2020-2021广州市高一数学下期末第一次模拟试卷及答案

【压轴题】高一数学下期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）4．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m6．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）7．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．608．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．609．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3 B ．3(0,]4C ．3D ．3[,1)411．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒二、填空题13．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．16．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v在BC uuu v方向上的投影为________．17．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v的最小值是_____.18．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 19．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．三、解答题21．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．23．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，22243a cb S +-=，其中S 为ABC V 的面积． （1）求sin C ；（2）若23a b -=-，求ABC V 的周长． 24．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程^^^t yb a =+（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.附：回归方程^^^t y b a =+中1122211()(),{().n niii ii i nni i i i x x y y x y nxyb x x x nx a y bx ====---==--=-∑∑∑∑25．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.26．如图，在等腰直角OPQ ∆中，090POQ ∠=，22OP =，点M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若5OM =，求PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.4．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.9．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．10．A解析：A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．11．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．12．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】在ABC ∆中，5a =Q ，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <Q ，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．二、填空题13．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：511-【解析】 【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 剟时，()21x f x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则解析：4 【解析】 【分析】 【详解】由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=16．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu r方向上的投影即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，(C ，则：()2,0AB =uu u r ，(BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r且2AB =u u u r ，BC =u u u v据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-u u u v u u u vu u uv .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：77【解析】 【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-ou u u r u u u r u u u r u u u r线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r()12AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u u r u u u r u u u r222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r 221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN u u u u r 取得最小值17因而min7MN==u u u u r故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.18．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,,33OEO O E O A ∠===o ,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==o,所以外接圆半径2211421133r OA OO O A ==+=+=.19．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确；对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00ff f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为．考点：三视图．三、解答题21．（12）22x (y 1)5++=． 【解析】 【分析】()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程． 【详解】解：()121l //l Q ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=，1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l 的距离2261d 5512-===+． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-， 所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-． 由()1知C e 的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 22．(1) ． (2)．【解析】 【分析】 【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算 23．（1）264；（23263 【解析】 【分析】（1）由正弦可得R 2sin aA=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解； （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得cos 2sin aa A A=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.由2221csin 2a c b a B +-=⋅，由余弦定理可得2cos sin ac B B =，tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，()sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+=⎪⎝⎭. （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，又a b -=a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩又sin C =2c ∴==a b c ∴++=+. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.24．（Ⅰ） 1.2.6ˆ3yt =+，（Ⅱ）10.8千亿元. 【解析】试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出,x y ，211,.nnnt iny i i i i l tnt l t y nty ===-=-∑∑的值，然后代入ˆny ntl bl =求得ˆb，再代入ˆˆa y bt =-求出ˆa 值，从而就可得到回归方程 1.2.6ˆ3y t =+，（Ⅱ）将6t =代入回归方程 1.2.6ˆ3yt =+可预测该地区2015年的人民币储蓄存款． 试题解析： （1）列表计算如下这里111365,3,7.2.55n i i i i n t t y y n n =========∑∑ 又2211555310,120537.212.nnnt iny i i i i l tnt l t y nty ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑从而12 1.2,7.2 1.23 3.610ˆˆˆny nt l b a y bt l ====-=-⨯=. 故所求回归方程为 1.2.6ˆ3yt =+. （2）将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为1.26 3.610.8(ˆ).y=⨯+=千亿元 考点：线性回归方程. 25．（Ⅰ）516.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为516． （Ⅱ） 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为616； 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 26．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=︒时， OMN ∆的面积的最小值为8-【解析】 【分析】 【详解】解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理, 得sin OM OPM ∠=sin OMOPM∠,所以OM=()sin 45sin 45+OP α。

2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。

2020-2021广州市高中必修二数学下期末一模试卷(带答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥ 2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7? 4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A．21+ B ．31+ C ．2232+ D ．332+ 6．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-7．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +8．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48πB ．12πC ．12πD ．3π9．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[]1,1- D ．(]1,1-10．已知0,0a b >>，并且111,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．911．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2πB ．C ．D ．3π 12．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m=_________ ．14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b 3a 2b a++的最小值等于______． 16．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则n a n 的最小值为_______. 17．函数()12x f x -的定义域是__________．18．已知四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直；②平面PBC 与平面ABCD 垂直；③△PCD 的面积大于△PAB 的面积；④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)19．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．三、解答题21．已知函数31()log 1a m x f x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称． （1）求实数m 的值；（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．22．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│.（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.23．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=.（1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程.24．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为2a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 3．A解析：A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C. 考点：程序框图.4．A解析：A【解析】【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.【详解】函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A .【点睛】 本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当AC BC ==时，取等号．∴121)12S =⨯+++⨯= 故选C ． 点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．6．C解析：C【解析】【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x -=-且()00f =又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=-在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-=所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．7．A解析：A【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．8．D解析：D【解析】【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】 由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+， 所以22222a b c a ac +-=+，所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．C【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项. 点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．D解析：D【解析】 ∵111,,2a b成等差数列，()11114144559a b a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++= ⎪⎝⎭，…， 当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 11．A解析：A【解析】【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，， 222313()22a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．12．A解析：A【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】 试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．15．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11【解析】 分析：构造基本不等式模型1132()(32)b b a b a b a a b a ++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：Q 111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b ++=+++=++ Q 0a >，0b >，∴0b a >，0a b>， ∴2b a a b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611b a b a++≥+=. ∴32b a b a++的最小值等于11. 故答案为11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.16．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案解析：415. 【解析】 【分析】根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入na n中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,2(1)22n nn n -=⨯=- 而121,a =所以221n a n n =-+,则221211n a n n n n n n-+==+-, 因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254n a n ==, 当5n =时,418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为415. 故答案为:415【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.18．①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC 得PB ⊥平面ABCD 从而PA ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝CD·PDS △PAB ＝AB·PA 由 解析：①③ 【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ， 由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．19．【解析】故答案为 解析：75【解析】1tan tan 17446tan tan 144511tan tan644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭故答案为75.20．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象解析：10【解析】 【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解 【详解】连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC P ，连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111Rt AC B n 中，111AC =，1111122C E C B == 152A E ∴=, 同理可得162A D =,52DE = 222165530cos 652A DE +-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯, ∴异面直线1A B 与1AC 3030【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题21．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验； （2）根所在（1）中求得的m 值，得到1()log 1ax f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对 a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.【详解】解：（1）31()log 1a m x f x x -=-Q ，31()()log 1a m x f x x -⋅-∴-=--．又Q 函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，331()1log log 11a am x m xx x -⋅--∴=----， 331()1111m x m xx x -⋅--∴⋅=---，()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，1m ∴=-或1m =．当1m =时，函数的真数为1-，不成立，1m ∴=-．（2）据（1）求解知，1()log 1ax f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴<⇒<；当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴>⇒>．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论. 22．（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 54=，从而可得m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，f （x ）≥1， ∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，， 当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 12=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 32=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）9942=-+-154=； 当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 12=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max 54=， ∴m 的取值范围为（﹣∞，54]． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 23．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 24．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）113n n n T +=-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件得()241n n S a =+，由1n =得1a ，当2n ≥时，()21141n n S a --=+，两式作差得2211422n n n n n a a a a a --=+--，整理得12n n a a --=，由等差数列公式求通项即可； （Ⅱ）由()1213n n b n =-⋅，利用错位相减即可得解. 试题解析：（Ⅰ）1n a =Q ， ()241n n S a ∴=+． 当1n =时，()21141S a =+，得11a =． 当2n ≥时，()21141n n S a --=+，()()()2211411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，0,n a >Q 12n n a a -∴-=．∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，()12121n a n n ∴=+-=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n n b n =-⋅， ()231111135213333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①()()23111111132********n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②①–②得()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⋅ ⎪⎝⎭()21111113322113313n n n ++-=+⨯--⋅-， 化简得113n n n T +=-．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n nb n =-⋅， 设()()()()111112112323333n n n n nb n An B A n B An A B -⎡⎤=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅⎣⎦， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩()()()()1111111211133333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅， ∴()120112111111111223113333333n n n n nn T b b b n n -+⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++⋅⋅⋅+=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L .25．（1）13n n a = （2）21n n -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1n b 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和 26．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解. 试题解析:（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥Q 所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC （2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥ 所以1A O ⊥平面BCDE21116332BCDEAO S a a a ∴⋅=⋅== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．。

广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案)广州市第二学期期末考试试题本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

高一数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.与-60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式x-2y+4>0表示的区域在直线x-2y+4=0的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角α的终边经过点P(-3,-4)，则cosα的值是A.-4/5B.-3/5C.-5/3D.5/34.不等式x-3x-10>0的解集是A.{x|-2≤x≤5}B.{x|x≥5,或x≤-2}C.{x|-25,或x<-2}5.若sinα=-3/5，α是第四象限角，则cos(π/4+α)的值是A.4/5B.7/10C.1/10D.1/76.若a,b∈R，下列命题正确的是A.若a>|b|，则a>bB.若a<b，且a≠-b，则a+b<0C.若a≠|b|，则a≠bD.若a>b，则a-b<07.要得到函数y=3sin(2x+π/5)图象，只需把函数y=3sin2x 图象A.向左平移π/5个单位B.向右平移π/5个单位C.向左平移π/2个单位D.向右平移π/2个单位8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则PA+PB+PC+PD等于A.4PMB.3PMC.2PMD.PM9.已知sinα=-17/46，cosα=15/46，则sinα+cosα的值是A.-17/46B.15/46C.-7/46D.7/4610.已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A.4B.2√2C.2D.2/√211.已知点(n,a_n)在函数y=2x-13的图象上，则数列{a_n}的前n项和S_n的最小值为A.36B.-36C.6D.-612.若钝角ΔABC的内角A,B,C成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是A.(1,2) (2,+∞)B.(0,1)C.[3,+∞)D.(3,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本参考答案仅供参考，具体评分以考试时学校出题人和阅卷老师为准。

2020-2021学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．已知复数z＝a2+（a+1）i，若z是纯虚数，则z的共轭复数＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是（）A．对立事件B．相互独立事件C．互斥但非对立事件D．以上都不对3．某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm、177.6cm，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（）A．176cm B．176.3cm C．176.6cm D．176.9cm4．复平面内的平行四边形OABC的项点A和C（O是坐标原点）对应的复数分别为4+2i 和﹣2+6i，则点B对应的复数为（）A．2+6i B．2+8i C．6+2i D．8+2i5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则EF 与平面ABCD所成角的正切值是（）A．B．C．D．6．某运动队为了对A、B两名运动员的身体机能差异进行研究，将A、B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分绘成折线图，并提出下列四个结论，其中错误的结论是（）A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分B．第2天至第7天B运动员的得分逐日提高C．第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量D．A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差7．关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊥β，a⊥b，b⊂α，则α∥βC．若a∥α，α⊥β，则a⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b8．如图，在△ABC中，∠CAB＝，AB＝3，AC＝2，，，则||＝（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2+x−2<0}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {−2,−1,0}B. {−1,0，1}C. {−1,0}D. {0,1}2.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设a⃗、b⃗ 都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立的充分条件是()A. a⃗=−b⃗B. a⃗//b⃗C. a⃗=2b⃗D. a⃗//b⃗ 且|a⃗|=|b⃗ |4.在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是()A. 11πB. 12πC. 13πD. 14π5.已知函数y=x a，y=b x，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. b<c<a6.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是()A. 65，280B. 68，280C. 65，296D. 68，2967.函数f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且f(x+1)为奇函数，当x>1时，f(x)=x2−6x+8，则函数f(x)的所有零点之和是()A. 2B. 4C. 6D. 88. 将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[0,π2]上是单调增函数，则实数ω的最大值为( )A. 23B. 1C. 65D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若a >b >0，则下列不等式成立的是( )A. √a >√bB. 1a 2>1b 2C. ac 2>bc 2D. a −1a >b −1b10. 口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球中至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是( )A. 事件A 与D 为对立事件B. 事件B 与C 是互斥事件C. 事件C 与E 为对立事件D. 事件P(C ∪E)=111. △ABC 中，A =π2，AB =AC =2，则下列结论中正确的是( )A. 若G 为△ABC 的重心，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 若P 为BC 边上的一个动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )为定值4 C. 若M 、N 为BC 边上的两个动点，且MN =√2,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为32D. 已知Q 是△ABC 内部(含边界)一点，若AQ =1，且AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值是112. 已知三棱锥P −ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，AB =BC =2，PA =PC =√5，AB ⊥BC ，过B 作平面ABC 的垂线BQ ，且BQ =AB ，PQ =3，P 与Q 都在平面ABC 的同侧，则( )A. 三棱锥P −ABC 的体积为23 B. PA ⊥ABC. PC//BQD. 球O 的表面积为9π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=−15，则tanθ= ______ ．14. 某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张(不放回)，乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为______ ．15. 已知函数f(x)=|x +1|−|x −3|，若对∀x ∈R ，不等式f(x)≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是______ ．16.已知正数a，b满足a+b−1a −4b=8，则a+b的最小值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c=23b,sinBb=√3cosAa，(1)求A的值；(2)若b=3，求△ABC外接圆的面积．18.为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．(1)利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；(2)利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x−和方差s2(以各组的区间中点值代表该组的取值)．19.在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：(1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．20.已知点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1,−√3)，当|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π3．(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)求函数f(x)在x∈(π9,4π9)内的值域；(3)若方程3[f(x)]2−f(x)+m=0在x∈(π9,4π9)内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．21.如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD⏜所在的平面垂直，AB=2，AD=√22，M 是CD⏜上异于C，D的动点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．22.已知f(x)=x2+x+a2+a，g(x)=x2−x+a2−a，且函数f(x)和g(x)的定义域均为R，用M(x)表示f(x)，g(x)的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，(1)若a=1，试写出M(x)的解析式，并求M(x)的最小值；(2)若函数M(x)的最小值为3，试求实数a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|−2<x<1}，B={−2,−1,0，1，2}，∴A∩B={−1,0}．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由(z−1)i=1+i，得z−1=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z=2−i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|⇔a⃗=|a⃗ |b⃗|b⃗|⇔a⃗与b⃗ 共线且同向⇔a⃗=λb⃗ 且λ>0，故选C．利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．4.【答案】B【解析】解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，∵BC=4，∠ABC=120°，∴CO=2√3，⋅π⋅OC2⋅AB=12π，∴几何体的体积V=13故选：B△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO 为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积，其中分析出几何体的形状及底面半径和高之差等几何量是解答的关键．5.【答案】A【解析】解：根据幂函数的性质可知：a>0，又∵幂函数y=x a，当x=2时，y<2，即2a<2，∴0<a<1，根据指数函数的性质可知：b>1，又∵指数函数y=b x，当x=1时，y<2，即b<2，∴1<b<2，根据对数函数的性质可知：c>1，又∵对数函数y=log c x，当x=2时，y<1，即log c2<1，∴c>2，故：a<b<c，故选：A．分别利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，结合特殊点，即可判断出a，b，c的大小关系．本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的性质，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70， 甲队队员在所有队员中所占权重为11+4=15， 乙队队员在所有队员中所占权重为41+4=45，则甲、乙两队全部队员的平均体重为x −=15×60+45×70=68，甲、乙两队全部队员体重的方差为s 2=15[200+(60−68)2]+45[300+(70−68)2]=296． 故选：D ．先求出甲、乙两队队员所有队员中所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x +1)为奇函数，函数f(x +1)的图象关于(0,0)对称， 则函数f(x)的图象关于(1,0)对称，当x >1时，f(x)=x 2−6x +8，此时若f(x)=x 2−6x +8=0，解可得x 1=2，x 2=4， 又由函数f(x)的图象关于(1,0)对称，则当x <1时，f(x)=0有两解，为x 3=0，x 4=−2， 则函数f(x)的所有零点之和为2+4+0+(−2)=4； 故选：B ．根据题意，分析可得函数f(x)的图象关于(1,0)对称，由函数的解析式求出x >1时函数的零点，分析可得x <1时f(x)的零点，相加即可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数的对称性以及函数的零点，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)=sin[ω(x−π12)]的图象，由于x∈[0,π2]，所以ω(x−π12)∈[−ωπ12,5ωπ12]，由于函数g(x)在区间[0,π2]上是单调增函数，所以[−ωπ12,5ωπ12]⊆[−π2,π2]，故5ωπ12≤π2，且−ωπ12≥−π2，解得ω≤65故选：C．直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：由a>b>0，可得√a>√b，故A正确；由a>b>0，可得a2>b2，所以1a2<1b2，故B错误；若c=0，则ac2=bc2，故C错误；由a>b>0，可得1a <1b，所以−1a>−1b，所以a−1a>b−1b，故D正确．故选：AD．由不等式的性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵事件A=“取出的两球同色”，D=“取出的两球不同色”，∴件A与D 为对立事件，故A对，事件BC=“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B与C不是互斥事件，故B 错，事件CE =“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C 与E 不是对立事件，故C 错， 事件C ∪E 为必然事件，故P(C ∪E)=1，故D 对， 故选：AD ．由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可． 本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)． 对于A ，由重心坐标公式，可得G(23,23)，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23)，23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,43)， ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错误； 对于B ，设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=[t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²+(1−t)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |²+(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4t +4(1−t)=4， 故B 正确；对于C ，不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x ≤√2， 得M(2−√22x,√22x)，N(2−√22(x +√2),√22(x +√2))=(1−√22x,1+√22x)． 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−√22x,√22x)(1−√22x,1+√22x) =(2−√22x)(1−√22x)+√22x(1+√22x)=x²−√2x +2．当x =√22时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为32，故C 正确； 对于D ，由AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且Q 为△ABC 内一点，BQ =1， 得{1<2λ<20<2μ<√24，即{12<λ<10<μ<√28，则λ+μ的最大值大于1，故D 错误． 故选：BC ．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断选项A ；设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，把AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )用含有t 的代数式表示即可判断选项B ；不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x ≤√2，求得M 与N 的坐标，得到AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于x 的函数，利用二次函数求最值即可判断选项C ；由向量加法的平行四边形法则结合图形求得λ与μ的范围即可判断选项D ．本题主要考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．12.【答案】ABD【解析】解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足AB =BC =2，PA =PC =√5，AB ⊥BC ， 三棱锥P −ABC 的体积为13×12×2×2×1=23，故A 正确； PB =√PD 2+BD 2=√PD 2+AB 2+AD 2=√22+22+12=3， 满足PA 2+AB 2=PB 2，可得PA ⊥AB ，故B 正确； BQ ⊥平面ABC ，PD ⊥平面ABC ，则BQ//PD ，假设PC//BQ ，则PC//PD ，与PD 与PC 相交于P 矛盾，故C 错误； 三棱锥P −ABC 的外接球即长方体DG 的外接球，设其半径为R ，则2R =√22+22+12=3，即R =32，可得球O 的表面积为4π×(32)2=9π，故D 正确． 故选：ABD ．把三棱锥放置在长方体中，画出图形，由棱锥体积公式求三棱锥P −ABC 的体积判断A ；利用勾股定理证明PA ⊥AB ；由反证法思想说明C 错误，求出长方体的外接球的表面积判断D ．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−34【解析】解：∵sinθ+cosθ=−15，…(1)， ∴两边平方得1+2sinθcosθ=125， ∴sinθcosθ=−1225<0，又0<θ<π，可知：sinθ>0，cosθ<0， ∴sinθ−cosθ>0，∵(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=1+2425=4925， ∴sinθ−cosθ=75， (2)由(1)，(2)可得sinθ=35，cosθ=−45， ∴tanθ=−34．故答案为：−34．由sinθ+cosθ=−15，平方可由此求得sinθ⋅cosθ 的值，由sinθ⋅cosθ以及sin 2θ+cos 2θ=1可得cosθ和sinθ的值，从而求得tanθ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14.【答案】110【解析】解：由题意，甲中一等奖乙中一等奖的概率P =C 21C 11C 51C 41=220=110．故答案为：110．求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可． 本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．15.【答案】[4,+∞]．【解析】解：(1)函数f(x)=|x+1|−|x−3|={−4,x≤−12x−2,−1<x<3 4,x≥3，作出f(x)的图象如图所示，由图象可得函数f(x)的最大值为4，若对∀x∈R，不等式f(x)≤m恒成立，则m≥4，即实数m的取值范围是[4,+∞]．故答案为：[4,+∞]．去掉绝对值符号，化简函数f(x)的解析式，结合函数的图象，求解函数的最大值，然后求解m的范围即可．本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：a>0，b>0，则a+b>0，设a+b=x，则1a +4b=x−8，由基本不等式的结论可得，1a +4b≥(√1+√4)2a+b=9a+b，即x(x−8)≥9x，即x2−8x−9≥0，所以x≤−1(舍)或x≥9，即a+b≥9，当且仅当b=2a时取等号，所以a+b的最小值为9．故答案为：9．设a+b=x，则1a +4b=x−8，然后利用基本不等式的结论，构造关于x的一元二次不等式，求解即可得到a+b的最小值．本题考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键在于构造，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为sinBb =√3cosAa，所以由正弦定理可得sinBsinB =√3cosAsinA，即tanA=√3，因为A∈(0,π)，所以A=π3．(2)因为b=3，c=2b3=2，A=π3，所以由余弦定理可得a=√b2+c2−2bccosA=√9+4−2×3×2×12=√7，所以△ABC外接圆的半径R= a2sinA=√72×√32=√213，可得△ABC外接圆的面积S=πR2=7π3．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得tanA=√3，结合范围A∈(0,π)，可得A的值．(2)由题意可求c的值，根据余弦定理可得a的值，利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，进而根据圆的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)设组距为a，则有(0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02)×a=1，解得a=2，所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，因为10～12所占频率为2×0.02=0.04，8～10所占频率为2×0.04=0.08，故8～12所占频率为0.12>0.10，故第90百分位数在[8,10]之间，即为10−0.1−0.040.08×2=8.5；(2)由频率分布直方图可得，x−=(1×0.08+3×0.10+5×0.14+7×0.12+9×0.04+11×0.02)×2=5；s2=[(1−5)2×0.08+(3−5)2×0.10+(5−5)2×0.14+(7−5)2×0.12+(9−5)2×0.04+(11−5)2×0.02]×2=7.04．【解析】(1)设组距为a ，利用频率之和为1，建立关于a 的等式，求出a ，然后得到横轴的数据，然后利用百分位数的计算方法求解即可；(2)利用频率分布直方图中平均数和方差的计算方法求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，频率之和为1的应用，频率分布直方图中平均数、方差以及百分位数的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P(AB −+A −B)=P(A)P(B −)+P(A −)P(B)=35×(1−25)+(1−35)×25=1325．(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： P(A −B −)=P(A −)P(B −)=(1−35)×(1−25)=625．【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P(AB −+A −B)=P(A)P(B −)+P(A −)P(B)，由此能求出结果．(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P(A −B −)=P(A −)P(B −)，由此能求出结果．20.【答案】解：(1)由题意，角φ的终边经过点P(1,−√3)，则有tanφ=−√3，又−π2<φ<0，则φ=−π3， 因为当|f(x 1)−f(x 2)|=4时，|x 1−x 2|的最小值为π3， 则T =2π3=2πω，所以ω=3，故f(x)=2sin(3x −π3)， 令π2+2kπ≤3x −π3≤3π2+2kπ,k ∈Z ，解得5π18+2kπ3≤x ≤11π18+2kπ3,k ∈Z ，所以函数f(x)的单调减区间为[5π18+2kπ3,11π18+2kπ3],k ∈Z ；(2)因为x∈(π9,4π9)，则3x−π3∈(0,π)，所以sin(3x−π3)∈(0,1)，故f(x)∈(0,2)，所以函数f(x)在x∈(π9,4π9)内的值域为(0,2)；(3)由(2)可知，函数f(x)在x∈(π9,4π9)内的值域为(0,2)，令t=f(x)，则t∈(0,2)，问题转化为方程3t2−t+m=0在(0,2)上仅有一个根或两个相等的根，即−m=3t2−t，t∈(0,2)，则y=−m与y=3t2−t的图象在t∈(0,2)上只有一个交点，作出函数y=−m与y=3t2−t在t∈(0,2)上图象，由图象可知，当−m=−112或0≤−m<10时，两个图象只有一个交点，解得m=112或−10<m≤0，故实数m的取值范围为{112}∪(−10,0]．【解析】(1)利用三角函数的定义求出φ的值，由当|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π3，求出函数的周期，从而求出ω的值，由此得到函数的解析式，利用整体代换以及正弦函数的单调性求解即可；(2)利用x的范围，求出3x−π3∈[0,π]，利用由正弦函数的性质求解即可；(3)令t=f(x)，则t∈(0,2)，将问题转化为y=−m与y=3t2−t的图象在t∈(0,2)上只有一个交点，利用数形结合法求解即可．本题考查了函数与方程的综合应用，三角函数解析式的求解，三角函数性质的应用以及三角函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)证明：由题意可知，平面CMD⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD=CD，又BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，故BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，所以BC⊥DM，因为M 是CD⏜上异于C ，D 的动点，且CD 为直径， 所以DM ⊥CM ，又BC ∩CM =C ，BC ，CM ⊂平面BMC ， 所以DM ⊥平面BMC ，又DM ⊂平面AMD ， 故平面AMD ⊥平面BMC ；(2)解：过点M 作MH ⊥CD ，交CD 于点H ，连接HB ，MC ， 由平面DMC ⊥平面ABCD ，且平面CMD ∩平面ABCD =CD ， 所以MH ⊥平面ABCD ，则∠MBH 为MB 与平面ABCD 所成角，即∠MBH =θ， 不妨设HC =x ，(0<x <2)，所以DH =2−x ，则由射影定理可得，MH 2=x(2−x)=2x −x 2， 又HB 2=x 2+(√22)2=x 2+12，所以MB 2=MH 2+HB 2=2x +12，故sin 2θ=MH 2MB 2=2x−x 22x+12，令2x +12=y ∈(12,92)， 故sin 2θ=(y−12)(y−122)2y =54−(y 4+916y)≤54−2√y 4⋅916y=12， 当且仅当x =12时取等号， 所以sinθ的最大值为√22．【解析】(1)利用面面垂直的性质定理证明BC ⊥平面CMD ，进一步证明DM ⊥平面BMC ，由面面垂直的判定定理证明即可；(2)过点M 作MH ⊥CD ，交CD 于点H ，连接HB ，MC ，由面面垂直的性质定理可得MH ⊥平面ABCD ，则由线面角的定义，∠MBH 为MB 与平面ABCD 所成角，即∠MBH =θ，设HC =x ，(0<x <2)，利用边角关系求出sin 2θ=MH 2MB 2=2x−x 22x+12，然后利用换元法2x +12=y ∈(12,92)，结合基本不等式求解最值即可． 本题考查了面面垂直的性质定理和判定定理的应用，线面角定义的应用，利用基本不等式求解最值的应用，解题的关键是找到线面对应的角，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．22.【答案】解：∵f(x)−g(x)=x 2+x +a 2+a −(x 2−x +a 2−a)=2(x +a)，∴当x ≥−a 时，f(x)≥g(x)，当x <−a 时，f(x)<g(x)， 故M(x)=max{f(x),g(x)}={f(x),x ≥−ag(x),x <a ，(1)当a =1时，M(x)={x 2+x +2,x ≥−1x 2−x, x <−1，当x ≥−1时，M(x)min =f(−12)=74，当x <−1时，M(x)=g(x)>g(−1)=2， 故M(x)min =74，(2)函数f(x)和g(x)的对称轴分别为x =−12、x =12， ①当−a ≤−12，即a ≥12时，M(x)在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,+∞)上单调递增， 故M(x)min =f(−12)=3，即a 2+a −134=0，解得a =√14−12或a =−1+√142(舍去)，②当−12<−a ≤12，即−12≤a <12时，M(x)在(−∞,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增， 故M(x)min =f(−a)=3，即2a 2=3，解得a =±√62(舍去)，③当−a >12，即a <−12时，M(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增， 故M(x)min =f(12)=3，即a 2−a −134=0，解得a =−√14−12或a =1+√142(舍去)，综上所述，a =±√14−12．【解析】作差化简f(x)−g(x)=2(x +a)，从而根据正负得M(x)={f(x),x ≥−ag(x),x <a ，(1)当a =1时，M(x)={x 2+x +2,x ≥−1x 2−x, x <−1，讨论求最小值，(2)根据函数f(x)和g(x)的对称轴分三类讨论求最值．本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用及转化思想的应用，属于中档题．。

广东省广州市高一上学期数学期末模拟卷（1）第I 卷（选择题）一、单选题（1-8题为单选选择，每道题有且只有一个选项，9-12题为多项选择，漏选得3分年，错选的0分，每题5分，共60分）1．已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（ ） A.{}0A B x x ⋂=< B.A B R =U C.{}1A B x x ⋃=> D.{}1A B x x ⋂=< 2．已知0,0a >>b ，则“log 2log 20b a >>”是“|1||1|a b ->-”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知定义在5,12[]m m --上的奇函数()f x ，当0x ≥时2()2f x x x =-，则()f m 的值为（） A ．8- B ．8 C ．24- D ．244．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．已知f (x )＝221x x x -+，则f (x )在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．12 B ．43 C ．－1 D ．06．已知33cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，322ππα-<<-，则cos α的值等于（ ）A ．45- B ．925- C ．4425- D ．39257．若函数()f x 是定义在R 的奇函数，(),,0a b ∀∈-∞，当a b ¹时，都有()()0f a f b a b-<-，且()20f =，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()()1,11,3-UB ．()()3,10,1--UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()()1,01,3-U8．已知方程923310x x k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1,)+∞9．设正实数a 、b 满足1a b +=，则下列选项中，正确的有（ ）A ．12B ．114a b +≤C ≤D ．2212a b +≥ 10．如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积()2m y 与时间t （月）的关系：t y a =（0a >且1a ≠），以下叙述中正确的是（ ）A ．这个指数函数的底数是2B ．第5个月时，浮萍的面积就会超过235mC ．浮萍从24m 蔓延到216m 需要经过2个月D ．浮萍每个月增加的面积都相等11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23πϕ=- B ．函数()f x 图象的对称轴为直线()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象 D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ⎡-⎣，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13．函数()f x 的定义域为[0,8]，则函数(2)4f x x -的定义域是________. 14．已知3()3f x ax bx =+-，其中a 、b 为常数，若()22f -=，则()2f =________.15．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________. 16．已知命题2:,10p x R ax ax ∀∈--≤是真命题，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（每题10分，共70分）17．化简求值：（1）100.537(0.027)()48----+ （2）133331322log log log 83log 529-+-18．设全集为R ，集合{}{}|36,|29A x x B x x =≤<=<<.（1）分别求A B I ，()R C B A U ；（2）已知{}|1C x a x a =<<+，已知C B C =I ，求实数a 的取值范围.19．已知集合()222220{|}A x x a x a a =--+-≤，2540{|}B x x x =-+≤（1）若2a =，求A B I ，（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+. （1）化简()f α；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值21．已知函数()421()x x f x a a R =-+⋅-∈.（1）当1a =时，求()f x 的值域；（2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35-，求cos2sin cos θθθ-⋅的值. （2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.23．已知函数()421x m x m f x --=+，函数()12x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 的图象过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求m 的值； （2）在（1）的条件下，求函数()()()h x f x g x =+在区间14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值； （3）若对[]10,1x ∀∈，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()21f x g x =，求m 的取值范围．。

广东省广州市2020-2021学年高一下学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 复数＝A．B．C．D．2. 已知是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3. 设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．，则4. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．5. 年中国经济在疫情狙击战的基础上实现了正增长，根据中国统计局官网提供的数据，年全国居民人均可支配收入及其增长速度和年全国居民人均消费支出及其构成如图所示．根据该图，下列结论正确的是（）A．年全国居民人均可支配收入比上年下降了B．年全国居民人均居住支出占可支配收入的比重为C．年全国居民人均交通通信支出占消费支出的比重为D．年全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长率逐年下降6. 甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.987. 概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢贏了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A．甲法郎，乙法郎B．甲法郎，乙法郎C．甲法郎，乙法郎D．甲法郎，乙法郎8. 如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知复数，下列说法正确的是（）A．复数z的虚部是B．复数z的模为5C．复数z的共轭复数是D．在复平面内复数z对应的点在第四象限10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（）A．第一次摸到红球的概率为B．第二次摸到红球的概率为C．两次都摸到红球的概率为D．两次都摸到黄球的概率为11. 已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（）A．若，则O是外心B．若，则P是垂心C．若，则N是重心D．若，则I是内心12. 在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（）A．B．C．D．平面截正方体所得截面面积为三、填空题13. 某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．14. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________．15. 若是方程的一个根，则______.16. 在中，，点D在边上，且，点E是的中点，则________．四、解答题17. 已知点、、，点在线段上，且满足．(1)求点的坐标；(2)求的余弦值．18. 如图，正方体中，、、分别是棱、、的中点．(1)求直线与平面所成角的正切值；(2)求证：平面．19. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，(1)求的面积；(2)求塔高．20. 某市政府随机抽取100户居民用户进行月用电量调査，发现他们的用电量都在50～350度之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x的值，并估计居民月用电量的众数；(2)为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数；(3)用分层抽样的方法在和两组中抽取5户居民作为节能代表，从节能代表中随机选取2户进行采访，求这2户来自不同组的概率．21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上一点．(1)证明：平面平面；(2)若为的中点，求二面角的余弦值．22. 1.某批库存零件在外包装上标有从1到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们的序号从小到大依次为：，现有两种方法对零件总数N进行估计．方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的平均数与总体序号的平均数近似相等，进而可以得到N的估计值；方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号相当于从区间中随机抽取n个整数，这n个整数将区间分成个小区间．由于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度与所有个区间的平均长度近似相等，进而可以得到N 的估计值．现工作人员随机抽取了10个零件，序号从小到大依次为：380、455、1073、1375、1416、1665、1726、1963、2117、2800．(1)请用上述两种方法分别估计这批零件的总数；(2)将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y（单位：）绘制出频率分布直方图（如图）．已知标准零件的内径为，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率．其中内径长度最接近标准的770个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）．。

2020-2021广州市高一数学下期末试题(及答案)一、选择题1．如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．102．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 5．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin B =，57ABC S =△b =（ ） A ．3B ．7C 15D 147．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175 175 176 177 177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．7810．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．15．设a ＞0，b ＞033a 与3b的等比中项，则11a b +的最小值是__． 16．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________17．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2. 18．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．19．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．20．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．23．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？24．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程. 25．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．2．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABCS ac B ==，联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：{}8,825,825-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即2182d d =-,所以2d =, 所以228221a d -==+,解得825a =±,当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =, 故答案为：{}8,825,825-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．15．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键解析：【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94m ≤【解析】 【分析】由题意将4x y +=代入14x y+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．17．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：【解析】 【分析】 【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=18．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以，在直角三角形SOA中SO ===所以112233V sh ==⨯⨯=319．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=．本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．20．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.三、解答题21．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠. （2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<， 所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题． 22．(1) ． (2)．【解析】 【分析】 【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算23．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f k g k ====，()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，11(20)()(20)82y f x g x x x =-+=-21(2)3,0208x x =-+≤≤，2,4x x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题. 24．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 2acbc aA bcac +-===.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 45a A Bb ==.由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos 5B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】 【分析】(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高；(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)50,60之间的频数为2，∴全班人数为2250.08=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为3100.01225÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为1b ，2b ，在[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是70.710=． 【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。

2020-2021广东实验中学高一数学下期末试卷含答案一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=v ，()1,2b =v ，若a v 与b v 的夹角为6π，则a b +=v v （ ）A ．2B ．7C ．2D ．12．已知向量a v ，b v 满足4a =v，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最小值为（ ） A ．43B ．10C ．10D ．83．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+ 5．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =rB ．a b ⊥r rC ．1a b ⋅=r rD ．()4C a b +⊥B u u u r rr7．若,αβ均为锐角，5sin 5α=，()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B ．2525 C 25或2525D ．525-8．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．432⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．432⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．432⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．432,⎛⎤⎥ ⎝⎦10．设正项等差数列的前n 项和为，若，则的最小值为 A ．1B ．C ．D ．11．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．3412．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题13．在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________． 14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 15．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________． 16．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．17．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________． 18．()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45︒︒︒︒︒+++++L =__________．19．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．20．设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______.三、解答题21．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．22．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =，332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ； 24．已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈（1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；25．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.26．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a r 与b r的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r rr r即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=r，(b =r ，所以||1a =r，||b =r又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r1372=++=，所以a b +=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】b r 在a r上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-r r r ，可求出||2b ≥r ，求22a b -r r 的最小值即可得出结果.【详解】因为b r 在a r上的投影（正射影的数量）为2-，所以||cos ,2b a b <>=-r r r， 即2||cos ,b a b =-<>r r r ，而1cos ,0a b -≤<><r r ，所以||2b ≥r，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+r rr rr r r r rr r r rr22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+r r所以22484464a b -≥+⨯=r r ，即28a b -≥r r ，故选D.【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.3．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C4．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 6．D解析：D【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q rr ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，sin α= s，∴α＞45°且cos α= ， ∵()3sin 5αβ+=，且1325＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4355=-+= 故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．8．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得432x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 10．D 解析：D 【解析】 【分析】先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基本性质得出，再将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由等差数列的前项和公式可得，所以，，由等差数列的基本性质可得，， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

2020-2021学年广东省广州市大学附属中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A B C D参考答案：D略2. 已知向量,满足,与的夹角为,则的值为（）A．1 B．C．D．参考答案：D略3. 已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则?U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}参考答案：D【考点】补集及其运算．【分析】从U中去掉A中的元素就可．【解答】解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．4. 函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4］上递减,则a的取值范围是（）A.(-∞,-3］B.［-3,+∞）C. (-∞,5］D.［5,+∞)参考答案：A5. 图中的直线的斜率分别是，则有（）A．B． C. D．参考答案：D由图可知：k1＞0，k2＜0，k3＜0，且，综上可知：k2＜k3＜k1，故选D．6. 若函数是上的增函数，则实数的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C7. 若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（）A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4参考答案：B【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用换元法，令t=3x+2，则x=代入f（x）中，即可求得f（t），然后将t换为x即可得f（x）的解析式．【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2．所以f（x）=3x+2．故选B．8. 设，则函数在区间上是增函数的概率是A. B.C. D.参考答案：D9. 已知数列{a n}中的首项a1=1，且满足a n+1=a n+，则此数列的第三项是（）A．1 B．C．D．参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】直接代入计算即可．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+，∴a2===1，a3===，故选：C．【点评】本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．10. 对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是（）A．频率分布直方图与总体密度曲线无关B．频率分布直方图就是总体密度曲线C．样本总量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若存在实数b使得关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是____.参考答案：[－1,1]【分析】先求得的取值范围，将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式，对分成三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范围. 【详解】由于，故可化简得恒成立.当时，显然成立.当时，可得，，可得且，可得，即，解得.当时，可得，可得且，可得，即，解得.综上所述，的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.12. 函数f(x)＝log0.5(3x2－ax＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．参考答案：[－8，－6]13. 给出以下命题：①存在两个不等实数，使得等式成立；②若数列是等差数列，且，则； ③若是等比数列的前n 项和，则成等比数列；④若是等比数列的前n 项和，且，则为零；⑤已知的三个内角所对的边分别为，若，则一定是锐角三角形。

2020-2021学年下学期期末三校联考高一数学命题学校：广大附中本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题8小题，每小题５分，共40分.1．i 为虚数单位，若复数z 满足()11z i i +=-，则z =（）A ．0B ．1CD ．22．下列结论中，错误的是（）A ．“1x =”是“20x x -=”的充分不必要条件B ．已知命题2:,10p x R x ∀∈+>，则01,:2≤+∈∃⌝x R x p C.“220x x +->”是“1x >”的充分不必要条件；D.命题：“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“0x R ∃∈，0sin 1x >”；3．如图，在平行四边形ABCD 中，13AE AC = ，若ED AD AB λμ=+，则λμ+=（）A ．13-B ．1C ．23D ．134．若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（）A ．甲同学：平均数为2，方差小于1B ．乙同学：平均数为2，众数为1C ．丙同学：中位数为2，众数为2D ．丁同学：众数为2，方差大于15．如图，矩形ABCD中，AB =，正方形ADEF 的边长为1，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，则异面直线BD 与FC 所成角的余弦值为（）A．7-B．7C ．55D．5-6．化简2cos 202tan 20-︒︒所得的结果是（）A．14B．12C．32D．2图17．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()f x x =，设函数x x f x g 7log )()(-=，则()g x 的零点的个数为（）A．6B．12C．8D．148．已知正实数x ，y 满足434=+y x ,则231121+++y x 的最小值为（）A．4283+B．3221+C．1223+D．1222+二、多选题：本大题4小题，每小题5分，共20分，选对得5，漏选得2分，错选得0分.9．下列命题中正确的是（）A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x>B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x<C ．(0,)x ∀∈+∞，121(log 2x x >D ．1(0,)3x ∀∈，131(log 2x x <10．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等11．将曲线x x x y cos )sin(3sin 2-+=π上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．213g π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()g x 的图像可由1cos 2y x =+的图像向右平移23π个单位长度得到C ．()g x 在[]0,π上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 的图像关于点(,0)6π对称12．设函数()(),f x x x bx c b c R =-+∈，则下列命题中正确的有（）A ．若()()201920192020f f +-=，则1010c =B ．方程()0f x =可能有三个实数根C ．当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数D ．当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明扔出的点数不大于2或小红扔出的点数不小于3的概率为________14.如图所示，在ABC ∆，6,45,120,3AB ABC ADB CD =∠=︒∠=︒=，则AC 的长是_______．15．在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，1222=+BD AB ，将此平行四边形沿对角线BD 折叠，使平面ABD ⊥平面CBD ，则三棱锥A-BCD 外接球的体积是________.16．已知函数()()()2ln 2010x x x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若()f x 的图象上有且仅有2个不同的点关于直线23-=y 的对称点在直线30kx y --=，则实数k 的取值是___________四、解答题：本大题6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分。

2018—2019学年度第二学期期末教学质量监测高中一年级数学试卷—、选择题.(一)单项选择题：1—10题每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1.集合{|22}A x x =-<<，{|13}B x x =-<<那么A B = ( )A. {|21}x x -<<-B. {|12}x x -<<C. {|21}x x -<<D. {|23}x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算． 【详解】由题意{|23}A B x x =-<<．故选D ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题．2.己知x 与y 之间的几组数据如下表：则y 与x 的线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过点（ ） A. (2,5) B. (5,9)C. (0,1)D. (1,4)【答案】A 【解析】 【分析】分别求出,x y 均值即得．【详解】013424x+++==，146954y+++==，因此回归直线必过点(2,5)．故选A．【点睛】本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点(,)x y．3.如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（）A. 12B.34C.18D.38【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，然后与圆面积作比值即得．【详解】圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率38P=．故选D．【点睛】本题考查几何概型，属于基础题．4.已知数列{a n}为等差数列，S n是它前n项和．若1a＝2，S3＝12，则S4＝( )A. 10B. 16C. 20D. 24 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式，即可求出.【详解】因为S 3＝31a ＋322d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝41a ＋432⨯ d ＝20. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题.5.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.考点：三角形的面积公式.6.设342334333log ,,224a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D.a cb >>【答案】B 【解析】 【分析】不难发现0,1,01,a b c <<从而可得.b c a >>【详解】34233433333log 0,,22244a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∴> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．7.已知函数()()()()121,23,2x x f x f x x ⎧⎪+≥=⎨+<⎪⎩，则f （1）- f （9）=（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数，分别求出()1f 和()9f 的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得()()1214413f f ==+=，()129914f =+=，所以()()191f f -=-，故选A .【点睛】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.8.设a R ∈，函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数，则（ ） A. ()2724f a a f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B. ()2724f a a f ⎛⎫++<⎪⎝⎭ C. ()2724f a a f ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D. ()2724f a a f ⎛⎫++≤⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，配方后可得2724a a ++≥，由函数的单调性可得结果. 【详解】因为221772244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭， 函数()f x 在区间()0,+∞上增函数，所以()22f a a ++ 74f ⎛⎫≥⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．9.己知3sin 5a =，则cos(2)a π-=( ) A.45B.725C. 725-D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式，再由二倍角余弦公式可求． 【详解】2237cos(2)cos 2(12sin )(12())525πααα-=-=--=--⨯=-． 故选C ．【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的余弦公式．三角函数的公式较多，要根据题意选取恰当的公式才能做到事半功倍，为此常常研究“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用的公式．10.函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ）A. 10m -<<B. 0m >或1m =-C. 0m >或10m -≤<D.01m <<【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，22y x x =-的图象（红色部分）和直线y m =有2个交点，数形结合求得m 的范围．【详解】由题意可得22y x x =-的图象(红色部分)和直线y m =有2个交点，如图所示：故有0m >或1m =-， 故选：B.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的图象的交点个数问题 .(二）不定项选择题：11—13题每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的. 11.若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾” C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD 【解析】 【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B 、C 、D 中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥． 故选BCD ．【点睛】本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件．12.设函数()sin(2)6f x x π=+的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 图象C 关于直线6x π=对称C. 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 D. 函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期判断A 的正误；通过x=6π函数是否取得最值判断B 的正误；利用函数的图象的平移判断C 的正误, 利用函数的单调区间判断D 的正误． 【详解】对于A ，f （x ）的最小正周期为π,判断A 错误；对于B ，当x=6π，函数f （x ）=sin （2×6π+6π）=1，∴选项B 正确； 对于C ，把()sin2g x x =的图象向左平移3π个单位，得到函数sin[2（x+3π）]=sin(2x+()2)3f x π≠，∴选项C 不正确． 对于D ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，可得36k x k ππππ-≤≤+，k∈Z，所以在,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不恒为增函数，∴选项D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．13.设*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 70a =C. 95S S >D. 6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】ABD 【解析】 【分析】根据前n 项和的定义进行判断．【详解】6565S S a S =+>，则60a >，7676S S a S =+=，则70a =，则760d a a =-<，8787S S a S =+<，80a <．6859720a a a a a +=+==，∴59S S =，由760,0a a =>知67,S S 是{}n S 中的最大值． 从而ABD 均正确． 故选ABD ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查前n 项和n S 的性质．解题时直接从前n 项和的定义寻找结论，这是一种最基本的方法，简单而实用．二、填空题.将正确答案填在题中橫线上.14.某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义求解.【详解】设从高一年级的学生中抽取x 名，由分层抽样的知识可知83040x =，解得x ＝6. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.15.设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 【答案】 【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16.设函数()()sin ,0,0,2f x A x x R πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式______．【答案】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据图象的最高点得到1A =，由图象得到34884T πππ=-=，故得2T πω==，，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到4πϕ=，进而可得函数的解析式．【详解】由图象可得31,4884T A πππ==-=， ∴T π=， ∴2ω=，∴()()sin 2f x x ϕ=+．又点,18π⎛⎫⎪⎝⎭在函数的图象上，∴sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2,42k k Z ππϕπ+=+∈，∴2,4k k Z πϕπ=+∈．又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4πϕ=．∴()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故答案为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 【点睛】已知图象确定函数()()sin f x A x ωϕ=+解析式的方法 （1）A 由图象直接得到，即最高点的纵坐标． （2）由图象得到函数的周期，进而得到ω的值． （3）ϕ的确定方法有两种．①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出ϕ的值； ②运用“五点法”求解，即由函数()()sin f x A x ωϕ=+最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ．17.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，若1,2cos 2a C c b =+=，则ABC ∆的周长的取值范围是__________． 【答案】(2,3] 【解析】ABC △中，由余弦定理可得2222cos a b c C ab +-=，∵12cos 2a C c b ，=+= ，∴2212b c c b b+-+= ，化简可得()213b c bc +-= ．∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()22132b c b c +⎛⎫+-≤⨯ ⎪⎝⎭，解得2b c +≤ （当且仅当b c = 时，取等号）．故3a b c ++≤ ．再由任意两边之和大于第三边可得 1b c a +>= ，故有 2a b c ++> ，故ABC △的周长的取值范围是(]2,3，故答案为(]2,3．点睛：由余弦定理求得cos C ，代入已知等式可得()213b c bc +-=，利用基本不等式求得2b c +≤，故3a b c ++≤．再由三角形任意两边之和大于第三边求得2a b c ++> ，由此求得△ABC 的周长的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．2．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．43．（5分）高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．494．（5分）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．185．（5分）已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣846．（5分）某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）8．（5分）已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是2（多选）10．（5分）已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）（多选）11．（5分）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为．14．（5分）天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是．15．（5分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A ﹣VC﹣B的余弦值为．16．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．18．（12分）已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．20．（12分）2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？21．（12分）如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．22．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．【分析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z＝，∴|z|＝||＝，故选：A．【点评】本题考查复数模的求法，考查转化思想，是基础题．2．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．4【分析】根据可得出，然后进行向量坐标的数量积的运算即可求出x的值．【解答】解：∵，∴，解得x＝9．故选：B．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．49【分析】利用分层抽样的比例关系列式求解．【解答】解：高一年级共有510+490＝1000人，所以男生抽取的人数为人．故选：B．【点评】本题考查分层抽样，属于基础题．4．（5分）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．18【分析】把斜二测直观图还原，求出AB、AC的长度，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：在斜二测直观图中，由△A'B′C′为等腰直角三角形，A'B′＝6，可得A'C′＝，还原原图形如图：则AB＝6，AC＝6，则＝．故选：D．【点评】本题考查斜二测画直观图，熟记斜二测的画法是关键，是基础题．5．（5分）已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣84【分析】由已知求得，再展开多项式乘多项式，代入数量积得答案．【解答】解：∵||＝6，||＝4，与的夹角为60°，∴＝，则（+2）•（﹣3）＝＝36﹣12﹣6×16＝﹣72．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用组合数分别求出6本书随机抽取2本的取法和2本书来自同一书籍的取法，再利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：从6本书中随机抽取2本，共有种取法，若两本书来自同一类书籍则有种取法，所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是．故选：C．【点评】本题考查组合数的应用，古典概型，属于基础题．7．（5分）如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）【分析】由已知得AB是△MNS的中位线，从而＝2，由此能求出结果．【解答】解：∵＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，∴AB是△MNS的中位线，∴＝2＝2（﹣）＝2（﹣）．故选：D．【点评】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题型．8．（5分）已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．【分析】过A′作A′G⊥C′F′，垂足为G，连接E′G，则E′G⊥C′F′，过B′作B′H⊥C′F′，垂足为H，连接D′H，则D′H⊥C′F′，把几何体的体积转化为一个直三棱柱与两个全等的三棱锥的体积求解．【解答】解：如图，过A′作A′G⊥C′F′，垂足为G，连接E′G，则E′G⊥C′F′，过B′作B′H⊥C′F′，垂足为H，连接D′H，则D′H⊥C′F′，可得平面A′GE′∥平面B′HD′，即三棱柱A′GE′﹣B′HD′为直三棱柱．∵A′F′＝1，∠A′F′G＝60°，可得，，同理求得，，又A′E′＝，∴A′G2+E′G2＝A′E′2，∴空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为V＝＝．故选：C．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是2【分析】利用平均数、极差、中位数、方差的定义直接判断各选项即可．【解答】解：对于A，这组数据的平均数是（7+8+9+10+6+8）＝8，故A正确；对于B，这组数据的极差是10﹣6＝4，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，∴这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是S2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]＝，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查命题真假的判断，平均数、极差、中位数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）【分析】分别把角α代入判断A与B；利用复数模的公式计算|z|并求最大值判断C；由共轭复数的概念判断D．【解答】解：对于A，当α＝﹣时，z＝cos（）+[sin（）]i＝﹣，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos+（sin）i＝，为纯虚数，故B正确；对于C，，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cosα﹣（sinα）i，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，训练了三角函数值的求法，是基础题．（多选）11．（5分）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm【分析】求得圆台的下底面的半径和高，由梯形的面积公式，计算可判断A；由圆台的体积公式，计算可判断B；由线面角的定义，计算可判断C；将圆台补成圆锥，得到展开图，求得圆心角，运用勾股定理，计算可判断D．【解答】解：由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4，高O1O2＝＝，则圆台轴截面ABCD面积为（2+4）×＝3cm2，故A正确；圆台的体积为V＝π（1+4+2）×＝πcm3，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为，所以∠ADO1＝60°，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4，OP＝2+1＝3，则CP＝＝5，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查圆台的定义和性质，以及体积、侧面展开图，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心+S△AOC+S 【分析】假设三角形内一点O分别为内心，外心，重心，利用结论S△BOC＝推导变形验证．△AOB【解答】解：若x＝y＝z＝1则，∴．取AC中点D，连接OD，∴．∴O在△ABC的中线BD上，同理可得O在其它两边的中线上，∴O是△ABC的重心．若x＝a，y＝b，z＝c，则有，延长CO交AB于D，则，，∴a（）+b（）+c＝，设＝k，则（ka+kb+c）+（a+b）＝，∵与共线，与，不共线，∴ka+kb+c＝0，a+b＝，∴，∴CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线．∴O是△ABC的内心．故选：AC．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，记住三角形内一点的一般结论是解题关键，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为212．【分析】根据题意，将数据按照从小到大排列，然后利用百分位数的定义求解，即可得答案．【解答】解：根据题意，将10个数据从小到大排列：100，120，125，165，175，190，234，310，425，430；10×60%＝6，故答案为：212．【点评】本题考查百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义以及计算方法，属于基础题．14．（5分）天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是0.38．【分析】根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，而要求概率P＝P（A）+P（B），计算可得答案．【解答】解：根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，甲，乙两地只有一个地方降雨的概率P＝P（A）+P（B）＝0.2×（1﹣0.3）+（1﹣0.2）×0.3＝0.38；故答案为：0.38．【点评】本题考查向量独立事件和互斥事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．15．（5分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．【分析】取VC的中点D，连接AD、BD，利用等腰三角形的性质可得AD⊥VC，BD⊥VC，从而确定∠ADB即为二面角A﹣VC﹣B的平面角，在三角形中由余弦定理求解即可．【解答】解：取VC的中点D，连接AD、BD，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，所以AD⊥VC，BD⊥VC，所以∠ADB即为二面角A﹣VC﹣B的平面角，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，VC＝2，所以AD＝BD＝，而AB＝4，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了二面角的求解，涉及了三棱锥几何性质的应用，余弦定理的应用，解题的关键是由二面角的平面角的定义确定出所求的角，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．16．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．【分析】以A为原点建立平面直角坐标系，写出直线BM和CN的方程，联立解方程组，可得点P的坐标，再由两点间距离公式，得解．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（，），M（，），N（，0），所以直线BM的方程为y＝（x﹣1），即x+5y﹣＝0，直线CN的方程为y＝（x﹣），即4x﹣2y﹣＝0，联立，解得，即P（，），所以AP＝＝．故答案为：．【点评】本题考查直线的方程，两条直线的交点坐标的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．【分析】（1）利用列举法，直接求出试验的样本空间．（2）试验的样本空间包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，由此能求出恰好抽到一个红球一个白球的概率．【解答】解：（1）两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}．（2）试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，∴恰好抽到一个红球一个白球的概率P＝＝．【点评】本题考查概率的求法，古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．【分析】（1）由向量共线的坐标运算列式求得sin（A+）＝0，结合A的范围求解角A；（2）由数量积的坐标运算求得f（x）＝，整理后可得使f（x）求得最大值的角A，得到，再由向量在向量方向上的投影概念求解在上的投影向量．【解答】解：（1）∵角A是△ABC的内角，∴0＜A＜π，又＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）且，∴﹣，即2（sin A+）＝0，∴sin（A+）＝0，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，则A+＝π，即A＝；（2）f（x）＝＝＝，∵＜A﹣＜，∴要使f（x）取得最大值，则，即A＝．∴＝（，cos）＝（，﹣），∴在上的投影向量为＝•（1，﹣1）＝（1，﹣1）．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及应用，考查向量的坐标运算，考查向量在向量方向上的投影概念，是中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．【分析】（1）连接AC′，交AC于点O，连接DO，推导出OD∥BC′，由此能证明直线BC′∥平面A'CD；（2）法一：推导出CD⊥AB，AA′⊥CD，从而CD⊥平面ABB′A′，AB′⊥CD，由此能求出异面直线AB'与CD所成角的大小．法二：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB'与CD所成角的大小．【解答】解：（1）证明：连接AC′，交AC于点O，连接DO，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，ACC′A′是矩形，∴O是AC′中点，∵D是AB的中点，∴OD∥BC′，∵BC′⊄平面A'CD，OD⊂平面A'CD，∴直线BC′∥平面A'CD；（2）解法一：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AA′⊥平面ABC，∴CD⊂平面ABC，∴AA′⊥CD，∵AB∩AA′＝A，∴CD⊥平面ABB′A′，∵AB′⊂平面ABB′A′，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．解法二：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝c，AB＝a，AA′＝b，则A（﹣，0，0），B′（，0，b），C（0，c，0），D（0，0，0），＝（a，0，b），＝（0，﹣c，0），∵•＝0，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？【分析】（1）由频率分布直方图得这40辆汽车平均车速中位数的估计值．（2）车速在[90，95）内的有2辆，车速在[95，100）的有4辆，从车速在[90，100）的车辆中任意抽取2辆，基本事件总数n＝15，可直接求出取的2辆车的车速都在[95，100）的车辆数为2辆的概率．（3）先求出汽车收到短信提醒的概率，接着再求连续两辆都收到短信提醒的概率．【解答】解：（1）设平均车速的中位数的估值为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣105.0）＝0.5x＝107.5故平均车速的中位数为107.5．（2）车速在[90，95）内的有0.01×40×5＝2，车速在[95，100）的有0.02×40×5＝4，故抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率．（3）设事件A为“汽车收到短信提醒”，则，∵汽车的速度不受影响，∴连续两辆汽车都收到短信体现的概率P＝．【点评】解决频率分布直方图的有关特征数问题，中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视21．（12分）如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．【分析】（1）由PA⊥BC，AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB，从而可得BC⊥AE，已知AE ⊥PB，从而可得AE⊥平面PBC，即可证明平面AEF⊥平面PBC；（2）利用等体积法求出点B到平面AEF的距离，求出EB，即可求得PB与平面AEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为PA垂直于⊙O所在的平面，即PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AC为⊙O的直径，所以AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，因为AE⊥PB，BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．（2）解：因为AB＝3，PA＝3，所以PB＝＝3，又AE⊥PB，所以AE＝＝，由AB2＝BE•PB，可得BE＝，如图，过点E作EG∥PA交AB于点G，则＝，可得EG＝，又BC＝4，所以EC＝＝，＝AB•BC＝6，S△AEC＝AE•EC＝，所以S△ABC设点B到平面AEC的距离为h，＝V B﹣AEC，可得S△ABC•EG＝S△AEC•h，由V E﹣ABC解得h＝，所以当点F移动到C点时，PB与平面AEF所成角的正弦值为＝．【点评】本题主要考查面面垂直的判定，直线与平面所成角的正弦值的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？【分析】（1）证明△CAN为正三角形，可得△CAN的周长为120，即防护网的总长度为60+km；（2）利用鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，建立方程，求出CN＝40sinθ，由，得CN＝，即可求出∠ACM的大小；（3）表示出△CMN的面积，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∴tan B＝＝，∴B＝30°，∴A＝60°，∴AB＝2AC＝80，在△ACM中，由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•cos A＝1600+400﹣2×40×20×＝1200，则CM＝20，∴AC2＝AM2+CM2，∴CM⊥AB，∵∠MCN＝30°，∴MN＝CM tan30°＝20，∴CN＝2MN＝40，∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+20＝60+20；（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，所以，即CN＝40sinθ，在△CAN中，由，得CN＝，从而40sinθ＝，即sin2θ＝，由0°＜2θ＜120°，得2θ＝45°，所以θ＝22.5°，即∠ACM＝22.5°，（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN＝，又在△ACM中，由，得CM＝，＝CM•CN sin30°＝＝，所以S△CMN所以当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△CMN的面积取最小值为1200（2﹣）km2．【点评】本题考查利用数学知识解决三角形问题，考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

广东省广州市市铁一中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=xf（x）；④y=f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）验证①f（|﹣x|）=f（|x|），故为偶函数②f[﹣（﹣x）]=f（x）=﹣f（﹣x），为奇函数③﹣xf（﹣x）=﹣x?[﹣f（x）]=xf（x），为偶函数④f（﹣x）+（﹣x）=﹣[f（x）+x]，为奇函数可知②④正确故选D【点评】题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题．2. 已知锐角，满足，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】观察式子可将，即，化简易得，即【详解】又，是锐角，则，即，故选：B．【点睛】此题考查和差公式的配凑问题，一般观察式子进行拆分即可，属于较易题目。

3. 下列函数中周期为，且在上为减函数的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略4. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数，，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝( )A．0 B．1 C. D．5参考答案：C略5. 已知是函数的一个零点，若，，则（）．A．，B．，C．，D．，参考答案：A∵是函数的一个零点，∴，又在上单调递增，且，，∴，∴，．故选．6. 设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）．A．B．C．D．参考答案：A解：图中阴影部分所表示了在集合中但不在集合中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是，故选．7. 在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】散点图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】观察两个变量的散点图，样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，若带状从左向右上升，是正相关，下降是负相关，由此得出正确的选项．【解答】解：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，对照图形：B中样本点成直线形带状分布，且从左到右是上升的，∴是正相关关系；C中样本点成直线形带状分布，且从左到右是下降的，∴是负相关关系；D中样本点不成直线形带状分布，相关关系不明显．故选：B．【点评】本题考查了变量间的相关关系、散点图及从散点图上判断两个变量有没有线性相关关系的应用问题，是基础题．8. 直线与直线垂直，则a的值为（）A．－3 B．C．2 D．3参考答案：D∵直线ax+2y﹣1=0与直线2x﹣3y﹣1=0垂直，∴2a+2×（﹣3）=0解得a=3故选：D．9. 在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，，则=（）A．B．C．3 D．﹣3参考答案：B【考点】9R：平面向量数量积的运算；8G：等比数列的性质；HR：余弦定理．【分析】先求a+c的平方，利用a、b、c成等比数列，结合余弦定理，求解ac的值，然后求解．【解答】解：a+c=3，所以a2+c2+2ac=9…①a、b、c成等比数列：b2=ac…②由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB…③，解得ac=2，=﹣accosB=故选B ．10. 设函数f （x ）=ln （x +）+x 3（﹣1＜x ＜1），则使得f （x ）＞f （3x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（﹣∞，） C ．（，） D ．（﹣1，）参考答案：A ∵，定义域关于原点对称，∴f(x)是奇函数，而 时，f(x)递增，故时，f(x)递增，故f(x)在递增，若 ，则，解得，故选A ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若=2，则tan （α﹣）= ．参考答案：2【考点】GR ：两角和与差的正切函数．【分析】由两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值化简所求即可计算得解． 【解答】解：∵=2，∴tan（α﹣）====2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12. .一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________________. 参考答案：2 略13. 已知函数f ( x ) =，则它的反函数f – 1 ( x ) = 。

2021-2022学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式2320x x --的解集是( ) A ．2|13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．2|13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．2|13x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或D ．2|13x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或2．（5分）设0.70.80.712,(),log 22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<3．（5分）复数z 满足(1)1z i i +=-，则z 的虚部等于( ) A ．i -B ．1-C ．0D ．14．（5分）α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A ．若m n ⊥，m α⊂/，n α⊂，则m α⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若αβ⊥，n α⊂，则n β⊥D ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥5．（5分）已知ABC ∆中，点M 是线段BC 的中点，14AN AM =，则(BN = ) A ．7188AB AC -+B ．21312AB AC -+C ．7144AB AC -+D ．51612AB AC -+6．（5分）已知向量,a b 满足||1,(1,3)a b ==，且1a b ⋅=，则a 与a b +夹角的余弦值为()A B C D 7．（5分）如图：已知正四面体ABCD 中E 在棱CD 上，2EC DE =，G 为ABC ∆的重心，则异面直线EG 与BD 所成角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．（5分）平面四边形PABC 中，2,2,3APC AB AC AC AB π∠===⊥，则AP AB ⋅最小值( )A ．2-B ．1-C ．-D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）下列结论正确的是( )A ．某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体有健康测试，则应抽取男生6人B ．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6C ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2D ．某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．则命中环数的标准差为210．（5分）下列结论正确的是( )A ．已知向量(3,4)a =，则与a 垂直的单位向量为43(,)55或43(,)55--B ．已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为12bC ．已知i 为虚数单位，若1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则4p q ⋅=-D ．已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数21(1)z a a i =-++为纯虚数，则1a =±11．（5分）已知函数()sin 22f x x x =，则下列结论中正确的是( ) A ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称B ．若[,]32x ππ∈，则函数()f xC ．若()1f α=，则21cos ()124πα+=D ．若12()()4f x f x -=，12x x ≠，则12||x x -的最小值为π12．（5分）如图，四棱锥S ABCD -的底面为菱形，3AB SD ==，60DAB ∠=︒，SD ⊥底面ABCD ，P 是SC 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是( )A ．若//SA 平面PBD ，则//SA POB ．B 到平面SAC C ．当P 为SC 中点时，过P 、A 、B 的截面为直角梯形D ．当P 为SC 中点时，DP PB +有最小值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(4,4),(3,2),(1,)AB BC AD m =-=-=-，若A 、C 、D 三点共线，则m = ． 14．（5分）某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为 ．15．（5分）已知S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，SO =圆，则圆锥的体积为 ．16．（5分）某校高一级学生进行创客活动，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去正四棱台ABCD EFGH -后所得的几何体，其中22AB EF BF ==，6AB BC cm ==，14AA cm =，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg ，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 mg ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①sin cos b A B =，②()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，③2ABC S BC ∆=⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC ∆中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且______． （1）求角B 的大小；（2）若b ABC ∆，求ABC ∆周长． 18．（12分）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；（3）现知道直方图中成绩在[130，140)内的平均数为136，方差为8，在[140，150]内的平均数为144，方差为4，求成绩在[130，150]内的平均数和方差．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，且D 为11A C 的中点． （1）求证：1//A B 平面1B CD ；（2）求1A B 与平面11BCC B 所成角的余弦值．20．（12分）2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为23，甲、乙两公可都研发成功的概率为25，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为15，各公司是否研发成功互不影响．（1）求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；（2）若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．21．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，2,1,23BCD AB ABC ππ∠==∠=．（1）若2,BC CD ==ACD ∆的面积； （2）若,26ADC AD π∠==，求cos ACD ∠．22．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，122AB BC AD ===，90BAD ABC ∠=∠=︒，O 是AD 的中点． （1）求证：平面PAC ⊥平面POB ；（2）点M 在棱PC 上，满足(01)PM PC λλ=<<，且三棱锥P ABM -，求λ的值及二面角M AB D --的正切值．2021-2022学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式2320x x --的解集是( ) A ．2|13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．2|13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．2|13x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或D ．2|13x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【考点】一元二次不等式及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算 【分析】根据题意，由一元二次不等式的解法分析的答案． 【解答】解：根据题意，2320x x --即(32)(1)0x x +-， 解可得：1x 或23x -，即不等式的解集为2{|3x x -或1}x ， 故选：C ．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题． 2．（5分）设0.70.80.712,(),log 22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【考点】对数值大小的比较【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，即可得出答案． 【解答】解：0.80.81()22b -==，因为函数2x y =在(,)-∞+∞上单调递增，且0.80.7-<， 所以0.80.70212-<<<，即b a <，因为函数0.7log y x =在(0,)+∞上单调递减， 所以0.7log 20c =<， 所以c b a <<， 故选：D ．【点评】本题考查指数函数，对数函数的单调性，属于中档题．3．（5分）复数z 满足(1)1z i i +=-，则z 的虚部等于( ) A ．i -B ．1-C ．0D ．1【考点】复数的运算【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算 【分析】推导出21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，由此能求出z 的虚部．【解答】解：复数z 满足(1)1z i i +=-， 2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ---+∴====-++--，z ∴的虚部为1-．故选：B ．【点评】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A ．若m n ⊥，m α⊂/，n α⊂，则m α⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若αβ⊥，n α⊂，则n β⊥D ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算 【分析】由题意结合线面关系逐一考查所给的命题是否正确即可． 【解答】解：逐一考查所给的命题：A ．若m n ⊥，m α⊂/，n α⊂，则m α⊥或m 与α斜交或m 与α平行，该命题错误；B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或m 与n 异面，该命题错误；C ．若αβ⊥，n α⊂，则n β⊥或n 与β斜交或n 与β平行，该命题错误；D ．若m α⊥，n α⊂，由线面垂直的定义可知m n ⊥，该命题正确；故选：D ．【点评】本题主要考查空间中的线面关系，空间中的面面关系等知识，属于基础题． 5．（5分）已知ABC ∆中，点M 是线段BC 的中点，14AN AM =，则(BN = ) A ．7188AB AC -+B ．21312AB AC -+C ．7144AB AC -+D ．51612AB AC -+【考点】平面向量的基本定理【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算 【分析】首先利用中线向量求出1122AM AB AC =+，再利用共线向量的线性运算求出结果． 【解答】解：由于ABC ∆中，点M 是线段BC 的中点， 所以1122AM AB AC =+， 由于14AN AM =， 所以1188AN AB AC =+， 整理得1188BN BA AB AC -=+，故7188BN AB AC =-+．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（5分）已知向量,a b 满足||1,(1,3)a b ==，且1a b ⋅=，则a 与a b +夹角的余弦值为()A B C D 【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算 【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据题意可得||b ，||a b +，则cos a <，2()||||||||a a b a aba b a a b a a b ⋅+++>==++，即可得出答案．【解答】解：因为(1,3)b =， 所以2||1(2b =+，所以22222||()2122a b a b a b ab +=+=++=++，cos a <，22()112||||||||17a a b a ab a b a a b a a b ⋅++++>====++⨯， 故选：B ．【点评】本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题．7．（5分）如图：已知正四面体ABCD 中E 在棱CD 上，2EC DE =，G 为ABC ∆的重心，则异面直线EG 与BD 所成角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【考点】棱锥的结构特征；异面直线及其所成的角 【专题】计算题；对应思想；分析法；空间角；逻辑推理【分析】由三角形重心特点可知，取AB 中点F ，则2CG GF =，则可以找到直线EG 的平行线，按照异面直线所成角定义求解即可．【解答】解：取AB 中点F ，连接FC ，FD ，如图所示：G 为ABC ∆的重心，F 为AB 中点，2CG GF ∴=，又2EC DE =，∴在CDF ∆中，//EG DF ，则异面直线EG 与BD 所成角为DBF ∠或其补角， 由题可知，ABD ∆为正三角形， 30DBF ∴∠=︒，∴异面直线EG 与BD 所成角为30︒．故选：A ．【点评】本题考查异面直线所成的角，考查学生的推理能力，属于中档题．8．（5分）平面四边形PABC 中，2,2,3APC AB AC AC AB π∠===⊥，则AP AB ⋅最小值( )A ．2-B ．1-C ．-D ．【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】建立平面直角坐标系，结合图形可得点P 在以BC 为直径的圆劣弧AC 上，设(,)P x y ，其中[1x ∈-，0]，(AP AB x ⋅=，)(2y ⋅，0)2x =，即可得出答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：则(0C ，，(2,0)B ，平面四边形ABCD 中，2AB =，AC =AC AB ⊥，23APC π∠=， 则点P 在以BC 为直径的圆劣弧AC 上，因为BC 的中点为O ，4BC ==，所以圆O 的标准方程为22(1)(4x y -+-=， 设(,)P x y ，其中[1x ∈-，0]， 则(,)AP x y =，(2,0)AB =，所以(AP AB x ⋅=，)(2y ⋅，0)2[2x =∈-，0]， 所以AP AB ⋅的最小值为2-， 故选：A ．【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，解题关键是建立坐标系，属于中档题．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）下列结论正确的是( )A ．某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体有健康测试，则应抽取男生6人B ．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6C ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2D ．某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．则命中环数的标准差为2【考点】极差、方差与标准差；命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；数学抽象 【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，由分层抽样方法可得：应抽取男生3010650⨯=人，A 正确； 对于B ，概率是定值，抛掷一枚质地均匀的硬币，概率为0.5，B 错误； 对于C ，一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数454.52+=，C 错误； 对于D ，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4． 其平均数1(78795491074)710x =+++++++++=，方差24S =，则其标准差2S =，D 正确； 故选：AD ．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及分层抽样、概率、标准差的计算，属于基础题． 10．（5分）下列结论正确的是( )A ．已知向量(3,4)a =，则与a 垂直的单位向量为43(,)55或43(,)55--B ．已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为12bC ．已知i 为虚数单位，若1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则4p q ⋅=-D ．已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数21(1)z a a i =-++为纯虚数，则1a =±【考点】命题的真假判断与应用；虚数单位i 、复数；平面向量数量积的性质及其运算；向量的投影【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；数学运算【分析】结合向量垂直、投影向量、一元二次方程的根、纯虚数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项．【解答】解：A 选项，因为(3，44)(5⋅，3)05≠，(3，44)(5⋅-，3)05-≠，所以A 选项错误；B 选项，||1a b -=，两边平方得2221a a b b -⋅+=，所以12a b ⋅=，所以a 在b 方向上的投影向量为12||||a b b b b b ⋅⋅=，B 选项正确； C 选项，1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则1i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的另一个根，所以112(1)(1)2i i p i i q -++==-⎧⎨-+==⎩，则4pq =-，C 选项正确；D 选项，复数21(1)z a a i =-++为纯虚数，所以21010a a +≠⎧⎨-=⎩，解得1a =，D 选项错误． 故选：BC ．【点评】本题考查了向量的垂直、投影向量、韦达定理、纯虚数等相关知识，属于基础题．11．（5分）已知函数()sin 22f x x x =，则下列结论中正确的是( ) A ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称B ．若[,]32x ππ∈，则函数()f xC ．若()1f α=，则21cos ()124πα+=D ．若12()()4f x f x -=，12x x ≠，则12||x x -的最小值为π【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的最值 【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算 【分析】将()f x 化简，对于A ，结合三角函数的对称性，即可求解，对于B ，结合x 的取值范围，以及正弦函数的图象，即可求解， 对于C ，结合二倍角公式，即可求解， 对于D ，结合正弦函数的周期性，即可求解．【解答】解：()sin 22sin(2)3f x x x x π==-，()2sin(2)0663f πππ=⨯-=， ∴函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称，故A 正确，[,]32x ππ∈， ∴2(2)[,]333x πππ-∈，∴sin(2)3x π-∈，()f x ∴∈，2]，故B 错误，()2sin(2)2sin[(2)]1362f πππααα=-=+-=，则1cos(2)62πα+=-，∴2cos(2)2()1612cos ππαα+=+-，21()124cos πα+=，故C 正确， 22T ππ==， 若12()()4f x f x ⋅=，12x x ≠，则1x ，2x 同为最大值点或同为最小值点， 12||x x ∴-的最小值为()f x 的最小正周期22T π=，故D 错误． 故选：AC ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象，考查转化能力，属于中档题．12．（5分）如图，四棱锥S ABCD -的底面为菱形，3AB SD ==，60DAB ∠=︒，SD ⊥底面ABCD ，P 是SC 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是( )A ．若//SA 平面PBD ，则//SA POB ．B 到平面SAC C ．当P 为SC 中点时，过P 、A 、B 的截面为直角梯形D ．当P 为SC 中点时，DP PB +有最小值【考点】棱锥的结构特征；直线与平面平行；点、线、面间的距离计算 【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】对于A ：根据线面平行的性质定理证明判断；对于B ，利用等体积法求D 到平面SAC 的距离，对于C ，根据三角形中位线先证//PM AB ，则过P ，A ，B 的截面ABPM ，再利用长度结合勾股定理可证PM PB ⊥；对于D ，借助于侧面展开图分析判断即可． 【解答】解：//SA 平面PBD ，SA ⊂平面SAC ，平面PBD ⋂平面SAC PO =， //SA PO ∴，故A 正确；设B 到平面SAC 的距离为h ，则有SA SC ==，AC =B SAC S ABC V V --=，∴11113333232h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得h =．故B 正确； 当P 为SC 中点时，如图，取SD 的中点M ，连接PM ，AM ，MB ，则//PM CD ，12PM CD =，//AB CD ，则//PM AB ，∴过P 、A 、B 的截面为ABPM ，则3PB =，BM =，32PM =， 222BM PM PB ∴=+，则PM PB ⊥，即ABPM 为直角梯形，故C 正确；借助于侧面展开图，如图，连接DB 交SC 于P ，此时DP PB +为最小值，若P 为SC 中点时，SD CD =，则DP SC ⊥，BC SB ∴=，这与题意相矛盾，故D 错误． 故选：ABC ．【点评】本题考查空间几何体的性质，求点面的距离，判断线线线平行，属中档题． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(4,4),(3,2),(1,)AB BC AD m =-=-=-，若A 、C 、D 三点共线，则m = 2 ． 【考点】平行向量（共线）；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据题意，求出AC 的坐标，由三点共线可得//AC AD ，进而可得关于m 的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，(4,4),(3,2),(1,)AB BC AD m =-=-=-， 则(1,2)AC AB BC =+=-，若A 、C 、D 三点共线，则//AC AD ，则有1(1)(2)2m ⨯=-⨯-=，即2m =； 故答案为：2．【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及三点共线问题，属于基础题．14．（5分）某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为12． 【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算【分析】基本事件总数246n C ==，篮球被选中包含的基本事件个数11133m C C ==，由此能求出篮球被选中的概率．【解答】解：某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，基本事件总数246n C ==， 篮球被选中包含的基本事件个数11133m C C ==， 则篮球被选中的概率为3162m P n ===． 故答案为：12． 【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，SO =圆，则圆锥的体积为． 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】设圆锥的镀面半径为r ，母线为l ，根据底面团长与侧面展开图的弧长相等得到2l r =，再由勾股定理求出r ，由此能求出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，依题意2r l ππ=，即2l r =，又SO ==2r ∴=，∴圆锥的体积为2211233V r h ππ==⨯⨯．． 【点评】本题考查圆锥的结构特征、圆锥的侧面展开图、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）某校高一级学生进行创客活动，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去正四棱台ABCD EFGH -后所得的几何体，其中22AB EF BF ==，6AB BC cm ==，14AA cm =，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg ，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 282+．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】数形结合；综合法；立体几何；数学运算【分析】由已知求得模型的表面积，乘以每平方厘米需要金属的质量得答案． 【解答】解：22AB EF BF ==，6AB BC cm ==，14AA cm =，∴几何体的四个侧面与底面积的和为246466132cm ⨯⨯+⨯=，四边形EFGH 的面积为2339cm ⨯=，梯形ABFE =，则正四棱台的侧面积为214(36)2⨯+=．∴模型的表面积21329(141S cm =++=+．∴所需金属膜的质量为2(141282)mg ⨯+=+．故答案为：282+【点评】本题考查多面体表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①sin cos b A B =，②()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，③2ABC S BC ∆=⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC ∆中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且______． （1）求角B 的大小；（2）若b ABC ∆，求ABC ∆周长． 【考点】解三角形；正弦定理【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算【分析】（1）若选①：sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，求解可得B ，若选②，由已知可得可得()()()a c c a b a b -=-+，可求cos B 的值，可求B ；若选③：23ABC S BA BC ∆⋅，结合三角形面积公式及向量数量积定义可求tan B ，进而可求B ；（2）由ABC ∆，可得2ac =，再利作余弦定理可得a c +，可求周长．【解答】解：（1）若选①：sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B ， 因为sin 0A ≠，所以sin B B ，即tan B ， 又0B π<<，3B π=；若选②：在ABC ∆中()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，可得()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，由正弦定理得()()()a c c a b a b -=-+，整理得222122c a b ac +-=，1cos 2B ∴=，又0B π<<，3B π∴=；若选③：2ABC S BC ∆=⋅，所以12sin cos 2ac B B ⨯=，所以sin B B ，即tan B 又0B π<<，3B π=；（2）因为ABC ∆，所以1sin 23ac π=2ac =，在ABC ∆中，因为b =22222cos ()33b a c ac B a c ac =+-=+-=， 所以3a c +=，当且仅当a c =时取等号，所以ABC ∆周长的3．【点评】本题考查正余弦定理，和差角公式以及三角恒等变换，属中档题．18．（12分）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；（3）现知道直方图中成绩在[130，140)内的平均数为136，方差为8，在[140，150]内的平均数为144，方差为4，求成绩在[130，150]内的平均数和方差．【考点】频率分布直方图【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据题意，设第一组的频率为x，则第二组的频率为2x，分析可得关于x的方程，解可得答案；（2）设数据的第75百分位数为x，分析第75百分位数所在的组，可得0.03(120)0.29x⨯-=，解可得x的值，分析可得答案；（3）根据题意，由平均数、方差的计算公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设第一组的频率为x，则第二组的频率为2x，则有20.034100.03100.018100.006101++⨯+⨯+⨯+⨯=，x x解可得0.04x=，则第一组的频率为0.04，则第二组的频率为0.08，（2）根据题意，0.040.080.340.30.760.75+++=>，设数据的第75百分位数为x，则有0.03(120)0.29⨯-=，x解可得：129.7x≈，故全市“良好”以上等级的成绩范围为[129.7，150]；（3）根据题意，成绩在[130，140)内人数为1000.1818⨯=，在[140，150]内人数为1000.066⨯=，又由成绩在[130，140)内的平均数为136，方差为8， 在[140，150]内的平均数为144，方差为4， 则成绩在[130，150]内的平均数186136144138186186x =⨯+⨯=++， 其方差222186[8(136138)][4(144138)]19186186S =⨯+-+⨯+-=++， 故成绩在[130，150]内的平均数为138，方差为19．【点评】本题考查频率分布直方图的性质以及应用，涉及平均数、方差的计算，属于基础题． 19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，且D 为11A C 的中点． （1）求证：1//A B 平面1B CD ；（2）求1A B 与平面11BCC B 所成角的余弦值．【考点】直线与平面平行；直线与平面所成的角【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算【分析】（1）连接1BC ，设11BC B C E =，连接DE ，即可得到1//DE A B ，从而得证；（2）取11B C 的中点F ，连接1A F 、BF ，即可证明1A F ⊥平面11BCC B ，则1A BF ∠为直线1A B 与平面11BCC B 所成角，再由勾股定理求出BF 、1A B ，再由锐角三角函数计算可得1A B 与平面11BCC B 所成角的余弦值． 【解答】（1）证明：连接1BC ，设11BC B C E =，连接DE ，在正三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 为矩形，则E 为1BC 的中点，又D 为11A C 的中点，所以1//DE A B ，1A B ⊂/平面1B CD ，DE ⊂平面1B CD ， 所以1//A B 平面1B CD ．（2）解：取11B C 的中点F ，连接1A F 、BF ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面111A B C ，1A F ⊂平面111A B C ，所以11BB A F ⊥，又△111A B C 为等边三角形，所以111C B A F ⊥，1111C B BB B =，1BB ⊂平面11BCC B ，11C B ⊂平面11BCC B ，所以1A F ⊥平面11BCC B ，所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BCC B 所成角，因为13AB AA ==，所以BF ==1A B =所以11cos BF A BF A B ∠= 所以直线1A B 与平面11BCC B． 【点评】本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．20．（12分）2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为23，甲、乙两公可都研发成功的概率为25，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为15，各公司是否研发成功互不影响．（1）求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；（2）若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算 【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式计算即可；（2）利用对立事件的定义计算一轮研发“取得重大突破”的事件概率，再结合互斥事件与相互独立事件的概率公式求解即可．【解答】解：（1）设甲、乙、丙公司研发成功分别为事件A ，B ，C ， 则P （A ）23=，2()5P AB =，1()5P BC =， 由于各公司是否研发成功互不影响，事件A ，B ，C 相互独立， ()P AB P =（A ）P （B ）25=，()()()[1P BC P B P C P ==-（B ）][1P -（C ）1]5=，P ∴（B ）35=，P （C ）12=，故乙、丙两家公司各自研发成功的概率分别为35，12．（2）设一轮研发“取得重大突破”的目标为事件M ， 2314()1()13525P M P ABC =-=-⨯⨯=，设实现“取得重大突破”目标为事件N ， 41424()()()()55525P N P M P M P M =+=+⨯=， 所以实现“取得重大突破”目标的概率为：2425． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．21．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，2,1,23BCD AB ABC ππ∠==∠=．（1）若2,BC CD ==ACD ∆的面积； （2）若,26ADC AD π∠==，求cos ACD ∠．【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算【分析】（1）根据所给条件，可得AC 的值，由余弦定理，可得cos ACB ∠，进而可得sin ACD ∠的值，代入面积公式，即可得答案． （2）在ADC ∆中，根据正弦定理，可得21sin 2AC ACD =∠，在ABC ∆中，可得1cos ACD =∠，两式联立，结合同角三角函数关系，即可得答案． 【解答】解：（1）因为21,,23AB ABC BC π=∠==， 由余弦定理得22222cos73AC AB BC AB AC π=+-⋅⋅=，即AC =由余弦定理得222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠=⨯⨯，所以sin sin()cos 2ACD ACB ACB π∠=-∠=∠，所以ACD ∆的面积1sin 2S AC CD ACD =⨯⨯⨯∠=．（2）在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin AD ACACD ADC=∠∠，即21sin 2AC ACD =∠①， 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC =∠∠，即11cos sin()2ACD ACD π==∠-∠②， ①②联立可得sin tan cos ACD ACD ACD ∠∠==∠ 因为(0,)2ACD π∠∈，所以cos ACD ∠=【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式等知识，属于中等题． 22．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，122AB BC AD ===，90BAD ABC ∠=∠=︒，O 是AD 的中点． （1）求证：平面PAC ⊥平面POB ；（2）点M 在棱PC 上，满足(01)PM PC λλ=<<，且三棱锥P ABM -，求λ的值及二面角M AB D --的正切值．【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法 【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算【分析】（1）连接OC ，则可得四边形AOCB 为正方形，得AC OB ⊥，由已知条件结合面面垂直的性质可得PO 平面ABCD ，则PO AC ⊥，则由线面垂直的判定可得AC 平面POB ，再由面面垂直的判定可得结论；（2）设点C 、M 到平面PAB 的距离分别为1d 、2d ，由C PAB P ABC V V --=可求出1d ，由三棱锥P ABM -，可求出2d ，再由12d PM PC d =可求出λ的值，取OC 靠近点O 的四等份点E ，连接ME ，过点E 作EF AB ⊥于，连接MF ，可得MFE ∠为二面角M AB D --的平面角，然后在Rt MEF ∆中可求得结果． 【解答】解：（1）证明：连接OC ， 因为底面ABCD 中，122AB BC AD ===，90BAD ABC ∠=∠=︒， 所以四边形四边形AOCB 为正方形，得AC OB ⊥，因为侧面PAD 为等边三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥， 因为平面PAD 垂直于底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， 所以PO 平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PO AC ⊥， 因为POOB O =，所以AC ⊥平面POB ，因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面POB ；。