2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系练习 理

§8.3 空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面． 公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．2．空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一个平面内，有且只有 .平行直线：同一个平面内， .异面直线：不同在任何一个平面内， .(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．③异面直线所成的角：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．3．平行公理公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．4．等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．自查自纠1．(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条2．(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点(2)③⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2 互相垂直 异面垂直3．同一条直线 4．相等或互补给出下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：经过不共线的三点可以确定一个平面，①错误；两条平行线可以确定一个平面，②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，这两个平面可能相交或重合，④错误．故选C .(2015·广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解：可用反证法，假设l 与l 1，l 2都不相交，因为l 与l 1都在平面α内，于是l ∥l 1，同理l ∥l 2，于是l 1∥l 2与已知矛盾．故选D .若点P ∈α，Q ∈α，R ∈β，α∩β＝m ，且R ∉m ，PQ ∩m ＝M ，过P ，Q ，R 三点确定一个平面γ，则β∩γ是( )A ．直线QRB ．直线PRC ．直线RMD ．以上均不正确解：∵PQ ∩m ＝M ，m ⊂β，∴M ∈β.又M ∈平面PQR ，即M ∈γ，故M 是β与γ的公共点． 又R ∈β，R ∈平面PQR ，即R ∈γ，∴R 是β与γ的公共点．∴β∩γ＝MR .故选C .如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是__________．解：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .故填②③④.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为____________．解：连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体的棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝D 1F ＝52a ，cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a＝35.故填35.类型一 基本概念与性质问题在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解：如图示，在EF 上任取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条直线都有交点．故填无数．【点拨】本题难度不大，但比较灵活．解题关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的一点作平面，进而找出与三条异面直线都相交的直线．解决点、线、面位置关系问题可借助平面、立体(长方体、正方体)模型，有利于我们看清问题．一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CDD ．AB 与CD 所成的角为60°解：将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB 与CD 是异面直线，且它们所成的角为60°.故选D .类型二 点共线、线共点问题如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .在△BCD 中，∵BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，即P ，A ，C 三点共线．【点拨】(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点．求证：(1)EF ∥D 1C ； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明：(1)连接A 1B ，则EF ∥A 1B ，A 1B ∥D 1C .∴EF ∥D 1C .(2)∵面AA 1D 1D ∩面ABCD ＝DA ，且EF ∥D 1C ，EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交．又D 1F ⊂面AA 1D 1D ，CE ⊂面ABCD ， ∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上． ∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．类型三 共面问题如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：∵GH 是△AFD 的中位线，∴GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由：BE 綊12AF ，又由G 为FA 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．【点拨】点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的点或者在该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面．无论是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内．下列如图所示的正方体和正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__________．(填所有满足条件图形的序号)解：易知①③中PS ∥QR ，∴四点共面．在②中构造如图所示的含点P ，S ，R ，Q 的正六边形，易知四点共面．在④中，由点P ，R ，Q 确定平面α，由图象观察知点S 在平面α外，因此四点不共面．综上知，故填①②③.类型四 异面直线问题(2014·全国)已知二面角α­l ­β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.12解：如图，在平面α内过点C 作CE ∥AB ，并取CE ＝1，在平面β内过点C 作CF ⊥l ，并取CF ＝1，过点F 作FD ∥l ，则易知△CFD 为等腰直角三角形．∠ECF ＝60°，∴EF ＝1，CD ＝2，∴∠EFD ＝90°，DE ＝ 2.于是∠ECD 为异面直线AB 与CD 所成的角或其补角，故cos ∠ECD ＝CE 2＋CD 2－ED 22CE ·CD ＝12＋（2）2－（2）22×1×2＝24.故选B .【点拨】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择端点、中点、等分点，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题．如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值． 解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设此平面为α. ∵A ∈α，B ∈α，E ∈α， ∴平面α即为平面ABE ， ∴P ∈平面ABE ，显然这与P ∉平面ABE 矛盾， ∴AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥PB ，∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角．∵∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， cos ∠AEF ＝AE 2＋2－AF 22·AE ·EF ＝2＋2－32×2×2＝14，即异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.1．判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题．解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观．如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分借助这一模型．2．要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力．在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“∈”“⊂”混用的错误．3．求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算．作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.4．证明“线共面”或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内．5．证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线.1．(2015·湖北)l 1，l 2表示空间中两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解：由l 1，l 2是异面直线可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2可能是异面直线或l 1∥l 2，q p ．所以p 是q 的充分不必要条件．故选A .2．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是( )解：A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C.3．(2015·太原检测)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面解：直线l与平面α相交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误．无论哪种情形，在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.4．直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°解：延长CA到D，使得AD＝AC，连接A1D，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，∠DA1B 就是异面直线BA1与AC1所成的角，又△A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°.故选C.5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列结论错误．．的是( )A．A1C1∥平面ABCDB．AC1⊥BDC．AC1与CD成45°角D．A1C1与B1C成60°角解：由A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，知A1C1∥平面ABCD，A正确；由BD⊥平面ACC1A1知BD⊥AC1，B正确；由A1D∥B1C可知，∠DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又∵△DA1C1为等边三角形，∴∠DA1C1＝60°.故选C.6．(2015·广东执信中学期中)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段解：连接AB1，AC，BD，B1C，A1B，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，易证AC⊥平面BDD1，AB1⊥平面BA1D1，∴AC⊥BD1，AB1⊥BD1.又AC∩AB1＝A，∴BD1⊥面AB1C，∴BD1⊥B1C，从而动点P的轨迹是线段B1C.故选A.7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝____________．解：直线CE在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行，与正方体的左右两个侧面、前后两个侧面都相交，故m＝4.取CD的中点G，易证平面EFG与正方体的左右两个侧面平行，∴直线EF与正方体的左右两个侧面平行．易知△EFG的底边EG上的高线与正方体的前后两个侧面平行，故直线EF一定与正方体的前后两个侧面相交；另外，直线EF显然与正方体的上下两个底面相交，故n＝4.综上可知m＋n＝8.故填8.8．(2015·浙江)如图，在三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是____________．解：连接ND，取ND的中点为E，连接ME，EC，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC(或其补角)，∵AN＝22，CN＝1，∴ME＝ 2.又CM＝22，NE＝2，∴CE ＝3，∴cos ∠EMC ＝ME 2＋CM 2－CE 22ME ·CM＝2＋8－32×2×22＝78.故填78. 9．如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′.(1)哪些棱所在直线与直线BA ′是异面直线？(2)直线BA ′和CC ′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA ′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD ，DC ，CC ′，DD ′，D ′C ′，B ′C ′所在直线分别与直线BA ′是异面直线．(2)由BB ′∥CC ′可知，∠B ′BA ′为异面直线BA ′与CC ′的夹角，∠B ′BA ′＝45°，所以直线BA ′与CC ′的夹角为45°.(3)直线AB ，BC ，CD ，DA ，A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′分别与直线AA ′垂直．10．如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面．证明：连接A 1C 1，GQ ，EH ，∵E ，F ，G ，Q 分别是A 1D 1，D 1C 1，C 1C ，A 1A 的中点，∴EF ∥A 1C 1∥QG .同理FG ∥EH .设E ，F ，G ，Q 确定平面α，F ，G ，H ，E 确定平面β，由于α与β都经过不共线的三点E ，F ，G ，故α与β重合，所以E ，F ，G ，H ，Q 五点共面．同理可证E ，F ，G ，P ，Q 五点共面．所以E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面．11．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成的角的余弦值．解：(1)在四棱锥P ­ABCD 中，∵PO ⊥平面ABCD ，∴∠PBO 即为PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBO ＝60°，在Rt △ABO 中，AB ＝2，∠OAB ＝30°，∴BO ＝1.∵PO ⊥平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥OB .在Rt △POB 中，PO ＝BO tan60°＝3，易知底面菱形的面积S ＝2×34×22＝23， ∴四棱锥P ­ABCD 的体积V P ­ABCD ＝13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ，∵E 为PB 中点，∴EF ∥PA ，∴∠DEF 即为异面直线DE 与PA 所成的角(或其补角)．在Rt △AOB 中，AO ＝3＝OP ，∴PA ＝6，EF ＝62. 易知DF ＝DE ＝3，∴cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝（3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－（3）22×3×62＝24， 即异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为24. (2014·陕西)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，AD ⊥平面BDC .∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23. (2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH .∴FG ∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC .∴EF ⊥FG .∴四边形EFGH 是矩形．。

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ­ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。

第八章立体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系练好题·考点自测1。

下列说法正确的是()A.梯形一定是平面图形B.过三点确定一个平面C.三条直线两两相交确定一个平面D。

若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合2.［广东高考,5分]若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内，l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（)A。

l与l1，l2都不相交B。

l与l1，l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D。

l至少与l1，l2中的一条相交3.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与O1A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同，则下列结论中正确的是（）A。

OB∥O1B1且OB⃗⃗⃗⃗⃗ 与O1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同B。

OB∥O1B1C。

OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行4.[2017全国卷Ⅰ，6,5分]如图,在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是（）A B C D5.［2020长春市第四次质量监测]已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点N是棱CC1的中点，则异面直线AN与BC所成角的余弦值为。

6.[2016全国卷Ⅱ,14，5分］［理］α，β是两个平面，m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n，m⊥α,n∥β,那么α⊥β。

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。

④如果m∥n，α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）拓展变式1。

如图8-2-4所示，E,F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线。

2.如图8—2-7为正方体表面的一种展开图,则在原正方体的四条线段AB，CD，EF,GH所在直线中,互为异面直线的有对。

8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲要求1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号表示为：A ∈l ，B ∈l ，A ∈α，B ∈α⇒l __α.作用：可用来证明点、直线在平面内．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面． 符号表示为：A ，B ，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α.作用：①可用来确定一个平面，为空间图形平面化作准备；②证明点线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．符号表示为：P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l .作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断三点共线、三线共点．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ ：同一平面内，有且只有 一个公共点 ：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a ，b ，c 是三条直线，a ∥b ，c ∥b ，则____． 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间中这个性质都适用．作用：判断空间两条直线平行的依据．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________．(4)异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做________，已知异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的__________叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)，两条异面直线所成的角θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．______ ________ ______ ．两个平面的位置关系表示法 公共点个数，b ⊂α，l ∩立的是( )．A ．l ⊂αB ．l ⊄αC ．l ∩α＝AD ．l ∩α＝B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )．A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面3．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行4．设a ，b ，c 为空间三条不同的直线，下面四个命题： ①若a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面；②若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交；③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .其中真命题的序号是__________．5．(2012郑州模拟)已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC ． 求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)三直线FH ，EG ，AC 共点．一、平面的基本性质【例1】定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外一点，且P 不在α内，若直线AP ，BP 与α分别交于C ，D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．方法提炼证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在这两个平面的交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得出三点共线．请做演练巩固提升5二、空间中两条直线的位置关系【例2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .求证：直线FG ⊂平面ABCD ，且直线FG ∥直线A 1B 1.方法提炼1．证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理4.平行线的传递性即若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .2．判断两直线为异面直线的常用方法．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．请做演练巩固提升1忽视对异面直线所成的角与三角形内角的关系而致误【典例】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．解析：设正方体的棱长为a.连结A1E，可知D1F∥A1E，∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，在△AEA1中，cos∠AEA1＝a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22＋a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22－a22a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22＝35.答案：35答题指导：1．(1)在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时，忽视对三角形内角“即为两异面直线所成角或其补角”的叙述．(2)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理．2．求异面直线所成角一般用平移法：①一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角．②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角．③三求：解三角形，求出所作的角，注意异面直线所成的角为锐角或直角．1．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m⊥n.其中真命题有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2012浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面，( )．A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )．A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC4．设a，b，c是空间中的三条直线，下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的是__________(只填序号)．5．如图所示，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四边上，且直线EH与FG相交于点P，求证：B，D，P三点共线．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)两点 ⊂ (2)不在一条直线(3)有且只有一条2．(1)相交直线 平行直线 任何 (2)a ∥c (3)相等或互补(4)异面直线 锐角(或直角)3．无数个 一个 无 a ⊂α a ∩α＝A a ∥α4．α∥β α∩β＝l 无数 α⊥β 无数基础自测1．A2．B 解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．3．D 解析：对于A ，平行直线的平行投影也可能平行，故A 错误；对于B ，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B 错误； 对于C ，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C 错误．4．③ 解析：①a ，c 可能相交、平行或异面；②a ，c 可能相交、平行或异面；③正确；④a ，c 可能相交、平行或异面．5．解：(1)连接EF ，GH .已知E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF 12BD . 又CG ＝13BC ，CH ＝13DC ， ∴HG 13BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG . ∴EF ，HG 可确定平面α，即E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知：EFHG 为平面图形，且EF ∥HG ，EF ≠HG .∴四边形EFHG 为梯形．设直线FH ∩直线EG ＝O .∵点O ∈直线FH ，直线FH ⊂平面ACD ，∴点O ∈平面ACD .同理点O∈平面ABC.又∵平面ACD∩平面ABC＝AC，∴点O∈直线AC.∴直线FH，EG，AC交于点O，即三直线共点．考点探究突破【例1】证明：设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.由题意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.又∵AP∩BP＝P，∴AP，BP可确定一平面β，且C∈β，D∈β.∴CD＝α∩β.∵A∈β，B∈β，∴l⊂β.∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．【例2】证明：已知E是CD的中点，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE⊂平面ABCD.又因为AE∩BC＝F，所以F∈AE.从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG⊂平面ABCD.因为EC 12 AB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD.又在正方形ABCD中，BC AD，所以CF DG.所以四边形CFGD是平行四边形．所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥直线A1B1.演练巩固提升1．B 解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行，也可能相交或异面，故①错；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n可能平行，也可能相交或异面，故②错；若m⊥α，且α∥β，则m⊥β，又n∥β，所以m⊥n，故③为真命题；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故④为真命题．因此真命题有2个．2．B 解析：A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C选项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l⊂β，D 选项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．3．C 解析：A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.4．①5．证明：∵点P是直线EH与FG的交点，∴点P既在直线EH上，也在直线FG上．又直线EH，FG分别在平面ABD和平面BCD内，∴点P既在平面BCD内，又在平面ABD内．故点P必在两平面的交线上，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即点P在直线BD上．∴B，D，P三点共线．。

§8.2空间点、线、面的位置关系考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 2017空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内.公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.2.理解两条异面直线所成角的概念.理解10,5分4(文),5分17,4分6(文),5分4(文),5分13,4分14,4分2,5分2(文),5分9,4分分析解读 1.以几何体为依托考查空间点、线、面的位置关系,空间异面直线的判定.2.以棱柱、棱锥为依托考查两条异面直线所成角.3.预计2019年高考中,空间点、线、面的位置关系,异面直线所成角仍是考查重点.五年高考考点空间点、线、面的位置关系1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案 C2.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m答案 A3.(2013浙江,10,5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则( )A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°答案 A4.(2013浙江文,4,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β答案 C5.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.答案 A6.(2015广东,8,5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案 B7.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B8.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案 B9.(2017课标全国Ⅲ理,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边A C所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案②③教师用书专用(10—13)10.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l答案 D11.(2013广东,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β答案 D12.(2013江西,8,5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=( )A.8B.9C.10D.11答案 A13.(2013上海春招,9,3分)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为.答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点空间点、线、面的位置关系1.(2018浙江镇海中学期中,5)设a,b是两条直线,α,β表示两个平面,如果a⊂α,α∥β,那么“b⊥β”是“a⊥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A2.(2018浙江镇海中学模拟,4)下列命题正确的是( )A.若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行B.若平面α⊥γ,β⊥γ,则平面α⊥βC.平行四边形的平行投影可能是正方形D.若一条直线上的两个点到平面α的距离相等,则这条直线平行于平面α答案 C3.(2017浙江名校协作体期初,3)下列命题正确的是( )A.若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面B.若直线a与平面α不垂直,则a与平面α内的所有的直线都不垂直C.若直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有的直线都不平行D.若异面直线a,b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直答案 D4.(2017浙江镇海中学模拟卷四,9)如图,已知△ABC是以B为直角顶点的直角三角形,D为平面ABC外一点,且满足AD=BC,CD=AB,E是线段AB的中点.若点D在平面ABC上的投影点M恰好落在线段BE上(不含两端点),则的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,)C.(1,)D.(,)答案 B5.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,5)三个半径为R的球和两个半径为r的球,满足条件:三个半径为R的球两两外切,且每个球都同时与半径为r的球外切.若半径为r的两个球也互相外切,则R与r的关系是( )A.R=rB.R=2rC.R=3rD.R=6r答案 D6.(2018浙江浙东北联盟期中,16)正四面体ABCD的棱长为6,其中AB∥平面α,E,F分别为线段AD,BC的中点,当正四面体以AB为轴旋转时,线段EF在平面α上的射影长的取值范围是.答案[3,3]7.(2016浙江高考冲刺卷(三),13)已知平面α和不重合的直线m、n,下列命题中真命题是(写出所有真命题的序号).①如果m⊂α,n⊄α,m、n是异面直线,那么n∥α.②如果m⊂α,n与α相交,那么m、n是异面直线.③如果m⊂α,n∥α,m、n共面,那么m∥n.④如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α.答案③B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江9+1高中联盟期中,9)已知PABC是正四面体(所有棱长都相等的四面体),E是PA中点,F是BC上靠近点B的三等分点,设EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ,则( )A.β>γ>αB.γ>β>αC.α>β>γD.α>γ>β答案 D2.(2017浙江宁波二模(5月),10)如图,在直二面角A-BD-C中,△ABD,△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形,取AD的中点E,将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置,在△ABE的翻折过程中,下列不可能．．．成立的是( )A.BC与平面A1BE内某直线平行B.CD∥平面A1BEC.BC与平面A1BE内某直线垂直D.BC⊥A1B答案 D3.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,10)四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,则下列结论中正确的是( )①PB=2PA;②P点的轨迹是圆;③P点的轨迹是抛物线的一部分;④三角形PAB的面积的最大值是12.A.①②④B.②④C.①④D.③④答案 C4.(2017浙江宁波期末,10)在正方形ABCD中,点E,F 分别为边BC,AD的中点,将△ABF沿BF所在的直线进行翻折,将△CDE沿DE所在的直线进行翻折,则在翻折的过程中( )A.点A与点C在某一位置可能重合B.点A与点C的最大距离为ABC.直线AB与直线CD可能垂直D.直线AF与直线CE可能垂直答案 D5.(2017浙江镇海中学第一学期期中,7)如图,四边形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=,现将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C的大小在时,直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是( )A. B.C. D.答案 B二、解答题6.(2018浙江高考模拟卷,19)如图,在三棱台ABC-DEF中,AB=BC=AC=2,AD=DF=FC=1,N为DF的中点,二面角D-AC-B的大小为.(1)证明: AC⊥BN;(2)求直线AD与平面BEFC所成角的正弦值.解析(1)证明:取AC中点M,连接NM,BM.易知AC⊥NM,AC⊥BM,又NM∩BM=M,所以AC⊥平面NBM.又因为BN⊂平面NBM,所以AC⊥BN.(2)由三棱台结构特征可知,直线AD,CF,BE的延长线交于一点,记为P,连接PN,易知直线PN与直线MN重合,△PAC为等边三角形.连接AE,EC.由(1)可知,∠PMB为二面角D-AC-B的平面角,则∠PMB=.因为AB=AP=BC=CP=2,E为PB中点,所以PB⊥平面AEC,所以平面AEC⊥平面PBC.过点A作AH⊥EC于点H,连接HP.由平面AEC⊥平面PBC,可知AH⊥平面PBC,所以直线AD与平面BEFC所成角为∠APH.易知AE=CE=,由此在△AEC中易求得AH=,所以sin∠APH==.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 点、线、面的位置关系的解题策略1.如图所示,△ADP为正三角形,四边形ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD.M为平面ABCD内的一动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为下列选项中的(O为正方形ABCD的中心)( )答案 A方法2 异面直线所成角的求法2.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,10)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=PB=PC=5,P A=4,BC=6,点M 在平面PBC内,且AM=,设异面直线AM与BC所成的角为α,则cos α的最大值为( )答案 D。