19-3 数学分析全套课件
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数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一:关于自然数集合N1.8 补充教材二:基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一:整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二:实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材:半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数,高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一:关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二:一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学,力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一:关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二:Stieltje8积分6.12 补充教材三:单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例:单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四:上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间,拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材:Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与T aylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一:线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二:经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一:局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二:广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一:Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二:Hodge星算子16.9 补充教材三:Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。
文科数学 第1页(共 9页)2019年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】文科数学·全解全析123456789101112ABACDCBBDBBA1.A 【解析】∵}33|{}3|{2≤≤-=≤=x x x x A ,}20|{<≤=x x B ,∴=B A)2,3[-.故选A.2.B 【解析】由1cos 1α-<<,得0cos 2>+α,又实部0sin <α,故复数z 在复平面内所对应的点在第二象限,故选B.5.D 【解析】由图可知输出的结果2212)12(22222202020192019321-=--=++++= S .故选D.6.C 【解析】由1212)2)-⊥+ee ,得1212)2)0-⋅+=e e ,即221122220⋅-=e e e ,所以120⋅=e e ,所以向量1e ,2e 的夹角大小为2π,故选C.7.B 【解析】由3sin(2)5θπ+=,得532sin -=θ,即53cos sin 2-=θθ,所以53cos sin cos sin 222-=+θθθθ,即531tan tan 22-=+θθ,解得3tan -=θ或31-,故tan 1tan(241tan θθθπ--==±+.故选B.8.B【解析】由题意,知可取双曲线的一条渐近线为02=--y x m ,又渐近线与圆M :222)2(ey x =+-相切,e ,又e =,∴2)(222m m m-+=+--,解得2-=m ,故选B.9.D 【解析】由题意,知ABC △的面积241sin 21c C ab S ==,得C ab c sin 22=,再由正弦定理得C B A C sin sin sin 2sin 2=,因为0sin ≠C ,所以B A C sin sin 2sin =,即B A B A sin sin 2)sin(=+,文科数学 第2页(共 9页)所以B A B A B A sin sin 2sin cos cos sin =+,两边同时除以B A sin sin ,得2tan 1tan 1=+BA .故选D.10.B 【解析】∵(,2)4π,7(,2)12π为函数)(x f 图象上两相邻的对称中心,∴2=B ,721243T ππ=π-=(其中T 为函数()f x 的最小正周期),则223T ωππ==,解得3=ω,所以34k ϕπ⨯+=π,k ∈Z ,即34k ϕπ=π-,k ∈Z ,又||2ϕπ<,所以4ϕπ=.因为函数)(x f 的最大值为3,所以1=A ,故()sin(3)24f x x π=++,所以1111()sin(3)236364f ππ=⨯π++23221=+-=.故选B.12.A 【解析】∵函数x y ln 6=的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的λ倍,∴所得图象的对应函数解析式为6lnxy λ=,即6ln 6ln y x λ=-.因为曲线a x y ++-=2)2(关于原点对称的曲线为a x y -+-=2)2(,所以当曲线λln 6ln 6-=x y 与曲线a x y -+-=2)2(有交点时,满足题意,故方程0)2(ln 6ln 62=+---a x x λ有解,即λln 6ln 6)2(2+--=x x a 有解,令λln 6ln 6)2()(2+--=x x x f (0>x ),可知直线a y =与)(x f 的图象有交点.又26246()24x x f 'x x x x --=--=x x x )3)(1(2-+=,令()0f 'x =,可得3=x ,1-=x (舍去),故当30<<x 时,()0f 'x <,)(x f 单调递减;当3>x 时,()0f 'x >,)(x f 单调递增,故λln 63ln 61)3()(min +-==f x f ,故λln 63ln 61+-≥a ,所以a 的最小值为λln 63ln 61+-,又a 的最小值为3ln 31-,∴3ln 31ln 63ln 61-=+-λ,解得3=λ,故选A.文科数学 第3页(共 9页)13.254π【解析】由题意作出区域Ω,如图中阴影部分所示,易知432121212tan =⨯+-=∠MON ,故=∠MON sin 53,又3=MN ,设OMN △的外接圆的半径为R ,则由正弦定理得R MON MN 2sin =∠,即25=R ,故所求外接圆的面积为2525(24π⨯=π.故填254π.15.8223+【解析】由题意,得2()3f x x m '=-+,得(2)12f m '=-+,又()4g'x x n =-,得(1)4g'n =-.由已知可得n m -=+-412,即16=+n m ,故2424113()1688448m n n m m n m nm n ++=+⨯=+++≥+3228+=,当且仅当n m m n 48=,即22(162-==m n 时取等号,故填8223+.16.193π【解析】作出图形如图(1)所示,由图可知MA AD ⊥,MA AC ⊥,AC AD A = ,故MA ⊥平面ACD .将图形旋转得到如图(2)所示的三棱锥M ACD -,其中ACD △为等边三角形,过ACD △的中心1O 作平面ACD 的垂线1l ,过线段MC 的中点2O 作平面MAC 的垂线2l ,易得直线1l 与2l 相交,记12l l O = ,则O 即为三棱锥M ACD -外接球的球心.设外接球的半径为R ,连接OC 、1O C ,可文科数学 第4页(共 9页)得1112O C OO ==,在1Rt OO C △中,2222111912OC OO O C R =+==,故外接球的表面积21943S R π=π=,故填193π.图(1)图(2)17.(本小题满分12分)(2)由(1)可得n n a b n n 222log 24log |26|log +==-=,40240102210=+⨯-=S ,(8分)∴102222log 12log 22log 10T =++++++ )10321(log 202⨯⨯⨯⨯+= ,(10分)易知20123102⨯⨯⨯⨯> ,所以)10321(log 2⨯⨯⨯⨯ 202log 220>=,故1010T S >.(12分)18.(本小题满分12分)【解析】(1)如图,过点C 作CE AB ⊥,E 为垂足,连接PE ,由已知得2=AB,PC =,文科数学 第5页(共 9页)易得CE AD //,且1==CE AD ,1AE BE ==,又⊥AD 平面PAB ,∴⊥CE 平面PAB ,∴⊥CE PE ,故122=-=CE PC PE ,可知在PAB △中,1===PE EB EA ,∴PB PA ⊥,(4分)∵⊥AD 平面PAB ,∴PB AD ⊥,又A AD PA = ,∴⊥PB 平面PAD ,又⊂PB 平面PBC ,∴平面PAD ⊥平面PBC .(6分)又1122BCD S AD DC =⨯⨯=△,1sin 6022PBC S == △,1PE =,∴3323121=⨯=h ,即点D 到平面PBC 的距离为33.(12分)19.(本小题满分12分)【解析】(1)由统计表可得11(74.3141.0838.3730.5526.46)42.1545x =⨯++++=,21(41.8239.0823.4318.9918.36)28.3365x =⨯++++=.文科数学 第6页(共 9页)从而可知21x x >.(4分)(2)由定义,知男性中肺癌为高发率癌种,记抽取的男性肺癌患者为A ,女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种,记抽取的女性乳腺癌患者为1B ,女性肺癌患者为2B ,抽取的其余7人分别为g f e d c b a ,,,,,,,(6分)则从10人中随机抽取2人,所有的可能事件为:121211*********,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AB AB Aa Ab Ac Ad Ae Af Ag B B B a B b B c B d B e B f B g B a B b B c B d 222,,,,,,,,,,,,,,,,,B e B f B g ab ac ad ae af ag bc bd be bf bg cd ce cf fg eg ef dg df de cg ,,,,,,,共45种结果,(10分)其中2人都是高发病率癌种患者的有:2121,,B B AB AB ,共3种结果,故2人都是高发病率癌种患者的概率为151453=.(12分)(2)显然过点2F 的直线l 不与x 轴重合,可设直线l 的方程为1+=ty x ,且),(11y x A ,),(22y x B ,联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+11222ty x y x ,消去x 得012)2(22=-++ty y t ,∴根据根与系数的关系,得22221+-=+t t y y ,21221+-=t y y ,(8分)联立直线m 与直线PB 的方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==)23(23221x x y y y y ,得23(21221--=x ty y y ,文科数学 第7页(共 9页)解得12121322ty y y x y -=+①,将21221+-=t y y ,22221+--=t t y y 代入①,得223)22(2122222=+++++-=y t ty t t x ,与t 无关,故直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上,且定直线的方程为2=x .(12分)21.(本小题满分12分)【解析】(1)由题意,知函数)(x f 的定义域为),0(+∞,且2121()2x ax f 'x x a x x+-=+-=,(2分)由已知得(1)0f '=,∴012=-+a ,解得1-=a .(4分)令2ln )(3+-+-=x x x x x h ,]2,1[∈x ,则22()31(ln 1)3ln h'x x x x x =-+-+=--.当]2,1[∈x 时,()0h'x <恒成立,∴)(x h 在区间]2,1[上单调递减,∴)1()()2(h x h h ≤≤,即2)(2ln 24≤≤--x h ,(8分)∴存在]2,1[0∈x ,使得0)(0=x h ,当),1[0x x ∈时,0)(>x h ,()0g'x >,函数)(x g 单调递增,当]2,(0x x ∈时,0)(<x h ,()0g'x <,函数)(x g 单调递减,文科数学 第8页(共 9页)又∵1)1(-=g ,122ln 45)2(->+-=g ,∴当]2,1[∈x 时,1)(min -=x g ,∴1-<a .故实数a 的取值范围是(,1)-∞-.(12分)(2)(法一)由(1)知曲线C 是以)1,3(为圆心,2为半径的圆,当曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1时,此时圆心到直线l 的距离不大于1,(5分)设直线l 的直角坐标方程为kx y =,即0=-y kx ,其中αtan =k ,∴圆心)1,3(到直线l 的距离为11|13|2≤+-=k k d ,解得30≤≤k,即0tan α≤≤(8分)∵[0,)α∈π,∴[0,]3απ∈.(10分)(法二)由题意及(1)知曲线C 是以)1,3(为圆心,2为半径的圆,直线l 与圆C 相交于原点,当曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1时,直线l 与圆C 相交的弦长不小于32.将αθ=代入曲线C 的极坐标方程4sin()3ρθπ=+,得4sin()3απ+≥,即3sin(32απ+≥.(8分)又[0,)α∈π,∴4[,333απππ+∈,故2[,333απππ+∈,即α的取值范围是[0,]3π.(10分)23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲3文科数学第9页(共9页)。