八年级数学四边形动点问题练习

八下有关四边形动点问题1、（8分）在平面直角坐标系中，有点A （0，4）、B （9，4）、C （12，0）。

已知点P 从点A 出发沿AB 路线向点B 运动，点Q 从点C 出发沿CO 路线向点O 运动，运动速度都是每秒一个单位长度，运动时间为t 秒。

（1）当四边形OPBC 是等腰梯形时，求t 值。

（2）当四边形AQCB 是平行四边形时，求t 值。

（3）连接PQ ，当四边形APQO 是矩形时，求t 值。

2、如图， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．3．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4cm ，∠A=60°，BD ⊥AD.一动点P 从A 出发，以每秒2cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B 的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，（当P 、Q 中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q 作直线QN ，使QN ∥PM ，设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤8），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S （cm 2）.求S 关于t 的函数关系式。

P A B D EM。

中考数学专题复习《四边形的动点问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 菱形ABCD 的周长为8 60ABC ∠=︒ 点P Q 分别是BC BD 上的动点 则CQ PQ +的最小值为（ ）A ．2B 3C ．22D ．12．如图 矩形ABCD 中 6AB = 8BC = P 是边BC 上一个动点 连接PD 在PD 上取一点E 满足2PC PE PD =⋅ 则BE 长度的最小值为（ ）A ．6.4B 34C 733-D ．1343．如图 在矩形ABCD 中 10cm AB = 点E 在线段AD 上 且6cm AE = 动点P 在线段AB 上 从点A 出发以2cm/s 的速度向点B 运动 同时点Q 在线段BC 上．以cm/s v 的速度由点B 向点C 运动 当EAP 与PBQ 全等时 v 的值为（ ）A ．2B ．4C ．4或65D ．2或1254．如图 点D 是ABC 的边AB 的延长线上一点 点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）以,BD BF 为邻边作平行四边形BDEF 又,AP BE AP BE =∥（点P E 在直线AB 的同侧） 如果14BD AB =那么PBC 的面积与ABC 面积之比为（ ）A ．14B ．35C ．15D ．345．如图 在矩形ABCD 中 6AB = 8BC =．点E 在边AD 上 且6ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 P 是线段CE 上的动点 连接PM PN 使PM PN =．当PM PN +的值最小时 线段PC 的长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．如图 在四边形ABCD 中 AD BC ∥ 30,60,6,4B C AB AD ∠=︒∠=︒==EF 是BC 上的两动点 且4EF = 点E 从点B 出发 当点F 移动到点C 时 两点停止运动．在四边形AEFD 形状的变化过程中 依次出现的特殊四边形是（ ）A ．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→正方形→菱形D ．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形7．如图 在正方形ABCD 中 E 为对角线AC 上与A C 不重合的一个动点 过点E 作EF AB ⊥与点F EG BC ⊥于点G 连接DE FG 若AED a ∠= 则EFG ∠=（ ）A ．90a -︒B ．180a ︒-C ．45a -︒D ．290a -︒8．已知 如图 菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上 点()3,0A - ()0,4B ()6,0E ．点P 是菱形ABCD 边上的一个动点 连接PE 把PE 绕着点E 顺时针旋转90︒得到FE 连接PF ．若点P 从点C 出发 以每秒5个单位长度沿C D A B C →→→→方向运动 则第2025秒时 点F 的坐标是（ ）A ．()6,9B ．()10,6-C ．()10,6D ．()2,6二 填空题9．如图 在菱形ABCD 中 2BD BC == 点E 是BC 的中点 点P 是对角线AC 上的动点 连接PB PE 则PB PE +的最小值是 ．10．如图 在矩形ABCD 中 6AB = 12AD = E 是线段AD 上一动点 以E 为直角顶点在EB 的右侧作等腰三角形EBF 连接DF 设DF t = 当t 为整数时 点F 位置有 个．11．如图 MEN ∠＝90︒ 矩形ABCD 的顶点B C 分别是MEN ∠两边上的动点 已知BC ＝10 CD ＝5 点D E 之间距离的最大值是 ．12．如图 正方形ABCD E 为与点D 不重合的动点 以DE 为一边作正方形DEFG ．连CF CG 当DE CF CG ++的值最小时 正方形DEFG 的边长为 ．13．如图 正方形ABCD 中 P 为BD 上一动点 过点P 作PQ AP ⊥交CD 边于点Q ．点P 从点B 出发 沿BD 方向移动 若移动的路径长为6 则AQ 的中点M 移动的路径长为 ．三 解答题14．在正方形ABCD 中 点E 为边BC 上一个动点（点E 不与点B C 重合） 连接AE 点F 在对角线AC 的延长线上 连接EF 使得EF AE =．作点F 关于直线BC 的对称点G 连接CG EG ，．(1)依题意补全图形 (2)求证：BAE GEC ∠=∠(3)用等式表示线段AC CE CG ，，之间的数量关系 并证明．15．如图 矩形ABCD 中 AD AB > 点P 是对角线AC 上的一个动点（不包含A C 两点） 过点P 作EF AC ⊥分别交射线AB 射线AD 于点E F ．(1)求证：AEF BCA △∽△ (2)连接BP 若BPAB且F 为AD 中点 求APPC的值 (3)若2=AD AB 移动点P 使ABP 与CPD △相似 直接写出AFAB的值．16．在梯形ABCD 中 已知DC AB ∥ 90DAB ∠=︒ 3DC = 6DA = 9AB = 点E 在射线AB 上 过点E 作EF AD ∥ 交射线DC 于点F 设AE x =．(1)当1x =时 直线EF 与AC 交于点G 如图1 求GE 的长 (2)当3x >时 直线EF 与射线CB 交于点H ．①当39x <<时 动点M （与点A D 不重合）在边AD 上运动 且AM BE = 联结MH 交AC 于点N 如图2 随着动点M 的运动 试问:CH HN 的值有没有变化 如果有变化请说明你的理由 如果没有变化 请你求出:CH HN 的值 ①联结AH 如果HAE CAD ∠=∠ 求x 的值．17．如图1 在ABCD 中 60A ∠=︒ 4=AD 8AB =．(1)请计算ABCD 的面积(2)如图2 将ADC △沿着AC 翻折 D 点的对应点为D 线段CD '交AB 于点M 请计算AM 的长度(3)如图3 在（2）的条件下 点P 为线段CM 上一动点 过点P 作PN AC ⊥于点NPG AD '⊥交AD '的延长线于点G ．在点P 运动的过程中7PN PG +的长度是否为定值？如果是 请计算出这个定值 如果不是 请说明理由．18．如图1 四边形ABCD 中AD BC ∥90B 4tan 3C = 10CD =．(1)线段AB =(2)如图2 点O 是CD 的中点 E F 分别是AD BC 上的点 将DEO 沿着EO 翻折得GEO 将COF 沿着FO 翻折使CO 与GO 重合．①当点E 从点D 运动到点A 时 点G 走过的路径长为52π 求AD 的长①在①的条件下 若E 与A 重合（如图3）Q 为EF 中点 P 为OE 上一动点 将FPQ 沿PQ 翻折得到F PQ ' 若F PQ '与APF 的重合部分面积是APF 面积的14求AP 的长．参考答案：1．B 2．C3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．D 910．1111．5+51213．14．（1）解：如图所示（2）解：①正方形ABCD ①45BAC ACB ∠=∠=︒ 90B①AE EF = ①EAC EFC ∠=∠①45BAE EAC BAC ∠+∠=∠=︒ ①45FEC EFC ACB ∠+∠=∠=︒ ①BAE FEC ∠=∠①点F 与点G 关于直线BC 的对称 ①HEF GEC ∠=∠ ①BAE GEC ∠=∠ （3）解：AC CG =+ 证明：①正方形ABCD ①AB BC = 45ACB ∠=︒ 90B①AC =①45FCH ACB ∠=∠=︒①点F 与点G 关于直线BC 的对称 ①45GCH FCH ∠=∠=︒ EF EG = ①AE EG =①FH BC ⊥交BC 延长线于H ①90GHC ∠=︒ ①45HGC HCG ∠=∠=︒ ①CH GH = ①2CG CH = ①2CH =在ABE 和EHG 中 BAE GEH B EHGAE EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS ABE EHG ≌ ①AB EH = ①EH CE CH =+①)2222AC CE CH CE CE CG ⎫=+==+⎪⎪⎭即2AC CE CG +．15．（1）证明： 四边形ABCD 是矩形 EF AC ⊥90ABC FAE ∴∠=∠=︒ 90APE ∠=︒ 90AEF EAC ∴∠+∠=︒ 90BCA EAC ∠+∠=︒ AEF BCA ∴∠=∠ AEF BCA ∴∽（2）BP AB =BAP BPA ∴∠=∠90BAP E BPA BPE ∠+∠=︒-∠+∠E BPE ∴∠=∠12AB BP BE AE ∴===设BC 交FE 于点G四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥ AD BC =AFE BGE ∴∽12BG BE AF AE ∴== 12BG AF ∴= 1122AF AD BC ∴== 34CG BC BG AD ∴=-= AD BC ∥AFP CGP ∴∽122334ADAP AF PC GC AD ∴===（3或54．理由如下：四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥ AD BC = AB CD =①当ABP CDP ∽△△时 1AP ABCP DC== ∴P 是AC 的中点AD BC ∥ACB FAP ∴∠=∠ tan tan ACB FAP ∴∠=∠即12PF AB AB AP BC AD === 设PF a = 则2AP a =5AF a ∴= 4AC a =2222(2)5AC AB BC AB AB AB =++455AB a ∴ 554455AF a AB a == ①当ABP CPD ∽时 AP AB CD CP= AP CP AB CD ∴⋅=⋅设AB CD x == AP t =则2AD BC x == 225AC AB BC x +5CP x t ∴=-2(5)t x t x ∴-=解得51x ± 51AB ±∴= 由①知12PF AB AB AP BC AD === 1122PF AP t ∴==5AF ∴=AFAB∴==554AFAB-∴=或554+或54．16．（1）DC AB∥①CFG AEG∽∴FC FGAE EG=EF AD∥∴四边形AEFD是平行四边形DF AE∴=AD EF=1AE x==1DF∴=3CD=2CF∴=又6AD=6EF∴=6FG EG∴=-∴261EGEG-=2EG（2）①:CH HN的值没有变化．过点C作CG AB⊥于点G6CG AD ∴== 3DC AG ==9AB =6GB ∴=CGB ∴是等腰直角三角形222CB CG GB ∴=+62CB ∴=45B ∠=︒ 90HEB ∠=︒45EHB ∴∠=︒B EHB ∴∠=∠HE BE ∴=AM BE =AM HE ∴=AM HE ∥∴四边形AMHE 是平行四边形A MHB ∴∥CNH CAB ∴∽ ∴CH CB HN AB= 9AB = ∴6222CH HN == ①当39x <<时 由①得HE BE =9HE x ∴=-在Rt CDA △中 31tan 62CD CAD AD ∠=== 在Rt AEH △中 9tan HE x HAE AE x-∠== CAD HAE ∠=∠∴192x x-= 6x ∴=当9x >时 同理可得BE EH =9EH x BE ∴=-= 同理12EH AE = ∴912x x -= 18x ∴=综上所述 x 的值为6或18．17．（1）解：作CE AB ⊥交AB 延长线于点E①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥ 60DAB CBE ∠=∠=︒ 4AD BC == 8AB CD ==在Rt CBE △中 122BE BC == =CE①ABCD 的面积为8AB CE ⨯=⨯=（2）解：①四边形ABCD 是平行四边形①AB CD ∥①ACD CAB ∠=∠由折叠的性质得ACD ACM ∠=∠①ACM CAM ∠=∠①MA MC =设MA MC x == 则10ME AB BE AM x =+-=-在Rt CBE △中 由勾股定理得()(22210x x =-+解得： 5.6x = 即AM 的长度为5.6（3）解：①10AE AB BE =+= CE =①2247AC AE CE =+①ACM CAM ∠=∠ 90AEC CNP ∠=∠=︒①AEC CNP ∽△△ ①2334727PN CE CP AC ==37PN 由折叠的性质得CAD CAD '∠=∠ ①60CAD CAM ∠+∠=︒①60CAD ACM CD G ''∠+∠=︒=∠过点C 作CF AG ∥交GP 的延长线于点F①PG AD '⊥①PF CF ⊥ 60PCF CD G '∠=∠=︒ ①12CF CP = 223PF CP CF =-= 37PN PF == 7PN PG +的长度是FG 的长度过点C 作CH AG ⊥交AG 的延长线于点H①四边形CFGH 是矩形①FG CH = 由折叠的性质得8C D CD '==又60CD H '∠=︒ ①142D H CD ''== ①2243CH CD D H ''-综上 7PN PG +的长度是定值 这个定值为318．（1）解：如图1作DG BC ⊥于G①90DGB ∠=︒①AD BC ∥ 90B ∠=︒①18090A B ∠∠=︒-=︒①四边形ABGD 是矩形①AB DG = ①4tan 3C =①4sin 5C = ①4sin 1085AB DG CD C ==⋅=⨯= 故答案为：8（2）解：①如图2作AH CD ⊥ 交CD 的延长线于点H①AD BC ∥①ADH C ∠=∠ ①4tan 3AH ADH DH =∠= 设4AH a = 3DH a = 则5AD a =①DEO 沿着EO 翻折得GEO①OG OD = DOE GOE ∠∠=①点G 的轨迹是以O 为圆心 5为半径的弧 ①551802n ππ⋅⋅= ①90n =︒①45AOE ∠=︒ ①tan 1AH AOD OH=∠= ①4OH AH a ==由OH DH OD -=得435a a -=①5a =①420OH a == 525AD a ==①①将DEO 沿着EO 翻折得GEO 将COF 沿着FO 翻折使CO 与GO 重合 ①DOE GOE ∠∠= COF GOF ∠∠=①90EOF ∠=︒①45AOD ∠=︒①45COF ∠=︒如图3作FW CD ⊥于W 设QF '交AP 于R ①4tan 3FW C CW == 设4FW x = 3CW x = ①tan 1FW COF OW∠== ①4OW FW x ==由OW CW OC +=得435x x += ①57x =①2047FW OW x ===①OF =由①知： AO ==①2007AF == 当QF '交AP 于R 时 取OA 的中点X 连接QX ①Q 是AF 的中点 ①QX OF ∥①12QX OF == 90AXQ AOF ∠∠==︒ 12APQ PQF APF S S S == ①14PQR APF S S = ①12PQR APQ S S =①点R 是AP 的中点由折叠得：PQF PQF '∠=∠ ①2QR AP AQ AR== ①15027RQ AQ ==①RX ==①AR AX RX =-=①2AP AR ==如图4当PF '交AQ 于R 时同理可得：R 是AQ 的中点2PF FQ PR RQ== ①2PF PF PR '==①R 是PF '的中点①四边形APQF'是平行四边形①110027 AP QF QF AF='===综上所述：8032AP=1007．。

四边形之动点问题（习题）＞例题示范例1：如图，直线y = j5x + 6与X轴、y轴分别交于点A, B,与直线y = 交于点C.动点£从点B出发，以每秒1个单位长3度的速度沿B0方向向终点0运动，动点F从原点0同时出发, 以每秒1个单位长度的速度沿折线OC-CB向终点B运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止.设点F运动的时间为/（秒）.①求点C的坐标；⑵当3W/W6时，【思路分析】I 研究背景图形 如图1所示.2分析运动过程，分段，定范H 如下图，*0I3s ； 3辰'— ------------- r I I① OWr<3 ② 3 WfW63 分析儿何特征、表达、设计方案求解分段之后可知，当3 W f W 6时，点F 在线段BC 上；分析 B 是定点,E, F 是动点.若使是等腰三角形，需要分三 种情况考虑：BE 二BF, BE=EF, BF 二EF.①当BE=BF 时，画出符合题意的图形，如图2；从动点的运 动开始表达，可得BEn, BF = 3 + 3*-t, W BE=BF B|J 可 得到f 值. 此时，f = 3+那2®a BE=EF 时，画出符合题意:的图形，如图3；从动点的运 动开始表达，可得BEn, BF=3 + 3y/3-f,根ffl- BE=EF.且ZOBA=30。

，利用等腰三角形三线合一，过点E 作EN 丄BC 于点N,在RtABEN 中建立等式即可得到f值.此时，f=3BF=EF 时，画出符合题意的图形，如图4；从动点的运 动开始表达，可得BEn, BF=3 + 3壬-1,根BF=EF.且 ZOBA=30。

，利用等腰三角形三线合一，过点F 作FM 丄BO 于点M,在RtABFM 中建立等式即可得到t 值.此时，屆3△DEF 等腰 Z?6s AB【过程书写】⑴T直线〉Y + 6与直线〉一+交于点Q•Ml(2)当3WrW6时，点F在线段BC上，若使△BEF是等腰三角形，分三种悄况考虑：①当BE二BF时,如图，由题意得，BEn, 3 +听-/.:f = 3 + - t:・t = 3 + 3小,符合题意2②当BE二EF时，如图，过点E作EN丄BC于点N:・BN二NF7 BF=3 + yJ^-l:.BN=3+M T2V BE = t3 + 3^" - t' 2 h L忑2解得，Z=3,符合题意③当BF=EF时，如图，过点尸作斤〃丄BE于点M:.BM=ME•：EEnA BM=L27 BF = 3 + 3^-t解得,综上, 若△BEF是等腰三角形,＞巩固练习I 如图，在直角梯形ASCD中，AD//BC, ZABC=90。

四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，（1）求证：△ADE≌△CDF；：（2）当t为______s时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。

四边形动点问题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG 等于 。

2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点 过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F ，线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。

BFC5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为cm ．7、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=12，BD=16，E 为AD 的中点，点P 在BD 上移动，若△POE 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 共有 个．8、已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为 。

ADEPB C9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中， cm， cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且 cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F。

初二平行四边形动点练习题平行四边形是初中数学中的重要概念之一，对于初二学生来说，掌握平行四边形的性质和相关定理是非常重要的。

本文将介绍一些初二平行四边形的动点练习题，帮助同学们巩固对平行四边形的理解和运用。

题一：在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE交AC于点F，若AB＝6cm，BC＝8cm，则证明DE＝2cm。

解答：首先，根据平行四边形的性质，我们知道对角线互相平分。

可以观察到平行四边形的一条对角线AD被点E平分，即AE＝ED。

我们需要证明DE＝2cm。

由于平行四边形ABCD的对角线互相平分，所以线段BF也被点E 平分，即BE＝EF。

根据题意可知，AB＝6cm，BC＝8cm，因此AC＝AB＋BC＝6cm＋8cm＝14cm。

根据线段等分定理可得：EF：FC＝EA：AC代入已知长度得：EF：FC＝AE：AC3：FC＝3：14根据比例关系可以得出FC＝14/3 cm。

又因为BE＝EF，所以线段BE的长度也为14/3 cm。

根据平行四边形的性质，DE＝BA＝BE－AE。

代入已知长度得：DE＝14/3 cm－6cmDE＝2cm故证明了DE＝2cm。

题二：在平行四边形ABCD中，E为AD上任意一点，F为BC上任意一点。

连接CF交BE于点G，若BE＝2x，EG＝x+3，CF＝x+4，证明AD＝3x+7。

解答：在平行四边形ABCD中，我们要证明AD＝3x+7。

首先，我们需要找到平行四边形内部的有关线段长度。

通过观察，我们可以看出线段BE和线段EG之间存在特定关系。

根据题意，我们知道BE＝2x，EG＝x+3，代入得：BG＝BE－EG＝2x－(x+3)＝x－3。

同理，我们可以确定线段CF和线段FG之间的关系。

根据题意，我们知道CF＝x+4，代入得：CG＝CF－FG＝x+4－(x－3)＝7。

现在我们需要确定线段AD的长度。

由于平行四边形ABCD的对角线互相平分，所以线段BE也被点G 平分，即BG＝1/2BE＝x－3/2。

动点问题及四边形难题1如图1,在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(一3,4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.(1)求直线AC的解析式；(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB的面积为S(SHO),点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC〃AB,A，B，C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒.(1)求直线BC的解析式；(2)若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积(3)动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设A OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围;简单作业练习题4.如图，已知AD 与BC 相交于E,Z1=Z2=Z3,BD=CD ，ZADB=90CH 丄AB 于H,CH 交AD 于F.(1) 求证：CD 〃AB ；(2) 求证：△BDE^AACE；1(3) 若0为AB 中点，求证：OF=BE. 2简单作业练习题5、如图1—4—21,在边长为a 的菱形ABCD 中，ZDAB=60°,E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足AE+CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形. 3.如图，已知A ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点.(1) 如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.① 若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，MPD 与A COP 是否全等， 请说明理由；② 若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使A BPD 与A COP 全等？(2) 若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在厶ABC 的哪条边上相遇？PDF C6、如图1—4—38，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,ZDBC=45O，翻折梯形使点B重合于点D,折痕分别交边AB、BC于点F、E,若AD=2,BC=8，求BE的长.7、在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AB CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC是矩形，并说明理由.8、如图1—4—80，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E是AC上一点，过点A 作AG丄EB，垂足为G,AG交BD于F.(1)请证明0E=0F(2)若点E在AC的延长线上，其他条件不变，0E=0F是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.9已知：如图4-26所示，△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D为BC的中点，P为BC的延长线上一点，PE丄直线AB于点E,PF丄直线AC于点F.求证：DE丄DF并且相等.中难度10已知：如图4-27,ABCD为矩形，CE丄BD于点E,ZBAD的平分线与直线CE相交于点F.求证：CA=CF.中难度11已知：如图4-56A.,直线l通过正方形ABCD的顶点D平行于对角线AC,E为l上U4—SB一点，EC=AC，并且EC与边AD相交于点F.求证：AE=AF.E本例中，点E与A位于BD同侧.如图4-56B.，点E与A位于BD异侧，直线EC与DA 的延长线交于点F,这时仍有AE=AF.请自己证明.AI12求证：矩形各内角平分线（对角的平分线不在一直线上）所围成的四边形EFGH是正方形.。

八年级数学平行四边形中的动点问题专题练习1.如图, 在边长为4的菱形ABCD中, BD=4, E、F分别是AD.CD上的动点（包含端点）, 且AE+CF=4, 连接BE、EF、FB.（1）试探究BE与BF的数量关系, 并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值.2.在四边形ABCD中, AD∥BC, ∠B=90°, AD=24cm, AB=8cm, BC=26cm, 动点P从点A开始, 沿AD边, 以1cm/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始, 沿CB边, 以3cm/秒的速度向B点运动。

已知P、Q两点分别从A.C同时出发, , 当其中一点到达端点时, 另一点也随之停止运动。

假设运动时间为t秒, 问: （1）t为何值时, 四边形PQCD是平行四边形？（2）在某个时刻, 四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？,3.如右图, 在矩形ABCD中, AB=20cm, BC=4cm, 点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动, 点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动, 如果点P、Q分别从A.C同时出发, 当其中一点到达点D时, 另一点也随之停止运动, 设运动时间为t(s), t为何值时, 四边形APQD也为矩形？4.如图所示, △ABC中, 点O是AC边上的一个动点, 过O作直线MN//BC, 设MN交的平分线于点E, 交的外角平分线于F。

（1）求证: ；AM O F N EB C D（2）当点O 运动到何处时, 四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

5.（1）如图1, 纸片□ABCD 中, AD ＝5, S □ABCD ＝15, 过点A 作AE ⊥BC, 垂足为E, 沿AE 剪下△ABE, 将它平移至△DCE'的位置, 拼成四边形AEE'D, 则四边形AEE'D 的形状为（ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形（2）如图2, 在（1）中的四边形纸片AEE'D 中, 在EE'上取一点F, 使EF ＝4, 剪下△AEF, 剪下△AEF, 将它平移至△DE'F'的位置, 拼成四边形AFF'D ．①求证: 四边形AFF'D 是菱形；②求四边形AFF'D 的两条对角线的长。

中考数学动点专题所谓“动点型问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动〞等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择根本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点〞探究题的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向开展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：〔1〕运动观点；〔2〕方程思想；〔3〕数形结合思想；〔4〕分类思想；〔5〕转化思想等．1、：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动〔运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止〕，过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；(2〕线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CQPA M N B2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。

《平行四边形》动点问题（一） 1. 如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD△AB 于点D ，点P 在线段DB 上，点M 是边AC 的中点，连接MP ，作△MPQ=90°，点Q 在边BC 上，若AC=6，BC=8，则（ ）A ．当CQ=4时，点P 与点D 重合B ．当CQ=4时，△MPA=30°C ．当PD=57时，CQ=4 D ．当PM=PQ 时，CQ=4 【答案】C2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF=6cm ，BF=12cm ，△FBM=△CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动 时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或5秒3. 已知四边形ABCD ，△ABC=45°，△C=△D=90°，含30°角（△P=30°）的直角三角板PMN （如图）在图中平移，直角边MN△BC ，顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上，延长NM 到点Q ，使QM=PB ．若BC=10，CD=3，则当点M 从点A 平移到点D 的过程中，点Q 的运动路径长为__________。

【答案】27△当P点有8个时，x=22-2；△当△PEF是等边三角形时，P点有4个A．△△B．△△C．△△D．△△【答案】B6.如图，在△ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，△A=60°．点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F的运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时停止运动，经过s时，EF=AB．7.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化【答案】C8.如图，E是△ABCD边AD上动点，连接CE作△ECDN，过A点作AM△EN，交EN延长线于点M，作矩形AMEF，动点E从A出发，沿着AD方向运动到终点D，在整个运动变化的过程中，记△ECDN的面积为S2，矩形AMEF的面积为S1，则S1+S2大小变化情况是（）A．一直在减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】C9. 如图，在矩形OAHC 中，OC=8，OA=12，B 为CH 中点，连接AB ．动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM ，CN ，MN ，设运动时间为t （秒）（0＜t ＜10）．则t= 时，△CMN 为直角三角形．【答案】27或424141 10. 如图，已知矩形ABCD ，AB=8，AD=4，E 为CD 边上一点，CE=5，点P 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA 边向终点A 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒，则当t 的值为 时，△PAE 是以PE 为腰的等腰三角形．动点．若点P 从点F 出发，沿F→A→D→C 的路线运动，当△FPE=30°时，FP 的长为__________。

八年级数学四边形动点问题练习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN中考数学动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．1、已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M N、两点，线段MN运动的时间△的其它边交于P Q、分别作AB边的垂线，与ABC为t秒．(1)、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；(2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CQPA M N2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。

动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 53、如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；②当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ； （2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt△ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC=2. ∴AO== .在Rt△AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD⊥MN 于D ，BE⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD ＋BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；CBAE D图1NM(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB② ∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．证明：在上取一点，使，连接．．，．是外角平分线，，．．，，．（ASA）．．（2）正确．证明：在的延长线上取一点．使，连接．．．四边形是正方形，．．．（ASA）．．6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；（2）△ PAB为直角三角形的t值；（3）若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值7、如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.求：（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点作于点 ∵为的中点， ∴ 在中， ∴ ∴ 即点到的距离为（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变． ∵ ∴ ∵ ∴， 同理 如图2，过点作于，∵A D E BF C图4（备用）AD EBF C 图5（备用）A D E BFC图1 图2A D EBFC PNM图3A D E BF C PN M （第25题）∴ ∴ ∴ 则 在中， ∴的周长=②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形． 当时，如图3，作于，则类似①， ∴ ∵是等边三角形，∴ 此时，当时，如图4，这时 此时， 当时，如图5， 则又∴ 因此点与重合，为直角三角形． ∴ 此时，图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CM NGGRG综上所述，当或4或时，为等腰三角形．8、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？解：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，点为的中点，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒。

学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？四边形之动点问题（建等式一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，∠ABC=60°．动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AC向点C运动（不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线CB-BA向点A运动（不与点C，A重合）．设点P的运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为( )秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．A. B.C.或D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在平行四边形OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm．动点P 从点O出发，以1cm/s的速度沿折线OA-AB运动；动点Q同时从点O出发，以相同的速度沿折线OC-CB运动．当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）设△OPQ的面积为S，要求S与t之间的函数关系式，根据表达的不同，t的分段应为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（3）当点P在OA上运动，且△OPQ的面积为平行四边形OABC的面积的一半时，t的值为( )A.，8B.4C. D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：动点问题的处理框架中的第三步：分析几何特征、表达、设计方案求解，具体的操作动作有哪些？问题2：表达线段长时有哪些手段？。

2023年中考数学高频考点提升练习--四边形的动点问题一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一个动点(不与点C、D重合)，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G。

若FD=5AF，则CE：ED的值为()A．6-2 √3B．√10−52C．√3-1D．√1042．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（）A．5B．3或5C．103D．103或53．如图，已知AB=8，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正方形APCD，以PB 为底作等腰△PBE，连接CE，则△PCE的面积的最大值是（）A．3√2B．4C．4.2D．4√24．如图，在矩形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，已知AB＝9，BC＝12，点P在矩形ABCD的边上，则满足PE+PF＝12的点P的个数是（）A．2B．4C．6D．85．如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y，其中2<x⩽5．则下列结论中，正确的个数为（）△y与x的关系式为y=x−4x；（2）当AP=4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP=4时，tan∠EBP=35．A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点A出发在边AB上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边BC上运动．分别连接AQ，DP，AQ与DP相交于点E，连接BE，则线段BE的最小值为（）A．√5B．2√2C．2√2−1D．2√5−27．如图，已知正方形ABCD的边长为4, P是AB边上的一个动点，连结PD，作PQ△PD交BC边于点Q．当点P从点A出发向终点B运动时，点Q所经过的路径长为（）A．1B．2C．3D．48．如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E是AB上的点，且AE=2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C−D−A−E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为（）A．98或194B．194或98或274C．94或6D．6或94或274二、填空题9．如图在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E为对角线AC上的动点，EF△DE交BC边于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.（1）当AE=2时，求EDEF=；（2）点H在AD上且HD=3，连接HG，则HG的取值范围是.10．如图，在直角梯形ABCD中，AD△BC，△C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21.动点P从点D 出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P 随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.当t为时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s 的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为秒时，△MBN为等腰三角形．12．如图，一个桌球游戏的长方形桌面ABCD中，AD=2m。

四边形动点问题专题训练基础练习：1、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为 （ ）A.2B. 2.5或3.5C. 3.5或4.5D. 2或3.5或4.52、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是______________3.已知四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8,AD=18,BC=20,点P 以每秒钟1个单位长度的速度从点A 出发向点D 运动.（1）当运动时间为t 秒，则AP=______,PD=______;当t=_____时，△PCD 的面积等于40.（2）设运动时间为t 秒， △PCD 的面积为S ，则S 与t 之 间的函数关系式为：______________. 能力提升：1、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD=9cm ，BC=6cm.点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，几秒后直线PQ 将四边形ABCD 截出一个平行四边形.B A DC P2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD＝5，BC＝12，CD＝42，∠C＝45°，点P是BC边上的一动点，设PB的长为x。

（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。

（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由。

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形动点问题训练1.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在的直线对着得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P在BC何处时，点N是MQ的中点．（3）若AB=3，P是BC的三等分点，求QM的长；2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的动点，连接AE，以AE为边在AE的右上侧作Rt△AEF，使得∠AEF=90°，AE=EF，再过点F作FG⊥BC，交BC的延长于点G．（1）求证：∠BAE=∠GEF；（2）求证：CG=FG；（3）填空：若正方形ABCD的边长是2，当点E从点B运动到点C的过程中，点F也随之运动，则点F运动的痕迹的长是______．3.如图，点P是正方形ABCD（在小学，同学们学习过：正方形四边相等，四个角都是直角）对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连结PD，O为AC 中点．（1）如图①，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的关系，并说明理由；（2）如图②，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．4.如图，已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，（1）求∠BGE的大小；（2）求证：GC平分∠BGD．5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．（1）如图1所示，当∠DPA'=10°时，∠A'PB=______度；（2）如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．6.如图，边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求证：四边形OEMF为矩形；（2）连接EF，求EF的最小值．7.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，连接BE，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．（1）求证：∠DEF+∠CBF=90°；，求△BEF的面积；（2）若AB=3，△BCF的面积为32（3）求证：DE=2CF．8.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：△NDE≌△MAE；（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；（3）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．9.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≅△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.11.如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2＋13．菱形EFGH的顶点H在边AD上，且AH＝2，顶点G、E分别是边DC、AB上的动点，连结CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，直接写出DG的长；（2）若△FCG的面积等于3，求DG的长；（3）试探究点G运动至什么位置时，△FCG的面积取得最小值.12.如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E，F，已知AD=4，试说明AE2+CF2的值是一个常数．13.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB=90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE=CD，点P是DE的中点.(1)如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；(2)如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长.14.如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,O是△ABC内一动点,F、G分别是OB、OC的中点.判断四边形DEGF的形状,并说明理由.15.在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.（1）求证：△ABF≌△BCE.（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB=2，求DG的长.16.如图，在矩形ABCD中，BC=4，AB=10，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE．设每秒运动的时间为t秒．（1）求BE的长；（2）当t为多少秒时，△BPE是直角三角形．参考答案1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，在△ABP和△BCQ中，AB=BC∠ABC=∠CBP=CQ，∴△ABP≌△BCQ（SAS），∴∠BAP=∠CBQ，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠CBQ+∠APB=90°，∴∠BEP=90°，∴AP⊥BQ；（2）解：由折叠的性质得：NQ=CQ，∠BNQ=∠C=90°，∠NBQ=∠CBQ，∴∠BNM=90°，∵点N是MQ的中点，∴NQ=MN，由（1）得：MQ=MB，∴MN=12MB，∴∠MBN=30°，∴∠CBN=60°，∴∠NBQ=∠CBQ=30°，∴CQ=33BC，∴BP=CQ=33BC，即BP=33BC时，点N是MQ的中点．（3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，P是BC的三等分点，∴BP=2CP，或CP=2BP，①当BP=2CP时，BP=2，由折叠的性质得：NQ=CQ=BP=2，BN=BC=3，∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，∴MQ=MB，设MQ=MB=x，则MN=x-2，在Rt△MBN中，MB2=BN2+MN2，即x 2=32+（x -2）2，解得：x =134，即MQ =134；②当CP =2BP 时，BP =1，由折叠的性质得：NQ =CQ =BP =1，BN =BC =3，∵∠NQB =∠CQB =∠ABQ ，∴MQ =MB ，设MQ =MB =x ，则MN =x -1，在Rt △MBN 中，MB 2=BN 2+MN 2，即x 2=32+（x -1）2，解得：x =5，即MQ =5；综上所述，若AB =3，P 是BC 的三等分点，QM 的长为134或5．2.解：（1）∵∠AEF =90°，∴∠AEB +∠FEG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∴∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠GEF ，（2）在△ABE 和△EGF 中，∠ABE =∠EGF ∠BAE =∠GEF AE =EF，∴△ABE ≌△EGF （AAS ），∴BE =GF ，AB =EG ，∴BE =CG ，∴CG =FG ；（3）223.解:（1）当点P在线段AO上时PE=PD且PE⊥PD.理由：当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中AB=AD∠BAP=∠DAP=45∘AP=AP∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,如图，过点P作PM⊥CD于点M,作PN⊥BC于点N,∵AC平分∠BCD，∴PM=PN，在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE,PM=PN∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EP N,易得∠MPN=90∘,∴∠DPE=90∘,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为:PE=PD,PE⊥PD;（2）当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；如图2,当点P在线段OC上时，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，又PA=PA，∴△BAP≌△DAP(SAS)，∴PB=PD，又∵PB=PE，∴PE=PD，①当点E与点C重合时，PE⊥PD；②当点E在BC的延长线上时，如图2所示，∵△BAP≌△DAP，∴∠ABP=∠ADP，∠CDP=∠CBP，∵PB=PE，∴∠CBP=∠PEC，故∠PEC=∠PDC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD，综上所述：PE⊥PD，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；4.解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB，∠BAD=60°∴△ADB是等边三角形∴AD=AB=BD，∠DAB=∠ADB=∠ABD∵AE=DF，∠DAB=∠ADB=60°，AD=BD∴△ADE≌△DBF（SAS）∴∠ADE=∠DBF又∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB∴∠BGE=∠ADB=60°（2）如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，由（1）得∠ADE=∠DBF∴∠CBF=60°+∠DBF=60°+∠ADE=∠DEB又∠DEB=∠MDC∴∠CBF=∠CDM∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，∠CMD=∠CNG=90°∴Rt△CBN≌Rt△CDM（AAS）∴CN=CM，且CN⊥BF，CM⊥ED∴点C在∠BGD的平分线上即GC平分∠BGD5.856.（1）证明：∵ME⊥AO，MF⊥BO，∴∠MEO=90°，∠MFO=90°，∵正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴∠EOF=90°，∴四边形OEMF为矩形；（2）解：∵边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴利用勾股定理可以得到OA=OB=42，当M在AB的中点时，EF有最小值，最小值=OE2+OF2=(22)2+(22)2=4.7.证明：（1）过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，∴∠MEF+∠EFM=90°，∵∠EFB=90°，∴∠BFN +∠EFM =90°，∴∠MEF =∠BFN ，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ．∴MN ⊥BC ，∴∠FBN +∠BFN =90°，∴∠FBN +∠MEF =90°，即∠DEF +∠CBF =90°；证法二：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEB +∠CBE =180°，即∠DEF +∠BEF +∠EBF +∠CBF =180°，∵∠EFB =90°，∴∠BEF +∠EBF =90°，∴∠DEF +∠CBF =90°；（2）由（1）得MN ⊥AD ，∴正方形ABCD 的性质得四边形MNCD 是矩形，∴MN =CD =AB =3，在△BFN 与△FEM 中，由（1）得∠MEF =∠BFN ，∠EMF =∠FNB =90°，∵△BEF 为等腰直角三角形，∴BF =EF ，在△BFN 与△FEM 中，∠EMF =∠FNB ∠MEF =∠BFN BF =EF，∴△BFN ≌△FEM （AAS ），∵BC =AB =3，∴S △BCF =12BC ⋅FN =32FN =32，∴FN =1．∴BN =FM =MN -FN =2，在Rt △BFN 中，EF =BN 2+FN 2=12+22=5，∴S △BEF =12BF 2=12×(5)2=52；（3）在△BFN与△FEM中由（2）△BFN≌△FEM，MD=NC，∴BN=FM，EM=FN，∵MN=AB=BC，∴FM+FN=BN+NC，∴FN=NC=MD=EM，∴∠FCN=45°，DE=2MD=2CN，CF，在Rt△FNC中，CN=22∴DE=2×2CF=2CF．28.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∵点E是AD中点，∴DE=AE，在△NDE和△MAE中，∠NDE=∠MAEDE=AE，∠DEN=∠AEM∴△NDE≌△MAE（ASA）；（2）∵△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（3）解：当AM=1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵四边形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=12AD=1．9.解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FME EN=EM∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×42=8，∴CE+CG=8是定值．10. (1)∵点F,H分别是BC,CE的中点,∴FH //BE ,FH =12BE ,∴∠CFH =∠CBG .又∵点G 是BE 的中点,∴FH =BG .又∵BF =FC ,∴△BGF ≅△FHC .(2)连接EF ,GH .当四边形EGFH 是正方形时,可知EF ⊥GH且EF =GH .∵在△BEC 中,点G ,H 分别是BE ,EC 的中点,∴GH =12BC =12AD =12a ,且GH //BC ,∴EF ⊥BC .又∵AD //BC ,AB ⊥BC ,∴AB =EF =GH =12a ,∴S 矩形ABCD =AB ⋅AD =12a ⋅a =12a 211.解：（1）∵四边形EFGH 为正方形，∴HG =HE ，∠ADG =∠HAE =90°，∵∠DHG +∠AHE =90°，∠DHG +∠DGH =90°，∴∠DGH =∠AHE ，∴△DGH ≌△AHE （AAS ），∴DG =AH =2；（2）如图，作FM⊥DC，M为垂足，连结GE．∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEG-∠HEG＝∠MGE-∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，又∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离恒等于2，∴S▵FCG=1×2⋅GC=3，2解得GC＝3，∴DG＝2；（3）设DG＝x，则CG＝5-x，由（2）可知，S△FCG＝5-x．要使△FCG的面积最小，须使x最大，∵在Rt△DHG中，DH=13，∴当GH取得最大时，x最大当点E与点B重合时，HE最大，此时，HE=22+52=29，则GH=HE=29，在Rt△DHG中，x=(29)2−(13)2=4，∴当DG＝4时，△FCG的面积取得最小值．12.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（AAS），∠AEB=∠BFC∴AE=BF，∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=AD2=16为常数．13.解：（1）AP=1DE，理由如下：2连接AE.∵CE⊥CD，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACE=∠BCD，在△BCD和△ACE中，CE=CD∠ACE=∠BCD，AC=BC∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠EAC=∠B=45°，∴∠EAD=90°，∵P为DE中点，DE.∴AP=12（2）①当Q在边AB上时，连接AE，EQ.∵P 为DE 中点，CE =CD ，∴PC 垂直平分DE ，∴DQ =QD ，∵AB =5，AQ =2，∴BD =3，设BD =AE =x ，则QD =EQ =3-x ，在Rt △AEQ 中，AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(3-x )2解得x =56;当Q 在BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，如图，设BD =AE =x ，同理可得AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(7-x )2解得x =4514.综上可得BD =56或4514.14.解析 四边形DEGF 是平行四边形.理由:∵D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点,∴DE =12BC ,DE //BC ,∵F、G分别是OB、OC的中点,BC,FG//BC,∴FG=12∴DE=FG,DE//FG,∴四边形DEGF是平行四边形15.（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB=90°，∴∠GCB+∠GBC=90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC=90°，∴∠GCB=∠FBA，又∵BC=AB，∠FAB=∠EBC=90°，在△ABF与△BCE中，∠GCB=∠FBABC=AB，∠EBC=∠FAB∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB=1，∵AB=2，∴BC=2，∴CE=BC2+EB2=22+12=5，在Rt △CEB 中，由CE •BG =EB •BC 得BG =EB ⋅BC CE =1×25=255，∴CG =455，∵∠DCE +∠BCE =∠BCE +∠CBF =90°，∴∠DCE =∠CBF ，又∵DC =BC =2，∠CHD =∠CGB =90°，在△CHD 与△BGC 中，∠CHD =∠CGB =90°∠DCE =∠CBF DC =BC，∴△CHD ≌△BGC （AAS ）∴CH =BG =255，∴GH =CG -CH =255=CH ，∵DH =DH ，∠CHD =∠GHD =90°，在△DGH 与△DCH 中，GH =CH ∠GHD =∠CHD DH =DH，∴△DGH ≌△DCH （SAS ），∴DG =DC =2．16.解：（1）在矩形ABCD 中，∠C =∠B =90°，CD =AB =10，在Rt △BCE 中，CE =CD -ED =10-7=3，根据勾股定理得，BE =BC 2+CE 2=42+32=5，（2）①当以P 为直角顶点时，即∠BPE =90°，则∠C =∠B =∠BPE =90°，∴四边形CBPE 是矩形，∴BP =CE =3，即10-t =3，∴t =7，②当以E 为直角顶点时，即∠BEP =90°，由勾股定理得，BE 2+PE 2=BP 2，过点P 作PF ⊥CD 于F ，则PF=AD=4，DF=AP，设AP=t，则EF=7-t，BP=10-t，PE2=42+（7-t）2，∴52+42+（7-t）2=（10-t）2，，解得，t=53∴当t=7或5秒时，△BPE是直角三角形．3。

学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？四边形之动点问题（框架）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC 方向向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动；当P，Q两点中其中一点到达终点时，则停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )秒时，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B 运动.点P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.4B.6C.8D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9．动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．解答下列问题：（1）运动状态分析图如下空缺处依次所填正确的是( )A.①1/s；②B.①3/s；②C.①3/s；②D.①3/s；②答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当点P沿AB-BC-CA方向运动时，需要分_____种情况来考虑，时间段的划分为( )A.1；B.2；；C.3；；；D.3；；；答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第3，4题）（3）当P在BC上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.3tB.18-3tC.3t-9D.3t-18答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第3，4，5题）（4）当点P在CA上运动时，线段PC的长可用含t的式子表示为( )A.18-3tB.3t-18C.27-3tD.3t-9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当运动终止时，线段BQ的长为( )A.105B.45C.35D.30答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）当点P运动到AD上时，若PQ∥DC，则t的值为( )A. B.25C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG等于 。

2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点 过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。

5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为6、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．CA BP FE EDCBAPADEPB C7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。

9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。