《不等式》全章复习与巩固【学习目标】1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】【要点梳理】要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,， bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5) 乘方法则：0n na b a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且 (6) 开方法则：0a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且不等式不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式最大（小）值问题简单的线性规划要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集：设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a > （2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12,x x （注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点诠释：若0a <，可以转化为0a >的情形解决. 要点三：线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax+By+C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）线性规划的有关概念： ①线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by(a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．要点四：基本不等式 两个重要不等式①,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）②基本不等式：如果,a b 是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：2ba +称为,ab 的算术平均数； 几何平均数：ab 称为,a b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用,(0,)x y ∈+∞，且xy P =（定值），那么当x y =时，x y +有最小值； ,(0,)x y ∈+∞，且x y S +=（定值），那么当x y =时，xy 有最大值2S 41.要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件： ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 【典型例题】 类型一：不等式的性质例1．若0<<b a ，则下列不等关系中不能成立的是（ ） A ．b a 11> B ．ab a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断. 【解析】∵0<<b a ，∴0>->-b a . 由b a -<-11，ba 11>，∴A 项成立. 由0<<b a ，||||b a >，∴C 项成立.由0>->-b a ，22)()(b a ->-，22b a >，∴D 项成立.∵0<<b a ，0<-b a ，0<-<b a a ，0>->-a b a ，)(11b a a --<-，ba a ->11，∴B 项不成立. 故应选B【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误.举一反三：【变式】已知,m n R ∈，则11m n>成立的一个充要条件是（ ） A.0m n >> B.0n m >> C.()0mn m n -< D.0m n << 【答案】C例2．如果3042x <<，1624y <<，则(1)2x y -的取值范围是 ； (2)xy的取值范围是 . 【思路点拨】利用不等式性质运算时，注意不等式成立的条件. 【答案】（1）(18,10)-；（2）521(,)48. 【解析】（1）1624,48232y y <<∴-<-<-Q ，又3042x <<Q ，利用不等式的性质d b c a d c b a +>+⇒>>,可得：18210x y -<-<.（2）1111624,2416y y <<∴<<Q ，3042x <<Q ， 利用不等式的性质bd ac d c b a >⇒>>>>0,0可得：52148x y <<. 【总结升华】注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化的正确应用. 举一反三：【变式】如果3042x <<,1624y <<,则(1) x y +的取值范围是 ； (2) xy 的取值范围是 【答案】(1)（46，66）；（2）（480，1008）例3．已知函数2()f x ax c =-,满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤,那么(3)f 的取值范围是 .【思路点拨】将(3)f 用(1)f 及(2)f 表示出来，再利用不等式性质求得正确的范围. 【解析】解法一：方程思想(换元)：由⎩⎨⎧=-=-)2(4)1(f c a f c a ，求得[]1(2)(1)341(1)(2)33a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩∴ )2(38)1(359)3(f f c a f +-=-= 又 340)2(3838,320)1(3535≤≤-≤-≤f f∴ 20)2(38)1(351≤+-≤-f f ，即20)3(1≤≤-f . 解法二：待定系数法设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)5-493()---183m m n m n n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩下略 解法三：数形结合(线性规划)-4(1)-1-4--1-1(2)5-14-5f a c f a c ≤≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤≤≤≤⎩⎩Q 所确定区域如图：设9-z a c =，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.举一反三：【变式】已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围. 【答案】[-3，10] 类型二：不等式的求解例4 . 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围． 【解析】令2()28f x x x a =-+-由A B ⊆，及二次函数图象的性质可得 (1)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即12809680a a -+-≤⎧⎨-+-≤⎩，解之得95a -≤≤． 因此a 的取值范围是95a -≤≤．【总结升华】正确求解不等式，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系是解决本题的关键. 举一反三：【变式1】若不等式()(1)0x a x ++≥的解集为(-∞,-1] ∪[2,+ ∞）,求实数a 的值【答案】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0⇔a=-2 ∴所求实数a=-2【变式2】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-1<x<2}，则a=_______, b=________. 【答案】由不等式的解集为{x|-1<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-1，2.由根与系数关系得12112(1)22baa⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得a=-6，b=6.【变式3】已知关于x 的方程(k-1)x 2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围 【答案】5(1,1)(1,)3k ∈-U .例5．若关于x 的不等式2(1)(21)20m x m x m --++-≥的解集为一切实数R ，求m 的取值范围. 【解析】当1m =时，原不等式为：310x --≥，不符合题意. 当1m <时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意 当1m >时，只需0∆≤，即2(21)4(1)(2)01m m m m ⎧+---≤⎨>⎩，解得m ∈∅， 综上，m 的取值范围为m ∈∅.【总结升华】①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据: ax 2+bx+c>0对任何x ∈R 恒成立⇔a>0且Δ=b 2-4ac<0； ax 2+bx+c<0对任何x ∈R 恒成立⇔a<0且Δ=b 2-4ac<0. ②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题： μ＜f(x)恒成立⇔μ＜f(x)的最小值 μ＞f(x)恒成立⇔μ＞f(x)的最大值 举一反三：【变式】若对于任意X ∈R 恒有3x 2+2x+2>m （x 2+x+1）*(m N )∈,求m 的值 【答案】对任意x ∈R 有3x 2+2x+2>m （x 2+x+1）恒成立⇔对任意x ∈R 恒（3-m ）x 2+(2-m)x+(2-m)>0成立 23m 0(2m)4(3m)(2m)0->⎧∴⎨∆=----<⎩ m 3m 210m 2m 3<⎧⎪⇔⇔<⎨<>⎪⎩或又因m∈N*，∴m=1类型三：二元一次方程（组）与平面区域例6．设集合A={(x,y)|x,y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（）【解析】利用三角形的三边关系得：111x y x yx y x yy x x y+>--⎧⎪-<--⎨⎪-<--⎩，即1,21,21,2x yxy⎧+>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩表示的平面区域为A选项.【总结升华】注意本例中三角形本身的性质.举一反三：【变式1】不等式组24236x yx y+≥⎧⎨-<⎩所表示的平面区域为（）xyO xyO xyO xyOA B C D【答案】选B【变式2】不等式组0101x yx yxy->⎧⎪+≥⎪⎨<<⎪⎪<<⎩在xy平面上的解的集合为（）A．四边形内部 B. 三角形內部 C.一点 D.空集【答案】不等式组所表示的平面区域图形如下,xy(1,0)(2,0)(0,1)=-y x=+y x∴交集为三角形内部，选B.类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例7．(2015 陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【思路点拨】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y 吨，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值。
