2020-2021广州市高一数学下期末第一次模拟试卷及答案

【压轴题】高一数学下期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）4．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m6．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）7．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．608．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．609．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3 B ．3(0,]4C ．3D ．3[,1)411．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒二、填空题13．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．16．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v在BC uuu v方向上的投影为________．17．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v的最小值是_____.18．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 19．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．三、解答题21．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．23．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，22243a cb S +-=，其中S 为ABC V 的面积． （1）求sin C ；（2）若23a b -=-，求ABC V 的周长． 24．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程^^^t yb a =+（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.附：回归方程^^^t y b a =+中1122211()(),{().n niii ii i nni i i i x x y y x y nxyb x x x nx a y bx ====---==--=-∑∑∑∑25．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.26．如图，在等腰直角OPQ ∆中，090POQ ∠=，22OP =，点M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若5OM =，求PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.4．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.9．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．10．A解析：A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．11．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．12．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】在ABC ∆中，5a =Q ，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <Q ，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．二、填空题13．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：511-【解析】 【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 剟时，()21x f x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则解析：4 【解析】 【分析】 【详解】由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=16．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu r方向上的投影即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，(C ，则：()2,0AB =uu u r ，(BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r且2AB =u u u r ，BC =u u u v据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-u u u v u u u vu u uv .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：77【解析】 【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-ou u u r u u u r u u u r u u u r线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r()12AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u u r u u u r u u u r222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r 221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN u u u u r 取得最小值17因而min7MN==u u u u r故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.18．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,,33OEO O E O A ∠===o ,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==o,所以外接圆半径2211421133r OA OO O A ==+=+=.19．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确；对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00ff f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为．考点：三视图．三、解答题21．（12）22x (y 1)5++=． 【解析】 【分析】()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程． 【详解】解：()121l //l Q ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=，1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l 的距离2261d 5512-===+． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-， 所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-． 由()1知C e 的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 22．(1) ． (2)．【解析】 【分析】 【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算 23．（1）264；（23263 【解析】 【分析】（1）由正弦可得R 2sin aA=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解； （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得cos 2sin aa A A=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.由2221csin 2a c b a B +-=⋅，由余弦定理可得2cos sin ac B B =，tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，()sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+=⎪⎝⎭. （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，又a b -=a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩又sin C =2c ∴==a b c ∴++=+. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.24．（Ⅰ） 1.2.6ˆ3yt =+，（Ⅱ）10.8千亿元. 【解析】试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出,x y ，211,.nnnt iny i i i i l tnt l t y nty ===-=-∑∑的值，然后代入ˆny ntl bl =求得ˆb，再代入ˆˆa y bt =-求出ˆa 值，从而就可得到回归方程 1.2.6ˆ3y t =+，（Ⅱ）将6t =代入回归方程 1.2.6ˆ3yt =+可预测该地区2015年的人民币储蓄存款． 试题解析： （1）列表计算如下这里111365,3,7.2.55n i i i i n t t y y n n =========∑∑ 又2211555310,120537.212.nnnt iny i i i i l tnt l t y nty ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑从而12 1.2,7.2 1.23 3.610ˆˆˆny nt l b a y bt l ====-=-⨯=. 故所求回归方程为 1.2.6ˆ3yt =+. （2）将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为1.26 3.610.8(ˆ).y=⨯+=千亿元 考点：线性回归方程. 25．（Ⅰ）516.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为516． （Ⅱ） 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为616； 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 26．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=︒时， OMN ∆的面积的最小值为8-【解析】 【分析】 【详解】解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理, 得sin OM OPM ∠=sin OMOPM∠,所以OM=()sin 45sin 45+OP α。

2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。

2020-2021广州市高中必修二数学下期末一模试卷(带答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥ 2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7? 4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A．21+ B ．31+ C ．2232+ D ．332+ 6．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-7．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +8．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48πB ．12πC ．12πD ．3π9．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[]1,1- D ．(]1,1-10．已知0,0a b >>，并且111,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．911．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2πB ．C ．D ．3π 12．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m=_________ ．14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b 3a 2b a++的最小值等于______． 16．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则n a n 的最小值为_______. 17．函数()12x f x -的定义域是__________．18．已知四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直；②平面PBC 与平面ABCD 垂直；③△PCD 的面积大于△PAB 的面积；④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)19．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．三、解答题21．已知函数31()log 1a m x f x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称． （1）求实数m 的值；（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．22．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│.（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.23．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=.（1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程.24．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为2a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 3．A解析：A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C. 考点：程序框图.4．A解析：A【解析】【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.【详解】函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A .【点睛】 本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当AC BC ==时，取等号．∴121)12S =⨯+++⨯= 故选C ． 点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．6．C解析：C【解析】【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x -=-且()00f =又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=-在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-=所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．7．A解析：A【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．8．D解析：D【解析】【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】 由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+， 所以22222a b c a ac +-=+，所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．C【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项. 点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．D解析：D【解析】 ∵111,,2a b成等差数列，()11114144559a b a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++= ⎪⎝⎭，…， 当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 11．A解析：A【解析】【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，， 222313()22a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．12．A解析：A【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】 试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．15．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11【解析】 分析：构造基本不等式模型1132()(32)b b a b a b a a b a ++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：Q 111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b ++=+++=++ Q 0a >，0b >，∴0b a >，0a b>， ∴2b a a b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611b a b a++≥+=. ∴32b a b a++的最小值等于11. 故答案为11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.16．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案解析：415. 【解析】 【分析】根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入na n中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,2(1)22n nn n -=⨯=- 而121,a =所以221n a n n =-+,则221211n a n n n n n n-+==+-, 因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254n a n ==, 当5n =时,418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为415. 故答案为:415【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.18．①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC 得PB ⊥平面ABCD 从而PA ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝CD·PDS △PAB ＝AB·PA 由 解析：①③ 【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ， 由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．19．【解析】故答案为 解析：75【解析】1tan tan 17446tan tan 144511tan tan644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭故答案为75.20．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象解析：10【解析】 【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解 【详解】连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC P ，连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111Rt AC B n 中，111AC =，1111122C E C B == 152A E ∴=, 同理可得162A D =,52DE = 222165530cos 652A DE +-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯, ∴异面直线1A B 与1AC 3030【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题21．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验； （2）根所在（1）中求得的m 值，得到1()log 1ax f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对 a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.【详解】解：（1）31()log 1a m x f x x -=-Q ，31()()log 1a m x f x x -⋅-∴-=--．又Q 函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，331()1log log 11a am x m xx x -⋅--∴=----， 331()1111m x m xx x -⋅--∴⋅=---，()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，1m ∴=-或1m =．当1m =时，函数的真数为1-，不成立，1m ∴=-．（2）据（1）求解知，1()log 1ax f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴<⇒<；当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴>⇒>．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论. 22．（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 54=，从而可得m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，f （x ）≥1， ∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，， 当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 12=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 32=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）9942=-+-154=； 当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 12=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max 54=， ∴m 的取值范围为（﹣∞，54]． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 23．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 24．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）113n n n T +=-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件得()241n n S a =+，由1n =得1a ，当2n ≥时，()21141n n S a --=+，两式作差得2211422n n n n n a a a a a --=+--，整理得12n n a a --=，由等差数列公式求通项即可； （Ⅱ）由()1213n n b n =-⋅，利用错位相减即可得解. 试题解析：（Ⅰ）1n a =Q ， ()241n n S a ∴=+． 当1n =时，()21141S a =+，得11a =． 当2n ≥时，()21141n n S a --=+，()()()2211411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，0,n a >Q 12n n a a -∴-=．∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，()12121n a n n ∴=+-=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n n b n =-⋅， ()231111135213333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①()()23111111132********n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②①–②得()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⋅ ⎪⎝⎭()21111113322113313n n n ++-=+⨯--⋅-， 化简得113n n n T +=-．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n nb n =-⋅， 设()()()()111112112323333n n n n nb n An B A n B An A B -⎡⎤=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅⎣⎦， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩()()()()1111111211133333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅， ∴()120112111111111223113333333n n n n nn T b b b n n -+⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++⋅⋅⋅+=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L .25．（1）13n n a = （2）21n n -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1n b 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和 26．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解. 试题解析:（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥Q 所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC （2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥ 所以1A O ⊥平面BCDE21116332BCDEAO S a a a ∴⋅=⋅== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．。

广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案)广州市第二学期期末考试试题本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

高一数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.与-60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式x-2y+4>0表示的区域在直线x-2y+4=0的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角α的终边经过点P(-3,-4)，则cosα的值是A.-4/5B.-3/5C.-5/3D.5/34.不等式x-3x-10>0的解集是A.{x|-2≤x≤5}B.{x|x≥5,或x≤-2}C.{x|-25,或x<-2}5.若sinα=-3/5，α是第四象限角，则cos(π/4+α)的值是A.4/5B.7/10C.1/10D.1/76.若a,b∈R，下列命题正确的是A.若a>|b|，则a>bB.若a<b，且a≠-b，则a+b<0C.若a≠|b|，则a≠bD.若a>b，则a-b<07.要得到函数y=3sin(2x+π/5)图象，只需把函数y=3sin2x 图象A.向左平移π/5个单位B.向右平移π/5个单位C.向左平移π/2个单位D.向右平移π/2个单位8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则PA+PB+PC+PD等于A.4PMB.3PMC.2PMD.PM9.已知sinα=-17/46，cosα=15/46，则sinα+cosα的值是A.-17/46B.15/46C.-7/46D.7/4610.已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A.4B.2√2C.2D.2/√211.已知点(n,a_n)在函数y=2x-13的图象上，则数列{a_n}的前n项和S_n的最小值为A.36B.-36C.6D.-612.若钝角ΔABC的内角A,B,C成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是A.(1,2) (2,+∞)B.(0,1)C.[3,+∞)D.(3,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本参考答案仅供参考，具体评分以考试时学校出题人和阅卷老师为准。

2020-2021学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．已知复数z＝a2+（a+1）i，若z是纯虚数，则z的共轭复数＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是（）A．对立事件B．相互独立事件C．互斥但非对立事件D．以上都不对3．某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm、177.6cm，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（）A．176cm B．176.3cm C．176.6cm D．176.9cm4．复平面内的平行四边形OABC的项点A和C（O是坐标原点）对应的复数分别为4+2i 和﹣2+6i，则点B对应的复数为（）A．2+6i B．2+8i C．6+2i D．8+2i5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则EF 与平面ABCD所成角的正切值是（）A．B．C．D．6．某运动队为了对A、B两名运动员的身体机能差异进行研究，将A、B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分绘成折线图，并提出下列四个结论，其中错误的结论是（）A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分B．第2天至第7天B运动员的得分逐日提高C．第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量D．A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差7．关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊥β，a⊥b，b⊂α，则α∥βC．若a∥α，α⊥β，则a⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b8．如图，在△ABC中，∠CAB＝，AB＝3，AC＝2，，，则||＝（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2+x−2<0}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {−2,−1,0}B. {−1,0，1}C. {−1,0}D. {0,1}2.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设a⃗、b⃗ 都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立的充分条件是()A. a⃗=−b⃗B. a⃗//b⃗C. a⃗=2b⃗D. a⃗//b⃗ 且|a⃗|=|b⃗ |4.在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是()A. 11πB. 12πC. 13πD. 14π5.已知函数y=x a，y=b x，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. b<c<a6.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是()A. 65，280B. 68，280C. 65，296D. 68，2967.函数f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且f(x+1)为奇函数，当x>1时，f(x)=x2−6x+8，则函数f(x)的所有零点之和是()A. 2B. 4C. 6D. 88. 将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[0,π2]上是单调增函数，则实数ω的最大值为( )A. 23B. 1C. 65D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若a >b >0，则下列不等式成立的是( )A. √a >√bB. 1a 2>1b 2C. ac 2>bc 2D. a −1a >b −1b10. 口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球中至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是( )A. 事件A 与D 为对立事件B. 事件B 与C 是互斥事件C. 事件C 与E 为对立事件D. 事件P(C ∪E)=111. △ABC 中，A =π2，AB =AC =2，则下列结论中正确的是( )A. 若G 为△ABC 的重心，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 若P 为BC 边上的一个动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )为定值4 C. 若M 、N 为BC 边上的两个动点，且MN =√2,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为32D. 已知Q 是△ABC 内部(含边界)一点，若AQ =1，且AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值是112. 已知三棱锥P −ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，AB =BC =2，PA =PC =√5，AB ⊥BC ，过B 作平面ABC 的垂线BQ ，且BQ =AB ，PQ =3，P 与Q 都在平面ABC 的同侧，则( )A. 三棱锥P −ABC 的体积为23 B. PA ⊥ABC. PC//BQD. 球O 的表面积为9π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=−15，则tanθ= ______ ．14. 某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张(不放回)，乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为______ ．15. 已知函数f(x)=|x +1|−|x −3|，若对∀x ∈R ，不等式f(x)≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是______ ．16.已知正数a，b满足a+b−1a −4b=8，则a+b的最小值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c=23b,sinBb=√3cosAa，(1)求A的值；(2)若b=3，求△ABC外接圆的面积．18.为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．(1)利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；(2)利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x−和方差s2(以各组的区间中点值代表该组的取值)．19.在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：(1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．20.已知点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1,−√3)，当|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π3．(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)求函数f(x)在x∈(π9,4π9)内的值域；(3)若方程3[f(x)]2−f(x)+m=0在x∈(π9,4π9)内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．21.如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD⏜所在的平面垂直，AB=2，AD=√22，M 是CD⏜上异于C，D的动点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．22.已知f(x)=x2+x+a2+a，g(x)=x2−x+a2−a，且函数f(x)和g(x)的定义域均为R，用M(x)表示f(x)，g(x)的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，(1)若a=1，试写出M(x)的解析式，并求M(x)的最小值；(2)若函数M(x)的最小值为3，试求实数a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|−2<x<1}，B={−2,−1,0，1，2}，∴A∩B={−1,0}．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由(z−1)i=1+i，得z−1=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z=2−i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|⇔a⃗=|a⃗ |b⃗|b⃗|⇔a⃗与b⃗ 共线且同向⇔a⃗=λb⃗ 且λ>0，故选C．利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．4.【答案】B【解析】解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，∵BC=4，∠ABC=120°，∴CO=2√3，⋅π⋅OC2⋅AB=12π，∴几何体的体积V=13故选：B△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO 为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积，其中分析出几何体的形状及底面半径和高之差等几何量是解答的关键．5.【答案】A【解析】解：根据幂函数的性质可知：a>0，又∵幂函数y=x a，当x=2时，y<2，即2a<2，∴0<a<1，根据指数函数的性质可知：b>1，又∵指数函数y=b x，当x=1时，y<2，即b<2，∴1<b<2，根据对数函数的性质可知：c>1，又∵对数函数y=log c x，当x=2时，y<1，即log c2<1，∴c>2，故：a<b<c，故选：A．分别利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，结合特殊点，即可判断出a，b，c的大小关系．本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的性质，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70， 甲队队员在所有队员中所占权重为11+4=15， 乙队队员在所有队员中所占权重为41+4=45，则甲、乙两队全部队员的平均体重为x −=15×60+45×70=68，甲、乙两队全部队员体重的方差为s 2=15[200+(60−68)2]+45[300+(70−68)2]=296． 故选：D ．先求出甲、乙两队队员所有队员中所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x +1)为奇函数，函数f(x +1)的图象关于(0,0)对称， 则函数f(x)的图象关于(1,0)对称，当x >1时，f(x)=x 2−6x +8，此时若f(x)=x 2−6x +8=0，解可得x 1=2，x 2=4， 又由函数f(x)的图象关于(1,0)对称，则当x <1时，f(x)=0有两解，为x 3=0，x 4=−2， 则函数f(x)的所有零点之和为2+4+0+(−2)=4； 故选：B ．根据题意，分析可得函数f(x)的图象关于(1,0)对称，由函数的解析式求出x >1时函数的零点，分析可得x <1时f(x)的零点，相加即可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数的对称性以及函数的零点，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)=sin[ω(x−π12)]的图象，由于x∈[0,π2]，所以ω(x−π12)∈[−ωπ12,5ωπ12]，由于函数g(x)在区间[0,π2]上是单调增函数，所以[−ωπ12,5ωπ12]⊆[−π2,π2]，故5ωπ12≤π2，且−ωπ12≥−π2，解得ω≤65故选：C．直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：由a>b>0，可得√a>√b，故A正确；由a>b>0，可得a2>b2，所以1a2<1b2，故B错误；若c=0，则ac2=bc2，故C错误；由a>b>0，可得1a <1b，所以−1a>−1b，所以a−1a>b−1b，故D正确．故选：AD．由不等式的性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵事件A=“取出的两球同色”，D=“取出的两球不同色”，∴件A与D 为对立事件，故A对，事件BC=“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B与C不是互斥事件，故B 错，事件CE =“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C 与E 不是对立事件，故C 错， 事件C ∪E 为必然事件，故P(C ∪E)=1，故D 对， 故选：AD ．由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可． 本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)． 对于A ，由重心坐标公式，可得G(23,23)，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23)，23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,43)， ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错误； 对于B ，设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=[t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²+(1−t)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |²+(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4t +4(1−t)=4， 故B 正确；对于C ，不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x ≤√2， 得M(2−√22x,√22x)，N(2−√22(x +√2),√22(x +√2))=(1−√22x,1+√22x)． 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−√22x,√22x)(1−√22x,1+√22x) =(2−√22x)(1−√22x)+√22x(1+√22x)=x²−√2x +2．当x =√22时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为32，故C 正确； 对于D ，由AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且Q 为△ABC 内一点，BQ =1， 得{1<2λ<20<2μ<√24，即{12<λ<10<μ<√28，则λ+μ的最大值大于1，故D 错误． 故选：BC ．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断选项A ；设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，把AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )用含有t 的代数式表示即可判断选项B ；不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x ≤√2，求得M 与N 的坐标，得到AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于x 的函数，利用二次函数求最值即可判断选项C ；由向量加法的平行四边形法则结合图形求得λ与μ的范围即可判断选项D ．本题主要考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．12.【答案】ABD【解析】解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足AB =BC =2，PA =PC =√5，AB ⊥BC ， 三棱锥P −ABC 的体积为13×12×2×2×1=23，故A 正确； PB =√PD 2+BD 2=√PD 2+AB 2+AD 2=√22+22+12=3， 满足PA 2+AB 2=PB 2，可得PA ⊥AB ，故B 正确； BQ ⊥平面ABC ，PD ⊥平面ABC ，则BQ//PD ，假设PC//BQ ，则PC//PD ，与PD 与PC 相交于P 矛盾，故C 错误； 三棱锥P −ABC 的外接球即长方体DG 的外接球，设其半径为R ，则2R =√22+22+12=3，即R =32，可得球O 的表面积为4π×(32)2=9π，故D 正确． 故选：ABD ．把三棱锥放置在长方体中，画出图形，由棱锥体积公式求三棱锥P −ABC 的体积判断A ；利用勾股定理证明PA ⊥AB ；由反证法思想说明C 错误，求出长方体的外接球的表面积判断D ．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−34【解析】解：∵sinθ+cosθ=−15，…(1)， ∴两边平方得1+2sinθcosθ=125， ∴sinθcosθ=−1225<0，又0<θ<π，可知：sinθ>0，cosθ<0， ∴sinθ−cosθ>0，∵(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=1+2425=4925， ∴sinθ−cosθ=75， (2)由(1)，(2)可得sinθ=35，cosθ=−45， ∴tanθ=−34．故答案为：−34．由sinθ+cosθ=−15，平方可由此求得sinθ⋅cosθ 的值，由sinθ⋅cosθ以及sin 2θ+cos 2θ=1可得cosθ和sinθ的值，从而求得tanθ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14.【答案】110【解析】解：由题意，甲中一等奖乙中一等奖的概率P =C 21C 11C 51C 41=220=110．故答案为：110．求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可． 本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．15.【答案】[4,+∞]．【解析】解：(1)函数f(x)=|x+1|−|x−3|={−4,x≤−12x−2,−1<x<3 4,x≥3，作出f(x)的图象如图所示，由图象可得函数f(x)的最大值为4，若对∀x∈R，不等式f(x)≤m恒成立，则m≥4，即实数m的取值范围是[4,+∞]．故答案为：[4,+∞]．去掉绝对值符号，化简函数f(x)的解析式，结合函数的图象，求解函数的最大值，然后求解m的范围即可．本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：a>0，b>0，则a+b>0，设a+b=x，则1a +4b=x−8，由基本不等式的结论可得，1a +4b≥(√1+√4)2a+b=9a+b，即x(x−8)≥9x，即x2−8x−9≥0，所以x≤−1(舍)或x≥9，即a+b≥9，当且仅当b=2a时取等号，所以a+b的最小值为9．故答案为：9．设a+b=x，则1a +4b=x−8，然后利用基本不等式的结论，构造关于x的一元二次不等式，求解即可得到a+b的最小值．本题考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键在于构造，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为sinBb =√3cosAa，所以由正弦定理可得sinBsinB =√3cosAsinA，即tanA=√3，因为A∈(0,π)，所以A=π3．(2)因为b=3，c=2b3=2，A=π3，所以由余弦定理可得a=√b2+c2−2bccosA=√9+4−2×3×2×12=√7，所以△ABC外接圆的半径R= a2sinA=√72×√32=√213，可得△ABC外接圆的面积S=πR2=7π3．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得tanA=√3，结合范围A∈(0,π)，可得A的值．(2)由题意可求c的值，根据余弦定理可得a的值，利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，进而根据圆的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)设组距为a，则有(0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02)×a=1，解得a=2，所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，因为10～12所占频率为2×0.02=0.04，8～10所占频率为2×0.04=0.08，故8～12所占频率为0.12>0.10，故第90百分位数在[8,10]之间，即为10−0.1−0.040.08×2=8.5；(2)由频率分布直方图可得，x−=(1×0.08+3×0.10+5×0.14+7×0.12+9×0.04+11×0.02)×2=5；s2=[(1−5)2×0.08+(3−5)2×0.10+(5−5)2×0.14+(7−5)2×0.12+(9−5)2×0.04+(11−5)2×0.02]×2=7.04．【解析】(1)设组距为a ，利用频率之和为1，建立关于a 的等式，求出a ，然后得到横轴的数据，然后利用百分位数的计算方法求解即可；(2)利用频率分布直方图中平均数和方差的计算方法求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，频率之和为1的应用，频率分布直方图中平均数、方差以及百分位数的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P(AB −+A −B)=P(A)P(B −)+P(A −)P(B)=35×(1−25)+(1−35)×25=1325．(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： P(A −B −)=P(A −)P(B −)=(1−35)×(1−25)=625．【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P(AB −+A −B)=P(A)P(B −)+P(A −)P(B)，由此能求出结果．(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P(A −B −)=P(A −)P(B −)，由此能求出结果．20.【答案】解：(1)由题意，角φ的终边经过点P(1,−√3)，则有tanφ=−√3，又−π2<φ<0，则φ=−π3， 因为当|f(x 1)−f(x 2)|=4时，|x 1−x 2|的最小值为π3， 则T =2π3=2πω，所以ω=3，故f(x)=2sin(3x −π3)， 令π2+2kπ≤3x −π3≤3π2+2kπ,k ∈Z ，解得5π18+2kπ3≤x ≤11π18+2kπ3,k ∈Z ，所以函数f(x)的单调减区间为[5π18+2kπ3,11π18+2kπ3],k ∈Z ；(2)因为x∈(π9,4π9)，则3x−π3∈(0,π)，所以sin(3x−π3)∈(0,1)，故f(x)∈(0,2)，所以函数f(x)在x∈(π9,4π9)内的值域为(0,2)；(3)由(2)可知，函数f(x)在x∈(π9,4π9)内的值域为(0,2)，令t=f(x)，则t∈(0,2)，问题转化为方程3t2−t+m=0在(0,2)上仅有一个根或两个相等的根，即−m=3t2−t，t∈(0,2)，则y=−m与y=3t2−t的图象在t∈(0,2)上只有一个交点，作出函数y=−m与y=3t2−t在t∈(0,2)上图象，由图象可知，当−m=−112或0≤−m<10时，两个图象只有一个交点，解得m=112或−10<m≤0，故实数m的取值范围为{112}∪(−10,0]．【解析】(1)利用三角函数的定义求出φ的值，由当|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π3，求出函数的周期，从而求出ω的值，由此得到函数的解析式，利用整体代换以及正弦函数的单调性求解即可；(2)利用x的范围，求出3x−π3∈[0,π]，利用由正弦函数的性质求解即可；(3)令t=f(x)，则t∈(0,2)，将问题转化为y=−m与y=3t2−t的图象在t∈(0,2)上只有一个交点，利用数形结合法求解即可．本题考查了函数与方程的综合应用，三角函数解析式的求解，三角函数性质的应用以及三角函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)证明：由题意可知，平面CMD⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD=CD，又BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，故BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，所以BC⊥DM，因为M 是CD⏜上异于C ，D 的动点，且CD 为直径， 所以DM ⊥CM ，又BC ∩CM =C ，BC ，CM ⊂平面BMC ， 所以DM ⊥平面BMC ，又DM ⊂平面AMD ， 故平面AMD ⊥平面BMC ；(2)解：过点M 作MH ⊥CD ，交CD 于点H ，连接HB ，MC ， 由平面DMC ⊥平面ABCD ，且平面CMD ∩平面ABCD =CD ， 所以MH ⊥平面ABCD ，则∠MBH 为MB 与平面ABCD 所成角，即∠MBH =θ， 不妨设HC =x ，(0<x <2)，所以DH =2−x ，则由射影定理可得，MH 2=x(2−x)=2x −x 2， 又HB 2=x 2+(√22)2=x 2+12，所以MB 2=MH 2+HB 2=2x +12，故sin 2θ=MH 2MB 2=2x−x 22x+12，令2x +12=y ∈(12,92)， 故sin 2θ=(y−12)(y−122)2y =54−(y 4+916y)≤54−2√y 4⋅916y=12， 当且仅当x =12时取等号， 所以sinθ的最大值为√22．【解析】(1)利用面面垂直的性质定理证明BC ⊥平面CMD ，进一步证明DM ⊥平面BMC ，由面面垂直的判定定理证明即可；(2)过点M 作MH ⊥CD ，交CD 于点H ，连接HB ，MC ，由面面垂直的性质定理可得MH ⊥平面ABCD ，则由线面角的定义，∠MBH 为MB 与平面ABCD 所成角，即∠MBH =θ，设HC =x ，(0<x <2)，利用边角关系求出sin 2θ=MH 2MB 2=2x−x 22x+12，然后利用换元法2x +12=y ∈(12,92)，结合基本不等式求解最值即可． 本题考查了面面垂直的性质定理和判定定理的应用，线面角定义的应用，利用基本不等式求解最值的应用，解题的关键是找到线面对应的角，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．22.【答案】解：∵f(x)−g(x)=x 2+x +a 2+a −(x 2−x +a 2−a)=2(x +a)，∴当x ≥−a 时，f(x)≥g(x)，当x <−a 时，f(x)<g(x)， 故M(x)=max{f(x),g(x)}={f(x),x ≥−ag(x),x <a ，(1)当a =1时，M(x)={x 2+x +2,x ≥−1x 2−x, x <−1，当x ≥−1时，M(x)min =f(−12)=74，当x <−1时，M(x)=g(x)>g(−1)=2， 故M(x)min =74，(2)函数f(x)和g(x)的对称轴分别为x =−12、x =12， ①当−a ≤−12，即a ≥12时，M(x)在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,+∞)上单调递增， 故M(x)min =f(−12)=3，即a 2+a −134=0，解得a =√14−12或a =−1+√142(舍去)，②当−12<−a ≤12，即−12≤a <12时，M(x)在(−∞,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增， 故M(x)min =f(−a)=3，即2a 2=3，解得a =±√62(舍去)，③当−a >12，即a <−12时，M(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增， 故M(x)min =f(12)=3，即a 2−a −134=0，解得a =−√14−12或a =1+√142(舍去)，综上所述，a =±√14−12．【解析】作差化简f(x)−g(x)=2(x +a)，从而根据正负得M(x)={f(x),x ≥−ag(x),x <a ，(1)当a =1时，M(x)={x 2+x +2,x ≥−1x 2−x, x <−1，讨论求最小值，(2)根据函数f(x)和g(x)的对称轴分三类讨论求最值．本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用及转化思想的应用，属于中档题．。

广东省广州市高一上学期数学期末模拟卷（1）第I 卷（选择题）一、单选题（1-8题为单选选择，每道题有且只有一个选项，9-12题为多项选择，漏选得3分年，错选的0分，每题5分，共60分）1．已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（ ） A.{}0A B x x ⋂=< B.A B R =U C.{}1A B x x ⋃=> D.{}1A B x x ⋂=< 2．已知0,0a >>b ，则“log 2log 20b a >>”是“|1||1|a b ->-”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知定义在5,12[]m m --上的奇函数()f x ，当0x ≥时2()2f x x x =-，则()f m 的值为（） A ．8- B ．8 C ．24- D ．244．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．已知f (x )＝221x x x -+，则f (x )在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．12 B ．43 C ．－1 D ．06．已知33cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，322ππα-<<-，则cos α的值等于（ ）A ．45- B ．925- C ．4425- D ．39257．若函数()f x 是定义在R 的奇函数，(),,0a b ∀∈-∞，当a b ¹时，都有()()0f a f b a b-<-，且()20f =，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()()1,11,3-UB ．()()3,10,1--UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()()1,01,3-U8．已知方程923310x x k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1,)+∞9．设正实数a 、b 满足1a b +=，则下列选项中，正确的有（ ）A ．12B ．114a b +≤C ≤D ．2212a b +≥ 10．如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积()2m y 与时间t （月）的关系：t y a =（0a >且1a ≠），以下叙述中正确的是（ ）A ．这个指数函数的底数是2B ．第5个月时，浮萍的面积就会超过235mC ．浮萍从24m 蔓延到216m 需要经过2个月D ．浮萍每个月增加的面积都相等11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23πϕ=- B ．函数()f x 图象的对称轴为直线()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象 D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ⎡-⎣，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13．函数()f x 的定义域为[0,8]，则函数(2)4f x x -的定义域是________. 14．已知3()3f x ax bx =+-，其中a 、b 为常数，若()22f -=，则()2f =________.15．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________. 16．已知命题2:,10p x R ax ax ∀∈--≤是真命题，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（每题10分，共70分）17．化简求值：（1）100.537(0.027)()48----+ （2）133331322log log log 83log 529-+-18．设全集为R ，集合{}{}|36,|29A x x B x x =≤<=<<.（1）分别求A B I ，()R C B A U ；（2）已知{}|1C x a x a =<<+，已知C B C =I ，求实数a 的取值范围.19．已知集合()222220{|}A x x a x a a =--+-≤，2540{|}B x x x =-+≤（1）若2a =，求A B I ，（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+. （1）化简()f α；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值21．已知函数()421()x x f x a a R =-+⋅-∈.（1）当1a =时，求()f x 的值域；（2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35-，求cos2sin cos θθθ-⋅的值. （2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.23．已知函数()421x m x m f x --=+，函数()12x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 的图象过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求m 的值； （2）在（1）的条件下，求函数()()()h x f x g x =+在区间14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值； （3）若对[]10,1x ∀∈，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()21f x g x =，求m 的取值范围．。

广东省广州市2020-2021学年高一下学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 复数＝A．B．C．D．2. 已知是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3. 设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．，则4. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．5. 年中国经济在疫情狙击战的基础上实现了正增长，根据中国统计局官网提供的数据，年全国居民人均可支配收入及其增长速度和年全国居民人均消费支出及其构成如图所示．根据该图，下列结论正确的是（）A．年全国居民人均可支配收入比上年下降了B．年全国居民人均居住支出占可支配收入的比重为C．年全国居民人均交通通信支出占消费支出的比重为D．年全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长率逐年下降6. 甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.987. 概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢贏了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A．甲法郎，乙法郎B．甲法郎，乙法郎C．甲法郎，乙法郎D．甲法郎，乙法郎8. 如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知复数，下列说法正确的是（）A．复数z的虚部是B．复数z的模为5C．复数z的共轭复数是D．在复平面内复数z对应的点在第四象限10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（）A．第一次摸到红球的概率为B．第二次摸到红球的概率为C．两次都摸到红球的概率为D．两次都摸到黄球的概率为11. 已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（）A．若，则O是外心B．若，则P是垂心C．若，则N是重心D．若，则I是内心12. 在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（）A．B．C．D．平面截正方体所得截面面积为三、填空题13. 某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．14. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________．15. 若是方程的一个根，则______.16. 在中，，点D在边上，且，点E是的中点，则________．四、解答题17. 已知点、、，点在线段上，且满足．(1)求点的坐标；(2)求的余弦值．18. 如图，正方体中，、、分别是棱、、的中点．(1)求直线与平面所成角的正切值；(2)求证：平面．19. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，(1)求的面积；(2)求塔高．20. 某市政府随机抽取100户居民用户进行月用电量调査，发现他们的用电量都在50～350度之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x的值，并估计居民月用电量的众数；(2)为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数；(3)用分层抽样的方法在和两组中抽取5户居民作为节能代表，从节能代表中随机选取2户进行采访，求这2户来自不同组的概率．21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上一点．(1)证明：平面平面；(2)若为的中点，求二面角的余弦值．22. 1.某批库存零件在外包装上标有从1到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们的序号从小到大依次为：，现有两种方法对零件总数N进行估计．方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的平均数与总体序号的平均数近似相等，进而可以得到N的估计值；方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号相当于从区间中随机抽取n个整数，这n个整数将区间分成个小区间．由于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度与所有个区间的平均长度近似相等，进而可以得到N 的估计值．现工作人员随机抽取了10个零件，序号从小到大依次为：380、455、1073、1375、1416、1665、1726、1963、2117、2800．(1)请用上述两种方法分别估计这批零件的总数；(2)将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y（单位：）绘制出频率分布直方图（如图）．已知标准零件的内径为，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率．其中内径长度最接近标准的770个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）．。

2020-2021广州市高一数学下期末试题(及答案)一、选择题1．如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．102．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 5．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin B =，57ABC S =△b =（ ） A ．3B ．7C 15D 147．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175 175 176 177 177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．7810．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．15．设a ＞0，b ＞033a 与3b的等比中项，则11a b +的最小值是__． 16．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________17．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2. 18．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．19．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．20．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．23．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？24．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程. 25．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．2．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABCS ac B ==，联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：{}8,825,825-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即2182d d =-,所以2d =, 所以228221a d -==+,解得825a =±,当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =, 故答案为：{}8,825,825-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．15．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键解析：【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94m ≤【解析】 【分析】由题意将4x y +=代入14x y+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．17．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：【解析】 【分析】 【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=18．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以，在直角三角形SOA中SO ===所以112233V sh ==⨯⨯=319．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=．本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．20．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.三、解答题21．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠. （2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<， 所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题． 22．(1) ． (2)．【解析】 【分析】 【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算23．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f k g k ====，()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，11(20)()(20)82y f x g x x x =-+=-21(2)3,0208x x =-+≤≤，2,4x x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题. 24．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 2acbc aA bcac +-===.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 45a A Bb ==.由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos 5B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】 【分析】(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高；(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)50,60之间的频数为2，∴全班人数为2250.08=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为3100.01225÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为1b ，2b ，在[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是70.710=． 【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。