑a n ∞n=1，∑b n ∞n=1为正项级数且收敛，试判定∑√a n b n ∞n=1的敛散性 。

解：因为√n b n ≤a n +b n2,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞n=1收敛。

3.根据极限审敛法，判别级数∑sin πn 的敛散性 。

第一次作业1.写出级数√x2+x2?4+x√x2?4?6+x22?4?6?8+?的一般项。

解：一般项为u n=(x12)n (2n)!!2.已知级数∑2n n! n n∞n=1收敛，试求极限limn→∞2n n!n n。

解：由级数收敛必要条件可知lim n→∞2n n!n=03.根据级数性质，判定级数∑(15n+2n)∞n=1的敛散性。

解：因为级数∑(1 5n )∞n=1收敛，级数∑(2n)发散，∞n=1所以由性质可推导出级数∑(15n+2n)发散。

∞n=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n−1−√n)的敛散性，∞n=1若收敛，求其和。

解：设u n=√n−1−√n ,S n=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n−1−√n=√n+1−1=n1+√n+1因为limn→∞S n=limn1+√n+1=∞ ,所以所求级数发散。

5.判定级数∑√n +1n∞n=1的敛散性。

解：因为lim n→∞u n =lim n→∞√n +1n=1≠0 ， 所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n=1发散 。

6.1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1的敛散性。

解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n∞n=1 第二次作业1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑2n +1()2()2∞n=1 的敛散性。

解：因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2n 3由∑1n3∞n=1是收敛的，所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞n=1收敛。

2.如果∑a n ∞n=1，∑b n ∞n=1为正项级数且收敛，试判定∑√a n b n ∞n=1的敛散性 。

解：因为√n b n ≤a n +b n2,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞n=1收敛。

3.根据极限审敛法，判别级数∑sin πn 的敛散性 。

第一次作业1.写出级数√x2+x2?4+x√x2?4?6+x22?4?6?8+?的一般项。

解：一般项为u n=(x12)n (2n)!!2.已知级数∑2n n! n n∞n=1收敛，试求极限limn→∞2n n!n n。

解：由级数收敛必要条件可知lim n→∞2n n!n=03.根据级数性质，判定级数∑(15n+2n)∞n=1的敛散性。

解：因为级数∑(1 5n )∞n=1收敛，级数∑(2n)发散，∞n=1所以由性质可推导出级数∑(15n+2n)发散。

∞n=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n−1−√n)的敛散性，∞n=1若收敛，求其和。

解：设u n=√n−1−√n ,S n=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n−1−√n=√n+1−1=n1+√n+1因为limn→∞S n=limn1+√n+1=∞ ,所以所求级数发散。

5.判定级数∑√n +1n∞n=1的敛散性。

解：因为lim n→∞u n =lim n→∞√n +1n=1≠0 ， 所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n=1发散 。

6.1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1的敛散性。

解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n∞n=1 第二次作业1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑2n +1()2()2∞n=1 的敛散性。

解：因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2n 3由∑1n3∞n=1是收敛的，所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞n=1收敛。

2.如果∑a n ∞n=1，∑b n ∞n=1为正项级数且收敛，试判定∑√a n b n ∞n=1的敛散性 。

解：因为√n b n ≤a n +b n2,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞n=1收敛。

3.根据极限审敛法，判别级数∑sin πn 的敛散性 。